图论与电路

[B]=
l ×b
1
独立回路l 独立回路
每一行对应一个独立回路， 每一行对应一个独立回路， 每一列对应一条支路， 每一列对应一条支路，矩阵 B的每一个元素定义为： 的每一个元素定义为： 的每一个元素定义为
支路j 在回路i中方向一致 支路 在回路 中方向一致 支路j 在回路i中方向相反 支路 在回路 中方向相反 支路j 不在回路i中 支路 不在回路 中
T
４ ① ２ ３
５ ③ ６ ④1
[ B ][ u ]=
1 -1 0 1 -1 1 0 1 -1 Bt
1 0 0
0 1 0 Bl
0 0 1
u4 u5 u4 − u5 + u1 u6 = u4 − u5 + u6 + u2 = 0 u1 u5 − u6 + u3 u2 u3
A
B D
A
C B
哥尼斯堡七桥难题
D
C
1.
10.1 图论的基本定理 n=5 电路的图 i
R1 R3 抛开元 件性质
1
b =8
8 3 5
R2 + uS _ R5
R4
1 5 2 6 4 3
2 7
4 6
元件的串联及并联 组合作为一条支路
一个元件作 为一条支路
n= 4
b=6
有向图
电路的图是用以表示电路几何结构的图形， 电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支 路和结点与电路的支路和结点一一对应。 路和结点与电路的支路和结点一一对应。 图的定义( (1) 图的定义(Graph) G={支路，节点} 支路，节点 支路 ① １ ②
Aa=
结点n 结点
n ×b
每一行对应一个结点， 每一行对应一个结点， 每一列对应一条支路， 每一列对应一条支路， 矩阵A 矩阵 a的每一个元素定 义为： 义为：
ajk
ajk=1 ajk= -1 ajk =0
支路k与 关联， 支路 与结点j 关联，方向背离结点。 支路k与 关联， 支路 与结点j 关联，方向指向结点 支路k与结点 与结点j无关 支路 与结点 关
设③为参考节点,得降阶关联矩阵 为参考节点 得降阶关联矩阵
2 3 4 5 6 1 -1 -1 0 1 0 0 Aa= 2 0 0 1 -1 -1 0 4 0 1 -1 0 0 -1
支 结 1
注
给定A可以确定 给定 可以确定Aa， 可以确定 从而画出有向图。 从而画出有向图。
引入关联矩阵A的作用： 引入关联矩阵 的作用： 的作用
矩阵形式的KVL： [ B ][ u ]= 0 ： 矩阵形式的
[ Bf ][ u ]= 0 可写成
ut [Bt 1 ] = 0 ul
1 7 6
2 5 8
3
2
不是 回路
4
回路
特点
1）对应一个图有很多的回路 ） 基本回路的数目是一定的， 2）基本回路的数目是一定的，为连支数 3）对于平面电路，网孔数为基本回路数 对于平面电路，
l = bl = b − (n −1)
基本回路(单连支回路 基本回路 单连支回路) 单连支回路 6 4 2 1 3 1 5
7
10.2 KCL和KVL的独立方程数 和 的独立方程数
1.KCL的独立方程数 的独立方程数 1.
2 1 1 6 4 4 3 5 1 2 3 2 3 4 1
i1 − i4 − i6 = 0 − i1 − i2 + i3 = 0 i2 + i5 + i6 = 0 − i3 + i4 − i5 = 0
第10章 图 10章
重点
论
关联矩阵、割集矩阵、 1. 关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩 阵和基本割集矩阵的概念 回路电流方程、 2. 回路电流方程、结点电压方程和割 集电压方程的矩阵形式
网络图论
图论是拓扑学的一个分支， 图论是拓扑学的一个分支，是富有 趣味和应用极为广泛的一门学科。 趣味和应用极为广泛的一门学科。
例
② ４ ① ２ ３ ６ ④1
为树， 选 4、5、6为树，连支顺序为 、2、3。 、 、 为树 连支顺序为1、 、 。 支 回 4 5 1 1 -1
５ ③
6
0
1
1
2
0
3
0
B = 2 1 -1 1 0 1 0 3 0 1 -1 0 0 1
Bt = [ Bt 1 ] Bl
②
引入回路矩阵[B]的作用： 引入回路矩阵 的作用： 的作用 回路矩阵[B]表示矩阵形式的 表示矩阵形式的KVL方程 ① 用回路矩阵 表示矩阵形式的 方程 设 [u] = [u4 u5 u6 u u2 u3 ] 1 ut ul
4 8 2 3
割集Q 割集 (Cut set ) Q是连通图 中支路的集合，具有下述性质： 是连通图G中支路的集合 具有下述性质： 是连通图 中支路的集合， (1)把 中全部支路移去 图分成二个分离部分。 中全部支路移去， (1)把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 (2)任意放回 中一条支路，仍构成连通图。 任意放回Q (2)任意放回 中一条支路，仍构成连通图。 6 6 1 4 1 4 3 9 7 3 9 5 2 8 5 2 8 割集： ）（2 ）（3 ）（4 ）（ ）（5 割集：（1 9 6）（ 8 9）（ 6 8）（ 6 7）（ 7 8） ）（ ）（ ）（ ） ）（3 （3 6 5 8 7）（ 6 2 8）是割集吗？ ）（ ）是割集吗？ 基本割集 只含有一个树枝的割集。割集数＝ 只含有一个树枝的割集。割集数＝n-1 连支集合不能构成割集
基本回路具有独占的一条连枝 6 2 1 3 3
5 2
结论
结点、 结点、支路和 基本回路关系
支路数＝树枝数＋ 支路数＝树枝数＋连支数 结点数－ ＋ ＝结点数－1＋基本回路数
b = n + l −1
例
图示为电路的图， 图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基 本回路。 本回路。 1 4 8 3 5 6 7 2 8 5 6 7 4 8 3 6
＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝0
结论 n个结点的电路 独立的 个结点的电路, 独立的KCL方程为 个。 方程为n-1个 个结点的电路 方程为
2.KVL的独立方程数 的独立方程数 2.
KVL的独立方程数 基本回路数 －(n－1) 的独立方程数=基本回路数 的独立方程数 基本回路数=b－ －
结 论
n个结点、b条支路的电路 独立的 个结点、 条支路的电路 条支路的电路, 个结点 KCL和KVL方程数为： 方程数为： 和 方程数为
图中的结点和支路各自是一个整体。 a. 图中的结点和支路各自是一个整体。 b. 移去图中的支路，与它所联接的结点依然存在， 移去图中的支路，与它所联接的结点依然存在， 因此允许有孤立结点存在。 因此允许有孤立结点存在。
如把结点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。 c. 如把结点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。
1）对应一个图有很多的树 ） 2）树支的数目是一定的： 树支的数目是一定的： 连支数： 连支数：
bt = n −1
bl = b − bt = b − (n −1)
回路 (Loop)
L是连通图的一个子图，构成一条闭合 是连通图的一个子图， 路径，并满足：(1)连通 (2)每个节点 连通， 路径，并满足：(1)连通，(2)每个节点 关联2 关联2条支路 1 2 7 5 8 4 3 5
bij= -1
0
例
４ ①
② ５
取网孔为独立回路， 取网孔为独立回路，顺时针方向
③
1
２
３ 2 ６ ④1
3
支1 2 3 4 5 6 回 1 0 1 1 1 0 0 B = 2 0 0 -1 0 -1 1 3 1 -1 0 0 0 -1 给定B可以画出有向图。 给定 可以画出有向图。 可以画出有向图
注
若独立回路选单连枝回路得基本回路矩阵[B 规定： 若独立回路选单连枝回路得基本回路矩阵[Bf]，规定： 1。连支电流方向为回路电流方向 2。支路排列顺序为先树支后连支， 支路排列顺序为先树支后连支， 回路顺序与连支顺序一致
结点 回路 割集
支路 支路 支路
关联矩阵 回路矩阵 割集矩阵
1. 关联矩阵
一条支路连接两个结点， 一条支路连接两个结点，称该支路与这两个结点相关 结点和支路的关联性质可以用关联矩阵A 描述。 联，结点和支路的关联性质可以用关联矩阵 a描述。 N个结点b条支路的图用n×b的矩阵描述 个结点b条支路的图用 × 的矩阵描述 个结点 支路b 支路
引入降阶关联矩阵A 引入降阶关联矩阵 A=
(n-1) ×b
结点（ ） 结点（n-1）
② ４ ① ２ ３ ６ ④1 ５ ③
设④为参考节点,得降阶关联矩阵 为参考节点 得降阶关联矩阵
2 3 4 5 6 1 -1 -1 0 1 0 0 A= 2 0 0 1 -1 -1 0 3 1 0 0 0 1 1
支 结 1
(2) 路径
从图G 从图G的一个节点出发沿着一些支路连续 移动到达另一节点所经过的支路构成路 经。 图G的任意两节点间至少有一条路经 时称为连通图， 时称为连通图，非连通图至少存在两 个分离部分。 个分离部分。
（3）连通图
(3) 子图
若图G 中所有支路和结点都是图G中 若图 1中所有支路和结点都是图 中 的支路和结点，则称G1是G的子图。 的支路和结点，则称 的子图。 的子图
(n −1) + b − (n −1) = b
10.3 图的矩阵表示
电路的图表征了网络的结构和拓扑， 电路的图表征了网络的结构和拓扑，依据电路 的图，可以写出网络的KCL和KVL方程。 方程。 的图，可以写出网络的 和 方程 图的矩阵表示 用矩阵描述图的拓扑性质， 用矩阵描述图的拓扑性质， 的矩阵形式。 即KCL和KVL的矩阵形式。 和 的矩阵形式