第六章 微分学基本定理及其应用
微分学基本定理
8.函数的奇偶性：
1) 定义：设函数 的定义域 关于原点对称.如果对于任意 ， 恒成立，则称 为偶函数；如果对于任意 ， 恒成立，则称 为奇函数.
34.介值定理的推论：在闭区间连续的函数必取得介于最大值 .
35.函数连续性定理：
1)函数的连续性：在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续.
2) 左连续右连续：如果 ，那么就称函数 在点 左连续；如果 ，那么就称函数 在点 右连续.如果函数在某区间上连续，且区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续.
10.函数的凹凸性：设函数 在区间 上连续，如果对 上任意两点 恒有 ，那么称 在 上的图形是(向上)凹的， 在区间 上是凹函数；如果对 上任意两点 恒有 ，那么称 在 上的图形是(向上)凸的， 在区间 上是凸函数.
11.基本初等函数初等函数双曲函数反双曲函数：
1)基本初等函数：(以下四类函数统称为基本初等函数)
函数
31.有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值.
32.零点定理：设函数 在闭区间 上连续，且 ，那么在开区间 内至少有一点 ，使 .
33.介值定理：设函数 在闭区间 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 及 ，那么对于 内至少有一点 ，使得 .
ii.反双曲余弦： ，该函数不具有奇偶性，定义域为 ，值域为 .
iii.反双曲正切： ，该函数是奇函数，定义域为 ，值域为 .
第六章 微分中值定理及其应用
由此可得
.
例2 设轴为镜面,光线由点处入射至上点R,经反射后过点Q(图6-2).试用光线沿最省时间的路径传播原理,验证光线反射规律:入射角等反射角.
图6-2
解 设光线由点P出发在平面镜上点R处反射后通过点Q,上述三点分别有坐标为,于是
,
,
光线走过总的路径为
.
因为光线是沿最省时间的路线传播,而光速是常数,所以通过求的极小值,便可确定点R的位置.为此令
由图6-2可见是入射角的余弦,而是反射角的余弦,于是有
即入射角等于反射角.
说明 由于本例是要证明,而不要求具体算出点R的坐标和的最小值,因此当由极值的必要条件推出了结果后,解题过程便告结束.这与通常求极值或最大(小)值的问题稍有不同.
于是解得唯一的极值点为
.
易见时,时,即为极小值点.由于唯一的极值点为最值点,因此当力F与水平方向夹角,力F最小.
注 力学中称为摩擦角.
例4 设函数
(n为正整数).
其中函数当时连续,且.试问点是否为的极值点?当它是极值点时,讨论它是何种极值点?
解 ,
不妨设,由连续函数的局部保号性,在某领域中.
证 因为为方程的n重根，于是该方程有2n个实根，现要证明有n个相异的实根。
=
方程以x=0为单根，重根，因为，由罗尔定理，使得于是有两个单根；又因
其中为二次多项式，故方程还有两个n-2重根。
由此可推测当导数增高一次，相异单根增加一个，但重根各下降一次，现用归纳法证明相应结论。
. பைடு நூலகம்
不妨设,于是有
.
在上对应用达布定理,使得
,
这样就证得
高等数学C上册教材目录
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第一章极限与连续
1.1 实数及其运算
1.2 数列的极限
1.3 函数的极限与连续
第二章导数与微分
2.1 导数的概念
2.2 导数的运算法则
2.3 高阶导数与隐函数求导
第三章微分中值定理与导数应用
3.1 中值定理及其应用
3.2 泰勒公式与应用
3.3 曲率与曲线的凹凸性
第四章不定积分
4.1 原函数及其性质
4.2 不定积分的基本性质与运算法则
4.3 定积分与不定积分的关系
第五章定积分
5.1 定积分的概念及其性质
5.2 牛顿-莱布尼茨公式与反常积分5.3 广义积分的判定与计算
第六章微积分基本定理与应用6.1 微积分基本定理
6.2 广义积分求导与积分
6.3 微分方程的初等解法
第七章距离与曲线积分
7.1 曲线的弧长与曲线积分
7.2 向量场与曲线积分
7.3 格林公式与曲线积分的应用
第八章多元函数微分学
8.1 多元函数及其极限
8.2 偏导数及其应用
8.3 隐函数与参数方程的求导
第九章多元函数微分学应用9.1 多元函数的极值及其求法9.2 条件极值与拉格朗日乘数法9.3 多元函数微分中值定理
第十章重积分
10.1 二重积分的概念及其性质10.2 三重积分
10.3 重积分的坐标变换
第十一章广义积分与无穷级数11.1 广义积分的收敛性
11.2 高尔顿定理与瑕积分11.3 幂级数与函数展开
第十二章常微分方程
12.1 常微分方程的基本概念12.2 一阶常微分方程的解法12.3 高阶常微分方程的解法
结语。
微分中的中值定理及其应用
微分中的中值定理及其应用微分中的中值定理是微积分中的基本定理之一，它在数学和物理学中具有重要的应用。
本文将介绍微分中的中值定理及其应用，并展示其在实际问题中的解决方法。
一、中值定理的概念与原理中值定理是微分学中的重要理论，它涉及到函数在某个区间上的平均变化率与瞬时变化率之间的联系。
其中最常见的三种形式为：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1. 罗尔定理罗尔定理是中值定理的基础，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a) = f(b)，则在开区间(a, b)上至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
罗尔定理可通过对函数在该区间的最大值和最小值进行讨论得出，它主要用于证明函数在某一区间上恒为常数的情况。
2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理的一种推广，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
拉格朗日中值定理的证明可以通过构造辅助函数g(x) = f(x) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]x来完成，它可以将任意两点间的斜率与函数在某一点的导数联系起来。
3. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的进一步推广，它的表述为：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则至少存在一点c，使得[f(b) - f(a)]/g(b) - g(a) = f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理可以用来研究函数间的关系，它提供了一种描述两个函数在某一区间上的变化率相等的条件。
二、中值定理的应用中值定理不仅仅是一种理论工具，还具有广泛的应用。
下面将介绍中值定理在实际问题中的应用案例。
1. 最速下降线问题最速下降线问题是求解两个给定点之间的最短路径问题。
微分中值定理及其应用
微分中值定理及其应用微分中值定理是微积分中的一个重要定理，也是微分学中的基本定理之一。
该定理通常用于研究函数在某一点的变化情况，可以推导出许多与函数极值、单调性、零点和曲率等相关的性质。
微分中值定理的数学表述如下：若函数f(x)在[a, b]区间内满足以下条件：1、f(x)在[a, b]区间内可导；2、f(a)和f(b)存在；则在[a, b]内必有一个点c满足：f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)其中，f'(c)表示在点c处的导数。
这个定理的意义可以用图示表示为以下：此外，微分中值定理也可以用于求函数的 Taylor 展开式和曲率等问题。
下面我们来看一些微分中值定理的应用实例。
例1：证明一次函数f(x) = kx + b的图像线性。
我们知道，要证明一条直线呈现线性图像，需要证明其斜率k是恒定不变的。
因此，我们可以利用微分中值定理进行证明。
由于f(x)是一个一次函数，因此它在[a, b]区间内可导。
我们设该区间的两个端点为a和b，于是由微分中值定理可知，在[a, b]区间内必有一个点c满足：f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)根据f(x) = kx + b的定义，我们可以计算出其导数：f'(x) = k因此，有：即k是[b, a]区间上两个点间f(x)的变化率的平均值。
也就是说，k是线性函数在任何两个点间斜率的平均值，从而证明了一次函数的图像呈现线性。
例2：证明一段周期函数的平均值等于零。
假设f(x)是一个具有周期T的函数，即f(x+T) = f(x)，我们需要证明其平均值为0，即：(1/T) * ∫f(x)dx = 0 （其中，积分区间为一个周期）我们首先对函数进行平移（或反演）操作，得到：由于g(x)的平均值为0，那么根据微分中值定理，我们可以得到：∃c∈[x, x+T]，使得g'(c) = g(x+T) - g(x) / T = 0即：由此可得：因此，f(x)的周期平均值为f(c)，而由于函数具有周期性，因此f(c)等于函数的平均值，即证明了我们的论点。
微分学基本定理
§3.1 微分学基本定理3.1.1罗尔（Rolle ）定理引理（费马(Fermat )） 若（1）函数)(x f 在),(δ x N 内有定义，且在),(δ x N 内恒有)()( x f x f ≤（或)()( x f x f ≥）（2）函数)(x f 在点 x 可导，则0)(=' x f 。
证明：就)()( x f x f ≤的情形加以证明。
∵)(x f 在点 x 可导，∴)()()( x f x f x f '='='-+，∵)()( x f x f ≤，∴当) ,(δ+∈ x x x 时，有0)()(≤-- x x x f x f ，当) ,( x x x δ-∈时，有0)()(≥--x x x f x f ，由极限的保号性可得： ,0)()(lim )()(≤--='='+→+x x x f x f x f x f x x,0)()(lim )()(≥--='='-→-x x x f x f x f x f x x .0)(=' x f 故2.5.2 罗尔(le Rol )定理定理 1 若函数)(x f （1）在闭区间],[b a 上连续，（2）在开区间),(b a 内可导，（3）且)()(b f a f =，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(=ξ'f 。
le Rol 定理的几何意义是：如果连续曲线)(x f y =除端点外处处都有不垂直于轴 x 的切线，且两端点处的纵坐标相等，那么其上至少有一条平行于ox 轴的切线。
注意：该定理要求)(x f 同时满足三个条件：在[b a ,]上连续，在（b a ,）内可导，且)()(b f a f =。
若)(x f 不能同时满足这三个条件，则结论就可能不成立。
证明：∵] ,[)(b a C x f ∈，∴)(x f 在[b a ,]上必有最大值M 和最小值m 。
数学系本科生课程设置与简介
数学系本科生课程设置与简介01101011 数学分析(1) mathematical analysis课程性质：专业基础课课内学时：112 学分：7简介：“数学分析”是数学专业最重要的一门专业课。
第一学期主要内容是分析基础。
第一章函数、第二章极限、第三章连续函数、第四章实数的连续性、第五章导数与微分、第六章微分基本定理及其应用、第七章不定积分、第八章定积分。
先修课要求：无教材及参考书：《数学分析讲义》刘玉琏傅沛仁编高等教育出版社适用专业：数学与应用数学开课学期：秋01101021 数学分析(2) mathematical analysis课程性质：专业基础课课内学时：144 学分：8简介：本学期将在此基础上继续学习级数和多元函数微分学。
级数是数学分析的重要组成部分，它分为数值级数和函数级数。
数值级数是函数级数的特殊情况，也是函数级数的基础；函数级数是表示非初等函数的一个重要的数学工具，它在自然科学、工程技术和数学本身都有广泛的应用。
多元函数微分学是一元函数微分学的推广，隐函数、反常积分与含参变量的积分、重积分和曲线积分与曲面积分。
并且对某些概念和定理作了进一步的发展。
先修课要求：数学分析(1)教材及参考书：《数学分析讲义》刘玉琏傅沛仁编高等教育出版社适用专业：数学与应用数学开课学期：春01101031 数学分析(3) mathematical analysis课程性质：专业基础课课内学时：40 学分：2简介：本学期将在此基础上继续学习级数和多元函数积分学。
多元函数积分学是一元函数积分学的推广，隐函数、反常积分与含参变量的积分、重积分和曲线积分与曲面积分。
并且对某些概念和定理作了进一步的发展。
先修课要求：数学分析(1) 、数学分析(2)教材及参考书：《数学分析讲义》刘玉琏傅沛仁编高等教育出版社适用专业：数学与应用数学开课学期：秋01101041 数学分析选讲 Selected Topics of Analysis课程性质：专业选修课课内学时：48 学分：2简介：数学分析教材自身科学规律概述、数学分析的思想方法与表达方式浅析、数学分析解题方法概述、关于数学分析中何种类型习题宜于用反证法证明的问题、形式逻辑与辩证逻辑方面易出现的错误及其分析、函数、数列极限、函数极限、函数的连续性、导数、中值定理与导数的应用、实数的基本定理、不定积分、定积分、数项级数、函数列与函数项级数、含参量正常积分、黎曼积分概念与性质，重积分的计算、曲线积分、曲面积分、各类积分间的联系、非正常积分、含参量非正常积分。
微分中值定理及其应用
微分中值定理及其应用一、本文概述《微分中值定理及其应用》是一篇深入探讨微分学中值定理及其在实际应用中的作用的学术性文章。
微分中值定理是数学分析领域中的一个核心概念，它建立了函数在特定区间内的变化与其导数之间的紧密联系。
本文旨在通过对微分中值定理的深入剖析，揭示其在理论研究和实际应用中的广泛价值。
文章首先介绍了微分中值定理的基本概念，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等。
这些定理不仅在数学分析中占有重要地位，而且在实际应用中发挥着重要作用。
接着，文章通过一系列实例展示了微分中值定理在几何、物理、工程等领域的应用，如曲线形状的判定、物体运动的分析、工程设计的优化等。
本文还关注微分中值定理在经济学、生物学等社会科学领域的应用。
通过引入这些领域的实际案例，文章进一步强调了微分中值定理在解决实际问题中的重要作用。
文章对微分中值定理的应用前景进行了展望，探讨了其在未来科学研究和技术发展中的潜在影响。
《微分中值定理及其应用》是一篇系统介绍微分中值定理及其在各个领域应用的综合性文章。
通过本文的阅读，读者可以全面了解微分中值定理的基本知识和应用技巧，为深入研究和实际应用打下坚实基础。
二、微分中值定理概述微分中值定理是微积分理论中的核心内容之一，它揭示了函数在某区间内与导数之间的紧密联系。
这些定理不仅为函数的研究提供了重要的工具，还在解决实际问题中发挥了重要作用。
微分中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理。
罗尔定理是微分中值定理的基础，它指出如果一个函数在某闭区间上连续，在开区间内可导，并且区间两端点的函数值相等，那么在这个开区间内至少存在一点，使得该点的导数值为零。
拉格朗日定理是罗尔定理的推广，它进一步指出，如果存在满足上述条件的点，那么该点的导数值等于函数在区间两端点值的差与区间长度的商。
柯西定理则是拉格朗日定理的推广，它涉及到两个函数在相同区间上的性质。
这些定理在实际应用中具有广泛的价值。
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当 x 0时
f ( x0 x) f ( x0 ) 0; x
根据函数f (x)在 x0可导的条件极限的保号性，便得到
f ( x0 ) ( x0 x) x
f ( x0 ) 0
f ( x0 )
f (
x0
)
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) 0
那末在(a, b)内至少有一点(a b)，使等式 f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意 : 与罗尔定理相比条件中去掉了 f (a) f (b).
结论亦可写成f (b) f (a) f ( ).
ba
y
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有
一点 C ,在该点处的切
A
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 x) x (0 1).
也可写成 y f ( x0 x) x (0 1).
拉格朗日中值公式又称有限增量公式.
拉格朗日中值定理又称有限增量定理.
拉格朗日中值公式的几种表达形式
1) f (b) f (a) f ( )(b a) (在a与b之间)
F ( x) 满足罗尔定理的条件,
则在(a, b)内至少存在一点, 使得 F () 0.
即 f () f (b) f (a) 0 ba
或 f (b) f (a) f ()(b a).
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函 数在这区间内某点处的导数之间的关系.
设 f ( x)在 [a,b] 上连续，在 (a,b)内可导, x0 , x0 x (a, b), 则有
例1 证明方程 x5 5x 1 0 有且仅有一个小于 1 的正实根.
证 设 f ( x) x5 5x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 3. 由介值定理 x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根. 设另有 x1 (0,1), x1 x0 ,使 f ( x1 ) 0. f ( x) 在 x0, x1 之间满足罗尔定理的条件,
所以 f ( x0 ) 0
罗尔（Rolle）定理 如果函数
(1) f ( x)在闭区间 [a, b]上连续, (2)在开区间(a, b)内可导, (3)且在区间端点的函数值相等，即 f (a) f (b),那末在 (a, b)内至少有一点(a b),使得函数 f ( x)在该点
的导数等于零，
C
y f (x)
M
B
N
D
线平行于弦 AB.
o a 1 x
2 b
x
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a) f (b).
弦AB方程为 y f (a) f (b) f (a) ( x a). ba
曲线 f ( x) 减去弦 AB,
所得曲线a, b两端点的函数值相等.
作辅助函数
F ( x) f ( x) [ f (a) f (b) f (a) ( x a)]. ba
f ( x) f () 0,
若 x 0, 则有 f ( x) f () 0; x
若 x 0, 则有 f ( x) f () 0; x
f()
lim
x 0
f ( x) x
f () 0;
f()
lim
x 0
f
(
x) x
f
()
0;
f ()存在,
f( ) f( ). 只有 f () 0.
第六章 微分学基本定理及其应用
6.1 中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理
一、罗尔(Rolle)定理
费马引理 设函数f(x)在点 x0的某领域 u( x0 )内有定义，并且
在 x0处可导，如果对任意的 x u( x0 ) ，有
f ( x) f ( x0 ) (或f ( x) f ( x0 ))
点C , 在 该 点 处 的 切 线 是
水 平 的.
C y f (x)
o a 1
2 b x
证 f ( x) 在 [a,b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M m. 则 f ( x) M .
由此得 f ( x) 0. (a, b), 都有 f () 0. (2) 若 M m. f (a) f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a), 则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) M . f ( x) f (),
至少存在一个 (在 x0, x1 之间),使得
f () 0. 但 f ( x) 5( x4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根.
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x) (1) 在闭区间[a, b]上连续; (2) 在开区间(a, b)内可导,
2) f ( ) f (b) f (a)
ba
(在a与b之间)
3) f (b) f (a) f [a (b a)](b a) (0 1)
那么 f ( x0 ) 0
证 不妨设x u( x0 ) 时，f ( x) f ( x0 )（如果 f ( x) f ( x0 )
可类似的证明）. 于是，对于 x0 x u( x0 ) ，有 f ( x0 x) f ( x0 )
从而当x 0时，
f ( x0 x) f ( x0 ) 0; x
关于罗尔定理的几点说明
1) 罗尔定理的三个条件对于结论的成立都是重要的. 2
例
f ( x) x 3 (1 x 1)
上例说明罗尔定理的条件是结论成立的充分条件, 但不
是必要条件.
例
sin x , 0 x
f ( x) 1 , x 0
2) 罗尔定理的结论中不是唯一的.
3) 将罗尔定理的条件1.2.换为[a,b]上可导,结论仍成立.
即 f '() 0
例如, f ( x) x2 2x 3 ( x 3)(x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1),
取 1, (1 (1,3)) f () 0.
几何解释:
y
在 曲 线 弧AB上 至 少 有 一