数理方程试题
数理方程练习题（1）
数理方程练习题（1）一、填空题1．二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=（其中各系数均为x 和y 的函数）在某一区域的性质由式子：24B AC -的取值情况决定，取值为正对应的是（双曲）型，取值为负对应的是（椭圆）型，取值为零对应的是（抛物）型。
2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程：第一个叫（弦自由横振动），表达式为（2tt xx u a B u =），属于（双曲）型；第二个叫（热传导），表达式为（ 2t xx u a B u =），属于（椭圆）型；第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（0x x y yu u+=，(,)xx yy u u x y ρ+=-），属于（椭圆）型；二、选择题1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［ B ］(A) 260t xx u u xt u ++=；(B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C) ()220y xxxxy u x yuu +++=； (D) 340t x xx u u u ++=；2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ D ］(A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=；(C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=； 3. 定解问题()()()()()()2,0,00,,0,0,,0tt xx x x t u a u t x lu t u l t u x x u x xφ?=><<?==??==?的形式解可写成［ D ］(A) ()01,coscos2n n a n at n x u x t a ll ππ∞==+∑(B) ()001,coscosn n n at n x u x t a b t a llππ∞==++∑(C) ()0,cos sin cos n nn n at n at n x u x t a b l l l πππ∞=?=+∑(D) ()001,cos sin cos n n n n at n at n x u x t a b t a b l llπππ∞=??=+++??∑ 4. 若非齐次边界条件为12(0,)(),(,)()x u t t u l t t μμ==，则辅助函数可取［C ］(A) ()()12(,)W x t t x t μμ=+； (B) ()()21(,)W x t t x t μμ=+；(C) ()()()12(,)W x t x l t t μμ=-+； (D) ()()()21(,)W x t x l t t μμ=-+；三、求解下列问题（1）2,0,tt xx u a u t x =>-∞<<∞ ，其中a 为常数。
07级数理方程试题答案
07级数理方程试题答案07801-808数学物理方法期中测验试题一填空题（每题5分，共20分）1 现有一长度为l 的均匀细弦，弦的0x =端固定，x l =端受迫作简谐振动sin A t ω，弦的初始位移和初始速度都是零，那么弦的位移函数(),u x t 所满足的定解问题是（）。
2000(0,0),0,sin (0),0,0(0).tt xxx x l t t t u a u x l t u u A t t u u x l ω====?=<<>??==>??==≤≤?? 2 有一矩形薄板，其中板的一组对边绝热，而另一组对边中，一边的温度保持零度，另一边保持常温0u ，那么此矩形板的稳定温度分布所满足的定解问题是（）。
0000(0,0),0,0(0),0,(0).x x y y x x x x a y y b u u x a y b u u y b u u u x b ====?+=<<<<??=<<(,)u u f M t n αβΩ+=?），当（0β= ）就是第一类边界条件；当（0α= ）时，就是第二类边界条件。
4 积分()30x J x dx =?（）。
解利用递推公式1[()]()m mm m d x J x x J x dx-=和分部积分法，得32002321113212()[()][()]()2()()2().x J x dx x xJ x dxx d xJ x x J x x J x dxx J x x J x C ===-=-+?二求解下列本征值问题的本征值和本征函数（每题10分，共20分）（1） ()()0,(0)0,()0.X x X xX X l λ''+=??'==? （2）2'''2()()(9)()0,()0,|(0)|.r R r r R r r R r R a R μ?++-=?=<∞?解（1）因为我们已经知道，本征值0λ≥。
数理方程试题
2013-20141 数学物理方程（A ）数理学院 信计101-2、应数（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一．填空题（每小题3分，共15分）1．已知非齐次波动方程22222(,)(0,0)(0,)(,)0(0)(,0)(,0)0(0)u ua f x t t x l t x u u t l t t xx u u x x x l t ⎧∂∂=+><<⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪∂⎪==<<⎪∂⎩，若);,(τt x W 是初边值问题22222(,0)(0,)(,)0()(,)0,(,)(,)(0)W W a t x l t x W W t l t t x x W W x x f x x l t τττττ⎧∂∂=><<⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪∂⎪==<<⎪∂⎩的解（其中τ为参数），则由齐次化原理可得=),(t x u 就是原问题的解；2．已知1()f x 与2()f x 的傅里叶变换存在，则12()F f f *= ；3．偏微分方程22222222u u u ut x y z ∂∂∂∂=++∂∂∂∂的特征方程为 ；4．当 时，方程22220u uy x y∂∂-=∂∂的类型为双曲型；5．作未知函数的线性变换 可将方程组u u v x t x xv u v x t x x ∂∂∂⎧=+⎪⎪∂∂∂⎨∂∂∂⎪=+⎪∂∂∂⎩化为对角型方程组。
二．单项选择题：（每小题3分，共15分）1．对于一维波动方程下列结论正确的是：（ ）)A 左端点必须是第一类边界条件； )B 两个端点必须是同类边界条件； )C 第三类非齐次边界条件表示弹性支撑端； )D 上述说法都不对。
课程考试试题学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:2．将定解问题2222212(,)(0,0)(0,)(),(,)()0(,0)(),(,0)()0u u a f x t t x l t x uu t t l t t t x x u u x x x x x l t μμϕψ⎧∂∂=+><<⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪∂⎪==<<⎪∂⎩的边界条件齐次化，令),(),(),(t x W t x V t x u +=，则（ ）)A x lt t t t x W )()()(),(121μμμ-+=； )B )()(),(12t x t t x W μμ+=；)C )())((),(21t l x t t x W μμ+-=； )D l xt l x t t t x W 2)(2))()((),(1212μμμ+-=。
数理方程期末试题B答案
北 京 交 通 大 学2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ）（参考答案）学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____学号_______________ 姓名___________ __一、 计算题（共80分，每题16分）1．求下列定解问题（15分）2222201200,0,0,|,|,|0,|0.x x l t t u ua A x l t t x u M u M u u t ====⎧∂∂=+<<>⎪∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪==⎪∂⎩2．用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分）2,0,0,(,0)0,(,0)0,(0,)(),lim (,)0.tt xx t x u a u x t u x u x u t t u x t φ→+∞⎧=<<+∞>⎪==⎨⎪==⎩ 3． 设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。
初速度为零，又没有外力作用。
求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。
[ 解 ] 问题的定解条件是1(,)(cos sin )sin n a n a n n n l l l n u x t C t D t x πππ∞==+∑由初始条件可得0, 1,2,...n D n ==222202()sin d ()sin d =sin, 1,2,...c lh n hn n lc l l c l c hl n c lc l c n C x x x x l x x n ππππ--⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦=⎰⎰4．证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ，并由此求出波动方程的通解。
5．用分离变量法解下列定解问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂===><<+∂∂=∂∂====0|,0|0|,0|00sin sin 0002222222t t l x x l a l t uu u u t l x t x x u a t u ，，ππ [ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。
数理方程试卷及答案2
长沙理工大学考试试卷…………………………………………………………………………………………………………………试卷编号 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名…………………………………………………………………………………………………………………课程名称（含档次） 数学物理方程与特殊函数 课程代号专 业 层次（本、专） 本 科 考试方式（开、闭卷） 闭卷一．判断题：（本题总分25分，每小题5分）1．二阶线性偏微分方程062242=+++-y x yy xy xx u u u u u 属于椭圆型； （ ）2．定解问题的适定性包括解的稳定性、解的唯一性和解的存在性； （ ）3．如果格林函数),(0M M G 已知，且它在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数，又若狄利克雷问题⎩⎨⎧=Ω∈=∆Γ ).,,(|,),,(0z y x f u z y x u 在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数的解存在，那么其解可表示为=)(0M u dS nG z y x f ⎰⎰Γ∂∂-),,(； （ ） 4．设)(x P n 为n 次Legendre 多项式，则0)()(111050358⎰-=dx x P x P ； （ ）5．设)(x J n 为n 阶Bessel 函数，则[])()(021ax xJ a ax xJ dxd =． （ ） 二．解答题：（本题总分65分） 1．（本小题15分）设有一根长为l 的均匀细杆，它的表面是绝热的，如果它的端点温度为1),0(u t u =，2),(u t l u =，而初始温度为0T ，写出此定解问题．2．（本小题20分）利用固有函数法求解下面的定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====><<+=.0),(,0),0(,0)0,(,0)0,(),0,0(cos sin 2t l u t u x u x u t l x l x t A u a u x x t xx tt πω 其中ω,A 是常数．3．（本小题15分）求出方程xy u u yy xx =+的一个特解．第 1 页（共 2 页）4．（本小题15分）用试探法求解拉普拉斯方程狄氏问题：⎩⎨⎧+=≤≤<=∆ .sin cos ),()20,(,0),(22θθθπθθB A R u R r r u 三．证明题：（本题总分10分） 证明：函数⎰+-+++-=atx at x ds s a at x at x t x u )(212)()(),(ψϕϕ是下面的齐次方程的初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<-∞=).()0,(),()0,(),0,(2x x u x x u t x u a u txx tt ψϕ 的解．第 2 页（共 2 页）长沙理工大学试卷标准答案课程名称： 数学物理方程与特殊函数(B) 试卷编号：03一．判断题：（本题总分25分，每小题5分）1．×； 2．√； 3．√； 4．√； 5．×．二．解答题：（本题总分65分）1．（本小题15分）泛定方程：xx t u a u 2=，)0,0(><<t l x ； …………………5分 边界条件：1),0(u t u =，2),(u t l u =； …………………10分 初始条件：0)0,(T x u =． …………………15分2．（本小题20分） 泛定方程相应的齐次方程满足齐次边界条件的固有函数系为⎭⎬⎫⎩⎨⎧l x n πcos ，故可设方程的解为∑∞==0cos)(),(n n lx n t u t x u π， ……………5分 将它代入泛定方程，得l x t A l x n t u l a n t u n n n πωππcos sin cos )()(02=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+''∑∞=， ……………10分 于是),1(0)()(2≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛+''n t u l a n t u n n π .s i n )()(121t A t u l a t u ωπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+'' ……………12分 由初始条件，得 ),2,1(0)0()0( =='=n u u n n …………14分显然，当1≠n 时，0)(=t u n ；当1=n 时，解上面的微分方程得ττπωτπd t l a A a l t u t)(sin sin )(01-=⎰第1页（共3页）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=t l a l at l a a Al ωππωπωπsin sin 122， ……………18分 故所求的解为 l x t l a l at l a a Al t x u πωππωπωπcos sin sin 1),(22⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=。
数理方程题库
第一部分分离变量法一、(1) 求解特征值问题(2) 验证函数系关于内积正交,并求范数二、用分离变量法求解定解问题的解的表达式,写出具体的分离变量过程、进一步,当时,求与时的值、三、(方程非齐次的情形)求定解问题四、(边界非齐次的情形)求定解问题五、(Possion方程)求定解问题六、求定解问题:注意:1、考试只考四种边界条件,即还有以下三种:2)3)4)2、以上均为抛物型方程,还可以考双曲型方程(相应的初值条件变为两个)与椭圆型方程(无初值条件);3、考试中除特别要求(如以上的第二题)外,不要求必须用分离变量法、特征函数法等方法求解,您可以自己选择方法(如上面的第三题)可以用Laplace 变换求解。
第二部分 积分变换法一、请用下面三种方法求解无穷限波动问题()()2222200,, 0,,t t u u a x t t x u x x u x x t ϕψ==⎧∂∂=-∞<<∞>⎪∂∂⎪⎪=-∞<<∞⎨⎪∂⎪=-∞<<∞∂⎪⎩(1) 用积分变换法推导达朗贝尔公式(2) 用特征线法推导达朗贝尔公式 (3) 用降维法推导达朗贝尔公式二、用积分变换法求解定解问题22301,1, 0,1cos ,0y x u x y x y x y u x x u y y ==⎧∂=>>⎪∂∂⎪⎪=≥⎨⎪=>⎪⎪⎩注意:只考应用Fourier 变换与Laplace 变换求解方程的问题第三部分 特征线问题一、判断方程的类型、二、从达朗贝尔公式出发,证明在无界弦问题中(1) 若初始位移()x ϕ与初始速度()x ψ为奇函数,则(),00u t = (2) 若初始位移()x ϕ与初始速度()x ψ为偶函数,则(),00x u t = 三、请用下列方法求解定解问题(1) 用特征线法求解 (2) 用积分变换法求解第四部分 Legendre 多项式一、将()2f x x =在区间()1,1-内展成勒让德多项式的级数二、在半径为1的球内求调与函数,使1321cos r u θ==+(提示:边界条件仅与θ有关,解也同样)第五部分 Green 函数20、证明:()()0lim x x εεδρ→=(弱),其中 ()1,20,x x x εερεε⎧<⎪=⎨⎪≥⎩21、证明:()sin limN Nxx Nxδ→+∞=(弱) 22、证明:当时,弱收敛于23、求()()0x δξξπ-<<在()0,π上的余弦级数,并证明该级数若收敛于()x δξ- 24、求()()0x δξξπ-<<在()0,π上的正弦级数,并证明该级数若收敛于()x δξ-。
数理方程习题综合
例 1.1.1 设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程v xy =xy 的通解。
解 原方程可以写成 ð／ðx （ðv ／ðy ） =xy 两边对x 积分，得v y =¢（y ）+1/2 x 2Y,其中¢（y ）是任意一阶可微函数。
进一步地，两边对y 积分，得方程得通解为v （x,y ）=∫v y dy+f （x ）=∫¢（y ）dy+f （x ）+1/4 x 2y 2=f （x ）+g （y ）+1/4 x 2y 2其中f （x ）,g （y ）是任意两个二阶可微函数。
例1.1.2即 u(ξ,η) = F(ξ) + G(η),其中F(ξ),G(η)是任意两个可微函数。
例1.2.1设有一根长为L 的均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。
试确定该弦的运动方程。
取定弦的运动平面坐标系是O XU ,弦的平衡位置为x 轴，弦的长度为L ，两端固定在O,L 两点。
用u(x,t)表示弦上横坐标为x 点在时刻t 的位移。
由于弦做微小横振动，故u x ≈0.因此α≈0，cos α≈1,sin α≈tan α=u x ≈0,其中α表示在x 处切线方向同x 轴的夹角。
下面用微元法建立u 所满足的偏微分方程。
在弦上任取一段弧'MM ,考虑作用在这段弧上的力。
作用在这段弧上的力有力和外力。
可以证明，力T 是一个常数，即T 与位置x 和时间t 的变化无关。
事实上，因为弧振动微小，则弧段'MM 的弧长dx u xx xx ⎰∆++=∆21s ≈x ∆。
这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。
于是由Hooke 定律，力T 与时间t 无关。
因为弦只作横振动，在x 轴方向没有位移，故合力在x 方向上的分量为零，即 T(x+x ∆)cos α’-T(x)cos α=0.由于co's α’≈1，cos α≈1,所以T(X+∆x)=T(x),故力T 与x 无关。
数理方程试题
y 0, x 1
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
注： 1.试题请按照模板编辑，只写试题，不留答题空白； 2.内容请勿出边框。
n 2 ) , n 0,1, 2,... l (2n 1) 2 ] , n 1, 2,... D、 [ 2l
B、 (
二、填空题(每小题 4 分，共 24 分) 1、一个定解问题，如果解存在、唯一、稳定，则此定解问题称为 ) 2、方程 uxx 4uyy 0 化标准型时，所做的两个特征变换为 3、 L [
1 ( x) |a|
(a 0)
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊
C 、弱相等意义下 －函数是偶函数 D、Green 函数具有对称性 7、设球域 B(O, R) 内一点 M 0 ，则用静电源像法求格林函数时，关于像点 M ' 的说法正确的是 （ ）
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
A、 M 0 , M ' 的关系满足
OM 0 R R ，且 M ' 处放置负电荷，带电量为 OM 0 R M 0M '
1
。
1 ] ( s 2)( s 1)
（其中 L 表示 Laplace 变换）
4、Green 第二公式为
uv ____ dV u n v n ds
S
v
u
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
w s + w2
2
(Re s > 0)
B、 L[ f g ] L[ f ] L[ g ]
┊┊┊┊┊┊┊┊┊ ┊
三、 （9 分）利用达朗贝尔公式求解半无界弦问题
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数理方程试题一．判断题（每题2分）.1. 2u u x y x y x+=是非线性偏微分方程.( )2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( )3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式，则 ( )4. (,)0xy f x y =的解是调和函数.( )5. **12u u 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解，则**12u u -是0u ?= 的解.( )二．填空题（每题2分）.1. ()sin t xx yy u u u xt -+= 是____________型偏微分方程.2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布，当边界上温度为()t φ时，试建立方程的定解问题________________________.3. 2x 的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________.4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________.5. []()____________.at m L e t s = 三．求解定解问题（12分）20sin ;0,0;0.t xx xx xx lt u a u A t u u u ω===-====四．用积分变换方法求解以下微分方程（每题12分，共24分）（1）1,0,0;1,1.xy x y u x y uy u===>>=+=（2） 00230, 1.tt t y y y e y y =='''+-='==五．某半无界弦的端点是自由的，初始位移为零，初始速度为cos x ，求弦的自由振动规律。
（12分）六．设有长为a ，宽为b 的矩形薄板，两侧面绝热，有三边的温度为零，另一边的温度分布为x ，内部没有热源，求稳定状态时板内的温度分布。
（12分）七．判断下列方程所属类型并求其标准形式（8分）0xx yy yu xu +=八．叙述并证明Laplace 变换的微分性质和卷积性质。
（12分）数理方程试卷答案一判断题（1）X （2） X （3） V （4）V （4）V 二填空题（1）抛物（2）2222220,xx yyx y R u u x y R u φ+=?+=+=?? （3）0212()()33P x P x + （4）11[()()]()22x atx at x at x at t dt φφφ-+++--?（5）1!()m m s a +- 三解：有条件知固有值为 2()n n lπλ=，固有函数系为：cos ,0,1,2,...n n x n lπφ== （3分）设0(,)()cosn n n u x t T t x lπ∞==∑ 带入方程得20['()()()]cos sin n n n n a n T t T t x A t l lππω∞=+=∑ （2分） 02'()sin ()'()()()0(0)0n n n T t A t n a T t T t lT ωπ∴=+== （4分）得 0()(1c o s ),()0,1,2,...n AT t t T t nωω=-==（4分）(,)(1cos )Au x t t ωω∴=- （1分）四 .(1)解;对 (,)u x y 关于 y 作 Laplace 变换，不妨设 (,)[(,)]()U x p L u x y p = （1分）对方程两端同时作Laplace 变换得((,)1)1,d pU x p dx p -= （3分）(,)1dU x p pdx p∴= 2(,)1dU x p dx p= （3分）且211(0,)U p p p=+ 22111(,)U x p x p p p∴=+ （3分）(,)1u x y xy y ∴=++ （2分）（2）设()[()]()Y p L y t p = （1分）对原方程两端同时作Laplace 变换得：21()12()3()1p Y p pY p Y p p -+-=- （4分） 2311131()1614(1)163Y p p p p ∴=+---+ （3分） 3313()16416t t ty t e te e -∴=+- （4分）五．解：建立方程20000,00,cos 0tt xx t t t x x u a u x t u u xu===?=<<+∞>?==??=? （3分）由方程的边界条件，对原问题做偶延拓，得到无界弦的转动方程200'',0'0,'cos tt xx t t t u a u x t u u x===-∞<<+∞>== （4分）根据达兰贝尔公式得11'(,)cos sin cos 2x at x at u x t sds x at a a +-==? （3分）从而，原问题的解为11(,)cos sin cos 2x at x at u x t sds x at a a +-==? （2分）六．解：定解问题为0000,00,00,xx yy x x a y y b u u x a y bu u u u x ====?+=<<<==??==?? （2分）由初值条件得固有值 2( ),n nx a λ= 固有函数系为 ()sin ,1,2,...n n x X x n aπ== （2分）方程的解为0(,)()()n n n u x y X x Y y +∞==∑ =0sin()n n n xY y aπ+∞=∑ ()()0n n n Y y Y y λ''-= （2分）()n n ayy n n n Y y C eD eππ-∴=+代入原方程得 1(,)()sinn n aayy n n n n u x y C eD ex aπππ+∞-==+∑ 又 (,0)0,(,)u x u x b x ==解得00()sin sin n n n n b b b n n C D n n C e D ex x xdxa aππππ-+=+=? （3分） n b an bn b aan b an b n b an n e C e e eD eeππππππ---=-=- （3分）()()1(,)sinn b y n b y aa nb n b aan ee n u x y x aeeπππππ---+∞-=-∴=-∑（2分）七．解：显然 x ，y 不同时为零，xy ?=-，特征方程为2()0dy y x dx+= （1分）（1）当0xy ?=->时，方程式双曲型的。
（1分）0,0x y <>时，特征方程是dy dx =，解得331,2()x y c -±=，（1分）令 3322(),x y ξη=-=，得标准型为1()03u u u u ξηξξηηξη-+-=（1分）当 0,0y x <>时，特征方程是dy dx = 标准型为 1()03u u u u ξηξξηηξη-+-=（1分）（2）0xy ?=-= ，抛物型。
标准型为 0,xx u = 或0yy u =。
（1分）（3）0xy ?=-<，椭圆型。
特征方程解为 3 3221,2()x iy c -±=（1分）令 3322,x y ξη==，得标准型为1()03u u u u ξηξξηηξη+++=。
（1分）八．证明：微分性质[()]()[()]()(0)dL f t s sL f t s f dt=- （2分） 00[()]()()()()()(0)()[()]()(0)st st stst st d dL f t s e f t dtdt dt e df t f t e f t de f s e f t dt sL f t s f +∞-+∞+∞--+∞-+∞-===-=-+=-（3分）卷积性质1212[()*()]()[()]()[()]()L f t f t s L f t s L f t s = （2分）121200()12012012[()*()]()[()()][()()]()()[()]()[()]()tst s s t st st L f t f t s f f t d e dtf e f t e dt d f t e dt f t e dtL f t s L f t s τττττττττ+∞-+∞+∞---+∞+∞--=-=-==（5分）。