可转债的定价模型及数值解法

nmax-1,1
, … , 如此下去 ， 求得 Vj
nmax-1,1
max
-1
， 即得向量 V
nmax-1,k
nmax-1,1
。
重 复 上 述 步 骤 ，可 依 次 求 得 向 量 V 精度 ε ， 迭代直至范数
（k=2,3, … ）， 给 定
//V
nmax-1,k+1
-V
nmax-1
nmax-1,k
，…，V 。 从而得到每个格点对应的转债价值 Vj （j=
1,2, … ,jmax;n=1,2, … ,nmax）。 ３ 实证研究
选取海化转债 ( 转债代码 ：125822) 进行研究 ， 其基准股票
192,25] ， 由 于 第 四 年 数 据 不 足 一 年 ， 因 此 我 们 假 设 第 四 年 交
n n n n+1
3.1 (10)
-C1jVj+1 +C2jVj -C3jVj-1 =Zj
其中 ：
2
（2≤j≤jmax-1 ）
aj=
σ2Sj △tn △Sj +△Sj+1
2 2
， bj=
rSj△tn △Sj+△Sj+1
C1j=aj/2+bj，
n+1 n+1
C2j=1+r△tn+aj， C3j=aj/2-bj,C4j=1-aj
(8)
特别向下修正条款 ： 当任何连续 30 个交易日内有 20 个 交易日公司股票收盘价格的算术平均值不高于当时转股价 格的 90% 时 ， 公司董事会有权向下修正转股价格 ； 回售条款 ： 公司股票收盘价连续 20 个交易日低于当期 转股价的 70% ， 回售价格为可转债面值的 103% ； 回赎条款 ： 在转股期内 ， 若公司股票收盘价连续 20 个交 易日高于当期转股价的 130% ， 则公司有权 按 面 值 105%( 含 当期利息 ) 的价格赎回全部或部分转债 。 参数估计 股 价 波 动 率 ： 采 取 历 史 波 动 率 方 法 ， 设 Si 为 第 i 个 交 易 日的股票收盘价格 （i=0,1,2 … ,n ，i=n ）。 本文欲预测未来 30 天 的转债价值 ， 根据经验法则取 n=25 。 记 ui=log Si 则股票年波动率 σ 的估计为
方程 LV=0 的隐式差分格式为
n V -Vj σ2 2 Vj+1 -2Vj +Vj-1 V -V - j - Sj -rSj j+1 j-1 +rVj =0 2 2 △t n 2 △Sj +△Sj=1 △Sj +△Sj+1 2 2 n+1 n n n n n n
(9)
将 (8) 式 和 (9) 式 各 乘 以 1/2 再 相 加 得 Crank-Nicolson 差 分格式 。 此时 ， 方程 LV=0 变为如下的线性方程组
易时刻 。 对 未 来 30 天 交 易 时 刻 的 股 价 使 用 Monte-Carlo 方
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决 策 参 考
法进行模拟 。 设 tn 为当前时刻 ， 则
0
后 又 有 两 次 大 的 升 降 ， 至 2007 年 12 月 7 日 (3.1 年 左 右 ) ， 转 债价格为 294 元 。 通过模型预测 ( 图中 ● 所示 ) ， 转债价格将有 一次大的起落 。 从图 1 我们还可以得出 ， 模型价格与历史价 格走势基本一致的重要结论 。 在非转股期 ， 二者拟合较好 ， 平 均偏差约为 2.92% 。 进入转股期 ， 直至转股前 ， 模型价格普遍 低于实际价格 ， 平均偏差约 13.64% 。 这是因为本文只考虑回 赎条款 ， 忽略回售条款 ， 以及特别向下修正条款 。 回赎条款对 投资者而言相当于设置了一个收益上限 ， 它对投资者的价值 为负 。 相反 ， 回售条款和特别向下修正条款则是保护投资者 的 ， 它对可转债的价值为正 。 从模型的预测价格和实际的交 易价格走势来看 ( 见图 1 中的下子图所示 ) ， 二者拟合效果非 常好。 预测的海化转债价格对投资决策有着很好的参考价 值 ， 二者的平均偏差约为 5% 。
０
引言
可转换公司债券 ( 简称可转债 ) 是指发行人依照法定程
V>K(t)S(t) ；LV=0
若持有人终止持有 ， 而选择转股 ， 则
V=K(t)S(t) ；LV≥0
表述为线性互补问题 (Linear Complementary Problem) 为
≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥
序发行 、 在一定时间内依据约定的条件可以转换成股份的公 司债券 。 可转债是普通公司债券和认股权证的组合 ， 兼具债 权 和 股 权 双 重 属 性 ，是 国 际 资 本 市 场 上 世 纪 七 、八 十 年 代 兴 起的一种混合金融产品 (Hybrid Bonds) 。 我国在 1992 年首 次试点 ( 宝安转券 ) ， 截止目前 ， 已经发行约 50 多只可转债 ， 且有十多家公司拟发行可转债 。 因此 ， 对我国可转债的定价 研究具有重要的理论和现实意义 。 本文在不考虑信用风险和 回售条款条件下 ， 给出简化后的 Ayache Forsyth and Vetzal 模 型 ( 简 称 为 AFV 模 型 ) 。 以 海 化 转 债 ( 转 债 代 码 ：125822) 为 例 ， 用 Monte-Carlo 方 法 模 拟 股 价 运 动 ， 通 过 Crank-
LV=- 鄣V - σ S 鄣 V -rS 鄣V +rV=0 鄣t 2 鄣S 2 鄣t
其中 ，r 为无风险利率 ， 且设股票不分红 。
2 2
2
(2)
兑付可转债获得本金和利息 。 利息支付是离散的 。 根据无套利原理 ， 利 息 支 付 日 ti 前 后可转债价值应满足
+ + -
假设转股期及回赎期为可转债的存续期 ， 即从发行之日 至转债到期日 ， 持有人可在任何时刻选择转股 。 发行公司在 满足回赎条件时实施回赎 ， 并设触发价为 Sc 。 当 S(t) ≤Sc ， 或 者 S(t)>Sc ， 但 未 满 足 回 赎 条 件 时 ， 若 持 有
n+1 n+1
{(Sj,tn)|j=1,2, … ,jmax;n=1,2, … ,nmax}
记 Vj =V(Sj,tn) 为 转 债 在 格 点 上 的 价 值 。 △Sj=Sj-Sj-1,j=2,3, … ,jmax；△S1=0 。 △tn=tn-tn-1,n=2,3, … nmax；△t1=0 。 本文允许不等间 距分割 ， 在进行实证研究时也确实如此 。 方程 LV=0 的显式差分格式为
Vj
n,k+1
n+1 n,k+1 n,k =max{ 1 (Zj +C1jVj+1 +C3jVj-1 ),K(t)Sj} （k=0,1,2, …） (11) C2j
记向量
Vn,k=(V2 ,V3 , … ,Vj
nmax-1,1
n,k
n,k
n,k
max
1.7096 年 ， 利率为 2.39% 。 本文取均值 2.845% 作为海化转债 )T
t 时刻的转股价 。
边界条件
Nicolson 技术求解模型 ； 并给出海化转债的价格路径 。 １ 定价模型
设股价 S(t) 遵循几何布朗运动
V(S,t)=S(t)K(t)
法得到 。
m
（S→∞ ）
(4)
当 S →0 时 , 可 转 债 表 现 为 纯 债 券 ， 其 价 值 B(t) 可 用 贴 现
V(S,t)=B(t)=Σe
V(S(ti ),ti )=V(S(ti ),ti )-Ct ２ 数值求解格式
i
(7)
基金项目 ： 国家自然科学基金资助项目 (10161004) ； 东华理工大学校长基金资助项目 (DHXK0838)
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决 策 参 考
为山东海化 ( 股票代码 ：000822) ， 基本条款为 ： 在带状区域 {(S,t)|S>0,0≤t≤T} 上构造网格 ： 发行额度 ( 亿 ) ：10 ； 面额 ：100 元 ； 存续期间 ：5 年 ； 上市起始日 ：2004-9-23 ； 上市终止日 ：2009-9-7 ； 初始转股价 ：7.15 元 ；
||<ε
nmax-1
max
为止 ， 即得可转债的价值向量
V
nmax-2
nmax-1
=(V2 ,V3
1
nnmax-1
,…,Vj
-1
)T
n
最后再逐步倒推 ， 重复使用迭代公式 (11) ， 即可依次求出
V
，V
nmax-3
7 日后的海化转债价格作为模型预测价格的对照数据 。
统 计 可 得 每 年 两 者 都 有 交 易 的 交 易 日 数 M=[232,203,
n V -Vj σ2 2 Vj+1 -2Vj +Vj-1 V -V - j - Sj -rSj j+1 j-1 +rVj =0 2 2 △t n 2 △Sj +△Sj+1 △Sj +△Sj+1 2 2 n+1 n n+1 n+1 n+1 n
利率条款 ： 年利率依次为 1.5% 、1.8% 、2.1% 、2.4% 、2.7% ；
的无风险利率 。 转 股 价 ： 海 化 转 债 初 始 转 股 价 为 7.15 元 ，2005 年 5 月
-1
具体计算时 ， 先给定初值 Vn,0， 结合边界条件及终值条 件 ， 求得 V2 件 ， 求得 V3 ， 再由迭代公式 (11) 及初值 、 边界条件和终值条