运筹与优化期中测试
运筹学期中试卷
期中试卷某市是一个人口不到15万人的小城市，根据该市的蔬菜种植情况分别在A 、B 和C 设三个批发市场。
清晨5点前菜农将蔬菜送至各批发市场，再由各批发市场分送到全市的8个菜市场。
该市道路情况、各路段距离（单位：100m ）及各批发市场、菜市场的具体位置如图：74 75 8 3 7 664 85 7 54 117 75 66 3 56 6 10 810 511按常年情况，A 、B 、C 三个批发市场每天供应量分别为200、170和160（单位：100kg ），各菜市场的每天需求量及发生供应短缺时带来的损失（元/100kg ）见下表。
设从批发市场至各菜市场蔬菜调运费用为1元/（100kg*100m ）。
12 634587 BA C菜市场每天需求（100kg）短缺损失（元/100kg）1 75 102 60 83 80 54 70 105 100 106 55 87 90 58 80 8（1）求A、B、C三个批发市场分别到8个市场的最短路径是多少？（2）为该市设计一个从各批发市场至各菜市场的定点供应方案，使用于蔬菜调运的运费和预期的短缺损失之和的总成本最小。
（3）若规定各菜市场短缺量一律不超过需求量的20%，重新设计定点供应方案。
要求：1、运用运筹学所学习的知识对上述实际问题进行分析和求解。
要求建立相应的数学模型，并用软件进行求解，最终形成一份课程论文（用WORD进行排版并打印），电子版的课程论文于5月15日之前通过网络平台提交，每组只要组长提交就行。
2、以小组的形式完成，一个小组最多3人，小组自由组合，并民主推选一个组长。
3、成绩构成：（1）课程论文（占70%）：任课教师根据课程论文排版的美观性、分析的逻辑性、结果的正确进行评分。
（2）完成任务表现（占30%）：组长根据组员在任务完成过程中的团队合作精神、对任务完成的贡献进行评分；任课教师根据组长的任务完成过程中的协调能力、团队的整体表现进行评分。
4、不要抄袭，如发现，当作1份答卷，共享最终成绩，每组只能得平均分，如发现2份答卷是相互抄袭的，成绩为80分，那2份答卷最终成绩分别为40分。
运筹学 期中测试题(答案)
答案：一、解：化为标准型123max 20z x x x -+-=s.t. 1234123512363621220,1,2,,6i x x x x x x x x x x x x x i +++=⎧⎪-++=⎪⎨+-+=⎪⎪≥=⎩单纯形表如下：故最优解为(1.5,0.5,0)x =，最优值为 2.5z =.二、解：设其对偶问题的变量为12,y y ，则其对偶线性规划为12min 43y y ω=+s.t. 12121212121222;3;2352;33;,0y y y y y y y y y y y y +≤-≤+≤⎧⎨+≤+≤≥⎩因**124/50,3/50y y =>=>，由互补松弛性条件知原问题的两个约束条件应取等式,即1234512345234233x x x x x x x x x x ++++=⎧⎨-+++=⎩；将**124/5,3/5y y ==代入约束条件得,**124322255y y +=+⨯=, 2**143355y y -=-<,12**431723235555y y +=⨯+⨯=<,12**43255y y +=+<, 12**4333355y y +=⨯+=. 第二至四个约束条件为严格不等式,由互补松弛性条件,必有234***0,0,0x x x ===．从而1515****3423x x x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩.故15**1,1x x ==.因此,原问题的最优解为()*1,0,0,0,1Tx =.最优值为*5z =.三、解：用最小元素法确定初始调运方案用沃格尔法确定初始调运方案五、解：六、解：用逆序法.全过程分四个阶段，从最后一个阶段开始. （1）4k =.第四阶段.有两种状态12,D D .41()1f D =，42()5f D =；**4142()()u D u D ==E. （2）3k =.第三阶段.有三种状态123,,C C C .3131141()(,)()415f C d C D f D =+=+=，即由1C E -的最短路径为11C D E --,最短距离为5,相应决策为*311()u C D =.同理,有 321413232242(,)()31()min min 4(,)()25d C D f D f C d C D f D +⎧⎫+⎧⎫===⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭即由2C E -的最短路径为21C D E --,最短距离为4,相应决策为*321()u C D = 3333242()(,)()156f C d C D f D =+=+=即由3C E -的最短路径为32C D E --,最短距离为6,相应决策为*332()u C D = （3）2k =，第二阶段.有两种初始状态12,B B .同理,有211312121232(,)()75()min min 10(,)()64d B C f C f B d B C f C +⎧⎫+⎧⎫===⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭222322222333(,)()24()min min 6(,)()46d B C f C f B d B C f C +⎧⎫+⎧⎫===⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭即由1B E -的最短路径为1B -21C D E --,最短距离为10,相应决策为*212()u B C =由2B E -的最短路径为221B C D E ---,最短距离为6,相应决策为*222()u B C =（4）1k =，第一阶段.只有一种状态A112111222(,)()110()min min 9(,)()36d A B f B f A d A B f B +⎧⎫+⎧⎫===⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭，相应决策为*12()u A B =即从A E -全过程的最短路径为221A B C D E ----,最短距离为9。
运筹学期中考试试卷
大连大学2010/2011学年第一学期期中考试卷考试科目： 运 筹 学 (考试时间90分钟)（共4页）题号 一二总得分 1 2 1 2 3 4 得分给定下述线性规划问题：12max 2z x x =-1212124333,0x x x x x x -+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩ 画出其可行域并找出其最优解。
解:可行域:最优解为(3,0), 3z *=二、模型转换（10分）写出下列线性规划问题的对偶问题 2311min ij ij i j z c x ===∑∑111213141212223242112111222213233142440ij x x x x a x x x x ax x b x x b x x b x x b x +++=⎧⎪+++=⎪⎪+=⎪+=⎨⎪+=⎪+=⎪⎪≥⎩一切姓 名 学 号 学 院 专 业 班 级密封线适用专业 工程管理 适用年级08 考试形式 闭卷送卷单位任课教师总印数教研室主任教学院长解：112211223344max w a u a u b v b v b v b v =+++++111112121313142121222223232412123400,,,,,u v c u v c u v c u v u v c u v c u v c u v u u v v v v +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪+≤⎪+≤⎪⎪+≤⎪⎪⎩无符号限制三、计算题（每小题20分，共80分）1. 用单纯形法求解下列线性规划问题(列出计算过程)。
12min 35z x x =--12121282123436,0x x x x x x -≥-⎧⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≤⎩ 解：标准化：123451324125123453500082123436,,,,0MaxW x x x x x x x x x x x x x x x x x ''=--+++'-+=⎧⎪'-+=⎪⎨''--+=⎪⎪''≥⎩(标准化可分两段，第一步把决策变量变量，第二步标准化)最优解2. 用单纯形法中两阶段法求解下述线性规划问题(列出计算过程)。
运筹期中考试
习题详解1．判断下列各题正误（1）图解法提供了求解线性规划问题的通用方法。
( ×)（2）用单纯形法求解一般线性规划时，当目标函数求最小值时，若所有的检验数cj - z j≥0 ，则问题达到最优。
( √) （3）在单纯形表中，基变量对应的系数矩阵往往为单位矩阵。
( ×)（4）满足线性规划问题所有约束条件的解称为基可行解。
( ×)（5）在线性规划问题的求解过程中，基变量和非基变量的个数是固定的。
( √)（6）图解法与单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解两者是一致的。
( √)（7）标准形式的线性规划问题，其可行解一定是基可行解，最优解一定是可行解。
( ×)（8）线性规划问题中，如果在约束条件中出现等式约束，我们通常用增加松弛变量的方法来产生初始可行基。
( ×) （9）为了得到一种线性规划模型普遍使用的求解方法，首先将线性规划模型的一般表达式转化为线性规划标准式。
( √) （10）线性规划问题的基解对应可行域的顶点。
( ×)（11）单纯形法解标准的线性规划问题时，按最小比值原则确定换出基变量是为了保证迭代计算后的解仍为基可行解。
( √) （12）单纯形法求解标准线性规划问题时，当所有检验数0 j j c - z ≤ ，就可以判定表中的解为最优解。
( √)（13）线性规划问题的标准型最本质的特点是变量和右端项要求非负。
( ×)（14）单纯形表是线性规划模型的表格化。
( ×)（15）如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它就有无穷多个最优解。
( √)（16）在单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。
( √) （17）线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。
( √) （18）用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与0 j j c - z ≤ 对应的变量都可以被选作换入变量。
期中考试(运筹)
9（1）、某极小化线性规划的最优单纯形表为其中x 4，5为松驰变量，问题的约束为≤形式∶1．写出原线性规划问题； 2．写出原问题的对偶问题；3．直接由最优表写出对偶问题的最优解。
解：1、 由题可知,054==c c而2040131161321-=--=+-c c c得10,621==c c此外，,41213212-=+-c c c 22-=c 得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-31612110B⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01102121'A b B b 1'-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴-10531022525'1b B b A B A 1'-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴113210011031022121'BA A ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤+-+-=∴03,2,1103521026min 32132321x x x x x x x x x x x Z 原问题为 2、 对偶问题为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥+-≥-≥+=0,102263105min 212121221y y y y y y y y y w3、 由于对偶问题的最优解是最终单纯形表中检验数的相反数，则TTy y y )2,4(),(*21==40*=w10（1）线性规划问题1212121212max 23221228416412,0z x x x x x x xx x x ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩=++≤+≤≤≤≥已知其最优解x 1，x 2 > 0，而第1，4两种资源（相应于第1，4两约束）均有余量，应用互补松弛定理求出原问题和对偶问题的最优解。
解： 对偶问题1234123124min 128161224222430,1,2,3,4iW y y y y y y y y y y y i =+++++≥⎧⎪++≥⎨⎪≥=⎩⎩⎨⎧=++=++∴>>3422242,0,042132121y y y y y y x x 其对偶问题取严格等式 （*） 1414(1)(4)0,0y y ∴==第，两种资源有剩余，即原问题约束、取严格不等式对应对偶问题变量代入（*）式，2432=+y y ，322=y 23,8123==∴y y []140812**********=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∴W**14z w ∴==由121122844162x x x x x +==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩综上，原问题最优解[]14,24*==Z x T对偶问题最优解14,081230*=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=W y T131231231231231233,,,3max 1064100()..1045600226300x x x Z x x x x x x s t x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎨⎪++≤⎩某公司生产种产品：需要种资源：技术服务，动力和行政管理，公司经理助理根据公司实际情况，建立了使总利润最大的产品产量的线性规划模型，并技术服务约束（劳动力约束）（行政管理约束）在向总经理汇报时，总经理提出以下问题： 1． 公司3种资源的影子价格各是多少？2． 若要现行解保持最优，则产品X 1的单位利润不得低于何值？ 3． 若产品X 3值得生产的话，它的单位利润应是多少？4． 制造部门提出要生产一种新产品，该单位产品要技术服务1小时，劳动力4小时，行政管理3小时。
运筹学期中考试试卷(西大版)
肇庆学院课程考试试卷考试课程：运筹学（期中考试卷）（2006—2007学年度第一学期）一、填空题（每空4分，共20分）1．某整数线性规划，其松弛线性规划问题的最优单纯形表如下：由此表生成的割平面条件是 。
2．用图解法解线性规划问题212121233m in ()()44..0100Z x x s t x x x x ⎧=-+-⎪⎪⎪ 1--≤⎨⎪ -≤⎪1-≥⎪⎩其最有解是 ，最优值是 。
3．非线性函数221211221(,)32f x x x x x x =-+的梯度函数为12(,)f x x ∇= ，Hessian矩阵为212(,)f x x ∇=.二、用图解法解下面的问题（10×2）1） 12121212m ax 2+3s.t +243+260,0x x x x x x x x ⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥≥⎩2)22121212121m in +2s.t +11010x x x x x x x x ⎧+++⎪⎪⎪≥⎨⎪-≤⎪-≤⎪⎩三、（40分）解如下线性规划131312123m ax -2+s.t.24()+=2,,0x x x x P x x x x x ⎧⎪-≤⎪⎨⎪⎪≥⎩（1） 用单纯形法解问题P;（2） 写出问题P 的对偶问题D 。
并写出P 的互补松弛条件，求出D 的最优解和最优值； （3）2c 有0变为-1时分析问题的灵敏度。
四、（12分）用分枝定界法求以下整数规划问题。
121212212m ax ..121121,0,z x x s t x x x x x x x =+⎧⎪4-≥⎪⎪4+≤⎨⎪≥⎪⎪ ≥⎩且为整数五、（8分）现在有A 、B 、C 、D 、E 五种任务，要交给甲、乙、丙、丁、戊去完成，每人完成一种任务，每个人完成每种任务所需要的时间如下表。
问应该如何安排个人完成哪项任务可使总的花费时间最少？(建立数学模型，不要求计算结果)。
运筹学期中测试参考答案汇总
1线性规划问题,设为问题的最优解。
若目标函数中用代替后，问题的最优解变为，证明：证明：因为为问题的最优解，同时为问题的可行解。
所以有：（1）同理可得：（2）由不等式（1），（2）可知：2、已知线性规划：要求：（1）用单纯形法求解该线性规划问题的最优解和最优值；（2）写出线性规划的对偶问题；（3）根据对偶问题的性质求解对偶问题的最优解和最优值；解：（1）化标准型：根据标准型列单纯形表jB 1 2 3 4 53 14 25 1Z34 31 1Z 9 33 2/5 1/5 /52 /5 /5 3/51 8/5 /5 /5 Z 12 1所以，此线性规划有无穷多最优解最优解之一（18/5，3/5，32/5，0，0）最优值 Zmax=12（2）线性规划的对偶问题为：（3）由原问题的最优单纯形表可知：对偶问题的最优解为：（0，1，0）最优值为：Wmin=123 下表给出了各产地和各销地的产量和销量，以及各产地至各销地的单位运价，试用表上作业法求最优解：销地产地B1B2B3B4产量A122213A 218546A376686销量4344解：利用Vogel法求解第一个运输方案：32221311 0825446131 7362686004344 54333214利用对偶变量法求解检验数：21212113-54 1038546-17663860 43447665所有非基变量的检验数全部大于零，所以此运输方案是最优的运输方案。
最优值为：3*2+1*7+3*6+2*6+2*5+4*4=694 某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油，使总的钻井费用最小。
若10个井位的代号为，相应的钻井费用为，并且井位选择上要满足下列限制条件：①选择和就不能选择钻探；反过来也一样；②选择了或就不能选，反过来也一样；③在中最多只能选两个；试建立这个问题的整数规划模型。
（不求解）解：设用xi表示第i个井位是否钻井探油，即由题意可知数学模型如下：5 友谊农场有3万亩（每亩等于666.66平方米）农田，欲种植玉米、大豆和小麦三种农作物。
运筹学期中测验试卷
用M 法求解时的LP 问题模型化为________________________。
3、对LP问题的标准形⎪⎩⎪⎨⎧≥==T O X b AX XC Z min 用两阶段法求解时，若其的辅助LP 问题目标函数最优值 ，则去掉人工变量转入第二阶段。
若其的辅助LP 问题目标函数最优值 ，则原问题无可行解，停止计算。
4、某工厂生产A 、B 、C 三种产品，若设321,,x x x 分别为A 、B 、C 三种产品的产量，为获得最大利润，制定最优生产计建立了如下LP 模型：123123123123123max 423.2241001361002321203,,0Z x x x s t x x x x x x x x x x x x =++⎧⎪++≤⎪⎪++≤⎨⎪++≤⎪≥⎪⎩原材料约束原材料约束原材料约束则A 、B 、C 三种产品的产量为 时，利润最大，最大利润是 。
三种原材料的影子价格为： 。
5、下表是一产销不平衡的运输问题,在其旁边写出转化为产销平衡问题的平衡表：。
二、单项选择题（每小题2分，共10分）1、对LP 问题的标准形⎪⎩⎪⎨⎧≥==T O X b AX X C Z max 利用单纯形法求解时，每作一次换基迭代都能保证它相应的目标函数值Z 必为（ ）A 、增大；B 、不减少；C 、减少；D 、不增大。
2、若求minZ 的LP 问题化为求maxZ 的LP 问题后，所得最优解和最优目标函数值与原LP 问题（ ）A 、相同；B 、最优解相差一个符号且最优目标函数值相同；C 、没有确定关系；D 、最优解相同且最优目标函数值相差一个符号。
3、用大M 法求解LP 问题时，若在最终单纯形表上基变量中仍含有非零的人工变量，则原LP 问题（ ）A 、用大M 法求解失效；B 、最优解不唯一；C 、无可行解；D 、有可行解但无最优解。
4、 在LP 问题中基本可行解、可行解、正则解和最优解的关系，下列说法中不正确的是（ ）A 、 既是基本可行解又是正则解的解是最优解；B 、 既是基本解又是正则解的解是最优解；C 、基本可行解既是基本解又是可行解；D 、非负的基本解就是基本可行解。
运筹与优化期中试卷A 2012-2013-1_1388400162 (1)
1。
请填写课程名称和任课教师姓名，考试时长；1.(20%) 分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题,并指出单纯形法迭代的每一步相当于图形上的哪一个顶点：12max 25z x x =+st ：12121242123218,0x x x x x x ≤⎧⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩2.(20%) 用大M 法或两阶段法求解下列线性规划问题：13max 3z x x =-+st ：12312323123 4213 9,,0x x x x x x x x x x x ++≤⎧⎪-+-≥⎪⎨+=⎪⎪≥⎩3.(15%) 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题：123min 15245z x x x =++st ：2312312362521,,0x x x x x x x x +≥⎧⎪++≥⎨⎪≥⎩4.(15%)某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。
农场劳动力情况为秋冬季3500人日，春夏季4000人日，如劳动力本身用不了时可外出干活，春夏季收入为2.1元每人日，秋冬季收入为1.8元人日。
该农场种植三种作物：翡翠玉白菜、玉石葡萄、猴面包树，并饲养貔貅和绿尾虹雉。
种作物时不需要专门投资，而饲养动物时每头貔貅投资200元，每只绿尾虹雉投资3元。
养貔貅时每头需拨出1.5公顷土地种饲草，并占用人工秋冬季100人日，春夏季为50人日，年净收入400元/每头貔貅。
养绿尾虹雉时不占土地，需人工为每只绿尾虹雉秋冬季0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入2元/每只绿尾虹雉。
农场现有鸡舍允许最多养3000只绿尾虹雉，牛栏允许最多养32头貔貅。
三种作物每年需要的人工及收入情况如下表所示：课程《 运筹与优化 》 任课教师 林智鹏试决定该农场的经营方案，使年净收入最大。
(只需列出线性规划问题,不用求解)5.(15%) 已知线性规划问题：12max 7030z x x =+st ：12121212395405545093720,0x x x x x x x x +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩用单纯形法求得最终单纯形表如下表所示：在不重新进行迭代的前提下,试解决以下两个问题：1)，若限制常数540变为540+1b ∆,为使原最优解基不变,求1b ∆的变化范围。
运筹与优化期中测试
科目：《运筹与优化》试题(A 卷)学院： 信息科学技术学院 专业班级： 08应数与信科 姓名： 学 号：阅卷教师： 200 年 月 日考试说明：本课程为开卷考试，可携带 计算器 。
一、选择题与填空题：（每题3分，共30分）在以下各小题中画有_______处填上答案。
1．线性规划min c T x s.t Ax=b 的对偶规划是 。
2．设（LP ）为线性规划:x c T m i ns.t. ⎩⎨⎧≥≥0x bAx相应的对偶规划为（DP ）。
若x 0是（LP ）的最优解，y 0是（DP ）的最优解，则对应的目标函数值满足关系式 。
3．下列结论中哪一个错误 。
a) LP 问题的每一个基可行解对应可行域的一个顶点；b) 若X 1和X 2分别是某一LP 问题的最优解，则X= λ1X 1+λ2X 2也是该LP 问题的最优解； c) 网络D 中的一个可行流{}ij f f =为最大流的充要条件是D 中不存在关于的增广链d) 用单纯形法求解LP 的标准形问题：min T Z c x = s.t. ⎩⎨⎧≥=0x b Ax 时，每进行一次换基迭代，都能保证它相应的目标函数值Z 不增加4．线性规划的三个要素是：① ；② ；③ ；5．整数线性规划的两个主要近似算法是：① ；② ；6. 若LP 问题的约束条件为 123124123452253304728501,2,5j x x x x x x x x x x x x j +-=⎧⎪+-=⎪⎨+--+=⎪⎪≥=⎩ ，则可行域有一顶点是（ ）a) (0,0,-25,-30, -30,0)T ； b) (9,7,0,0,8)T ；c) (5,15,0,20,0)T ； d) (9,7,0,0,0)T ；7．目标函数极大化（max Z ）的线性规划可以转化为目标函数取极小化即 的线性规划来求解；两者的最优解 ，最优值 。
8．已知LP 的数学模型为1min ni i i z c x ==∑ s.t. 1,1,...,0,1,...,nij j i j j a x b i mx j n=⎧≥=⎪⎨⎪≥=⎩∑设其对偶问题的解为***1(,...,)Tm y y y =。
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科目：《运筹与优化》试题(A 卷)
学院： 信息科学技术学院 专业班级： 08应数与信科 姓名： 学 号：
阅卷教师： 200 年 月 日
考试说明：本课程为开卷考试，可携带 计算器 。
一、选择题与填空题：（每题3分，共30分）在以下各小题中画有_______处填上答案。
1．线性规划min c T x s.t Ax=b 的对偶规划是 。
2．设（LP ）为线性规划:
x c T m i n
s.t. ⎩
⎨⎧≥≥0x b
Ax
相应的对偶规划为（DP ）。
若x 0是（LP ）的最优解，y 0是（DP ）的最优解，则对应的目标函数
值满足关系式 。
3．下列结论中哪一个错误 。
a) LP 问题的每一个基可行解对应可行域的一个顶点；
b) 若X 1和X 2分别是某一LP 问题的最优解，则X= λ1X 1+λ2X 2也是该LP 问题的最优解； c) 网络D 中的一个可行流{}ij f f =为最大流的充要条件是D 中不存在关于的增广链
d) 用单纯形法求解LP 的标准形问题：min T Z c x = s.t. ⎩⎨⎧≥=0x b Ax 时，每进行一次换基迭代，
都能保证它相应的目标函数值Z 不增加
4．线性规划的三个要素是：① ；② ；③ ；
5．整数线性规划的两个主要近似算法是：① ；② ；
6. 若LP 问题的约束条件为 1
231
24123452253304728501,2,5j x x x x x x x x x x x x j +-=⎧⎪+-=⎪⎨+--+=⎪⎪≥=⎩ ，则可行域有一顶点是（ ）
a) (0,0,-25,-30, -30,0)T ； b) (9,7,0,0,8)T ；
c) (5,15,0,20,0)T ； d) (9,7,0,0,0)T ；
7．目标函数极大化（max Z ）的线性规划可以转化为目标函数取极小化即 的线性规划来求解；两者的最优解 ，最优值 。
8．已知LP 的数学模型为
1min n
i i i z c x ==∑ s.t. 1,1,...,0,1,...,n
ij j i j j a x b i m
x j n
=⎧≥=⎪⎨⎪≥=⎩
∑
设其对偶问题的解为***1(,...,)T
m y y y =。
则原LP 的最优目标函数值为 。
9．设LP 1的数学模型为 max Z= c T x ，s.t. 0Ax b x =⎧⎨≥⎩有最优解*x ，则LP 2问题：1max T W c x λ=，
s.t. 0Ax b
x =⎧⎨≥⎩的最优解为 ，最优值为 。
其中0λ>。
10.下列叙述正确的是
a) 线性规划问题若有最优解，则必是一个基变量组的基本可行解； b) 线性规划问题一定有可行基本解； c) 线性规划问题的最优解只能在顶点上达到；
d) 单纯形法求解线性规划问题时，每换基迭代一次都能保证它相应的目标函数值不增加。
二、计算题（每小题15分，共45分） （注意：答题时要列
出详细运算步骤并计算出中间运算数值和最终计算结果。
）
11．已知线性规划问题如下：
Max Z= 213x x +
5010521≤+x x
121≥+x x
42≤x
0,21≥x x
（1）、用图解法求解，并写出解的情况；（2）、写出该线性规划模型的对偶问题；（3）、直接写出对偶问题的最优解。
12. 用两阶段法求下列LP
213max x x z -=
s.t. 121212
122122
3
0,0
x x x x x x x x +≥⎧⎪-
≤⎪⎨
+
≤⎪⎪≥≥⎩
13． 利用对偶单纯形法求下列LP
min f =2x 1+x 2
(LP): s.t. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≥≥+≥+
≥+0
2
2634332
1
2121
21x x x x x x x x
三 、应用题（15分）
14. 有一份中文说明书，需要译成英、日、德、俄四种文字，分别记作E 、J 、G 、
R 。
现有甲、乙、丙、丁四人。
他们将中文翻译成不同语种的说明书所需时间如下表。
问应指派何人完成何工作，使所需总时间最少？（只给出数学模型及其求解的常用软件）
四、证明题（共10分）
15. 已知线性规划 max z =1232x x x ++
s.t 1
231
231
23123
2122
0,0,
x x x x x x x x x x x x +-≤⎧⎪-+=⎪⎨
++
≥
⎪⎪≥≤
⎩无限制
a) 写出其对偶规划；b) 证明原问题目标函数值 1z ≤。