2018-2019《大学数学微积分B1》试卷及答案
清华大学本科生微积分B(1)期末考试往年试题及解答
的收敛域是 ∑∞ an (x −1)n
．
n=1
答案： [0, 2)
．若 ，则 6
∫
lim
x→+∞
x x
− +
a a
x
=
+∞ xe−xdx
a
a=
.
答案：
．7
lim
n→∞
n
1 +1
+
n
1 +
2
+
⋯
+
n
1 +
n
=
.
函数 ≤ ≤ 的以 为周期的 级数是 8.
f
(x)
=
1, −1,
0 x π, −π<x < 0
+
x)
从而 ∑∞ (−1)n n=0
n+2 n +1
xn
=
1
1 +
x
+
ln(1 + x
2,
x)
,
x ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1), x = 0.
．证明 ，并计算定积分 ． 13
∫ ∫ π 3 π
cos2 x x(π − 2x)
dx
=
π
3 π
sin2 x x(π − 2x)
dx
∫ I =
π
3 π
3 π
6
． = ln 2 π
14. 已知曲线段 ：L y = ln x (1≤ x ≤ 3 ) ，有界区域 D 由 L 与 x 轴及直线 x = 3 围成．
（Ⅰ）求 D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积；
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2018年秋季学期微积分期末试卷解答
一． 填空题 1. 答案： 解析：
. 当 时，
所以 若
.综上， .
2. 答案：1
解析：
，
，则必有
1
3. 答案：
解析：
，
4. 答案： 解析：由泰勒定理得，
，其中
.于是，
.
2
5. 答案： 解析：
6. 答案： 解析：
7. 答案：
解析：
.
8. 解析：设
或 ，
，得
.
或
，
，
，
.代入
，得
3
.代入 .因此，
. 或者
， ， .因此，
，
，
，
.代入
，
，得
.
，
.代入
，得
，
.
二． 解析：由
时，
，可知
三． 解析： ，
.
，代入点
得
.
，代入点 得
，
.
，
4
四． 解析：
，整理得
，两边求得得， .
当 时， (
).因此，
，
，故
，得 .
五． 解析：由柯西中值定理得，存在 ，即
.
使得 ，
六． 解析：双纽线的极坐标方程为
，则
பைடு நூலகம்
.
，则由
得
，与
矛盾.
，解得
综上，
.
或者
得，
，
，所以数列 单调递减，且
，
由单调有界准则可知，极限
存在，且
.若
，则
.由
得
，得
矛盾.因此，
.
(2)因为
武汉大学2018-2019学年第一学期《高等数学B1》考试试卷
1+ x 2 1+ e 2 x ⎰⎰《高等数学 B1》考试试卷（A 卷）一、 计算题：（每题 7 分，共 56 分）1. 求由方程ln xy = e x + y 所确定的隐函数 y = y (x ) 的导数dy .dx2. 求lim 2 - 1+ cos x .3. 求 limxsin t 3dt0 .x →0-1x →0+x cos t 2dtlim 1 ⎡⎛ x + 2 ⎫ + ⎛ x + 4 ⎫ + + ⎛ x + 2n ⎫⎤ 4. 求n →∞ n ⎢ n ⎪ n⎪ n ⎪⎥ . ⎣⎝⎭ ⎝⎭⎝⎭⎦5. 求不定积分⎰ 1dx .π6. 求定积分 2 x (1- sin x )dx .7. 求方程 y '+2xy = xe - x 2的通解.8. 设 f '(x ) = e - x2,lim x →+∞f (x ) = 0, 求 +∞x 2f (x )dx . 0 二、(7 分) 证明当0 < x < π 时， sin x > 2x .2 π三、(10 分) 设抛物线 y = ax 2 + bx + c 过原点，当0 ≤ x ≤ 1时，y ≥ 0. 又已知 该抛物线与x 轴及直线 x = 1所围成的图形的面积为1，试确定a ,b , c , 使3 此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小。
四、(7 分) 试判断函数 f (x ) = lim x2n -1 -1 2n的间断点及其类型。
n →∞x +1五、(10 分) 设函数 f (x ), g (x ) 满足 f '(x ) = g (x ), g '(x ) = 2e x - f (x ), 且f (0) = 0,g (0) = 2, 求 f (x ), g (x ) 的表达式。
六、(10 分)设函数 f (x ) 在[0, 3] 上连续，在(0, 3) 内可导，且f (0) + f (1) + f (2) = 3, f (3) = 1 ，试证：必存在ξ ∈(0,3), 使 f '(ξ ) = 0.⎰ ⎰1+ e 2 x +11+ e 2 x -⎨《高等数学 B1》标准答案（A 卷）一、1、y (xe x + y -1)；2、 1；3 、 0； 4、 + ；5、 1x (1- ye x + y)+ 2 2 ；6、π 2 - ；7、x = 1 2 +1- x 2；ln C 2 1 y ( 8 2 x C )e8、⎰+∞ x 2f (x )dx = 1x 3 f (x ) +∞ - 1 ⎰+∞ x 3 f '(x )dx3 0 3 0= 1limf (x ) + 1 (x 2e - x 2 + e - x 2 -1) +∞ = - 1 + 1 lim f '(x ) = - 1 3 x →+∞ x -3 60 6 3 x →+∞ -3x -4 6 二、证明：设 f (x ) = sin x ，则 f '(x ) = x cos x -sin x = cos x(x - tan x ) < 0 ，x所以在(0, π) 内 f (x ) 单调递减，故 f (x ) > 2三、a = - 5 ,b = 3, c = 04 2⎧⎪-1, | x |< 1, x = -1, x 2 π f ( ) 2 x 2 = 2 . 即证得结论。
微积分b1期末试题及答案
微积分b1期末试题及答案一、选择题（共30分，每题2分）1. 在平面直角坐标系中，曲线y=ax³+bx²+cx+d (a≠0) 的图象为抛物线，其开口方向为(A) 向上 (B) 向下 (C) 不确定2. 曲线y = |x-2|的图象关于点(3,0)对称的图象是(A) y ≥ 0 (B) y ≤ 0 (C) 不确定3. 函数y=ln(ax+b)在x=0处的导数为(A) a (B) a/b (C) -a/b4. 函数y=3x²ex在x=0处的导数为(A) 3 (B) 0 (C) 15. 函数y=ln(x/ex)的反函数为(A) ey (B) ex (C) ex/y6. 函数y=sin(ax+b)在[a, a+2π]上为奇函数，则b的取值范围是(A) (-∞, -2π] (B) [2π, +∞) (C) (-2π, 2π)7. 设函数f(x) = x²+ax+2，其中a为常数，则f(x)有唯一极值点的条件是(A) a ≠ 0 (B) a = 0 (C) a = 18. 设f(x)=sin(ax+b)在区间[0,2π]上有两个临界点，则b的取值范围是(A) [0, 2π] (B) [0, π) (C) (0, 2π)9. 函数y=ln(kcosx+1)，当x∈(0,π)时关于x的导数不存在，其中k 为常数，则k的取值范围是(A) k > 1 (B) k < 1 (C) k ≠ 010. 设y=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀是n次多项式函数，其中a₀≠0，若f(1) = 0，则(A) a₀+a₁+...+aₙ = 0 (B) a₀+a₁+...+aₙ = 1 (C) a₀+a₁+...+aₙ = -111. 函数f(x) = 2x³+bx²+3x的图象经过点(1,11)，则b的值为(A) 6 (B) 7 (C) 812. 函数y = aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₀的函数值恒为0，则(A) a₀ = 0 (B) a₁ = 0 (C) a₀ = a₁ = ... = aₙ = 013. 若x为函数y = aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₀=0的一个解，则(A) a₀≠0 (B) aₙ≠0 (C) a₀ = ... = aₙ = 014. 设直线y=kx+b与曲线y=f(x)相切，其中k是常数，则b可取下列哪一个值？(A) f'(x₀) (B) f(x₀) (C) f''(x₀)15. 设f(x) = aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀是n次多项式函数，其中n≥ 2，若存在x₁ ≠ x₂，使得f(x₁) = f(x₂)，则(A) a₀ = 0 (B) a₁ = 0 (C) a₀ = a₁ = ... = aₙ = 0二、填空题（共30分，每题2分）1. 若函数f(x)为奇函数，且在区间[-1,1]上可导，则f'(x)[1, 0] =______2. 若函数f(x) = 2x³-3x²+5x-7的图像在点(x₁, f(x₁))处的斜率为3，则x₁的值为______3. 设函数f(x) = x³-2ax²+ax+1的图象与x轴相切，则a的值为______4. 若函数y = ax³+bx²+cx+d有两个互异的极值点，则b的取值范围是______5. 函数y = eˣsinx的极值点个数为______6. 若函数f(x)在区间[a, b]上的某一点x₀处取得最大值和最小值，则在区间(a, b)内至少存在一点x₁，使得f'(x₁) = ______7. 若(fg)'(x) = f'(x)g'(x)，则函数f(x)可以是______函数，g(x)可以是______函数8. 函数f(x) = x³+ax²+bx+c的图象在点(1, 3)处的斜率为2，则a、b、c的值分别为______9. 若函数y = (2x-1)eˣ的图象有切线经过点(0, -1)，则切线的斜率为______10. 若函数y = sinh(ax+b)在x=0处有一水平切线，则a、b的值分别为______11. 若函数f(x) = 2x³+ax²+3x的导数在x=1处的值为4，则a的值为______12. 函数f(x) = x³-ax²+ax+1在x=0处有一切线，且此切线平行于直线y = x，则a的值为______三、解答题（共40分）1. 设函数f(x) = kx³+3x²+4x-1，其中k为常数，已知f(-1) = 2，求k 的值。
《高等数学B1》练习试卷答案及评分标准
《高等数学B1》练习试卷答案及评分标准一、单项选择题:（每小题3分，共18分，把正确选项的字母填入括号内）1. 函数1+=x y 是( B ).A 、有界函数B 、单调函数C 、奇函数D 、周期函数2. =→xx x 1sin lim 0( A ). A 、0 B 、1 C 、π D 、∞ 3. 下列导数算式正确的是（ C ）A 、()x x e e 22='B 、()x x sin cos ='C 、()22='x D 、x x ln 1='⎪⎭⎫⎝⎛4. 函数xy 1=在区间()+∞,0上是（ B ） A 、单调增加的凹函数 B 、单调减少的凹函数 C 、单调增加的凸函数 D 、单调减少的凸函数5. 一条曲线经过点()0,1，且在任意点x 处的切线斜率为x 2，则该曲线 的方程是（ C ）.A 、13+=x yB 、2x y =C 、12-=x yD 、12+=x y6. 定积分()dx x f ba⎰是（ C ）A 、()x f 的一个原函数；B 、()x f 的全部原函数C 、一个确定常数；D 、任意常数二、填空题:（每小题3分，共18分）7．=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→nn n 21lim 2e .8．已知x y 2sin =，则dydx= x 2c o s2 . 9．函数12+=x y 的极小值为 1 .10. 已知)(x f 的一个原函数为4x ，则=')(x f 212x .11.=⎰-ππxdx x sin 2 0 .12. 椭圆19422=+y x 围成平面图形的面积等于 π6 .三、计算题：（每小题6分，共36分）13. 233lim 22-++∞→x xx x .解：原式31=14.20cos 1lim x x x -→; 解：原式21=15. 设()1ln 2+=x x y ，求dxdy和dy . 解：()121ln 222+++=x x x dx dy ()dx x x x dy ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=121ln 22216．求参数方程⎩⎨⎧==ty t x sin cos 所确定函数的一阶导数dx dy。
微积分试卷及标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1.已知则对于，总存在δ>0，使得当,)(lim 1A x f x =+→0>∀ε时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2.已知，则a = ，b =2235lim 2=-++∞→n bn an n 。
3.若当时，α与β 是等价无穷小量，则 。
0x x →=-→ββα0limx x 4.若f (x )在点x = a 处连续，则 。
=→)(lim x f ax 5.的连续区间是 。
)ln(arcsin )(x x f =6.设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则______________。
=-+→hx f h x f h )()3(lim0007.曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. 。
='⎰))((dx x f x d 9.设总收益函数和总成本函数分别为，，则当利润最大时产2224Q Q R -=52+=Q C 量是。
Q 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1.若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2.设则为函数的（ ）。
11)(-=x arctg x f 1=x )(x f(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点3.（ ）。
=+-∞→13)11(lim x x x(A) 1 (B) ∞(C)(D) 2e 3e4.对需求函数，需求价格弹性。
当价格（ ）时，5p eQ -=5pE d -==p 需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6(D) 105.假设在点的某邻域内(可以除外)存)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→得0x 0x 在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
高等数学b1期末试题及答案
高等数学b1期末试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx 的值。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A3. 以下哪个选项是洛必达法则的应用？A. 计算极限lim(x→0) (sin x)/xB. 计算定积分∫(0,π) sin x dxC. 计算导数 d/dx (x^3)D. 计算不定积分∫e^x dx答案：A4. 以下哪个选项是二阶导数？A. d^2y/dx^2B. dy/dxC. d^2y/dy^2D. d^2y/dxdy答案：A5. 以下哪个选项是泰勒公式的展开式？A. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)B. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2!C. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2D. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^3/3!答案：B6. 以下哪个选项是傅里叶级数的组成部分？A. 正弦函数B. 余弦函数C. 指数函数D. 所有选项答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 f(x) = x^3 - 6x 在 x = 2 处的导数是 _______。
答案：-62. 微分方程 y'' - 2y' + y = 0 的通解是 _______。
答案：y = C1 * e^x + C2 * e^(-x)3. 计算极限lim(x→0) (e^x - 1)/x 的值是 _______。
答案：14. 函数 y = sin x 的不定积分是 _______。
高等数学教材b1试题及答案
高等数学教材b1试题及答案题目一：1. 计算下列极限：a) $\lim_{{n \to \infty}}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$b) $\lim_{{x \to \infty}} \frac{{\ln x}}{{x}}$c) $\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin x}}{{x}}$解答一：a) 根据极限的定义，当$n$趋向无穷时，$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$b) 应用洛必达法则，得到$\lim_{{x \to \infty}} \frac{{\ln x}}{{x}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{\frac{1}{x}}}{{1}} = 0$c) 根据极限的定义，得到$\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin x}}{{x}} = 1$题目二：2. 求函数$f(x) = \frac{{x^2-1}}{{x-1}}$的极限值。
解答二：当$x$趋向1时，$f(x)$的分母趋近于0，但分子并没有发散，所以我们可以尝试进行化简：$f(x) = \frac{{(x-1)(x+1)}}{{x-1}}$化简后得到：$f(x) = x + 1$所以，当$x$趋向1时，$f(x)$的极限值为2。
题目三：3. 求函数$g(x) = \lim_{{n \to \infty}} \left(1+\frac{{x^2}}{{n}}\right)^n$的极限值。
解答三：由题意可得：$g(x) = \lim_{{n \to \infty}} \left(1+\frac{{x^2}}{{n}} \right)^n$观察到这是一个形如$\left(1+\frac{a}{n}\right)^n$的极限，可以利用题目一中的结论：$g(x) = \lim_{{n \to \infty}} \left(1+\frac{{x^2}}{{n}} \right)^n =e^{x^2}$所以，函数$g(x)$的极限值为$e^{x^2}$。
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2018-2019学年第一学期期末考试
《高等数学BⅠ》
考生注意事项
1．答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生教学号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写考试科目、考生姓名和考生教学号，并涂写考生教学号信息点。
2．选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。
超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。
3．填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。
4．考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
(以下信息考生必须认真填写)
考生教学号
考生姓名
《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 1 页 （共 5 页）
一、选择题：1～6小题，每小题3分，共18分．下列每题给出的四个选项
中，只有一个选项是符合题目要求的．请将答案写在答题卡上，写在试题册上无效． 1. 1lim(1)n
n n →∞
+=（ B ）.
（A ）0 （B ）1 （C ）e （D ）1
e
2. 设()f x 为可导函数，且满足条件0(1)(1)
lim
12x f f x x
→−−=−，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率等于（ C ）.
（A ）2 （B ）1− （C ）2− （D ）
1
2
3. 设0
()()()d x
F x x t f t t =−⎰ ()f x 为连续函数，且(0)=0()0f f x '>，，则
()y F x =在0+∞（，）内（ A ）.
（A ）单调增加且为下凸 （B ）单调增加且为上凸 （C ）单调减少且为下凸 （D ）单调减少且为上凸 4. 曲线2
2
1e 1e
−−+=
−x x y （ D ）.
（A ）没有渐近线 （B ）仅有水平渐近线
（C ）仅有铅直渐近线 （D ）既有水平渐近线又有铅直渐近线 5. 若ln ()sin f t t =，则()
d ()
tf t t f t '=⎰
（ A ）. （A ）sin cos ++t t t C （B ）sin cos −+t t t C （C ）sin cos ++t t t t C （D ）sin +t t C
6. 使不等式1sin d ln x
t
t x t
>⎰
成立的x 的范围是（ C ）. （A ）π
(1,)2
（B ）π(,π)2 （C ）(0,1) （D ）(π,+)∞
《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 2 页 （共 5 页）
二、填空题：7～12小题，每小题3分，共18分．
7. 设当0x →时，2(1cos )ln(1)x x −+是比sin n x 高阶的无穷小，而sin n x 是比
2
e 1x −高阶的无穷小，则正整数n 等于 3 .
8．设函数()y y x =由方程2e cos()e 1x y xy +−=−所确定，求
d d x y
x
== 2− .
9. 函数()ln 12=−y x 在0=x 处的(2)n n >阶导数()(0)n f = 2(1)!n n −⋅− . 10. 2
21d x x x −−=⎰
11
6
． 11. 1
21e d x x x
−∞=⎰ 1 ． 12. Oxy 平面上的椭圆22
149x y +
=绕x 轴旋转一周而形成的旋转曲面的方程是 222
149
x y z ++= . 三、解答题：13～19小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
13.（本题满分10分）
求函数3
sin ()x
f x x x
π=
−的间断点，并判断间断点的类型. 【解】因为3sin sin ()(1)(1)
x x
f x x x x x x ππ==−−+，显然0,1,1x =−为间断点. 2分 于是
lim ()lim
(1)(1)
x x x
f x x x x →→π==π−+， 4分
1111sin 1cos lim ()lim
lim 21212
x x x x x f x x →−→−→−ππππ
=−=−=+ 6分 1111sin 1cos lim ()lim
lim 21212x x x x x f x x →→→ππππ
===−−， 8分 所以0,1,1x =−是第一类中的可去间断点. 10分
《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 3 页 （共 5 页）
14.（本题满分10分）
设cos sin ,
sin cos x t t t y t t t =+⎧⎨=−⎩，求22
4
d d t y x π
=
.
【解】由题意，得
4
d (sin cos )cos cos sin d tan , 1.d (cos sin )sin sin cos d t y t t t t t t t y
t x t t t t t t t x π=
'−−+===='+−++ 5分
222324
d d tan d 1d ,d d d cos d t y t t y
x t x t t x π=
=⋅==
π
10分
15.（本题满分10分）
求x ． 【解】设tan ,,22
x t x ππ
=−
<<，则2d sec d x t t =，于是 3分 原式2= 5分 2
cos d sin t
t t
=⎰
2sin dsin csc t t t C −==−+⎰ 9分
C =+. 10分
16．（本题满分10分）
求函数3226187y x x x =−−−的极值.
【解】2612186(3)(1),y x x x x '=−−=−+ 2分 令0,y '=得驻点123, 1.x x ==− 5分 又1212,(3)240,(1)240,y x y y ''''''=−=>−=−< 8分
《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 4 页 （共 5 页）
所以极大值(1)3y −=，极小值(3)61y =−. 10分
17.（本题满分10分）
求由曲线y =1,4,0x x y ===所围成的平面图形的面积及该图形绕y 轴旋转一周所形成的立体的体积.
【解】（1） 1
S x =⎰
2分
4
321214
33
x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 5分 （2） 解法1： 4
1
2y V x =π⎰ 7分
4
521
412455x ⎡⎤π==π⎢⎥⎣⎦ 10分
解法2： 2
41
32d y V y y =π−π−π⎰ 7分
124
5
=
π 10分
18.（本题满分8分）
求过直线50:40x y z L x z ++=⎧⎨−+=⎩，
且与平面48120x y z −−+=交成π4角的平面
方程．
【解1】过已知直线L 的平面束方程为
(4)(5)0x z x y z λ−++++=，
即(1)5(1)40x y z λλλ+++−+=. 2分 已知平面的法向量为(1,4,8)−−. 由题设条件，有
π
cos
4=
， 即
2=
，由此解得0λ=或43λ=−. 6分
《高等数学B Ⅰ》试题答案 第 5 页 （共 5 页）
将0λ=或4
3
λ=−分别代入平面束方程，得所求平面方程为
40207120x z x y z −+=++−=，. 8分 【解2】过已知直线L 的平面束方程为
(4)(5)0x z x y z λ−++++=，
即(1)5(1)40x y z λλλ+++−+=. 2分 已知平面的法向量为(1,4,8)−−. 由题设条件，有
π
cos
4=
即
2=
，由此解得34λ=−. 6分 将3
4
λ=−分别代入平面束方程，得所求平面方程为
207120x y z ++−=. 7分
另外，40x z −+=也是所求平面方程. 8分
19.（本题满分6分）
设函数()f x 在[]0,2π上连续，在(0,2π)内可导，且(0)1,(π)3,
f f ==(2π)2f =. 试证明在(0,2π)内至少存在一点ξ，使()()cos 0f f ξξξ'+=.
【证】 构造函数sin ()()e x F x f x =. 2分 因为()F x 在[]0,2π上连续，在(0,2π)内可导，且
(0)1,(π)3,(2π)2F F F ===. 3分
因为2是介于(0)1F =与(π)3F =之间的，故由闭区间上连续函数的介值定理知，在(0,π)内存在一点c 使得()2(2π)F c F ==． 5分
于是在[],2πc 上函数()F x 满足罗尔定理的条件，所以
[]sin ()()()cos e 0,(,2π)(0,2π)F f f c ξξξξξξ''=+=∈⊂.
则原结论成立． 6分。