华北电力大学lesson 3_翻译

稳定性和时域响应
简介
连续系统或离散系统的稳定性是由其对输入或扰动的响应决定的。

直观地说，稳定系统是在没有外部激励时保持静态或平衡的系统，如果去掉所有的激励，系统会返回到静止状态。

输出将经过一个过渡过程，稳定在一个与输入一致或由其决定的稳态。

如果我们将同样的输入加到一个不稳定系统上，输出将不会稳定到稳态过程，它将无限制的增加，通常为指数形式或增幅震荡。

稳定性可以由连续系统的脉冲响应)(t y δ或离散系统的Kronecker delta )(k y δ响应如
下精确地定义：当时间趋近无穷时，如果脉冲响应为零，则连续系统是稳定的。

一个可接受的系统至少应满足三个基本指标：稳定性、精度和满意的暂态响应。

这三项标准体现在一个可接受的系统必须对特定的输入和扰动具有满意的时间响应。

因此，虽然我们为了方便在拉氏域和频域研究问题，但至少应在定性上将这两个域同时域联系起来。

实际上，拉氏域既能提供稳定和不稳定系统的暂态响应信息，也能提供稳定系统的稳态响应的信息。

本文讨论拉氏域和时间响应的关系，并重点强调暂态响应，和在拉氏域中建立系统稳定性的判剧。

精度将在下一篇文章中讨论，频率响应在以后的单元中讨论。

特征方程
系统对任何输入的时间响应可表示为下式：
[])()()()(tr ss 1t c t c s c L t c +==- (1)
式中c ss (t )是稳态响应，c tr (t )是暂态响应。

如果系统是不稳定的，就将没有稳态响应，只有暂态响应。

没有传输延时的情况下，系统的传递函数可以表示为拉氏复变量s 的多项式的比值。

)
()
()()()(s D s N s R s C s G ==
(2) 将分母多项式等于零即得到特征方程
0)(01111=++++=--a s a s a s a s D n n n n (3)
并可写作因子形式
0)()(1
=+=
∏=n
r s
s D i i (4)
式中-r i 表示特征方程的根，即使得D (s )等于零的s 值。

这些根可以是实根、复根或零，如果为复根，则由于微分方程的系数为实数，复根都是成对共扼的。

拉氏域中n 个不同根的暂态响应如下：
n
n r s C r s C r s C r s C s C ++
+++
++
+=
3
32
21
1tr )( (5)
在时域中为
t r t r t r t r n C C C C t c ----++++=e e e e )(3
2
1
321tr n (6)
后一个方程的每一项被称做暂态模式。

每个根都有一个暂态模式，其形状仅由根在s 域中的位置决定。

因此，系统稳定的充分必要条件就是特征方程根的实部为负。

这保证脉冲响应将按指数形式随时间衰减。

简单滞后：一阶系统
对形如式（2）的传递函数，系统的阶次被定义为特征方程D (s )的阶次，也就是其中s 的最高次幂决定了系统的阶次。

简单一阶系统的传递函数为1
1
)(+=Ts s G ，如图1所示，如果输入是一个单位阶跃R (s )=1/s ，则输出为
T
s K s K T s s T Ts s s R s G s C 1)1(1)1(1
)()()(2
1++
=+=
+=
= 1110
1=+=
=s T
s T K , 111
2-==
-
=T
s s
T
K
0.30.6c (t c (t
Fig. 1 first-order systems Fig.2 Transients of first-order systems
因此暂态响应为T t t c --=e 1)(。

第一项为强制分量，由输入引起，第二项为暂态分量，由系统的极点决定。

图2给出了暂态和c (t )。

暂态呈指数衰减，常用的表示衰减速度的量是时间常数。

时间常数是衰减指数暂态降到初始值e -1=0.368倍所用的秒数。

因为e -t/T =e -1当 t =T 时，可以看出简单滞后1/(Ts +1)的时间常数是T 秒。

实际上，这
就是简单滞后传递函数常被写为这种形式的原因。

s 的系数直接表明衰减的速度，4T 秒后，暂态衰减到初值的1.8%。

简单滞后有两个重要特征。

1. 稳定性：对于系统稳定性，系统极点必须位于s 平面的左半边，这样系统暂态衰减，而不是随时间增加而增加。

2. 响应速度：加速系统的响应（即减小时间常数）， 极点1/T 应左移。

多阶滞后：二阶系统
这种常见的传递函数通常可以简化为如下的标准形式：
2
n
n 22
n
2)(ωωζω++=s s s G (7) 式中ωn 是无阻尼自然频率，ζ 是阻尼比。

这些参数的意义将被讨论。

根据阻尼比，系统特征方程的根（极点）有三种可能： ζ >1: 过阻尼：12n n 2,1-±-=ζωωζs ζ =1: 临界阻尼：n 2,1ω-=s
ζ <1: 欠阻尼： 2n n 2,11ζωωζ-±-=j s
图3 显示了绘制极点位置的s 平面。

Fig. 3 The pole positions on the s -plane
对于单位阶跃输入R (s )=1/s ，输出的变换为
)
2()(2
n n 22n
ωωζω++=s s s s C (8) ζ >1时，极点在负实轴上ωn 的两侧，暂态是两个衰减指数的和，每个各有其自己的时间常数。

离原点最近的极点对应的指数项具有最大的时间常数，用最长的时间衰减。

这个极点称为主极点。

ζ =1时，两极点重合于ωn 。

ζ <1时，极点沿着以原点为中心，ωn 为半径的圆周上移动。

从图2-2A-3中的三角形，可以看出cos φ =ζωn /ωn =ζ。

输出为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-+---
=-ζ
ζζωζ
ωζ22n 2
1tan arc 1sin e
111)(n t t c t
(9)
图4中为对于不同阻尼比ζ的归一化响应曲线。

暂态项为以阻尼自然频率2n 1ζω-的震荡，其幅值按n
e
ωζ-衰减。

重要的性能指标如图5所示：
c (t
n
Fig.4 Normalized response plot of second-order systems for different damping ration ζ
c (t
Fig. 5 Performance criteria of response
稳定时间T s 是响应永久在稳态值上下5%或2%所需的时间。

T s =3T (5%)或T s =4T (2%)。

超过稳态值的最大超调量百分比是一项严格的性能指标。

令式(9)中c (t )的导数为零，得出响应的极值，得到方程：
ζ
ζζ
ζζω2
22n 11tan
arc 1tan -=
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-+-t (10)
这意味着在各峰值π12n i t =-ζω i =1,3…因为左右相等。

因此最大值必在峰值(i =1)，峰值时间T p 为
2
n p 1π
ζ
ω-=
T (11)
如果式(10)的角度的正切是ζζ21-，其正弦值21ζ-±，将式Eq. (11)代入式 (9)中得到
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--=21πexp 100P.O.ζζ
(12) 上升时间T r ，如式2-2A-5定义为响应第一次达到稳态值的时间，同极值时间T p 紧密相关。

应注意到各时间常数T s ，T p ，和T r 同时依赖于ωn 和ζ，而P .O.仅依赖于阻尼比ζ (图2-2A-6)。

允许最大超调，和允许最小阻尼比ζ依赖于实际应用。

对于机床进给，超调会导致车刀进入加工件，因此需要阻尼比大于1。

但在很多情况下，一定的超调是允许的，由于可缩短时间T p 和T r ，阻尼比小于1是合适的。

阻尼比等于0.7，超调仅为5%，响应达到稳态更快。

如果ωn 增加时阻尼比不变，极点会沿圆周外移，调节时间和上升时间会减小。

因此，我们可以通过调整闭环极点来调整暂态响应。