2012四川内江中考数学

2012年内江市中考试题数 学（满分160分，考试时间120分钟）A 卷（共100分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2012四川内江，1，3分）－6的相反数为（ ）A ．6B ．16C ．－16D ．－6【答案】A2．（2012四川内江，2，3分）下列计算正确的是（ ） A ．a 2+ a 4= a 6 B ．2a +3b =5 ab C ．（a 2）3= a 6D ．a 6÷a 3=a 2【答案】C3．（2012四川内江，3，3分）已知反比例函数y =kx 的图象过点（1，－2），则k 的值为（ ） A ．2B ．－21C ．1D ．－2【答案】D4．（2012四川内江，4，3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 【答案】C5．（2012四川内江，5，3分）如图，a ∥b ，∠1=65°，∠2=140°，则∠3=（ ） A ．100° B ．105° C ．110° D ．115°【答案】B6．（2012四川内江，6，3分） 一组数据4，3，6，9，6，5的中位数和众数分别是（ ） A ．5和5.5 B ．5.5和6 C ．5和6 D ．6和6 【答案】B7．（2012四川内江，7，3分）函数y=1x） A ．第一象限B ．第一、三象限C ．第二象限D ．第二、四象限123 ab【答案】A8．（2012四川内江，8，3分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB =30°，CD =23，则阴影部分图形的面积为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．23π【答案】D9．（2012四川内江，9，3分）甲车行驶30千米与与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米．设甲车的速度为x 千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）A ．304015x x =- B ．304015x x =- C ．304015x x =+ D ．304015x x=+ 【答案】C 10．（2012四川内江，10，3分）如图，在矩形ABCD 中，AB =10，BC =5，点E 、F 分别在AB 、CD 上，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A 、D 分别落在矩形ABCD 外部的点A 1、D 1处，则阴影部分图形的周长为（ ） A ．15 B ．20 C ．25 D ．30【答案】D 11．（2012四川内江，11，3分）如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点．则sin A 的值为（ ） A ．21BCD【答案】B 12．（2012四川内江，12，3分）如图，正三角形ABC 的边长为3cm ，动点P 从点A 出发，以每秒1 cm 的速度，沿A →B →C 的方向运动，到达点C 时停止．设运动时间为x （秒），y =PC 2，则y 关于x 的函数的图象大致为（ ）B ACA ．B ．C ．D ． 【答案】C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．（2012四川内江，13，5分）分解因式：ab 3－4ab = ． 【答案】ab （b +2）（b －2） 14．（2012四川内江，14，5分）由一些大小相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为 ．主视图 俯视图 【答案】4 15．（2012四川内江，15，5分）如图所示，A 、B 是边长为1的小正方形组成的网格的两个格点，在格点中任意放置点C ，恰好能使△ABC 的面积为1的概率是 ．【答案】2916．（2012四川内江，16，5分）如图，四边形ABCD 是梯形，BD =AC 且BD ⊥AC ，若AB =2，CD =4，则S梯形ABCD = ．【答案】9三、解答题（本大题共5小题，共44分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）AB CP OxyOx y Ox yOxyABCD A B17．（2012四川内江，17，7分）计算：()012012111883π-⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】原式=｜1－23｜+1+1－4+3 =23－1+1=2318．（2012四川内江，18，9分）水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD ．如图所示，已知迎水坡面AB 的长为16米，∠B =60°，背水坡面CD 的长为163，加固后大坝的横截面为梯形ABED ，CE 的长为8米．(1)已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？ (2)求加固后大坝背水坡面DE 的坡度．【答案】(1)过点A 作AG ⊥BC 于G ，过点D 作DH ⊥BC 于H ， ∴AG =DH ，在Rt △ABG 中，AG =sin60°·AB×16=83， ∴DH =83， S △DCE =21·DH ·CE =21×83×8=323， ∴需要填土石方323×150=48003（m 3）． (2) 在Rt △DHC 中，HC，∴HE =HC +CE=24+8=32， ∴加固后背水坡面DE的坡度=DH HE ==．19．（2012四川内江，19，9分）某市为创建省卫生城市，有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090盆乙种花卉，搭配A 、B 两种园艺造型共60个，摆放于入城大道两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情况如下表所示：ABCEDABCEDG H综合上述信息，解答下列问题：(1)符合题意的搭配方案有哪几种’(2)如果搭配一个A 种造型的成本为1000元，搭配一个B 种造型的成本为1500元．试说明选用哪种方案成本最低？最低成本为多少元？【答案】(1)设搭配A 种造型x 个，则搭配B 种造型(60－x )个． 由题意，得：8050(60)42004070(60)3090x x x x +-⎧⎨+-⎩≤≤解之得37≤x ≤40，∵x 为整数，∴x =37，38，39，40，∴符合题意的搭配方案有4种：①A 种造型37个，B 种造型23个；②A 种造型38个，B 种造型22个；③A 种造型39个，B 种造型21个；④A 种造型40个，B 种造型20个．(2)设总成本为w 元，则w =1000x +1500(60－x )=－500 x +90000 ， ∵w 随x 的增大而减小，∴当x =40时，w 最小=70000元，即选用A 种造型40个，B 种造型20个时，成本最低为70000元． 20．（2012四川内江，20，10分）某校八年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B 、E 两组发言人数的比为5：2．请结合图中相关数据回答下列问题： (1)求出样本容量，并补全直方图； (2)该年级共有学生500人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12次的人数；(3)已知A 组发言的学生中恰有1位男生．E 组发言的学生中恰有1位女生，现从A 组与E 组中分别抽一位学生写调查报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率．【答案】(1)∵B 组人数为10，∴E 组人数为25×10=4，∴样本容量为48％=50， ∴A 组人数为50×6%=3，C 组人数为50×30%=15，D 组人数为50×26% =13， F 组人数为50－3－10－15－13－4=5． 补全直方图．A 6% 8% 30% 26%B C D F E A B C D E F 0 5 10 15 20人数 发言人数直方图 组别发言人数扇形统计图 10(2)∵E ，F 两组总人数为4+5=9，∴估计全年级这天发言次数不少于12次的人数为500×950=90． (3)树状图或∴P （一男一女）=712． 21．（2012四川内江，21，9分）如图，四边形ABCD 是矩形，E 是BD 上的一点，∠BAE =∠BCE ，∠AED =∠CED ，点G 是BC 、AE 延长线的交点，AG 与CD 相交于点F ． (1)求证：四边形ABCD 是正方形；(2)当AE =2EF 时，判断FG 与EF 有何数量关系？并证明你的结论．【答案】(l )证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD =∠BCD = 90°， ∵∠BAE =∠BCE ，∴∠BAD －∠BAE =∠BCD －∠BCE ， 即∠EAD =∠ECD ，∵∠AED =∠CED ，ED =ED ， ∴△AED ≌△CED ，D ABGCFE∴AD =CD ， ∴矩形ABCD 是正方形． (2)FG =3EF ．理由∵BG ∥AD ，∴∠G =∠EAD ，由于∠EAD =∠ECD ，∴∠G =∠ECD ， ∵∠CEG =∠FEC ，∴△CEG ∽△FEC ，∴CE EGEF CE=， 由(1)知CE =AE ，而AE =2EF ，故CE =2EF ， ∴EG =2CE =4EF ， 即EF +FG =4EF ， ∴FG =3EF ． B 卷（共60分）四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．） 22．（2012四川内江，22，6分）已知三个数x 、y 、z 满足2xy x y =-+，43yz y z =+，43zx z x =-+，则xyz xy yz zx ++的值为 ．【答案】－4 23．（2012四川内江，23，6分）如图，已知A 1、A 2、A 3、…、A n 、…是x 轴上的点，且O A 1 = A 1A 2= A 2A 3= …=A n －1A n = …=1，分别过点A 1、A 2、A 3、…、A n 、…作x 轴的垂线交反比例函数y =1x（x ＞0）的图象于点B 1、B 2、B 3、…、B n 、…，过点B 2作B 2 P 1⊥A 1 B 1于点P 1，过点B 3作B 3 P 2⊥A 2 B 2于点P 2……，记△B 1 P 1 B 2的面积为S 1，△B 2 P 2 B 3的面积为S 3……，△B n P n B n +1的面积为S n ，则S 1+S 2+S 3+…+ S n = ．【答案】()21nn +24．（2012四川内江，24，6分）设a i ≠0（i =1、2、……2012），且满足1212a a a a ++ (20122012)a a +=1968，则直线y =a i x +i（i =1、2、……2012）的图象经过第一、二、四象限的概率为 ． 【答案】11100625．（2012四川内江，25，6分）已知点A （1，5），B （3，－1），点M 在x 轴上，当AM －BM 最大时，点M 的坐标为 ． 【答案】（72，0）五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．）26．（2012四川内江，26，12分）已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重台），以AD 为边作菱形ADEF （A 、D 、E 、F 按逆时针排列），使∠DAF = 60°，连接CF ． (1)如图1，当点D 在边BC 上时， 求证：①BD =CF ，②AC =CF +CD ；(2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC =CF +CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点D 在边CB 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系．图1 图2 图3 【答案】(1)①∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC =60°， ∵四边形ADEF 为菱形，∴AD = AF ， ∵∠BAC =∠DAF =60° ∴∠BAC －∠DAC =∠DAF －∠DAC ， 即∠BAD =∠CAF ， ∴△ABD ≌△ACF ， ∴BD =CF ．②∵AC = BC = BD +CD ， 且由①BD =CF ， ∴AC =CF +CD ．(2)不成立．存在的数量关系为：CF =AC +CD ． 理由：由(1)同理可得△ABD ≌△ACF ， ∴BD = CF ，∵BD = BC +CD = AC +CD ， ∴CF = AC +CD ． (3)CD = AC +CF ． 补全图形．27．（2012四川内江，27，12分）如果方程x 2+px +q =0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=－p ，x 1·x 2=q ．请根据以上结论，解决下列问题： (1)已知关于x 的方程x 2+mx +n =0（n ≠0），求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；(2)已知a 、b 满足a 2－15a －5=0，b 2－15b －5=0，求a bb a的值；(3)已知a 、b 、c 均为实数，且a +b +c =0，abc =16，求正数c 的最小值． 【答案】(1)设x 2+mx +n =0 (n ≠0)的两根为x 1，x 2， ∴x 1+x 2=－m ，x 1·x 2=n ， ∴12121211x x m x x x x n ++==-，12111x x n=， ∴所求一元二次方程为x 2+ m nx +1n =0，即nx 2+mx +1=0． (2)①当a ≠b 时，由题意知a ，b 是一元二次方程x 2－15x －5=0的两根， ∴a +b =15，ab =－5，()()2222215255a b ab a b a b b a ab ab +--⨯-++====-－47． ②当a =b 时，a bb a+=1+1=2， ∴a bb a+=－47或2． (3)∵a +b +c =0，abc =16， ∴a +b =－c ，ab =16c， ∴a ，b 是方程x 2+cx +16c=0的两根， ∴△= c 2－416c⨯≥0， ∵c ＞0，∴c 3≥64 ，∴c ≥4， ∴c 的最小值为4． 28．（2012四川内江，28，12分）如图，已知点A (－1，0)，B （4，0)，点C 在y 轴的正半轴上，且∠ACB =90°．抛物线y =ax 2+bx +c 经过A 、B 、C 三点，其顶点为M ． (1)求抛物线y =ax 2+bx +c 的解析式； (2)试判断直线CM 与以AB 为直径的圆的位置关系，并加以证明； (3)在抛物线上是否存在点N ，使得S △BCN =4?如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由．【答案】(1)∵∠CAO +∠ACO = 90°，∠ACO +∠BCO = 90°， ∴∠CAO =∠BCO ，∵∠AOC =∠COB = 90°， ∴△AOC ∽△COB ，∴OC OAOB OC=， ∴OC 2=OA ·OB =4， ∵OC ＞0 ，∴OC =2， A BC M Oyx∵点C 在y 轴的非负半轴上，∴C (0，2) ， 由题意可设抛物线的解析式为y =a ( x +1)（x －4）， ∴2=a (0+1)(0－4) ，∴a =－21， ∴y =－21(x +1)（x －4）=－21x 2+32x +2． (2)直线CM 与以AB 为直径的圆相切． 理由：设AB 中点为E ，则E （32，0），当x =32时，y =－21×（32）2+32×32+2=258，∴M （32，258），∴EM =258，EM 2=62564， CE 2=（0－32）2+（2－0）2=254， CM 2=（0－32）2+（2－258）2=22564， ∴EM 2=CE 2 +CM 2，∴CE ⊥CM ，∴以AB 为直径的圆与直线CM 相切．(3)存在点N ，使得S △BCN =4，且这样的点有3个．①当N 在直线BC 左下方时，S △BCN 可以为任意正数，所以存在两个点，使S △BCN =4；②当N 在直线BC 右上方时，过点N 作平行于y 轴的直线交BC 于点Q ，直线BC 的解析式为y =－21x +2 设点N 的坐标为（t ，－21t 2+32t +2），则点Q 的坐标为（t ，－21t +2）， ∴NQ =－21t 2+32t +2－（－21t +2）=－21t 2+2t ， ∴S △BCN =S △NQC +S △NBQ =21NQ ·OB =21（－21t 2+2t ）×4=－t 2+4t =－（t －2）2+4， ∴当t =2时，△BCN 的面积最大为4 ，∴存在一个点N ，使得S △BCN =4，综上，在抛物线上共存在三个点N ，使得S △BCN =4．A BNM C OE Q。