1984年全国高中数学联赛试题及解答

1984年全国高中数学联赛试题
第一试
1．选择题(本题满分40分，每小题答对得5分答错得0分，不答得1分)
⑴ 集合S={ |argZ=α，α为常数}在复平面上的图形是( )
A．射线argZ=2αB．射线argZ=－2αC．射线argZ=αD．上述答案都不对
⑵下列四个图形的阴影部分(不包括边界)满足不等式logx(logxy2)>0的是( )
⑶ 对所有满足1≤n≤m≤5的m，n，极坐标方程ρ= 表示的不同双曲线条数是( )
A．15B．10C．7D．6
⑷ 方程sinx=lgx的实根个数是( )
A．1B．2C．3D．大于3
⑸ 若a>0，a≠1，F(x)是一个奇函数，则
G(x)=F(x)∙( + )是
A．奇函数B．偶函数C．不是奇函数也不是偶函数D．奇偶性与a的具体数值有关
解 由于12+22+…+n2的个位数字只与1到n的个位数字的平方和有关，故只要考虑这些数的个位数字的平方：
但12≡1．22≡4，32≡9，42≡6，52≡5，62≡6，72≡9，82≡4，92≡1，02≡0(mod10)
∴a1=1，a2=5，a3=4，a4=0，a5=5，a6=1，a7=0，a8=4，a9=5，a10=5，
C．以角速度2ω在单位圆上顺时针运动
D．以角速度2ω在单位圆上逆时针运动
⑻ 若四面体的一条棱长是x，其余棱长都是1，体积是F(x)，则函数F(x)在其定义域上
A．是增函数但无最大值B．是增函数且有最大值
C．不是增函数但无最大值D．不是增函数但有最大值
2．填充题(本题满分10分，每小题5分)
⑴ 如图，AB是单位圆的直径，在AB上任取一点D，作DC⊥AB，交圆周于C，若点D的坐标为D(x，0)，则当x∈时，线段AD、BD、CD可以构成锐角三角形．
解：EF= ．(证明见课本)．
3．(本题满分15分)如图，在△ABC中，P为边BC上任意一点，PE∥BA，PF∥CA，若S△ABC=1，证明：S△BPF、S△PCE、S□PEAF中至少有一个不小于 (SXY…Z表示多边形X若点P在BM上(含点M)，则由于PE∥AB，则△CPE∽△CBA．CP∶CB≥ ．于是S△PCE≥ ．同理，若P在NC上(含点N)，则S△BPF≥ ．
A．以角速度ω在单位圆上顺时针运动
B．以角速度ω在单位圆上逆时针运动
C．以角速度2ω在单位圆上顺时针运动
D．以角速度2ω在单位圆上逆时针运动
解：令x=cosωt，y=sinωt．则－2xy=－sin2ωt=cos( －2ωt)
y2－x2=－cos2ωt=sin( －2ωt)．显然－2ωt与ωt旋转方向相反．故选C．
3．(本题满分15分)如图，在△ABC中，P为边BC上任意一点，PE∥BA，PF∥CA，若S△ABC=1，证明：S△BPF、S△PCE、S□PEAF中至少有一个不小于 (SXY…Z表示多边形XY…Z的面积)．
4．(本题满分15分) 设an是12+22+32+…+n2的个位数字，n=1，2，3…，试证：0.a1a2…an…是有理数．
⑹若F( )=x，则下列等式中正确的是( )
A．F(－2－x)=－2－F(x)B．F(－x)=F( )
C．F(x－1)=F(x)D．F(F(x))=－x
解：令t= ，得x= ，即F(t)= ，经一一验证，知F(－2－x)=－2－F(x)，选A．
⑺ 若动点P(x，y)以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点Q(－2xy，y2－x2)的运动方式是
解：由对称性，先考虑0≤x<1的情况，设AD=a，BD=b，CD=c，则a+b=2，ab=c2，且必有a≥c≥b，于是只要考虑c2+b2>a2，即(1－x)(1+x)+(1－x)2>(1+x)2，解得0≤x< －2．
∴2－ <x< －2．
⑵ 方程cos =cosx的通解是，在(0，24π)内不相同的解有个
⑸若a>0，a≠1，F(x)是一个奇函数，则
G(x)=F(x)∙( + )是
A．奇函数B．偶函数C．不是奇函数也不是偶函数D．奇偶性与a的具体数值有关
解：G(x)=F(x)∙ ，故G(－x)=G(x)，且G(x)的定义域是F(x)的定义域与{x|x≠0，x∈R}的交集，为以原点为对称的区域，故选B．
5．(本题满分15分) 设x1，x2，…，xn都是正数，求证： + +…+ + ≥x1+x2+…+xn．
证明 +x2≥2x1， +x3≥2x2， +x4≥2x3，…， +x1≥2x1．
上述各式相加即得．
⑻ 若四面体的一条棱长是x，其余棱长都是1，体积是F(x)，则函数F(x)在其定义域上
A．是增函数但无最大值B．是增函数且有最大值
C．不是增函数但无最大值D．不是增函数但有最大值
解：定义域为0<x< ，当x= 时，F(x)最大，故选D．
2．填充题(本题满分10分，每小题5分)
⑴ 如图，AB是单位圆的直径，在AB上任取一点D，作DC⊥AB，交圆周于C，若点D的坐标为D(x，0)，则当x∈时，线段AD、BD、CD可以构成锐角三角形．
若点P在线段MN上．连EF，设 =r( <r< )，则 =1－r．
S△BPF=r2，S△PCE=(1－r)2．∴S△BPF+S△PCE=r2+(1－r)2=2r2－2r+1=2(r－ )2+ <2( - )2+ = ．
于是S□AEPF≥ ．
故命题成立．
4．(本题满分15分) 设an是12+22+32+…+n2的个位数字，n=1，2，3…，试证：0.a1a2…an…是有理数．
⑶A={(x，y)|x2+y2≤r2}，B={(x，y)|0<x2+y2≤r2}，于是Cr∪ACr∪B恒成立，但不满足AB．
2．(本题满分10分)已知两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线AA的长度为d，在直线a、b上分别取点E、F，设AE=m，AF=n，求EF(A在直线a上，A在直线b上)．
⑹ 若F( )=x，则下列等式中正确的是( )
A．F(－2－x)=－2－F(x)B．F(－x)=F( )
C．F(x－1)=F(x)D．F(F(x))=－x
⑺ 若动点P(x，y)以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点Q(－2xy，y2－x2)的运动方式是
A．以角速度ω在单位圆上顺时针运动
B．以角速度ω在单位圆上逆时针运动
⑵方程cos =cosx的通解是，在(0，24π)内不相同的解有
个．
第二试
1．(本题满分15分)下列命题是否正确？若正确，请给予证明．否则给出反例．
⑴ 若P、Q是直线l同侧的两个不同点，则必存在两个不同的圆，通过P、Q且与直线l相切；
⑵ 若a>0，b>0，且a≠1，b≠1，则logab+logba≥2．
a11=6，a12=0，a13=9，a14=5，a15=0，a16=6，a17=5，a18=9，a19=0，a20=0．
由a20=0知，a20k+r=ar(k，r∈N，0≤r≤19，并记a0=0)，即0.a1a2…an…是一个循环节为20位数的循环小数，即为有理数．其一个循环节为“15405104556095065900”．
5．(本题满分15分) 设x1，x2，…，xn都是正数，求证： + +…+ + ≥x1+x2+…+xn．
1984年全国高中数学联赛试题解答
第一试
1．选择题(本题满分40分，每小题答对得5分答错得0分，不答得1分)
⑴ 集合S={ |argZ=α，α为常数}在复平面上的图形是( )
A．射线argZ=2αB．射线argZ=－2αC．射线argZ=αD．上述答案都不对
解： =2kπ±x，x= kπ，与x= mπ．
当0< k<24时，k=1，2，…，8；当0< m<24时，m=1，2，…，14；而当k=3，m=5及k=6，m=10时，解是相同的，故共有8+14－2=20个不同的解．
第二试
1．(本题满分15分)下列命题是否正确？若正确，请给予证明．否则给出反例．
⑴ 若P、Q是直线l同侧的两个不同点，则必存在两个不同的圆，通过P、Q且与直线l相切；
解：由于argZ∈[0.2π)，故不存在答案B．arg =2π－α，故选D．
⑵下列四个图形的阴影部分(不包括边界)满足不等式logx(logxy2)>0的是( )
解：当0<x<1时，得1>y2>x>0；当x>1时，得y2>x>1．选D．
⑶ 对所有满足1≤n≤m≤5的m，n，极坐标方程ρ= 表示的不同双曲线条数是( )
A．15B．10C．7D．6
解：由e=C ，若表示双曲线，则e>1，由C >1，可得m、n的不同取值为C =5，C =10，C =4，C =6，C =3，C =2，共有6个不同的值，故选D．
⑷ 方程sinx=lgx的实根个数是( )
A．1B．2C．3D．大于3
解：作y=sinx及y=lgx的图象，当x>10时，lgx>1．故二者只在(0，10)内可能有交点．经作图可知，二者在(0，π)内有一交点，在(2π，3π)内有一交点．选C．
⑶ 设A、B是坐标平面上的两个点集，Cr={(x，y)|x2+y2≤r2}，若对任何r≥0，都有Cr∪ACr∪B，则必有AB．
2．(本题满分10分)已知两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线AA的长度为d，在直线a、b上分别取点E、F，设AE=m，AF=n，求EF(A在直线a上，A在直线b上)．