数理方程模拟试题1X
数理方程练习题(1)
一、填空题1．二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=（其中各系数均为x 和y 的函数）在某一区域的性质由式子：24B AC -的取值情况决定，取值为正对应的是（ 双曲 ）型，取值为负对应的是（ 椭圆）型，取值为零对应的是（ 抛物 ）型。
2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程：第一个叫（ 弦自由横振动 ），表达式为（2tt xx u a B u =），属于（双曲）型； 第二个叫（ 热传导 ），表达式为（ 2t xx u a B u =），属于（ 椭圆 ）型； 第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（0x x y yu u+=，(,)xx yy u u x y ρ+=-），属于（椭圆）型；二、选择题1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［ B ］(A) 260t xx u u xt u ++=； (B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C) ()220y xxxxy u x yuu +++=； (D) 340t x xx u u u ++=；2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ D ］(A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=；(C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=； 3. 定解问题()()()()()()2,0,00,,0,0,,0tt xx x x t u a u t x lu t u l t u x x u x xϕφ⎧=><<⎪==⎨⎪==⎩的形式解可写成［ D ］(A) ()01,coscos2n n a n at n x u x t a ll ππ∞==+∑(B) ()001,coscosn n n at n x u x t a b t a llππ∞==++∑(C) ()0,cos sin cos n nn n at n at n x u x t a b l l l πππ∞=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑(D) ()001,cos sin cos n n n n at n at n xu x t a b t a b l llπππ∞=⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦∑ 4. 若非齐次边界条件为12(0,)(),(,)()x u t t u l t t μμ==，则辅助函数可取［C ］ (A) ()()12(,)W x t t x t μμ=+； (B) ()()21(,)W x t t x t μμ=+； (C) ()()()12(,)W x t x l t t μμ=-+； (D) ()()()21(,)W x t x l t t μμ=-+；三、求解下列问题（1）2,0,tt xx u a u t x =>-∞<<∞ ，其中a 为常数。
数理方程30题
u(x,t) = cos at sin x
注记：如果用系数计算公式
∫ ∫ Cn
=
2 L
L sin(ξ ) sin(nξ )dξ
0
， Dn
=
2 nπa
L 0 × sin(nξ )dξ ，（n=1，2，……）
0
会得出同样结论。
例 8．用分离变量法求解双曲型方程初边值问题
⎧u ⎪⎪⎨u
[Cn
n=1
cos
nπ L
t
+
Dn
sin
nπ L
t]sin
nπ L
x
利用初值条件，得
∑ ∑ ∞ Cn
n=0
sin
nπ L
x
=
x(L −
x) ， π L
∞
nDn
n=0
sin
nπ L
x
=
0
为计算系数，首先令ϕ(x) = x(L − x) ，显然ϕ(0) = 0,ϕ(L) = 0 ，且
ϕ′(x) = L − 2x ，ϕ′′(x) = −2
x x
+ +
C1 C2
⎡ ∂ξ
构造变换：
⎧ξ ⎩⎨η
= =
2 sin 4 sin
x x
+ +
cos cos
y y
，
⎢ ⎢ ⎢
∂x ∂η
⎢⎣ ∂x
∂ξ ⎤
∂y ∂η
⎥ ⎥ ⎥
=
⎡2 ⎢⎣4
cos cos
x x
∂y ⎥⎦
− sin y⎤ − sin y⎥⎦
所以， a12 = 8sin 2 y cos2 x − 18cos2 x sin 2 y + 8cos2 x sin 2 y = −2 cos2 x sin 2 y
高三数学下学期第一次模拟考试试题理含解析试题1
卜人入州八九几市潮王学校HY第二高级2021届高三下学期第一次模拟考试数学〔理〕试题一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1.设集合A=那么A B="(")A. B.〔3，4〕 C.〔-2，1〕 D.〔4+〕【答案】B【解析】试题分析：因为，又因为，所以.考点：解不等式求交集.【此处有视频，请去附件查看】2.复数，那么对应的点所在的象限为〔〕A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算法那么进展化简，结合一共轭复数以及复数的几何意义进展判断即可.【详解】那么，对应的点的坐标为，位于第四象限此题正确选项：【点睛】此题主要考察复数的几何意义，结合复数的运算法那么进展化简是解决此题的关键，属于根底题.3.以下函数中，是偶函数且在区间上单调递减的函数是〔〕A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】由奇函数和偶函数图象的对称性，根据的图象和的定义域便可判断出错误，而由的单调性便可判断选项错误，从而得出正确．【详解】选项：根据的图象知该函数非奇非偶，可知错误；选项：的定义域为，知该函数非奇非偶，可知错误；选项：时，为增函数，不符合题意，可知错误；选项：，可知函数为偶函数，根据其图象可看出该函数在上单调递减，可知正确.此题正确选项：【点睛】此题考察奇函数和偶函数图象的对称性，函数单调性的问题，属于根底题．4.函数的最小正周期为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用二倍角的余弦公式化简函数解析式，然后利用周期公式可求答案．【详解】函数的最小正周期为：此题正确选项：【点睛】此题考察三角函数的周期性及其求法，考察二倍角的余弦公式，属根底题．5.以下说法错误的选项是〔〕A.，那么〞B.“〞是“〞的充分不必要条件C.存在，使得，那么:对任意，都有D.假设且【答案】D【解析】【分析】正确；解方程得到解集和的包含关系，结合充要条件的断定可知错误，由此可得结果.【详解】，那么〞，可知正确；选项：由，解得，因此“〞是“〞的充分不必要，可知正确；对任意，都有，可知正确；选项：由且不正确.此题正确选项：【点睛】此题考察了简易逻辑的断定方法、方程的解法，考察了推理才能与计算才能，属于根底题.6.在等差数列中，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质，结合前项和公式直接求解即可．【详解】在等差数列中，此题正确选项：【点睛】此题考察等差数列的前项和的求法，是根底题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．7.函数的零点所在的区间是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：函数零点在区间〔e，3〕内考点：函数零点存在性定理8.二项式的展开式中，常数项为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，再求得常数项．【详解】二项式的展开式的通项公式为令，求得故展开式中的常数项为此题正确选项：【点睛】此题主要考察二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于根底题．9.执行如下列图的程序框图，假设，那么输出的为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，当时，不满足条件，退出循环，输出的值．【详解】执行如下列图的程序框图，有满足条件，有，；满足条件，有,；满足条件，有，；满足条件，有，；不满足条件，退出循环，输出的值是此题正确选项：【点睛】此题考察了程序框图和算法的应用问题，是对框图中的循环构造进展了考察，属于根底题.10.椭圆左右焦点分别为，双曲线的一条渐近线交椭圆于点，且满足，椭圆的离心率为，那么双曲线的离心率〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用椭圆的离心率，设出椭圆方程，假设点坐标，利用和在椭圆上构造方程组，解得结果代入渐进性方程，得到的关系，再利用双曲线之间的关系，求解离心率即可．【详解】椭圆左右焦点分别为，椭圆的离心率为不妨令，那么所以椭圆方程为：双曲线的一条渐近线交椭圆于点，且满足可设，可得，那么：，解得：代入双曲线方程渐近线方程，可得双曲线的离心率为：此题正确选项：【点睛】此题考察椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，利用垂直关系和点在椭圆上建立方程组，求得双曲线之间满足的关系是解题关键.11.假设抛物线上一点到焦点和抛物线的对称轴的间隔分别为和，那么的值是〔〕A. B. C.或者 D.或者【答案】C【解析】设P(x0,y0),那么∴36=2p,即p2-20p+36=0.解得p=2或者18应选C.12.满足不等式组，设的最小值为，那么函数的最小正周期为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义求出的值，然后根据三角函数的周期公式进展求解即可．【详解】作出不等式组对应的平面区域，如以下列图阴影局部所示：的几何意义是区域内的点到定点的间隔的平方由图象知的间隔最小此时最小值为那么最小正周期此题正确选项：【点睛】此题主要考察三角函数周期的计算以及线性规划的应用，根据线性规划中间隔型问题的求解方法求出的值是解决此题的关键．二、填空题〔每一小题5分，总分值是20分，将答案填在答题纸上〕13.向量，假设，那么__________．【答案】【解析】【分析】利用向量平行的性质直接构造方程求解．【详解】向量，且，解得：此题正确结果：【点睛】此题考察向量平行的性质，属于根底题．14.假设，那么的值是__________．【答案】2【解析】试题分析：∵，易得，故答案为.考点：定积分的计算.15.在中，内角所对的边分别为，，当的面积最大时，__________．【答案】0【解析】【分析】利用正弦定理将边化角，得出，利用正弦定理求出，带入面积公式可得关于的函数，从而得出面积最大时对应的的值，进而求得．【详解】，由正弦定理可得：又由可得：或者或者〔舍去〕，由正弦定理可得当时获得最大值，此时此题正确结果：【点睛】此题考察了三角恒等变换，正弦定理，三角形的面积公式，关键是可以通过正弦定理对边角关系式进展化简，从而得到角之间的关系．16.设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，那么此点到直线的间隔大于的概率是__________．【答案】【解析】【分析】作出可行域，找到点到直线间隔等于的临界状态，从而找到符合题意的区域，以面积为测度，可求得概率．【详解】如图，不等式对应的区域为及其内部其中求得直线交轴于点当点在线段上时，点到直线的间隔等于要使点到直线的间隔大于，那么点应在内〔或者其边界〕因此，根据几何概型计算公式，可得所求概率此题正确结果：【点睛】此题考察几何概型，确定符合条件要求的点构成的区域是解决此题的关键．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17.在中，〔1〕求的值；〔2〕假设为的中点，求的长.【答案】〔1〕〔2〕【解析】试题分析：〔Ⅰ〕在三角形中，，再求出，代入即得；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得，再由正弦定理得，解得．在中，用余弦定理可求得.试题解析：〔Ⅰ〕且，∴2分4分6分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得8分由正弦定理得，即，解得．10分在中，，所以12分考点：1、三角恒等变换；2、解三角形.18.设数列的前项和为，〔1〕设，证明数列是等比数列；〔2〕求数列的通项公式.【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕【解析】试题分析：〔1〕先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等比数列定义进展证明〔2〕先求由变形得，根据等差数列定义求，即得数列的通项公式试题解析：〔1〕由及，有∵.①∴.②②－①得，∴，设，那么．且．∴数列是首项为3，公比为2的等比数列．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得，∴，∴，设，那么,∴．∴{}是以为首项，公差为的等差数列．∴，∴．19.椭圆的离心率为，其中左焦点.〔1〕求出椭圆的方程；〔2〕假设直线与曲线交于不同的两点，且线段的中点在曲线上，求的值.【答案】〔1〕〔2〕或者【解析】【分析】〔1〕根据离心率和焦点坐标求出，从而得到椭圆方程；〔2〕将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出点横坐标，代入直线得到坐标；再将代入曲线方程，从而求得.【详解】〔1〕由题意得：，解得：，所以椭圆的方程为：〔2〕设点，，线段的中点为由，消去得由，解得：所以，因为点在曲线上所以解得：或者【点睛】此题考察直线与椭圆的综合应用问题，关键是可以通过联立，将中点坐标利用韦达定理表示出来，从而利用点在曲线上构造方程，求得结果.20.函数〔1〕当时，求曲线在处的切线方程；〔2〕求函数的单调区间.【答案】〔1〕〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕利用解析式求出切点坐标，再利用导数求出切线斜率，从而得到切线方程；〔2〕求导后可知导函数的正负由的符号决定；分别在，和三种情况下讨论的正负，从而得到导函数的正负，进而确定的单调区间；在讨论时要注意的定义域与的根的大小关系.【详解】当时，，那么又，所以在处的切线方程为，即〔2〕由函数，得：当时，又函数的定义域为所以的单调递减区间为当时，令，即，解得：当时，所以变化情况如下表：极小值所以的单调递减区间为，；单调递增区间为当时，所以变化情况如下表：极大值所以的单调递增区间为；单调递减区间为，【点睛】此题考察利用导数的几何意义求解切线方程、讨论含参数函数的单调性问题；解决含参函数单调性问题的关键是对于影响导函数符号的式子的讨论；此题的易错点是在讨论过程中忽略最高次项系数为零的情况和函数的定义域的影响.21.袋中装有黑色球和白色球一共个，从中任取个球都是白色球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸出个球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，，摸后均不放回，直到有一个人摸到白色球后终止，每个球在每一次被摸出的时机都是等可能的，用表示摸球终止时所需摸球的次数.〔1〕求随机变量的分布和均值；〔2〕求甲摸到白色球的概率.【答案】(1)分布列见解析，E(X)＝2.(2)P(A)＝.【解析】分析：〔1〕由先出白子个数，进而可得随机变量X的概率分布列和数学期望；〔2〕记事件A为“甲摸到白色球〞，那么事件A包括以下三个互斥事件：A1＝“甲第1次摸球时摸出白色球〞；A2＝“甲第2次摸球时摸出白色球〞；A3＝“甲第3次摸球时摸出白色球〞，利用互斥事件概率加法公式可得.详解：设袋中白色球一共有x个，x∈N*且x≥2，那么依题意知＝，所以＝，即x2－x－6＝0，解得x＝3(x＝－2舍去)．(1)袋中的7个球，3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝.随机变量X的分布列为X 1 2 3 4 5P所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝2.(2)记事件A为“甲摸到白色球〞，那么事件A包括以下三个互斥事件：A1＝“甲第1次摸球时摸出白色球〞；A2＝“甲第2次摸球时摸出白色球〞；A3＝“甲第3次摸球时摸出白色球〞．依题意知，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，所以甲摸到白色球的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.点睛：此题考察的知识点是古典概型的概率计算公式，随机变量的分布列和数学期望，互斥事件概率加法公式.22.直线的参数方程为〔为参数〕，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为〔1〕求圆的直角坐标方程；〔2〕设圆与直线交于点，假设点的坐标为，求【答案】(1).(2).【解析】〔1〕由，可得，即．〔2〕将的参数方程代入圆的直角坐标方程，可得，即．由于，故可设，是方程的两个实根，由根与系数关系可得，，又直线过点，故．23..〔1〕当时，求不等式的解集；〔2〕假设时不等式成立，求的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.详解：〔1〕当时，，即故不等式的解集为．〔2〕当时成立等价于当时成立．假设，那么当时；假设，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．点睛：该题考察的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进展分类讨论，求得结果.。
高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题Word版含答案
天水市一中级—第二学期第一次模拟考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知(－1＋3i)(2－i)＝4＋3i(其中i 是虚数单位，是z 的共轭复数)，则z 的虚部为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i2．如图，已知R 是实数集，集合A ＝{x |log 21(x －1)＞0}，B ＝{x |x 2x －3＜0}，则阴影部分表示的集合是( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(0,1)D ．(0,1]3．已知命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x ＜3x；命题q ：∀x ∈2π，tan x ＞sin x ，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(q )C ．(p )∧qD ．p ∧(q )4．有4位同学参加某智力竞赛，竞赛规定：每人从甲、乙两类题中各随机选一题作答，且甲类题目答对得3分，答错扣3分，乙类题目答对得1分，答错扣1分．若每位同学答对与答错相互独立，且概率均为21，那么这4位同学得分之和为0的概率为 ( )A.6411B.43C.83D.1611 5．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则→OA ＋→OB ＋→OC ＋→OD等于 ( )A.→OM B ．2→OM C ．3→OM D ．4→OM 6.设 a ＞b ＞1，，给出下列三个结论：① ＞ ；② ＜ ； ③，其中所有的正确结论的序号是.A ．① B.① ② C.② ③ D.① ②③7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的斜率是( )A ．4B ．3C ．2D ．19．某程序框图如图所示，若输出的k 的值为3，则输入的x 的取值范围为( )A ．[15,60)B ．(15,60]C ．[12,48)D ．(12,48]10．已知P (x ，y )为平面区域a ≤x ≤a ＋1y2－x2≤0(a ＞0)内的任意一点，当该区域的面积为3时，z ＝2x －y 的最大值是( )A ．1B ．3C ．2D ．611．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－25，则数列an 1的前n 项和T n ＝( )A ．－2n ＋1n B.2n ＋1n C ．－2n ＋12n D.2n ＋12n12．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，且倾斜角为4π的直线与抛物线交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线经过点(0,2)，M 为抛物线上的一个动点，则M 到直线l 1：5x －4y ＋4＝0和l 2：x＝－52的距离之和的最小值为( )A.4141B.3131C.4141D.3131第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．双曲线Γ：a2y2－b2x2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．14．已知(1－2x )5(1＋ax )4的展开式中x ． 15.已知，则不等式的解集为16．在棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AC 1，A 1B 1的中点，点P 在其表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于________． 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cos C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列；(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．18．(本小题满分12分)某调查机构从某县农村淘宝服务网点中随机抽取20个网点作为样本进行元旦期间网购金额(单位：万元)的调查，获得的所有样本数据按照区间[0,5]，(5,10]，(10,15]，(15,20]，(20,25]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据样本数据，试估计样本中网购金额的平均值；(注：设样本数据第i组的频率为p i，第i组区间的中点值为x i(i＝1,2,3,4,5)，则样本数据的平均值为＝x1p1＋x2p2＋x3p3＋x4p4＋x5p5)(2)若网购金额在(15,25]的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点．从这20个服务网点中任选2个，记ξ表示选到优秀服务网点的个数，求ξ的分布列及数学期望．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，SA＝1，AB＝2，SB＝，平面SAB⊥底面ABCD，直线SC与底面ABCD所成的角为30°.(1)证明：平面SAD⊥平面SAC；、(2)求二面角BSCD的余弦值．20.(本小题满分12分)已知椭圆C ：a2x2＋b2y2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2(2,0)，点P 315在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为－1的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，使得|F 1M |＝|F 1N |(F 1为椭圆的左焦点)？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，g (x )＝ex x2，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y －3＝0平行．(1)求证：方程f (x )＝g (x )在(1,2)内存在唯一的实根；(2)设函数m (x )＝min{f (x )，g (x )}(min{p ，q }表示p ，q 中的较小者)，求m (x )的最大值．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线Γ. (1)写出Γ的参数方程；(2)设直线l ：3x ＋2y －6＝0与Γ的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －a |.(1)若f (x )＜b 的解集为{x |－1＜x ＜2}，求实数a 、b 的值；(2)若a ＝2时，不等式f (x )＋m ≥f (x ＋2)对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围．数学(理科)答案1．解析：选A.因为＝2－i 4＋3i ＋1－3i ＝2＋i 2＋i＋1－3i ＝1＋2i ＋1－3i ＝2－i ，所以z ＝2＋i ，z 的虚部为1，故选A.2．解析：选D.由题可知A ＝{x |1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜23}，且图中阴影部分表示的是B ∩(∁R A )＝{x |0＜x ≤1}，故选D.3．解析：选C.根据指数函数的图象与性质知命题p 是假命题，则綈p 是真命题；根据单位圆中的三角函数线知命题q 是真命题，故选C.4..解析：选A.每人的得分情况均有4种可能，因而总的情况有44＝256种，若他们得分之和为0，则分四类：4人全选乙类且两对两错，有C 42种可能；4人中1人选甲类对或错，另3人选乙类全错或全对，有2C 41种可能；4人中2人选甲类一对一错，另2人选乙类一对一错，有C 42×2×2种可能；4人全选甲类且两对两错，有C 42种可能．共有C 42＋2C 41＋C 42×2×2＋C 42＝44种情况，因而所求概率为P ＝25644＝6411，故选A.5．解析：选D.因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 的交点，所以→OA ＋→OC ＝2→OM ，→OB＋→OD ＝2→OM ，所以→OA ＋→OB ＋→OC ＋→OD ＝4→OM，故选D. 6.【答案】D【解析】由不等式及a ＞b ＞1知，又，所以＞，①正确;由指数函数的图像与性质知②正确；由a ＞b ＞1，知，由对数函数的图像与性质知③正确.7案： B 提示：四棱锥的底面垂直与水平面。
高考数学(理科)模拟试题含答案(一)精编版
高考数学(理科)模拟试题含答案(一)精编版高考理科数学模拟试题精编(一)注意事项：1.作答选择题时，在答题卡上涂黑对应选项的答案信息点。
如需改动，先擦干净再涂其他答案。
不得在试卷上作答。
2.非选择题用黑色钢笔或签字笔作答，写在答题卡指定区域内。
如需改动，先划掉原答案再写新答案。
不得用铅笔或涂改液。
不按要求作答无效。
3.答题卡需整洁无误。
考试结束后，交回试卷和答题卡。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
)1.设全集Q={x|2x²-5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是()A。
3B。
4C。
7D。
82.若复数z=m(m-1)+(m-1)i是纯虚数，其中m是实数，则z=()A。
iB。
-iC。
2iD。
-2i3.已知等差数列{an}的公差为5，前n项和为Sn，且a1，a2，a5成等比数列，则S6=()A。
80B。
85C。
90D。
954.XXX每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口。
已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒。
如果XXX每天到路口的时间是随机的，则XXX上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是()A。
4/5B。
3/4C。
2/3D。
3/56.已知p：a=±1，q：函数f(x)=ln(x+a²+x²)为奇函数，则p 是q成立的()A。
充分不必要条件B。
必要不充分条件C。
充分必要条件D。
既不充分也不必要条件7.(省略了一个选项) 327.(1+x²+4x)²的常数项为()A。
120B。
160C。
200D。
2408.我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为()A。
3.119B。
2023年高考数学模拟考试卷及答案解析(理科)
2023年高考数学模拟考试卷及答案解析（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()()()1i 12i 1z z +=+-，则复数z 的实部与虚部的和为（）A ．1B ．1-C ．15D ．15-【答案】D【分析】根据复数的运算法则求出复数43i 55z -+=，则得到答案.【详解】(1i)(2i 1)(2i 1)z z +=-+-(2i)2i 1z -=-，2i 1(2i 1)(2i)43i 43i 2i 5555z --+-+====-+-，故实部与虚部的和为431555-+=-，故选：D.2．已知()f x =A ，集合{12}B x ax =∈<<R ∣，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[2,1]-B ．[1,1]-C ．(,2][1,)-∞-+∞ D ．(,1][1,)∞∞--⋃+【答案】B【分析】先根据二次不等式求出集合A ，再分类讨论集合B ，根据集合间包含关系即可求解.【详解】()f x =A ，所以210x -≥，所以1x ≥或1x ≤-，①当0a =时，{102}B x x =∈<<=∅R∣,满足B A ⊆，所以0a =符合题意；②当0a >时，12{}B x x a a=∈<<R∣，所以若B A ⊆，则有11a≥或21a≤-，所以01a <≤或2a ≤-（舍）③当0<a 时，21{}B x x aa=∈<<R ∣，所以若B A ⊆，则有11a≤-或21a≥（舍），10a -≤<，综上所述，[1,1]a ∈-，故选：B.3．在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离（1d ，单位：m ）与制动距离（2d ，单位：m ）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度v （单位：km/h ）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述1d ，2d 与v 的函数关系的是（）A ．1d v α=，2d =B ．1d v α=，22d v β=C ．1d =，2d v β=D ．1d =，22d vβ=【答案】B【分析】设()()1d v f v =，()()2d v g v =，根据图象得到函数图象上的点，作出散点图，即可得到答案.【详解】设()()1d v f v =，()()2d v g v =.由图象知，()()1d v f v =过点()40,8.5，()50,10.3，()60,12.5，()70,14.6，()80,16.7，()90,18.7，()100,20.8，()110,22.9，()120,25，()130,27.1，()140,29.2，()150,31.3，()160,33.3，()170,35.4，()180,37.5.作出散点图，如图1.由图1可得，1d 与v 呈现线性关系，可选择用1d v α=.()()2d v g v =过点()40,8.5，()50,16.2，()60,23.2，()70,31.4，()80,36，()90,52，()100,64.6，()110,78.1，()120,93，()()140,123，()150,144.1，()160,164.3，()170,183.6，()180,208.作出散点图，如图2.由图2可得，2d 与v 呈现非线性关系，比较之下，可选择用22d v β=.故选：B.4．已知函数()ln ,0,e ,0,x xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（）A ．B．C ．D ．【答案】B【分析】分段求出函数()1y f x =-的解析式，利用导数判断其单调性，根据单调性可得答案.【详解】当10x ->，即1x <时，ln(1)(1)1x y f x x-=-=-，221(1)ln(1)1ln(1)1(1)(1)x x x x y x x -⋅-+--+--'==--，令0'>y ，得1e x <-，令0'<y ，得1e 1x -<<，所以函数()1y f x =-在(,1e)-∞-上为增函数，在(1e,1)-上为减函数，由此得A 和C 和D 不正确；当10x -≤，即1x ≥时，1(1)(1)e x y f x x -=-=-，()11(1)e (1)e x x y x x --'''=-+-11e (1)e x x x --=---=1e (2)xx ---，令0'>y ，得2x >，令0'<y ，得12x ≤<，所以函数()1y f x =-在(2,)+∞上为增函数，在[1,2)上为减函数，由此得B 正确；故选：B5．若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x 满足()()21f x f x >，则()f x 至少有（）个单调区间.A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】根据单调性与极值之间的关系分析判断.【详解】若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x ，则()f x 至少有3个单调区间，若()f x 有3个单调区间，不妨设()f x 的定义域为(),a b ，若12a x x b <<<，其中a 可以为-∞，b 可以为+∞，则()f x 在()()12,,,a x x b 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，（若()f x 定义域为(),a b 内不连续不影响总体单调性），故()()21f x f x <，不合题意，若21a x x b <<<，则()f x 在()()21,,,a x x b 上单调递减，在()21,x x 上单调递增，有()()21f x f x <，不合题意；若()f x 有4个单调区间，例如()1f x x x =+的定义域为{}|0x x ≠，则()221x f x x-'=，令()0f x ¢>，解得1x >或1x <-，则()f x 在()(),1,1,-∞-+∞上单调递增，在()()1,0,0,1-上单调递减，故函数()f x 存在一个极大值()12f -=-与一个极小值()12f =，且()()11f f -<，满足题意，此时()f x 有4个单调区间，综上所述：()f x 至少有4个单调区间.故选：B.6．已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，则918222y x z x y --=+--的最小值为（）A ．132B ．372C ．12D ．2【答案】A【分析】由约束条件作出可行域，求出22y t x -=-的范围，再由91821922y x z t x y t --=+=+--结合函数的单调性求得答案．【详解】解：令22y t x -=-，则91821922y x z t x y t --=+=+--，由10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩作出可行域如图，则()()()2,12,1,0,1A B C ---，设点()(),2,2P x y D ，，其中P 在可行域内，2=2PD y t k x -∴-=，由图可知当P 在C 点时，直线PD 斜率最小，min 121=022CD t k -==-∴当P 在B 点时，直线PD 斜率不存在，∴1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭∵19z t t =+在1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，∴当12t =时min 132z =．故选：A ．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方形11BCC B 内，且不在棱上，则（）A ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥B ．在正方形11DCCD 内一定存在一点Q ，使得PQ AC⊥C ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC D ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC 【答案】B【分析】对于A ，通过作辅助线，利用平行的性质，推出矛盾，可判断A;对于B ，找到特殊点，说明在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ⊥，判断B;利用面面平行的性质推出矛盾，判断C;利用线面垂直的性质定理推出矛盾，判断D.【详解】A 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥，作,PE BC QF CD ⊥⊥,垂足分别为,E F ,连接,E F ，则PEFQ 为矩形，且EF 与AC 相交，故PQ EF ∥,由于PQ AC ∥，则AC EF ∥，这与,AC EF 相交矛盾，故A 错误；B 、假设P 为正方形11BCC B 的中心，Q 为正方形11DCC D 的中心，作,PH BC QG CD ⊥⊥,垂足分别为,H G ,连接,H G ，则PHGQ 为矩形，则PQ HG ∥,且,H G 为,BC CD 的中点，连接,GH BD ,则GH BD ∥,因为AC BD ⊥，所以GH AC ⊥,即PQ AC ⊥，故B 正确；C 、在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC ，由于平面ABC ⋂平面11DCC D CD =,平面1PQC 平面111DCC D C Q =,故1CD C Q ∥,而11C D CD ∥,则Q 在11C D 上，这与题意矛盾，C 错误；D 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC ，1C Q ⊂平面1PQC ,则1AC C Q ⊥,又1CC ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故1C C AC ⊥,而11111,C C C Q C C C C Q =⊂ ，平面11DCC D ，故AC ⊥平面11DCC D ，由于AD ⊥平面11DCC D ,故,C D 重合，与题意不符，故D 错误，故选∶B8．对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C .若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集{(,)1}D Pd P C =≤∣所表示的图形的面积为（）A ．36B ．36-C ．362π-D ．36π-【答案】D【分析】根据题意画出到曲线C 的距离为1的边界，即可得到点集的区域，即可求解.【详解】根据题意作出点集(){}|1D P d P C =≤，的区域如图阴影所示，其中四边形ADEC ，ABKM ，BCFG 为矩形且边长分别为1,6，圆都是以1为半径的，过点I 作IN AC ⊥于N ，连接A I ,则1NI =，30NAI ∠= ，所以AN =则HIJ 是以6-为边长的等边三角形，矩形ABKM 的面积1166S =⨯=，2π3DAM ∠=，扇形ADM 的面积为212ππ1233S =⨯⨯=，21sin 602ABC S AB =⨯⋅ 21622=⨯⨯，21sin 602HIJ S HI =⨯⋅ (21622=⨯-18=-，所以()1233ABC HIJ S S S S S =++- ()π363183=⨯+⨯+--36π=-.故选：D.9．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（）A ．15种B ．28种C ．31种D ．63种【答案】C【分析】满足条件的去法可分为两类，第一类甲乙都去，第二类甲乙都不去，再进一步通过分类加法原理求出各类的方法数，将两类方法数相加即可.【详解】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以满足条件的去法数为0123444444C +C C +C C 16++=种；若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，则满足条件去法有12344444C C +C C 15++=种；故该宿舍同学的去法共有16+15=31种．故选：C.10．已知椭圆C 的焦点为12(0,1),(0,1)F F -，过2F 的直线与C 交于P ，Q 两点，若22143,||5PF F Q PQ QF ==，则椭圆C 的标准方程为（）A ．2255123x y +=B ．2212y x +=C ．22123x y +=D ．22145x y +=【答案】B【分析】由已知可设22,3F Q m PF m ==可求出所有线段用m 表示，在12PF F △中由余弦定理得1290F PF ︒∠=从而可求.【详解】如图，由已知可设22,3F Q m PF m ==，又因为114||55PQ QF QF m =∴=根据椭圆的定义212,62,3QF QF a m a a m +=∴=∴=，12223PF a PF a a a m=-=-==在12PF F △中由余弦定理得222222111116925cos 02243PQ PF QF m m m F PQ PQ PF m m+-+-∠===⋅⋅⋅⋅，所以190F PQ ︒∠=22222211229943213PF PF F F m m m a m b ∴+=⇒+=∴===⇒=故椭圆方程为：2212y x +=故选：B11．已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于任意的)3,1a ⎡∈-⎣，方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，则m 的取值范围为（）A ．7π3π,124⎛⎤⎥⎝⎦B ．π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π5π,26⎛⎤⎥⎝⎦D ．7π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】将方程的根的问题转化为函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点，画出图象，数形结合得到不等式组，求出m 的取值范围.【详解】方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，等价于函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点．当0x m <≤得：πππ22666x m ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，结合函数()y f x =的图象可知，π4π5π2633m ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得：7π3π,124m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D12．已知0.40.7e ,eln1.4,0.98a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】A【分析】构造函数()1=ln ef x x x -，0x >，利用导函数得到其单调性，从而得到ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，变形后得到22ln2ex x ≤，当x =0.7x =后得到b c <；再构造()1=e x g x x --，利用导函数得到其单调性，得到1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，变形后得到21e 2x x ->，当0.5x =时，等号成立，令0.7x =得到a c >，从而得到a cb >>.【详解】构造()1=ln ef x x x -，0x >，则()11=ef x x '-，当0e x <<时，()0f x ¢>，当e x >时，()0f x '<，所以()1=ln ef x x x -在0e x <<上单调递增，在e x >上单调递减，所以()()e =lne 10f x f ≤-=，故ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，因为20x >，所以222222(2)2ln 2ln ln ln2e e 2e 2e ex x x x x x x x x ≤⇒≤⇒≤⇒≤=，当x =当0.7x =时，220.98ln1.4(0.7)eln1.40.98ee<⨯=⇒<，所以b c <构造()1=e x g x x --，则()1e 1=x g x -'-，当1x >时，()0g x '>，当1x <时，()0g x '<，所以()1=ex g x x --在1x >单调递增，在1x <上单调递减，故()()10g x g ≥=，所以1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，故121e e 2x x x x --≥⇒≥，当且仅当0.5x =时，等号成立，令0.7x =，则0.40.4e 1.40.7e 0.98>⇒>，所以a c >，综上:a c b >>，故选：A【点睛】构造函数比较函数值的大小，关键在于观察所给的式子特点，选择合适的函数进行求解.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设i ，j 是x ，y 轴正方向上的单位向量，23a b i j -=- ，3119a b i j +=+，则向量a，b的夹角为______．【答案】π4【分析】分别求出a ，b 的表达式，利用定义求出a ，b 的夹角即可.【详解】23a b i j -=-①，3119a b i j +=+②,3⨯+①②得714,2a i a i =∴=，2-⨯+②①得72121,33b i j b i j -=--∴=+ ，()22·33666a b i i j i i j ⋅=+=+⋅=2,a b ==cos ,2a b a b a b ⋅∴==⋅π,4a b ∴=14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为2c ，过C 的右焦点F 的直线l 与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，若cos b c AFO =∠且3FB FA =，则C 的渐近线方程为__________.【答案】y =【分析】根据题设条件确定AB OA ⊥，进而可确定OA a FA b ==，，从而在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，结合正切的二倍角公式求解.【详解】因为3FB FA =，画出示意图如图，设AOF α∠=，因为cos b c AFO =∠，则cos b AFO c∠=，所以222sin a AFO c∠=，则sin a AFO c ∠=，所以tan aAFO b ∠=.又tan b a α=，所以π2AFO α∠+=，所以AB OA ⊥，根据sin ,cos OA FA a bAFO AFO c c c c ∠==∠==，所以OA a FA b ==，.又因为3FB FA，所以2AB b =.在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，所以222222tan tan21tan 1bb a b a aααα=-==--，化简得：222b a =，所以b a =则渐近线方程为：y =，故答案为:y =.15．已知数列{}n a 满足首项11a =，123n n na n a a n ++⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数，则数列{}n a 的前2n 项的和为_____________．【答案】4344n n ⨯--【分析】当n 为奇数时，由递推关系得()21332n n n a a a ++==+，构造{}3n a +为等比数列，可求出通项，结合12n n a a +=+即可分组求和.【详解】当n 为奇数时，()21332n n n a a a ++==+，即()2333n n a a ++=+，此时{}3n a +为以134a +=为首项，公比为3的等比数列，故()123212413333343333n nn n n n a a a a a a a a ----++++=创创+=+++，即12433n n a -=´-.()()()2123421211332121222n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---=++++++=+++++++++ ()()01113212224334334332n n a a a n n--=++++=´-+´-++´-+ ()03132432434413nnn n n 骣-琪=´-+=´--琪琪-桫.故答案为：4344n n ⨯--【点睛】本题解题关键是根据题意找到相邻奇数项或偶数项之间的递推关系，从而求出当n 为奇数或n 为偶数时的通项公式，再通过相邻两项的关系求出前2n 项的和．16．在三角形ABC 中，2BC =，2AB AC =，D 为BC 的中点，则tan ADC ∠的最大值为___________.【答案】43##113【分析】设出AC x =，则2AB x =，由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，从而得到cos ADC ∠关系得到223x <<，换元后得到cos ADC ∠，由基本不等式求出最小值，结合()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，可求出tan ADC ∠的最大值.【详解】设AC x =，则2AB x =，因为D 为BC 的中点，2BC =，所以1BD DC ==，由三角形三边关系可知：22x x +>且22x x -<，解得：223x <<，在三角形ABD 中，由余弦定理得：()2212cos 2AD x ADB AD+-∠=，在三角形ACD 中，由余弦定理得：221cos 2AD x ADC AD+-∠=，因为πADB ADC ∠+∠=，所以()2222121cos cos 022AD x AD x ADB ADC ADAD+-+-∠+∠=+=，解得：22512AD x =-，由余弦定理得：225112cos x x ADC -+-∠=223x <<，令2511,929x t ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则3cos 5ADC ∠=，当且仅当1t t=，即1t =时，等号成立，此时25112x -=，解得：x =因为3cos 05ADC ∠≥>，故π0,2ADC ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，由于()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故当cos ADC ∠取得最小值时，tan ADC ∠取得最大值，此时4sin 5ADC ∠=，4tan 3ADC ∠=.故答案为：43.【点睛】三角形中常用结论，()sin sin A B C +=，()cos cos A B C +=-，()tan tan A B C +=-，本题中突破口为由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，进而利用基本不等式求最值.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）数列{}n a 满足35a =，点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足233n n S b =-，*n ∈N ．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)是否存在*k ∈N ，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b ≤．【答案】(1)21n a n =-；3nn b =(2)存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n k n ka ab b ≤【分析】（1）根据等差数列的定义可得{}n a 为等差数列，由,n n S b 的关系可得{}n b 为等比数列，进而可求其通项，（2）根据数列的单调性求解最值即可求解.【详解】（1）点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，所以12n n a a +-=又35a =，∴11a =，则数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列．∴21n a n =-又当1n =时，11233S b =-得13b =，当2n ≥，由233n n S b =-①，得11233n n S b --=-②由①－②整理得：13n n b b -=，∵130b =≠，∴10n b -≠∴13nn b b -=，∴数列{}n b 是首项为3，公比为3的等比数列，故3nn b =（2）设213nn n na n cb -==，由111121212163443333+++++-+-+--=-==n n n n n n n n n n nc c当1n =时，12c c =，当2n ≥时，1n n c c +<，所以当1n =或2时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大所以存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b≤18．（12分）如图，将等边ABC 绕BC 边旋转90︒到等边DBC △的位置，连接AD．(1)求证：AD BC ⊥；(2)若M 是棱DA 上一点，且两三角形的面积满足2BMD BMA S S = ，求直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】（1）取BC 中点为O ，证明BC ⊥平面AOD 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【详解】（1）设O 是BC 的中点，连接AO ，DO ，由题知：AB AC =，DB DC =，则BC AO ⊥，BC DO ⊥，又AO DO O ⋂=，,AO DO ⊂平面AOD ，所以BC ⊥平面AOD ，又AD ⊂平面AOD ，所以AD BC ⊥．（2）由题知，OA 、BC 、OD 两两垂直，以O 为原点，,,OA OB OD方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，因为2BMD BMA S S = ，所以13AM AD =，设2AB a =，则OA OD ==，则),0,0A，()0,,0B a ，()0,,0C a -，()D，33M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．所以),,0CA a =，),0,DA =，,BM a ⎫=-⎪⎪⎝⎭，设平面ACD 的法向量为(),,n x y z =r，则00n CA ay n DA ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1x =，可得()1,n = ，设直线BM 与平面ACD 所成的角为θ，则sin cos ,BM n θ=BM n BM n⋅==⋅所以直线BM 与平面ACD.19．（12分）甲、乙两位选手参加一项射击比赛，每位选手各有n 个射击目标，他们击中每一个目标的概率均为12，且相互独立．甲选手依次对所有n 个目标进行射击，且每击中一个目标可获得1颗星；乙选手按规定的顺序依次对目标进行射击，击中一个目标后可继续对下一个目标进行射击直至有目标未被击中时为止，且每击中一个目标可获得2颗星．(1)当5n =时，分别求甲、乙两位选手各击中3个目标的概率；(2)若累计获得星数多的选手获胜，讨论甲、乙两位选手谁更可能获胜．【答案】(1)516,116；(2)当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.【分析】（1）根据独立重复试验可计算甲击中3个目标的概率，由相互独立事件的概率计算公式可得乙击中3个目标的概率；（2）设X 为甲累计获得的星数，Y 为乙累计获得的星数，分别计算期望，分别讨论1,2,3n =及4n ≥的(),()E X E Y ，得出结论.【详解】（1）当5n =时，甲击中3个目标的概率为33215115C ()()2216P =⨯⨯=，乙击中3个目标，则前3个目标被击中，第4个目标未被击中，其概率为32111()2216P =⨯=.（2）设X 为甲累计获得的星数，则0,1,2,,X n = ，设Y 为乙累计获得的星数，则0,2,4,,2Y n = ，设击中了m 个目标，其中0m n ≤≤，则甲获得星数为m 的概率为C 11()C ()()222m m m n m nnn P X m -===，所以甲累计获得星数为0120C 1C 2C C ()2nn n n nnn E X ⋅+⋅+⋅++⋅= ;记01010C 1C C C (1)C 0C n n n n n n n n n S n n n =⋅+⋅++⋅=⋅+-⋅++⋅ ，所以0112(C C C )2,2n n n n n n n n S n n S n -=+++=⋅=⋅ ，所以12()22n n n nE X -⋅==,乙获得星数为2(01)m m n ≤≤-的概率为1111(2)()222m m P Y m +==⋅=，当m n =时，1(2)2nP Y m ==，所以乙累计获得星数为230242(1)2()22222n n n n E Y -=+++++ ，记230242(1)2222n n n T -=++++ ，则121242(1)20222n n n T --=++++ ，所以12111112(1)122()222222n n n n n n n n T T T ---+=-=+++-=- ，11()22n E Y -=-，当1n =时，1()()12E X E Y =<=，当2n =时，3()1()2E X E Y =<=，当3n =时，37()()24E X E Y =<=，当4n ≥时，()2()E X E Y ≥>所以当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.20．（12分）已知抛物线2y =的焦点与椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>的右焦点重合，直线1:1x y l a b+=与圆222x y +=相切．(1)求椭圆Ω的方程；(2)设不过原点的直线2l 与椭圆Ω相交于不同的两点A ，B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆Ω相交于点P ，且O 点在以AB 为直径的圆上，记AOM ，BOP △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围．【答案】(1)22163x y +=(2)⎣⎦【分析】（1）根据条件建立关于,a b 的方程组，即可求解椭圆方程；（2）根据数形结合可知12AOM BOP OMS S S S OP==△△，分直线斜率不存在，或斜率为0，以及斜率不为0，三种情况讨论12S S 的值或范围.【详解】（1）∵抛物线2y =的焦点为)，∴c =从而223a b =+①，∵直线1:1x yl a b+=与圆222x y +==②，由①②得：ab ，∴椭圆Ω的方程为：22163x y +=（2）∵M 为线段AB 的中点，∴12AOM BOP OMS S S S OP==△△，（1）当直线2l 的斜率不存在时，2l x ⊥轴，由题意知OA OB ⊥，结合椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为y x =，得22Ax =，从而22Mx =，26P x =，123M P OM x S S OP x ∴===（2）当直线2l 的斜率存在时，设直线()2:0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y 由22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()222214260k x kmx m +++-=，由()()222216421260k m k m ∆=-+->可得：22630k m -+>（*）∴122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+，∵O 点在以AB 为直径的圆上，∴0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，∴()()221212121210x x y y k x x km x x m +=++++=，即()22222264102121m km k km m k k -⎛⎫+⨯+-+= ⎪++⎝⎭，2222,m k ⇒=+（**）满足（*）式．∴线段AB 的中点222,2121kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，若0k =时，由（**）可得：22m =，此时123OM S S OP ∴===，若0k ≠时，射线OM 所在的直线方程为12y x k=-，由2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得：2221221P k x k =+，12M POM x S S OP x ∴===随着2k 的增大而减小，∵0k ≠，∴20k >，∴1233S S ⎛∈ ⎝⎭综上，1233S S ∈⎣⎦【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．（12分）已知函数()e xf x ax a=--(1)当1a =时，证明:()0f x ≥.(2)若()f x 有两个零点()1212,x x x x <且22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，求12x x +的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦【分析】（1）()e 1x f x x =--，求导得min ()(0)0f x f ==，则()0f x ；（2）由题得11e x ax a =+，22e xax a =+，则21211e1x x x x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，则()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，从而设21[ln 2,2]t x x =-∈，得到()121e 2e 1t tt x x +++=-，利用导数研究函数()1e ()e 1ttt g t +=-的值域，则得到12x x+的范围.【详解】（1）证明:当1a =时,()e 1x f x x =--,则()e 1x f x '=-.当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,当,()0x ∈+∞时,()0f x '>,所以()f x 在(,0)-∞上单调递减,在()0,∞+上单调递增,则min ()(0)0f x f ==,故()0f x .（2）由题意得1212e e 0x xax a ax a --=--=，则11e x ax a =+，22e xax a =+，从而21211e 1x xx x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，故()()()()12212121212112e e 1e 2e ee1xx x x x x x x x x x x x x ---+-+++==--，因为22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，所以212e 2,e x x -⎡⎤∈⎣⎦，即[]21ln 2,2x x -∈，设21[ln 2,2]t x x =-∈,则()121e 2e 1t t t x x +++=-.设()1e ()e 1t tt g t +=-,则()22e 2e 1()e1t t tt g t --'=-.设2()e 2e 1t t h t t =--,则()()2e e 1t th t t '=--，由（1）可知()()2e e 10t th t t '=--在R 上恒成立,从而2()e 2e 1t t h t t =--在[ln 2,2]上单调递增,故min ()(ln 2)44ln 210h t h ==-->,即()0g t '>在[]ln 2,2上恒成立,所以()g t 在[ln 2,2]上单调递增,所以()212221e 23ln 2,e 1x x ⎡⎤+⎢⎥++∈-⎢⎥⎣⎦,即12243ln 22e 1,x x ⎡⎤+∈-⎢⎣-⎥⎦,即12x x +的取值范围为243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过变形用含21x x -的式子表示出122x x ++，即()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，然后整体换元设21[ln 2,2]t x x =-∈，则得到()121e 2e 1t t t x x +++=-，最后只需求出函数()1e ()e 1tt t g t +=-在[ln 2,2]t ∈上值域即可.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，)M．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若2AM MB =，求直线l 的斜率．【答案】(1)2214x y +=(2)2±【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，运算求解；（2）联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.【详解】（1）∵()()222222288453cos 2cos 4sin 5cos sin 3cos sin ρθθθθθθθ===-++--，则2222cos 4sin 4ρθρθ+=，∴2244x y +=，即2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）将直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=，得)()22cos sin 14t t αα+=，整理得()()222cos 4sin 10t t ααα++-=，设A ，B 两点所对应的参数为12,t t ，则1212221cos 4sin t t t t αα+==-+，∵2AM MB =，则122t t =-，联立1212222cos 4sin t t t t ααα=-⎧⎪⎨+=-⎪+⎩，解得122222cos 4sin cos 4sin t t αααααα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，将12,t t 代入12221cos 4sin t t αα=-+得2222221cos 4sin cos 4sin cos 4sin αααααααα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭，解得2223tan 4k α==，故直线l的斜率为2±.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设a 、b 、c 为正数，且b c c a a ba b c+++≤≤.证明：(1)a b c ≥≥；(2)()()()2324a b b c c a abc +++≥.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由不等式的基本性质可得出111abc≤≤，利用反比例函数在()0,∞+上的单调性可证得结论成立；（2）利用基本不等式可得出a b +≥，2b c +≥3c a +≥等式的基本性质可证得结论成立.【详解】（1）证明：因为a 、b 、c 为正数，由b c c a a ba b c +++≤≤可得a b c a b c a b ca b c++++++≤≤，所以，111a b c≤≤，因为函数1y x =在()0,∞+上为增函数，故a b c ≥≥.（2）证明：由基本不等式可得a b +≥，2b c b b c +=++≥()322c a c a a a +=++≥+≥=由不等式的基本性质可得()()()2171131573362244412232424a b b c c a a b b c a c a b c+++≥=11764122424ab a b c abc ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b c ==时，等号成立，故()()()2324a b b c c a abc +++≥.。
2021年高三第一次模拟考试数学(理)参考答案
2011邯郸市一模考试理科数学2021年高三第一次模拟考试数学（理）参考答案一、选择题：DBCAC ABBDA DA12题 解析：（方法一）方程即，注意到，进行换元，令则原方程可化为，其中。
原方程再化为此时把方程看作关于的二元一次方程，即点的直线方程。
根据直线上的任一点到原点的距离的最小值为原点到直线的距离可得：，两边平方得而619)1(19)1(6)1(1]3)1[(1)2(222222222222-+++=+++-+=+-+=+-t t t t t t t t t 其中，由函数的单调性可知，故选A（方法二）方程即，注意到，进行换元，令则原方程可化为，其中。
原问题等价于关于方程在上有解，由函数的图象和性质知有5种情况：（1） 方程的两根均大于等于2，此时可得，对照选项只要注意到第三个条件，就知本题答案不在这种情况里.（2） 方程两根均小于等于-2，此时可得，同上对照选项只要注意到第三个条件，就知本题答案也不在这种情况里.（3） 方程的两根一个大于等于2，另一个小于等于-2，此时可得，由线性规划知识可得点所在的区域如图阴影部分所示，对照选项知这种情况里也没有所选答案.（4） 方程有两个根一个大于等于2，另一个大于-2小于2，此时有，同上点所表示的区域为下图，易求原点到直线距离为，所以的最小值为，（5）方程有两个根一个小于等于-2，另一个大于等于-2小于2，此时有，此种情况同上一种.二、填空题: 13. 14. 15. 16.②④三、解答题：17．解：（Ⅰ）由余弦定理知，,∴ , ……………………………2分∴，∵ ，∴. ……………………………4分（Ⅱ）由正弦定理得 ,∴ ∴)32sin(2sin 2sin 2sin 2B B C B c b -+=+=+π )6sin(32cos 3sin 3)sin 21cos 23(2sin 2π+=+=++=B B B B B B …………………………7分,,, …………………………8分∴，∴，∴.∴b +c 的取值范围为 …………………………10分18．解：（Ⅰ）设“每个社区都有同学选择”为事件A .每名同学都有3种选择，4名同学的选择共有种等可能的情况.事件A 所包含的等可能事件的个数为,所以， ,即每个社区都有同学选择的概率为. …………4分（Ⅱ）设“一名同学选择甲社区”为事件B ,则.4人中选择甲社区的人数可看作4次独立重复试验中事件B 发生的次数，因此，随机变量服从二项分布. 可取的值为0，1，2，3， 4. ………6分， . …………8分0 1 2 3 4…………12分19．解：（Ⅰ）连结AC 1交A 1C 于点G ，连结DG ，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1是平行四边形，∴AG =GC 1，∵AD =DB ，∴DG //BC 1 , ………………2分∵DG 平面A 1DC ，BC 1平面A 1DC ，∴BC 1//平面A 1DC . ………………4分（II ）解法一：易知在中可求，……6分过D 作DE ⊥AC 交AC 于E ，过点D 作DF ⊥A 1C 交A 1C 于F ，连结EF .∵平面ABC ⊥平面ACC 1A 1，DE 平面ABC ，平面ABC ∩平面ACC 1A 1=AC ，∴DE ⊥平面ACC 1A 1，∴EF 是DF 在平面ACC 1A 1内的射影。
2022年全国卷Ⅰ高考数学理科模拟试题卷含答案(4)
2022年全国卷Ⅰ高考数学理科模拟试题卷评卷人得分一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则A∩B=___.A.(0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.(1,2] 2．已知复数z=(a-3i)(3+2i)(a∈R)的实部与虚部的和为7,则a的值为A.1B.0C.2D.-23．设a=,b=1,c=log213,则a,b,c的大小关系为A.b>a>cB.c>a>bC.c>b>aD.b>c>a 4．已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|a-2b|=2,则|b|=A.4B.2C.D.15．函数f(x)=在区间(-π,0)∪(0,π)内的大致图象是A. B.C. D.6．已知,从这四个数中任取一个数使函数有极值点的概率为A. B. C. D.17．如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,A,B到l的距离分别是a和b,AB与α,β所成的角分别是θ和φ,AB在α,β内的射影分别是m和n,若a>b,则A.θ>φ,m>nB.θ>φ,m<nC.θ<φ,m<nD.θ<φ,m>n8．如图是一个算法的程序框图，如果输入，那么输出的结果为A. B. C. D.9．设等差数列{a n}满足a2=7,a4=3,S n是数列{a n}的前n项和,则使得S n>0成立的最大的自然数n是A.9B.10C.11D.1210．已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(x+)是偶函数,且当0<x≤1时,f(x)=,则A.f()>f()>B.f()>f()>C.>f()>f()D.>f()>f()11．函数y=sin(2x+)的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点(-,0)中心对称A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度12．如图,设α∩β=EF,AB⊥α,CD⊥α,垂足分别为B,D,且AB≠C D.如果增加一个条件就能推出BD⊥EF,给出四个条件:①AC⊥β;②AC⊥EF;③AC与BD在β内的正投影在同一条直线上;④AC与BD在β内的正投影所在的直线交于一点.那么这个条件不可能是A.①②B.②③C.③D.④第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．已知函数f(x)=2e x ln-kx(e=2.718 28…是自然对数的底数)有两个不同的零点,则实数k的取值范围是.14．如图所示是函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π)的图象,由图中条件求得该函数的解析式为.15．已知首项为的数列满足),且,数列中任意相邻两项的和不为0,若为数列的前项和,则 . 16．已知P是圆C:x2+y2+4x-y+8=0上一动点,P关于y轴的对称点为M,关于直线y=x的对称点为N,则|MN|的取值范围是.评卷人得分三、解答题(共7题，共70分)17．△的内角的对边分别为,且．(1)求角的大小;(2)若,△的面积,求△的周长．18．如图1,在四边形ABCD中,E是边AD的中点,AD=2EC=4AB=4,∠A=∠D=∠DCE=60°.将△CDE沿CE折起,使得点D到达点P的位置(如图2).若四棱锥P-ABCE的体积最大.(1)求证:BE⊥PC;(2)求三棱锥P-BCE的表面积.19．为了加强食品安全监管,某县市场监管局计划添购一批食品检测仪器,符合这次采购要求的检测仪器只有甲、乙两种型号,下表是该县市场监管局以往使用甲、乙两种型号检测仪器的使用年限及数量统计表.以频率估计概率.(1)分别从以往使用的甲、乙两种检测仪器中各随机抽取一台,求甲型号检测仪器的使用年限比乙型号检测仪器的使用年限恰好多1年的概率;(2)若该县市场监管局购买甲、乙两种型号检测仪器各2台,记2年后仍可使用的检测仪器的台数为ξ,求ξ的分布列与数学期望.20．已知椭圆C:=1(a>b>0)过点M(,),且分别以椭圆的长轴和短轴为直径的圆的面积的比值为4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线y=kx(k>0)与椭圆C交于A,B两点,过点A作直线AB的垂线,交椭圆C于点D,连接BD,与x,y轴分别交于点P,Q,过原点O作直线BD的垂线,垂足为R,求|OR|·|PQ|的最大值. 21．已知函数f(x)=a x+b x(a>0,b>0,a≠1,b≠1).(1)设a=2,b=.①求方程f(x)=2的根;②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;(2)若0<a<1,b>1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。
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200__～200__学年第___学期《数理方程》期末模拟试卷1 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分
一、 选择题(每题只有一个正确答案， 每小题4分，共28分）
1、34233
(,,)v v v xyv g x y z x x y z ∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( )偏微分方程 A 、 一阶 B 、二阶 C 、 三阶 D 、 四阶 2、2(,)tt xx u a u x t ϕ-= (其中0>a ) 属于( )型偏微分方程 A 、 抛物 B 、双曲 C 、 椭圆 D 、 混合 3、在用分离变量法求解定解问题
200
,0,0
|0,|0|()t x x x x x
l t u a u x l t u u u x ϕ===⎧=<<>⎪
==⎨⎪=⎩
时，得到的固有函数系为( )
A 、,...2,1,sin
=⎭⎬⎫⎩
⎨⎧n x l n π B 、,...2,1,0,cos
=⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧n x l n π C 、(21)cos
,1,2,...2n x n l π-⎧
⎫
=⎨⎬⎩
⎭
D 、 (21)sin
,1,2,...2n x n l π-⎧⎫
=⎨⎬⎩
⎭
4、下列方程是非线性偏微分方程的是（ ） A 22(
)()sin u u x x y 抖+=抖 B (,)u u f x y x y
抖+=抖 C 2
2(,)(,)cos u u a x t b x t x x t 抖+=抖 D 3433(,,)v v v g x y z x x y z
∂∂∂++=∂∂∂∂ 5、对Laplace 变换的性质下列式子错误的是（ ） A 22
[sin ](Re 0)
L t p p w
w w =
>+
B []2[][]L f g L f L g p *=?
C 0[()]()
(Re )p L f t e F p p t
t g -
-=>
D 0000[()]()
(Re Re )
p t L e f t F p p p p g =->+
6、在弱相等意义下，对d 函数的说法错误的是（ ） A ()()x x d d =- B ()x x x d = C 1
()()(0)
||
ax x a a d d =
? D ()()()()x x a a x a j d j d -=-
7、给出未知函数 u 在区域Ω的边界Γ上的值0,),,(|≥Γ∈=Γt M t M u μ 的边界条件，称为第( )类边界条件。
A 、一
B 、二
C 、三
D 、四
二、 填空题(每小题4分，共24分)
1、求Laplace 变换
-2t -2t [e sin6t-5e ]L = 2、0
|(,,)u u x y z ϕ∂Ω=⎧⎨=⎩ 的Green 函数满足的定解问题为
3、泛函1
20()[(')24],(0)0,(1)2J y y xy dx y y =+==⎰的极值函数为
4、p93 6(2)
5、一个定解问题，如果解存在、 、稳定，则此定解问题称为适定的。
6、方程160
x x y
y
u u -=化标准型时，所做的两个特征变换为 。
三、（7分---基础）用行波法求定解问题 200,,0|0,|4
tt xx t t t u a u x t u u ==⎧=-∞<<+∞>⎪⎨==⎪⎩
四、（14分---难） （用分离变量法或者本征函数展开法求解）
200
0,0,0|0,|0
|cos ,|0
tt xx x x x x t t t u a u x t u u u x u ππ====⎧=<<>⎪
==⎨⎪==⎩
五、（14分---中等）试确定方程03103=++yy xy xx u u u 是什么类型的方程，并将它化为标准形式。
六、（13分---中等）用laplace 变换法求解定解问题
22
120,01
|cos |x y u x y y x x y u y u x ==⎧∂=>>⎪∂∂⎪⎪
=⎨⎪=⎪⎪⎩
，
模拟试题1答案
一、1、D 2、B 3、C 4、A 5、 B 6、B 7、A
二、1、 2c o s a
t ω 2、 4()
|0G P Q G πδ∂Ω∆=--⎧⎨=⎩ ，或
000()
|0
G
M M G ∂Ω∆=≠⎧⎨
=⎩（M,M ）
3、 32x
4、 1
5、 唯一
6、4,4y x y x ξη=+=- 三、解：由D ’Alembert 公式有
11(,)[()()]()22x at
x at
u x t x at x at s ds
a ϕϕψ+-=++-+⎰ （3分） 1442x at
x at
ds t a +-=
=⎰ （4分）
四、设解为)()(),(t T x X t x u =， （1分） 代入方程并化简得 2
''()''()
()()
T t X x a T t X x λ==- （1分） 于是
2''()()0''()()0
T t a T t X x X x λλ+=+= （1分）
由齐次边界条件得固有值问题 ''(
)()'(0)'()0X x X x X X λπ+=⎧⎨==⎩
（1分）
于是得到固有值为2,0,1,2,...n n n λ==，固有函数系为{cos },0,1,2...nx n = （1分）
将2n n λ=代入关于)(t T 的方程得 2''()()()0n n T t na T t += （1分） 解得 000()()cos sin ,1,2,...
n n n T t A B t
T t A nat B nat n =+⎧⎨
=+=⎩（2分）
利用叠加原理得
001
(,)(cos sin )cos n n n u x t A B t A nat B nat nx ∞
==+++∑ （1分）
由初始条件得 01
01c o s
c o s 0c o s n n n n x A A n x B B n a n x ∞
=∞
=⎧
=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
∑∑ （2分） 故 11,010,0,1,2...n n
A A n
B n ==≠⎧⎨==⎩， （2分）
因此代入得解 (,)c o s c o u x t a t x = （1分） 五、解:判别式016>=∆ 所以方程为双曲型，特征方程为
031032
=+-⎪⎭
⎫
⎝⎛dx dy dx dy
解得特征曲线为
03=-y x ，03=-y x
令y x y x -=-=3,3ηξ则
ηξηξu u u u u u y x --=+=3,3 ηηξηξξu u u u xx 96++=
ηηξηξξu u u u xy 39103---= ηηξηξξu u u u xx ++=69
将上面的各个偏微导数代入原方程，则得 0=ξηu
此时取,,t s t s -=+=ηξ则tt ss u u u -=ξη，所以方程的标准形式为
0=-tt ss u u
六、
解：将方程两边关于y 取Laplace 变换 ，记 [(,)](,)L u x y u x s = （2分）
2
02[(,)|]y d x su x s u dx s
=-=，即 （2分） ~
232d u x x dx s s
=+ ， （1分） 再对边界条件 1|cos x u y == 取关于y 的Laplace 变换得
1
2|1
x s
u s ==+， （2分） 故有
23122|1x du
x x dx s s s u s =⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩
（1分） 解之得
32323
1111(,)313s u x p x x s
s
s s
s
=++--+ （2分） 所以取逆变换有
13
2
323
1
111
(,)[]313s u x y x x s
s
s s s
-=
+
+
--+L （1分） 322211
cos 166
x y x y y =
++-- （2分）。