信息熵与热力学熵
信息熵与热力学熵
信息熵与热力学熵信息熵与热力学熵December 2nd, 2011化学及热力学中所指的熵，是一种测量在动力学方面不能做功的能量总数。
熵亦被用于计算一个系统中的失序现象，用来衡量一个系统混乱程度的度量。
热力学熵熵是什么呢？宏观上--体系的熵等于可逆过程吸收或耗散的热量除以它的绝对温度，也就是一种测量在动力学方面不能做功的能量总数。
微观上--熵是大量微观粒子的位置和速度的分布概率的函数，是描述系统中大量微观粒子的无序性的宏观参数。
举例来讲果我们能看到橡皮筋的分子结构，我们会发现它的结构在拉紧和放松的状态时是不一样的。
放松的时候它的分子结构像一团乱麻交织在一起。
而在把橡皮筋拉长的时候，那些如同链状的分子就会沿着拉伸的方向比较整齐地排列起来。
于是我们可以看到两种状态：一种是自然，或者自发的状态。
在这种状态下结构呈混乱或无序状。
而另一种是在外界的拉力下规则地排列起来的状态。
这种无序的状态还可以从分子的扩散中观察到。
用一个密封的箱子，中间放一个隔板。
在隔板的左边空间注入烟。
我们把隔板去掉，左边的烟就会自然(自发)地向右边扩散，最后均匀地占满整个箱体。
这种状态称为无序。
在物理学里我们可以用熵的概念来描述某一种状态自发变化的方向。
比如把有规则排列的状态称为低熵而混乱的状态对应于高熵而熵则是无序性的定量量度。
热力学第二定律的结论是：一个孤立系统的熵永不减少。
换句话说，物质世界的状态总是自发地转变成无序；从低熵变到高熵。
比如，当外力去除之后，整齐排列的分子就会自然地向紊乱的状态转变；而箱子左边的烟一定会自发地向右边扩散。
这就是著名的熵增定律，熵增原理表示自然界会越来越无序。
信息熵那么信息熵是什么呢？一个 X 值域为x1,...,xn的随机变量的熵值 H 定义为：其中，E 代表了期望函数，而 I(X) 是 X 的信息量（又称为信息本体）。
I(X) 本身是个随机变量。
如果p 代表了X 的机率质量函数（probability mass function），则熵的公式可以表示为：信息熵可以认为是系统中所含有的平均信息量大小，也可以认为是描述一个系统需要的最小存储空间长度，即最少用多少个存储空间就可以描述这个系统。
熵
T2 T1 Tc —无序流动
18.
从无序到有序是自然界的普遍现象， 它们是否违背热力学第二定律呢？
普利高津（比利时）从热力学出发提 出耗散结构理论，哈根（德国）从统计力 学出发提出了协同理论解释了自组织现象， 说明了从无序到有序的过程并未违背热力 学第二定律
19.
外界
“熵污染”乃是在这一学术背景下产生的概念。 • 狭义地理解，熵污染即指热污染。因为后者是热 量从高温集中状态扩散开来造成环境温度升高， 是热量的均匀化分布趋势，分子运动的混乱程度 增加。这正是热力学中“熵增”的本来含义。 • 广义地理解，熵污染可以概括一切环境污染和生 态破坏。因为从物理过程来看，所有污染物都是 物质或能量从聚集状态转为扩散状态而广泛分布 于环境中，增加了混乱无序的程度。至于生态破 坏或环境破坏都可以归结为生态结构或环境结构 之有序水平的降低，也就是混乱程度的增加。
（1）对热力学系统来说，如系统从一个 平衡态过渡到另一个平衡态，用克熵公 式和玻熵公式计算系统熵变，结果相同 孤立系统的熵不会减少，玻尔兹曼 从统计意义说明自然界一切自发过程都 是从小概率状态向大概率状态发展，这 种认识更本质。
12.
（2）熵是态函数，两者区别:克熵只对平衡 态有意义，而玻熵对系统任意宏观态（包括 非平衡态）均有意义，非平衡态也有与之相 对应的热力学概率，玻熵意义更普遍
dQ dT dS cm T T
又 Mg d h cm d T 退降能量 Ed T0 d S
27.
退降的能量与系统熵的增加成正比。在自 然界中所有的实际过程都是不可逆的，将使得能 量不断地转变为不能做功的形式，能量虽然是守 恒但越来越多地不能被用来做功。
熵：表示能量利用（转化）已完成的程
熵增的原理及应用
熵增的原理及应用1. 什么是熵增？熵是热力学的概念，表示系统的无序程度。
熵增则是指在一个封闭系统中，系统的熵值随时间的推移而增加的现象。
熵增可以理解为系统变得越来越混乱、无序的过程。
熵增的原理和应用在热力学、信息论、生态学等领域都有重要的应用。
2. 熵的定义熵在热力学中被定义为系统的能量在能量空间中的一种度量，也可以理解为系统的混乱度或无序度。
熵的单位通常是焦耳/开尔文，表示为J/K。
根据熵的定义，系统的熵可以用下面的公式来计算：S = k * ln(Ω)其中，S表示系统的熵，k是玻尔兹曼常数，Ω表示系统的微观状态数。
系统的微观状态数是指系统能够处于的不同的微观状态的数量。
3. 熵增的原理熵增原理描述了一个封闭系统中熵值增加的规律。
根据熵增原理，一个封闭系统的熵只能增加或保持不变，永远不会减小。
这是因为系统的热力学性质决定了系统总是趋向于变得更加无序。
4. 熵增的应用熵增的原理在热力学、信息论和生态学等领域都有广泛的应用。
4.1 热力学中的熵增在热力学中，熵增原理是描述宏观热平衡的基本原理之一。
根据热力学的第二定律，一个封闭系统的熵增始终大于等于零，等号成立的情况是系统处于平衡态。
熵增的原理被广泛应用于热力学循环、热传导以及其他热力学过程的分析和计算中。
4.2 信息论中的熵增在信息论中，熵被用来衡量信息的不确定性。
信息熵定义为信息的平均信息量，也可以理解为信息的混乱度。
熵增原理在信息编码、压缩和密码学等领域有着重要的应用。
根据熵增原理，信息的压缩是不可能达到绝对零熵的，总会有一定的信息丢失。
4.3 生态学中的熵增在生态学中，熵增原理被用来描述生态系统的演化过程。
生态系统是开放系统，与环境进行物质和能量交换。
根据熵增原理，生态系统的熵增表明生态系统趋向于变得更加无序和混乱。
熵增原理在生态学中被应用于生态系统恢复、生物多样性维护以及资源管理等方面。
5. 总结熵增的原理和应用在各个领域都有重要的意义。
热力学系统与熵熵的概念与熵变的计算
热力学系统与熵熵的概念与熵变的计算热力学系统与熵：熵的概念与熵变的计算热力学是研究能量转化和物质转化的一门学科，而熵是热力学中的一个重要概念。
本文将介绍热力学系统与熵的概念，并详细说明熵变的计算方法。
一、热力学系统与熵的概念热力学系统是指被研究的物体或者物质组成的一部分，它与外界有物质、能量或动量的交换。
热力学系统可以是封闭系统、开放系统或孤立系统。
熵是热力学中的一种状态函数，用来描述系统的无序程度。
熵的增加意味着系统的无序程度增加，反之则无序程度减小。
熵的单位通常使用焦耳/开尔文（J/K）。
熵的计算可以使用以下公式：ΔS = ∫(dq/T)其中，ΔS表示系统的熵变，dq表示在过程中吸收或释放的热量，T 表示热力学温度。
这个公式适用于系统在恒温条件下的熵变计算。
二、熵变的计算方法1. 等温过程中的熵变计算在等温条件下，熵变的计算可以使用以下公式：ΔS = ∫(dq/T) = ∫(Cp(T)dT/T)其中，Cp表示恒压下的比热容，T表示温度。
在等温条件下，熵变的计算只需要获取温度范围内的Cp值，并进行积分即可得到结果。
2. 绝热过程中的熵变计算在绝热条件下，系统与外界不进行热交换，只进行功交换。
此时熵变的计算可以使用以下公式：ΔS = Cp ln(T2/T1) - R ln(V2/V1)其中，Cp表示恒压下的比热容，T表示温度，R表示气体常数，V表示体积。
在绝热条件下，熵变的计算需要根据题目给出的条件获取相关参数，并代入公式进行计算。
3. 相变过程中的熵变计算在相变过程中，熵的计算方法稍有不同。
以液体转化为气体为例，液体和气体之间的熵变可以使用以下公式计算：ΔS = ΔH/T其中，ΔH表示相变潜热，T表示温度。
在相变过程中的熵变计算，需要给定相变潜热和温度值，代入公式计算即可。
总结：熵是热力学中用来描述系统无序程度的一种状态函数。
熵的计算可以通过了解系统的热量交换情况以及温度变化，使用相应的公式进行计算。
熵的知识点总结高中
熵的知识点总结高中一、热力学中的熵1. 热力学第二定律熵的概念最早出现在热力学中。
热力学第二定律是熵的基本原理，它告诉我们自然界中的某些现象是不可逆的。
热力学第二定律有很多等价的表述，最常见的一种是开尔文表述，即“不可能从单一热源吸热，使之全部变为有用功而不引起其他变化”。
这个表述告诉我们，热能不可能完全转化为机械功而不产生其他变化，也就是说，热能可以转化为机械功的过程是有限的。
克劳修斯不等式和普朗克不等式是热力学第二定律的数学表述，它们告诉我们能量转化的方向和限度。
热力学第二定律的基本原理是熵增原理，即在孤立系统中，熵不会减少，而只会增加或保持不变。
2. 熵的定义熵最早是由克劳修斯提出的，他将熵定义为热力学不可逆过程的度量。
克劳修斯熵增原理告诉我们，孤立系统中熵不会减少，而只能增加或保持不变。
后来开尔文和普朗克将熵的定义进一步推广，将其定义为系统的混乱程度或者无序程度。
这个定义很容易理解，例如一个有序的晶体结构的系统，其熵很低；一个无序的气体系统，其熵很高。
熵的定义强调了系统的有序和无序之间的关系，也体现了熵是热力学不可逆性的度量这一基本概念。
3. 熵的性质熵有许多重要的性质，它们是热力学第二定律的基础。
熵是广延量，即与系统的大小成比例；熵是状态函数，即与系统的路径无关；熵是可加的，即复合系统的熵等于各个子系统的熵之和。
这些性质保证了熵在热力学中的重要地位，也是热力学第二定律的数学基础。
4. 熵的应用熵在热力学中有许多重要的应用。
例如在热力学循环中，熵是评价热机效率的重要参量；在相变中，熵是评价相变过程的重要参量；在化学反应中，熵变是评价反应条件的重要参量。
这些应用都表明了熵在热力学中的重要地位，也反映了熵在自然界中普遍存在的事实。
二、统计物理中的熵1. 统计物理的基本原理统计物理是热力学的微观基础，它描述了宏观系统的宏观性质是如何由微观粒子的微观运动产生的。
统计物理的基本原理是玻尔兹曼分布和吉布斯分布，它们告诉我们：在平衡态下，系统的微观状态是服从一定的分布律的，而这个分布律是由系统的宏观性质决定的。
熵和信息熵
熵和信息熵
熵是一个非常重要的物理量，在热力学、信息论、统计力学等领域都有广泛的应用。
在物理学中，熵通常表示系统的无序程度，也可以理解为能量的分散程度，随着系统的无序程度增加，熵也会随之增加。
在信息论中，熵则表征了信息的不确定性，也可以理解为信息的平均量，随着信息的不确定性增加，熵也会随之增加。
信息熵是信息论中的一个核心概念，它是对信息的不确定性的度量。
在离散的情况下，信息熵可以表示为：
H(X) = -Σ p(xi) log p(xi)
其中，p(xi)表示随机变量X取值为xi的概率，log表示以2为底的对数，Σ表示对所有可能取值的概率求和。
信息熵的单位通常是比特或者纳特。
信息熵具有以下几个性质：
1. 非负性：信息熵不可能为负数。
2. 最大熵原理：在概率分布未知的情况下，信息熵取最大值时对应的概率分布是平均分布，即所有可能取值的概率相等。
3. 信息熵与不确定性相关：当随机变量的取值越不确定，对应的信息熵就越大。
信息熵在信息论中有着广泛的应用，例如在数据压缩、信道编码、密码学等领域中。
通过研究信息熵，人们可以更好地理解信息的本质和特点，从而更好地利用信息。
- 1 -。
热力学中的熵变
热力学中的熵变热力学是研究物质和能量之间转换关系的学科。
熵变是热力学中一个重要的概念，描述了系统在热力学过程中的无序程度的变化。
在本文中，将介绍熵变的基本概念、计算方法以及它在热力学中的应用。
1. 熵变的定义熵是描述系统无序程度的物理量，用符号S表示。
熵变则是指系统在热力学过程中，由于能量的转移和物质的变化而引起的熵的变化。
熵变的计量单位是焦耳/开尔文（J/K）。
2. 熵变的计算方法熵变可以通过以下公式进行计算：ΔS = ∫(dQ/T)其中，ΔS表示熵变，dQ表示在热力学过程中系统吸收或释放的热量，T表示温度。
这个公式表示熵变是在一个无穷小的热量变化过程中的微积分形式。
3. 熵变的性质熵变具有以下性质：3.1 熵变的正负性：根据熵变的计算公式可知，当系统吸收热量时，熵变为正值；当系统释放热量时，熵变为负值。
3.2 熵变的可加性：对于互相独立的系统，它们的总熵变等于各个系统熵变的代数和。
3.3 熵变的方向性：系统发生熵减的过程是不可逆的，而熵增的过程是可逆的。
4. 熵变与能量转化熵变与能量转化有密切的关系。
根据热力学第二定律，任何一个自然过程都是使得系统的熵增加的过程。
熵增表示了能量转化的不完全性，并且也反映了系统在能量转移中的无序程度的增加。
5. 熵变在化学反应中的应用熵变在化学反应中有着重要的应用。
在化学反应中，熵变可以通过计算物质的物态变化（如固态到气态）、反应物个数的变化以及化学键的断裂与形成来确定。
根据熵变的正负值和大小，可以判断化学反应过程的趋势和可逆性。
6. 熵变在工程中的应用在工程中，熵变被广泛应用于系统的热力学分析中，用于评估系统的效率和可行性。
例如，熵变可以用于评估热力学循环中能量损失的程度，从而指导优化设计和运行。
7. 熵变和信息理论熵变在信息理论中也有重要的应用。
信息熵是描述信息信源不确定性的量度，与热力学中的熵有着相似的形式。
通过熵变的概念，可以将信息和能量的转换进行统一的描述，揭示了信息科学与热力学之间的内在联系。
热力学的熵概念
热力学的熵概念热力学是研究物质和能量转化的科学，而熵（entropy）则是热力学中一个重要的概念。
熵可以用来描述系统的混乱程度或者无序程度，是热力学中衡量系统的状态变化的指标。
本文将从熵的定义、关键性质和应用等方面进行论述。
一、熵的定义熵最初是由克劳修斯（Clausius）在19世纪提出的，他将熵定义为对系统无序程度的度量。
熵的符号通常用S表示，单位是焦耳/开尔文（J/K）。
熵根据系统的状态变化进行计算，其变化可以通过以下的热力学公式得到：ΔS = ∫ (dQ/T)其中，ΔS表示熵的变化量，dQ表示系统在过程中吸收或者释放的热量，T表示系统的温度。
二、熵的特性熵具有以下几个关键性质：1. 熵是一个状态函数：熵只取决于系统的初始状态和最终状态，与系统的具体过程无关。
这意味着熵是一个在热力学中非常有用的性质。
2. 熵的增加原理：熵在自然界中总是趋向增加。
这是由于热能在能量转化中会产生熵的增加，而热能是无法完全转化为有用的功的。
3. 熵与无序程度的关系：熵可以看作系统的混乱程度或者无序程度的度量。
当系统趋向于更混乱的状态时，熵的值也会增加。
4. 熵与可逆性的关系：对于可逆过程，系统的熵不变。
这是因为可逆过程中吸收的热量和释放的热量可以完全相互抵消，从而不会改变系统的熵。
三、熵的应用熵在热力学中有着广泛的应用，包括以下几个方面：1. 熵的计算：通过计算熵的变化，可以了解系统在过程中的状态变化。
这对于工程领域中的能量转化和热力学分析非常重要。
2. 熵的热力学定律：基于熵的概念，热力学建立了很多重要的定律，如热力学第二定律和熵增加原理。
这些定律为能量转化和热力学过程提供了基本原理。
3. 熵的应用于信息论：熵在信息论中也有重要的应用。
在信息论中，熵被用来衡量信息的不确定性和无序程度，对于信息编码和传输有着重要的指导意义。
总结：熵是热力学中一个重要的概念，用来描述系统的混乱程度或者无序程度。
熵具有状态函数的特性，并且根据熵的增加原理，在自然界中总是趋向增加。
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信息熵与热力学熵
信息熵与热力学熵
December 2nd, 2011
化学及热力学中所指的熵，是一种测量在动力学方面不能做功的能量总数。
熵亦被用于计算一个系统中的失序现象，用来衡量一个系统混乱程度的度量。
热力学熵
熵是什么呢？宏观上--体系的熵等于可逆过程吸收或耗散的热量除以它的绝对温度，也就是一种测量在动力学方面不能做功的能量总数。
微观上--熵是大量微观粒子的位置和速度的分布概率的函数，是描述系统中大量微观粒子的无序性的宏观参数。
举例来讲果我们能看到橡皮筋的分子结构，我们会发现它的结构在拉紧和放松的状态时是不一样的。
放松的时候它的分子结构像一团乱麻交织在一起。
而在把橡皮筋拉长的时候，那些如同链状的分子就会沿着拉伸的方向比较整齐地排列起来。
于是我们可以看到两种状态：一种是自然，或者自发的状态。
在这种状态下结构呈混乱或无序状。
而另一种是在外界的拉力下规则地排列起来的状态。
这种无序的状态还可以从分子的扩散中观察到。
用一个密封的箱子，中间放一个隔板。
在隔板的左边空间注入烟。
我们把隔板去掉，左边的烟就会自然(自发)地向右边扩散，最后均匀地占满整个箱体。
这种状态称为无序。
在物理学里我们可以用熵的概念来描述某一种状态自发变化的方向。
比如把有规则排列的状态称为低熵而混乱的状态对应于高熵而熵则是无序性的定量量度。
热力学第二定律的结论是：一个孤立系统的熵永不减少。
换句话说，物质世界的状态总是自发地转变成无序；从低熵变到高熵。
比如，当外力去除之后，整齐排列的分子就会自然地向紊乱的状态转变；而箱子左边的烟一定会自发地向右边扩散。
这就是著名的熵增定律，熵增原理表示自然界会越来越无序。
信息熵
那么信息熵是什么呢？
一个 X 值域为x1,...,xn的随机变量的熵值 H 定义为：
其中，E 代表了期望函数，而 I(X) 是 X 的信息量（又称为信息本体）。
I(X) 本身是个随机变量。
如果p 代表了X 的机率质量函数（probability mass function），则熵的公式可以表示为：
信息熵可以认为是系统中所含有的平均信息量大小，也可以认为是描述一个系统需要的最小存储空间长度，即最少用多少个存储空间就可以描述这个系统。
信息熵与热力学中的熵有什么关系呢？
举一个高中课本上的例子，我们存放在抽屉中的火柴，火柴都是整齐排列的，这时熵比较小；散落在地上的火柴是混乱，熵比较大。
同样，放在抽屉中的火柴我们用来描述它的所需要的存储单元就少，我们可以用一句话就可以描述；50根火柴朝右。
但是散落在地上的火柴，却需要这样描述，有50根火柴，其中10根朝向左，10根朝向右，10根朝上，20根朝下……。
可见：信息熵和热力学熵是正相关的，热力学熵越大，系统越混乱，需要用越多的存储单元来描述，信息熵也就越大；热力学熵越小，系统越有序，需要越小的存储单元来描述，信息熵也就越小。
最小编码长度
学数据结构时我们都学过huffman编码，比如有
P(X=A) = 1/2 P(X=B) = 1/4 P(X=C) = 1/8 P(X=D) = 1/8
信息熵为：?1/2log1/2?1/4log1/4?1/8log1/8?1/8log1/8=1.75 huffman编码所要解决的问题是如何编码获得最小的编码长度，可以证明huffman编码就是满足最小信息熵的编码。
最大熵原理
在机器学习中经常用到最大熵原理：我们有以下限制
求maxS=?p1logp1?p2logp2
p1+p2=1
求什么情况下信息熵会最大
任何物质系统除了都受到或多或少的外部约束外，其内部总是具有一定的自由度，这种自由度导致系统内的各元素处于不同的状态。
而状态的多样性，状态的丰富程度（混乱程度、复杂程度）的定量计量标尺就是熵，熵最大就是事物状态的丰富程度自动达到最大值。
换句话说，事物总是在约束下争取（或呈现）最大的自由权，也就是保留全部的不确定性把风险降到最低，不要把鸡蛋放在同一个篮子里说的也就是这个道理。
最大熵原理：也就是承认事物已知的约束条件，对事物未知的约束条件不带有任何假设和偏见。
这样子概率分布最均匀，整个系统能够产生的状态也就越多，整个系统越混乱，描述系统也需要的存储空间越大，熵越大，信息熵也就越大。
在决策树算法中用到了最大熵的原理：决策树是为了解决分类问题，分类的过程其实是熵减少的过程，让原先混杂在一起的类找到相应的类别，因此每次我们应该选择具有最小上的分类面。
比如：如果选择B 作为分类面，那么左右两边0 1 的个数相同这时候熵最大，而选择A或C做分类面则熵比较小。
（在数据挖掘或者机器学习的书中会选择具有最大信息增益的分界面，其实是一个道理）
最终的决策树可以是这个样子：
虽然按照最大信息熵选出的分类面最容易把事物分开，但是决策树的高度会很大，因此在预测阶段我们可以调整树的结构从而达到较快的预测速度。
参考文献
/tutorials/infogain.html
/wiki/%E7%86%B5
/wiki/%E7%86%B5_(%E4%BF%A1%E 6%81%AF%E8%AE%BA)
附：
<信息熵与统计力学中熵关系的简单证明>
在统计力学中，玻尔兹曼发现单一系统中的熵跟构成热力学性质的微观状态数量相关。
S=k(lnΩ)
Ω则为该宏观状态中所包含之微观状态数量。
统计力学熵：
有A B两个粒子它们总共有6种状态，
maxS=k(lnΩ)
x+y=6
Ω=x?y即：S=kln(x?y), 由于我们之关系信息熵与热力学熵的关系，
为了和信息熵比较我们令p1=x/6,p2=y/6
热力学熵S=kln(x?y)=klnx/6?y/6?62=k?(lnp1+lnp2+2ln6)
信息熵：
maxS=?p1logp1?p2logp2
p1+p2=1
函数图象为：
可见，热力学熵与信息熵正相关，且在p1=p2=1/2时取到最大值，此时系统的整体状态最多，描述这个系统需要的存储单元也最长。