大学生数学竞赛复习
数学竞赛经验分享备考技巧题目分析答题心态等数学竞赛经验分享
数学竞赛经验分享备考技巧题目分析答题心态等数学竞赛经验分享在数学竞赛中取得好成绩需要有备而来。
以下是我分享的一些备考技巧、题目分析以及答题心态，希望能对大家在数学竞赛中有所启发。
备考技巧：1. 掌握考纲和考试要求：在备考前，了解各个数学竞赛的考纲和考试要求非常重要。
不同竞赛的考试内容和难度可能存在差异，所以要针对性地进行备考。
2. 夯实基础知识：数学竞赛并不追求生僻的知识点，而是要求对基础知识的掌握。
因此，在备考过程中，要注重巩固基础知识，将各个知识点融会贯通。
3. 刷题提高能力：刷题是备考的重要环节。
通过大量的练习，能够提高解题的速度和准确性。
初期可以选择一些基础题进行练习，逐渐提高难度，以提升自己的解题能力。
题目分析：1. 阅读题目：在参加数学竞赛时，首先要仔细阅读题目。
对于陈述不清晰的题目，可以用自己的语言重新描述一遍，确保自己理解清楚题意。
2. 分析解题方法：每道题都有多种解题方法，要学会分析题目的特点，选择最适合自己的解题方法。
有些题目可能需要用到多个方法结合，提高自己的解题灵活性。
3. 纸上演算：在开始计算之前，可以在试卷或草稿纸上进行演算，列出已知条件、求解步骤等，以免在解题过程中出现错误。
答题心态：1. 自信积极：数学竞赛中最需要的就是自信。
坚信自己的能力，并且积极面对每一道题目，相信自己可以解答出来。
2. 保持冷静：数学竞赛常常有时间限制，容易让人感到紧张。
但是在紧张时，要保持冷静，不要让情绪影响自己的判断和计算能力。
3. 遇到难题不放弃：数学竞赛中难题常常存在，遇到困难不要轻易放弃。
可以先尝试用自己熟悉的方法解题，如果无法解决，可以尝试一些其他的方法或者向他人请教。
数学竞赛是一个很好的提高数学能力和解决问题能力的平台。
通过备考技巧的学习和实践，掌握题目分析的方法和提高答题心态，相信每个人都能在数学竞赛中取得优异的成绩。
让我们一起享受数学竞赛的乐趣吧！。
大学生数学知识竞赛试题及复习资料
兴趣数学学问竞赛复习题一、填空题1、〔苏步青〕是国际公认的几何学权威，我国微分几何派的创始人。
2、〔华罗庚〕是一个传奇式的人物，是一个自学成才的数学家。
3、编有三角学，被称为“李蕃三角〞且自称为“三书子〞的是〔李锐夫〕。
4、世界上攻克“哥德巴赫揣测〞的第一个人是〔陈景润〕。
5、〔姜立夫〕是现代数学在中国最早而又最富成效的播种人〞，这是中国大百科全书和中国现代数学家传对他的共同评价。
6. 设有n个实数,满意<1(1,2,3,…), 12…1912+… ,那么n的最小值207. 三角形的一个顶点引出的角平分线,高线及中线恰将这个顶点的角四等分,那么这个顶角的度数为90°8. 某旅馆有2003个空房间,房间钥匙互不一样,来了2021们旅客,要分发钥匙,使得其中任何2003个人都能住进这2003个房间,而且每人一间(假定每间分出的钥匙数及每人分到的钥匙数都不限),最少得发出_16024把钥匙.9. 在凸1900边形内取103个点,以这2003个点为顶点,可将原凸1900边形分割成小三角形的个数为2104 .10. 假设实数x满意x4+36<13x2,那么f(x)3-3x的最大值为1811 ."我买鸡蛋时，付给杂货店老板12美分，"一位厨师说道，"但是由于嫌它们太小，我又叫他无偿添加了2只鸡蛋给我。
这样一来，每打(12只)鸡蛋的价钱就比当时的要价降低了1美分。
" 厨师买了＿18只鸡蛋12.f(x)∈[0,1],那么(x)+1的取值范围为[7/9,7/8]13. 函数ｆ〔ｘ〕及ｇ〔ｘ〕的定义域均为非负实数集，对随意的ｘ≥0，规定ｆ〔ｘ〕＊ｇ〔ｘ〕＝ｍｉｎ｛ｆ〔ｘ〕，ｇ〔ｘ〕｝．假设ｆ〔ｘ〕＝3－ｘ，ｇ〔ｘ〕＝，那么ｆ〔ｘ〕＊ｇ〔ｘ〕的最大值为〔2√3－1〕14．∈N,且满意342(1)=379(),设×103×102×10,那么M的值为1949 .15. 用E(n)表示可使5k是乘积112233…的约数为最大的整数k,那么E(150)= 297516. 从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，那么可有_2500种不同的取法．17. 从正整数序列1,2,3,4,…中依次划去3的倍数和4的倍数,但是其中是5的倍数均保存,划完后剩下的数依次构成一个新的序列1=12=23=54=7,…,那么A2003的值为3338.18. .连接凸五边形的每两个顶点总共可得到十条线段(包括边在内),现将其中的几条线段着上着颜色,为了使得该五边形中随意三个顶点所构成的三角形都至少有一条边是有颜色的那么n的最小值是＿ 419. x0=20031+ (n>1∈N),那么x2003的整数部分为200321. ≥01,2,…,2003,且a12+…2003=1,那么{a123, a234,…, a2}的最小值为3/2007 _.22. 对于每一对实数,函数f满意f(x)(y)()1,假设f(1)=1,那么使f(n)(n≠1)的整数n共有＿1个.23.在棱长为a的正方体内包容9个等球,八个角各放一个,那么这些等球最大半径是. (√3-3/2)a24.都不为0,并且有()()().那么有1 .二、选择题1、被誉为中国现代数学祖师的是〔1、C 〕。
高校数学模型竞赛复习资料及习题解析
高校数学模型竞赛复习资料及习题解析高校数学模型竞赛是一项重要的学术竞赛活动，旨在培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。
为了帮助参赛同学更好地准备比赛，本文将提供一些复习资料和习题解析。
一、复习资料1. 教材复习高校数学竞赛通常以大学数学课程为基础，因此熟悉相关教材是复习的基础。
首先，需要掌握大学数学分析、线性代数、概率论与数理统计等基础知识，并理解其基本概念和定理证明。
其次，需要学习相关课程的应用部分，如微分方程、最优化理论等。
2. 历年竞赛试题了解历年竞赛试题是复习的重要环节。
通过分析历年试题，可以了解竞赛的出题风格、难度以及题型变化趋势。
同时，可以找到一些典型的解题方法和思路，从而提高解题的效率和准确性。
历年试题可以通过高校数学竞赛官方网站、竞赛论坛或相关参考书籍获取。
3. 竞赛辅导材料为了帮助同学们更好地理解数学模型竞赛，一些教育机构和个人编写了一些辅导材料。
这些材料通常包括模型建立的方法、问题求解的思路以及典型题目的解析等内容。
可以选择一些受欢迎的辅导材料进行学习和参考。
二、习题解析在进行习题解析之前，有几点需要注意。
首先，对于每道习题，应该明确其所属的数学领域和解题思路。
其次，应该注重练习各种类型的题目，包括理论证明题、计算题和应用题等。
最后，要理解题目中所给条件和要求，并灵活运用所学知识进行解答。
接下来，我们将通过解析两道典型习题，来帮助大家更好地理解数学模型竞赛的解题方法。
1. 习题一：某公司生产产品A和产品B，每单位A产品需要花费2小时，每单位B产品需要花费3小时。
公司共有1000小时的生产时间。
如果公司希望利润最大化，应该生产多少单位的A产品和多少单位的B产品？解析：设生产A产品的单位数为x，生产B产品的单位数为y。
根据题目条件，可以列出如下两个方程：2x + 3y ≤ 1000目标函数：z = 3x + 2y通过解方程组可以求得最优解。
2. 习题二：某地区共有A、B、C三个汽车租赁公司，每个公司分别提供不同型号的车辆租赁服务。
全国大学生数学竞赛(非数学专业)复习讲义.docx
全国大学生数学竞赛（非数学专业）微分学一、基本概念与内容提要1.出参数方程确定的函数的导数则冬二 dy df 二 d )，/dx 二 ©'(/)二儿‘ dx dt dx dt dt 0(f) x t 'd 严⑴ d/ 二以⑴0(/)-0(/)0® 1dt(p\ty dx~ [©(ordt2.多元函数微分学全微分：衣二空血臬密•腸式不变^=—dx + — Jy + —dx oydx dy dz处的切线对和轴的斜率。
函数的连续性和可微、可导必须会用定义判断。
连续的混合高阶偏导数与求导顺序无关。
二元函数的偏导数存在是连续的既不充分乂不必要条件。
二元两数存在两个偏导数是可微的必要不充分条件。
偏导数连续是函数可微的充分不必要条件。
函数连续是可微的必要不充分条件。
全微分的近似计算：Az"卩人(兀，刃山+/；(x ，y)Ay 多元复合函数的求导法:z = /D/(O,v(O]— = —dt du dt dv dt偏导数的儿何意义：粼規示册緝奇成，，z = /(s) y = >o(x o Jo Zo)z = /[u(x,y),u(x,y)] 当M 出&(x, y) v = v(x, y) dz dz du dz dv—= ----- ---- 1 -- ---dx du dx dv dxf du . du fdu =—dx-\ --- dy dx dydv = ^dx^dydx dy隐函数的求导公式：隐函数F(X,)')F O 尘=_・dx F y台7 F隐函数F(x,)^) = 0 — = -一dx Ed~y _ *( F C( F d y 乔一去(一亍石F忑) J 比_ Pydu _ 1 3(F,G) dv _ 1 a (F,G) du _ 1 Q(F,G) Ox J 6(x,v) ' 8x‘ J 8(u.x) ' dy J 6(>\v)二、常考例题讲解用基本方法求导数1. 设函数y = y(x)由方程xe f(y) =e y\n29确定，其中于具有二阶导数,冃广工1,则器,CF72.已知函数z = w(x,y)e ax+,y9且— =0,确定a,b ,使得函数z =z(x,y)满足 dxdy82z dz 8z n -------------------- z = 0 • Cd c c oxoy ox dy求訝罷4. 己知＜2山(1 +戶)，求y = t — arctan e 1V 丿5. 设函数i 心，刃的所有二阶偏导数都连续，空=驾且/心,2切“,dx~ dy~W](x, 2x) = x 29 求 wfj (x, 2x).解:u(x,2x) = x 两边对兀求导,得到：山(兀,2兀)+ 2弘；(兀,2兀)=1,代入”|'(兀,2兀)=/求[-x 2得：弘；(兀,2兀)= - ；u[(x,2x) = x 2两边对 x 求导,得到:wfj (兀,2兀)+ 2U [2(X 92X ) = 2x ；\ — x~ u ； (x,2x)= 两边对 x 求导，得到 «2i (兀,2x) + 2M 22 (x,2x) = -x.以上两式与 驾=驾联立，乂二阶导数连续，所以u ；2=u ：\，故U^,2x) = --x 8x 2 dy2 12J " 3用全微分求解隐函数隐函数方程组ygzT[G(x,y,u,v) = OJ 』F,G)d(u.v)ar一加竺avaG-avFv GrD 巩化G) dy J Q(u,y)3.设函数/⑴有二阶连续的导数,5.设z = z(x,y)是方程F(z +上,z -一) = 0确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导 兀 y数，以及 F u (w,v) = F v (W ,v)^(),求证兀3密+小(兀+刃籍+)异笑=0 ox dxdy dy导数与极限、积分、微分方程等结合求函数表达式6.设函数/(%)在［0,+oo)上连续，在(0,+oo)上可导,一川科)满足帶+弊』2詁严必(1) .求函数广(x)(x>0)的表达式;⑵•若ME 求出册522 q其中0(t)具有一阶导数，曲线y = 0(f)与y=f e~uclii + —在匸1处相2e8.设一元函数W = /(r)当0。
全国大学生数学竞赛(非数学专业)复习讲义
全国大学生数学竞赛（非数学专业）复习讲义微 分 学一、基本概念与内容提要1. 由参数方程确定的函数的导数设⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ ， 则'')(')('/t t x y t t dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy ===⋅=ϕψ )('1)]('[)('')(')(')(''])(')('[)(222t t t t t t dx dt t t dt d dx dy dx d dx y d ϕϕϕψϕψϕψ⋅-=⋅==或 dt dx y dt dy ]'[''= 2.多元函数微分学z z u u u dz dx dy du dx dy x y x y z∂∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂∂全微分： dz 具有形式不变性。
()()()()00y000000,,,xz f x y f x y f x y x y z y y =⎧⎪⎨=⎪⎩、、偏导数的几何意义：和分别表示曲线在点，，x y 处的切线对轴和轴的斜率。
函数的连续性和可微、可导必须会用定义判断。
连续的混合高阶偏导数与求导顺序无关。
二元函数的偏导数存在是连续的既不充分又不必要条件。
二元函数存在两个偏导数是可微的必要不充分条件。
偏导数连续是函数可微的充分不必要条件。
函数连续是可微的必要不充分条件。
(,)(,)[(),()]x y z dz f x y x f x y ydz z u z v z f u t v t dt u t v t∆≈=∆+∆∂∂∂∂==⋅+⋅∂∂∂∂全微分的近似计算：多元复合函数的求导法： [(,),(,)](,)(,)z z u z vz f u x y v x y x u x v xu u v vu u x y v v x y du dx dy dv dx dy x y x y∂∂∂∂∂==⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂===+=+∂∂∂∂ 当，时， 22(,)0()()x x x y y y F F F dy d y dy F x y dx F dx x F y F dx∂∂==-=--⋅∂∂隐函数的求导公式：隐函数， ， ＋ (,,)0y x z zF F z zF x y z x F y F ∂∂==-=-∂∂隐函数， ， (,,,)0(,)(,,,)0(,)1(,)1(,)1(,)1(,),(,)(,)(,)(,)u v u v F FF F F x y u v FG u vJ G G G x y u v G G u v u vu F G v F G u F G v F G x J x v x J u x y J y v y J u y ∂∂=⎧∂∂∂===⎨=∂∂∂⎩∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-⋅=-⋅=-⋅=-⋅∂∂∂∂∂∂∂∂隐函数方程组： , ,二、常考例题讲解用基本方法求导数1. 设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy________________. 2. 已知函数,),(byax ey x u z +=且02=∂∂∂y x z ，确定b a ,，使得函数),(y x z z =满足02=+∂∂-∂∂-∂∂∂z yzx z y x z . 3. 设函数)(t f有二阶连续的导数，()1,r g x y f r ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求2222g g x y ∂∂+∂∂. 4. 已知()2ln 1arctan t t x e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d y dx . 5.设函数),(y x u 的所有二阶偏导数都连续，2222yux u ∂∂=∂∂且x x x u =)2,(，21)2,(x x x u ='，求)2,(11x x u ''. 解：x x x u =)2,(两边对x 求导，得到：1)2,(2)2,(21='+'x x u x x u ，代入 21)2,(x x x u ='求得：21)2,(22x x x u -='； 21)2,(x x x u ='两边对x 求导，得到：x x x u x x u 2)2,(2)2,(1211=''+''； 21)2,(22x x x u -='两边对x 求导，得到 x x x u x x u -=''+'')2,(2)2,(2221. 以上两式与2222yux u ∂∂=∂∂联立，又二阶导数连续，所以2112u u ''=''，故 x x x u 34)2,(11-=''用全微分求解隐函数5. 设),(y x z z =是方程0)1,1(=-+yz x z F 确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导数，以及0),(),(≠'='v u F v u F v u ，求证：022=∂∂+∂∂yz y x z x 和.0)(2232223=∂∂+∂∂∂++∂∂y z y y x z y x xy x z x导数与极限、积分、微分方程等结合求函数表达式6. 设函数)(x f 在),0[+∞上连续，在),0(+∞上可导，已知0)(lim 0='+→x f x 且函数)(22y x f u +=满足⎰⎰+≤+++=∂∂+∂∂2222.11222222y x t s dsdt t s y u x u （1）.求函数)0)((>'x x f 的表达式； （2）.若,0)0(=f 求.)1ln()(lim 20x x f x ++→7. 设函数y=f(x)由参数方程()()221x t t t y t ϕ⎧=+⎪>-⎨=⎪⎩确定，且()22341d y t dx =+，其中()t ϕ具有二阶导数，曲线()y t ϕ=与22132t u y edu e-=+⎰在t=1处相切，求函数()t ϕ.8．设一元函数()u f r =当0r <<+∞时有连续的二阶导数，且(1)0,(1)1f f '==，又u f =满足方程2222220u u u x y z ∂∂∂++=∂∂∂，试求()f r 的表达式。
数学竞赛备考攻略
数学竞赛备考攻略一、数学竞赛备考的秘诀在备考数学竞赛时，首先要做的是掌握基础知识。
只有打牢基础，才能在竞赛中游刃有余。
因此，建议同学们在备考过程中，要注重对基础知识的巩固和提升。
其次，要注重练习和实战。
通过大量的练习题和模拟考试，可以帮助同学们熟悉竞赛的考题类型和解题技巧，提高应试能力。
同时，也可以帮助同学们在竞赛中更加从容应对各种挑战。
另外，要注重思维的拓展和创新。
数学竞赛注重的不仅仅是计算能力，更重要的是逻辑思维和问题解决能力。
因此，同学们在备考过程中，要多思考、多探索，培养自己的创新意识和解决问题的能力。
二、数学竞赛备考的技巧在备考数学竞赛时，同学们可以尝试一些技巧来提高备考效率。
首先，可以尝试分块学习法，将知识点分成小块，逐一攻克，避免一次性学习过多内容导致混淆。
其次，可以尝试错题集法，将做错的题目整理成错题集，反复攻克，加深记忆。
另外，可以尝试背诵法，将重要公式、定理等内容进行背诵，提高记忆力和运用能力。
同时，也可以尝试固定时间复习法，每天固定时间进行复习，保持学习的连续性和稳定性。
三、数学竞赛备考的心态在备考数学竞赛时，同学们要保持良好的心态。
不要因为一时的困难而放弃，要坚持不懈，相信自己的能力。
同时，要保持乐观的心态，积极面对挑战，相信自己一定能取得好成绩。
另外，要保持自信，相信自己的实力和努力一定会得到回报。
同时，也要保持平和的心态，不要因为一时的得失而过分悲喜，要保持冷静，稳定地备考，取得好成绩。
通过以上的备考攻略和技巧，相信同学们一定能在数学竞赛中取得优异的成绩。
加油吧，未来的数学之星！。
大学数学比赛试题及答案
大学数学比赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是微分方程的解？A. \( y = e^x \)B. \( y = x^2 + 2x + 1 \)C. \( y = \ln(x) \)D. \( y = \sin(x) \)答案：A2. 函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) 的极大值点是：A. \( x = -1 \)B. \( x = 1 \)C. \( x = 2 \)D. \( x = 3 \)答案：B3. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式值是：A. 2B. 4C. -2D. -4答案：C4. 以下哪个级数是收敛的？A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)C. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \)D. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 圆的方程 \( x^2 + y^2 = r^2 \) 中，半径 \( r \) 为 5，则圆的面积是 ________。
答案：78.546. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 在区间 \( [0, \pi] \) 上的定积分是 ________。
答案：27. 矩阵 \( B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \) 的逆矩阵是 ________。
答案：\( \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \)8. 给定函数 \( g(x) = 2x^2 - 5x + 3 \)，其在 \( x = 2 \) 处的导数值是 ________。
大学生数学知识竞赛题库
大学生数学知识竞赛题库
一、竞赛介绍
该竞赛为大学生数学知识竞赛，旨在提高大学生的数学素养和综合应用能力。
竞赛内容包括数学知识与技能应用、数学模型的建立、分析、解决问题等。
二、竞赛题库
以下为该竞赛的题库示例：
1. 题目一
交换两个变量的值（不使用临时变量）。
示例：
输入: a = 1, b = 2
输出: a = 2, b = 1
2. 题目二
如果当前的月份数字为 m，第一天是星期 w，那么当月的天数
n 是多少？（不考虑闰年）
示例：
输入: m = 3, w = 2
输出: n = 31
3. 题目三
某工程项目需要两年时间完成，项目分为 n 个子任务，需要 m 个人来完成。
假设所有子任务可以分开进行，并且其完成时间不同，存在时间瓶颈。
设计一种算法，使得项目可以在两年内完成，同时
尽可能均衡各个子任务的完成时间。
示例：
输入: n = 5, m = 2, time = [12, 8, 10, 5, 7]
输出: [12, 10], [8, 7], [5]
三、总结
该竞赛题库涵盖了多个数学领域，从基础运算到综合应用均涉及，对于大学生的综合应用能力提高有很好的促进作用。
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e1' = a11e1 + a21e2 + a31e3 ,
' e2 = a12 e1 + a22 e2 + a32 e3 , ' e3 = a13e1 + a23e2 + a33e3 .
a + a + a = 1,
' 3 ' 1
1
的直角坐标系。相应的坐标变换公式为
1 ' m 1 x − y' + z ' , 在新的直角坐标系中， x= 2 2(2 + m 2 ) 2 + m2 ' 原平面的方程为：z = 0. 1 ' m 1 ' ' x − y + z, y = − 2 2 2 2(2 + m ) 2+m 2 m z=− y' − z'. 2(2 + m 2 ) 2 + m2
点的坐标变换公式： 点的坐标变换公式：
x = a1 + a11 x ' + a12 y ' + a13 z ' , y = a2 + a21 x ' + a22 y ' + a23 z ' , z = a3 + a31 x + a32 y + a33 z .
' ' '
这是从新坐标求旧 坐标， 坐标，下面还会讨 论从旧坐标来求新 坐标。 坐标。
' 1 ' e2 = (a11 , a21 , a31 ) = a12 e1 + a22 e2 + a32e3 ,
· O'
e1' e 2
e = (a13 , a23 , a33 ) = a13e1 + a23e2 + a33e3 .
' 3
e1
写成矩阵的形式
' e1' e2 ( ' e3 ) = ( e1 e2
a11 e3 ) a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
任何一点 P ,如果其旧坐标为( x, y, z ) ，新坐标 ' ' ' ' e3 为( x , y , z ), 那么
而
' uuu r e2 e' 3 OP = xe1 + ye2 + ze3 , O P• · ' uuur O ' ' ' ' ' ' ' O P = x e1 + y e2 + z e3 . ' e1 e uuuu r O ' 2 OO = a1e1 + a2 e2 + a3e3 . O r uuu uuuu' uuur r e1 ' OP = OO + O P ' ' ' ' ' ' = a1e1 + a2 e2 + a3e3 + x e1 + y e2 + z e3 .
x = c1 1 x ' + c 2 1 y ' + c 3 1 z ' , y = c1 2 x ' + c 2 2 y ' + c 3 2 z ' , z = c1 3 x + c 2 3 y + c 3 3 z .
' ' '
⇔ ( x, y, z ) = ( x , y , z )C
' ' '
练习：求过点(2,0,3)的平行于y轴的平面，使得它与曲面 y 2 + 9 xz = 60的交线是圆。
解：设过点P(2,0,3)平行于y轴的平面π 的法向量为( A,0, C ). 则π 的方程可表示为 : A( x − 2) + C ( z − 3) = 0 : 1 1 ' ' 以P(2,0,3)为原点e3 = ( A,0, C ).e1 = (C ,0, − A), 2 2 2 2 A +C A +C ' ' ' ' e2 = e3 × e1' =(0,1,0)为新的基本向量建立空间直角坐标系Pe1' e2 e3 .
问题：如何求正交矩阵C？
e c11 c12 c13 ' ' 'T 记： =c21 c22 c23 = e1 e2 e3 =e C e c c c 31 32 33
(
)
' 1 ' 2 ' 3
' ' 以原点为新原心，以为 e1' , e2 , e3新的基本向量建立 ' ' 空间直角坐标系 [O , e1' , e2 , e3 ], 坐标变换公式为：
写成矩阵的形式
x a1 a11 a12 y = a +a a22 2 21 z a a 3 31 a32 ' e1'的 e2 的
x' a13 y' . a23 a33 z ' ' e3 的
旧 坐 标
O的旧坐标
'
旧 坐 标
旧 坐 标
是互相垂直的单位向量, 因为e , e , e 是互相垂直的单位向量 即
' 1
' 2
' 3
1,当i = j; e ⋅e = 0,当i ≠ j.
' i ' j
从而可以得到下面一组正 交条件： 交条件：
a + a + a = 1, ⇔ e ⋅ e = 1
F ( x, y, z ) = XDX T + XB + c = 0 X = ( x, y, z ), B = (b1 , b2 , b3 )T ,
a11 D = a12 a 13 a12 a22 a23 a13 a23 a33
Φ( x, y, z ) = XDX T 称为F的二次项部分，是个二次型. 由线性代数的知识可知、存在一个正交矩阵C可把 二次型Φ( x, y, z )化为标准型.CDC T = diag (λ1 , λ2 , λ3 )
单叶双曲面和原平面的交线的方程为 1 ' m 1 ' m ' 2 ' 2 ( x− y ) + (− x− y) 2 2 2(2 + m 2 ) 2(2 + m 2 )
−( −
'
2 2(2 + m )
2
y ) =1
' 2
m 2 − 2 '2 '2 x + 2 y = 1. m +2
z =0 所以，当
x = 1+ t x = 1+ t 7 所以直母线有两条L1 : y = −4 , L2 : y = −4 − t , 4 z = 1− t 1 z = 1+ t 4
m2 − n2 = 0 如果:l = 0.上式化为 只有零解. 5m + 7 n = 0. 2 + m 2 − n 2 + 3m + n = 0 所以不妨假设l = 1.上式化为 解得 : 7 + 5m + 7 n = 0. 7 m = − (n + 1), 代入第一式得 : 49(n + 1)2 − n 2 − 105(n + 1) + 25n = −50. 5 1 7 从而有n1 = −1, m1 = 0, n2 = , m2 = − . 4 4
在新的坐标系[O, ]，二次曲面S的方程变为 Φ ( x ' , y ' , z ' ) = λ3 x '2 + λ3 y '2 + λ3 z '2 + 2( x ' , y ' , z ' )CB + c = 0
' Φ ( x ' , y ' , z ' ) = λ3 x '2 + λ3 y '2 + λ3 z '2 + 2b1' x ' + 2b2 y ' + 2b3' z ' + c = 0,
坐标变换
旧坐标系[O, e1 , e2 , e3 ]
O ' = (a1 , a2 , a3 )
' e3
新坐标系[O , e , e , e ] uuuu r ' OO = a1e1 + a2 e2 + a3e3 .
'
' 1
' 2
' 3
e3
O
' e2
e = (a11 , a21 , a31 ) = a11e1 + a21e2 + a31e3 ,
二次曲面：三元二次方程所表示的曲面
S = {( x, y, z ) ∈ R 3 : F ( x, y, z ) = a11 x 2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy 2b1 x + 2b2 y + 2b3 z + c = 0}