实现二叉排序树的各种算法
二叉排序树
二叉排序树1．二叉排序树定义二叉排序树（Binary Sort Tree）或者是一棵空树；或者是具有下列性质的二叉树：（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值。
（2）左右子树也都是二叉排序树，如图6-2所示。
2．二叉排序树的查找过程由其定义可见，二叉排序树的查找过程为：（1）若查找树为空，查找失败。
（2）查找树非空，将给定值key与查找树的根结点关键码比较。
（3）若相等，查找成功，结束查找过程，否则：①当给值key小于根结点关键码，查找将在以左孩子为根的子树上继续进行，转（1）。
②当给值key大于根结点关键码，查找将在以右孩子为根的子树上继续进行，转（1）。
3．二叉排序树插入操作和构造一棵二叉排序树向二叉排序树中插入一个结点的过程：设待插入结点的关键码为key，为将其插入，先要在二叉排序树中进行查找，若查找成功，按二叉排序树定义，该插入结点已存在，不用插入；查找不成功时，则插入之。
因此，新插入结点一定是作为叶子结点添加上去的。
构造一棵二叉排序树则是逐个插入结点的过程。
对于关键码序列为：｛63，90，70，55，67，42，98，83，10，45，58｝，则构造一棵二叉排序树的过程如图6-3所示。
4．二叉排序树删除操作从二叉排序树中删除一个结点之后，要求其仍能保持二叉排序树的特性。
设待删结点为*p（p为指向待删结点的指针），其双亲结点为*f，删除可以分三种情况，如图6-4所示。
（1）*p结点为叶结点，由于删去叶结点后不影响整棵树的特性，所以，只需将被删结点的双亲结点相应指针域改为空指针，如图6-4（a）所示。
（2）*p结点只有右子树或只有左子树，此时，只需将或替换*f结点的*p子树即可，如图6-4（b）、（c）所示。
（3）*p结点既有左子树又有右子树，可按中序遍历保持有序地进行调整，如图6-4（d）、（e）所示。
设删除*p结点前，中序遍历序列为：① P为F的左子女时有：…，Pi子树，P，Pj，S子树，Pk，Sk子树，…，P2，S2子树，P1，S1子树，F，…。
二叉树先序遍历算法
二叉树先序遍历算法
二叉树先序遍历是一种树的遍历算法，先序遍历过程如下：
1. 先访问根节点；
2. 再访问左子节点；
3. 再访问右子节点；
二叉树先序遍历是一种树状数据结构的深度优先搜索(DFS)算法。
先序遍历对
树状数据结构中的每个节点仅进行一次访问，且访问的次序是从上到下，从左到右的方式。
先序遍历属于深度优先搜索，它以一定的次序访问树或图的每个节点，然后递归访问其子节点，深度优先搜索可以按一定方式去遍历有向图、二叉树等数据结构，对节点都进行一定次序的编号或标签，访问顺序是按从小到大的顺序，从而把BST全部访问一次。
二叉树先序遍历的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(logn)，应用范围很广，常用于二叉查找树的构造或查找、求树的高度和深度、树的前中后序遍历等，其中在建立二叉查找树时，往往我们都会使用先序遍历；同时，也可用先序遍历来求二叉树的节点数，计算树的深度等。
因此，二叉树先序遍历是一种基本而又重要的数据结构遍历算法，在许多应用
场景中都可以被朂泛使用，深受各个计算机领域的热捧。
二叉堆和优先队列高效实现堆排序和Dijkstra算法
二叉堆和优先队列高效实现堆排序和Dijkstra算法堆排序和Dijkstra算法是计算机科学中常见且高效的算法。
它们的实现中常用到二叉堆和优先队列的数据结构。
本文将介绍二叉堆和优先队列的概念，以及它们在堆排序和Dijkstra算法中的应用。
一、二叉堆二叉堆是一种特殊的完全二叉树，满足以下两个性质：1. 结构性质：除最后一层外，每一层都是满的，最后一层从左到右填入节点。
2. 堆序性质：对于任意节点i，其父节点值小于等于其子节点的值。
二叉堆有两种类型：大顶堆和小顶堆。
大顶堆中，父节点的值大于等于其子节点；小顶堆中，父节点的值小于等于其子节点。
二叉堆的根节点即堆中的最值。
二、优先队列优先队列是一种可以快速访问和删除最值元素的数据结构。
它支持两个主要操作：1. 插入操作：将元素按照一定的优先级插入队列中。
2. 弹出操作：弹出队列中的最值元素。
优先队列可以用二叉堆实现，其中小顶堆用于实现最小优先队列，大顶堆用于实现最大优先队列。
通过保持堆序性质，我们可以在O(logn)的时间复杂度内完成插入和弹出的操作。
三、堆排序堆排序是一种高效的排序算法，基于二叉堆数据结构。
其主要步骤如下：1. 构建最大堆：将待排序序列构建成一个最大堆。
2. 交换堆顶元素和最后一个元素：将最大堆的堆顶元素与最后一个元素交换，此时最大值被固定在了最后。
3. 调整堆：调整剩余元素构建一个新的最大堆。
4. 重复步骤2和步骤3，直到剩余元素只有一个。
堆排序的时间复杂度为O(nlogn)，且具有原地排序的优点，但是不稳定。
四、Dijkstra算法Dijkstra算法是一种解决单源最短路径问题的贪心算法。
其核心思想是利用优先队列选择当前最短路径的顶点来遍历附近的节点，并更新到达这些节点的最短距离。
其主要步骤如下：1. 创建一个距离数组dist，存储源点到每个顶点的最短距离。
初始时，源点到自身的距离为0，其他顶点的距离为无穷大。
2. 将源点插入到优先队列中。
二叉树 遍历种类 算法伪码
二叉树遍历种类算法伪码二叉树是一种常见的树形数据结构，由节点和边组成，每个节点最多有两个子节点。
二叉树的遍历是指按照某种顺序访问二叉树中的所有节点，包括先序遍历、中序遍历和后序遍历三种常见的遍历方式。
本文将介绍这三种遍历方式的算法伪码及其应用场景。
一、先序遍历（Preorder Traversal）先序遍历是指先访问二叉树的根节点，然后按照先序遍历的方式递归遍历左子树和右子树。
算法伪码如下：1. 如果树为空，返回。
2. 访问当前节点。
3. 递归先序遍历左子树。
4. 递归先序遍历右子树。
先序遍历的应用场景包括：根据二叉树的先序遍历序列重构二叉树、打印二叉树的先序遍历序列等。
二、中序遍历（Inorder Traversal）中序遍历是指先递归遍历左子树，然后访问二叉树的根节点，最后递归遍历右子树。
算法伪码如下：1. 如果树为空，返回。
2. 递归中序遍历左子树。
3. 访问当前节点。
4. 递归中序遍历右子树。
中序遍历的应用场景包括：根据二叉搜索树的中序遍历序列判断是否为合法的二叉搜索树、查找二叉搜索树中的某个节点等。
三、后序遍历（Postorder Traversal）后序遍历是指先递归遍历左子树，然后递归遍历右子树，最后访问二叉树的根节点。
算法伪码如下：1. 如果树为空，返回。
2. 递归后序遍历左子树。
3. 递归后序遍历右子树。
4. 访问当前节点。
后序遍历的应用场景包括：释放二叉树的内存、计算二叉树的高度等。
以上是二叉树的三种常见遍历方式的算法伪码及其应用场景。
下面将介绍一些常见的二叉树遍历问题及其解决方法。
1. 如何判断两个二叉树是否相同？可以使用先序遍历的方式分别遍历两个二叉树，将遍历结果进行比较。
如果两个二叉树的先序遍历序列相同，则它们相同。
2. 如何求解二叉树的深度？可以使用后序遍历的方式遍历二叉树，并记录每个节点的深度。
最后返回最大深度即可。
3. 如何判断一个二叉树是否为平衡二叉树？可以使用后序遍历的方式遍历二叉树，并记录每个节点的左子树高度和右子树高度。
二叉排序树查找的递归算法
二叉排序树查找的递归算法介绍二叉排序树（Binary Search Tree），也称二叉查找树、有序二叉树或排序二叉树，是一种常用的数据结构。
它具有以下特点：•每个节点都包含一个键值和对应的数据。
•左子树中的所有节点的键值都小于根节点的键值。
•右子树中的所有节点的键值都大于根节点的键值。
•左右子树也分别是二叉排序树。
二叉排序树支持高效的查找、插入和删除操作，其中查找操作是利用递归实现的。
本文将详细介绍二叉排序树查找的递归算法。
二叉排序树的定义二叉排序树的定义如下：class TreeNode:def __init__(self, key, data):self.key = keyself.data = dataself.left = Noneself.right = Noneclass BinarySearchTree:def __init__(self):self.root = None在二叉排序树中，每个节点都是一个TreeNode对象，包含键值key和对应的数据data。
left和right分别指向左子树和右子树的根节点。
树的根节点由BinarySearchTree对象的root属性表示。
二叉排序树查找的递归算法二叉排序树的查找操作是利用递归实现的，其具体算法如下：1.如果待查找的键值等于当前节点的键值，返回当前节点的数据。
2.如果待查找的键值小于当前节点的键值，递归在左子树中查找。
3.如果待查找的键值大于当前节点的键值，递归在右子树中查找。
4.如果在左子树或右子树中找不到对应的键值，则返回空。
下面是二叉排序树查找的递归算法的代码实现：def search_recursive(node, key):if node is None or node.key == key:return node.dataelif key < node.key:return search_recursive(node.left, key)else:return search_recursive(node.right, key)在上述代码中，node表示当前节点，key表示待查找的键值。
实现二叉排序树的各种算法(2)
BiTree S;
S = T;
while(S)
{
if(S -> data < e)
S = S->rchild;
else if(S -> data > e)
S = S->lchild;
else return OK;
}
return ERROR;
S1 -> data = e;S1 -> lchild = NULL;S1 -> rchild = NULL;
S2 = T;
if(S2 == NULL) T = S1;
else while(loop)
{
if(S1->data < S2->data)
if(S2->lchild == NULL)
{
BiTree S1, S3, S4;
S1 = T;
SqQueue S2;
InitQueue(S2);
EnQueue(S2,S1);
while(S2.front != S2.rear)
{
DeQueue(S2,S1);
printf("%d ",S1->data);
S3 = S1->lchild;S4 = S1->rchild;
if(S3) EnQueue(S2,S3);
if(S4) EnQueue(S2,S4);
}
return OK;
}
Status Turn (BiTree T)
S.top = S.base + S.stacksize;
S.stacksize += STACKINCREMENT;
数据结构实验三——二叉树基本操作及运算实验报告
《数据结构与数据库》实验报告实验题目二叉树的基本操作及运算一、需要分析问题描述：实现二叉树（包括二叉排序树）的建立，并实现先序、中序、后序和按层次遍历，计算叶子结点数、树的深度、树的宽度，求树的非空子孙结点个数、度为2的结点数目、度为2的结点数目，以及二叉树常用运算。
问题分析：二叉树树型结构是一类重要的非线性数据结构，对它的熟练掌握是学习数据结构的基本要求。
由于二叉树的定义本身就是一种递归定义，所以二叉树的一些基本操作也可采用递归调用的方法。
处理本问题，我觉得应该：1、建立二叉树；2、通过递归方法来遍历（先序、中序和后序）二叉树；3、通过队列应用来实现对二叉树的层次遍历；4、借用递归方法对二叉树进行一些基本操作，如：求叶子数、树的深度宽度等；5、运用广义表对二叉树进行广义表形式的打印。
算法规定：输入形式：为了方便操作，规定二叉树的元素类型都为字符型，允许各种字符类型的输入，没有元素的结点以空格输入表示，并且本实验是以先序顺序输入的。
输出形式：通过先序、中序和后序遍历的方法对树的各字符型元素进行遍历打印，再以广义表形式进行打印。
对二叉树的一些运算结果以整型输出。
程序功能：实现对二叉树的先序、中序和后序遍历，层次遍历。
计算叶子结点数、树的深度、树的宽度，求树的非空子孙结点个数、度为2的结点数目、度为2的结点数目。
对二叉树的某个元素进行查找，对二叉树的某个结点进行删除。
测试数据：输入一：ABC□□DE□G□□F□□□（以□表示空格）,查找5,删除E预测结果：先序遍历ABCDEGF中序遍历CBEGDFA后序遍历CGEFDBA层次遍历ABCDEFG广义表打印A（B（C,D（E（,G）,F）））叶子数3 深度5 宽度2 非空子孙数6 度为2的数目2 度为1的数目2查找5，成功，查找的元素为E删除E后，以广义表形式打印A（B（C,D（,F）））输入二：ABD□□EH□□□CF□G□□□（以□表示空格）,查找10,删除B预测结果：先序遍历ABDEHCFG中序遍历DBHEAGFC后序遍历DHEBGFCA层次遍历ABCDEFHG广义表打印A（B(D,E(H)),C(F(,G))）叶子数3 深度4 宽度3 非空子孙数7 度为2的数目2 度为1的数目3查找10，失败。
二叉树的快速排序、归并排序方法
二叉树的快速排序、归并排序方法一、快速排序快速排序采用的是分治法策略，其基本思路是先选定一个基准数（一般取第一个元素），将待排序序列抽象成两个子序列：小于基准数的子序列和大于等于基准数的子序列，然后递归地对这两个子序列排序。
1. 递归实现（1）选定基准数题目要求采用第一个元素作为基准数，因此可以直接将其取出。
（2）划分序列接下来需要将待排序序列划分成两个子序列。
我们定义两个指针 i 和 j，从待排序序列的第二个元素和最后一个元素位置开始，分别向左和向右扫描，直到 i 和 j 相遇为止。
在扫描过程中，将小于等于基准数的元素移到左边（即与左侧序列交换），将大于基准数的元素移到右边（即与右侧序列交换）。
当 i=j 时，扫描结束。
（3）递归排序子序列完成划分后，左右两个子序列就确定了下来。
接下来分别对左右两个子序列递归调用快速排序算法即可。
2. 非递归实现上述方法是快速排序的递归实现。
对于大量数据或深度递归的情况，可能会出现栈溢出等问题，因此还可以使用非递归实现。
非递归实现采用的是栈结构，将待排序序列分成若干子序列后，依次将其入栈并标注其位置信息，然后将栈中元素依次出栈并分割、排序，直至栈为空。
二、归并排序归并排序同样采用的是分治思想。
其基本思路是将待排序序列拆分成若干个子序列，直至每个子序列只有一个元素，然后将相邻的子序列两两合并，直至合并成一个有序序列。
1. 递归实现（1）拆分子序列归并排序先将待排序序列进行拆分，具体方法是将序列平分成两个子序列，然后递归地对子序列进行拆分直至每个子序列只剩下一个元素。
（2）合并有序子序列在完成子序列的拆分后，接下来需要将相邻的子序列两两合并为一个有序序列。
我们先定义三个指针 i、j 和 k，分别指向待合并的左侧子序列、右侧子序列和合并后的序列。
在进行合并时，从两个子序列的起始位置开始比较，将两个子序列中较小的元素移动到合并后的序列中。
具体操作如下：- 当左侧子序列的第一个元素小于等于右侧子序列的第一个元素时，将左侧子序列的第一个元素移动到合并后的序列中，并将指针 i 和 k 分别加 1。
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wyf实现二叉排序树的各种算法一.需求分析(1)系统概述：本系统是针对排序二叉树设计的各种算法，提供的功能包括有：（1）插入新结点（2）前序、中序、后序遍历二叉树（3）中序遍历的非递归算法（4）层次遍历二叉树（5）在二叉树中查找给定关键字(函数返回值为成功1,失败0)二.总体设计(1)系统模块结构图(2)数据结构设计typedef struct BiTNode{ElemType data;struct BiTNode *lchild,*rchild;//左右孩子指针} BiTNode,*BiTree;typedef BiTree SElemType;typedef BiTree QElemType;typedef struct{QElemType *base; // 初始化的动态分配存储空间int front; // 头指针,若队列不空,指向队列头元素int rear; // 尾指针,若队列不空,指向队列尾元素的下一个位置}SqQueue;typedef struct{SElemType *base; // 在栈构造之前和销毁之后，base的值为NULLSElemType *top; // 栈顶指针int stacksize; // 当前已分配的存储空间，以元素为单位}SqStack; // 顺序栈Status InitStack(SqStack &S){// 构造一个空栈S，该栈预定义大小为STACK_INIT_SIZE// 请补全代码S.base = (SElemType * )malloc(STACK_INIT_SIZE * sizeof(SElemType));if(!S.base) return (ERROR);S.top = S.base ;S.stacksize = STACK_INIT_SIZE;return OK;}Status Push(SqStack &S,BiTree e){// 在栈S中插入元素e为新的栈顶元素// 请补全代码if(S.top - S.base >= S.stacksize){S.base = (SElemType * )realloc(S.base, (S.stacksize + STACKINCREMENT) * sizeof (SElemType));if(!S.base )return ERROR;S.top = S.base + S.stacksize;S.stacksize += STACKINCREMENT;}* S.top ++ = e;return OK;}Status Pop(SqStack &S,SElemType &e){// 若栈不空，则删除S的栈顶元素，用e返回其值，并返回OK；否则返回ERROR// 请补全代码if(S.top == S.base)return ERROR;e = * --S.top;return OK;}Status InitQueue(SqQueue &Q){// 构造一个空队列Q，该队列预定义大小为MAXQSIZE// 请补全代码Q.base = (QElemType *)malloc (MAXQSIZE * sizeof(QElemType));if(!Q.base) return ERROR;Q.front = Q.rear = 0;return OK;}Status EnQueue(SqQueue &Q,QElemType e){// 插入元素e为Q的新的队尾元素// 请补全代码if((Q.rear + 1)% MAXQSIZE == Q.front)return ERROR;Q.base[Q.rear] = e ;Q.rear = (Q.rear + 1) % MAXQSIZE;return OK;}Status DeQueue(SqQueue &Q, QElemType &e){// 若队列不空, 则删除Q的队头元素, 用e返回其值, 并返回OK; 否则返回ERROR// 请补全代码if(Q.front == Q.rear) return ERROR;e = Q.base[Q.front];Q.front = (Q.front +1) % MAXQSIZE;return OK;}Status CreateBiTree(BiTree &T , int n) { // 算法6.4// 按先序次序输入二叉树中结点的值（一个字符）// 构造二叉链表表示的二叉树T。
int i ,e ,loop = 1;BiTree S1,S2;for(i=1;i<=n;i++){loop = 1;scanf("%d",&e);if(!(S1 = (BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode)))) return ERROR;S1 -> data = e;S1 -> lchild = NULL;S1 -> rchild = NULL;S2 = T;if(S2 == NULL) T = S1;else while(loop){if(S1->data < S2->data)if(S2->lchild == NULL){S2 ->lchild = S1; loop = 0;}else S2=S2->lchild;else if(S2->rchild == NULL){S2 -> rchild = S1; loop = 0;}else S2=S2->rchild;}}return OK;} // CreateBiTreeStatus Insert( BiTree T) //插入新结点{BiTree S1, S2;ElemType e;scanf("%d",&e);if(!(S2 = (BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode)))) return ERROR;S2 -> data = e;S2 -> rchild = NULL; S2 -> lchild = NULL;S1 = T;while(T){if(S1 -> data <= S2-> data)if(!S1 -> rchild){S1 -> rchild = S2;return OK;}else S1 = S1->rchild;elseif(!S1 -> lchild){S1 -> lchild = S2;return OK;}else S1 = S1->lchild;}T = S2;return OK;}Status Search( BiTree T ,ElemType e) {BiTree S;S = T;while(S){if(S -> data < e)S = S->rchild;else if(S -> data > e)S = S->lchild;else return OK;}return ERROR;}Status Visit( ElemType e ) { // 输出元素e的值printf("%d ", e );return OK;}// PrintElementStatus PreOrderTraverse( BiTree T, Status(*Visit)(ElemType) ) { // 前序遍历二叉树T的递归算法，对每个数据元素调用函数Visit。
//补全代码,可用多个语句if(T){if(Visit(T->data))if(PreOrderTraverse(T->lchild , Visit))if(PreOrderTraverse(T->rchild , Visit)) return OK;return ERROR;}else return OK;} // PreOrderTraverseStatus InOrderTraverse( BiTree T, Status(*Visit)(ElemType) ) { // 中序遍历二叉树T的递归算法，对每个数据元素调用函数Visit。
//补全代码,可用多个语句if(T)if(T){if(InOrderTraverse(T->lchild , Visit))if(Visit(T->data))if(InOrderTraverse(T->rchild , Visit)) return OK;return ERROR;}else return OK;} // InOrderTraverseStatus PostOrderTraverse( BiTree T, Status(*Visit)(ElemType) ) { // 后序遍历二叉树T的递归算法，对每个数据元素调用函数Visit。
//补全代码,可用多个语句if(T){if(PostOrderTraverse(T->lchild , Visit))if(PostOrderTraverse(T->rchild , Visit))if(Visit(T->data)) return OK;return ERROR;}else return OK;} // PostOrderTraverseStatus Dif_InOrder( BiTree T ) //中序遍历的非递归算法{BiTree S1;SqStack S2;S1 = T;InitStack(S2);while(S1 || S2.base != S2.top){if(S1){Push( S2, S1);S1 = S1-> lchild;}else{Pop(S2,S1);printf("%d ",S1->data);S1=S1->rchild;}}return OK;}Status Level( BiTree T ) /层次/遍历{BiTree S1, S3, S4;S1 = T;SqQueue S2;InitQueue(S2);EnQueue(S2,S1);while(S2.front != S2.rear){DeQueue(S2,S1);printf("%d ",S1->data);S3 = S1->lchild;S4 = S1->rchild;if(S3) EnQueue(S2,S3);if(S4) EnQueue(S2,S4);}return OK;}三.总结终于完成了这个实验报告，经过这次的磨练，我对数据结构这门学科有了更深的理解和感悟。