2018年全国高中数学联赛(重庆赛区)预赛试题(含答案)
2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
a 2018年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2018B1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是 ◆答案： 31★解析:易知{}16,2,0,4=B ，所以{}16,8,4,2,1,0=B A ，元素之和为31.2018B 2、已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ 与底面所成角不大于045，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为 ◆答案： π3★解析:记圆锥的顶点P 在底面的投影为O ，则O 为底面中心，且1tan ≤=∠OQOPOQP ，即1≥OQ ，故所以区域的面积为πππ31222=⨯-⨯。
2018B 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为 ◆答案：101 ★解析：由def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=⨯种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=⨯种，从而def abc +为奇数的概率为101!672=。
2018B 4、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 通过原点，)1,3(=n 是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意正整数n ，点),(1n n a a +均在l 上．若62=a ，则54321a a a a a 的值为 ◆答案： 32-★解析:易知直线l 的方程为x y 3-=，因此对任意正整数n ，有n n a a 311-=+，故{}n a 是以31-为a 公比的等比数列.于是23123-=-=a a ，由等比数列的性质知325354321-==a a a a a a2018B 5、设βα,满足3)3tan(-=+πα，5)6tan(=-πβ，则)tan(βα-的值为◆答案： 47-★解析:由两角差的正切公式可知7463tan =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+πβπα，即可得47)tan(-=-βα2018B 6、设抛物线x y C 2:2=的准线与x 轴交于点A ，过点)0,1(-B 作一直线l 与抛物线C 相切于点K ,过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点N M ,，则KMN ∆的面积为为 ◆答案：21★解析:设直线l 与MN 的斜率为k ，:l 11-=y k x ，:MN 211-=y k x 分别联立抛物线方程得到：0222=+-y k y （*），和0122=+-y ky （**） 对（*）由0=∆得22±=k ；对（**）得2442=-=-k y y NM所以2121=-⋅⋅=-==∆∆∆∆N M KBAN BAM BMN KMN y y AB S S S S2018B 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤1)(010x f x 的解集为◆答案：[]ππ--4,62★解析：由)(x f 为偶函数及在区间[]2,1上严格递减知，)(x f 在[]1,2--上递增，结合周期性知，)(x f 在[]1,0上递增，又1)()4(==-ππf f ，0)2()62(==-ππf f ，所以不等式等价于)4()()62(ππ-≤≤-f x f f ，又14620<-<-<ππ，即不等式的解集为a[]ππ--4,622018B 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则133221z z z z z z ++的实部是 （用含有r 的式子表示） ◆答案： 232-r★解析:记133221z z z z z z w ++=，由复数的模的性质可知：111z z =，221z z =，331z z =，因此 133221z z z z z z w ++=。
2019年全国高中数学联赛重庆赛区预赛试题及参考答案
∴|������������1 + ������������2|2 = (������������1 + ������������2)(��������������1��+����������������2�) = ������������1�������������1 + ������������2�������������2 + �������������1������������2 + ������������1�������������2 = 2 ∴|������������1 + ������������2| = √2
答案： 1
提示：tan 15o
+
2√2 sin
15o
=
sin 15o cos 15o
+
2√2 sin 15o
=
sin 15o+√2 sin 30o cos 15o
=
sin 15o+√2 sin(45o−15o) cos 15o
=
sin 15o+√2(sin 45o cos 15o−cos 45o cos 15o
Hale Waihona Puke sin 15o)=
1.
4.已知向量������⃗������，�������⃗������，������⃗������满足|������⃗������| ∶ ��������⃗������� ∶ |������⃗������| = 1 ∶ ������������ ∶ 3(������������ ∈ ������������+)，且�������⃗������ − ������⃗������ = 2(������⃗������ − �������⃗������)，若������������为������⃗������，������⃗������的
2018年全国高中数学联赛(重庆赛区)预赛试题参考答案
（3）（2）（1）2018年全国高中数学联赛（重庆赛区）预赛试题参考答案一、填空题: 本大题共6小题，每小题8分，共48分，把答案填在横线上.1.设集合{}21,2log A a b =-与 {}2=1,log (1664)B a b +-恰有一个公共元素为a ， 则实数a = . 答案：6解析：因为1,1,a a a a -≠+≠所以公共元素为 222log log (1664)b b =-，解得28,2log 6b a b ===。
2. 从正九边形中任取三个顶点构成三角形， 则正九边形的中心在三角形内的概率为 . 答案：514解析：如图，正9边形中包含中心的三角形有以下三种形状：对于（1），有3种情况；对于（2），有9种情况；对于（3）；有18种情况；故所求概率为393918514P C ++== 3.设(0,0)O ，(1,0)A ，(0,1)B ，点P 是线段AB 上的一个动点，=AP AB λuu u r uu u r ，若OP AB PA PB ⋅≥⋅uu u r uu u r uu r uu r，则实数λ的取值范围是_______________.答案：[1解析：(1)(1,)AP AB OP OA OB λλλλλ=⇒=-+=-u u u r u u u r u u u r u u r u u u r ，则(1,1)PB λλ=--u u r ，(,)PA λλ=-u u r， 2(1,)(1,1)(,)(1,1)2410OP AB PA PB λλλλλλλλ⋅≥⋅⇔-⋅-≥-⋅--⇒-+≤u u u r u u u r u u r u u r，解得：11λ≤≤+，因点P 是线段AB 上的一个动点，所以01λ≤≤，综上，满足条件的λ的取值范围是112λ-≤≤.4.顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB OB ⊥，垂足为B ，OH HB ⊥，垂足为H ，且4PA =，C 为PA 的中点，则当三棱锥O HPC -的体积最大时，OB 的长为______..5.已知复数z 的模为1，则22|4||3|z z i -++的最小值为_____________. 答案：17解：在复平面内，设(4,0)A 、(0,3)B -，P 为单位圆上的点，问题转化为求22||||PA PB +的最小值，设(cos ,sin )P αα，其中R α∈222222||||(cos 4)sin cos (sin 3)276sin 8cos PA PB αααααα+=-++++=+- 2710sin()17αϕ=++≥由于R α∈，必存在α使sin()1αϕ+=-，即等号可以取到.6.在ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C BA B C+=++ . 答案：22017解析：因为222sin sin 2018sin A C B += 所以2222018a c b +=⋅注意到：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅故2(tan tan )tan tan tan tan A C B A B C+++ 2(tan tan )tan 11()tan tan tan tan tan tan A C B B A B C A C+==+⋅⋅22222222sin 1222()sin sin cos 20182017B b ac b AC B ac a c b b b =⋅===⋅+--. 二、解答题：本大题共4小题，第7、8题各16分，第9、10题各20分，共 72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.7.（满分16分）设()f m 是正整数m 的各位数字的乘积，求方程2()1036f m m m =-- 的正整数解. 解：设m 是n 位正整数，若3n ≥，则110100n m -≥≥,∴29()1036(10)3690369103610nnn f m m m m m m ≥=--=--≥-≥⋅->矛盾.此时无解. ...... 4分若1n =，则2()1036f m m m m ==--，此方程无整数解. ......8分 若2n =，且20m ≥，则281()103640020036164f m m m ≥=--≥--=矛盾 ∴[10,19]m ∈， ...... 12分 设10m k =+，2()(10)10(10)36f m k k k =+-+-=，解得3k =， 综上，方程的解为13m =. ...... 16分8．(满分16分) 设12a =, 211n n n a a a +=-+.证明：20182018111112018nn a =-<<∑.证明：由递推式得211(1)n n n n n a a a a a +-=-=- 所以111111n n n a a a +=---. 从而得2018201812019111111()1111n n n n n a a a a +===-=----∑∑. ...... 4分 又21(1)0n n n a a a +-=->得数列{}n a 单调递增, 所以12n a a ≥=.特别地20182019111111kk aa ==-<-∑. ...... 8分由递推式可得111n n n a a a +-=-.从而 11211111n n n a a a a aa ++-⋅==--. ...... 12分 由均值不等式及已证结论有1111nk k n n a =>≥∑所以 12nn a a a n ⋅>特别地2018201912201812018a a a a -=⋅>故20182018201911111112018kk aa ==->--∑. ...... 16分 9．(满分20分) 设椭圆C 的左、右顶点为,(,0)A B a , 过右焦点(1,0)F 作非水平直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点, 记直线,AP BQ 的斜率分别为12,k k , 试证:12k k 为定值, 并求此定值(用a 的函数表示). 证明：设:1l x ty =+，代入椭圆方程222211x y a a +=-得 2222222((1))2(1)(1)0a t a y a ty a -++---=，设 1122(,),(,)P x y Q x y , 则2122222(1)(1)a t y y a t a -+=--+，2212222(1)(1)a y y a t a-=--+. ......5分 两式相除得1221221y y t y y a +=-, 212121()2a ty y y y -=+. 由题意知111111y y k x a ty a ==+++, 222221y y k x a ty a ==--+. ........ 10分 从而2112121122211222(1)(1)()/2(1)(1)()/2k y ty a a y y ay y k y ty a a y y ay y -+-+-+==++-+++ . 22122212(21)(1)(1)(21)a a y a y a y a a y -++-=-+++. ......15分 因为222221111121a a a a a a a a -+--==-+++ 所以 1211k a k a -=+. ......20分10． (满分20分) 设函数2()f x ax bx c =++ (0a ≠)满足|(0)|2,|(2)|2,|(2)|2,f f f ≤≤-≤求当[2,2]x ∈-时|()|y f x =的最大值.解：由题意知(0)42(2)42(2)c f a b c f a b c f =⎧⎪++=⎨⎪-+=-⎩，解得(0)(2)(2)2(0)8(2)(2)4c f f f f a f f b ⎧⎪=⎪+--⎪=⎨⎪--⎪=⎪⎩ 从而当[2,2]x ∈-时,2(2)(2)2(0)(2)(2)|()|(0)84f f f f f y f x x x f +----==++222224(2)(2)(0)884x x x x x f f f +--=+-+222224442x x x x x +--≤++. ......5分 因为[2,2]x ∈-时2222044x x x x+-⋅≤，从而222222224224|()|442442x x x x x x x x x x f x +--+--≤++=-+2||22x x =-++. .....10分易知当[0,2]x ∈ 时 225||22222x x x x -++=-++≤当[2,0]x ∈- 时 225||22222x x x x -++=--+≤得2||2||25max |()|max(||2)22x x x f x x ≤≤≤-++≤. ........ 15分 最后取21()22f x x x =-++,则(2)(2)(0)2f f f =-==.故该函数满足题设条件且在[2,2]-上能取到最大值52.因此|()|y f x =的最大值为52. ......20分。
2018年全国高中数学联合竞赛一试(含答案)
则(������ + ������������)������2 + 2(������ − ������������)������ + 2 = 0，
整理得：(������������2 + 2������������ + 2) + (������������2 − 2������������)������ = 0
由图结合对称性得：
������1 = ������ − 2, ������2 = 2������ − [4 + 2(2������ − 6)] = 8 − 2������ 所以，由函数单调性，不等式1 ≤ ������(������) ≤ 2在[1，2]内
分析：������������������ + ������������������为偶数，则������������������与������������������奇偶性相同，
故当������ ≥ 2 时，
������������ = √������ ± √������ − 1 ≤ √������ + √������ − 1 < 2√������ (2) ������������与������������+1异号时结论显然成立，
当������������与������������+1同号时： 由(1)得������������ = ±√������， 不妨得：������������ = √������ − √������ − 1
6. 设复数������满足|������|=1，使得关于������ 的方程z������2 + 2������̅������ +
2 = 0有实根，则这样的复数������的和为
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)_PDF压缩
等式得
f (u) + f (v) ≥ f (u) − f (v) ≥ 4 ，
故 f (u) ≥ 2 与 f (v) ≥ 2 中至少有一个成立．
注意到 f (4 ) f ( 4) f () 1, f (2 6) f (2) 0 ，
所以
0 f (x) 1 f (2 6) f (x) f (4 ) ，
而 0 2 6 4 1 ，故原不等式组成立当且仅当 x [2 6, 4 ] ．
4 7
，即
tan
2
4 7
，从而
tan(
)
cot
2
7 4
．
6. 设抛物线 C : y2 2x 的准线与 x 轴交于点 A ，过点 B (1, 0) 作一直线 l 与
抛物线 C 相切于点 K ，过点 A 作 l 的平行线，与抛物线 C 交于点 M , N ，则 KMN
…………………5 分
由 f (a) f (b) 得 1 log3 a log3 b 1，
即 log3 a log3 b 2 ，因此 ab 32 9 ．于是 abc 9c ． 又
…………………10 分
0 f (c) 4 c 1，
…………………15 分
故 c (9, 16) ．进而 abc 9c (81, 144) ．
2018年全国高中数学联合竞赛一试B卷参考答案(含加试)
三）叶
(9a+b+I) — ( 6矗+ b) 分 [1, 9], 均有 11cx)I<2, 则 ………………10 分 切 @ @
由句，＠得， 2a-6 = /(2)-/(1); 又由＠，＠得， 6a-2 = /(3)-/(2). 由上述两式消去 a, 可知 但 /(3)-4/(2)+3/(1)<2+4 . 2+3. 2=16, 矛盾！从而命题得证．
2018年全国高中数学联合竞赛一试(B卷） 参考答案及评分标准
为
是0+1+ 2+ 4+8+16=31. 2. 已知 圆锥的 顶点为P, 底面半径长为2'高为1.在圆锥 底面 上取 一 点Q , ° 使得 直线PQ与底面所成角不大千45 , 则满足条件的点Q所构成的区域 的面积 解：圆锥顶点 P在底面上的投影即为底面中心， 记之为o. 由条件知， OP = tan乙OQP三1'即OQ之1'故所求 的区域面积为7r·22 -Jr-12 =31r. OQ 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成 一 行，记为a,b,c,d,e ,f, 则abc+def是奇数的概 答案： 1 — 答案： 31r.
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次． 2. 如果考生的解答方法和本解答不同， 只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 一 个档次 ，第10、 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为 一 个档次 ，不得增加其他中间档次． 11小题5分为 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． {2, 0,1,8}, B= {2a I a E A}, 则AUB的所有元素之和是 1. 设集合A= ．
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
说明： 1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分． 2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，10 分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、（本题满分 40 分）设 a, b 是实数，函数 f (x) = ax + b + 9 ． x
知，满足条件的情况数为 36 × 2 =72 种．从而所求概率为= 72 7= 2 1 ． 6! 720 10
4. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 通过原点， n (3, 1) 是 l 的一个法向
量．已知数列{an}满足：对任意正整数 n ，点 (an1, an ) 均在 l 上．若 a2 6 ，则
11.（本题满分 20 分）如图所示，在平面直角 坐 标 系 xOy 中 ， A 、 B 与 C 、 D 分 别 是 椭 圆
x2 y2 : a2 b2 1 (a b 0) 的左、右顶点与上、下顶 A 点．设 P, Q 是 上且位于第一象限的两点，满足
y
R
P
C
M
Q
O
Bx
OQ ∥ AP ， M 是线段 AP 的中点，射线 OM 与椭
是 0 1 2 4 8 16 31 ．
2. 已知圆锥的顶点为 P ，底面半径长为 2 ，高为1．在圆锥底面上取一点 Q ，
使得直线 PQ 与底面所成角不大于 45 ，则满足条件的点 Q 所构成的区域的面积
为
．
答案： 3 ．
解：圆锥顶点 P 在底面上的投影即为底面中心，记之为 O ．由条件知， OP tan OQP 1 ，即 OQ 1 ，故所求的区域面积为 22 12 3 ． OQ
2018全国高中数学预赛试题
1．集合 A {x Z | log2 x 2} 的真子集个数为． [ （ A ）7 （ B ）8 （ C ）15
] （ D ）16
2．三棱锥 P ABC 的底面 △ABC 是边长为 3 的正三角形， PA 3 ， PB 4 ， PC 5 ，则三 棱锥 P ABC 的体积为．[ （ A）3 ] （ C ） 11 （D）2 3 （ B ） 10
准考证号_________________________
2018 年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛
暨 2018 年吉林省高中数学联赛试题
（2018 年 5 月 20 日 星期日 上午 8:30---11：00） 题号 得分 评卷人 复核人 考生注意：本试卷共计 4 页，16 道题，满分 150 分 一 二 三（13） 三（14） 三（15） 三（16） 总 分
a b 2 ≥ 0 a 2b 11．若实数 a ,b 满足条件 b a 1 ≤ 0 ，则 的最大值等于__________． 2 a b a ≤ 1
n N* ，p 为常数） 12． 在数列 an 中， 若 an 2 an12 p（ n 2 ， ， 则称 an 为 “等方差数列” ． 下
得分
3
y xy ， x y z xyz ，则 z 的取值范围是[
3
（ B ） 1,
3
二、填空题（本题共 6 个小题，每小题 5 分，满分 30 分） 请将答案写在题中横线上，各小题只要求直接写出结果.
7．函数 y
x3 log 2 2 的定义域为__________． x 1 x 6x 8 1
2018 全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛试题第 2 页（共 4 页)
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内的点， 为底面圆圆心，
，垂足为 ，
，垂足为 ，且
，
1
为 的中点，则当三棱锥 答案： .
的体积最大时， 的长为______.
5.已知复数 的模为 ，则
的最小值为_____________.
答案：
解：在复平面内，设
、
， 为单位圆上的点，问题转化为求
的
最小值，设
，其中
由于
，必存在 使
，即等号可以取到.
6.在
中，
，则
.
答案： 解析：因为 所以 注意到： 故
.
二、解答题：本大题共 4小题，第 7、8题各 16分，第 9、10题各 20分，共 72分，解答 应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
7.（满分 16分）设
是正整数 的各位数字的乘积，求方程
的
正整数解.
解：设 是 位正整数，若，则源自,矛 盾 .此 时 无
2
解. 若
，则
...... 4分 ，此方程无整数解. ......8分
若
，且
，则
，
......12分
设
，
综上，方程的解为
8．(满分 16分)设
. ......16分
，解得
，
,
.证明：
矛盾 .
证明：由递推式得
. 从而得
所以 . ......4分
又
得数列 单调递增,所以
.
特别地
.
......8分
由递推式可得
对于（1），有 种情况；对于（2），有 种情况；对于（3）；有 种情况；故所求概率为
3.设
，
答案：
，
，点 是线段 上的一个动点，
，则实数 的取值范围是_______________.
，若
解析： ，
，则
， ，解得：
，因点 是线段 上的一个动点，所以
，综上，满足条件的
的取值范围是
.
4.顶点为 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形， 是底面圆周上的点， 是底面圆
.
........15分
. 上能取到最大值 .因此
的最大值为
5
， ,
,
. ......5分 .
. ........10分 .
.
......15分
因为
所以
.
......20分
10． (满分 20分)设函数
( )满足
求当
时
的最大值.
4
解：由题意知
，解得
从而当
时,
因为
时
.
......5分
，从而
.
.....10分
易知当
时
当
时
得
最后取
,则
故该函数满足题设条件且在
.
......20分
2018年全国高中数学联赛（重庆赛区）预赛试题参考答案
一、填空题:本大题共 6小题，每小题 8分，共 48分，把答案填在横线上.
1.设集合
与
恰有一个公共元素为 ， 则实
数
.
答案：
解析：因为
所以公共元素为
，解得
。
2.从正九边形中任取三个顶点构成三角形， 则正九边形的中心在三角形内的概率
为
.
答案：
解析：如图，正 边形中包含中心的三角形有以下三种形状：
.从而
. ......12分
由均值不等式及已证结论有
.
所以 特别地 故
.
......16分
3
9．(满分 20分)设椭圆 的左、右顶点为
,过右焦点
作非水平直线 与椭
圆 交于
两点,记直线
的斜率分别为
,试证: 为定值,并求此定值
(用 的函数表示).
证明：设
，代入椭圆方程
得
，
设
,则
两式相除得 由题意知 从而