圆柱圆锥体积对比
(完整版)圆柱和圆锥的体积(包含知识点内容)
六年级圆柱和圆锥的体积训练题型一：圆柱的体积：圆柱所占空间的大小把圆柱切开拼成一个长方体（如图），长方体的长 = 圆柱底面周长的一半长方体的宽 = 圆柱的半径长方体的高 = 圆柱的高长方体的底面积 = 圆柱的底面积圆柱切开拼成一个长方体后，增加的面积是长方体的两个侧面积（宽×高 / 半径×高）公式：圆柱的体积（容积） = 底面积×高，(V = Sh 或者V = лr²h )正方体、长方体、圆柱，半圆柱、底面是环形的柱体都通用的体积公式是：底面积×高体积和容积的区别：1.求物体的体积是从该物体的外部来测量，而求容积却是从物体的内部来测量。
2.一种物体有体积，可不一定有容积。
如果一种既有体积又有容积的物体，它的体积一定大于它的容积。
3.体积的单位和容积的单位不同：1立方米 = 1000立方分米 = 1000000立方厘米 1立方米 = 1000立方分米 1立方分米 = 1000立方厘米1立方米=1000升 1立方分米=1升1立方厘米=1毫升练习：1.等底等高的圆柱体、正方体、长方体的体积相比较，（）。
①正方体体积大②长方体体积大③圆柱体体积大④一样大2. 圆柱体的底面半径扩大2倍，它的侧面积扩大（）倍，体积扩大（）倍。
3. 圆柱体的底面半径和高都扩大3倍，它的侧面积扩大（）倍，体积扩大（）倍。
4.圆柱的高扩大4倍，底面半径缩小4倍，它的体积（）。
5. 如果圆柱体的侧面展开是一个边长为3.14分米的正方形，圆柱的体积是（）立方分米。
6. 0.08平方米＝（）平方分米 3立方米5立方分米＝（）立方米2.6立方分米＝（）升 = （）毫升7. 一个圆柱体的底面半径是4米，高6米，它的侧面积是（）平方米，体积是（）立方米。
8．一个圆柱的底面周长是31.4厘米，高10厘米，它的表面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米。
9. 一个圆柱体容器中盛满12.56升水，从容器里面量得高是4分米，那么容器的底面积是（）。
体积相等的圆锥和圆柱
我们有一个圆锥和一个圆柱，它们的体积是相等的。
我们要找出这两个几何体的底面半径和高之间的关系。
假设圆锥的底面半径为 r1，高为 h1；圆柱的底面半径为 r2，高为 h2。
根据题目，我们知道它们的体积是相等的。
圆锥的体积公式是：(1/3) ×π × r1^2 × h1
圆柱的体积公式是：π × r2^2 × h2
因为它们的体积相等，所以：
(1/3) ×π × r1^2 × h1 = π × r2^2 × h2
现在我们要来解这个方程，找出 r1 和 r2、h1 和 h2 之间的关系。
计算结果为： [{h1: 3*h2, r1: sqrt(3)*r2}]
所以，体积相等的圆锥和圆柱的底面半径和高之间的关系是：
圆锥的底面半径是圆柱的底面半径的sqrt(3)倍，同时圆锥的高是圆柱的高的3倍。
柱体、椎体、台体、球体的体积和球的表面积
二、球体的体积和表面积
探 究
一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球， 球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一 个球充入的气体较多？为什么？
如果用油漆去涂一个足球和一个篮球，且涂的油漆 厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？
球的概念
球的截面 的形状
圆面
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
略 解 ：RtB1 D1 D中 : ( 2 R ) a ( 2a ) , 得
2 2 2
D A D1 A1 B
C
O
C1 B1
3 R a 2 S 4R 2 3a 2
D
A D1 A1 B1 O B
R
O
第i层“小圆片”下底面的 半径：
ri R R [ ( i 1)]2 , i 1,2 , n. n
2
R ri R [ ( i 1)]2 , i 1,2, , n n 3 R R i 1 2 2 Vi ri [1 ( ) ], i 1,2 , n n n n
C
C1
例7、已知过球面上三点A、B、C的截面到球 心O的距离等于球半径的一半，且 AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．
解：如图，设球O半径为R，截面⊙O′的半径为r，
R O O , ABC是正三角形， 2
O A 2 3 2 3 AB r 3 2 3
解：在RtOO A中, OA 2 O O 2 O A 2 ,
柱体、锥体、台体、球体 的体积和球体的表面积
一、柱体、锥体、台体的体积
圆柱和圆锥体积之间的关系探究实验过程
圆柱和圆锥体积之间的关系探究实验过程1. 引言1.1 概述本实验旨在探究圆柱和圆锥体积之间的关系，并通过实验得出相关结论。
圆柱和圆锥作为几何体中常见的形状，其体积计算是数学和物理领域中的重要问题。
深入研究这一问题可以帮助我们更好地理解不同几何体形状的特性以及它们之间的关联。
1.2 研究背景在数学中，求解几何体的体积是一个基本而重要的问题。
而对于常见的几何体而言，圆柱和圆锥就是其中最具代表性的两种形状之一。
例如，在建筑设计或工程项目中，需要对柱形容器和圆锥形容器进行容量估算；在物理实验中，需要计算流体在管道或喷泉等装置中所占据的空间等等。
因此，了解如何计算以及如何确定这些几何形状之间可能存在的关联是十分重要和有意义的。
1.3 实验目的本实验旨在通过测量不同大小的圆柱和圆锥并计算其体积来探究它们之间是否存在一定的关系。
具体目标包括：- 推导圆柱体积的计算公式；- 推导圆锥体积的计算公式；- 分析比较圆柱和圆锥的相似性质；- 实际测量不同大小的圆柱和圆锥的体积，以验证推导得出的公式是否准确；- 对实验结果进行分析，探讨圆柱和圆锥的体积之间可能存在的关系。
通过对上述目标进行实验研究，我们将进一步了解圆柱和圆锥这两种常见几何形状，加深对它们特性及其体积之间关联性的理解，并为未来有关几何体形状计算或工程设计等方面提供一定的参考依据。
2. 圆柱和圆锥体积计算方法介绍2.1 圆柱体积公式推导圆柱是一种由两个平行且相等的圆面及其之间的曲面组成的立体图形。
要计算圆柱的体积，我们可以使用下面的公式：V = πr^2h其中，V表示圆柱的体积，π是一个常数（约等于3.14159），r是圆柱底部半径，h是圆柱的高度。
这个公式可以通过如下步骤进行推导：首先，我们将圆柱展开成一个矩形，并计算该矩形的面积。
假设矩形的长度为L，宽度为w，则矩形的面积为A = Lw。
然后，我们来考虑这个矩形与原始圆柱之间的关系。
如果我们将这个矩形沿着宽度方向“卷曲”成一个管状物，并将其与半径r对齐，那么这个管状物实际上就是原始圆柱内表面所覆盖的一部分。
苏教版六年级(下)数学第3讲：圆柱和圆锥体积(教师版)
圆柱圆锥的体积【教学目标】1.记住圆柱圆锥体积公式2.理解同底面积、同高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍3.能根据圆柱和圆锥公式，解决一般的实际应用题【知识梳理】一、圆柱1.定义：以矩形的一边绕着另一条边旋转360°，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。
2.如图：上下两个面是底面，围成圆柱的曲面叫做侧面，两个底面之间的距离叫做高。
3、圆的周长：C=πd =2πr4、圆的面积：S=πr25、圆柱的侧面积：把圆柱侧面沿高展开，得到一个长方形（或正方形），长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高。
侧面积：S侧=Ch=πdh=2πrh逆推公式有：C=S侧÷h h=S侧÷C6、圆柱的表面积：S表=S侧+2S底7、圆柱的体积圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱体的体积。
设一个圆柱底面半径为r，高为h，则体积V：V=πr2h ；如S为底面积，高为h，体积为V：V=Sh圆柱的体积跟长方体、正方体一样，都是底面积×高圆柱体积=底面积×高V柱=Sh=πr2 h圆柱的高=体积÷底面积h =V柱÷S=V柱÷(πr2)圆柱的底面积=体积÷高S=V柱÷h圆柱的切割a.横切（垂直于轴）：切面是圆，表面积增加2倍底面积，即S增=2πr2b.竖切（过直径）：切面是长方形（如果h=2R，切面为正方形），该长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径，表面积增加两个长方形的面积，即S增=4rh注：圆柱高增加减少，圆柱表面积增加减少的只是侧面积。
常见的圆柱解决问题：①、压路机压过路面面积、烟囱、教学楼里的支撑柱、通风管、出水管（求侧面积）；②、压路机压过路面长度（求底面周长）；③、水桶铁皮（求侧面积和一个底面积）；④鱼缸、厨师帽（求侧面积和一个底面积）；V钢管=（πR2﹣πr2）×h（1）等底等高：V锥:V柱＝1:3（2）等底等体积：h锥:h柱＝3:1圆锥体展开图的绘制：圆锥体展开图由一个扇形（圆锥的侧面）和一个圆（圆锥的底面）组成。
圆柱、圆锥的体积
一堆大米，近似于圆锥形，量得 底面周长是18.84厘米，高6厘米。 它的体积是多少立方厘米？
如果每立方米大米重500千克， 这堆大米有多少千克？
动动手：
1.一堆圆锥形的煤体积是12立方米，底 面积是6立方米，高是多少？
2.如图，直角梯形ABCD，以AB为旋 转轴旋转一周，所以成几何图形的体 积是多少? A
圆柱的特征：
1.两个底面是半径相等的两个圆 2.圆柱有一个曲面叫做侧面，展 开后是一个长方形。 3.圆柱有无数条高，且高的 长度都相等
长=底面周长
宽 =高
• 1 圆柱与圆锥各有哪些特征？ • 2 怎样求圆柱的侧面积．表面积．体积？ 计算公式各是什么？
• 3怎样求圆锥的体积？计算公式是什么？
• 4圆柱与圆锥的体积之间有什么关系？
。
3、正方体、长方体、圆锥体的体积都等于底面 积×高。 （×）பைடு நூலகம்4、一个圆柱体木料，把它加工成最大的圆锥体，削去 的部分的体积和圆锥的体积比是2 ：1． （√ ）
5、把一个圆柱木块削成一个最大的圆锥， 2 应削去圆柱的 。 （ ）
3
6、一个圆锥，底面积是6平方厘米，高 是10厘米，体积是60立方厘米。 （ ）
解：每小段木料的长： 6÷3=2（m）=200（cm） 15÷4 × 200=750（cm³ ） 答：———————。
圆柱与圆锥等底等高，圆柱体积比 圆锥体积大36立方分米，圆柱与圆锥 体积各是多少？
解：圆锥体积：36÷2=18（dm³ ） 圆柱体积：18 × 3=54（ dm³ ） 答：——————。
圆柱与圆锥的体积之间有什么关系？
等底等高圆锥体积是圆柱体积的 三分之一 等底等高圆柱体积是圆锥体积的3倍
请回答下面的问题，并列出算式。
圆柱体积公式和圆锥体积公式
圆柱体积公式和圆锥体积公式圆柱体积公式是计算圆柱体体积的公式，圆锥体积公式是计算圆锥体体积的公式。
这两个公式在几何学中被广泛应用，可以帮助我们计算出圆柱体和圆锥体的体积。
我们来看看圆柱体积公式。
圆柱体是由一个圆形底面和一个平行于底面的曲面构成的立体，它的体积可以用以下公式来计算：圆柱体积 = 圆底面积× 高度其中，圆底面积可以用圆的面积公式来计算，即：圆底面积= π × 半径的平方将上述公式代入圆柱体积公式，可以得到最终的计算公式：圆柱体积= π × 半径的平方× 高度接下来，我们来看看圆锥体积公式。
圆锥体是由一个圆形底面和一个顶点连接底面边缘的曲面构成的立体，它的体积可以用以下公式来计算：圆锥体积 = 圆底面积× 高度÷ 3同样，圆底面积可以用圆的面积公式来计算，即：圆底面积= π × 半径的平方将上述公式代入圆锥体积公式，可以得到最终的计算公式：圆锥体积= π × 半径的平方× 高度÷ 3通过这两个公式，我们可以方便地计算出圆柱体和圆锥体的体积。
下面我们通过一个例子来演示如何使用这两个公式。
假设有一个圆柱体，底面半径为4cm，高度为10cm。
我们可以先计算出圆柱体的体积：圆柱体积= π × 4^2 × 10 = 160π cm^3接下来，假设有一个圆锥体，底面半径为3cm，高度为6cm。
我们可以先计算出圆锥体的体积：圆锥体积= π × 3^2 × 6 ÷ 3 = 18π cm^3通过这个例子，我们可以看到，利用圆柱体积公式和圆锥体积公式，可以快速准确地计算出圆柱体和圆锥体的体积。
除了计算圆柱体和圆锥体的体积，这两个公式还可以用于其他问题的求解。
例如，可以利用这两个公式来计算容器的容积，或者计算建筑物的体积等。
总结起来，圆柱体积公式和圆锥体积公式是计算圆柱体和圆锥体体积的重要工具。
圆柱与圆锥圆柱圆柱的体积一授课
contents •引言•圆柱的体积•圆锥的体积•圆柱与圆锥体积的比较•课堂练习与讨论•总结与回顾目录课程目标重点难点学习重点与难点教学方法与手段定义构成圆柱体积的定义公式中的 π 是圆周率，约等于 3.14；r 是底面的半径，表示圆柱底面的大小；h 是圆柱的高，代表圆柱的纵向长度。
底面半径和高度的乘积，再乘以圆周率，即可得到圆柱的体积。
圆柱体积的计算公式公式解析公式圆柱体积的应用实例算出 V = π x 5² x 10 = 785.4 cm³。
实例2：一圆柱形水桶，底面半径为1m，高为2m，求其能装多少水。
根据公式 V = πr²h，可计算出 V = π x 1² x 2 = 6.28 m³，即该水桶能装6.28立方米的水。
以上就是关于圆柱体积的定义、计算公式及应用实例的授课内容。
通过对这些内容的学习和掌握，我们可以更好地理解和应用圆柱体积的相关知识，解决实际生活中遇到的问题。
定义描述几何意义圆锥体积的定义公式表达圆锥体积的计算公式为 V = (1/3) × π × r^2 × h，其中 r 为底面半径，h 为圆锥的高。
公式解读该公式通过底面半径和高来计算圆锥体积，乘以π是因为圆锥的底面是一个圆，而(1/3)是圆锥与相应圆柱体积的比例因子。
圆锥体积的计算公式工程设计农业生产液体测量030201圆锥体积的应用实例体积计算公式的对比圆柱体积计算公式圆锥体积计算公式形状特征对体积的影响底面半径对体积的影响对于圆柱和圆锥，底面半径的大小直接决定体积的大小。
半径越大，体积也越大。
因此，在实际应用中，我们可以通过改变底面半径来调整圆柱或圆锥的体积。
高对体积的影响高是影响圆柱和圆锥体积的另一个关键因素。
对于同底面积的圆柱和圆锥，高度越高，体积越大。
因此，在实际应用中，我们可以通过调整高度来实现对体积的控制。
稳定性考虑由于圆锥的底面积较小，其重心相对较低，因此在需要稳定性的场合，如建筑、桥梁的支撑结构等，圆锥形状具有更好的稳定性。
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一个酒瓶里面深30厘米,底面直径是8 厘米,瓶里有酒深10厘米,把酒瓶塞紧 后倒置(瓶口向下),这时酒深20厘米, 你能算出酒瓶的容积是多少毫升来吗?
30
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20
8
• 一个直角三角形的三条边的长度是 ３，４，５，如果分别以各边为轴 旋转一周，得到三个立体图形，求 这三个立体中的体积。
设数法：
• 把一个正方体削成一个体积最大的圆 柱。如果圆柱的侧面积是314平方厘米， 求正方体的表面积。
• 有A B两个圆柱体容器，从里面 量周长分别为62.8厘米和31.4 厘米, A B内分别装有5厘米和3 厘米深的水,现在要将A中的水 倒一部分给B,使两容器内水深 相同,求现在水的深度?
• A B两个容器深度相等，底面半 径分别为3厘米和4厘米，把A 容器中装满水后倒入B容器，水 的深度比容器高度的75%低1.2 厘米，B容器中现在的水深？
5、一个圆锥与一个圆柱的底面积比是 3：2，体积比是2：5，如果圆柱的高 与圆锥高之和是36厘米，求圆锥的高 是多少厘米。
• 一个底面半径是6厘米的圆柱形玻璃器 皿里装有一部分水，水中浸没着一个 高9厘米的圆锥体铅锤。当铅锤从水中 取出后，水面下降了0.5厘米。这个圆 锥体的底面积是多少平方厘米？
（1）圆柱体的底面半径扩大3倍,高不变,体积扩大（ ）
A、3倍 B、9倍 C、6倍
（2）把一个棱长4分米的正24 B、100.48 C、64
（3）求长方体,正方体,圆柱体的体积共同的公式是（ ）
A、V= abh B、V= a3 C、V= Sh
• 把一个正方体削成一个体积最大的圆 柱。如果圆柱的体积是314立方厘米， 求正方体的体积。
• 把一个圆柱切成两个半圆柱，切面是 个正方形，已知每个半圆柱的体积是 25.12立方厘米，求每个半圆柱的表面 积是多少平方厘米？
• 一只圆柱玻璃杯，内底面直径是 8厘米，内装药水的深度是16厘 米，恰好占整杯容量的４／５。 这只玻璃杯最多能盛药水多少毫 升？
• 在一个直径是20厘米的圆柱形容器里， 放入一个底面半径3里米的圆锥形铁块， 全部浸没在水中，这是水面上升0.3厘 米。圆锥形铁块的高是多少厘米？
• 一块长方形铁皮，依照阴影部分剪 下，正好焊接成一个圆柱体模型。
1、圆柱的底面半径5厘米，求铁皮的面积。
2、已知长方形铁皮的宽是20厘米，圆柱 的体积是多少立方厘米？
一、 我来当裁判： （1）圆柱体的体积与圆锥体的体积比是3 ∶1。
（2）圆柱体的高扩大2倍，体积就扩大2倍。
（3）等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积比圆 锥的体积大2倍. （4）圆柱体的侧面积等于底面积乘以高。
（5）圆柱体的底面直径是3厘米，高是9.42厘米， 它的侧面展开是一个正形。 （ ）
二、点兵点将：（填序号）
• 圆柱形水槽里有10厘米深的水，水槽 底面面积144平方厘米。将棱长6厘米 的正方体铁块放入水中，水面将上升 几厘米?
• 一个底面积是15平方厘米的玻璃杯中 装有高3厘米的水。现把一个底面半径 是1厘米、高10厘米的圆柱形铁块垂直 放入玻璃杯水中，问水面升高了多少 厘米（圆周率取3）
• 一个圆柱形水槽，把一根底面 直径是5厘米的圆形铁棒全部放 入水中，水面上升9厘米。如果 把铁棒竖着拉出水面8厘米，水 面就下降4厘米，求铁棒的体积?
1、一个圆柱和一个圆锥的体积相等， 圆柱和圆锥的底面积的比是3:l，高的 比是( ： )。
2、一个圆柱和一个圆锥底面半径比 为2：1，它们的体积比是3：2，圆柱 和圆锥的高的比是（ ： ）。
3、圆柱和圆锥底面半径比为2：3， 圆锥和圆柱的高的比是3：2，圆柱和 圆锥的体积比是（ ： ）。
4、一个圆柱和圆锥高的比为2：3， 圆锥和圆柱体积的比是3：2，已知圆 柱的底面积是5平方厘米，那么圆锥 的底面积是多少平方厘米？
（4）把一个圆柱体的侧面展开得到一个边长4分米的正方
形，这个圆柱体的体积是（ ）立方分米 .
A、16
B、50.24
C、100.48
（5）把一团圆柱体橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，高将
（ ）.
A、扩大3倍 B、缩小3倍 C、扩大6倍 D、缩小6倍
3.圆柱圆锥各一个,高的比3:1,它们的 底面半径的比是1:2,那么它们的体积 的比是( )
• 一个底面积为2平方厘米的圆柱体 铁棒,竖直插入底面积为4平方厘米 的圆柱体水杯中,此时水杯中有水 半杯，然后再将铁棒竖直向上提起 2厘米，那么铁棒露在水平上的水 印有多少厘米？
• 圆柱体容积底面半径为４厘米，有一 根半径１厘米，长２０厘米的圆柱形 铁棒垂直插在容器中，底面互相接触， 此时容器中的水深10厘米，现将铁棒 向上提起2 厘米，这时铁棒露出水面的 部分中，有几厘米的表面是湿的？
3、已知长方形铁皮的长 是82.8厘米，圆柱的体积 是多少立方厘米？
如图，密封的瓶子的容积是2.4升，正着放，饮料 高20厘米，倒着放，空的部分高10厘米。求饮料有多少 升？
答案1.6
如图，密封的瓶子的底面直径10厘米，正着放， 饮料高15厘米，倒着放，空余的部分高5厘米。求饮料 瓶子有多少升？
答案1.57