流体力学3-5动量方程讲解
流体力学动量守恒方程
流体力学动量守恒方程是十九世纪法国科学家和数学家傅里叶发现的。
当时，由于资本主义经济迅速发展，许多工厂使用大量矿物燃料。
由于设备不断更新，这些燃料的质量也越来越大，煤的耗量不断增加。
为了计算煤的产量和损失情况，他对一个实验作了如下假设：当两股气流同时通过一段狭窄管道时，一股以相等的流速沿直线向前流动，另一股则沿着弯曲的管道流动。
傅里叶想，这两股气流是相互混合，彼此完全混合，因此这两股气流之间没有质量交换。
在运动中，两股气流都具有一定的能量，它们既相互转化又相互消耗。
能量既不能创造，也不能毁灭。
为了计算在管内两股气流的总能量和损失情况，就必须把它们之间的所有动量传递给管壁，使其动量保持不变。
因此，他设想在这个“管子”中加入一些流体，这些流体只是具有连续性的机械功。
他还进一步考虑，如果两股气流的温度不同，那么这种动量传递应该是连续的，但是傅里叶却不这样认为，因为在某一点上，两股气流的温度可能是相同的。
所以，根据牛顿第二定律，他提出了如下公式： p=- kx按照动量守恒定律，质量是守恒的，因此能量也是守恒的，只要在这个系统中，只有一股流体和一个管壁，在一定时间内能量是守恒的。
那么，如何利用动量守恒定律来计算煤的耗量呢？在第一个管子里装入0。
6立方米的水，它每秒损失1。
8立方米。
在第二个管子里装入2。
5立方米的水，它每秒损失1。
5立方米。
总共能够损失多少吨煤呢？经过研究，他得到了这样一个表达式： x=0。
006x-1。
5(1。
8-0。
6)=0。
2吨。
今天的研究很有趣，但我觉得，这一切源于傅里叶发明动量守恒定律之前，流体力学已经有100多年的历史了。
我想，这足以说明人类已经意识到环境问题的重要性了。
这次研究，让我体会到，我们不能光凭自己的感受去做事，而要依据事实，否则，就像儿童一样不讲理。
我希望，我长大以后，成为一名科学家，发明一种仪器，帮助人们解决问题，真正地解决问题，让我们的地球永远安静。
流体力学第3章(第二版)知识点总结经典例题讲解
相应的流线方程是:
dy dx y x z z0 ( xdx ydy) 0 z z0 x2 y2 C z z0
y
x
习题1:已知空间流场的速度分布(欧拉法)
u( x , y , z , t ) y v ( x , y , z , t ) x w( x , y , z , t ) 0
流线的性质
（1）流线彼此不能相交(除了源和汇)
交点
v1 v2
s1
（2）流线是一条光滑的曲线， 不可能出现折点(除了激波问题)
（3）定常流动时流线形状不变， 非定常流动时流线形状发生变化
s2
v1 v 折点 2
s
[例1] 由速度分布求质点轨迹
已知: 求： 解： 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为
作业3:已知流速场为: 试求: t=0时通过(1,1,0)点的迹线方程
§3.2 流体的加速度
一.流体的加速度
加速度是流体质点运动的速度变化(拉格朗日意义上). 流体质点速度： u
dx u( t ) dt v dy v(t ) dt w dz w( t ) dt
d2x d2y d 2z a a 流体质点加速度： a x 2 ， y 2 ， z 2 dt dt dt
(2)
由于在欧拉法中速度只和当地坐标以及时间有关,所以必须消 去初始座标,观察(1)式和(2)式可得:
u( x , y , z , t ) y v ( x , y , z , t ) x w( x, y, z, t ) 0
讨论：本例说明虽然给出的是流体质点在不同时刻经历的空间位置，即 运动轨迹,即可由此求出空间各点速度分布式（欧拉法），即各 空间点上速度分量随时间的变化规律。 此例中空间流场分布与时间无关,属于定常流场.
流体的连续性方程和动量方程
流体的连续性方程和动量方程流体力学是研究流体运动和流体力学性质的学科。
在流体力学中，连续性方程和动量方程是两个重要的基本方程。
本文将详细介绍流体的连续性方程和动量方程的定义和应用。
一、流体的连续性方程连续性方程描述了流体的质量守恒原理，表达了流体在空间和时间上的连续性。
连续性方程的数学表达形式为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·(ρv)表示速度矢量的散度。
该方程表示，流体的密度在一个闭合曲面上的变化率等于通过该曲面的质量流量。
连续性方程是基于质量守恒原理推导得出的。
它表明，在稳定流动条件下，流体在通道中的截面积变化时，速度会发生相应的变化，以保持质量的守恒。
根据连续性方程，我们可以推导出管道中的速度分布。
在管道的收缩段，速度增加，截面积减小，密度保持不变，从而保证质量守恒。
这也是为什么水管收缩后出水流速增加的原因。
二、流体的动量方程动量方程描述了流体运动的力学性质，表达了流体在空间和时间上的动量守恒。
动量方程的数学表达形式为：ρ(dv/dt) = -∇p + μ∇^2v + F其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，p是压强，μ是流体的粘度，∇p表示压强的梯度，∇^2v表示速度的拉普拉斯算子，F是外力的合力。
动量方程由牛顿第二定律推导而来。
它表示，在流体中，流体质点的动量变化等于合外力对质点的作用力。
动量方程用于描述流体在受力作用下的运动状态，通过求解动量方程，可以得到流体的速度分布。
根据动量方程，我们可以推导出流体中的压力分布。
在水管中，如果水流速度增大，则根据动量方程中的负梯度项，压力会降低。
这是因为速度增大会导致动能的增加，压力会减少以保持动量守恒。
综上所述，流体的连续性方程和动量方程是流体力学中的两个基本方程。
连续性方程描述了质量守恒原理，动量方程描述了动量守恒原理。
通过求解这两个方程，我们可以获得流体在空间和时间上的运动状态和力学性质。
流体力学3-5动量方程.
dt 2v2 A2 v 2 dt 1v1 A1 v1 dtQ( 2 v 2 1 v1 )
2
动量修正系数β
修正以断面平均速度计算的动量与实际动量的差异而引入
3 u A dA
A
3
2 u A dA
A
2
β值取决于过流断面上的速度分布， 速度分布较均匀的流动β =1.02~1.05， 通常取β=1.0
恒定流动，dt 前后 K 1'2 无变化，则
d K K 22' K11' 2u2dtdA2 u2 1u1dtdA1u1
1
取过流断面为渐变流断面，各点的流速平行， i 令 ——为单位向量
u ui
d K K 22' K11' 2u2dtdA2 u2 1u1dtdA1u1
该质点系上的外力的冲量
质点系动量定理: 质点系动量的增量等于作用于
Fdt dtQ( v v ) F Q( v v )
2 2 1 1
2 2 1 1
3
恒定总流动量方程
F Q( v v ) F Q ( v v F Q ( v v F Q ( v v
1 4
3、由连续性方程
v1
d
Q = v1A1= v2A2
2 1
3.185m/s
4Q v2 5.66m/s 8 2 d2
v v p2 p1 7.043kPa 2g 2 d2 P2 p2 0.124kN 4 4、将各量代入总流动量方程，解得 Rx ' 0.538kN
2 2 1 1 x 2 2x y 2 2y z 2 2z
流体力学第三章动量方程及其应用及动量矩方程
.
8
1、流体对管道的作用力问题—动量方程式的应用之
要求密， 度流 为量 qv的 为流体对弯管 FR， x的 FRy作用力
假定管道在水平平面内或者重力可以不加考虑，动量修正系数为1 取1-1、2-2断面及弯管内表面为流管控制体，作用在流体质点系的总外力包括
F R y p 2 A 2 c o s2 p 1 A 1 s in1 q V(v 2 c o s2 ) (v 1 s in1 )
【特例6】突然扩大管
10,2 90
FRx(p1 v12)A 1(p2 v22)A2
FRy0
（1）
突然扩大处流线不能折转，在“死角”处产生涡旋，涡旋区中的流体没有主流 方向的运动，因而流体对突然扩大管的作用力不是作用在大管管壁上的摩擦力， 而是作用在突然扩大台肩圆环断面A2—A1上的静压力，方向向左。
得： F R x P 1 A 1 q v v 1 P 1 A 1 v 1 A 1 v 1 ( P 1 v 1 2 ) A 1
F R y P 2 A 2 q v v 2 P 2 A 2 v 2 A 2 v 2 ( P 2 v 2 2 ) A 2
.
12
【特例2】直角等径弯管 12 0 ,A 1 A 2 A ,q V v A F R x p 1 A 1 c o s1 p 2 A 2 s in2q V(v 1 c o s1 ) (v 2 s in2 )
F R y p 2 A 2 c o s2 p 1 A 1 s in1 q V( v 2 c o s2 ) ( v 1 s in1 )
这是流体对任意变径弯管的作用力的计算公式，对其求合力得到
FR FR2x FR2y
arctanFRy
流体力学第3章(第二版)知识点总结经典例题讲解
dx u u( t ) dt
流体质点加速度：
dy v v(t ) dt
dz w w( t ) dt
d2x d2y d 2z ax 2 ， y 2 ， z 2 a a dt dt dt
x(t ) a t y( t ) b t z(t ) 0
y
迹线方程:
流线的性质
（1）流线彼此不能相交(除了源和汇)
交点
v1 v2
s1
（2）流线是一条光滑的曲线， 不可能出现折点(除了激波问题)
（3）定常流动时流线形状不变， 非定常流动时流线形状发生变化
s2
v1 v 折点 2
s
[例1] 由速度分布求质点轨迹
已知: 求： 解： 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为
(2)
由于在欧拉法中速度只和当地坐标以及时间有关,所以必须消 去初始座标,观察(1)式和(2)式可得:
u( x , y , z , t ) y v ( x , y , z , t ) x w( x, y, z, t ) 0
讨论：本例说明虽然给出的是流体质点在不同时刻经历的空间位置，即 运动轨迹,即可由此求出空间各点速度分布式（欧拉法），即各 空间点上速度分量随时间的变化规律。 此例中空间流场分布与时间无关,属于定常流场.
[例3] 由速度分布求加速度
已知: 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为 求各空间位置上流体质点的加速度 解： 对某时刻 t 位于坐标点上(x, y)的质点
dx xt dt dy v yt dt u
u xt v yt
(a )
求解一阶常微分方程（a）可得
x( t ) ae y( t ) be
流体力学3-5动量方程
❖动量方程的解题步骤
1. 选控制体 根据问题的要求，将所研究的两个渐
变流断面之间的水体取为控制体；
2. 选坐标系 选定坐标轴 的方向，确定各作用力及
流速的投影的大小和方向；
3. 作计算简图 分析控制体受力情况，并在控制体
上标出全部作用力的方向；
4. 列动量方程解题 将各作用力及流速在坐标轴
上的投影代入动量方程求解。计算压力时，压强 采用相对压强计算。 注意与能量方程及连续性方程的联合使用。
重力G在xOy面无分量； 弯管对水流的作用力R‘ 列总流动量方程的投影式
Fx Q(2v2x 1v1x )
Fy Q(2v2 y 1v1y ) 7
P1 P2 cos 60o Rx ' Q(2v2 cos 60o 1v1)
P2
r
r
rr
dt2v2 A2 v2 dt1v1A1v1 dtQ(2 v2 1v1)
2
❖动量修正系数β
修正以断面平均速度计算的动量与实际动量的差异而引入
Au3dA 3A
Au2dA 2A
β值取决于过流断面上的速度分布， 速度分布较均匀的流动β =1.02~1.05， 通常取β=1.0
Fz Q(2v2z 1v1z )
❖物理意义：作用于控制体内流体上的外力，等
于单位时间控制体流出动量与流入动量之差
4
❖应用条件：
恒定流 过流断面为渐变流断面 不可压缩流体
❖合外力： F
作用在该控制体内所有流体质点的质量力； 作用在该控制体面上的所有表面力 四周边界对水流的总作用力
sin
60o
Ry'Fra bibliotekQ(2v2
《流体力学》流体力学基本方程
2.2 描述流体运动的一些基本概念
2.2.1定常流与非定常流
流场中所有的运动 要素不随时间变化
u u(x, y, z)
(x, y, z)
p p(x, y, z)
u 0 t p 0 t
0
t
流场中有运动 要素随时间变化
u u(x, y, z,t)
(x, y, z,t)
p p(x, y, z,t)
p p(x, y, z,t) (x, y, z,t)
x, y, z ,t--欧拉变量，其中x，y，z与时间t有关。
欧拉法是常用的方法。
5
16 October 2021
欧拉法中的加速度 -- 质点速度矢量对时间的变化率。
a
u t
ux
u x
uy
u y
uz
u z
三个分量：
ax
ux t
ux
ux x
拉格朗日法 从流体质点的运动着手，描述每一个流体质点自始至 终的运动过程。如果知道了所有流体质点的运动规律，那么整个流 体的运动规律也就清楚了。是质点--时间描述法。
质点运动的轨迹
x x(a,b,c,t)
y y(a,b,c,t)
z z(a,b,c,t)
a, b, c --- t = t0 时刻质点所在的空间位置坐标， 称为拉格朗日变量，用来指定质点。
ln x t ln y t ln c
(x t)(y t) c
将 t = 0，x = -1，y = -1 代入，得瞬时流线 xy = 1, 流线是双曲线。
y x
12
16 October 2021
2. 求迹线
将已知速度分布代入式(2.2.1)可得
dx x t, dy ( y t), dz 0
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❖动量修正系数β
修正以断面平均速度计算的动量与实际动量的差异而引入
Au3dA 3A
Au2dA 2A
β值取决于过流断面上的速度分布， 速度分布较均匀的流动β =1.02~1.05， 通常取β=1.0
❖质点系动量定理: 质点系动量的增量等于作用于
该质点系上的外力的冲量
Fdt dtQ(2 v2 1v1)
恒定流 过流断面为渐变流断面 不可压缩流体
❖合外力： F
作用在该控制体内所有流体质点的质量力； 作用在该控制体面上的所有表面力 四周边界对水流的总作用力
5
❖动量方程的解题步骤
1. 选控制体 根据问题的要求，将所研究的两个渐
变流断面之间的水体取为控制体；
2. 选坐标系 选定坐标轴 的方向，确定各作用力及
流速的投影的大小和方向；
3. 作计算简图 分析控制体受力情况，并在控制体
上标出全部作用力的方向；
4. 列动量方程解题 将各作用力及流速在坐标轴
上的投影代入动量方程求解。计算压力时，压强 采用相对压强计算。 注意与能量方程及连续性方程的联合使用。
6
例: 水平设置的输水弯管(转角θ = 60°)，直径由d1=200mm 变为d2=150mm，已知转弯前断面p1=18kPa（相对压强）， 输水流量Q=0.1m3/s，不计水头损失; 试求水流对弯管的作 用力。
Rx 0.538kN 方向沿Ox方向 Ry 0.597kN 方向沿Oy方向
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解：取过流断面l-1、2-2及控制体，选直角坐标系 1、分析受力：过流断面上的动压力P1、P2；
重力G在xOy面无分量； 弯管对水流的作用力R‘ 列总流动量方程的投影式
Fx Q(2v2x 1v1x )
Fy Q(2v2 y 1v1y ) 7
P1 P2 cos 60o Rx ' Q(2v2 cos 60o 1v1)
恒定流动，dt 前后 K 1'2 无变化，则
d K K 22' K11' 2u2dtdA2u2 1u1dtdA1u1
1
❖ 取过流断面为渐变流断面，各点的流速平行，
令 u ui
i
——为单位向量
d K K 22' K11' 2u2dtdA2u2 1u1dtdA1u1
d K
A2
2
u
2
dtdA2
u
2
i
2
A1
1u1
dtdA1u1i 1❖对于不可压缩流体ρ1=ρ2=ρ，并引入修正系数β ，以断 面平均流速v 代替点流速u 积分，总流的动量差为
d K dt2v22 A2 i2 dt1v12 A1 i1
dt2v2 A2 v2 dt1v1A1v1 dtQ(2 v2 1v1)
F Q(2 v2 1 v1 )
3
❖恒定总流动量方程
F Q(2 v2 1v1)
Fx Q(2v2x 1v1x ) Fy Q(2v2 y 1v1y )
Fz Q(2v2z 1v1z )
❖物理意义：作用于控制体内流体上的外力，等
于单位时间控制体流出动量与流入动量之差
4
❖应用条件：
P2
sin
60o
Ry
'
Q(2v2
sin
60o
)
其中
P1
p1 A1
18
1
4
0.22
0.565kN
2、列1-1、2-2断面的伯诺里方程，忽略水头损失，有
z1
p1 ρg
α 1v12 2g
z2
p2 ρg
α
2v
2 2
2g
hl
0 p1 v12 0 p2 v22 0
g 2g
3、由连续性方程
g
2g
第五节 动量方程
总流的动量方程是动量定理的流体力学表达式 .
❖设恒定总流，过流断面Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ(渐变流断面)
流体经dt 时间由Ⅰ-Ⅱ运动到Ⅰ‘- Ⅱ’位置
❖任取元流l – 2 dt 时间内元流动量增量
1
1 u1
dA1 1 1
2
dA2
2
2
u2
2
d K K1'2' K12 (K1'2 K ) 22' tdt (K11' K1'2 )t
v1
4Q
d12
3.185m/s
Q = v1A1= v2A2
v2
4Q
d
2 2
5.66m8/s
p2
p1
v12 v22 2g
7.043kPa
P2
d22
4
p2
0.124kN
4、将各量代入总流动量方程，解得 Rx ' 0.538kN Ry ' 0.597kN
水流对弯管的作用力与弯管对水流的作用力，大小相等方 向相反