高二数学选修1、2-2-2双曲线的简单几何性质
选修1-1教案2.2.2双曲线的几何性质
课题: 2.2.2双曲线的简单几何性质（共2课时）一、教学目标1．了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。
2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。
二、教学重点、难点重点：双曲线的几何性质及初步运用。
难点：双曲线的渐近线。
三、教学过程(一)复习提问引入新课1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？2．双曲线的两种标准方程是什么？下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．(二)类比联想得出性质(范围、对称性、顶点)引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(三)渐近线双曲线的范围在以直线by xa=和by xa=-为边界的平面区域内，那么从x,y的变化趋势看，双曲线22221x ya b-=与直线by xa=±具有怎样的关系呢？根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线by xa=的关系。
双曲线在第一象限的部分可写成：当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线． (四)离心率由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．这时，指出：焦点在y 轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变． （五）例题讲解例1求双曲线22143x y -=的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．分析：由双曲线的标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用双曲线的实轴长、虚轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y 轴上的渐近线是ay x b=±． 练习P41 练习1例2 已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：2-2-2《双曲线的简单几何性质》
2．基本不等式的应用 在利用基本不等式求最值时，一定要紧扣“一 正、二定、三相等”这三个条件，即每个项都 是正值，和或积是定值，所有的项能同时相等； 而“二定”这个条件是对不等式进行巧妙拆分、 组合、添加系数等使之能变成可用基本不等式 的形式的关键．倘若要多次用基本不等式求最 值，必须保持每次“=”的一致性．
专题三 不等式、数列、推理与 证明
1．不等式的重要性质 1 a b a c b c. 推论1 a b，c d a c b d . 2 a b，c 0 ac bc；a b，c 0 ac bc. 推论1 a b 0，c d 0 ac bd； 1 1 推论2 a b，ab 0 ; a b 推论3 a b 0 a n b n (n N*，且n 2)． * n n 3 a b 0 a b (n N ，且n 2)．
f x 0 ②log a f x log a g x 0 a 1时， ; g x 0 f x g x f x 0 a 1时， . g x 0 f x g x
3．线性规划 二元一次不等式表示平面区域的快速判断法. 4．推理与证明 (1)归纳推理： ①通过观察个别情况发现某些相同的性质； ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性 命题(猜想)．一般地，如果归纳的个别情况越多， 越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可靠．
二、应用基本不等式求最值 例2 1 若a 0，b 0，a b 2，则下列不等式对一切 满足条件的a，b恒成立的是 __________ ． (写出所有正 确命题的编号) ①ab 1；② a b ；③a 2 b 2 2； 1 1 3 3 ④a b 3；⑤ 2. a b 的两个正方形，其中BC 2，A 90，则这两个 正方形的面积之和的最小值为 __________ ．
高中数学_双曲线的简单几何性质教学设计学情分析教材分析课后反思
2.3.2 双曲线简单的几何性质教学设计1．教学目标（1）知识层面：结合双曲线的图象，师生共同探索发现和归纳双曲线的性质，同时体会数形结合的思想方法。
（2）能力层面：通过在教师引导下探索新知的过程，培养学生观察、分析、归纳的自学能力，为学生学习的可持续发展打下基础。
（3）情感层面：通过数形结合思想方法的运用，让学生体会（数学）问题从抽象到形象的转化过程与方法，体会数学之美，激发学生学习数学的信心和兴趣。
2．重点难点重点：师生共同探索，归纳、总结出双曲线的性质，在探索过程中体会数形结合思想方法。
难点：对双曲线性质的理解和应用4．教学过程活动1【导入】环节一活动2【活动】回顾已学活动3新知探索活动4【活动】板书设计椭圆、双曲线的性质比较学情分析本节课之前，学生已经学习了《椭圆及其性质》，《双曲线及标准方程》，这些都为本节课的学习打好了基础。
但由于我校学生生源比较差，基础薄弱，学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，并且学习的信心不够，画图读图能力也不足，在讲解时要精分细讲，从图象到方程以及范围、对称性、顶点、实轴虚轴、渐近线、离心率等层层递进，引导学生从图象中得出结论，根据学生对新知识的认知规律，从简到难，数形结合，对性质的讲解要面面俱到。
双曲线简单的几何性质--学生当堂学习效果评测结果及分析1.知识的掌握。
有52%的学生能够达到A，35%的学生能够达到B,13%的学生属于C。
前两种学生平时的学习习惯较好，方法科学，第三种学生基础较差，学习习惯和方法均存在问题。
教师在分层施教基础上，适当采取一些方法让学习好的学生加加餐，让较差的学生能够跳一跳，摘到心仪的果子。
2.思维能力的发展。
11%的学生能够达到A，74%的学生能够达到B,15%的学生属于C。
第一种是平时表现特别积极、敢于展现、大胆发言的学生。
第二种是平时表现比较积极，在课堂活动中能够积极参与的学生。
第三种平时默默无闻，不敢发言和表现。
在激励第一种学生的同时，平时教师应多给与第二和第三种学生发言和表现的机会，以此实现学生的全面发。
选修1-1课件2.2.2 双曲线的简单几何性质
b b 2 2 解得y1 25 12 481 12 12 b 5 2 2 y2 13 12 b. 12 12 又塔高为 米, 所以y2 y1 55.即 55 5b b 481 55. 12 12 解得 : b 24.5(米).所以双曲线的 方程为 x y 1. 2 2 12 24.5
2
2
2 ; 渐近
线方程x y; 准线方程y 2 .
练习题:
1.求下列双曲线的实轴和虚轴的 长、顶点和焦点坐标、离心率、 渐近线方程和准线方程：
x y 4 1 49 25
2
2
y x 4 方程化为 1, 于是a 5, b 7, 25 49 c 25 49 74 , 2a 10, 2b 14; 顶 点坐标0, 5 , 0,5 ; 焦点坐标 0, 74 ,
叫做等轴双曲线 .
x
双曲线虚轴的变化对双曲线的影响：
性质4—渐近线
y B2
N x ,Y Q M(x,y)
b
A1
o a A2
x
b y x a
B1
b y x a
在第一象限内 双曲线方程化为 , b 2 2 y x a x a a 设M x , y 是双曲线上的任意一 b 点, N x ,Y 是直线y x上与M a b 有相同横坐标的点则Y x . , a
1 x
2
8 y 32
2
x y 1方程化为 1, 于是a 4 2 , 32 4 b 2, c 32 4 6, 2a 8 2 , 2b 4; 顶点坐标 4 2 ,0 , 4 2 ,0 ; 焦点坐 3 标6,0 , 6,0 ; e 2 ; 渐近线方程 4 2 16 y x; 准线方程x . 4 3
高中数学2.2双曲线2.2.2双曲线的简单几何性质第2课时双曲线几何性质的应用学案含解析新人教A版选修1_1
第2课时 双曲线几何性质的应用学习目标 1.了解直线与双曲线的位置关系.2.了解与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．知识点一 直线与双曲线的位置关系思考 直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么，直线与双曲线相切，能用这个方法判断吗？ 答案 不能．梳理 设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，①双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，②把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±b a时，直线l 与双曲线C 的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．(2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±b a时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)． Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切； Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离． 知识点二 弦长公式若斜率为k (k ≠0)的直线与双曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AB |＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2].1．若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．( × ) 2．直线l ：y ＝x 与双曲线C ：2x 2－y 2＝2有两个公共点．( √ )类型一 直线与双曲线的位置关系例1 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为233，且过点(6，1)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围． 考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 解 (1)由e ＝233，可得c 2a 2＝43，所以a 2＝3b 2，故双曲线方程可化为x 23b 2－y 2b2＝1.将点P (6，1)代入双曲线C 的方程， 解得b 2＝1，所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立直线与双曲线方程，⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x 2－3y 2－3＝0，消去y ，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝72k 2－－3k2－，1－3k 2≠0，解得－1<k <1且k ≠±33. 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. 反思与感悟 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况．(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：双曲线与直线相切或直线与双曲线的渐近线平行．(3)注意对直线l 的斜率是否存在进行讨论．跟踪训练1 已知双曲线x 2－y 24＝1，过点P (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，求直线l 的斜率k .考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 解 当直线l 的斜率不存在时， 直线l ：x ＝1与双曲线相切，符合题意． 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝k (x －1)＋1， 代入双曲线方程，得(4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0. 当4－k 2＝0时，k ＝±2，直线l 与双曲线的渐近线平行，l 与双曲线只有一个公共点； 当4－k 2≠0时，令Δ＝0，得k ＝52.综上，k ＝52或k ＝±2或k 不存在．类型二 弦长公式及中点弦问题 例2 双曲线的方程是x 24－y 2＝1.(1)直线l 的倾斜角为π4，被双曲线截得的弦长为8311，求直线l 的方程；(2)过点P (3,1)作直线l ′，使其被双曲线截得的弦恰被P 点平分，求直线l ′的方程． 考点 直线与双曲线的位置关系 题点 弦长及弦中点问题解 (1)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，代入双曲线方程，得3x 2＋8mx ＋4(m 2＋1)＝0， Δ＝(8m )2－4×3×4(m 2＋1)＝16(m 2－3)>0， ∴m 2>3.设直线l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 则x 1＋x 2＝－83m ，x 1x 2＝m 2＋3.由弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|，得 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－83m 2－m 2＋3＝8311， ∴42×m 2－33＝8311，即m ＝±5，满足m 2>3，∴直线l 的方程为y ＝x ±5.(2)设直线l ′与双曲线交于A ′(x 3，y 3)，B ′(x 4，y 4)两点， 点P (3,1)为A ′B ′的中点，则x 3＋x 4＝6，y 3＋y 4＝2. 由x 23－4y 23＝4，x 24－4y 24＝4，两式相减得(x 3＋x 4)(x 3－x 4)－4(y 3＋y 4)(y 3－y 4)＝0， ∴y 3－y 4x 3－x 4＝34，∴l ′的方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.把此方程代入双曲线方程，整理得5y 2－10y ＋114＝0，满足Δ>0，∴所求直线l ′的方程为3x －4y －5＝0.反思与感悟 (1)使用弦长公式时，一般可以利用根与系数的关系，解决此类问题，一定不要忽略直线与双曲线相交这个条件，得到的k 要保证满足相交，即验证Δ>0.(2)与弦中点有关的问题主要用点差法．跟踪训练2 设双曲线的顶点是椭圆x 23＋y 24＝1的焦点，该双曲线又与直线15x －3y ＋6＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)． (1)求此双曲线的方程； (2)求|AB |.考点 直线与双曲线的位置关系 题点 弦长及弦中点问题解 (1)已知椭圆的焦点为(0，±1)， 即是双曲线的顶点，因此设双曲线方程为y 2－mx 2＝1(m >0)，① 又直线15x －3y ＝－6，②A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是方程①②组成的方程组的两个解．由⎩⎨⎧y 2－mx 2＝1，15x －3y ＝－6，得⎝ ⎛⎭⎪⎫53－m x 2＋4153x ＋3＝0， 当m ＝53时，显然不满足题意．当m ≠53时，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－415353－m ，x 1x 2＝353－m ，又OA ⊥OB ，∴OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝83x 1x 2＋2153(x 1＋x 2)＋4＝0，∴83×353－m ＋2153×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－415353－m ＋4＝0，∴m ＝13，经验证，此时Δ>0.∴双曲线的方程为y 2－x 23＝1.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－15，x 1x 2＝94，∴|AB |＝1＋k 2×x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫1532×－152－4×94＝4.类型三 由直线与双曲线相交求参数的取值范围(值)例3 已知中心在坐标原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A ，B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系解 (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝3，c ＝2，所以b ＝1.故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，可得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0. 由直线l 与双曲线交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋－3k2＝－k2，故k 2≠13且k 2<1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2，由OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2. 又因为y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝－9k 21－3k 2＋12k21－3k2＋2＝3k 21－3k2＋2. 所以－91－3k 2＋3k 21－3k 2＋2>2，所以3k 2－91－3k 2>0.又因为k 2≠13且k 2<1，所以13<k 2<1.所以k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪⎪－1<k <－33或33<k <1. 反思与感悟 当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系式求解． 跟踪训练3 已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值． 考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线相交弦长与三角形面积 解 (1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k2，解得－2<k <2且k ≠±1.∴当双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线l 与y 轴交于点D (0，－1)．由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线上的一支上且|x 1|>|x 2|时，S △OAB ＝S △OAD －S △OBD＝12(|x 1|－|x 2|) ＝12|x 1－x 2|； 当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时，S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD＝12(|x 1|＋|x 2|) ＝12|x 1－x 2|. ∴S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，∴(x 1－x 2)2＝(22)2， 即⎝⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62. 又∵－2<k <2且k ≠±1， ∴当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.1．若直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，则实数k 的取值范围是( ) A ．－2＜k ＜2B ．－1＜k ＜1C ．0＜k ＜2D ．－2＜k ＜0考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 答案 A解析 易知k ≠±2，将y ＝kx 代入4x 2－y 2＝16得关于x 的一元二次方程(4－k 2)x 2－16＝0，由Δ＞0可得－2＜k ＜2.2．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 答案 B3．直线y ＝x －1被双曲线2x 2－y 2＝3所截得的弦的中点坐标是( ) A ．(1,2) B ．(－2，－1) C ．(－1，－2)D ．(2,1)考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的位置关系 答案 C解析 将y ＝x －1代入2x 2－y 2＝3，得x 2＋2x －4＝0，由此可得弦的中点的横坐标为x 1＋x 22＝－22＝－1，将x ＝－1代入直线方程y ＝x －1得y ＝－2，故选C. 4．过点A (3，－1)且被A 点平分的双曲线x 24－y 2＝1的弦所在的直线方程是________．考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的其他问题 答案 3x ＋4y －5＝0解析 易知所求直线的斜率存在，设为k ，设该直线的方程为y ＋1＝k (x －3)，代入x 24－y 2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程(1－4k 2)x 2＋(24k 2＋8k )x －36k 2－24k －8＝0， ∴－24k 2＋8k 1－4k 2＝6，∴k ＝－34，此时Δ>0，符合题意，∴所求直线方程为3x ＋4y －5＝0.5．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则满足条件的直线l 有________条．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线相交弦长与三角形面积 答案 3解析 当直线l 交双曲线于左右两支时，因为2a ＝2，而|AB |＝4，故可有两条．若直线l 交双曲线于同支，当直线l 垂直于x 轴时，|AB |＝4，故只有一条，所以满足条件的直线有3条．双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.一、选择题1．双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距，一条渐近线的方程为x －2y ＝0，则双曲线C 的标准方程为( ) A.x 24－y 2＝1 B.x 24－y 2＝1或y 2－x 24＝1 C ．x 2－y 24＝1或y 2－x 24＝1D ．y 2－x 24＝1 考点 双曲线性质的应用题点 双曲线与椭圆结合的有关问题 答案 B2．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( ) A.2B.3C ．2D ．3 考点 双曲线的几何性质 题点 求双曲线的离心率答案 B解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．∵直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直， ∴直线l 的方程为x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a 2－1＝b 4a 2， ∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a .依题意2b2a＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3. 3．双曲线y 2b 2－x 2a 2＝1(a >b >0)的一条渐近线与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1交于点M ，N ，则|MN |等于( )A ．a ＋b B.2aC.a 2＋b 2 D.a 2－b 2考点 双曲线性质的应用题点 双曲线与椭圆结合的有关问题 答案 C解析 双曲线y 2b 2－x 2a 2＝1的一条渐近线方程为y ＝ba x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ba x ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x ＝±22a . 所以|MN |＝1＋b 2a 2|x 2－x 1|＝a 2＋b 2a 2·2a＝a 2＋b 24．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2等于( ) A.14B.35C.34D.45 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 C解析 由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝22， 又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝4 2.|F 1F 2|＝2c ＝2 a 2＋b 2＝4.∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝32＋8－162×22×42＝2416×2＝34. 5．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系答案 B解析 由双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，点P (1,0)是双曲线的右顶点，则直线x ＝1与双曲线只有一个公共点，过点P (1,0)且平行于渐近线y ＝±2x 时，直线l 与双曲线只有一个公共点，有2条，故满足题意的直线共3条． 6．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交双曲线于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B.x 26－y 23＝1 C.x 24－y 25＝1 D.x 25－y 24＝1 考点 直线与双曲线的位置关系题点 弦长及弦中点问题答案 C解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1， 两式相减可得x 1＋x 2x 1－x 2a 2＝y 1＋y 2y 1－y 2b 2.∵线段AB 的中点坐标为N (－12，－15)， ∴－x 1－x 2a 2＝－y 1－y 2b 2. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝4b 25a 2.∵直线的斜率为－15－12－3＝1， ∴4b 25a 2＝1. ∵右焦点为F (3,0)，∴a 2＋b 2＝9，解得a 2＝4，b 2＝5，∴E 的方程为x 24－y 25＝1. 7．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 考点 双曲线的几何性质题点 双曲线范围的应用答案 A解析 由题意知a 2＝2，b 2＝1， 所以c 2＝3，不妨设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)，所以MF 1→·MF 2→＝x 20－3＋y 20＝3y 20－1<0，所以－33<y 0<33. 8.如图，已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( ) A.7B ．4 C.233 D. 3考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的离心率答案 A解析 因为△ABF 2为等边三角形，不妨设|AB |＝|BF 2|＝|AF 2|＝m ，A 为双曲线上一点，|F 1A |－|F 2A |＝|F 1A |－|AB |＝|F 1B |＝2a ，B 为双曲线上一点，则|BF 2|－|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c ，由∠ABF 2＝60°，得∠F 1BF 2＝120°，在△F 1BF 2中，由用余弦定理，得4c 2＝4a 2＋16a 2－2·2a ·4a ·cos120°，得c 2＝7a 2，则e 2＝7，即e ＝7.二、填空题 9．双曲线x 2a 2－y 29＝1的离心率e ＝54，则其两条渐近线方程为________． 考点 双曲线性质的应用题点 以离心率或渐近线为条件的简单问题答案 y ＝±34x 解析 双曲线x 2a 2－y 29＝1，∴b ＝3， 又双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝1＋9a 2＝54， 解得a ＝4， ∴双曲线的两条渐近线方程为y ＝±b a x ＝±34x .10．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形答案 3215 解析 双曲线右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，双曲线一条渐近线的斜率是43，则直线FB 的方程是y ＝43(x －5)，与双曲线方程联立解得点B 的纵坐标为－3215，故△AFB 的面积为12×|AF ||y B |＝12×2×3215＝3215. 11．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝2x 无交点，则离心率e 的取值范围是________． 考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线离心率的取值范围答案 (1，5]解析 由题意可得，双曲线的渐近线的斜率ba≤2，所以e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≤ 5. 又e >1，则离心率e 的取值范围是(1，5]．12．过P (8,3)作双曲线9x 2－16y 2＝144的弦AB ，且P 为弦AB 的中点，那么直线AB 的方程为________．考点 直线与双曲线的位置关系题点 弦长及弦中点问题答案 3x －2y －18＝0解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由P (8,3)为弦AB 的中点，可得x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝6，又9x 21－16y 21＝144,9x 22－16y 22＝144，两式相减，可得9(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－16(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即为9(x 1－x 2)－6(y 1－y 2)＝0，可得k AB ＝y1－y 2x 1－x 2＝32，则直线AB 的方程为y －3＝32(x －8)，即3x －2y －18＝0.三、解答题13．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，且双曲线过点(－3,42)．(1)求双曲线的方程；(2)若直线4x －y －6＝0与双曲线相交于A ，B 两点，求|AB |的值．考点 直线与双曲线的位置关系题点 直线与双曲线的位置关系解 (1)双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，则设双曲线的方程为x 2－y24＝λ(λ≠0)，把(－3,42)代入方程，得9－324＝λ，解得λ＝1，∴双曲线的方程为x 2－y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －6＝0，x 2－y24＝1，整理得3x 2－12x ＋10＝0，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝103， 由弦长公式可知|AB |＝＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42－4×103＝21023， ∴|AB |的值为21023. 四、探究与拓展 14．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作一条与其渐近线平行的直线l ，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，求双曲线C 的离心率． 考点 双曲线的几何性质题点 求双曲线的离心率解 如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为b a ， 又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝b a(x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y 2b2＝1， 化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)， 故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝b a (2a －c )，化简可得离心率e ＝c a ＝2＋ 3.15．直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点．(1)求线段AB 的长；(2)当a 为何值时，以AB 为直径的圆经过坐标原点？ 考点 直线与双曲线的位置关系题点 弦长及弦中点问题解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1，消去y ， 得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.由题意可得3－a 2≠0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2.(1)|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝＋a 2x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝＋a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3－a 22＋83－a 2＝2＋a 2－a 2|3－a 2|.(2)由题意知，OA ⊥OB ，则OA →·OB →＝0.即x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0，即(1＋a 2)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0，∴(1＋a 2)·－23－a 2＋a ·2a3－a 2＋1＝0，解得a ＝±1.经检验当a ＝±1时，以AB 为直径的圆经过坐标原点．。
最新人教版高中数学选修2-1第二章《双曲线的简单几何性质》教学设计
教学设计2．3.2 双曲线的简单几何性质整体设计教材分析学生已经经历了根据椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质的方法，并已学过了双曲线的定义及标准方程．类比椭圆的简单几何性质的推导过程，利用双曲线的标准方程，通过学生自我思考，得出结论，同学交流展示，得出与椭圆相近的几何性质．在整个过程中教师的作用仅是启发诱导，点拨释疑，补充完善．让学生不断地通过思考，动手，发现新知的同时，体会到学习中的成功感．课时分配本节内容分两课时完成. 第1课时讲解双曲线的简单几何性质，要求学生类比椭圆简单几何性质的研究方法来研究双曲线的简单几何性质；第2课时讲解运用双曲线的简单几何性质解题以及应用于实际生活中．第1课时教学目标知识与技能1．通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等几何性质．2．了解双曲线的中心、实轴、虚轴、渐近线、等轴双曲线的概念，以及a、b、c、e 的关系及其几何意义．过程与方法通过观察、类比、转化、概括等探究，提高运用方程研究双曲线的性质的能力．情感、态度与价值观使学生在合作探究活动中体验成功，激发学习热情，感受曲线美、数学美．重点难点教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质．教学难点：渐近线的性质．教学过程引入新课提问：(1)双曲线是如何定义的？ (2)双曲线的标准方程是什么？(3)前节根据椭圆的标准方程研究了椭圆的哪些性质？－a≤x≤a －b≤y≤b x 轴、y 轴、原点对称(±a,0)，(0，±b)设计意图：回顾旧知，为问题的引入做准备，有助于本节课所研究的问题顺利解决． 探究新知探究1.类比椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的几何性质，借助x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)图象探讨双曲线有哪些几何性质？提出探究要求：(1)先通过焦点在x 轴上的标准方程来研究．(2)类比椭圆的性质从范围、对称性、顶点、离心率四个角度思考． (3)要求先自己做一做，再在小组说一说，选出代表在班级讲一讲．设计意图：依据学生思维的形象直观性和认知的情景依存性，在问题的指引下， 学生沿着一定的目标去自主探究，深入思考， 感知数学， 并在小组内交流讨论，在此期间教师巡回指导．全班交流后，及时点评．活动成果： 1.－a≤x≤a －b≤y≤b x≥a 或x≤－ax 轴、y 轴、原点对称轴、y 轴、原点对称2．双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点，坐标为(±a,0)．3．线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长为2a ，a 叫做实半轴长；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b ，b 叫做双曲线的虚半轴长．探究2.双曲线的这些性质和椭圆有什么异同？ 从范围看，椭圆是封闭的，双曲线是“开放”的．从对称性看，都关于x 轴、y 轴、原点对称，这是缺一次项的二次方程的共性． 从顶点看，椭圆有四个，双曲线有两个，都是与坐标轴的交点，轴的概念的异同． 从离心率看：椭圆e ＝ca＝1－b 2a 2∈(0,1)，双曲线e ＝c a＝1＋b2a2∈(1，＋∞)． 设计意图：通过观察类比，形成知识的迁移，明确双曲线几何性质的研究过程和研究方法，进而培养学生观察问题、解决问题的能力．探究3. 渐近线的发现与论证： 思考：双曲线x 29－y24＝1：①在位于第一象限内的双曲线上找一点M ，点M 的横坐标x M 与它到直线 x 3－y2＝0的距离d 有什么关系？(几何画板演示，学生回答)②d 能否为0?若d ＝0，则双曲线与直线相交，设交点坐标为M(x 0，y 0)， 则x 03－y 02＝0，又x 209－y 204 ＝ (x 0 3 ＋ y 0 2)(x 03－y 02) ＝ 0≠1， ∴点M 不在双曲线上．∴d≠0.归纳总结：双曲线上的点在远离原点时无限接近这条直线但永远不能到达这条直线．(几何画板演示引导学生发现渐近线，明确渐近线与双曲线的关系)结论：①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为x a ±yb＝0.②画双曲线时，我们可以先画矩形框，然后画出双曲线的渐近线，最后再画双曲线． 设计意图：通过具体事例让学生结合几何画板来主动发现，更直接、更容易接受，再结合讲授法“说明双曲线上的点越来越接近于直线y ＝ba x”，采用两种方法：一是定量描述，直接计算双曲线上的点到直线的距离，体会这个距离无限接近于0；二是通过电脑演示，直观反映“渐近”的特征．探究4.离心率的几何意义：思考：渐近线、e 、双曲线张口有什么关系？活动成果：借助信息技术的演示，以增强学生对双曲线离心率是如何影响双曲线张口大小的认识：e 越大，开口就越大．理解新知学生独立完成焦点在y 轴上的双曲线的几何性质、完善表格：x≥a 或x≤－a x 轴、y 轴、原点对称(±a,0)运用新知1求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程． 解：把方程化为标准方程y 242－x232＝1.可得实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3; 半焦距c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5. 焦点坐标是(0，－5)，(0,5); 离心率：e ＝c a ＝54；渐近线方程：y ＝±43x.2求双曲线x 2－y 2＝a 2的实轴和虚轴长、离心率、渐近线方程． 解：把方程化为标准方程x 2a 2－y2a2＝1.可得实半轴长为a ，虚半轴长为a; 实轴长为2a ，虚轴长为2a. 半焦距c ＝a 2＋a 2＝2a ; 离心率：e ＝c a ＝2；渐近线方程：y ＝±x.定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．变练演编提出问题：已知双曲线的焦点在y 轴上，焦距为16，____________，求双曲线的标准方程．(在横线上填上一个条件，并做出相应解答．)活动设计：学生分组献计献策，本组内就形成多个小题进行解答，允许互相交流成果．然后，每组选出代表进行解答，并要求各组出的题目不相同．设计意图：本题为开放性问题，意在增加问题的多样性，使知识得到充分的巩固，各组之间无形中形成良性竞争，增加学习新知的主动性，趣味性，锻炼学生的发散思维．达标检测课堂小结1．知识点x2 a2－y2b2＝1(a>b>0) －x2b2＝1(a>0，b>0)x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈x轴、y轴、原点对称2.渐近线是双曲线特有的性质，其发现与给出过程蕴含了重要的数学方法．3．渗透了类比、数形结合等重要的数学思想．作业布置课本习题2.3 A组第3、4题．补充练习基础练习1．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x24＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y24＝1 2．双曲线与椭圆x 216＋y264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝－x ，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝96 B ．y 2－x 2＝160 C ．x 2－y 2＝80 D ．y 2－x 2＝24 3．双曲线x 25－y24＝1的( )A ．实轴长为25，虚轴长为4，渐近线方程为y ＝±255xB ．实轴长为25，虚轴长为8，渐近线方程为y ＝±55x C ．实轴长为25，虚轴长为4，渐近线方程为y ＝±25x D ．实轴长为25，虚轴长为8，渐近线方程为y ＝±52x 4．曲线x 2－y 2＝－3的( )A ．顶点坐标是(±3，0)，虚轴端点坐标是(0，±3)B ．顶点坐标是(0，±3)，虚轴端点坐标是(±3，0)C ．顶点坐标是(±3，0)，渐近线方程是y ＝±xD ．虚轴端点坐标是(0，±3)，渐近线方程是x ＝±y 答案：1.B 2.D 3.A 4.B 拓展练习求以椭圆x 28＋y25＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程．解：椭圆x 28＋y25＝1的焦点坐标为(±3，0)，长轴上的顶点为(±22，0),由题可知焦点在x 轴上，所以方程可设为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)．∵a＝3，c ＝22， ∴b 2＝8－3＝5.∴所求双曲线方程为x 23－y25＝1.点评：有些学生会考虑过多，认为椭圆长轴和短轴上的顶点都可以作为双曲线的焦点，却忽略了“以椭圆x 28＋y25＝1的焦点为顶点”这句话所隐含的内容，因为双曲线的顶点与焦点在一条直线上，所以这句话实质已经交代了焦点位置，不必再分类讨论了．设计说明本节为双曲线性质的第一节，内容在设计上以基础为主．从椭圆的简单几何性质类比过度，让学生学得更为轻松，且较容易体会到成就感，但在双曲线的渐近线这一性质的讲解中，我们要从特殊到一般，充分借助几何画板这一有利工具，让学生更充分、更直观地体会渐近线这一性质，让它在今后的解题、绘图上发挥更大的作用．备课资料备选例题：求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点P ( 1, －3 ) 且离心率为2的双曲线标准方程．分析：此题仅是知道“对称轴为坐标轴”，所以在解答的过程中首先对双曲线“定位”．但从离心率马上可以发现，此双曲线为等轴双曲线，所以方程简单地设为x 2m －y 2m ＝1(m≠0)，再代入点P 的坐标进行计算，非常简单，且将两种标准方程合二为一． 解：∵c a ＝2，∴c＝2a.∴c 2＝2a 2.则b 2＝c 2－a 2＝2a 2－a 2＝a 2.∴双曲线方程可设为x 2m －y2m ＝1(m≠0)．又∵双曲线经过点P( 1, －3 )， ∴1m －9m ＝1，解得m ＝－8. ∴所求双曲线方程为y 28－x28＝1.点评：对于双曲线方程，我们一定要注意先“定位”再“定量”．(设计者：刘薇)第2课时教学目标 知识与技能1．能应用双曲线的几何性质求双曲线方程；2．应用双曲线知识解决生产中的实际问题. 过程与方法培养学生运用类比、数形结合思想解决问题的能力，培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力．情感、态度与价值观激发学生学习新知，运用新知的热情；体会数学的魅力；从解题的过程体会成功感，培养良好的数学学习品质．重点难点教学重点：利用双曲线的性质求双曲线的标准方程． 教学难点：由渐近线求双曲线方程．教学过程引入新课 复习回顾(1)9y 2－16x 2＝144；(2) y 225－x2144＝－1.方程(1)的焦距为______；虚轴长为______；渐近线方程是________________；方程(2)的焦点坐标为__________；实半轴长为______；渐近线方程是________________．活动设计：学生独立完成．活动成果：10 6 y ＝±43x (±13,0) 12 y ＝±512x设计意图：由题带出相应的知识点，既可以复习相关知识，又可以增加学生的成就感．达到了检测的目的，节省了时间，提高了课堂效率．例题研讨，变式精析1双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高55 m ．选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1 m)．解：如图，建立直角坐标系xOy ，使小圆的直径AA′在x 轴上，圆心与原点重合．这时，上下口的直径CC′，BB′都平行于x 轴，且|CC′|＝13³2, |BB′|＝25³2.设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)，令点C 的坐标为(13，y)，则点B 的坐标为(25，y －55)．因为点B ，C 在双曲线上，所以由方程②得y ＝5b12(负值舍去)，代入方程①，得252122－5b 12－552b2＝1， 化简得19b 2＋275b －18 150＝0.③ 用计算器解方程③，得b≈25. 所以，所求双曲线方程为x 2144－y2625＝1.点评：此题既说明了双曲线的应用，同时又学习了如何根据条件确定双曲线标准方程中的a ，b ，从而得到双曲线的标准方程．2点M(x ，y)与定点F(5,0)的距离和它到定直线l ：x ＝165的距离的比是常数54，求点M的轨迹．解：设d 是点M 到直线l ：x ＝165的距离，根据题意，点M 的轨迹就是集合P ＝{M||MF|d ＝54}，由此得x －5＋y 2|165－x|＝54.将上式两边平方，并化简，得9x 2－16y 2＝144， 即x 216－y29＝1. 所以，点M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线．变式：动点M(x ，y)与定点F(c,0)(c>0)的距离和它到定直线l ：x ＝a2c 的距离的比是常数c a (ca>1)，求点M 的轨迹方程． 解：∵点M(x ，y)到定直线l ：x ＝a 2c 的距离d ＝|x －a2c |，|MF|＝x －c 2＋y 2，依题意|MF|d ＝c a ，∴x －c 2＋y 2|x －a 2c|＝ca.① 方程①两边平方化简整理得x 2a 2－y2c 2－a2＝1②令c 2－a 2＝b 2，方程②化为x 2a 2－y2b2＝1，这就是所求的轨迹方程．∴点M 的轨迹是实轴长为2a 、虚轴长为2b 的双曲线．点评：与课本2.2.2节例6对应，此题是通过一个具体的例题说明双曲线的另一种定义，通过变式得以升华推广，教学过程可以与椭圆的例6类比．3如图所示，过双曲线x 23－y26＝1的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，求|AB|.分析：求弦长问题有两种方法：法一：如果交点坐标易求，可直接用两点间距离公式代入求弦长； 法二：为了简化计算，常设而不求，运用韦达定理来处理． 解：法一：直线AB 的方程为y ＝33(x －3)， 与双曲线方程联立解得A 、B 的坐标分别为(－3，－23)，(95，－235)．由两点间的距离公式得|AB|＝165 3.法二：直线AB 的方程为y ＝33(x －3)． 与双曲线方程联立消去y 得5x 2＋6x －27＝0. 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1) 、(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝－65，x 1²x 2＝－275.由弦长公式得|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k2x 1x 22－4x 1x 2＝1＋13－652－4－275＝1633. 提出问题：你能求出△AF 1B 的周长吗？ 解：|AF 1|＝－3＋32＋－232＝23， |BF 1|＝95＋32＋－2532＝1453，又|AB|＝1653， 所以△AF 1B 的周长是|AB|＋|AF 1|＋|BF 1|＝1653＋23＋1453＝8 3.变练演编1．8＜k ＜17，双曲线x 217－k ＋y28－k＝1的焦点坐标为__________．2．与双曲线y 216－x29＝1有相同渐近线，且经过点A(－3,23)的双曲线方程为______________．3．双曲线的离心率为52，且与椭圆x 29＋y24＝1有公共焦点，则双曲线方程为______________．答案：1.(±3,0) 2.x 294－y 24＝1 3.x 24－y 2＝1达标检测1．过双曲线x 29－y 216＝1的左焦点F 1作倾角为π4的直线与双曲线交于A 、B 两点，则|AB|＝__________.2．双曲线的两条渐近线方程为x±2y＝0，且截直线x －y －3＝0所得弦长为833，则该双曲线的方程为( )A.x 22－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C ．x 2－y 22＝1 D.x 24－y 2＝13．已知双曲线与椭圆x 2＋4y 2＝64有公共焦点，它的一条渐近线方程为x －3y ＝0，双曲线的方程为____________．4．已知双曲线 x 2－y24＝1，过点P(1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则直线l 的斜率为____________．答案：1.1927 2.D 3.x 236－y212＝1 4.±2课堂小结1．求双曲线方程要根据具体条件具体对待，确定焦点的位置很重要． 2．由例2及其变式可以简单给学生介绍第二定义．3．注意解决实际问题时条件的转化，建立好适当的数学模型． 作业布置 课本习题2.3 B 组第4题． 补充练习 基础练习1．过点P(2，－2)且与x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.y 22－x 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.y 24－x 22＝1 D.x 22－y24＝1 2．过双曲线x 2－y22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|＝4，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．双曲线x 2m 2＋12－y24－m2＝1的焦距是________________．4．双曲线x 2－y24＝1截直线y ＝x ＋1所得弦长是________________________．答案：1.A 2.C 3.8 4.83 2拓展练习当渐近线的方程为y ＝±b a x 时，双曲线的标准方程一定是：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)吗？如果不一定，举出一个反例．解析：不一定是．反例：双曲线x 22a 2－y 22b 2＝1的准线方程为y ＝±bax.点评：本题反例很多，可以让学生任意举出，然后分组讨论举出例子的共性，教师结合备选例题，归纳出共渐近线的双曲线系问题．设计说明本节主要还是解决课本上的例题，结合练习，重实际，重归纳，重提升，例题和练习的设计循序渐进注重提升．由于高考考纲对这部分的要求较低，对于直线与双曲线牵涉较少，只是课本上的例6涉及弦长．后续的习题课应以求双曲线方程及相应的几何性质，尤其是离心率为主．备课资料备选例题求与双曲线x 29－y216＝1有共同渐近线，且焦点在x 轴上，过点(－3,23)的双曲线方程．解：法一：因为焦点在x 轴上，所以所求双曲线方程可设为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)．又因为双曲线x 29－y 216＝1的渐近线方程为：y ＝±43x.所以b a ＝43，即b ＝43a.则所求双曲线方程为x 2a 2－y243a 2＝ 1.又因为双曲线过点(－3,23)，所以，9a 2－12169a 2＝1.解得a 2＝94，所以b 2＝4.即所求双曲线方程为x 294－y24＝1.法二：与双曲线x 29－y 216 ＝ 1有共同渐近线的方程可设为x 29－y216＝λ(λ≠0)．又因为双曲线过点(－3,23)， 所以99－1216＝λ，解得λ＝14.即所求双曲线方程为x 294－y24＝1.点评：两种方法相比较，明显法二要简单，这就需要先了解与x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线方程的设法为x 2a 2－y2b2＝λ(λ≠0)．形如x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)的双曲线渐近线方程是x a ±yb ＝0；反之，若已知双曲线的渐近线方程是x a ±yb ＝0；则可设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)．x 2a 2－y 2b 2＝1与x 2a 2－y2b 2＝λ具有相同的渐近线．(设计者：姜华)。
双曲线的简单几何性质 高二数学 (人教A版2019选择性 必修第一册)
2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(
2 2
A. 4 －12＝1
2 2
B.12－ 4 ＝1
)
2
C. 3 － 2 ＝1
2
D． 2 － 3
＝1
1
(2)渐近线方程为y＝± 2 x，且经过点A(2，－3)的双曲线方程为________.
[解析] (1)不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1， 3)，所以 ＝ 3，
−
2
(2)设F1，F2是双曲线C：2
2
＝1(a＞
2
−
2)的两条渐近线的夹角为 3 ，则双曲线的离心率为________；
2
＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且
2
△
PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________．
(2)不妨设|PF1|>|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|
(2)等轴双曲线具有以下性质：
①方程形式为x2－y2＝λ(λ≠0)；
②渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
③实轴长和虚轴长都等于2a，离心率e＝ 2.
（三）典型例题
1.利用双曲线的性质求标准方程
2 2
例1.(1)已知双曲线2-2 ＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为
[解析] 联立直线与双曲线方程
消去y得：(1－3k2)x2－6 2kx－9＝0.
3
当1－3k2＝0，即k＝± 3 时，直线l1与双曲线C只有一个公共点；
当1－3k2≠0，Δ＝(6k)2＋36(1－3k2)＝36－36k2，
高中数学第二章2.2双曲线2.2.2双曲线的简单几何性质讲义(含解析)新人教A版选修1_1
2．2.2 双曲线的简单几何性质预习课本P49～53，思考并完成以下问题1．双曲线有哪些几何性质？2．双曲线的顶点、实轴、虚轴分别是什么？3．双曲线的渐近线、等轴双曲线的定义分别是什么？[新知初探]1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)性质图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c性质范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 轴实轴：线段A1A2，长：2a；2．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率为e ＝ 2. [点睛] 对双曲线的简单几何性质的几点认识 (1)双曲线的焦点决定双曲线的位置；(2)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线x 22－y 24＝1的焦点在y 轴上( )(2)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔( ) (3)以y ＝±2x 为渐近线的双曲线有2条( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．双曲线x 216－y 2＝1的顶点坐标是( )A ．(4,0)，(0,1)B ．(－4,0)，(4,0)C ．(0,1)，(0，－1)D ．(－4,0)，(0，－1)答案：B3．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( ) A.x 225－y 29＝1 B.x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1 C.x 2100－y 236＝1 D.x 2100－y 236＝1或y 2100－x 236＝1 答案：B4．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝35x ，则a ＝________.答案：5双曲线的几何性质[典例] 22虚轴长、离心率和渐近线方程．[解] 双曲线的方程化为标准形式是x 29－y 24＝1，∴a 2＝9，b 2＝4，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 又双曲线的焦点在x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝ca ＝133，渐近线方程为y ＝±23x .由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键； (2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值；(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质． [注意] 求性质时一定要注意焦点的位置． 1．已知双曲线x 29－y 216＝1与y 216－x 29＝1，下列说法正确的是( )A ．两个双曲线有公共顶点B ．两个双曲线有公共焦点C ．两个双曲线有公共渐近线D ．两个双曲线的离心率相等解析：选C 双曲线x 29－y 216＝1的焦点和顶点都在x 轴上，而双曲线y 216－x 29＝1的焦点和顶点都在y 轴上，因此可排除选项A 、B ；双曲线x 29－y 216＝1的离心率e 1＝9＋169＝53，而双曲线y 216－x 29＝1的离心率e 2＝16＋916＝54，因此可排除选项D ；易得C 正确． 2．(2017·北京高考)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________.解析：由双曲线的标准方程可知a 2＝1，b 2＝m ， 所以e ＝1＋b 2a2＝1＋m ＝3，解得m ＝2. 答案：2由双曲线的几何性质求标准方程[典例] (1)(2017·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 24＝1B.x 28－y 28＝1C.x 24－y 28＝1 D.x 28－y 24＝1(2)过点(2，－2)且与x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程为________．[解析] (1)由e ＝2知，双曲线为等轴双曲线， 则其渐近线方程为y ＝±x ，故由P (0,4)，知左焦点F 的坐标为(－4,0)， 所以c ＝4，则a 2＝b 2＝c 22＝8.故双曲线的方程为x 28－y 28＝1.(2)法一：当焦点在x 轴上时，由于b a ＝22. 故可设方程为x 22b 2－y 2b2＝1，代入点(2，－2)得b 2＝－2(舍去)； 当焦点在y 轴上时，可知a b ＝22，故可设方程为y 2a 2－x 22a2＝1，代入点(2，－2)得a 2＝2. 所以所求双曲线方程为y 22－x 24＝1.法二：因为所求双曲线与已知双曲线x 22－y 2＝1有相同的渐近线，故可设双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，代入点(2，－2)得λ＝－2，所以所求双曲线的方程为x 22－y 2＝－2，即y 22－x 24＝1. [答案] (1)B (2)y 22－x 24＝1求双曲线的标准方程的方法与技巧(1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a ，b 的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合c 2＝a 2＋b 2及e ＝c a列关于a ，b 的方程(组)，解方程(组)可得标准方程．(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，那么此双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦点在x 轴上，离心率为2，且过点(－5,3)； (3)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .解：(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵e ＝ca＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝a 2. 又∵焦点在x 轴上，∴设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2a2＝1(a >0)．把点(－5,3)代入方程，解得a 2＝16. ∴双曲线的标准方程为x 216－y 216＝1.(3)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)， 当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94.当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的标准方程为x 29－4y 281＝1或y 29－x 24＝1.双曲线的离心率[典例] 过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．[解析] 如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为b a，又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝b a(x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a2a 2－y 2b2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)，故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝ba(2a －c )，化简可得离心率e ＝c a＝2＋ 3.[答案] 2＋ 3求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝c a求解，若已知a ，b ，可利用e ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2求解．(2)方程法：若无法求出a ，b ，c 的具体值，但根据条件可确定a ，b ，c 之间的关系，可通过b 2＝c 2－a 2，将关系式转化为关于a ，c 的齐次方程，借助于e ＝c a，转化为关于e 的n 次方程求解．[活学活用]1．如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：如图，因为AO ＝AF ，F (c,0)，所以x A ＝c 2，因为A 在右支上且不在顶点处，所以c 2>a ，所以e ＝ca >2.答案：(2，＋∞)2．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，则在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，由余弦定理得(2a )2＝(4a )2＋(2c )2－2×(4a )×(2c )×cos 30°，整理得(e －3)2＝0，所以e ＝ 3.答案： 3层级一 学业水平达标1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．4 2解析：选C 双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，从而2a ＝4，故选C.2．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为( ) A.x 225－y 225＝1 B.x 29－y 29＝1C.y 216－x 216＝1 D.x 216－y 216＝1解析：选D 由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x 2－y 2＝16，即x 216－y 216＝1.3．(2017·全国卷Ⅱ)若a ＞1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)解析：选C 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .即e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.∵a ＞1，∴0＜1a2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e ＜ 2.4．若一双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为( )A ．y 2－3x 2＝36 B ．x 2－3y 2＝36 C ．3y 2－x 2＝36D ．3x 2－y 2＝36解析：选A 椭圆4x 2＋y 2＝64可变形为x 216＋y 264＝1，a 2＝64，c 2＝64－16＝48，∴焦点为(0,43)，(0，－43)，离心率e ＝32， 则双曲线的焦点在y 轴上，c ′＝43，e ′＝23， 从而a ′＝6，b ′2＝12，故所求双曲线的方程为y 2－3x 2＝36.5．已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±35xB ．y ＝±53xC ．y ＝±34xD ．y ＝±43x解析：选D 由双曲线方程为x 2a2－y 2＝1，知b 2＝1，c 2＝a 2＋1，∴2b ＝2,2c ＝2a 2＋1.∵实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，∴2a ＋2c ＝4b ＝4，∴2a ＋2a 2＋1＝4，解得a ＝34.∴双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .6．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析：由题意知4a 2－9b2＝1，c 2＝a 2＋b 2＝4，解得a ＝1，所以e ＝c a＝2. 答案：27．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (25，0)，且离心率为e ＝52，则双曲线的标准方程为________．解析：由焦点坐标，知c ＝25，由e ＝c a ＝52，可得a ＝4，所以b ＝c 2－a 2＝2，则双曲线的标准方程为x 216－y 24＝1. 答案：x 216－y 24＝18．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上， 故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1. 答案：x 24－y 2＝19．求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)与双曲线y 24－x 23＝1具有相同的渐近线，且过点M (3，－2)；(2)过点(2,0)，与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等；(3)与椭圆x 225＋y 216＝1有公共焦点，离心率为32.解：(1)设所求双曲线方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．由点M (3，－2)在双曲线上得44－93＝λ，得λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(2)当所求双曲线的焦点在x 轴上时， 可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1；当所求双曲线的焦点在y 轴上时， 可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(3)法一：由椭圆方程可得焦点坐标为(－3,0)，(3,0)，即c ＝3且焦点在x 轴上．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为e ＝c a ＝32，所以a ＝2，则b 2＝c 2－a 2＝5，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.法二：因为椭圆焦点在x 轴上，所以可设双曲线的标准方程为x 225－λ－y 2λ－16＝1(16<λ<25)．因为e ＝32，所以λ－1625－λ＝94－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1.10．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率． 解：直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0. 于是有|b ·0＋a ·0－ab |a 2＋b 2＝34c ，所以ab ＝34c 2，两边平方，得a 2b 2＝316c 4. 又b 2＝c 2－a 2，所以16a 2(c 2－a 2)＝3c 4， 两边同时除以a 4，得3e 4－16e 2＋16＝0， 解得e 2＝4或e 2＝43.又b >a ，所以e 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2>2，则e ＝2.于是双曲线的离心率为2.层级二 应试能力达标1．若双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝－x ，则双曲线的方程为( )A ．y 2－x 2＝96 B ．y 2－x 2＝160 C ．y 2－x 2＝80D ．y 2－x 2＝24解析：选D 设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±43)，所以λ<0，且－2λ＝(43)2，得λ＝－24.故选D.2．若中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.52解析：选D 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意，知过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－b a x ，所以－2＝－b a×4，即a ＝2b .设b ＝k (k >0)，则a ＝2k ，c ＝5k ，所以e ＝c a ＝5k 2k ＝52.故选D. 3．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1解析：选B 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b25a2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5， 所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1.4．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3D. 2解析：选D 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ，3a .∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a2b2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝c a＝ 2.故选D.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________________________________________________________________________．解析：由题意，知b a ≥3，则b 2a 2≥3，所以c 2－a 2≥3a 2，即c 2≥4a 2，所以e 2＝c 2a2≥4，所以e ≥2.答案：[2，＋∞)6．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x .不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫175，－3215.所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )·|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215. 答案：32157．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点是F 2(2,0)，离心率e ＝2.(1)求双曲线C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与双曲线C 交于两个不同的点M ，N ，线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的方程．解：(1)由已知得c ＝2，e ＝2，所以a ＝1，b ＝ 3.所以所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1，整理得2x 2－2mx －m 2－3＝0.(*)设MN 的中点为(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝m2，y 0＝x 0＋m ＝3m2，所以线段MN 垂直平分线的方程为y －3m 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 2，即x ＋y －2m ＝0，与坐标轴的交点分别为(0,2m )，(2m,0)，可得12|2m |·|2m |＝4，得m 2＝2，m ＝±2，此时(*)的判别式Δ>0，故直线l 的方程为y ＝x ± 2.8．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 的面积是2，求实数k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1消去y ，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.①由直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋81－k2>0，解得－2<k <2且k ≠±1.即k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程①，得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.因为直线l ：y ＝kx －1恒过定点D (0，－1)，则当x 1x 2<0时，S △AOB ＝S △OAD ＋S △OBD ＝12|x 1－x 2|＝2；当x 1x 2>0时，S △AOB ＝|S △OAD －S △OBD |＝12|x 1－x 2|＝ 2.综上可知，|x 1－x 2|＝22，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2，即⎝⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62.由(1)，可知－2<k <2且k ≠±1，故k ＝0或k ＝±62都符合题意．。
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2.2.2双曲线的简单几何性质一、选择题1．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程应是 ( )A.x 212－y 24＝1 B.x 24－y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1 D ．－x 24＋y 212＝1 [答案] C[解析] ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45， ∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2， ∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1. 2．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( ) A.x 212－y 224＝1 B.y 212－x 224＝1 C.y 224－x 212＝1 D.x 224－y 212＝1 [答案] B[解析] 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)， 又因为双曲线的焦点在y 轴上，∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1. 又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12.∴双曲线方程为y 212－x 224＝1. 3．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( ) A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线 [答案] C[解析] ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.4．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( ) A ．y ＝±54x B ．y ＝±45x C ．y ＝±43x D ．y ＝±34x [答案] D[解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169， ∴b a ＝43，∴a b ＝34. 又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a bx ， ∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x . 5．(2009·四川文，8)已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则·＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4[答案] C[解析] 本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质．由题意得b 2＝2，∴F 1(－2,0)，F 2(2,0)，又点P (3，y 0)在双曲线上，∴y 20＝1， ∴·＝(－2－3，－y 0)·(2－3，－y 0)＝－1＋y 20＝0，故选C.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±22xC ．y ＝±24x D ．y ＝±3x[答案] B[解析] 如图，分别过双曲线的右顶点A ，右焦点F 作它的渐近线的垂线，B 、C 分别为垂足，则△OBA ∽△OCF ，∴OA OF ＝AB FC ＝13， ∴a c ＝13，∴b a＝22， 故渐近线方程为：y ＝±22x .7．双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( ) A ．2B. 3C. 2D.32[答案] C[解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y ＝±x ，∴b a ＝1，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝1， ∴c 2＝2a 2，e ＝c a ＝ 2. 8．双曲线x 29－y 216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( ) A. 3B ．3C ．4D ．2[答案] C[解析] ∵焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ，∴一个焦点(5,0)到渐近线y ＝43x 的距离为4.9．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上任意一点P 引与实轴平行的直线，交两渐近线于M 、N 两点，则·的值为( )A ．a 2B ．b 2C ．2abD ．a 2＋b 2 [答案] A[解析] 特值法：当点P 在双曲线的一个顶点时，·＝a 2.10．(2010·浙江理，8)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ±4y ＝0[答案] C [解析] 如图：由条件|F 2A |＝2a ，|F 1F 2|＝2c又知|PF 2|＝|F 1F 2|，知A 为PF 1中点，由a 2＋b 2＝c 2，有|PF 1|＝4b 由双曲线定义： |PF 1|－|PF 2|＝2a ，则4b －2c ＝2a∴2b ＝c ＋a ，又有c 2＝a 2＋b 2，(2b －a )2＝a 2＋b 2，∴4b 2－4ab ＋a 2＝a 2＋b 23b 2＝4ab ，∴b a ＝43， ∴渐近线方程：y ＝±43x .故选C. 二、填空题11．双曲线x 24＋y 2b＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________． [答案] －12<b <0[解析] ∵b <0，∴离心率e ＝4－b 2∈(1,2)， ∴－12<b <0. 12．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________. [答案] 62[解析] 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62. 13．双曲线以椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．[答案] y 2254－x 2394＝1 [解析] 椭圆x 29＋y 225＝1中，a ＝5，b ＝3，c 2＝16， 焦点为(0，±4)，离心率e ＝c a ＝45，∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85， ∴c 1a 1＝4a 1＝85，∴a 1＝52， ∴b 21＝c 21－a 21＝16－254＝394， ∴双曲线的方程为y 2254－x 2394＝1. 14．(2009·全国Ⅱ文，8改编)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.[答案] 3[解析] 本题考查双曲线的几何性质、直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式．双曲线x 26－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±36x ＝±22x ， ∴2x ±2y ＝0，由题意，得r ＝326＝ 3. 三、解答题15．已知动圆与⊙C 1：(x ＋3)2＋y 2＝9外切，且与⊙C 2：(x －3)2＋y 2＝1内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解析] 设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，半径为r ，则|MC 1|＝r ＋3，|MC 2|＝r －1，∴|MC 1|－|MC 2|＝r ＋3－r ＋1＝4<|C 1C 2|＝6，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线的右支，且2a ＝4，a ＝2，双曲线的方程为：x 24－y 25＝1(x ≥2)． 16．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)过点A (14，5)，且点A 到双曲线的两条渐近线的距离的积为43.求此双曲线方程． [解析] 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两渐近线的方程为bx ±ay ＝0. 点A 到两渐近线的距离分别为d 1＝|14b ＋5a |a 2＋b 2，d 2＝|14b －5a |a 2＋b 2已知d 1d 2＝43，故|14b 2－5a 2|a 2＋b2＝43(ⅰ) 又A 在双曲线上，则14b 2－5a 2＝a 2b 2(ⅱ)(ⅱ)代入(ⅰ)，得3a 2b 2＝4a 2＋4b 2(ⅲ)联立(ⅱ)、(ⅲ)解得b 2＝2，a 2＝4.故所求双曲线方程为x 24－y 22＝1. 17．如下图，已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，求双曲线的离心率．[解析] 设MF 1的中点为P ，在Rt △PMF 2中，|PF 2|＝|MF 2|·sin60°＝2c ·32＝3c .又由双曲线的定义得|PF 2|－|PF 1|＝2a ，所以a ＝3－12c ，e ＝c a ＝23－1＝3＋1. 18．是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程；若不存在，说明理由．(1)渐近线方程为x ＋2y ＝0及x －2y ＝0；(2)点A (5,0)到双曲线上动点P 的距离的最小值为 6.[解析] 假设存在同时满足题中的两条件的双曲线．(1)若双曲线的焦点在x 轴上，因为渐近线方程为y ＝±12x ，所以由条件(1)，设双曲线方程为x 24b 2－y 2b2＝1， 设动点P 的坐标为(x ，y )，则|AP |＝(x －5)2＋y 2＝54(x －4)2＋5－b 2，由条件(2)，若2b ≤4，即b ≤2，则当x ＝4时，|AP |最小＝5－b 2＝6，b 2＝－1，这不可能，无解；若2b >4，则当x ＝2b 时，|AP |最小＝|2b －5|＝6，解得b ＝5＋62⎝ ⎛⎭⎪⎫5－62<2，应舍去，此时存在双曲线方程为x 2(5＋6)2－y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋622＝1. (2)若双曲线的焦点在y 轴上，则可设双曲线方程为y 2a 2－x 24a2＝1(x ∈R )， 所以|AP |＝54(x －4)2＋a 2＋5， 因为x ∈R ，所以当x ＝4时，|AP |最小＝a 2＋5＝ 6.x2所以a2＝1，此时存在双曲线方程为y2－4＝1.。