15.耐克函数【教师版】(正式版)
高中特殊函数(取整与超越函数、绝对值与对勾、双刀函数、蛙跳函数)
专题1 对勾函数、双刀函数题型1对勾函数(因其图象类似于耐克标志，所以也称耐克函数。
)双刀函数对勾函数：一般式：y = ax + -(x^O)(a% b>0)Q性质：x①定义域：xe R,xW。
②奇偶性：奇函数；③单调区间：单调递增区间,、因+sj ,单调递减区间：双刀函数：一般式：y = ax + -(x^O)(a %〃异号),性质：x①定义域：xeR,xW。
;②奇偶性：奇函数；③单调区间：当〃>0、〃<0时，在(―s,O)(O, + s)单调递增；当〃<0、〃:>0时，在(―s,O)(O,+8)单调递减；1 .函数y = — 的图象大致是 ( )【解析】等价于分段函数：)，= <"r ,选。
jU>l)2 .已知函数/(x)=llgxl,若4 H 〃且/(") = /(〃)，则4+〃的取值范围是 【解析】v f(a) = f(b) ,舍去)或,必=1 , .,.4 + b = 4 + 1 >24.函数/(x)=— 的最大值为 ______________x + \ 【解析】/(X)= ―,分母最小值为2，则最大值为:6+不一5…、厂-4x + 55.已知x 2 —,则 /(x)=——■— ___________2 2x-4【解析】/(x) = -(x-2 + —),由对勾曲线或基本不等式可求得最小值是12 x-249 .(2019年新高考江苏卷)在平面直角坐标系xQv 中，P 是曲线y = x +—(x>0)上的一个动点，则点P 到直 x线X+产0的距离的最小值是 o方法二：y =1 —二=一1 ,得切点卜反3夜)，贝!14面=4 厂 10 .(2020年新课标全国卷U10)设函数/(工)=/一］，则“X)()X人是奇函数，且在(0,+8)单调递增 8.是奇函数，且在(0,+8)单调递减【解析】选A4方法一：设P X,X + — X，则2x + -x>4°C 是偶函数，且在(0,+8)单调递增D 是偶函数，且在(0,+8)单调递减专题2 取整函数与小数函数、绝对值函数、狄克莱克函数、符号函弟题型1取整函数与小数函数。
基本不等式—最值—对勾函数耐克函数(学案 附答案)
基本不等式——形式一：a b +≥(a>0,b>0)____a b +（ ）——形式二：2a b+≥ (a__0,b__0)__(a >0,b >0)2a b + ——形式三：22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（ ）(a>0,b>0)2a b+≤2a b+？ 用分析法证明：要证2a b+ （1） 只要证 a b +≥ （2）要证（2），只要证____0a b +-≥ （3） 要证（3），只 要证2(__________)0-≥ （4）显然（4）是成立的. 当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立.探究3：使用基本不等式的三个条件：一正二定三相等思考：（1）已知y=x+x1 ( x>0 ) ，求y 的范围.（2）已知y=x+x1( x≠0 ) ，求y 的范围.例题拓展【例1 】已知0x >，则xx 432++的最小值是________。
【 例2 】下列不等式一定成立的是 （ ）A ．xy y x 2≥+B ．21≥+xx C ．xy y x 222≥+ D ．xyxy y x 12≥+【 例3 】下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ）基础回顾1、对于____ _ ,a b ,有22____2a b ab +,当且仅当____ _ 时，等号成立.2、基本不等式：对于____ _,a b ,则2a b+___ _时，不等式取等号.注意：使用基本不等式时，应具备三个条件：____ _ ____ _【例1 】（1）已知x >0，且y = x ＋81x，x =_________时，y 取最小值 （2）已知0x >，则xx 432++的最小值是________。
（3）y x x=++23122的最小值是（4）a+b=2，则3a +3b 的最小值是______________（5）a+2b=4，则3a +9b 的最小值是______________【 例2】设x ，y 为正数， 求14()()x y x y++的最小值【例4 】若0,0,x y >>且211x y+=，则2x y +的最小值为________练兵场：1、函数y =31-x + x (x>3) 的最小值是_________。
对勾函数
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如f(x)=ax+b/x（a>0）的函数。
中文名对勾函数别称耐克函数、双勾函数、对号函数、双飞燕函数表达式f(x)=ax+b/x (a>0)1定义定义所谓的对勾函数（双曲函数），是形如（a>0)的函数。
名称由图像得名，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、"对号函数"、“双飞燕函数”等。
也被形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”。
2性质图像对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示，在作图时最好画出渐近线最值当x>0时，有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当时，f(x)取最小值。
奇偶性、单调性奇偶性双勾函数是奇函数。
单调性令k=，那么：增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0<x≤k}变化趋势：在y轴左边先增后减，在y轴右边先减后增，是两个勾。
渐近线对勾函数的图像是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支曲线，且图像上任意一对勾函数点到两条渐近线的距离之积恰为渐近线夹角(0-180°)的正弦值与|b|的乘积。
3对勾函数最小值与均值不等式对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。
我们都知道展开，得，即两边同时加上2ab，整理得，两边开平方，就得到了均值定理的公式：将中看做a，看做b代入上式，得这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。
我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。
那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。
4导数求解其实用导数也可以研究对勾函数的性质。
7.耐克函数(教师版)
解: 函数的定义域为 R, 令 x 2 + 4 = t (t ≥ 2) , 则 x 2 + 5 = t 2 + 1 , 代入得:
t2 +1 1 y= = t + (t ≥ 2) , t t
1 由耐克函数性质, y = t + 在 [2, +∞) 上单调递增, t
1
高三第一轮复习
耐克函数
当 t = 2 时, ymin =
y
y=x y= x + a x
(2) 奇偶性: 奇函数; (3) 单调性: 在 (−∞,0) 与 (0, +∞) 上分别单调递增; (4) 值域与最值: 值域为 R, 无最值.
O
−a
x
【基础训练】
1. 函数 y= x +
1 (−∞, −2] ∪ [2, +∞) 的值域是________________; x 1 [3, +∞) 2. 函数 y = x+ ( x > 1) 的值域是____________; x −1 5 x2 + 5 [ , +∞) 的值域是_____________; 3. 函数 y = 2 x2 + 4
x1 , x2 ∈ [−
2 2 , ] ⇒ 2 x1 x2 ∈ [−1,1) ⇒ 1 − 2 x1 x2 > 0 , 2 2 2 2 2 2 时, f max = ; 当x= , f min = − . 2 2 2 2
2
因此 f ( x1 ) − f ( x2 ) > 0 , 即原函数单调递减. (2)由(1), 当 x = −
若 c =1, 则 f = ( x)
= t c − 1 > 0 时则是耐克函数. 在 c − 1 > 0 时, 又要分最小值点
耐克函数
我的名字叫对勾函数，因为长得像“NIKE”，所以大家给我一个亲切的名字，“耐克”函数。
我的解析式是y=ax+b/x（a>0，b>0)，我的图像可不像一般的函数哦~它是这样的~（告诉你个秘密，它是无限接近与纵坐标的哦~）
大家看到我的图像应该有点想法的吧，没错，我是个奇函数哦~还有哦~我也是有单调性的！！！想知道怎么求吗？！你猜呀，猜对就告诉你。
好吧，不傲娇了，看到那两个钩子的最低点了不，一个是x=√b/a，另一个就是x=-√b/a。
令k=√(b/a），那么，增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0<x≤k} 变化趋势：在y轴左边，增减，在y轴右边，减增，是两个勾。
那大家现在应该知道怎么求最值问题了吧~ 对了哦~知道怎么求出来这两个点的横坐标的不？！用基本不等式啊！！！！！！
高一（二）江悦健7。
双勾函数
则），就先用平移公式或我总结出的平移规律还原以后再研究，这个能力非常重
要，一定要多练，争取做到特别熟练的地步。
事实上，利用将对勾函数进行选择可以得到
标准的双曲线方程。也就是说，对勾
2006年高考上海数学试卷（理工农医类）已知函数 y=x+a/x 有如下性质：如果
常数a>0，那么该函数在 (0,√a] 上是减函数，在 ，[√a,+∞）上是增函数．
⑴如果函数 y=x+（2^b)/x （x>0）的值域为 [6,+∞），求b 的值；
⑵研究函数 y=x^2+c/x^2 （常数c >0）在定义域内的单调性，并说明理由；
当x<0,-x>0
f(x)=-(-x-1/x)
<=-2
当－x=-1/x取等。
x=-1，有最大值，没有最小值。
值域是：（负无穷，-2）并（2，正无穷）
－－－－－－－－－－－－－－
证明函数f(x)=ax+b/x,(a>0,b>0）在x>0上的单调性
设x1，x2∈（0，+∝）且x1>x2
∴f(x1）-f(x2）<0，即x∈（0，√（b/a））时，f(x)=ax+b/x单调递减
∴ 当x∈（√（b/a），+∞）时，x1x2>b/a， 则ax1x2-b>b-b=0
∴f(x1）-f(x2）>0，即x∈（√（b/a），+∞）时，f(x)=ax+b/x单调递增。
基本不等式—最值—对勾函数-耐克函数(学案 附答案)
基本不等式——形式一：a b +≥(a>0,b>0)____a b +（ ）——形式二：2a b+≥ (a__0,b__0)__(a >0,b >0)2a b + ——形式三：22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（ ）(a>0,b>0)2a b+≤2a b+？ 用分析法证明：要证2a b+ （1） 只要证 a b +≥ （2）要证（2），只要证____0a b +-≥ （3） 要证（3），只 要证2(__________)0-≥ （4）显然（4）是成立的. 当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立.探究3：使用基本不等式的三个条件：一正二定三相等思考：（1）已知y=x+x1 ( x>0 ) ，求y 的范围.（2）已知y=x+x1( x≠0 ) ，求y 的范围.例题拓展【例1 】已知0x >，则xx 432++的最小值是________。
【 例2 】下列不等式一定成立的是 （ ）A ．xy y x 2≥+B ．21≥+xx C ．xy y x 222≥+ D ．xyxy y x 12≥+【 例3 】下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ）基础回顾1、对于____ _ ,a b ,有22____2a b ab +,当且仅当____ _ 时，等号成立.2、基本不等式：对于____ _,a b ,则2a b+___ _时，不等式取等号.注意：使用基本不等式时，应具备三个条件：____ _ ____ _【例1 】（1）已知x >0，且y = x ＋81x，x =_________时，y 取最小值 （2）已知0x >，则xx 432++的最小值是________。
（3）y x x=++23122的最小值是（4）a+b=2，则3a +3b 的最小值是______________（5）a+2b=4，则3a +9b 的最小值是______________【 例2】设x ，y 为正数， 求14()()x y x y++的最小值【例4 】若0,0,x y >>且211x y+=，则2x y +的最小值为________练兵场：1、函数y =31-x + x (x>3) 的最小值是_________。
初高中数学衔接课程教案14-耐克函数
（4）值域： (,2 ab) (2 ab,)
二、典型例题
例 1、如果函数 y kx2k
2
k 2
的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？
解析：有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数 y 又在第二，四象限内，则 k 0 可以求出的值 答案：由反比例函数的定义，得：
k 0） ⑵反比例函数的图像是双曲线，y （ k 为常数， 中自变量 x 0 ， 函数值 y 0 ，
所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不 与坐标轴相交． ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是 y x 或 y x ） ． ⑷反比例函数 y
k o ko
可求出 k ）
5．反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数，但是反比例函 数y
k 中的两个变量必成反比例关系． x
7．反比例函数的应用 2、耐克函数 在高中数学学习中，我们常常会碰到形如 y ax
b (a 0, b 0) 的函数，我们称这样的函 x
数为“耐克函数”，它是一种类似于反比例函数的重要的函数之一，它的性质及图像有十分鲜 明的特征和规律，其图像形如两个中心对称的对勾，故又名对号函数、对勾函数，在实际问 题中有着广泛的应用． 我们都知道，(a b) 0 ， 展开就是 a 2 b 2 2ab 0 ， 有 a 2 b 2 2ab ， 当且仅当 a b
初高中数学衔接课程教案 14 耐克函数 一、知识点梳理 1、反比例函数 1. 定义：一般地，形如 y 以写成 y kx
1
k k （ k 为常数， k o ）的函数称为反比例函数． y 还可 x x
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函数 ay x x=+的图像与性质 教师版(正式版)【课前预习】一、知识梳理1.函数(0)ay x a x=+>的图像与性质函数(0)ay x a x=+>在区间(0,)+∞上的图像如右图所示.主要性质如下:(1)定义域: (,0)(0,)-∞⋃+∞; (2)奇偶性: 奇函数;(3)单调性:在区间，上单调递减,在区间),(,+∞-∞上单调递增; (4)值域: (,[2,)a -∞-+∞.2.函数(0)ay x a x =+<的图像与性质函数(0)ay x a x=+<在区间(0,)+∞上的图像如右图所示.主要性质如下:(1)定义域: (,0)(0,)-∞+∞; (2)奇偶性: 奇函数;单调性: 在区间(,0)-∞以及(0,)+∞上分别单调递增; (3)值域: (,)-∞+∞.二、基础练习 1.函数1y x x=+的值域是_____________________. 2.函数1(1)1y x x x =+>-的值域是_______________. 3.函数1(1)1y x x x =->-的值域是_______________. 4.函数2y x x =-([1,2))x ∈的值域是 . 5.函数2y x x=+([1,2))x ∈(,2][2,)-∞-⋃+∞[3,)+∞R [1,1)-6.函数2y =________________. 解: 函数的定义域为R, 令t =则[2,)t ∈+∞, 且2251x t +=+, 代入得:211(2)t y t t t t+==+≥,由耐克函数性质, 1y t t =+在[2,)+∞上单调递增,当2t =时, min 52y =, 因此值域为5[,)2+∞.7.设函数(0)c y x c x=+≠在[2,)+∞上单调递增, 则实数c 的取值范围是________________. 解: 若0c >, 则0x >时, 函数的的单调区间是)+∞, 24c ≤⇔≤;若0c <, 则cy x x=+在(0,)+∞上单调递增, 于是在[2,)+∞上单调递增, 符合题意, 综上所述, c 的取值范围是(,0)(0,4]-∞⋃.8.若关于x 的方程2210x ax -+=在[3,)+∞有解, 则实数a 的取值范围是 .【例题解析】例1.求下列函数的值域. (1)2225x y x x -=-+; 解: 函数的定义域为R;令2t x =-, 则R t ∈, 且2(2)525t ty y t t t t =⇒=++++, 当0t =时, 0y =, 即0是函数值;当0t ≠时, 152y t t=++, 当0t >时, 522,)t t ++∈+∞, 当0t <时, 52(,2]t t++∈-∞-,综上所述, 值域为. (2)2sin 1sin 1y x x =-+-.解: 定义域为π{|2π, Z}2x x k k ≠+∈,令sin 1t x =-, 则20t -≤<, 且2, [2,0)y t t t =+∈-, 由基本不等式: 22()y t t t t=+=---≤-等号成立t ⇔=函数的值域为(,-∞-. 例2.函数()2af x x x=-的定义域为(0,1]． (1)当1a =-时,求函数()f x 的值域；(2)若函数()f x 在定义域上是减函数,求实数a 的取值范围；5[,)2+∞(,0)(0,4]-∞⋃19[,)3a ∈+∞(3)当0a <时,求函数()f x 的最小值．解(1)1()2f x x x=+≥当且仅当2x =时等号成立. (2)当0a ≥时()f x 是增函数,因此0a <.2()22()a af x x x x x --=+=+在上是减函数,1≥,即2a ≤-.(3)1≤,20a -≤<,则当x =()f x取最小值1>,2a <-,则当1x =时()f x 取最小值2a -.例3.设函数()1g x =, 函数1(), (3,]3h x x a x =∈-+, 其中a 为常数, 且0a >. 令()f x 为函数()g x 和()h x 的积函数.(1)求函数()f x 的表达式, 并求出其定义域; (2)当14a =时, 求函数()f x 的值域; (3)是否存在自然数a , 使得函数()f x 的值域恰为11[,]32? 若存在, 试写出所有满足条件的自然数a 所构成的集合; 若不存在, 说明理由. (1)解: ()[0,]f x x a =∈. (2)解:令1t =,则11t ≤≤, 且2(1)x t =-,代入得21, 114(1)32t y y t t t t=⇒=≤≤-++-,当14a =时, 3[1,]2t ∈,由基本不等式, 422222t t+-≥⋅-=, 等号成立2t ⇔=, 由此42y t t =+-在3[1,]2上单调递减, 其值域为13[,3]6,因此函数1() [0,]4f x x =∈的值域为16[,]313. (3)解: 即42y t t =+-的值域为4[2,3], 11y t t t⇔=+≤≤的值域为[4,5],由4224y t t=+≥⋅=, 等号成立2t ⇔=,12≥; 最大值应在区间端点处取得,当1t =时, 5y =; 当4t =时, 5y =, 由函数在[2,)+∞上单调递增,可知14≤,解不等式组214≤≤得19a ≤≤,结合N a ∈, 得其组成集合为{1,2,3,4,5,6,7,8,9}.【巩固练习】1.函数113, [,2]4y x x x =+∈的值域是_______________.2.函数21, [3,4]x y x x-=∈的值域是______________. 3.已知函数11([,))2y x x a x =+∈的值域为[2,)b ，则实数a 的取值范围是 .2a >4.设函数1y ax x =+在区间(0,2]上单调递减，则实数a 的取值范围是 .14a ≤ 5.已知当(0,)x ∈+∞时，函数1y x x=+的图像总在直线y kx =的上方，则实数k 的取值范围是 .6.已知函数22()1xf x x =+, 试判断()f x 的单调区间, 并用定义加以证明. 解: 在[1,1]-上递增, 在(,1]-∞-和[1,)+∞上分别递减;证:任取12x x < 1221121222221212222()(1)()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++ 因此121x x ≤<时, 12()()0f x f x ->;121x x <≤-时, 12()()0f x f x ->;1211x x -≤<≤时, 12()()0f x f x -< 证毕7.已知函数2()f x x ax b =++(a , b 为实常数), ()()f x g x x=, ()g x 在(0,2]上是减函数, 求b 的取值范围. 解: 即()()f x bg x x a x x==++在(0,2]上是减函数, 任取1202x x <<≤, 211212121212()()()()()()x x b x x b bf x f x x a x a x x x x ---=++-++=, 由12210, 0x x x x >->, 且12()()0f x f x ->, 得不等式12b x x >对于任意1202x x <<≤恒成立, 因为对于任意1202x x <<≤都有124x x <,所以当4b ≥时, 12b x x >对于任意1202x x <<≤恒成立. 8.求下列函数的值域. (1)221623y x x =++; 解: 函数的定义域为R,815[,]3413]21k ≤2222161622(3)633y x x x x =+=++-++66≥=,等号成立222(3)83x x ⇔+=⇔+= 上述方程无解,因此当2330x x +=⇔=时, min 163y =, 因此函数的值域为16[,)3+∞.(2)2512, [4,8]2x x y x x -+=∈-;解: 令2t x =-, 则26t ≤≤, 且2x t =+; 2(2)5(2)12t t y t +-++=, 26611t t y t t t-+⇒==+-≥,等号成立t ⇔=当2t =时, 4y =; 当6t =时, 6y =;因此函数的值域为1,6]. (3)121log log , (1,4]2x y x x =+∈;解: 令12log t x =, 则20t -≤<,1, 20y t t t=+-≤<,1()2y t t=---≤-, 等号成立1t ⇔=-,因此函数的值域为(,2]-∞-.(4)13, [2,0]1y x x x =-+∈-- 解: 由函数11y x =-与3y x =-+在[2,0]-递减, 当2x =-时, max 143y =; 当0x =时, min 2y =; 因此函数的值域为14[2,]3.9.对于区间D 上有定义的函数()f x 和()g x , 如果对于任意D x ∈, 都有()()1()10f xg x f x -≤, 那么称函数()f x 在区间D 上可被函数()g x 替代.(1)求证:函数()f x =在区间[4,16]上可被一次函数1()(6)5g x x =+替代;(2)试问函数2y x =在区间[1,2]上是否可被常数函数y c =替代? 说明理由.(1)证明:()()5()f xg x f x -===-,55≥,等号成立x ⇔=因此函数5y =-在[4,16]上单调递增,其值域为[0,5],因此()()15[0,]()10f xg x f x --∈, 即()()1()10f x g x f x -≤, 证毕. (2)解: 若存在常数c , 使得2221110x c c x x -=-≤在[1,2]上恒成立, 即21111010c x -≤-≤, 由221191010c x c x -≤⇔≤在[1,2]上恒成立185c ⇒≥, 由2211111010c x c x -≤-⇔≥在[1,2]上恒成立1110c ⇒≤, 综上所述, 不存在这样的c .10.某工厂统计资料显示, 已知产品的次品率p 与日产量x (N x ∈, 且0100x <≤)之间的关系如下表所示:已知生产一件正品盈利a 元, 生产一件次品亏损(0)3aa >元.(1)求该厂的日盈利额y 关于日产量x 的函数关系; (2)求最大盈利时, 该厂的日产量. (1)解: 由表可知1(0100, N)108p x x x=<≤∈-,4(1)(0100, N)33(108)a x y p x a px a x x x x ⎡⎤∴=-⋅-⋅=⋅-<≤∈⎢⎥-⎣⎦; (2)解: 令108t x =-, 则8108, N t t ≤<∈,4(108)11441256108109()[109212]3333t y a t a t a a t t -⎡⎤⎡⎤=⋅--=⋅-+≤⋅-⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,当号成立1296t x ⇔=⇔=,即当日生产量为96时, 利润最大.【提高练习】11.具有性质:1()()f f x x=-的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,下列函数：①1y x x =-. ②1y x x =+. ③,(01)0,(1)1(1)x x y x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩中满足“倒负”变换的函数是( B ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．只有①12.给出一个不等式:2R)x ≥∈, 试问对于哪些正实数c , 不等式对于任意R x ∈恒成立?解:考察函数2y ==,令t =则t ≥设5(), f t t t t=+≥即求c 的取值范围,使()f t f ==在)+∞上恒成立,也即函数min ()f x f =, 由此可知, 5()f t t t =+在)+∞上单调递增,由耐克函数性质, 5()f t t t=+在)+∞5c ⇔≥.。