函数的奇偶性与对称性
6、函数奇偶性判断、证明和图象对称性
6、 奇 偶 性1．函数的奇偶性(1)定义： ①奇函数：设函数y ＝f (x )的定义域为D ，如果对于D 内的任意一个x ，都有，则这个函数叫做奇函数．②偶函数：设函数y ＝g (x )的定义域为D ，如果对于D 内的任意一个x ，都有，则这个函数叫做偶函数．(2)性质如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以 为对称中心的对称图形，反之，如果一个函数的图象是以为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则它的图象是以为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于 对称，则这个函数是偶函数． (3)判断奇偶性①f (x )＝|x |；②f (x )＝1－x 2＋x 2－1 ③f (x )＝x 2 (x ≥1)；④f (x )＝|x ＋1|－|x －1|.2．用定义判断函数奇偶性的步骤是：(1)求定义域，看定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点不对称，则为非奇非偶函数．(2)定义域关于原点对称时，看f (－x )＝±f (x )(或f (x )±f (－x )＝0或f (－x )f (x )＝±1(用此式时，f (x )≠0对定义域内任意x 都成立))是否成立．如不成立，则为非奇非偶函数．(3)f (－x )＝－f (x )成立时为奇函数．f (－x )＝f (x )成立时为偶函数． 3．若一次函数y ＝kx ＋b 为奇函数，则b ＝ ，若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数则b ＝.反比例函数y ＝k x(k ≠0)是函数．对于函数奇偶性的讨论，学习时应把握下述几点：①函数的奇偶性讨论是在函数的整个定义域上进行的．考察一个函数y ＝f (x )是否具有奇偶性，不仅考察f (x )与f (－x )之间的关系，更应考察函数的定义域是否关于原点对称．③以函数的奇偶性作为划分标准，可将函数分为四类：偶函数，奇函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数．既是奇函数又是偶函数的函数f (x )一定是常数函数f (x )＝0，但f (x )＝0不一定既是奇函数也是偶函数，须特别注意定义域是否关于原点对称这一限制条件．④奇函数y ＝f (x )若在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0.⑤综合函数的单调性与奇偶性，可得以下常用的两个结论：奇函数在区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上有相同的单调性；偶函数在区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上有相反的单调性(ab >0)．⑥有时也用奇偶函数的性质来判断：偶函数的和、差、积、商(定义域符合要求)仍为偶函数．奇函数的和、差为奇函数，两个奇函数的积、商为偶函数．⑦有些判断奇偶性的题目，须先化简f (x )的表达式，观察其特点，然后再进行判断． [例1] 1、判断下列函数的奇偶性(1)f (x )＝x 3＋1x；(2)f (x )＝x 2＋1；(3)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|；(4)f (x )＝2x ＋1；(5)f (x )＝x －1＋1－x ；(6)f (x )＝1|x |－1.2、判断函数f(x)＝|x＋a|－|x－a|(a∈R)的奇偶性．[例2]已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3.试求f(x)在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．2、已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.[例3]1、已知b＞a＞0，偶函数y＝f(x)在区间[－b，－a]上是增函数，问函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数还是减函数？2、(1)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，在[2,6]上是减函数，比较f(－5)与f(3)的大小结果为______．(2)如果奇函数f(x)在区间[1,6]上是增函数，且最大值为10，最小值为4，那么f(x)在[－6，－1]上是增函数还是减函数？求f(x)在[－6，－1]上的最大值和最小值．[例4]1、已知偶函数f(x)(图(1))和奇函数g(x)(图(2))在y轴右边的一部分图象，试根据偶函数和奇函数的性质，分别作出它们在y轴左边的图象．2、(1)如图①是奇函数y＝f(x)的部分图象，则f(－4)·f(－2)＝________.(2)如图②是偶函数y＝f(x)的部分图象，比较f(1)与f(3)的大小的结果为________．[例5] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x －1)x ＋1x －1； (2)f (x )＝1－x 2|x ＋2|－2课堂练习一、选择题1．下列函数不具备奇偶性的是 ( )A ．y ＝－xB ．y ＝－1x C ．y ＝x －1x ＋1D ．y ＝x 2＋22．下列命题中真命题的个数为( )(1)对f (x )定义域内的任意x ，都有f (x )＋f (－x )＝0则f (x )是奇函数(2)对f (x )的定义域内的任意x ，都有f (x )－f (－x )＝0，则f (x )是偶函数(3)对f (x )的定义域内的任意x ，都有f (－x )f (x )＝－1，则f (x )是奇函数(4)对f (x )的定义域内的任意x ，都有f (－x )f (x )＝1，则f (x )是偶函数A ．1B ．2C ．3D ．43．若函数y ＝f (x )为奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数f (x )的图象上的是 ( ) A ．(a ，－f (a )) B ．(－a ，－f (－a )) C ．(－a ，f (a )) D ．(－a ，－f (a ))4．已知y ＝f (x )是奇函数，且方程f (x )＝0有六个实根，则方程f (x )＝0的所有实根之和是 ( )A ．4B ．2C ．1D ．05．已知f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在(－5，－2)上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．部分为增函数，部分为减函数 D ．无法确定增减性 6．偶函数y ＝f (x )在区间[－4，－1]是增函数，下列不等式成立的是( )A ．f (－2)<f (3)B ．f (－π)<f (π)C ．f (1)<f (－3)D ．f (－2)>f (3)二、解答题 7．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 x 是有理数－1 x 是无理数. (2)f (x )＝|2x ＋1|－|2x －1|.(3)f (x )＝2|x |. (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －2) x ≥0－x (x ＋2) x <0课后练习一、选择题 1．下列命题中错误的是( )①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数 ②奇函数的图象一定过原点 ③偶函数的图象与y 轴一定相交 ④图象关于y 轴对称的函数一定为偶函数 A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③2．如果奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则f (x )在(－∞，0)上( )A ．减函数B ．增函数C ．既可能是减函数也可能是增函数D ．不一定具有单调性3．已知f (x )＝x 7＋ax 5＋bx －5，且f (－3)＝5，则f (3)＝( ) A ．－15B ．15C ．10D ．－104．若f (x )在[－5,5]上是奇函数，且f (3)<f (1)，则下列各式中一定成立的是( ) A ．f (－1)<f (－3) B ．f (0)>f (1) C ．f (2)>f (3) D ．f (－3)<f (5)5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x－3，则f (－2)的值等于( ) A ．－1B ．1 C.114D ．－1146．设f (x )在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且f (x )为偶函数，则f (x )在[1,2]上( )A ．为减函数，最大值为3B ．为减函数，最小值为－3C ．为增函数，最大值为－3D ．为增函数，最小值为37．(胶州三中高一模块测试)下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝|x |＋1 D ．y ＝2－|x |8．(09·辽宁文)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23 `D.⎣⎡⎭⎫12，23 9．若函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝( ) A ．1B ．－1C ．0D ．不存在10．奇函数f (x )当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－2x ＋3，则f (1)与f (2)的大小关系为( ) A ．f (1)<f (2) B ．f (1)＝f (2) C ．f (1)>f (2) D ．不能确定二、填空题11．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)为偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的奇偶性为________． 12．偶函数y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，则方程f (x )＝0的所有根之和为________． 三、解答题13．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x (x >0)x 2＋x (x ≤0)； (2)f (x )＝1x 2＋x .14．已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，求f (x )，g (x )的表达式．15．函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25，求函数f (x )的解析式．16．定义在(－1,1)上的奇函数f (x )是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)<0，求实数a 的取值范围．17．f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )的图象是经过点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求f (x )的解析式，并画出其图象．答案1．函数的奇偶性(1)定义： ①奇函数：－x ∈D ，且f (－x )＝－f (x ) ②偶函数：－x ∈D ，且g (－x )＝g (x ) (2)性质： 坐标原点 坐标原点 y 轴 y 轴 (3)[答案] ①偶 ②既是奇函数，又是偶函数 ③非奇非偶 ④奇 2．用定义判断函数奇偶性的步骤是：(1)求定义域，看定义域是否关于原点对称，若定义域关于原点不对称，则为非奇非偶函数．(2)定义域关于原点对称时，看f (－x )＝±f (x )(或f (x )±f (－x )＝0或f (－x )f (x )＝±1(用此式时，f (x )≠0对定义域内任意x 都成立))是否成立．如不成立，则为非奇非偶函数．(3)f (－x )＝－f (x )成立时为奇函数．f (－x )＝f (x )成立时为偶函数． 3． b ＝0， b ＝0 奇.对于函数奇偶性的讨论，学习时应把握下述几点：①函数的奇偶性讨论是在函数的整个定义域上进行的．考察一个函数y ＝f (x )是否具有奇偶性，不仅考察f (x )与f (－x )之间的关系，更应考察函数的定义域是否关于原点对称． ③以函数的奇偶性作为划分标准，可将函数分为四类：偶函数，奇函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数．既是奇函数又是偶函数的函数f (x )一定是常数函数f (x )＝0，但f (x )＝0不一定既是奇函数也是偶函数，须特别注意定义域是否关于原点对称这一限制条件．④奇函数y ＝f (x )若在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0.⑤综合函数的单调性与奇偶性，可得以下常用的两个结论：奇函数在区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上有相同的单调性；偶函数在区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上有相反的单调性(ab >0)．⑥有时也用奇偶函数的性质来判断：偶函数的和、差、积、商(定义域符合要求)仍为偶函数．奇函数的和、差为奇函数，两个奇函数的积、商为偶函数．⑦有些判断奇偶性的题目，须先化简f (x )的表达式，观察其特点，然后再进行判断．[例1] 1、 [分析] 利用函数奇偶性定义来判断． ∴f (x )为奇函数．(2)f (x )定义域为R ，且f (－x )＝(－x )2＋1＝x 2＋1＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)定义域为(－∞，＋∞)，∵f (－x )＝|－x ＋1|＋|－x －1|＝|x －1|＋|x ＋1|＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (4)定义域为(－∞，＋∞)，f (－x )＝－2x ＋1， ∵f (－x )≠－f (x )且f (－x )≠f (x )， ∴f (x )为非奇非偶函数． (5)定义域为{1}，∵定义域不关于原点对称，∴f (x )为非奇非偶函数．2、 [解析] f (x )的定义域为R ，当a ≠0时，f (－x )＝|－x ＋a |－|－x －a |＝|x －a |－|x ＋a |＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，当a ＝0时，有f (x )＝0，∴f (x )既是奇函数又是偶函数.[例2] 1、 [分析] 由函数图象关于原点对称可知y ＝f (x )是奇函数．利用奇函数性质可求得解析式． [解析] ∵函数f (x )的图象关于原点对称． ∴f (x )为奇函数，则f (0)＝0，设x ＜0，则－x ＞0，∵x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3， ∴f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ＋3)＝－x 2－2x －3 于是有：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3 (x ＞0)0 (x ＝0)－x 2－2x －3 (x ＜0)先画出函数在y 轴右边的图象，再根据对称性画出y 轴左边的图象．如下图．由图象可知函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]、[1，＋∞)，单调递减区间是[－1,0)、(0,1]． 2、 [答案] －x ＋1[解析] x >0时，－x <0，∴f (－x )＝－x ＋1，又∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝－x ＋1.[例3] 1、已知b ＞a ＞0，偶函数y ＝f (x )在区间[－b ，－a ]上是增函数，问函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是增函数还是减函数？[分析] 由函数的奇偶性进行转化．[解析] 设a ≤x 1＜x 2≤b ，则－b ≤－x 2＜－x 1≤－a .∵f (x )在[－b ，－a ]上是增函数．∴f (－x 2)＜f (－x 1) 又f (x )是偶函数，∴f (－x 1)＝f (x 1)，f (－x 2)＝f (x 2) 于是 f (x 2)＜f (x 1)，故f (x )在[a ，b ]上是减函数．[点评] 由函数单调性和奇偶性的定义，可以证明在关于原点对称的两个区间上，偶函数的单调性恰是相反的，奇函数的单调性是相同的． 2、[答案] (1)f (－5)<f (3)[解析] (1)∵f (x )是偶函数，∴f (－5)＝f (5)，∵f (x )在[2,6]上是减函数， ∴f (5)<f (3)，∴f (－5)<f (3)．(2)设－6≤x 1<x 2≤－1，则1≤－x 2<－x 1≤6，∵f (x )在[1,6]上是增函数且最大值为10，最小值为4，∴4＝f (1)≤f (－x 2)<f (－x 1)≤f (6)＝10， 又∵f (x )为奇函数，∴4≤－f (x 2)<－f (x 1)≤10， ∴－10≤f (x 1)<f (x 2)≤－4，即f (x )在[－6，－1]上是增函数，且最小值为－10，最大值为－4.[例4] 1、[解析] (1)根据偶函数图象关于y 轴对称的性质，画出函数在y 轴左边的图象，如图(1)． (2)根据奇函数的图象关于原点对称的性质，画出函数在y 轴左边的图象，如图(2)．2、 [答案] (1)2 (2)f (3)>f (1)[解析] (1)∵奇函数的图象关于原点对称，且奇函数f (x )图象过点(2,1)和(4,2)， ∴必过点(－2，－1)和(－4，－2)， ∴f (－4)·f (－2)＝(－2)×(－1)＝2.(2)∵偶函数f (x )满足f (－3)>f (－1)， ∴f (3)>f (1)．[点评](1)可由奇函数的性质，先去掉函数记号¡°f ¡±内的负号，f (－4)·f (－2)＝－f (4)·[－f (2)]＝f (4)·f (2)＝2×1＝2.[辨析] 要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域(看定义域是否关于原点对称)．有时还需要在定义域制约条件下将f (x )进行变形，以利于判定其奇偶性．[例5] [正解] (1)由x ＋1x －1≥0得{x |x ＞1，或x ≤－1}，∵f (x )定义域关于原点不对称，∴f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0|x ＋2|－2≠0得－1≤x ≤1且x ≠0，定义域关于原点对称，又－1≤x ≤1且x ≠0时，f (x )＝1－x 2x ＋2－2＝1－x 2x ，∵f (－x )＝1－(－x )2－x ＝－1－x 2x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数． 课后练习答案 一、选择题1．[答案] C2．[答案] D[解析] 四个命题都正确，故选D.3．[答案] D[解析] ∵－f (a )＝f (－a )，∴点(－a ，－f (a ))在y ＝f (x )的图象上，故选D. 4．[答案] D[解析] 奇函数的图象关于原点对称，方程f (x )＝0的六个根，即f (x )图象与x 轴的六个交点横坐标，它们分布在原点两侧各三个，且分别关于原点对称， ∴和为0.5．[答案] A[解析] ∵f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴m ＝0，∴f (x )＝－x 2＋3，因此f (x )在(－5，－2)上为增函数，故选A.6．[答案] D二、解答题a7． [解析] (1)为偶函数．∵x ∈Q 时，－x ∈Q ， ∴f (－x )＝1＝f (x )．同理，x 为无理数时，－x 也为无理数． ∴f (－x )＝－1＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(2)奇函数．∵f (－x )＝|－2x ＋1|－|－2x －1|aa ＝|2x －1|－|2x ＋1|＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(3)偶函数．∵f (－x )＝2|－x |＝2|x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(4)画出其图象如图，可见f (x )为奇函数．课后练习答案 一、选择题 1． [答案] D[解析] f (x )＝1x 为奇函数，其图象不过原点，故②错；y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1 x ≥1－x －1 x ≤－1为偶函数，其图象与y 轴不相交，故③错． 2．[答案] B 3．[答案] A[解析] 解法1：f (－3)＝(－3)7＋a (－3)5＋(－3)b －5＝－(37＋a ·35＋3b －5)－10＝－f (3)－10＝5，∴f (3)＝－15. 解法2：设g (x )＝x 7＋ax 5＋bx ，则g (x )为奇函数，∵f (－3)＝g (－3)－5＝－g (3)－5＝5，∴g (3)＝－10，∴f (3)＝g (3)－5＝－15.4．[答案] A[解析] ∵f (3)<f (1)，∴－f (1)<－f (3)，∵f (x )是奇函数，∴f (－1)<f (－3)． 5．[答案] A[解析] ∵x >0时，f (x )＝2x－3，∴f (2)＝22－3＝1，又f (x )为奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－1. 6．[答案] D[解析] ∵f (x )在[－2，－1]上为减函数，最大值为3，∴f (－1)＝3，又∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[1,2]上为增函数，且最小值为f (1)＝f (－1)＝3.7．[答案] C[解析] 由偶函数，排除A ；由在(0，＋∞)上为增函数，排除B ，D ，故选C. 8．[答案] A[解析] 由题意得|2x －1|<13⇒－13<2x －1<13⇒23<2x <43⇒13x <23，∴选A.9．[答案] B[解析] 解法1：f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a 为偶函数，∴a ＋1＝0，∴a ＝－1. 解法2：∵f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴对任意x ∈R ，有f (－x )＝f (x )恒成立，∴f (－1)＝f (1)，即0＝2(1＋a )，∴a ＝－1. 10．[答案] C [解析] 由条件知，f (x )在(－∞，0)上为减函数， ∴f (－1)<f (－2)，又f (x )为奇函数，∴f (1)>f (2)．[点评] 也可以先求出f (x )在(0，＋∞)上解析式后求值比较，或利用奇函数图象对称特征画图比较． 二、填空题11． [答案] 奇函数 [解析] 由f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)为偶函数得b ＝0，因此g (x )＝ax 3＋cx ，∴g (－x )＝－g (x )， ∴g (x )是奇函数． 12． [答案] 0[解析] 由于偶函数图象关于y 轴对称，且与x 轴有三个交点，因此一定过原点且另两个互为相反数，故其和为0. 三、解答题13．[解析] (1)f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x (x ≥0)－x 2－x (x <0)，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)f (－x )＝1x 2－x≠f (x )，f (－x )≠－f (x )，∴f (x )既不是奇函数，又不是偶函数．14． [解析] f (－x )＋g (－x )＝x 2－x －2，由f (x )是偶函数，g (x )是奇函数得，f (x )－g (x )＝x 2－x －2 又f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，两式联立得：f (x )＝x 2－2，g (x )＝x .15． [解析] 因为f (x )是奇函数且定义域为(－1,1)，所以f (0)＝0，即b ＝0. 又f ⎝⎛⎭⎫12＝25，所以12a1＋⎝⎛⎭⎫122＝25，所以a ＝1，所以f (x )＝x 1＋x 2. 16． [解析] 由f (1－a )＋f (1－a 2)<0及f (x )为奇函数得，f (1－a )<f (a 2－1)， ∵f (x )在(－1,1)上单调减，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1－1<1－a 2<11－a >a 2－1解得0<a <1. 故a 的取值范围是{a |0<a <1}．17． [解析] 设x ≥0时，f (x )＝a (x －1)2＋2，∵过(3，－6)点，∴a (3－1)2＋2＝－6，∴a ＝－2.即f (x )＝－2(x －1)2＋2.当x <0时，－x >0，f (－x )＝－2(－x －1)2＋2＝－2(x ＋1)2＋2，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝2(x ＋1)2－2，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2(x －1)2＋2 (x ≥0)2(x ＋1)2－2 (x <0)， 其图象如图所示．。
三角函数的奇偶性与对称性
三角函数的奇偶性与对称性三角函数是数学中重要的概念之一，它们在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
在研究三角函数的性质时，我们会发现它们具有奇偶性与对称性这样的特点，这些特点在解题和理解三角函数中起到了重要的作用。
一、正弦函数的奇偶性与对称性在正弦函数中，我们可以观察到以下性质：1. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足$f(-x)=-f(x)$。
2. 对称性：正弦函数是周期函数，其周期为$2\pi$。
具体而言，对于任意实数$x$，有$f(x+2\pi)=f(x)$。
正弦函数以原点为对称中心，关于原点对称。
这意味着，当$x$取正值时，正弦函数图像在相应位置的函数值与在对称位置的函数值相等但符号相反，即$f(x)=-f(-x)$。
同时，当$x$取负值时，正弦函数图像在相应位置的函数值与在对称位置的函数值相等但符号相同，即$f(-x)=f(x)$。
二、余弦函数的奇偶性与对称性在余弦函数中，我们可以观察到以下性质：1. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即满足$f(-x)=f(x)$。
2. 对称性：余弦函数是周期函数，其周期为$2\pi$。
具体而言，对于任意实数$x$，有$f(x+2\pi)=f(x)$。
余弦函数以$y$轴为对称轴，关于$y$轴对称。
这意味着，当$x$取正值时，余弦函数图像在相应位置的函数值与在对称位置的函数值相等，即$f(x)=f(-x)$。
同时，当$x$取负值时，余弦函数图像在相应位置的函数值与在对称位置的函数值相等，即$f(-x)=f(x)$。
三、正切函数的奇偶性与对称性在正切函数中，我们可以观察到以下性质：1. 奇偶性：正切函数是奇函数，即满足$f(-x)=-f(x)$。
2. 对称性：正切函数具有周期性，其周期为$\pi$。
具体而言，对于任意实数$x$，有$f(x+\pi)=f(x)$。
正切函数以原点为对称中心，关于原点对称。
这意味着，当$x$取正值时，正切函数图像在相应位置的函数值与在对称位置的函数值相等但符号相反，即$f(x)=-f(-x)$。
三角函数的奇偶性与对称
三角函数的奇偶性与对称三角函数是数学中的重要概念，它们是研究角度和周期性现象的基础工具。
在数学中，我们通常研究三个主要的三角函数：正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）和正切函数（tangent）。
其中，正弦函数和余弦函数被称为“基本三角函数”，它们的奇偶性与对称性是它们重要的性质之一。
一、正弦函数与余弦函数的奇偶性正弦函数和余弦函数在数学中具有明显的奇偶性质。
正弦函数的奇偶性质可以用下式表示：sin(-x) = -sin(x)从上式可以看出，当自变量x取负值时，正弦函数的值也为负值，即正弦函数为奇函数。
余弦函数的奇偶性质可以用下式表示：cos(-x) = cos(x)类似地，从上式可以看出，余弦函数的奇偶性与正弦函数相同，也是奇函数。
因此，无论是正弦函数还是余弦函数，它们都是奇函数。
二、正弦函数与余弦函数的对称性正弦函数和余弦函数在数学中还具有对称性质。
正弦函数的对称性质可以用下式表示：sin(x + π) = -sin(x)从上式可以看出，当自变量x增加一个周期2π时，正弦函数的值变为负值，即正弦函数关于原点对称。
余弦函数的对称性质可以用下式表示：cos(x + π) = -cos(x)同理，当自变量x增加一个周期2π时，余弦函数的值也变为负值，即余弦函数关于原点对称。
三、正切函数的奇偶性与对称性正切函数在数学中具有不同的性质。
正切函数的奇偶性质可以用下式表示：tan(-x) = -tan(x)从上式可以看出，当自变量x取负值时，正切函数的值也为负值，即正切函数为奇函数。
而正切函数的对称性质可以用下式表示：tan(x + π) = tan(x)与正弦函数和余弦函数不同，当自变量x增加一个周期π时，正切函数的值保持不变，即正切函数具有周期性但不具有对称性。
综上所述，三角函数的奇偶性与对称性是它们重要的特性之一。
正弦函数和余弦函数都是奇函数，并且关于原点具有对称性。
而正切函数是奇函数，但不具有对称性。
函数的奇偶性、对称性与周期性总结-史上最全
函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。
高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。
本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。
需要WORD 电子文档的同学，可以入群领取。
1.奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。
①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-()()()0,1()f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
()()-()0,1()f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
《分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f/函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= "7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2=8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、若.2 , )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
多项式函数的对称性与奇偶性
多项式函数的对称性与奇偶性多项式函数是数学中常见的一类函数，具有广泛的应用。
在研究多项式函数时，我们经常会遇到对称性和奇偶性的问题。
本文将详细介绍多项式函数的对称性和奇偶性，并探讨它们的性质和应用。
一、多项式函数的对称性对称性是指函数在某个特定的条件下具有对称的性质。
在多项式函数中，我们主要关注两种对称性：轴对称和中心对称。
1. 轴对称轴对称是指函数图像相对于某条直线对称。
对于多项式函数来说，轴对称通常是相对于y轴或x轴对称。
以一元多项式函数为例，设函数为f(x)，如果对于任意的x，有f(x) = f(-x)，则函数f(x)是关于y轴对称的。
这意味着函数图像关于y轴对称，即当点(x, y)在图像上时，点(-x, y)也在图像上。
同理，如果对于任意的x，有f(x) = -f(-x)，则函数f(x)是关于x轴对称的。
这意味着函数图像关于x轴对称，即当点(x, y)在图像上时，点(-x, -y)也在图像上。
2. 中心对称中心对称是指函数图像相对于某个点对称。
对于多项式函数来说，中心对称通常是相对于原点对称。
以一元多项式函数为例，设函数为f(x)，如果对于任意的x，有f(x) = f(-x)，则函数f(x)是关于原点对称的。
这意味着函数图像关于原点对称，即当点(x, y)在图像上时，点(-x, -y)也在图像上。
二、多项式函数的奇偶性奇偶性是指函数的性质，与对称性密切相关。
在多项式函数中，我们主要关注两种奇偶性：奇函数和偶函数。
1. 奇函数奇函数是指满足以下条件的函数：对于任意的x，有f(-x) = -f(x)。
换句话说，奇函数在原点对称。
以一元多项式函数为例，如果函数f(x)是奇函数，则对于任意的x，有f(-x) = -f(x)。
这意味着函数图像关于原点对称，即当点(x, y)在图像上时，点(-x, -y)也在图像上。
奇函数的一个重要性质是，如果f(x)是奇函数，则它的任意两个奇次幂项的系数都为零。
例如，如果f(x) = ax^3 + bx^5，则a = 0。
函数奇偶性对称性周期性知识点总结
函数奇偶性对称性周期性知识点总结函数的奇偶性、对称性和周期性是数学中经常研究的重要性质。
它们描述了函数的特征和性质，对于理解函数的行为和解决问题都具有重要意义。
下面将分别对这三个概念进行总结。
一、函数的奇偶性1.奇函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数为奇函数。
即函数在原点关于y轴对称。
奇函数的特点：-奇函数的图像关于原点(0,0)对称。
-当函数的定义域包括0时，即使x等于0，函数值仍然等于0。
常见的奇函数有：- 正弦函数sin(x)。
-奇数次幂的多项式函数，如x^3、x^5等。
2.偶函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数为偶函数。
即函数在原点关于x轴对称。
偶函数的特点：-偶函数的图像关于x轴对称。
-当函数的定义域包括0时，对于任意的x，f(0)=f(-x)=f(x)。
常见的偶函数有：- 余弦函数cos(x)。
-偶数次幂的多项式函数，如x^2、x^4等。
3.奇偶性的判断方法：-对于已知函数，可以通过代数运算证明是否满足奇偶性的定义。
-函数图像的轴对称性可以直接判断奇偶性。
-对于周期函数，可以利用周期性的性质判断奇偶性。
二、函数的对称性1.关于y轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数关于y轴对称。
即函数的图像左右对称。
2.关于x轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于x轴对称。
即函数的图像上下对称。
3.关于原点对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于原点对称。
即函数的图像关于原点对称。
三、函数的周期性1.周期函数：如果存在一个正实数T，对于函数f(x)，对于任意的x，都有f(x+T)=f(x)，那么称该函数为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的特点：-周期函数在一个周期内的函数值是相同的。
专题——函数的奇偶性,周期性,对称性
专题1函数的奇偶性，周期性，对称性知识梳理【题型解读】【知识储备】一．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称二.关于函数对称性的结论扩充1.若函数y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称⇔对定义域内任意x 都有f (a ＋x )＝f (a －x )⇔对定义域内任意x 都有f (x )＝f (2a －x )⇔y ＝f (x ＋a )是偶函数。
2．函数y ＝f (x )的图象关于点(a,0)对称⇔对定义域内任意x 都有f (a －x )＝－f (a ＋x )⇔f (2a －x )＝－f (x )⇔y ＝f (x ＋a )是奇函数。
3．若函数y ＝f (x )对定义域内任意x 都有f (x ＋a )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象的对称轴是x ＝a ＋b2。
4．若函数y ＝f (x )对定义域内任意x 都有f (a ＋x )＋f (b －x )＝c ，则函数f (x )的图象的对称中心为22a b c+（，）。
5．函数y ＝f (|x －a |)的图象关于x ＝a 对称。
三．关于函数周期性的结论扩充1.若满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x ＋2a )＝f ((x ＋a )＋a )＝－f (x ＋a )＝f (x )，所以2a 是函数的一个周期(a ≠0)。
2．若满足f (x ＋a )＝1f (x )，则f (x ＋2a )＝f ((x ＋a )＋a )＝1f (x ＋a )＝f (x )，所以2a 是函数的一个周期(a ≠0)。
3．若函数满足f (x ＋a )＝－1f (x )，同理可得2a 是函数的一个周期(a ≠0)。
函数的奇偶性及对称性(答案)
《必修1》函数专题三、函数的奇偶性与对称性η『知识与方法梳理』☟1、奇偶函数的定义与性质：2、几个初等函数的奇偶性：（1）函数：y=ax+b为奇函数时b=0；为偶函数时a=0.（2）函数：y=ax2+bx+c为奇函数时a=c=0；为偶函数时b=0.（3）函数：y=ax为奇函数的时a∈R；为偶函数时a=0.（4）指数函数：y=a x(a≠1,a>0)与对数函数：y=log a x(a≠1,a>0)属于非奇非偶函数.（5）幂函数：y=xα(α∈Q)为奇函数时α为奇数；为偶函数时α为偶数.3、函数图形的对称性：4.常识知识与方法：（1）复合及合成函数的奇偶性：注：f(x),g(x)都是非零函数，表中“非”即非奇非偶函数. (2)奇函数在原点有定义时一定经过原点.(3)一个定义在R上的函数如果有两个对称轴或对称中心，则该函数一定是周期函数.(4)定义域关于原点对称的常函数是偶函数(5)既是奇函数又是偶函数的函数必是零函数η『题型分类例析』✍（一）（一）函数奇偶性的概念性质问题■题型结构特征：无解析式函数的奇偶性的判断.★判断识真☆1.下列说法正确的是()A．如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数B．如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称C．如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数D．如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为奇函数2.已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是() A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【例题1】[2014全国课标1文5]设函数)(),(xgxf的定义域为R，且)(x f是奇函数，)(x g是偶函数，则下列结论中正确的是（）A.)()(xgxf是偶函数 B.)(|)(|xgxf是奇函数C.|)(|)(xgxf是奇函数 D.|)()(|xgxf是奇函数B.D.（二）函数解析式奇偶性的判断■题型结构特征：有解析式函数的奇偶性的判断【例题2】判断下列函数的奇偶性.(1))y=x4-x3x-1;(2)y=12-x2;(3)f(x)=x(1x+1);奇偶性定义性质偶函数对定义域内任意x都有f(-x)=f(x)关于y轴对称奇函数对定义域内任意x都有f(-x)=-f(x)关于原点对称函数y=f(x)满足对称性对称轴或中心f(x)=f–1(x)轴对称y=xf(x)=f(2a–x)轴对称x=af(a+x)=f(a–x)轴对称x=af(a+x)=f(b–x)轴对称x=a+b 2f(a+x)+f(a-x)=2b中心对称(a,b) f(x)+f(2a-x)=2b中心对称(a,b)f(a+x)+f(b-x)=c中心对称(a+b2,c2)函数f(x)g(x)f[g(x)]f(x)±g(x)f(x)⋅g(x)奇偶性奇奇奇奇偶偶偶偶偶偶奇偶偶非奇偶奇偶非奇非奇非非非非偶偶非非奇非非非非偶非非非非(4)f(x)=log 2(x +x 2+1).【例题3】判断函数222 0,()2 0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩的奇偶性并画出它的图像.※解法辩伪※判断函数f(x)=2223, 0,2, 0,23, 0x x x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-+->⎩的奇偶性.〖错解〗∵当x <0时，f(-x)=-(-x)2+2(-x)–3=-(x 2+2x +3)=-f(x)；∵当x >0时，f(-x)=(-x)2+2(-x)+3=-(-x 2+2x –3)=-f(x).∴函数f(x)是奇函数.【例题4】[2015广东理3]下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A ．xe x y +=B ．xx y 1+=C ．xx y 212+=D ．21x y +=（三）利用对称点求值1.分段函数求值为奇函数，则2.抽象函数求值■题型结构特征：具有奇偶性的抽象函数【例题6】设函数f (x )(x ∈R)为奇函数，f (1)＝12，且f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)＝________.3.合成复合函数求值■题型结构特征：具有奇偶性的合成及复合函数★判断识真☆给出函数f (x )＝|x 3＋1|＋|x 3－1|，则下列坐标表示的点一定在函数y ＝f (x )的图象上的是()A.(a ，－f (a ))B ．(a ，f (－a ))C ．(－a ，－f (a))D ．(－a ，－f (－a ))【例题7】已知函数())ln 31,f x x =+则()1lg 2lg 2f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.-1B ．0C ．1D ．2（四）函数的对称中心和轴1.对称轴的判断■题型结构特征：判断是否具有轴对称性或求其对称轴【例题8】[2017全国新课标1文9]已知函数f(x)=lnx +ln(2-x)，则A ．f(x)在(0,2)单调递增B ．f(x)在(0,2)单调递减C ．y =f(x)的图像关于直线x =1对称D ．y =f(x)的图像关于点（1，0）对称2.对称中心的判断■题型结构特征：判断是否具有中心对称性或求对称中心【例题9】三次函数都存在对称中心，某同学发现把函数f(x)=x 3-3x 2+5x -1的图像平移，使其对称中心变成原点，则新图像对应函数就会变成奇函数.那么函数f(x)图像的对称中心是.（五）函数奇偶性对称性确定的参数问题1.偶函数确定的参数■题型结构特征：已知偶函数求参数【例题10】[2014湖南文15]若()()ax e x f x ++=1ln 3是偶函数，则=a __________.2.奇函数确定的参数■题型结构特征：已知奇函数求参数【例题11】已知函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c(a ，b ，c ∈Z )是奇函数，又f (1)＝2，f (2)＜3，求a ，b ，c 的值．3.非奇偶对称函数确定的参数■题型结构特征：非奇偶函数具有对称性，求参数【例题12】[2015福建文15]若函数()2()x a f x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞单调递增，则实数m 的最小值等于_______．【例题13】若函数f (x )=(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x =－2对称，则f (x )的最大值是______.)（六）奇偶对称性函数的单调问题■题型结构特征：函数的奇偶性对称性与单调性的综合问题1.偶函数的单调性★判断识真☆1．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )＝f (2－x )，若f (x )在区间[1，2]上是减函数，则函数f (x )()A ．在区间[－2，－1]上是增函数，区间[3，4]上是增函数B ．在区间[－2，－1]上是增函数，区间[3，4]上是减函数C ．在区间[－2，－1]上是减函数，区间[3，4]上是增函数D ．在区间[－2，－1]上是减函数，区间[3，4]上是减函数【例题14】[2017天津理6]已知奇函数f(x)在R 上是增函数，g(x)=xf(x)．若a =g(-log 25.1)，b =g(20.8)，c =g(3)，则a ，b ，c 的大小关系为A.a b c << B.c b a <<C.b a c << D.b c a<<2.奇函数的单调性【例题15】已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝x 2＋2x (x ≥0)，若f (3－a 2)＞f (2a －a 2)，则实数a 的取值范围是____。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数的奇偶性与对称性
函数是数学中一种重要的概念，它在描述数量关系和变化规律方面扮演着重要的角色。
在函数的研究中，奇偶性与对称性是两个常见的性质，它们能够提供函数的有用信息和性质，对于问题的分析和解决具有重要意义。
一、奇函数和偶函数
在函数的研究中，我们经常遇到奇函数和偶函数两种特殊类型的函数。
奇函数与偶函数的定义如下：
1. 奇函数：如果对于函数中的每个实数 x，都有 f(-x) = -f(x) 成立，则称该函数为奇函数。
换句话说，奇函数以原点为中心具有对称性，即关于原点对称。
2. 偶函数：如果对于函数中的每个实数 x，都有 f(-x) = f(x) 成立，则称该函数为偶函数。
换句话说，偶函数以 y 轴为中心具有对称性，即关于 y 轴对称。
奇函数和偶函数的性质不仅仅是集中在对称性上，它们还具有其他重要的特点。
1. 奇函数的特点：
- 奇函数的定义域关于原点对称，即若 x 属于定义域，则 -x 属于定义域。
- 奇函数的图像以原点为对称中心。
- 奇函数的零点为原点，即 f(0) = 0。
- 奇函数在定义域内的正负相等，即 f(x) = -f(-x)。
- 两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数。
2. 偶函数的特点：
- 偶函数的定义域关于 y 轴对称，即若 x 属于定义域，则 -x 属于定义域。
- 偶函数的图像以 y 轴为对称中心。
- 偶函数的零点有可能为原点，即 f(0) = 0 或在定义域内的其他点。
- 偶函数在定义域内的正负相等，即 f(x) = f(-x)。
- 两个偶函数的和是偶函数，两个偶函数的积是偶函数。
二、对称性在函数图像中的应用
奇偶函数的对称性在函数图像中能够提供有用的信息。
1. 奇函数在函数图像中的对称性应用：
- 如果已知函数关于原点对称，可以由函数图像的一部分确定整个函数图像，节约绘制图像的时间和精力。
- 如果已知函数在某一点处的函数值，可以通过奇函数的性质求得该点关于原点的对称点处的函数值。
2. 偶函数在函数图像中的对称性应用：
- 如果已知函数关于 y 轴对称，可以由函数图像的一部分确定整个
函数图像，节约绘制图像的时间和精力。
- 如果已知函数在某一点处的函数值，可以通过偶函数的性质求得
该点关于 y 轴的对称点处的函数值。
奇偶函数的对称性为我们理解函数的图像和性质提供了便利，有助
于加深对函数特点的认识和应用。
三、奇偶函数的应用举例
奇偶函数的应用广泛存在于各个领域，以下是一些常见的例子：
1. 余弦函数和正弦函数是最常见的奇偶函数。
余弦函数是偶函数，
正弦函数是奇函数。
它们在物理、工程等领域中广泛应用于描述震动、波动等周期性变化的规律。
2. 对称图形的描述经常用到奇偶函数的概念。
例如，平面上的圆具
有奇函数的对称性，例如以圆心为中心的奇函数对称。
3. 电路中的信号传输和处理涉及到奇偶性的应用。
例如，奇函数和
偶函数是相互独立的，可以通过对称性简化电路分析和设计。
4. 统计学中的概率密度函数和分布函数也常常是奇函数和偶函数，
它们在统计分析和建模中起到重要的作用。
综上所述，函数的奇偶性与对称性是函数研究中重要的性质之一。
奇函数和偶函数在函数图像的对称性以及其他特性上有明显的区别，
能够提供有用的信息和应用价值。
理解和应用函数的奇偶性与对称性有助于深入研究函数的性质和解决实际问题。