高二数学选修1、2章末
高二选修一数学知识点每章
高二选修一数学知识点每章高二选修一数学是高中数学课程的一部分，下面将按照每章的顺序，介绍该课程涉及的主要数学知识点。
第一章：函数与方程在这一章中，我们将学习函数的概念和性质，以及一些基本的函数类型，如线性函数、二次函数、指数函数和对数函数。
我们还将研究解方程的方法，包括一元一次方程、一元二次方程和一次不等式。
第二章：三角比与解三角形在这一章中，我们将深入研究三角函数，包括正弦、余弦和正切函数。
我们将学习如何应用三角函数解决实际问题，并探讨解三角形的方法，如正弦定理、余弦定理和正切定理。
第三章：数列与数学归纳法数列是一种有规律的数的排列，我们将学习如何表示和求解数列。
同时，我们也将学习数学归纳法的原理和应用，以证明一些数学命题。
第四章：数与式在这一章，我们将学习数与式的关系。
我们将研究一元二次不等式、绝对值不等式以及一次不等式与方程组的解法。
此外，我们也将学习一些基本的数学定理，如乘法定理和因式定理。
第五章：平面向量在这一章中，我们将学习平面向量的概念和运算法则。
我们将讨论向量的加减、数量积和向量积，以及应用向量解决几何问题。
第六章：立体几何这一章将介绍立体几何的基本概念和性质。
我们将学习各种立体图形的表达方式和计算方法，如立方体、棱柱、棱锥、圆锥和球体等。
第七章：三角函数与导数在这一章中，我们将进一步研究三角函数的性质和导数的概念。
我们将学习如何求解复合函数的导数，以及如何应用导数解决最值和曲线问题。
第八章：不等式与极值这一章将详细讨论不等式的性质和解法。
我们将学习绝对值不等式、多项式不等式和有理不等式的解法，以及极值问题的求解方法。
第九章：一元函数的积分学在这一章中，我们将学习函数的积分概念和基本性质。
我们将讨论定积分和不定积分的计算方法，以及应用积分解决面积、体积和曲线长度等问题。
第十章：统计与概率这一章将介绍统计学和概率论的基本概念。
我们将学习如何收集和整理数据，以及如何计算概率和统计指标，如均值、方差和标准差等。
高二数学选修1-2全册同步练习2、1章末
1章末一、选择题1．在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的( ) A ．预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上 B ．解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上 C ．可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上 D ．可以选择两个变量中任意一个变量在y 轴上 [答案] B[解析] 在统计中，y 称为预报变量，在y 轴上，x 称为解释变量，在x 轴上． 2．已知x 与y 之间的一组数据：x 0 1 2 3 y1357则y 与x 的线性回归方程y ＝b ^x ＋a 必过( ) A ．(2,2)点 B ．(1.5,0)点 C ．(1,2)点D ．(1.5,4)点[答案] D[解析] 计算得x ＝1.5，y ＝4，由于回归直线一定过(x ，y )点，所以必过(1.5,4)点． 3．利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度，如果k >5.024，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( )p (K 2>k ) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 p (K 2>k ) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k3.84 5.0246.6357.87910.83A.25%C ．2.5%D ．97.5%[答案] D[解析] 查表可得K 2>5.024.因此有97.5%的把握认为“x 和y 有关系”． 二、填空题4．有下列关系：(1)人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；(2)曲线上的点与该点的坐标之间的关系；(3)苹果的产量与气候之间的关系；(4)森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；(5)学生与他(她)的学号之间的关系，其中有相关关系的是________．[答案] (1)(3)(4)5．若由一个2×2列联表中的数据计算得K 2的观测值k ＝4.01，那么有________把握认为两个变量有关系．[答案] 95%[解析] ∵k ＝4.013>3.841，故有95%的把握认为两个变量有关系．6．线性回归模型y ^＝b ^x ＋a ^＋e ^中，b ^＝__________，a ^＝________，e ^称为________．[答案] ∑ni ＝1 (x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2y －b ^x 随机误差 7．硕士和博士生毕业的一个随机样本给出了关于所获取学位类别与学生性别的分类数据如表．根据表中数据，认为获取学位类别与性别______．(填“无关”或“有关”)[答案] 有关[解析] K 2＝340×(162×8－27×143)2189×151×305×35＝7.343＞6.635故有99%的把握认为获取学位类别与性别有关． 三、解答题8．假定小麦基本苗数x (千棵)与成熟期有效穗数y (千棵)之间存在相关关系，今测得5组数据如下：(1)以x 为解释变量，y 为预报变量，作出散点图； (2)求y 与x 之间的线性回归方程；(3)求相关指数R 2，并说明基本苗数对有效穗数变化的贡献率． [解析] (1)散点图如图所示：(2)由散点图可以看出x 与y 之间具有线性相关关系，设线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^. 计算可得b ^≈0.291，a ^≈34.664.故所求线性回归方程为y ^＝0.291x ＋34.664(3)相关指数R 2＝1－Σ5i ＝1 (y i －y ^i )2Σ5i ＝1(y i －y )2≈0.832.所以基本苗数对有效穗数约贡献了83.2%.。
22人教版高中数学新教材选择性必修第一册--第二章 直线和圆的方程章末总结
第二章 直线和圆的方程章末总结体系构建题型整合题型1 直线的倾斜角与斜率例1已知直线l 过P(−2,−1) ，且与以A(−4,2) ，B(1,3) 为端点的线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围为 . 答案： (−∞,−32]∪[43,+∞)解析：根据题中的条件可画出图形，如图所示，由已知得直线PA 的斜率k PA =−32 ，直线PB 的斜率k PB =43 ，由图可知，当直线l 由PB 变化到与y 轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90∘ ，故斜率的取值范围是[43,+∞) ；当直线l 由与y 轴平行的位置变化到PA 时，它的倾斜角由90∘ 增大到PA 的倾斜角，故斜率的变化范围是(−∞,−32] .综上可知，直线l 的斜率的取值范围是(−∞,−32]∪[43,+∞) . 方法归纳求直线的倾斜角与斜率的注意点：（1）求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断倾斜角的取值范围.（2）当直线的倾斜角α∈[0,π2) 时，随着α 的增大，直线的斜率k 为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈(π2,π) 时，随着α 的增大，直线的斜率k 为负值且逐渐变大. 迁移应用1.（2021四川绵阳南山中学高二期中）经过点P(0,−1) 作直线l ，若直线l 与以A(1,−2) ，B(2,1) 为端点的线段AB 相交，则l 的倾斜角的取值范围是( )A.[0,π4] B.[π4,3 π4]C.[3 π4,π)D.[0,π4]∪[3 π4,π) 答案：D解析：设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α ， 由题意知k PA =−1−(−2)0−1=−1 ，k PB =−1−10−2=1 ，由图可知，−1≤k ≤1 ，所以0≤α≤π4或3 π4≤α＜π .题型2 直线的方程及其应用例2（2021重庆十八中高二期中）已知点A(−1,0) 和点B 关于直线l ：x +y −1=0 对称.（1）若直线l 1 过点B ，且使得点A 到直线l 1 的距离最大，求直线l 1 的方程； （2）若直线l 2 过点A ，且与直线l 交于点C ，△ABC 的面积为2，求直线l 2 的方程. 答案：（1） 设点B(m,n) ，则{−1+m 2+n2−1=0,n m+1=1, 解得{m =1,n =2,所以点A(−1,0) 关于直线l ：x +y −1=0 对称的点B 的坐标为(1,2).若直线l 1 过点B ，且使得点A 到直线l 1 的距离最大，则直线l 1 与过点A ，B 的直线垂直， 所以直线l 1 的斜率k =−1kAB=−1 ，故直线l 1 的方程为y −2=−(x −1) ，即x +y −3=0 .（2）|AB|=√(2−0)2+(1+1)2=2√2 ，因为△ABC 的面积为2， 所以△ABC 的AB 边上的高ℎ=2√2=√2 ，又点C 在直线l 上，直线l 与直线AB 垂直，所以点C 到直线AB 的距离为√2 . 易知直线AB 的方程为y =x +1 ， 设C(a,b) ，则√2=√2 ，即b =a −1 或b =a +3 ，又b =1−a ，解得{a =1,b =0或{a =−1,b =2,则直线l 2 的方程为y =0 或x =−1 . 方法归纳求直线方程的两种方法：（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论.（2）待定系数法：设出含有参数的直线方程，由已知条件求出参数的值，即可得到所求直线方程. 迁移应用2.（2021安徽宿州十三所重点中学高二期中）已知直线l ：2x +3y +6=0 . （1）求经过点P(2,−1) 且与直线l 平行的直线的方程；（2）求与直线l 垂直，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3的直线方程. 答案： （1）由题意可设所求直线的方程为2x +3y +λ=0(λ≠6) .把点P(2,−1) 代入得4−3+λ=0 ，即λ=−1 ，故所求直线的方程为2x +3y −1=0 . （2）由题意可设所求直线的方程为3x −2y +m =0 . 令y =0 ，则x =−m3 ；令x =0 ，则y =m2 . 由题意知，12⋅|−m3|⋅|m2|=3 ， 解得m =±6 ，故所求直线的方程为3x −2y −6=0 或3x −2y +6=0 .题型3 与圆有关的最值问题例3已知M(m,n) 为圆C ：x 2+y 2−4x −14y +45=0 上任意一点. （1）求n−3m+2的最大值和最小值；（2）求m 2+n 2 的最大值和最小值.答案：（1）由题意知圆C 的圆心为C(2,7) ，半径r =2√2 .记点Q(−2,3) ， ∵n−3m+2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y −3=k(x +2) ，即kx −y +2k +3=0 ，∵ 直线MQ 与圆C 有公共点， ∴√k 2+1≤2√2 ，解得2−√3≤k ≤2+√3 ，∴n−3的最大值为2+√3，最小值为2−√3 .m+2（2）设μ=(m−0)2+(n−0)2，则该式等价于点M(m,n)与原点的距离的平方，∴μmax=(√(2−0)2+(7−0)2+r)2，=(√53+2√2)2=61+4√106μmin=(√(2−0)2+(7−0)2−r)2，=(√53−2√2)2=61−4√106∴m2+n2的最大值为61+4√106，最小值为61−4√106 .方法归纳（1）求x−a型的最大值和最小值可转化为求过点(x,y)和(a,b)的直线斜率的最大值y−b和最小值；（2）求(x−a)2+(y−b)2型的最大值和最小值可转化为求(x,y)与(a,b)的距离的最大值和最小值的平方.迁移应用3.（2021四川宜宾叙州二中高二月考）已知点(x,y)满足x2+y2=1，则x+y的取值范围是( )A.[−√2,√2]B.[−1,1]C.[1,√2]D.(1,√2]答案：A解析：设x+y=b，则圆心(0,0)到直线x+y=b的距离小于或等于半径，≤1，即√12+12解得−√2≤b≤√2，故−√2≤x+y≤√2.题型4 直线与圆的综合问题例4（2021浙江湖州高二期中）如图，已知圆O:x2+y2=1，点P(t,4)为直线y=4上一点，过点P作圆O的切线，切点分别为M，N.（1）已知t=1，求切线方程；（2）直线MN是否过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由；（3）当t＞1时，两条切线分别交y轴于点A，B，连接OM，ON，记四边形PMON的面积为S1，三角形PAB的面积为S2，求S1⋅S2的最小值.答案：（1）当切线的斜率不存在时，切线方程为x=1，符合题意；当切线的斜率存在时，设切线方程为y−4=k(x−1)，即kx−y−k+4=0.由d =r 得√k 2+1=1 ，解得k =158，所以切线方程为y =158x +178.综上，切线方程为x =1 或y =158x +178.（2）由题意得M ，N 在以点P 为圆心，切线长PM 为半径的圆上， 则圆P ：(x −t)2+(y −4)2=t 2+15 ，联立得{(x −t)2+(y −4)2=t 2+15,x 2+y 2=1,化简得tx +4y −1=0 ，则{x =0,4y −1=0, 解得{x =0,y =14,所以直线MN 过定点(0,14) .（3）连接PO ，易知S 1=2S △PMO =2×12|PM|⋅|OM|=√t 2+15 ，设l PM :y −4=k 1(x −t) ，l PN :y −4=k 2(x −t) ，则A(0,4−k 1t) ，B(0,4−k 2t) ，∴|AB|=|k 1−k 2|t ，∴S △PAB =12|AB|⋅t =12|k 1−k 2|⋅t 2 . 过点P 作圆O 的切线方程记为y −4=k(x −t) ， 即kx −y −kt +4=0 ， 由d =r 得√k 2+1=1 ，整理得(t 2−1)k 2−8tk +15=0, 则该方程的两根为k 1 ，k 2 ，所以k 1+k 2=8tt 2−1 ，k 1⋅k 2=15t 2−1 ， 则|k 1−k 2|=√(k 1+k 2)2−4k 1k 2=2√t 2+15t 2−1，所以S 2=√t 2+15⋅t 2t 2−1，则S 1⋅S 2=t 2(t 2+15)t 2−1(t >1) ，令m =t 2−1 ，则S 1⋅S 2=(m+1)(m+16)m=m +16m+17≥2√m ⋅16m+17=25 ，当且仅当m =4 ，即t =√5 时，等号成立， 所以(S 1⋅S 2)min =25 . 方法归纳解决平面几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决；二是将曲线中的最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用配方法、判别式法、函数单调性法以及基本不等式法求解. 迁移应用4.已知圆O:x 2+y 2=2 ，直线l:y =kx −2 .（1）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB =π2 ，求k 的值；（2）若k=12，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，试问：直线CD是否过定点？请说明理由.答案：（1）根据题意，圆O的圆心为O(0,0)，半径r=√2，若直线l与圆O交于不同的两点A，B，且∠AOB=π2，则点O到l的距离d=√22r=1，所以√k2+1=1，解得k=±√3.（2）由题意可知O、P、C、D四点在以OP为直径的圆上，设P(t,12t−2)，则以OP为直径的圆的方程为x(x−t)+y(y−12t+2)=0，即x2+y2−tx−(12t−2)y=0，又C、D在圆O：x2+y2=2上，即直线CD为两个圆的公共弦所在的直线，则直线CD的方程为tx+(12t−2)y−2=0，即(x+y2)t−2(y+1)=0，令{x+y2=0,y+1=0,可得{x=12,y=−1,即直线CD过定点(12,−1).题型5 直线与圆的方程的应用例5 （2021江苏南京田家炳高级中学高二检测）如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45∘方向且距O岛40√2千米处，B岛在O 岛的正东方向且距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.圆C经过O、A、B三点.（1）求圆C的方程；（2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船在O岛的南偏西30∘方向且距O岛40千米的D处，正沿着北偏东45∘方向行驶，若不改变方向，试问：该船有没有触礁的危险？请说明理由. 答案：（1）由题意得A(40,40)、B(20,0)，设过O、A、B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2−4F>0)，则{F=0,402+402+40D+40E+F=0,202+20D+F=0,解得D=−20，E=−60，F=0，所以圆C的方程为x2+y2−20x−60y=0. （2）由题意得D(−20,−20√3)，且该船的航线所在的直线l的斜率为1，故该船的航线为直线l：x−y+20−20√3=0，由（1）知圆心为C(10,30) ，半径r =10√10 ， 因为圆心C 到直线l 的距离d =√3|√12+12=10√6<10√10 ，所以该船有触礁的危险.方法归纳直线与圆的方程的应用，一般先建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示点，把直线和圆看成满足某种条件的点的集合或轨迹，再用直线和圆上的点的坐标(x,y) 满足的方程表示直线和圆，通过研究方程，解决实际问题. 迁移应用5.树林的边界是直线l （如图CD 所在的直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l 的垂线AC 上的点A 和点B 处，|AB|=|BC|=a （a 为正常数），若兔子沿AD 方向以速度2μ 向树林逃跑，同时狼沿BM(M ∈AD) 方向以速度μ 进行追击（μ 为正常数），如果狼到达M 处的时间不多于兔子到达M 处的时间，那么狼就会吃掉兔子.（1）求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积S(a) ； （2）若兔子要想不被狼吃掉，求θ(θ=∠DAC) 的取值范围. 答案：（1）如图，建立平面直角坐标系，则A(0,2a) ，B(0,a) ，设M(x,y) ， 由|BM|μ≤|AM|2μ得x 2+(y −2a 3)2≤4a 29，∴M 在以(0,2a3) 为圆心，2a3 为半径的圆上及其内部， ∴S(a)=4a 29π .（2）设l AD :y =kx +2a(k ≠0) ， 由兔子要想不被狼吃掉得|2a−2a3|√1+k 22a3 ，解得k ∈(−√3,0)∪(0,√3) ， ∴0<∠ADC <π3 ，∴θ∈(π6,π2) .高考链接1.（2020课标Ⅰ文，6，5分）已知圆x2+y2−6x=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A.1B.2C.3D.4答案：B解析：根据题意，将圆的方程化为(x−3)2+y2=9，所以圆心为C(3,0)，半径为3，设P(1,2)，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，弦长最短，此时|CP|=√(3−1)2+(0−2)2=2√2，所以弦长的最小值为2√9−|CP|2=2.2.（2020北京，5，4分）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )A.4B.5C.6D.7答案：A解析：设圆心为C(x,y)，则√(x−3)2+(y−4)2=1，化简得(x−3)2+(y−4)2=1，所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，所以|OC|≥|OM|−1=√32+42−1=4，所以|OC|≥4，当且仅当C是线段OM与圆M的交点时取等号，故选A.3.（2020课标Ⅱ理，5，5分）若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为( )A.√55B.2√55C.3√55D.4√55答案：B解析：由题意可知该圆的圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(a,a)，则圆的半径为a，所以圆的标准方程为(x−a)2+(y−a)2=a2. 由题意可得(2−a)2+(1−a)2=a2，整理得a2−6a+5=0，解得a=1或a=5，所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)，则圆心(1,1)到直线2x−y−3=0的距离d1=√5=2√55，圆心(5,5)到直线2x−y−3=0的距离d2=√5=2√55，所以圆心到直线2x −y −3=0 的距离为2√55.4.（2020天津，12，5分）已知直线x −√3y +8=0 和圆x 2+y 2=r 2(r ＞0) 相交于A ，B 两点.若|AB|=6 ，则r 的值为 . 答案： 5解析：圆心(0,0)到直线x −√3y +8=0 的距离d =√1+3=4 ，由|AB|=2√r 2−d 2 可得6=2√r 2−42 ，解得r =5 .5.（2018江苏，12，5分）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y =2x 上在第一象限内的点，B(5,0) ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，则点A 的横坐标为 . 答案：3解析：设A(a,2a)(a ＞0) ，则由圆心C 为AB 的中点得C(a+52,a) ，易得圆C ：(x −5)(x −a)+y(y −2a)=0 ， 与y =2x 联立解得点D 的横坐标为x D =1 ，所以D(1,2) .所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−a,−2a) ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−a+52,2−a) ， 由AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 得(5−a)(1−a+52)+(−2a)⋅(2−a)=0 ，整理得a 2−2a −3=0 ，解得a =3 或a =−1 （舍去）.6.（2019浙江，12，6分）已知圆C 的圆心坐标是(0,m) ，半径长是r .若直线2x −y +3=0 与圆C 相切于点A(−2,−1) ，则m = ，r = . 答案：-2; √5解析：由题意可知k AC =−12⇒ 直线AC 的方程为y +1=−12(x +2) ， 把(0,m) 代入得m =−2 .此时r =|AC|=√4+1=√5 .。
高中数学人教a版高二选修2-1-章末综合测评1有答案
高中数学人教a版高二选修2-1-章末综合测评1有答案(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若某2＜1，则－1＜某＜1”的逆否命题是()A．若某2≥1，则某≥1，或某≤－1B．若－1＜某＜1，则某2＜1C．若某＞1，或某＜－1，则某2＞1D．若某≥1或某≤－1，则某2≥1【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”．【答案】D2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【解析】把全称量词改为存在量词并把结论否定．【答案】D3．命题p：某＋y≠3，命题q：某≠1或y≠2，则命题p是q的()A．充分不必要条件C．充要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为：“若某＝1且y＝2，则某＋y＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立．【答案】A4．设点P(某，y)，则“某＝2且y＝－1”是“点P在直线l：某＋y－1＝0上”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件第-1-页共8页【解析】当某＝2且y＝－1时，满足方程某＋y－1＝0,即点P(2，－1)在直线l上．点P′(0，1)在直线l上，但不满足某＝2且y＝－1，∴“某＝2且y＝－1”是“点P(某，y)在直线l上”的充分而不必要条件．【答案】A5．“关于某的不等式f(某)＞0有解”等价于()A．某0∈R，使得f(某0)＞0成立B．某0∈R，使得f(某0)≤0成立C．某∈R，使得f(某)＞0成立D．某∈R，f(某)≤0成立【解析】“关于某的不等式f(某)＞0有解”等价于“存在实数某0，使得f(某0)＞0成立”．故选A.【答案】A6．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选A.【答案】A7．命题p：函数y＝lg(某2＋2某－c)的定义域为R；命题q：函数y＝lg(某2＋2某－c)的值域为R.记命题p为真命题时c的取值集合为A，命题q为真命题时c的取值集合为B，则A∩B＝()A．C．{c|c≥－1}B．{c|c【解析】命题p为真命题，即某2＋2某－c>0恒成立，则有Δ＝4＋4c<0，解得c第-2-页共8页【答案】A8．对某∈R，k某2－k某－1＜0是真命题，则k的取值范围是()A．－4≤k≤0C．－4＜k≤0B．－4≤k＜0D．－4＜k＜0【解析】由题意知k某2－k某－1＜0对任意某∈R恒成立，当k＝0时，－1＜0恒k＜0，成立；当k≠0时，有即－4＜k＜0，所以－4＜k≤0.2Δ＝k＋4k＜0，【答案】C9．已知命题p：若(某－1)(某－2)≠0，则某≠1且某≠2；命题q：存在实数某0，使2某0＜0.下列选项中为真命题的是()A．綈pC．綈q∧pB．綈p∨qD．q【解析】很明显命题p为真命题，所以綈p为假命题；由于函数y＝2某，某∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以綈q是真命题．所以綈p∨q为假命题，綈q∧p为真命题，故选C.【答案】C10．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件a1>0，a1<0，【解析】等比数列{an}为递增数列的充要条件为或故“q>1”是q>10“”“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．【答案】D11．已知命题p：某>0，总有(某＋1)e某>1，则綈p为()A．某0≤0，使得(某0＋1)e某0≤1B．某0>0，使得(某0＋1)e某0≤1C．某>0，总有(某＋1)e某≤1第-3-页共8页D．某≤0，使得(某＋1)e某≤1【解析】因为全称命题某∈M，p(某)的否定为某0∈M，綈p(某)，故綈p：某0>0，使得(某0＋1)e某0≤1.【答案】B12．已知p：点P在直线y＝2某－3上；q：点P在直线y＝－3某＋2上，则使p∧q为真命题的点P的坐标是()A．(0，－3)C．(1，－1)B．(1，2)D．(－1，1)【解析】因为p∧q为真命题，所以p，q均为真命题．所以点P为直线y＝2某y＝2某－3，某＝1，－3与直线y＝－3某＋2的交点．解方程组得即点P的坐标为(1，y＝－3某＋2，y＝－1，－1)．【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝某－3的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“綈p”中是真命题的为________．【解析】p为假命题，q为真命题，故p∨q为真命题，綈p为真命题．【答案】p∨q与綈p14．“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是________________，否命题是________________．【解析】命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，所以否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除．【答案】末位数字是1或3的整数能被8整除末位数字不是1且不是3的整数能被8整除15．已知f(某)＝某2＋2某－m，如果f(1)>0是假命题，f(2)>0是真命题，则实数m的取值范围是______．f（1）＝3－m≤0，【解析】依题意，∴3≤m<8.f（2）＝8－m>0，第-4-页共8页【答案】[3，8)16．给出以下判断：①命题“负数的平方是正数”不是全称命题；3②命题“某∈N，某3>某2”的否定是“某0∈N，使某0>某2；0”③“b＝0”是“函数f(某)＝a某2＋b某＋c为偶函数”的充要条件；④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题．其中正确命题的序号是________.【解析】①②④是假命题，③是真命题．【答案】③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．(1)q：所有的矩形都是正方形；(2)r：某0∈R，某20＋2某0＋2≤0；(3)：至少有一个实数某0，使某30＋3＝0.【解】(1)綈q：至少存在一个矩形不是正方形，真命题．这是由于原命题是假命题．(2)綈r：某∈R，某2＋2某＋2>0，真命题．这是由于某∈R，某2＋2某＋2＝(某＋1)2＋1≥1>0恒成立．(3)綈：某∈R，某＋3≠0，假命题．这是由于当某＝－3时，某3＋3＝0.18．(本小题满分12分)指出下列命题中，p是q的什么条件？(1)p：{某|某>－2或某<3}；q：{某|某2－某－6<0}；(2)p：a与b都是奇数；q：a＋b是偶数；(3)p：03【解】(1)因为{某|某2－某－6<0}＝{某|－2－2或某<3}/{某|－2－2或某<3}．所以p是q的必要不充分条件．第-5-页共8页33(2)因为a，b都是奇数a＋b为偶数，而a＋b为偶数/a，b都是奇数，所以p是q的充分不必要条件．(3)m某2－2某＋3＝01Δ>0，4－12m>0，mm>0m>0m>03所以p是q的充要条件．19．(本小题满分12分)已知命题p：不等式2某－某2q：m2－2m－3≥0，如果“綈p”与“p∧q”同时为假命题，求实数m的取值范围.【解】2某－某2＝－(某－1)2＋1≤1，所以p为真时，m>1.由m2－2m－3≥0得m≤－1或m≥3，所以q为真时，m≤－1或m≥3.因为“綈p”与“p∧q”同时为假命题，所以p为真命题，q为假命题，所以得m>1，－1即120．(本小题满分12分)已知两个命题p：in某＋co某＞m，q：某2＋m某＋1＞0，如果对任意某∈R，有p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．【解】当命题p是真命题时，π由于某∈R，则in某＋co某＝2in某＋≥－2，4所以有m＜－2.当命题q是真命题时，由于某∈R，某2＋m某＋1＞0，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.由于p∨q为真，p∧q为假，所以p与q一真一假．考虑到函数f(某)＝某2＋m某＋1的图象为开口向上的抛物线，对任意的某∈R，某2＋m某第-6-页共8页＋1≤0不可能恒成立．所以只能是p为假，q为真，m≥－2，此时有－2＜m＜2，解得－2≤m＜2，所以实数m的取值范围是[－2，2)．21．(本小题满分12分)已知命题p：对数loga(－2t2＋7t－5)(a>0，且a≠1)有意义；命题q：实数t满足不等式t2－(a＋3)t＋a＋2<0.(1)若命题p为真，求实数t的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．5【解】(1)因为命题p为真，则对数的真数－2t2＋7t－5>0，解得125所以实数t的取值范围是1，2.(2)因为p是q解集的真子集．5的充分不必要条件，所以t1的法一因为方程t2－(a＋3)t＋a＋2＝0的两根为1和a＋2，51所以只需a＋2>，解得a>.22即实数a的取值范围为2，＋∞.法二令f(t)＝t2－(a＋3)t＋a＋2，因为f(1)＝0，15所以只需f2<0，解得a>.2即实数a的取值范围为2，＋∞.22．(本小题满分12分)设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程某2＋2a某＋b2＝0与某2＋2c某－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.【证明】充分性：∵∠A＝90°，∴a2＝b2＋c2.于是方程某2＋2a某＋b2＝0可化为某2＋2a某＋a2－c2＝0，∴某2＋2a某＋(a＋c)(a－c)＝0.第-7-页共8页∴[某＋(a＋c)][某＋(a－c)]＝0.∴该方程有两根某1＝－(a＋c)，某2＝－(a－c)，同样另一方程某2＋2c某－b2＝0也可化为某2＋2c某－(a2－c2)＝0，即[某＋(c＋a)][某＋(c－a)]＝0，∴该方程有两根某3＝－(a＋c)，某4＝－(c－a)．可以发现，某1＝某3，∴方程有公共根．必要性：设某是方程的公共根，某2＋2a某＋b2＝0，①则22某＋2c某－b＝0，②由①＋②，得某＝－(a＋c)，某＝0(舍去)．代入①并整理，可得a2＝b2＋c2.∴∠A＝90°.∴结论成立．第-8-页共8页。
高二数学选修1-2全册课件2、2章末
第二章
推理与证明
[例4] 已知a、b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc. [证明] 因为b2＋c2≥2bc，a>0， 所以a(b2＋c2)≥2abc.
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又因为c2＋a2≥2ac，b>0，
所以b(c2＋a2)≥2abc. 因为a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
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殊的推理，是数学证明中的基本推理形式，只要前提正确，
推理形式正确，得到的结论就正确． 3．合情推理与演绎推理既有联系，又有区别，它们相 辅相成，前者是后者的前提，后者证明前者的可靠性．
第二章
推理与证明
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第二章
推理与证明
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第二章
推理与证明
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第二章
推理与证明
[例3] 求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时， 圆的面积比正方形的面积大．
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第二章
推理与证明
[证明] 的面积为
设正方形和圆的周长都为 L，依据题意，圆
L L 2 π2π ，正方形的面积为4 2.因此，只需证明
－2(4＋2p＋q)＝2. 1 (2)假设|f(1)|， |f(2)|， |f(3)|中至少有一个不小于2不成立， 1 则|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于 ，则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2，而 2 |f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p ＋q)－(8＋4p＋2q)＝2，这与|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2 相矛盾， 从而假设不成立，原命题成立，即|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少 1 有一个不小于2.
第二章直线和圆的方程(章末小结)高二数学(人教A版选择性必修第一册)课件
(1)点关于点的对称：中点公式
考的题型之一，此类问题可借
(2)点关于直线的对称：AA'⊥l，AA'的中点在l上
[注]点(a,b)关于直线y=x的对称点为(b,a)
(3)线关于点的对称：斜率相等，求(1)型对称点
助光学性质：入射角等于反射
角，或使用对称思想(一般找对
称点)解决．
(4)线关于线的对称：求交点P，求(2)型对称点
过圆x 2 y 2 D1 x E1 y F1 0和直线Ax By C 0交点的圆系方程.
方法归纳——1.三点共线问题
用斜率公式解决三点共线问题的方法
方法归纳——2.两直线交点问题
求两直线的交点的方法：
设两条直线的方程是 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
直线的倾斜角越大，斜率越大(
)
α为钝角时，α越大，斜率越大，k由-∞变化到0；
所有的直线都有倾斜角；但不是所有直线都有斜率。
知识梳理——1.直线的倾斜角和斜率
类型
斜率存在
斜率不存在
条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2⇔k1=k2
l1∥l2⇔两条直线斜率都不存在
图示
对应关系 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2
相交
O1
O2
R
2
r
1个
R
内切
内含
B
A
r
O1
O2
O1
2个
1个
r
O2
O2
O1
O2
O1
0个
| O1O2 | R r | O1O2 | R r | R r || O1O2 | R r | O1O2 || R r | 0 | O1O2 || R r |
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程章末综合检测(二) 湘教版高二选修2-1数学试题
章末综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )A ．(±13，0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：选D.由题意知椭圆的焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．2．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 解析：选A.依题意得c ＝4，e ＝c a ＝4a＝2，a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝12，因此所求的双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1，故选A.3．若点P 到直线x ＝－1的距离比到点(2，0)的距离小1，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：选D.点P 到直线x ＝－1的距离比到点(2，0)的距离小1，即点P 到直线x ＝－2的距离与到点(2，0)的距离相等，根据抛物线的定义可知，点P 的轨迹是抛物线．4．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为14，则椭圆C 的离心率e 为( )A.15B.25C.45D.215解析：选B.根据椭圆定义可得4＋2a ＝14，解得a ＝5，故其离心率e ＝c a ＝25，故选B.5．双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率是( ) A ．2或233B ．2C.233D. 3解析：选A.不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则渐近线方程为y ＝±bax .由题意，则ba ＝33或a b ＝33， 所以b 2a 2＝13或a 2b 2＝13，可以求得e ＝233或2.6．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选C.点(2，0)为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线的渐近线平行的直线，这两条直线与双曲线仅有一个公共点，另外，过该点且与x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．所以共有3条．7．已知双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有共同的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为x ＋y ＝0，则双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝50 B ．x 2－y 2＝24 C ．x 2－y 2＝－50 D ．x 2－y 2＝－24解析：选D.因为双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有共同的焦点，所以双曲线的焦点在y 轴上，且焦点坐标为(0，－43)，(0，43)．又双曲线的一条渐近线方程为x ＋y ＝0，所以可设双曲线方程为y 2－x 2＝λ(λ>0)，则2λ＝48，λ＝24，故所求双曲线的方程为y 2－x 2＝24，即x 2－y 2＝－24.8．过抛物线y 2＝8x 的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( ) A ．8 B ．16 C ．32D ．64解析：选B.抛物线中2p ＝8，p ＝4，则焦点坐标为(2，0)，过焦点且倾斜角为45°的直线方程为y ＝x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y 2＝8x ，得x 2－12x ＋4＝0， 则x 1＋x 2＝12(x 1，x 2为直线与抛物线两个交点的横坐标)．从而弦长为x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16.9．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值X 围是( )A ．m >1B ．m ≥1或0<m <1C ．m ≥1且m ≠5D ．0<m <5且m ≠1解析：选C.直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，所以025＋1m ≤1，解得m ≥1，又m ≠5，故选C.10．已知点A (0，2)，B (2，0)．若点C 在抛物线x 2＝y 的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A.由已知可得|AB |＝22，要使S △ABC ＝2，则点C 到直线AB 的距离必须为2，设C (x ，x 2)，而l AB ∶x ＋y －2＝0，所以有|x ＋x 2－2|2＝2，所以x 2＋x －2＝±2，当x 2＋x －2＝2时，有两个不同的C 点；当x 2＋x －2＝－2时，亦有两个不同的C 点．因此满足条件的C 点有4个，故选A.11．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k 等于( )A.13B.23C.23D.223解析：选D.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），y 2＝8x得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， 所以x 1x 2＝4，①根据抛物线的定义得，|FA |＝x 1＋p2＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2.因为|FA |＝2|FB |， 所以x 1＝2x 2＋2，②由①②得x 2＝1(x 2＝－2舍去)，所以B (1，22)，代入y ＝k (x ＋2)得k ＝223.12．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13 C ．b 2＝12D ．b 2＝2解析：选C.由题意，知a 2＝b 2＋5，因此椭圆方程为(a 2－5)x 2＋a 2y 2＋5a 2－a 4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，联立方程消去y ，得(5a 2－5)x 2＋5a 2－a 4＝0，所以直线截椭圆的弦长d ＝5×2a 4－5a 25a 2－5＝23a ，解得a 2＝112，b 2＝12. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程为________．解析：抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2，0)， 双曲线x 2－y 2＝1的焦点坐标为(±2，0)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝2，4a2＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝114．过直线y ＝2与抛物线x 2＝8y 的两个交点，并且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．解析：依题意，抛物线x 2＝8y 的焦点(0，2)即为圆心，准线y ＝－2与圆相切，圆心到切线的距离等于半径，所以半径为2－(－2)＝4，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝16.答案：x 2＋(y －2)2＝1615．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3，0)，且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为________．解析：由题意得双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c ∶b ＝5∶4，又c 2＝a 2＋b 2，所以c ＝5，b ＝4，所以双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.答案：x 29－y 216＝116．如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上，则抛物线E 的方程为________．解析：依题意知，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12.因为点B (43，12)在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y .答案：x 2＝4y三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率e ＝32.求椭圆E 的方程． 解：因为椭圆焦点在x 轴上，所以设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，半焦距为c (a >0，b >0，c >0)．由题意知F (0，1)为椭圆的短轴的上顶点， 所以b ＝1，又由c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2， 得a ＝2，c ＝ 3.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.18．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线的一个交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线的方程和双曲线的方程．解：依题意，设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在抛物线上，所以6＝2p ×32，所以p ＝2，所以所求抛物线的方程为y 2＝4x .因为双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， 所以c ＝1，即a 2＋b 2＝1，又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在双曲线上，所以94a 2－6b 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b 2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝－8.(舍去) 所以所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1.19．(本小题满分12分)已知点P (3，4)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的一点，F 1、F 2为椭圆的两焦点，若PF 1⊥PF 2，试求：(1)椭圆的方程； (2)△PF 1F 2的面积．解：(1)令F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)， 则b 2＝a 2－c 2.因为PF 1⊥PF 2，所以k PF 1·k PF 2＝－1，即43＋c ·43－c＝－1，解得c ＝5，所以设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1.因为点P (3，4)在椭圆上，所以9a 2＋16a 2－25＝1.解得a 2＝45或a 2＝5.又因为a >c ，所以a 2＝5舍去． 故所求椭圆的方程为x 245＋y 220＝1.(2)由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝65，① 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100，② ①2－②，得2|PF 1|·|PF 2|＝80， 所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝20.20．(本小题满分12分)如图，O 为坐标原点，过点P (2，0)且斜率为k 的直线l 交抛物线y 2＝2x 于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点．(1)求x 1x 2与y 1y 2的值； (2)求证：OM ⊥ON .解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)．① 由①及y 2＝2x 消去y 可得k 2x 2－2(2k 2＋1)x ＋4k 2＝0.②点M ，N 的横坐标x 1，x 2是方程②的两个根， 由根与系数的关系得x 1x 2＝4k2k 2＝4，由y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，得(y 1y 2)2＝4x 1x 2＝4×4＝16，又y 1y 2<0， 所以y 1y 2＝－4.(2)证明：设OM ，ON 的斜率分别为k 1，k 2， 则k 1＝y 1x 1，k 2＝y 2x 2，k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－44＝－1， 所以OM ⊥ON .21．(本小题满分12分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点在抛物线y ＝2x 2上，l 是AB 的垂直平分线．(1)当且仅当x 1＋x 2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论． (2)当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上的截距的取值X 围．解：(1)点F 在直线l 上⇒|FA |＝|FB |⇒A ，B 两点到抛物线的准线的距离相等，因为抛物线的准线与x 轴平行，所以上述条件等价于y 1＝y 2⇒x 21＝x 22⇒(x 1＋x 2)·(x 1－x 2)＝0，因为x 1≠x 2，所以当且仅当x 1＋x 2＝0时，直线l 经过抛物线的焦点F .(2)设l 在y 轴上的截距为b ，依题意，得l 的方程为y ＝2x ＋b .则过点A ，B 的直线方程可设为y ＝－12x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2y ＝－12x ＋m ，化简得2x 2＋12x －m ＝0， 所以x 1＋x 2＝－14.因为A ，B 为抛物线上不同的两点，所以上述方程的判别式Δ＝14＋8m >0，即m >－132.设AB 的中点N 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝－18，y 0＝－12x 0＋m ＝116＋m .又点N 在直线l上，所以116＋m ＝－14＋b ，于是b ＝516＋m >516－132＝932，所以l 在y 轴上的截距的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫932，＋∞.22．(本小题满分12分)如图，抛物线C 1：y 2＝4x 的准线与x 轴交于点F 1，焦点为F 2.以F 1，F 2为焦点，离心率为12的椭圆记作C 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l 经过椭圆C 2的右焦点F 2，与抛物线C 1交于A 1，A 2两点，与椭圆C 2交于B 1，B 2两点，当以B 1B 2为直径的圆经过F 1时，求A 1A 2的长．解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依据题意得c ＝1，c a ＝12，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3， 故椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 与x 轴垂直时，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， 又F 1(－1，0)， 此时B 1F 1→·B 2F 1→≠0，所以以B 1B 2为直径的圆不经过F 1，不满足条件．当直线l 不与x 轴垂直时，设l ：y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 因为焦点在椭圆内部，所以直线l 与椭圆恒有两个交点． 设B 1(x 1，y 1)，B 2(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.因为以B 1B 2为直径的圆经过F 1， 所以B 1F 1→·B 2F 1→＝0， 又F 1(－1，0)，所以(－1－x 1)(－1－x 2)＋y 1y 2＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋(1－k 2)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝0， 解得k 2＝97.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝k （x －1）， 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A 1(x 3，y 3)，A 2(x 4，y 4)， 则x 3＋x 4＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，x 3x 4＝1，所以|A 1A 2|＝x 3＋x 4＋2＝2＋4k 2＋2＝649.。
高二数学(人教B版)选修1-1同步练习1、2章末
选修1-2 2章末总结一、选择题1．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4表示的曲线不可能是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆[答案] C[解析] sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．2．(2009·安徽高考)下列曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 [答案] B[解析] 双曲线x 24－y 22＝1的离心率e ＝4＋22＝62. 3．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)[答案] B[解析] ∵a 2＝4，b 2＝－k ，∴c 2＝4－k .∵e ∈(1,2)，∴c 2a 2＝4－k 4∈(1,4)，k ∈(－12,0)． 4．抛物线y ＝x 2到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( ) A ．(32，54) B ．(1,1)C ．(32，94) D ．(2,4)[答案] B[解析] 设P (x ，y )为抛物线y ＝x 2上任一点，则P 到直线的距离d ＝|2x －y －4|5＝|x 2－2x ＋4|5＝(x －1)2＋35，所以当x ＝1时，d 取最小值355，此时P 为(1,1)． 5．(2009·山东)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54 B ．5 C.52 D. 5[答案] D[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝b a x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x y ＝x 2＋1消去y ，得x 2－b a x ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝⎝⎛⎭⎫b a 2－4＝0，所以b a ＝2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝5，故选D.二、填空题6．已知点A (0,1)是椭圆x 2＋4y 2＝4上的一点，P 是椭圆上的动点，当弦AP 的长度最大时，则点P 的坐标是________．[答案] (±433，－13) [解析] ∵点P 在椭圆上，∴设点P 的坐标为(2cos θ，sin θ)，则|AP |＝4cos 2θ＋(sin θ－1)2＝－3(sin θ＋13)2＋163.当sin θ＝－13时，|AP |最大，此时点P 的坐标为(±433，－13)． 7．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在的直线方程是________．[答案] 2x －y －15＝0[解析] 设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21－4y 21＝4，x 22－4y 22＝4，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵AB 的中点为P (8,1)，∴x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2.∴直线AB 的方程为y －1＝2(x －8)，即2x －y －15＝0.三、解答题8．已知双曲线与椭圆x 236＋y 249＝1有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为37，求双曲线的方程． [解析] 椭圆x 236＋y 249＝1的焦点为(0，±13)，离心率为e 1＝137.由题意可知双曲线的两焦点为(0，±13)，离心率e 2＝133.所以所求双曲线的方程为y 29－x 24＝1.9．如图所示，椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条直线l 经过F 1与椭圆交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，求△ABF 2的面积．[解析] 由椭圆的方程x 216＋y 29＝1知，a ＝4，b ＝3，∴c ＝a 2－b 2＝7.由c ＝7知F 1(－7，0)，F 2(7，0)，又k 1＝tan45°＝1，∴直线l 的方程为x －y ＋7＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋7＝0，x 216＋y 29＝1，消去x ，整理得25y 2－187y －81＝0，∴|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝(18725)2＋4×8125＝7225 2.∴S △ABF 2＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12×27×7225 2＝722514.。
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a → → 的 坐 标 是 (x0 ， y0)， 由AM ＝ λ AB 得 x0＋e ，y0 ＝
第二章
圆锥曲线与方程
a x0＝ (λ－1) e 所以 ， y0＝λa x2 y2 0 0 因为点 M 在椭圆上，所以a2＋b2＝1，
a (λ－1)2 e
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圆锥曲线与方程
章末归纳总结
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圆锥曲线与方程
坐标法是研究圆锥曲线问题的基本方法，它是用代数
的方法研究几何问题． 本章介绍了研究圆锥曲线问题的基本思路，建立直角 坐标系，设出点的坐标，根据条件列出等式，求出圆锥曲 线方程，再通过曲线方程，研究曲线的几何性质．
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圆锥曲线ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程
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圆锥曲线与方程
[例1]
已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个
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焦点作过A，B的椭圆，求椭圆的另一个焦点F的轨迹方
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点题型．
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圆锥曲线与方程
∵以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0)， ∴kAD·BD＝－1， k y1 y2 即 · ＝－1， x1－2 x2－2 ∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0， 3(m2－4k2) 4(m2－3) 16mk 2 ＋ 2 ＋ 2＋4＝0， 3＋4k 3＋4k 3＋4k 7m2＋16mk＋4k2＝0， 2k 解得 m1＝－2k，m2＝－ 7 ，且满足 3＋4k2－m2>0.
由抛物线定义可知
|AF|＝|A1A|， |BF|＝|B1B|， ∴|A1A|＋|B1B|＝|AF|＋|BF|. 又四边形A1ABB1为梯形，P1P是中位线，
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圆锥曲线与方程
1 ∴|PP1|＝ (|A1A|＋|B1B|) 2 1 ＝ (|AF|＋|BF|)， 2 1 3 ∴|PP1|≥2|AB|＝2. p 1 又|PQ|＝|PP1|－2＝|PP1|－2， 3 1 ∴|PQ|≥ － ＝1， 2 2 当且仅当 A、B、F 三点共线时取“＝”号．
(1)证明：λ＝1－e2； (2)确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形． [分析] 解析几何中的向量问题，化为坐标处理．
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[解析]
(1)证法一：因为 A，B 分别是直线 l：y＝ex＋a
a 的坐标分别是－e，0，(0，
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与 x 轴、y 轴的交点，所以 A，B a)．
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圆锥曲线与方程
1 ∴AB 的垂直平分线 NG 的方程为 y－y0＝－ (x－x0)． k 令 y＝0，得 2k2 k2 xG＝x0＋ky0＝－ 2 ＋ 2 2k ＋1 2k ＋1 k2 1 1 ＝－ 2 ＝－2＋ 2 ， 2k ＋1 4k ＋2 1 ∵k≠0，∴－2<xG<0， ∴点 G
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本章内容主要有两部分：一部分是求椭圆、双曲线、
抛物线的标准方程，基本方法是利用定义或待定系数法来 求；另一部分是研究椭圆、双曲线、抛物线的几何性质， 并利用它们的几何性质解决有关几何问题．
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圆锥曲线与方程
学习本章应深刻体会数形结合的思想，转化的思想， 函数的思想及待定系数法等重要的数学思想和方法．
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圆锥曲线与方程
[点评] 本题利用抛物线的定义，通过图形，借助梯
形中位线定理，从而确定了最值，体现了“转化与化归” 的数学思想，应深刻体会这一重要思想方法．
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圆锥曲线与方程
[例3]
已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，
椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B 不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求
1 横坐标的取值范围为－2，0.
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圆锥曲线与方程
[点评] 直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥
曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合 思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中 点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不 求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热
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当 m＝－2k 时，l：y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)，与 已知矛盾；
2 2k 2 当 m＝－ 时，l：y＝k(x－ )，直线过定点7，0. 7 7
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综上可知，直线 l
2 过定点，定点坐标为7，0.
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x2 故 F 点的轨迹方程是 y2－ ＝1(y≤－1)． 48
第二章
圆锥曲线与方程
[点评]
利用圆锥曲线的定义直接求出相关点的轨迹，
是常考的题型． 求曲线方程的基本方法有：直接法和间接法．常见的 求曲线方程的方法有：直接法、定义法、代入法、参数法 以及求弦的中点轨迹时常用的“设而不求”法．这里仍需
程．
[分析] 化即可． 依据椭圆的定义，列出关系式，再将其坐标
第二章
圆锥曲线与方程
[解析]
|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14.又|AF|＋|AC|＝
|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，故F点的轨迹是 以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线， 又c＝7，a＝1，b2＝48，
圆锥曲线与方程
a a e－c＝λ e 即 2 b ＝λa a
，解得 λ＝1－e2.
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证法二：因为 A，B 分别是直线 l：y＝ex＋a 与 x 轴、y 轴的交点，所以 A，B 设 M
a λe，a， a 的坐标分别是－e，0，(0，a)．
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第二章
圆锥曲线与方程
[点评] 圆锥曲线随着定义的不同，那么它们的几何
性质也不尽相同，这就需要结合相关圆锥曲线的定义和方 程，准确刻画它们的几何性质．通常由圆锥曲线方程研究 圆锥曲线的几何性质时，常把圆锥曲线方程化成标准方程， 再讨论曲线的顶点、焦点、准线、离心率、渐近线、对称
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强调的是不管用什么方法求轨迹方程，都要注意检验所求
的方程与曲线是否等价，多余的点要舍去，缺少的点要补 上.
第二章
圆锥曲线与方程
[例2]
已知抛物线y2＝2x上两个动点A、B，且|AB|＝3， 如右图，分别过A、B、P作准线l的垂线，设
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求AB的中点P到y轴距离的最小值． [解析] 垂足为A1、B1、P1，PP1交y轴于Q点，连结AF、BF.
y＝ex＋a x＝－c 2 2 由x y ，得 b2 ，这里 c＝ a2－b2. a2＋b2＝1 y＝ a 所以点 M
b2 的坐标是－c， a .
a b2 a → → 由AM＝λAB得－c＋e， a ＝λe，a，
第二章
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第二章
圆锥曲线与方程
[解析]
设直线 AB 的方程为 y＝k(x＋1)(k≠0)，
x2 2 代入 2 ＋y ＝1， 整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0. ∵直线 AB 过椭圆的左焦点 F， ∴方程有两个不等实根． 记 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 中点 N(x0，y0)， 4k2 则 x1＋x2＝－ 2 ， 2k ＋1 1 2k2 k x0＝2(x1＋x2)＝－ 2 ，y0＝k(x0＋1)＝ 2 ， 2k ＋1 2k ＋1
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性等几何性质.
第二章
圆锥曲线与方程
x2 2 [例 5] 已知椭圆 ＋y ＝1 的左焦点为 F，O 为坐标 2 原点．设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求点 G 横 坐标的取值范围．
[分析] 设直线AB的点斜式方程，由已知得出线段AB 的垂直平分线方程，利用求值域的方法求解．
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证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
[ 解 析]
x2 y2 (1) 由题 意 设椭 圆 的标 准方 程为 a2 ＋ b2 ＝
1(a>b>0)，且 a＋c＝3，a－c＝1， ∴a＝2，c＝1，∴b2＝3， x2 y2 ∴ 4 ＋ 3 ＝1.
第二章
圆锥曲线与方程
y＝kx＋m 2 2 (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x y ， 4 ＋ 3 ＝1 得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0， Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0,3＋4k2－m2>0. 4(m2－3) 8mk 又 x1＋x2＝－ ，x · ＝ x ， 3＋4k2 1 2 3＋4k2 所以 y1·2＝(kx1＋m)· 2＋m) y (kx 3(m2－4k2) ＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝ 2 . 3＋4k
第二章
圆锥曲线与方程
[例 4]
x2 y2 已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分
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别是 F1，F2，离心率为 e.直线 l：y＝ex＋a 与 x 轴、y 轴分别 交于点 A，B，M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点，P 是点 → → F1 关于直线 l 的对称点，设AM＝λAB.