【人教A版】高中数学必修第二册：6.1 平面向量的概念(新教材)
D 解析：不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故 A， B 不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方 向无关，故 C 不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故 D 正确．
探究归纳 2 向量的表示及应用
【例 2】在如图所示的坐标纸(规定小方格的边长为 1)中，用有 向线段表示下列向量：
⑦该命题不正确．若 b＝0，则对两不共线的向量 a 与 c，也有 a∥0，0∥c，但 a 与 c 不平行，故不成立．
⑧该命题不正确．显然有A→B≠C→D，B→C≠D→A.
要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞 清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键．
下列说法中，正确的是( ) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小
(1)|a|＝4，a 的方向与 x 轴的正方向夹角为 60°，与 y 轴正方向夹 角为 30°；
(2)|b|＝3，b 的方向与 x 轴的正方向夹角为 30°，与 y 轴正方向夹 角为 120°；
(3)|c|＝3，c 的方向与 x 轴的正方向夹角为 135°，与 y 轴正方向 夹角为 45°.
解：如图所示．
探究归纳 3 相等向量与共线向量
【例 3】如图，O 为正方形 ABCD 对角线的交点，四边形 OAED， OCFB 都是正方形．
(1)写出与A→O相等的向量； (2)写出与A→O共线的向量； (3)向量A→E与O→B是否相等？
解：(1)与A→O相等的向量为：O→C，B→F，E→D. (2)与A→O共线的向量为：O→A，O→C，C→O，A→C，C→A，E→D，D→E，B→F， F→B. (3)向量A→E与O→B不相等，因为A→E与O→B的方向相反，所以它们不 相等．
谢谢~
第二阶段 课堂探究评价
素养目标
1．了解向量的实际背景，理解向量的相关概念． 2．掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念．(重点) 3．理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的概念．(重点)
学科素养
1．数学抽象； 2．逻辑推理
探究归纳 1 向量的概念
【例 1】给出下列各命题： ①零向量没有方向； ②若|a|＝|b|，则 a＝b； ③单位向量都相等； ④向量就是有向线段； ⑤两相等向量若其起点相同，则终点也相同；
③向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量；
④若|a|>|b|，则 a>b.
A．0
B．1
C．2
D．3
B 解析：①海拔没有方向，所以不是向量，故①错；②向量的 模也可以为 0，故②错；④向量不可以比较大小，故④错；③若 a，b 中有一个为零向量，则 a 与 b 必共线，故 a 与 b 不共线，则应均为非 零向量，故③对．
5．相等向量与共线向量 (1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量 a 与 b 相等，记作 a＝b.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向 线段来表示，并且与有向线段的起点无关．因为向量完全是由它的 模和方向 确定．
(2)平行向量 ①定义：方向相同或相反 的非零向量叫做平行向量，向量 a 与 b 平行，通常记作 a∥b. ②规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量 a，都有 0∥a. ③共线向量：任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此， 平行向量 也叫做共线向量．
⑥若 a＝b，b＝c，则 a＝c；
⑦若 a∥b，b∥c，则 a∥c；
⑧若四边形 ABCD 是平行四边形，则A→B＝C→D，B→C＝D→A.
其中正确命题的序号有
．
⑤⑥ 解析：①该命题不正确．零向量不是没有方向，只是方向 不定．
②该命题不正确．|a|＝|b|，只是说明这两个向量的模相等，但其 方向未必相同．
(1)作出向量A→B，B→C，C→D； (2)求|A→D|.
解：(1)向量A→B，B→C，C→D如图所示．
(2)由题意，可知A→B与C→D方向相反，故A→B与C→D共线， ∵|A→B|＝|C→D|， ∴在四边形 ABCD 中，AB∥CD 且 AB＝CD， ∴四边形 ABCD 为平行四边形， ∴A→D＝B→C， ∴|A→D|＝|B→C|＝200 km.
第六章 平面向量及其应用 6.1 平面向量的概念
第一阶段 课前自学质疑
感知新课 确定重点
素养导学
如图，在同一时刻，老鼠由 A 处向西北方向的 C 处逃窜，猫在 B 处向正东方向的 D 处追去，猫能否追到老鼠？答案是显而易见的，猫的速度再快也追不上，因为方向错 了．那么，如何从数学的角度来揭示这个问题的本质呢？这就是我们本节课要学习的向 量．
在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示 向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向 线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．
一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 km 到达 B 点，然后又改变 方向，向西偏北 50°的方向走了 200 km 到达 C 点，最后又改变方向， 向东行驶了 100 km 到达 D 点．
相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的 向量，再确定哪些是同向共线． (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线 的线段，再构造同向与反向的向量．注意：不要漏掉以表示已知向量 的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
如图，O 是正六边形 ABCDEF 的中心．
下列说法正确的是( ) A．零向量是没有方向的向量 B．零向量的长度为 0 C．任意两个单位向量方向相同 D．同向的两个向量可以比较大小
B 解析：零向量的长度为 0，方向是任意的，故 A 错误，B 正 确；任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故 C 错误； 不管是同向的向量还是不同向的向量，都不能比较大小，故 D 错误．
(1)与O→A的模相等的向量有多少个？ (2)是否存在与O→A长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与O→A共线的向量有哪些？
解：(1)23 个． (2)存在．由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，所以与O→A的 长度相等、方向相反的向量有A→O，O→D，F→E，B→C，共 4 个． (3)由(2)知，BC∥OA∥EF，线段 OD，AD 与 OA 在同一条直线 上，所以与O→A共线的向量有B→C，C→B，E→F，F→E，A→O，O→D，D→O，A→D， D→A，共 9 个．
(2)有向线段包含三个要素：起点、 方向、长度．知道了有向线 段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了．
3．向量的表示 (1)几何表示：向量可以用有向线段 表示，此时有向线段的方向 就是向量的方向． (2)字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母 a，b，c，…表示向 量，书写时用→a ，→b ，→c ，…表示向量，也可以用表示向量的有向线 段的起点和终点字母表示，例如，A→B，C→D.
③该命题不正确．单位向量只是模为单位长度 1，而对方向没要 求．
④该命题不正确．有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把 两者等同起来．
⑤该命题正确．因为两相等向量的模相等，方向相同，故当它们 的起点相同时，其终点必重合．
⑥该命题正确．由向量相等的定义知，a 与 b 的模相等，b 与 c 的模相等，从而 a 与 c 的模相等；又 a 与 b 的方向相同，b 与 c 的方 向相同，从而 a 与 c 的方向也必相同，故 a＝c.
预习关键词
向量、大小、方向、有向线段、模、相等向量、共线向量、单位 向量、零向量
深度预习 分步思考 1．向量和数量 (1)向量：既有 大小，又有 方向的量叫做向量． (2)数量：只有 大小，没有方向的量称为数量．
2．有向线段 (1)有向线段是具有 方向 的线段，如图所示，通常在有向线段的 终点处画上箭头表示它的方向．以 A 为起点、B 为终点的有向线段记 作A→B.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)温度有零上温度，有零下温度，所以温度是向量． (×)
(2)作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量． (√ )
(3)电流是既有大小又有方向的量，因此是向量．
( ×)
4．向量的模及两个特殊向量 (1)向量的长度(模) 向量A→B的大小称为向量A→B的长度(或称模)，记作|A→B|. (2)两个特殊向量 ①零向量：长度为 零 的向量叫做零向量，记作 0，零向量的方 向是任意的；零向量的起点与终点是同一点，故不能用有向线段表示 出来． ②单位向量：长度等于 1个单位长度 的向量，叫做单位向量．
预有长度为 1 的向量的始点固定在同一点，
这些向量的终点形成的轨迹是( )
A．单位圆
B．一段弧
C．线段
D．直线
A 解析：因为长度都是 1，所以这些向量的终点形成的轨迹是 单位圆．
2．下列结论中，正确的个数是( )
①海拔有正有负，故海拔是向量；
②向量的模是一个正实数；
人教A版(新教材)高中数学第二册(必修2)课件1：6.1 平面向量的概念
【规律方法】 共线向量与相等向量的判断
(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共 线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量． (3)非零向量的共线具有传递性，即向量 a，b，c 为非零向量， 若 a∥b，b∥c，则可推出 a∥c. [注意] 对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线 平行或重合两种情况．
探究点三 共线向量与相等向量 【例 3】如图所示，O 是正六边形 ABCDEF 的中心，且O→A＝a， O→B＝b，在每两点所确定的向量中．
(1)与 a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与 a 共线的向量有哪些？
【解】 (1)与 a 的长度相等、方向相反的向量有O→D，B→C，A→O，F→E. (2)与 a 共线的向量有E→F，B→C，O→D，F→E，C→B，D→O，A→O，D→A，A→D.
解：画出图形，如图所示． (1)易知 BC∥AD，BC＝AD， 所以与B→C相等的向量为A→D. (2)由 O 是正方形 ABCD 对角线的交点知 OB＝OD＝OA＝OC， 所以与O→B长度相等的向量为B→O，O→C，C→O，O→A，A→O，O→D，D→O. (3)与D→A共线的向量为A→D，B→C，C→B.
【达标反馈】
1.如图，在▱ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，CD 的中点，图中与A→E
平行的向量的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选 C.图中与A→E平行的向量为B→E，F→D，F→C共 3 个．
2．下列结论中正确的是( )
①若 a∥b 且|a|＝|b|，则 a＝b；
②若 a＝b，则 a∥b 且|a|＝|b|；
【跟踪训练】1．已知向量A→B与向量B→C共线，下列关于向量A→C的 说法中，正确的为( ) A．向量A→C与向量A→B一定同向 B．向量A→C，向量A→B，向量B→C一定共线 C．向量A→C与向量B→C一定相等 D．以上说法都不正确 解析：选 B.根据共线向量的定义，可知A→B，B→C，A→C这三个向 量一定为共线向量，故选 B.
新教材 人教A版高中数学必修第二册 第六章 平面向量及其应用 知识点汇总及解题规律方法提炼
6．1 平面向量的概念1．向量的概念及表示(1)概念：既有大小又有方向的量． (2)有向线段①定义：具有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度．③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB→．④长度：线段AB 的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|.(3)向量的表示■名师点拨(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素． (2)用有向线段表示向量时，要注意AB →的方向是由点A 指向点B ，点A 是向量的起点，点B 是向量的终点．2．向量的有关概念(1)向量的模(长度)：向量AB →的大小，称为向量AB →的长度(或称模)，记作|AB →|．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a ，b 是平行向量，记作a ∥b .规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a ．(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a ，b 是相等向量，记作a ＝b .■名师点拨(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． (2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． (3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．典型例题1向量的相关概念给出下列命题：①若AB→＝DC →，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .其中所有正确命题的序号为________．【解析】 AB→＝DC →，A ，B ，C ，D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|AB→|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，故②正确；a＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 的方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，故③正确．【答案】 ②③(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件 ①有大小；②有方向．两个条件缺一不可． (2)理解零向量和单位向量应注意的问题①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等； ②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向． 典型例题2向量的表示在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA→，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°方向上； (2)AB→，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向上； (3)BC→，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°方向上． 【解】 (1)由于点A 在点O 北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA→|＝42，小方格的边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 的位置可以确定，画出向量OA→，如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向上，且|AB→|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 的位置可以确定，画出向量AB →，如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°方向上，且|BC→|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 的位置可以确定，画出向量BC→，如图所示．用有向线段表示向量的步骤典型例题3共线向量与相等向量如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA→＝a ，OB →＝b ，在每两点所确定的向量中．(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与a 共线的向量有哪些？【解】 (1)与a 的长度相等、方向相反的向量有OD→，BC →，AO →，FE →.(2)与a 共线的向量有EF→，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.1．[变条件、变问法]本例中若OC →＝c ，其他条件不变，试分别写出与a ，b ，c 相等的向量．解：与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO→，ED →，AB →. 2．[变问法]本例条件不变，与AD→共线的向量有哪些？解：与AD→共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，OA →.共线向量与相等向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．(3)非零向量的共线具有传递性，即向量a ，b ，c 为非零向量，若a ∥b ，b ∥c ，则可推出a ∥c .[注意]对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．6．2.1向量的加法运算1．向量加法的定义及运算法则(1)两个法则的使用条件不同．三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．(3)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．2．|a ＋b |，|a |，|b |之间的关系一般地，|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a ，b 方向相同时等号成立． 3．向量加法的运算律交换律 a ＋b ＝b ＋a 结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )典型例题1平面向量的加法及其几何意义如图，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c .【解】 法一：可先作a ＋c ，再作(a ＋c )＋b ，即a ＋b ＋c .如图，首先在平面内任取一点O ，作向量OA→＝a ，接着作向量AB →＝c ，则得向量OB→＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ，则向量OC →＝a ＋b ＋c 为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，(1)在平面内任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ；(2)作平行四边形AOBC ，则OC →＝a ＋b ；(3)再作向量OD→＝c ；(4)作平行四边形CODE ，则OE→＝OC →＋c ＝a ＋b ＋c .OE →即为所求．(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合；②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 ①平移两个不共线的向量使之共起点； ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形；③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和． 典型例题2平面向量的加法运算化简： (1)BC→＋AB →； (2)DB→＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.【解】 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →. (2)DB→＋CD →＋BC → ＝BC→＋CD →＋DB → ＝(BC→＋CD →)＋DB → ＝BD→＋DB →＝0. (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0.向量加法运算中化简的两种方法(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简． 典型例题3向量加法的实际应用某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？【解】 如图，设此人游泳的速度为OB→，水流的速度为OA →，以OA→，OB →为邻边作▱OACB ，则此人的实际速度为OA →＋OB →＝OC →. 由勾股定理知|OC→|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题．(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．。
高中数学第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念教案第二册
6。
1 平面向量的概念本节课选自《普通高中课程标准数学教科书—必修第二册》（人教A 版）第六章《平面向量及其应用》,本节课是第1课时，本节课内容包括向量的实际背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。
本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念,并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。
在“向量的物理背景与概念"中介绍向量的定义；在“向量的几何表示"中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量;在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量,共线向量定义等1。
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.2.教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.多媒体意的,单位向量的方向具体而定.（2）注意:向量是不能比较大小的，但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的。
例1。
在图中，分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并根据图中的比例尺，并求出A地至B、C两地的实际距离(精确到1km）（三）。
相等向量与共线向量思考1:向量由其模和方向所确定.对于两个向量b a,，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？【答案】模相等，方向相同；模相等，方向不相同;模不相等，方向相同; 模不相等,方向不相同；1.平行向量定义：[来源：学科网ZXXK]通过例题进一步理解向量的概念，提高学生用向量解决问题的能力。
通过思考，引入平行向量，提高学生的理解问题的能力。
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行。
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；(2)向量ａ、ｂ、ｃ平行,记作ａ∥ｂ∥ｃ.2。
相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明:（1)向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等;（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线．．．．段的起点无关．．．．．．。
第6章 6.1 平面向量的概念-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课件
提 素
知
养
合 作 探
3
[△ABC 是以 B 为直角的直角三角形，所以|B→C|＝
22－12＝
课 时
究
分
释 3.]
层 作
疑
业
难
返 首 页
·
13
·
情
4．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，则图中相等的向量是 课
境
堂
导
小
学 ________(填序号)．
结
·
探
提
新 知
(1)A→D与B→C；(2)O→B与O→D；
课 堂
导
小
学 B 距点 A 的横向小方格数为 4，纵向小方格数为 0，于是点 B 位置可 结
·
探
提
新 知
以确定，画出向量A→B如图所示．
素 养
合 作 探
③由于点 C 在点 B 北偏东 30°处，且|B→C|＝6，依据勾股定理可
课 时
究
分
释
得：在坐标纸上点 C 距点 B 的横向小方格数为 3，纵向小方格数为
合
作 的概念．(难点)
探
义，培养数学抽象和直观想象的核心素养．
课
时
究
3．正确区分向量平行与直线 3．通过相等向量和平行向量的学习，提升逻辑推
分 层
释
作
疑 平行．(易混点)
理的核心素养.
业
难
返 首 页
·
3
·
情
课
境
堂
导
小
学
结
·
探
提
新 知
合
情境
导学
探新
知
素 养
作
人教A版(2019)高中数学必修第二册 6 1 《平面向量的概念》教材分析
6.1平面向量的概念一、本节知识结构框图二、重点、难点重点：向量的概念，向量的几何表示，相等向量和共线向量的概念.难点：向量的概念和共线向量的概念.三、教科书编写意图及教学建议本节主要通过物理中的位移、速度、力等抽象出数学中的向量，并类比实数的几何表示，以及物理学中位移的表示方法，用有向线段表示向量，进而通过向量之间的关系来认识相等向量与共线向量.6.1.1函数的概念位移是既有大小又有方向的量，是物理学中的基本量之一，位移表示的两个点之间的相对位置关系也是几何研究的重要内容.物理学中用位移表示物体（质点）的位置变化，几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另一点的位置.位移简明地表示了两个点的位置之间的相对关系，它是向量的重要的物理模型.力和速度也是既有大小又有方向的量，是常见的物理量，也是向量的重要的物理模型.教科书以小船的位移和速度、重力、浮力作为引入向量的背景，建立学习向量的认知基础，向量的几何表示 零向量与单位向量相等向量与共线向量 向量的概念 实际背景进而类比数量的抽象过程抽象概括出向量的概念，随后，为了使学生更好地理解向量的意义，教科书釆用了与数量概念比较的方法，引导学生认识年龄、身高、长度、面积、体积、质量等量都是“只有大小，没有方向”的数量，通过比较让学生体会向量的“大小、方向”这两个基本要素，并在边空中提出问题，让学生举出物理学中向量和数量的其他一些实例，从而更好地理解向量的特征.6.1.2函数的表示法1.有向线段实数与数轴上的点一一对应，数量可用数轴上的点表示，教科书通过类比实数在数轴上的表示，以及物理学用“带有方向的线段”表示位移的方法，给出了向量的几何表示——用有向线段表示向量.有向线段是数学概念，起点、方向、长度是有向线段的三要素.由于向量的基本要素是大小和方向，因而“用有向线段的方向表示向量的方向，用有向线段的长度表示向量的大小”是自然的想法，虽然位移有起始位置，力有作用点，但是舍去了与“起点”有关的物理属性所抽象出的向量只有大小和方向.因此，用有向线段表示向量时，向量的方向与有向线段的指向有关，与起点的具体位置无关.教学中要让学生体会用有向线段表示向量这种几何直观，以利于进步学习向量.2.零向量与单位向量教科书将“向量的大小”定义为向量的模，进而分别给出了零向量、单位向量的概念，教学中应当注意引导学生将向量的模与数量进行比较，数量有大小而没有方向，其大小有正数、负数和0之分，既可进行运算，又可比较大小；向量的模是正>没有意数或0，由于向量a和b的方向不能比较大小，于是|||b|a>有意义，而a b义.零向量与单位向量都是特殊的向量.教学中可以类比实数0和1，让学生认识零向量与单位向量.随着后续内容的学习，学生会进一步认识到零向量与单位向量在向量系中的地位和作用.例如，向量的减法运算就要用到零向量，平面向量的坐标表示中以分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底.3.向量的两种表示教科书介绍了向量的两种表示：有向线段表示和黑体字母表示，向量的有向线段表示为用向量处理几何问题打下了基础，用黑体字母表示向量在形式上更简约，这两种表示方法都需要学生熟练掌握.教科书用黑体字母表示向量，如a，在手写时可用a表示.在用有向线段AB表示向量时，要提醒学生注意向量AB的方向是有向线段的起点A指向终点B，点A要写在点B的前面.4.例题例1是一个简单的问题.要求用向量表示位移并求两点间的距离.画出有向线段表示位移，目的在于从向量的角度认识位移，以正确理解向量概念及其几何表示；两点间的距离就是相应有向线段的长度，也就是相应向量的模.6.1.3相等向量与共线向量1.平行向量从向量的基本要素出发进一步研究向量，如果只关注向量的方向，那么可以得到平行向量这重要概念，平行向量是指方向相同或相反的非零向量.教学中要让学生全面认识平行向量，特别是方向相反的非零向量也是平行向量，要讲清楚教科书中图6.1-5的几何意义.规定零向量与任意向量平行，与一般向量空间中有关性质（向量的线性相关性）一致.2.相等向量数学中，引进新的量后，就要界定它们之间的“相等”关系，这是研究新的量的基础.如何定义“相等向量”呢？平行向量只关注向量的方向，如果既关注向量的方向，又关注向量的大小，那么把“长度相等且方向相同的向量”定义为相等向量是恰当自然的.相等向量是一类向量的集合，由相等向量的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，将它平移后还是这个向量，这就是“向量完全由它的模和方向确定”的意义.因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，也就是说高中数学中讨论的向量是自由向量，这为用向量处理几何问题带来方便.教学时可以借助信息技术，通过向量的平移来让学生直观认识相等的向量与表示向量的有向线段的起点无关.可以让学生思考“同一条有向线段可以表示怎样一类相等的向量”与“同一个非零向量可以用怎样一类有向线段表示”这两个问题，也可以结合例题、习题体现上述问题的应用.3.共线向量共线向量也是研究向量的基础.教科书通过对一组平行向量,,a b c直观作图的过程给出了“任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量”的陈述.从逻辑线索上看，将平行向量,,a b c平移到直线l上后，由相等向量的定义，得到的仍然是,,a b c，这表明了平行向量与共线向量是等价的，只是名称的用词具有相应的针对性.教学中，要使学生体会两个共线向量并不一定要在同一条直线上，只要两个向量是平行向量，也就是共线向量，反之也对.当然，在同一条直线上的一组向量也是平行向量.要避免向量的“平行”“共线”与平面几何中直线的平行和线段的共线相混淆，让学生认清平行向量与平行线、共线向量与共线线段的区别.4.例题例2是结合正六边形的一些几何性质，让学生巩固相等向量和共线向量的概念，正六边形的边长等于其外接圆半径，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，具有丰富的几何性质.教学时应引导学生利用正六边形的性质结合图形进行分析，还可以让学生判断向量OA与,FE OB与AF是否相等，意在通过长度相等且方向相反的两个向量不相等，让学生从反面认识相等向量的概念，也为后继引入相反向量的概念进行铺垫.。
数学人教A版(2019)必修第二册6.1平面向量的概念(共41张ppt)
起点
方向
自主思考1 “有向线段就是向量，向量就是有向线段”，这种说法正确吗？________________________________________________________________________________________________________________
新知生成
1.平行向量 方向____________的非零向量叫做平行向量.向量 与 平行，记作 . 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量 ，都有 .
任务学习一 向量的概念与表示
任务学习二 相等向量与共线向量
任务学习一 向量的概念与表示
活动探究
李老师每天下班开车5千米从学校回到家，你能据此确定李老师家的位置吗？为什么？
提示 不能确定李老师家的位置.要想确定李老师家的位置，不仅要知道李老师家与学校的直线距离，还要知道李老师家在学校的什么方向.
1.下列各量中，向量的个数为( ) ①浓度；②年龄；⑨盈利；⑩时间.
B
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
[解析] 向量是既有大小又有方向的量，故符合题意的有③风力，⑤位移，⑥人造卫星的速度，⑧向心力，共4个.
2.下列说法中正确的是( )
任务学习二 相等向量与共线向量
活动探究
某地一网格形街道分布图如图所示，方格由若干个边长为1的小正方形拼成，甲同学从 地到 地，乙同学从 地到 地，丙同学从 地到 地，分别用向量表示甲、乙、丙三位同学的位移，并判断它们有何关系.
提示 甲、乙、丙三位同学的位移分别用向量 ， 和 表示，如图所示.由图可知向量 与 的大小相等、方向相同， 与 的大小不等、方向相反.
（2） ，点 在点 正东方向.
[解析] 由于点 在点 正东方向，且 ，所以在坐标纸上点 距点 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点 的位置可以确定，画出向量 ，如图所示.
6.1平面向量的概念-高一数学(人教A版必修第二册)之第六章平面向量
例3.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，写出 图中与向量 OA相等的向量.
OA DO=CB.
变式一：与向量 OA 长度相等的向量有多少个？ 11 个
变式二：是否存在与向量 OA 长度相等，方向相反的向量？ 存在，为 FE.
变式三：与向量 OA长度相等且共线的向量有哪些？
CB, DO, FE
A
8.(1).下列说法正确的是 B( )
A) 方向相同或相反的向量是平行向量. B) 零向量是0 . C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量.
(2).已知a、b是任意两个向量,下列条件: ①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反; ④a=0或b=0; ⑤ a与b都是单位向量.
相等的有7个.
长度相等且共线的有 15个. A
11、用有向线段表示两个相等的向量，这两个有向
线段一定重合吗？
不一定
练习6、在直角坐标系xoy中，有三点A（1，0），B
（-1，2），C（-2，2），请用有向线段分别表示A
到B，B到C，C到A的位移.
y CB 2
1
A -2 -1 O 1 x
小结
1.向量的概念: 既有大小又有方向的量
有什么关系？ 提示:平行.
4.共线向量与平行向量的关系
平行向量就是共线向量， 共线向量就是平行向量！
说明：我们所研究的向量为自由向量，只与大小
和规方定向：有零关向，量与与有向任线一段向的量起平点行位置无关，有向线
段只是向量的一种几何表示！
概念辨析
例1、判断
温馨提示：
1.做题时要注意向量平行（共线）与直线平行、共线的区别
6.1平面向量的概念
思考:力，时间,路程,功是向 量吗?速度,加速度是向量吗?
数学人教A版(2019)必修二6.1平面向量的概念(共21张ppt)
《6.1 平面向量的概念》
人教A版高中数学必修二第六章第一节
核心素养目标
•
1.语言建构与运用：使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基
本概念，能正确进行平面向量的儿何表示。
•
2.思维发展与提升：让学生经历类比方法学习向量及其儿何表示的过程，体验
对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
（2）与向量 的模一定相等的向量有________个，
，，，，
分别是________________________；
2
（3）与向量相等的向量有________个，
，
分别是_______________________．
任务探究十五
课堂小结
概念：把有大小又有方向的量统称为向量
①有向线段三要素：起点、方向、长度。
②表示有向线段时，起点在前，终点在后。
AB
线段AB的长度也叫做
有向线段 AB 的长度，
记作|
|
AB
任务探究六
向量的表示
➢ 通常用有向线段来表示向量
➢ 有向线段的长度| AB |表示向量的大小
➢ 有向线段 AB 的方向表示向量的方向
注：印刷用黑体a，b，c，…
书写时用 a、
问题引入
1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什
么？
2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方
向的量，你还能举出一些这样的量吗？
3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫
做矢量。
在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的
量叫做向量。而把那些只有大小，没有方向的量叫
数量。
任务探究一
高中数学人教A版(2019)必修(第二册)6.1平面向量的概念
长度为0的向量叫做零向量,记作
G 我们知道，从一支笔、一棵树、一本书∙∙∙∙∙∙中，可以抽象出 只有大小的数量“1”.类似地，我们可以对力、位移、速度∙∙∙∙∙∙ 这些量进行抽象，形成一种新的量.
二、向量的概念
既有大小，又有方向的量叫做向量. 如力、位移、速度.
只有大小，没有方向的量叫做数量. 如年龄、身高、长度、面积、体积、质量.
向量是近代数学中重要和基本的概念之一,向量理论具有丰富 的物理背景、深刻的数学内涵.向量既是代数研究对象，也是几何 研究对象，是沟通几何与代数的桥梁,是进一步学习和研究其他数 学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用.
本章我们将通过实际背景引入向量的概念,类比数的运算学习 向量的运算及其性质，建立向量的运算体系.在此基础上，用向量 的语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的一些问题.
零向量是有方向的，但它的方向不确定，是任意的；但Байду номын сангаас是 没有方向的.
长度等于1个单位的向量叫做单位向量. 向量也可以用小写字母表示：a ，b ，c ……
印刷用黑体a， 书写用a .
四、向量的几何表示
例1 在右图中,分别用向量表示A地
A
至B、C两地的位移，并根据图
中的比例尺，求出A地至B、C
两地的实际距离(精确到1km).
位移和速度有各自的特性，但也有共同属性，请问共同
属性是什么？ 以A为起点，B为终点的有向线段记作 .
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
既有大小，又有方向. 在本章引言中，小船位移的大小是A、B两地之间的距离15 n mile,位移的方向是东南方向;小船航行速度的大小是10 n mile/h,
以A为起点，B为终点的有向线段记作 .
新教材-高中人教A版数学必修第二册课件-6.1-平面向量的概念
①两个三角形的面积S1,S2;
②桌面上两个物体各自受到的重力G1,G2;
③小船驶向对岸的速度v1与水流速度v2.
【解析】①面积只有大小,没有方向,故不是向量;
②重力G1,G2既有大小又有方向,故是向量,并且两向量方向相同,所以为共线向
量;
③速度既有大小,又有方向,故是向量.因为两向量方向既不相同也不相反,故不
1.下列说法正确的是
(
)
A.平行向量就是向量所在直线平行的向量
B.长度相等的向量叫相等向量
C.零向量的长度为0
D.共线向量是在一条直线上的向量
【解析】选C.平行向量所在直线可以平行也可以重合,故A错;长度相等、方向不
同的向量不是相等向量,故B错;共线向量即平行向量,不一定在同一条直线上,故
D错.
2.下列命题中不正确的命题个数为
(1)作出向量 AB、
BC、
CD .
(2)求汽车从A点到D点的位移大小| AD |.
【解析】(1)向量 AB、
BC如图所示.
、
CD
(2)由题意,易知 AB
与 方向相反,故
与 AB
共线.
CD
CD
又| AB
|=| |,所以在四边形ABCD中,AB
CD,
CD
所以四边形ABCD为平行四边形,
所以| AD
模等于1
②________的向量,叫做单位向量.
3.向量间的关系
相等
相同
(1)相等向量:大小_____且方向_____的向量,叫做相等的向量,记作:a=b.
相同或相反
共线向量
(2)平行向量:方向___________的非零向量,也叫_________;a平行于b,