运筹学期中测试
运筹学期中试卷
期中试卷某市是一个人口不到15万人的小城市，根据该市的蔬菜种植情况分别在A 、B 和C 设三个批发市场。
清晨5点前菜农将蔬菜送至各批发市场，再由各批发市场分送到全市的8个菜市场。
该市道路情况、各路段距离（单位：100m ）及各批发市场、菜市场的具体位置如图：74 75 8 3 7 664 85 7 54 117 75 66 3 56 6 10 810 511按常年情况，A 、B 、C 三个批发市场每天供应量分别为200、170和160（单位：100kg ），各菜市场的每天需求量及发生供应短缺时带来的损失（元/100kg ）见下表。
设从批发市场至各菜市场蔬菜调运费用为1元/（100kg*100m ）。
12 634587 BA C菜市场每天需求（100kg）短缺损失（元/100kg）1 75 102 60 83 80 54 70 105 100 106 55 87 90 58 80 8（1）求A、B、C三个批发市场分别到8个市场的最短路径是多少？（2）为该市设计一个从各批发市场至各菜市场的定点供应方案，使用于蔬菜调运的运费和预期的短缺损失之和的总成本最小。
（3）若规定各菜市场短缺量一律不超过需求量的20%，重新设计定点供应方案。
要求：1、运用运筹学所学习的知识对上述实际问题进行分析和求解。
要求建立相应的数学模型，并用软件进行求解，最终形成一份课程论文（用WORD进行排版并打印），电子版的课程论文于5月15日之前通过网络平台提交，每组只要组长提交就行。
2、以小组的形式完成，一个小组最多3人，小组自由组合，并民主推选一个组长。
3、成绩构成：（1）课程论文（占70%）：任课教师根据课程论文排版的美观性、分析的逻辑性、结果的正确进行评分。
（2）完成任务表现（占30%）：组长根据组员在任务完成过程中的团队合作精神、对任务完成的贡献进行评分；任课教师根据组长的任务完成过程中的协调能力、团队的整体表现进行评分。
4、不要抄袭，如发现，当作1份答卷，共享最终成绩，每组只能得平均分，如发现2份答卷是相互抄袭的，成绩为80分，那2份答卷最终成绩分别为40分。
运筹学 期中测试题(答案)
答案：一、解：化为标准型123max 20z x x x -+-=s.t. 1234123512363621220,1,2,,6i x x x x x x x x x x x x x i +++=⎧⎪-++=⎪⎨+-+=⎪⎪≥=⎩单纯形表如下：故最优解为(1.5,0.5,0)x =，最优值为 2.5z =.二、解：设其对偶问题的变量为12,y y ，则其对偶线性规划为12min 43y y ω=+s.t. 12121212121222;3;2352;33;,0y y y y y y y y y y y y +≤-≤+≤⎧⎨+≤+≤≥⎩因**124/50,3/50y y =>=>，由互补松弛性条件知原问题的两个约束条件应取等式,即1234512345234233x x x x x x x x x x ++++=⎧⎨-+++=⎩；将**124/5,3/5y y ==代入约束条件得,**124322255y y +=+⨯=, 2**143355y y -=-<,12**431723235555y y +=⨯+⨯=<,12**43255y y +=+<, 12**4333355y y +=⨯+=. 第二至四个约束条件为严格不等式,由互补松弛性条件,必有234***0,0,0x x x ===．从而1515****3423x x x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩.故15**1,1x x ==.因此,原问题的最优解为()*1,0,0,0,1Tx =.最优值为*5z =.三、解：用最小元素法确定初始调运方案用沃格尔法确定初始调运方案五、解：六、解：用逆序法.全过程分四个阶段，从最后一个阶段开始. （1）4k =.第四阶段.有两种状态12,D D .41()1f D =，42()5f D =；**4142()()u D u D ==E. （2）3k =.第三阶段.有三种状态123,,C C C .3131141()(,)()415f C d C D f D =+=+=，即由1C E -的最短路径为11C D E --,最短距离为5,相应决策为*311()u C D =.同理,有 321413232242(,)()31()min min 4(,)()25d C D f D f C d C D f D +⎧⎫+⎧⎫===⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭即由2C E -的最短路径为21C D E --,最短距离为4,相应决策为*321()u C D = 3333242()(,)()156f C d C D f D =+=+=即由3C E -的最短路径为32C D E --,最短距离为6,相应决策为*332()u C D = （3）2k =，第二阶段.有两种初始状态12,B B .同理,有211312121232(,)()75()min min 10(,)()64d B C f C f B d B C f C +⎧⎫+⎧⎫===⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭222322222333(,)()24()min min 6(,)()46d B C f C f B d B C f C +⎧⎫+⎧⎫===⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭即由1B E -的最短路径为1B -21C D E --,最短距离为10,相应决策为*212()u B C =由2B E -的最短路径为221B C D E ---,最短距离为6,相应决策为*222()u B C =（4）1k =，第一阶段.只有一种状态A112111222(,)()110()min min 9(,)()36d A B f B f A d A B f B +⎧⎫+⎧⎫===⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎩⎭，相应决策为*12()u A B =即从A E -全过程的最短路径为221A B C D E ----,最短距离为9。
运筹学试题6
《运筹学》期终试题6一．（10分）用动态规划求解⎩⎨⎧=≥≤++++=)3,2,1(010342294max 3212321j x x x x stx x x z j 二．（15分）某公司打算在三个不同的地区设置5个销售点，根据市场预测，在不同地区设置不同数量的销售点，每月可得的利润如下表，试问在各地区应如何设置销售点，才能使每月获得的总利润最大？其最大利润为多少？三． （10分）用共扼梯度法求下面问题2212121252),(min x x x x x f +-= 取初始点T x )2,2(0=,终止误差为610-=ε四．（10分）用外点法求解下列问题2221)1()(min x x x f +-= ..t s 12≥x五．（15分）如下表已知三个产地A 、B 、C ，四个销售地点D 、E 、F 、G ，产销量及单位运价表如下表，a) 求使总运费最小的调运方案，b) C 32为何值时有无穷多最优调运方案？为何值时最优调运方案不变？六． （40分） 某工厂生产甲、乙、丙三种产品，需消耗A ，B 两种原料。
已知每件产品对这两种原料的（1）如何安排生产计划，使总利润最大。
试建立线性规划模型，并用单纯形法求最优生产计划。
（2）写出对偶问题，写出对偶问题的解。
（3）最优生产计划中哪一种原料每增加一个单位对利润的贡献大，为什么？ （4）现在原料B 的市场价格为5，问是否值得购进原料扩大生产？ （5）求最优计划不变，产品（甲）单件利润的变化范围。
（6）保持最优基不变，求A 原料现有数量的变化范围。
（7）若A 原料的数量为68求最优生产计划。
六．解（1）设甲、乙、丙三种产品的产量为321,,x x xMax Z=32113146x x x ++s.t 0,,60424824321321321≥≤++≤++x x x x x x x x x化为标准型：Z=32113146x x x ++s.t 0,,,,604248245432153214321≥=+++=+++x x x x x x x x x x x x x最优值为294，最优解为Tx )6,0,36(*=------------------------------------------------------10分 （2）Min W=216048y y +s.t,13421424621212121≥≥+≥+≥+y y y y y y y yT y )2/1,2/11(=*------------------------------------------------------------15分 （3） A 种原料每增加一个单位对利润为11/2元，B 种原料每增加一个单位对利润为1/2元所以 A 种原料每增加一个单位对利润大------------------18分（4） 因为1/2<5所以不值得购进原料进行生产， -------------20分 （5） 求C 1的变化范围 016)13,(1412122≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-=-c p B c c r B 02/12)13,(014144≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-c p B c c r B02/11)13,(015155≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-=-c p B c c r B 2/132/91≤≤c ---------------------------------------------------------------25分（6）求1b 的变化范围0602/12/11211≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-b b B 得60301≤≤b ----------------------30分（7）最优解T x )0,4,52(*=-----------------------------------------------------------------------40分《运筹学》期终试题解答和评分标准（如果计算错误而方法正确可给60—90%的分数） 一．解： 有三个变量划分三个阶段，k x 表示K 个阶段得决策变量k s 表示第K 个阶段到第四个阶段的产品消耗的资源数 kkk k k k k a s x x a s s ≤≤-=+0,1 {}0)(,)()()(44110m ax =+=++≤≤s f s f x g s f k k k k s x k k kk -------------------3分3=k时，}{232330339202)(max 33s xs f s x =+=≤≤，333s x =，2234x s s -= 2=k时，}4,49929)(2222324/022max 22s x s s x s f s x ==⎩⎨⎧+=≤≤ 1=k 时 }{0,49)(4)(112212/011ma x 11==+=≤≤x s s f x s f s x01=x ，2/45)10(,0,2/5132====f z x x 为最优解和最优值-----------10分二．解：有三个地区划分三个阶段，k x 表示K 个阶段的销售点个数k s 表示第K 个阶段到第四个阶段的销售点个数之和 k k k k k s x x s s ≤≤-=+0,1{}0)(,)()()(44110m ax =+=++≤≤s f s f x g s f k k k k s x k k kk ---------------------------------5分3=k时最优解为)3,1,1(*=x 或)2,2,1(*=x 或)1,4,0(*=x ，最优值为32------------------------------------------------15分 三、解：T Tx x x f x f x f )50,22(),()(2121-=∂∂∂∂=∇ T x )2,2(0=T x f )100,2()(0=∇∴取Tp )100,2(0-=由⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+λλλλ1002221002220p x4)22(2)1002(25)22()(2200+---+-=+λλλλp x f得0)1002(5000)22(4=----=λλλd df020007679.0500008100080==⇒λ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=0007679.0959984642.11002020007679.0220001p x x λ---------------------4分T x f )038395.0,919969284.1()(1-=∇000368628.010004687756228.3||)(||||)(||20210==∇∇=x f x f υ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-∇=0015322.092070654.11002000368628.0038395.0919969284.1)(0011p x f p υ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=+0015322.00007679.092070654.1959984642.111λλλp x 0378228399.7687703443.3)(11=+-=+λλλd p x df499808794.01=∴λ⎪⎪⎭⎫⎝⎛≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+--⨯+=+=010********.0999998622.00015322.0499808794.00007679.0)92070654.1(499808794.0959984642.11112p x x λε<=∇0||)(||2x f , ∴最优解⎪⎪⎭⎫⎝⎛==012*x x -------------------------10分四．解．定义惩罚函数222221))1(,0(min(1)1(),(-++-=x rx x r x G⎪⎩⎪⎨⎧<-++-≥+-=1,)1(1)1(1,)1(222222122221x x r x x x x x -----------------------------------7分 令0,021=∂∂=∂∂x Gx G 得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=111r x r ，0−→−r 时⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11x 为最优解------------15分五．（1）用最小元素法求得初始基本可行解为20012=x ， 20013=x ，20023=x ，40024=x ，30031=x ，034=x81953,2431342323121=+=+=+=+=+=+v u v u v u v u v u v u 得 73101204321321=======v v v v u u u 因为1222222-=--=c r 得闭回路 12132322x x x x得调整后基本可行解为20022=x ， 50013=x ，023=x ，40024=x ，30031=x ，034=x由位势法知为最优解。
运筹学期中考试试卷
大连大学2010/2011学年第一学期期中考试卷考试科目： 运 筹 学 (考试时间90分钟)（共4页）题号 一二总得分 1 2 1 2 3 4 得分给定下述线性规划问题：12max 2z x x =-1212124333,0x x x x x x -+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩ 画出其可行域并找出其最优解。
解:可行域:最优解为(3,0), 3z *=二、模型转换（10分）写出下列线性规划问题的对偶问题 2311min ij ij i j z c x ===∑∑111213141212223242112111222213233142440ij x x x x a x x x x ax x b x x b x x b x x b x +++=⎧⎪+++=⎪⎪+=⎪+=⎨⎪+=⎪+=⎪⎪≥⎩一切姓 名 学 号 学 院 专 业 班 级密封线适用专业 工程管理 适用年级08 考试形式 闭卷送卷单位任课教师总印数教研室主任教学院长解：112211223344max w a u a u b v b v b v b v =+++++111112121313142121222223232412123400,,,,,u v c u v c u v c u v u v c u v c u v c u v u u v v v v +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪+≤⎪+≤⎪⎪+≤⎪⎪⎩无符号限制三、计算题（每小题20分，共80分）1. 用单纯形法求解下列线性规划问题(列出计算过程)。
12min 35z x x =--12121282123436,0x x x x x x -≥-⎧⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≤⎩ 解：标准化：123451324125123453500082123436,,,,0MaxW x x x x x x x x x x x x x x x x x ''=--+++'-+=⎧⎪'-+=⎪⎨''--+=⎪⎪''≥⎩(标准化可分两段，第一步把决策变量变量，第二步标准化)最优解2. 用单纯形法中两阶段法求解下述线性规划问题(列出计算过程)。
运筹学期中考试试卷(西大版)
肇庆学院课程考试试卷考试课程：运筹学（期中考试卷）（2006—2007学年度第一学期）一、填空题（每空4分，共20分）1．某整数线性规划，其松弛线性规划问题的最优单纯形表如下：由此表生成的割平面条件是 。
2．用图解法解线性规划问题212121233m in ()()44..0100Z x x s t x x x x ⎧=-+-⎪⎪⎪ 1--≤⎨⎪ -≤⎪1-≥⎪⎩其最有解是 ，最优值是 。
3．非线性函数221211221(,)32f x x x x x x =-+的梯度函数为12(,)f x x ∇= ，Hessian矩阵为212(,)f x x ∇=.二、用图解法解下面的问题（10×2）1） 12121212m ax 2+3s.t +243+260,0x x x x x x x x ⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥≥⎩2)22121212121m in +2s.t +11010x x x x x x x x ⎧+++⎪⎪⎪≥⎨⎪-≤⎪-≤⎪⎩三、（40分）解如下线性规划131312123m ax -2+s.t.24()+=2,,0x x x x P x x x x x ⎧⎪-≤⎪⎨⎪⎪≥⎩（1） 用单纯形法解问题P;（2） 写出问题P 的对偶问题D 。
并写出P 的互补松弛条件，求出D 的最优解和最优值； （3）2c 有0变为-1时分析问题的灵敏度。
四、（12分）用分枝定界法求以下整数规划问题。
121212212m ax ..121121,0,z x x s t x x x x x x x =+⎧⎪4-≥⎪⎪4+≤⎨⎪≥⎪⎪ ≥⎩且为整数五、（8分）现在有A 、B 、C 、D 、E 五种任务，要交给甲、乙、丙、丁、戊去完成，每人完成一种任务，每个人完成每种任务所需要的时间如下表。
问应该如何安排个人完成哪项任务可使总的花费时间最少？(建立数学模型，不要求计算结果)。
运筹学期中测试参考答案汇总
1线性规划问题,设为问题的最优解。
若目标函数中用代替后，问题的最优解变为，证明：证明：因为为问题的最优解，同时为问题的可行解。
所以有：（1）同理可得：（2）由不等式（1），（2）可知：2、已知线性规划：要求：（1）用单纯形法求解该线性规划问题的最优解和最优值；（2）写出线性规划的对偶问题；（3）根据对偶问题的性质求解对偶问题的最优解和最优值；解：（1）化标准型：根据标准型列单纯形表jB 1 2 3 4 53 14 25 1Z34 31 1Z 9 33 2/5 1/5 /52 /5 /5 3/51 8/5 /5 /5 Z 12 1所以，此线性规划有无穷多最优解最优解之一（18/5，3/5，32/5，0，0）最优值 Zmax=12（2）线性规划的对偶问题为：（3）由原问题的最优单纯形表可知：对偶问题的最优解为：（0，1，0）最优值为：Wmin=123 下表给出了各产地和各销地的产量和销量，以及各产地至各销地的单位运价，试用表上作业法求最优解：销地产地B1B2B3B4产量A122213A 218546A376686销量4344解：利用Vogel法求解第一个运输方案：32221311 0825446131 7362686004344 54333214利用对偶变量法求解检验数：21212113-54 1038546-17663860 43447665所有非基变量的检验数全部大于零，所以此运输方案是最优的运输方案。
最优值为：3*2+1*7+3*6+2*6+2*5+4*4=694 某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油，使总的钻井费用最小。
若10个井位的代号为，相应的钻井费用为，并且井位选择上要满足下列限制条件：①选择和就不能选择钻探；反过来也一样；②选择了或就不能选，反过来也一样；③在中最多只能选两个；试建立这个问题的整数规划模型。
（不求解）解：设用xi表示第i个井位是否钻井探油，即由题意可知数学模型如下：5 友谊农场有3万亩（每亩等于666.66平方米）农田，欲种植玉米、大豆和小麦三种农作物。
运筹学期中测验试卷
用M 法求解时的LP 问题模型化为________________________。
3、对LP问题的标准形⎪⎩⎪⎨⎧≥==T O X b AX XC Z min 用两阶段法求解时，若其的辅助LP 问题目标函数最优值 ，则去掉人工变量转入第二阶段。
若其的辅助LP 问题目标函数最优值 ，则原问题无可行解，停止计算。
4、某工厂生产A 、B 、C 三种产品，若设321,,x x x 分别为A 、B 、C 三种产品的产量，为获得最大利润，制定最优生产计建立了如下LP 模型：123123123123123max 423.2241001361002321203,,0Z x x x s t x x x x x x x x x x x x =++⎧⎪++≤⎪⎪++≤⎨⎪++≤⎪≥⎪⎩原材料约束原材料约束原材料约束则A 、B 、C 三种产品的产量为 时，利润最大，最大利润是 。
三种原材料的影子价格为： 。
5、下表是一产销不平衡的运输问题,在其旁边写出转化为产销平衡问题的平衡表：。
二、单项选择题（每小题2分，共10分）1、对LP 问题的标准形⎪⎩⎪⎨⎧≥==T O X b AX X C Z max 利用单纯形法求解时，每作一次换基迭代都能保证它相应的目标函数值Z 必为（ ）A 、增大；B 、不减少；C 、减少；D 、不增大。
2、若求minZ 的LP 问题化为求maxZ 的LP 问题后，所得最优解和最优目标函数值与原LP 问题（ ）A 、相同；B 、最优解相差一个符号且最优目标函数值相同；C 、没有确定关系；D 、最优解相同且最优目标函数值相差一个符号。
3、用大M 法求解LP 问题时，若在最终单纯形表上基变量中仍含有非零的人工变量，则原LP 问题（ ）A 、用大M 法求解失效；B 、最优解不唯一；C 、无可行解；D 、有可行解但无最优解。
4、 在LP 问题中基本可行解、可行解、正则解和最优解的关系，下列说法中不正确的是（ ）A 、 既是基本可行解又是正则解的解是最优解；B 、 既是基本解又是正则解的解是最优解；C 、基本可行解既是基本解又是可行解；D 、非负的基本解就是基本可行解。
管理运筹学期中考试题
1. 已知某求极大值线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯形表，求表中各括弧内未知数的值。
(30’,每个值3’)
2. 已知下表为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中x3,x4为松弛变量，问题的约束为<=的形式。
(1)写出原线性规划问题；(10’)
(2)写出原问题的对偶问题；(6’)
(3)直接由原问题的最终单纯形表写出对偶问题的最优解(4’)。
3.某车间所有的卡车都需要经过A、B、C三个车间的生产才能完成，每种类型的卡车在各个车间所需的加工台时和各个车间的现有加
（1）若车系乙、丙的单位利润不变，则车系甲的单位利润在什么范围内变动时，上述最优计划不变；（10’）
（2）由于市场需求旺盛，公司可以从其他地方抽调人员来增加生产能力，请问应该增加哪个车间的生产能力？(5’)
如果公司决定给A、B车间各增加5个单位工时，则最优的生产计划是否需要调整，如需调整，应该如何调整？(10’)
4.用闭回路法判断下列运输问题基本解是否是最优解（9’，每个检验数1’）。
若不是，请对其进行改进，获得问题的最优解（16’，改进8’，检验数5’，最优解3’）。
1 30
2 45
3 50
4 25
15 20 31 84。
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二、填空题（10×3=30分，6min ） 填空题（10×3=30分
min z = 2 x1 + 2 x2 + 4 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3
6、线性规划
2 x1 + 3x2 + 5 x3 ≥ 2 s.t. 3x1 + x2 + 7 x3 ≤ 3 x, x , x ≥0 1 2 3
的对偶问题模型为
。
7、在单纯形法中，初始基可能由 在单纯形法中， 、 、 三种 变量组成。 变量组成。 8、用大M法求目标函数为极大值的线性规划问题时，引 用大M法求目标函数为极大值的线性规划问题时， 入的人工变量在目标函数中的系数应为 。 9、线性规划问题的最优基为B，基变量的目标系数为CB， 线性规划问题的最优基为B 基变量的目标系数为C 则其对偶问题的最优解Y 则其对偶问题的最优解Y*= 。 10、在分支定界法中，若选x1=1.75进行分支，则构造的约 10、在分支定界法中，若选x =1.75进行分支 进行分支， 束条件应为 。
建筑工程学院
运筹学 期中测试
一、判断题（10×3=30分，6min） 判断题（10×3=30分 6min）
1、增加约束条件时，线性规划模型的可行域不扩大。 增加约束条件时，线性规划模型的可行域不扩大。 2、线性规划问题的对偶问题的对偶问题是原问题。 线性规划问题的对偶问题的对偶问题是原问题。 3、线性规划问题的基本解对应可行域的顶点。 线性规划问题的基本解对应可行域的顶点。 4、若某种资源的影子价格等于k，若其他条件不变，当 若某种资源的影子价格等于k 若其他条件不变， 该资源增加5 相应的目标函数值将增大5 该资源增加5时，相应的目标函数值将增大5k。 5、若原问题和对偶问题均存在可行解，则两者均存在最 若原问题和对偶问题均存在可行解， 优解。 优解。 6、用分支定界法求解一个极大化的整数规划问题时，任 用分支定界法求解一个极大化的整数规划问题时， 何一个可行解的目标函数值是该问题目标值的下界。 何一个可行解的目标函数值是该问题目标值的下界。
一、判断题（10×3=30分，4min） 判断题（10×3=30分 4min）
7、整数规划解的目标函数值一般优于其相应的线性规划 问题解的目标函数值。 问题解的目标函数值。 8、一个整数规划问题如果存在两个以上的最优解，则该 一个整数规划问题如果存在两个以上的最优解， 问题一定有无穷多最优解。 问题一定有无穷多最优解。 9、线性规划问题的每一个基本可行解对应可行域的一个 顶点。 顶点。 10、在线性规划模型中价值系数的变化影响解的可行性。 10、在线性规划模型中价值系数的变化影响解的可行性。
三、计算题（40分，20min） 计算题（40分 20min）
max z = 6 x1 + 2 x2 + 12 x3 已知线性规划 已知线性规划 4 x1 + x2 + 3 x3 ≤ 24 2 x1 + 6 x2 + 3 x3 ≤ 30 x ≥ 0，j = 1, 2,3 ， j
（1）求原问题和对偶问题的最优解； 求原问题和对偶问题的最优解； （2）求最优解不变时c3的变化范围。 求最优解不变时c 的变化范围。
二、填空题（10×3=30分，5min） 填空题（10×3=30分 5min）
1、若原问题为无界解，则对偶问题的解是 若原问题为无界解， 。 2、若线性规划中某资源有剩余，则该资源影子价格等 若线性规划中某资源有剩余， 于 。 3、线性规划模型有三种参数，其名称分别为价值系数、 线性规划模型有三种参数，其名称分别为价值系数、 和 。 4、使用人工变量法（大M法）求解极大化线性规划问题 使用人工变量法（ 法 当所有的检验数均小于或等于0， 时，当所有的检验数均小于或等于 ，但在基变量中仍 含有非零的人工变量， 含有非零的人工变量，表明该线性规划问题 。 5、线性规划原问题中的变量个数与其对偶问题中的 个 数相等。 数相等。