2016年上学期八年级数学竞赛试题(湘教版)
2016学年新湘教版八年级上册数学竞赛题(无答案)
八年级上册数学竞赛题（总分100分 时量 90分钟）一、填空题（每小题3分，共30分）1．若0<a<1，则a a a a +⨯+÷-+11)11(2122化简为 2.15+=m ，那么m m 1+的整数部分是_______ _。
3．已知实数a 满足：,2005|2004|a a a =-+-那么a-20042= 。
4、设a 、b 是两个连续的整数，已知是一个无理数，若a ＜＜b ，是，则a ＋b ＝ 。
5、已知，则的算术平方根＝ 。
6、已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰好是1，2，3，那么a 的取值范围是________7、若不等式组121x m x m +⎧⎨>-⎩≤无解，则m 值范围是_______ . 8. 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm ，则这个等腰三角形 底边的长为___________ _。
9. 在锐角∆ABC 中，高AD 和BE 交于H 点，且BH ＝AC ，则∠ABC ＝__________。
10．已知114a b +=，则3227a ab b a b ab-+=+- ． 二、选择题（每小题3分，共30分）11、如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAE=30°，则∠DEC 等于（ ）．A ．7．5°B ．10°C ．15°D ．18°12、若不等式组⎩⎨⎧>≤<k x x ,21有解，则k 的取值范围是 ( )． (A)k ＜2(B)k ≥2 (C)k ＜1 (D)1≤k ＜2 13、在 ，1.414， ，π， ， ， 中，无理数的个数有 ( )A ． 1 个B ． 2个C ． 3个D ． 4个14、如图：若数轴上的点A ，B ，C ，D 表示数－2，1，2，3，则表示的点P 应在线段( ).A ．AB 上 B ．BC 上 C ．CD 上 D ．OB 上15、下列命题中正确的是 ( ).(A)若m ≠n,则|m|≠|n|; (B)若a+b=0,则ab ＞0;(C)若ab ＜0,且a ＜b,则|a|＜|b|; (D)互为例数的两数之积必为正.16、在△ ABC 中，∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边分别是a 、b 、c ，则下列说法中错误的是（ ）A ．如果∠ C ﹣∠ B=∠ A ，那么△ ABC 是直角三角形，∠ C=90°B ．如果a ：b ：c=3：4：5，则∠ B=60°，∠ A=30°C ．如果∠ A ：∠ B ：∠ C=5：2：3，那么△ABC 是直角三角形D ．如果（c+a ）（c ﹣a ）=b 2，那么△ABC 是直角三角形17、如图，△ABC 中边AB 的垂直平分线分别交BC ，AB 于点D ，E ，AE=3cm ，△ADC 的周长为9cm ，则△ABC 的周长是（ ）A ．10cmB ．12cmC ．15cmD ．17cm18、甲、乙两人承包一项任务，合作5天能完成，若单独做，甲比乙少用4天，设甲单独做需x 天，则可列方程为 ( )A ．(4)5x x +=B ．(4)5x x +-=C ．11145x x +=+D ．11145x x +=- 19、计算（x +1x -）（x -1x -）的值是 （ ）．A ．2B ．3C ．4D ．120、等腰三角形两边长分别是5和7，则该三角形周长为 ( )A ．17B ．19 C17或19 D ．无法确定三、解答题（共40分）21、已知a a 269-+与||b -1互为相反数，求代数式()42222222222a b a b ab a b a ab b a b abb a -++-÷+-++的值。
八年级(上)数学竞赛练习题-精选题(3)(含答案)-
B (R)A(Q)ED PCGEF DC BA DCBA八年级数学竞赛精选题（3）一、选择题：1、整数x 、y 满足等式x 2 + y 2 + 7 = 4x + 4y ，则x + y 的值是 ( ) (A) 1或 – 1 (B) 5 (C) 3 (D) 5或32、如图1,正五边形ABCDE 内有一个正三角形PQR ，QR 与AB 重合，将△PQR 在五边形内沿着它的边AB 、BC 、CD 、DE 、EA 、AB 、…连续地翻转n 次，使点P 、Q 、R 同时回到原来的起始位置，那么 n 的最小值为 ( ) (A) 5 (B) 9 (C) 10 (D) 15(1) (2) (3)3、如图2，正方形ABCD 的面积为64，△BCE 是等边三角形，F 是CE 的中点，AE 、BF 交于点G ，连结CG ，则CG 等于 ( )(A) 4 2 (B) 6 (C) 3 2 (D) 4 4、化简9x 2 – 6x + 1 – (3x – 5 )2，结果是( )．(A)6x – 6 (B) – 6x + 6 (C) – 4 (D) 45、使得关于x 的一元二次方程2x(kx –4)–x 2+6=0无实数根的最小整数k 为( )． (A) – 1 (B) 2 (C)3 (D)4个6、在正方形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别任意取点E 、F 、G 、H ．这样得到的四边形EFGH 中，是正方形的有（ ）．（A)1个 （B)2个 (C)4个 （D)无穷多个7、如图3，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 互相垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，则AD 的长为( ）． （A)3 2 (B) 4 (C)2 3 (D)4 28、已知x ，y ，z 为实数，若x 2 + y 2 = 1，y 2 + z 2 = 2，z 2 + x 2 = 2，则xy + yz + zx 的最小值为( )． (A) 52 (B) 12 + 3 (C) – 12 (D) 12– 39、在三角形ABC 中，∠BAC=90°，AC= 3 ，AB=4，D 为边BC 上一点，∠CAD=30°，则AD 的长为( )．βγθαE DCBA(A) 65 (B) 75 (C) 85 (D) 9510、设1x ，2x 是方程042=-+x x 的两个实数根，则1052231+-x x =（ ）． (A)－29 (B)－19 (C)－15 (D)－9 二、填空题：1、一个直角三角形三边的长a 、b 、c 都是整数，且满足a<b<c,a+c=49．则这个直角三角形的面积为 .2、如图，△ABC 、中，AB = AC ，点D 、E 分别在BC 和AC 上，且AD = AE ．设∠DAB = α，∠B = β，∠CDE = γ，∠DAC = θ．(1) 写一个含有上面四个角度的等式： ； (等式中若有同类项应予合并，使形式简明)(2)写一个仅含有上述两个角度的等式： . 3、若 a 4 + b 4 = a 2 – 2a 2b 2 + b 2 + 6，则a 2 + b 2 = ． 4、如图，在四边形ABCD 中，AB=AC=AD ，若∠BAC=25°， ∠CAD = 75°，则∠BDC = ，∠DBC = ． 5、若实数x ，y 满足70,3392;xy x y xyxy 则x 2y + xy 2= ．6、正六边形ABCDEF 的边长为2 3 cm ，点P 为六边形内任一点．则点P 到各边距离之和 为 cm ．7、某人5次上班所用时间(单位：分钟)分别为a ，b ，8，9，10．已知这组数据的平均数为9，方差为2，则| a –b | 的值为 ．8、若整数m 使方程x 2-mx+m+2006 = 0 的根为非零整数，则这样的整数m 的个数为 ． 9、设x 、y 均为实数，代数式4284522++-+x xy y x 的最小值为 ．10、设关于x 的一元二次方程04122=-++k kx x 有两个实数根，则k 的取值范围为 ． 三、解答题：1、在平面直角坐标系中，求同时满足下列两个条件的点的坐标：①直线y= -2x+3必经过这样的点；②只要m 取不等于零的任何值，抛物线y=m 2x +(m-32)x - (2m -83)都不经过这样的点.2、河岸 l 同侧的两个居民小区A 、B 到河岸的距离分别为 a 米、b 米 (即图(1)中所示AA ′ = a 米，BB ′ = b 米)，A ′B ′=c 米. 现欲在河岸边建一个长度为 s 米的绿化带CD （宽度不计），使C 到小区A 的距离与D 到小区B 的距离之和最小.(1) 在图(2)中画出绿化带的位置，并写出画图过程； (2) 求AC + BD 的最小值．(1)(2)3、如图，直线OB 是一次函数x y 2 的图象，点A 的坐标为（0，2），在直线OB 上找点C ，使得△AOC 为等腰三角形，求点C 的坐标．lsB 'A 'baDCBA4、有两只同样的杯子，甲杯盛满了水，乙杯是空杯．第一次操作是将甲杯中水的一半倒入乙杯，第二次操作是将乙杯中水的一半倒入甲杯，如此反复上述过程．操作三次后两杯中的水量记录如下表（满杯水量记为1)：操作序号n 0 1 2 3 4 5 6 7 8甲杯水量a n 1 123438乙杯水量b n0 121458(1) 补填表中的各空格；(2) 对于n >1的情况，比较a n与b n的大小；(3) 对于n >1的情况，求a n与a n – 1的关系(用a n – 1表示a n )．HC'D 0P'PD'C 0A BsbalA‘B‘参考答案一、选择题： DDADB DADCB 二、填空题：1、210；2、2（α＋β－γ）＋θ＝1800；α=2γ； 3、3； 4、12.50，37.50； 5、6； 6、18； 7、4； 8、5； 9、3； 10、k ≥212-或k ≤212+-； 三、解答题：1、设点（00,y x ）满足上述条件，则3200+-=x y ，对任意实数m 都有)832()32(0200---+≠m x m mx y 消去y 0整理得 82134)2)(1(000+-≠+-x m x x 从而可知当10=x 或-2或3263时才适合题意，∴适合题意的点为)1615,3263(),7,2(),1,1(-- 三个.2、解：如图（3），作线段AP ∥l ，使AP ＝s ，且点P 在点A 右侧．取点P 关于l 的对称点P '，连BP '交l于点D ，在l 上点D 左侧截取DC ＝s ，则CD 即为所求绿化带的位置． 如图，设绿化带建于另一位置C 'D '．连BD '、PD '、AC '、P 'D '．则由对称性知，P 'D ＝PD ，P 'D '＝PD '．由AP ＝∥CD 及AP ＝∥C 'D '，知AC ＝PD ，AC '＝PD '．但P 'D '＋D 'B ≥P 'B ＝P 'D ＋BD ，即PD '＋D 'B ≥PD ＋DB ．就是AC ＋BD ≤AC '＋BD '．(当且仅当D '在线段P 'B 与l 的交点时等号成立).所以，这样画出的AC ＋BD 最小．3、解：符合条件的C 点有四点，其坐标分别为：），）、（，）、，）、，121554552(554552(51658(--； 4、解：（1）甲：1611，3211，6443，12843，256171；乙：165，3221，6421，12885，25685； （2）当n 为偶数时，a n ＞b n ；当n 为奇数时，a n ＜b n ； （3）当n 为奇数时，a n =12n a -；当n 为偶数时，a n =1-b n =1-21-n b =1-211--n a =211-+n a ；。
八年级上学期数学竞赛试题(含答案)
八年级上学期数学竞赛试题（含答案）题号 一 二 三 四 五 得分 得分一、选择题（每题3分，共42分）将唯一正确答案的代号字母填在下面的表格内： 题号 1 2 345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称的图形有2．已知三角形两边长分别为3和5，则第三边a 的取值范围是 A ．53<<a B ．83<<a C ．52<<a D ．82<<a 3．下列运算错误的是 A ．333532a a a -=B ．633a a a ÷=C ．325()()()a b b a a b --=-D ．236m n m n +⨯=4. 一个正多边形的外角与它相邻的内角之比为1：4，那么这个多边形的边数为 A ．8 B ．9 C ．10 D ．125. 计算45(210)(410)-⨯⨯⨯的正确结果是A. 20210-⨯B. 9210⨯C. 9810⨯D. 9810-⨯ 6．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为A B C DA ．ay ax y x a +=+)(B ．4)4(442+-=+-x x x xC ．)12(55102-=-x x x xD ．x x x x x 3)4)(4(3162++-=+-7. 若321()44m n x y x y x ÷=，则,m n 的值分别是A.6,1m n ==B.5,1m n ==C.5,0m n ==D.6,0m n ==8.下列分式运算中正确的是 A. a acb bc= B.x y y x x y x y --=+- C.321x y x xy x +=+ D. 0.33100.20.525a b a ba b a b++=++9．如图，∠1＝∠2，要证明△ABC≌△ADE，还需补充的条件是A. AB ＝AD ，AC ＝AEB. AB ＝AD ，BC ＝DEC. AC ＝AE ，BC ＝DED. 以上都不对10．在平面直角坐标系中，已知点(,3)A m 与点(4,)B n 关于y 轴对称，那么2015()m n + 的值为A ．1-B ．1C ．20157-D ．2015711.如果214x x c ++是一个完全平方式，那么常数c 的值可以是 A ．49 B ．169 C ．49±D ．169±12.对于任何整数a ，多项式2(35)4a +-都能第9题图A.被9整除B.被a 整除C.被1a +整除D.被1a -整除13.如图，在直角ABC △中，90C =∠，30B =∠，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，若3AC =，1CE =，则△DBE 的周长为 A ．13+ B ．23+C ．231+D ．33+14. 如图为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如()n a b +（其中 n 为正整数）展开式的系数，例如：（a ＋b ）＝a ＋b ，（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2，（a ＋b ）3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3，那么6()a b +展开式中前四项系数分别为A ．1,5,6,8B ．1,5,6,10C ．1,6,15,18D ．1,6,15,20二、填空题：（每题3分，共15分）答案直接填在题中横线上. 15. 计算：()2323x x ⋅-= .16. 分解因式：(1)(3)4x x -++=___________． 17．若分式2244x x x --+的值为0，则x 的值为 ．18. 如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝60°，将第18题图第13题图E DCBA△ABC沿射线BC 的方向平移2个单位后，得到△'''A B C ，连 接'A C ，则△''A B C 的周长为________.19. 新定义一种运算：22@()()a b a b a b =+--，下面给出关于这种运算的几个结论：①1@(2)8-=-；②@@a b b a =；③若@0a b =，则a 一定为0；④若0a b +=，那么2(@)(@)8a a b b a +=.其中正确结论的序号是 ． 三、开动脑筋，你一定能做对！（本大题共3小题，共19分）20. （本题共6分）如图，在△ABC 和△BDE 中，点C 在边BD 上，边AC 交边BE 于点F ，若AC ＝BD ， AB ＝ED ，BC ＝BE ，求证：∠ACB =12∠AFB ．21.（本题共7分）先化简再求值：已知y x A +=2，y x B -=2，求代数式22()(2)A B x y --的值，其中1x =-，2y =.F E DCBA第20题图22．（本题共6分）如图所示，ABC △中，110BAC ∠=︒，点D,E,F 分别在线段AB 、BC 、AC 上，且BD ＝BE ，CE ＝CF ，求DEF ∠的度数.四、认真思考，你一定能成功！（本大题共2小题，共21分）23．(12分)如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线． 实验与探究：（1）由图观察易知A （0，4）关于直线l 的对称点A '的坐标为（4，0），请在图中分别 标明B(5,2) 、C(-2,3) 关于直线l 的对称第22题图FEDCBA点B'、C'的位置，并写出他们的坐标:B'、C'；归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点(,)P a b关于第一、三象限的角平分线l的对称点P'的坐标为（不必证明）；运用与拓广：（3）已知两点D(1，-2)、E(-1，-3)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小．（要有必要的画图说明，并保留作图痕迹）24.（本题共9分）设kxy=，是否存在实数k，使得代数式5x？若能，请求出所有满足条件的k的值；----能化简为2()(2)3(2)x y x y x x y若不能，请说明理由．五、相信自己，加油呀！（本大题共2小题，共23分）25. （11分）已知：△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点.（1）如图1，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．（2）如图2，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由．26.（本题12分）阅读材料： 分解因式：223x x +-解：原式＝22113x x ++-- ＝2(21)4x x ++-＝2(1)4x +- ＝(12)(12)x x +++-＝(3)(1)x x +-此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项成为完全平方式，我们把这种分解因式的方法叫配方法.请仔细体会配方法的特点，然后尝试用配方法解决下列问题： （1）分解因式： 2243m mn n -+；（2）无论m 取何值，代数式232015m m -+总有一个最小值，请你尝试用配FE DCBA方法求出它的最小值.八年级数学试题参考答案及评分建议15. 518x 16. 2(1)x + 17． 2x =- 18. 18 19.①②④三、解答题（共63分）20. （本题共6分）证明：∵AC ＝BD ， AB ＝ED ，BC ＝BE ， ∴△ABC ≌△DEB ，……………………………………………2分 ∴∠ACB=∠EBD,…………………………………………………3分 ∵∠AFB 是△BFC 的外角，∴∠AFB=∠ACB+∠EBD ， ∴∠AFB=2∠ACB ，即∠ACB =12∠AFB.…………………………………………………6分 21.（本题共7分）解：原式＝8(2)xy x y -＝22816x y xy -…………………………… 5 分当1,2x y =-=时，原式＝16＋64＝80. ……………………………… 7 分 22．（本题共6分）解：不妨设∠B＝x ，∠C ＝y ，则在△BDE 中，∵BD ＝BE ，∴∠B ED ＝12（180°－x ），同理在在△CEF中，∵CE ＝CF ，∴∠CEF ＝12（180°－y ），………………2分 因为∠B ED ＋∠DEF ＋∠CEF ＝180°，FEDCBA∴∠DEF ＝180°－（∠B ED ＋∠CEF ）＝180°－11(180)(180)22x y ⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦＝1()2x y +……………………………4分 又∵110BAC ∠=︒，∴18011070x y +=︒-︒=︒，故∠DEF ＝170352⨯︒=︒.………6分 23.（本题共9分）解：能．……………………………………………………………1分假设存在实数k ，因为()(2)3(2)x y x y x x y ----=224x y -+，………………3分将kx y =代入，原式＝224()x kx -+=22(4)k x -，………………………………5分∵22(4)k x -＝25x ，∴245k -=，………………………………………………7分29k =，得3k =±．……………………………………………………………………9分24．(12分) 解:(1)由图可知，'(2,5)B ，'(3,2)C -；…………………………4分（2）由（1）可知，关于直线l 对称的点'(,)P b a ；……………………………………7分（3）作出点E 关于直线l 对称点F ，连接FD ，则QF ＝QE ，故EQ ＋QD ＝FQ ＋QD ＝FD.……………………………………………………12分25. （11分）证明：（1）连结AD ， ∵AB AC =，∠BAC ＝90°，D 为BC 的中点，∴AD ⊥ BC ，BD ＝AD ，∴∠B ＝∠DAC ＝45°又BE ＝AF ，∴△BDE ≌△ADF （SAS ）∴ED ＝FD ，∠BDE ＝∠ADF∴∠EDF ＝∠EDA ＋∠ADF ＝∠EDA ＋∠BDE ＝∠BDA ＝90°∴△DEF 为等腰直角三角形 …………………………… 5分（2）若E ，F 分别是AB ，CA 延长线上的点，如图所示．连结AD ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， D 为BC 的中点，∴AD ＝BD ，AD ⊥BC ∴∠DAC ＝∠ABD ＝45°，∴∠DAF ＝∠DBE ＝135°，又AF ＝BE ，∴△DAF ≌△DBE （SAS ），∴FD ＝ED ，∠FDA ＝∠EDB ， ∴∠EDF ＝∠EDB ＋∠FDB ＝∠FDA ＋∠FDB ＝∠ADB ＝90°，∴△DEF 仍为等腰直角三角形.…………………………………………………11分26.（本题12分）解：（1）222224344m mn n m mn n n -+=-+- …………1分22(2)m n n =-- ………………………………3分 (3)()m n m n =--；………………………………6分（2）232015m m -+222333()()201522m m =-+-+…………………………7分 2233()()201522m =--+233()201224m =-+，………………………………8分 ∵23()02m -≥，∴2333()20122012244m -+≥，…………………………11分 即代数式232015m m -+的最小值为320124.…………………………………12分（备注：在解答题中，考生若用其它解法，应参照本评分标准给分）。
2016年湖南省中学数学教师解题比赛初中组初赛试卷及答案
2016年数学教师解题比赛初中组初赛试卷一、选择题（下列各题四个选项中只有一个正确答案，请将正确答案的选项填在括号内.每小题5分，共40分.）1.已知一元二次方程0252=+-x x 的两根为α、β，则22βα+的值为（C ） A ．17 B ．19 C ．21 D ．23【分析】本题考查韦达定理与代数式的恒等变换（或方程根的定义） 方法一：由韦达定理知：5=+βα，2=⋅βα；∴ 212252)(2222=⨯-=-+=+αββαβα.方法二：∵α、β是一元二次方程0252=+-x x 的两根，∴0252=+-αα，0252=+-ββ，则252-=αα，252-=ββ. ∴214554)(522=-⨯=-+=+βαβα. 2.设0<<n m ，mn n m 422=+，则nm nm -+的值为（A ） A ．3 B ．6 C ．2 D ．3【分析】本题考查代数式的恒等变换与整体代入方法一：由条件知0<+n m ，0<-n m ，则0>-+nm nm . ∴ 3242422)(22222=-+=+-++=-+mn mn mnmn nmn m n mn m n m n m ，则3±=-+n m n m . ∵0>-+n m n m ， ∴3=-+nm nm . 方法二：∵mn n m 422=+， ∴ mn n m 6)(2=+，∵0<<n m ∴ mn n m 6-=+.同理mn n m 2-=-，则3=-+nm nm . 3.如图，在ABC ∆中，点D 、E 在边BC 上，且ED BE AE AC ===，︒=∠24DAC ，则B ∠的读书为（A ）A ．︒22B ．︒24C ．︒33 【分析】本题考查基本图形的性质与角度的有关计算方法一：∵ED BE AE ==，∴ABD ∆是直角三角形. ∵︒=∠24DAC ， ∴ ︒=︒+︒=∠1142490BAD . ∵BE AE =， ∴ BAE B ∠=∠，B AEC ∠=∠2. ∵AE AC =， ∴ B AEC C ∠=∠=∠2. ∴ ︒=÷︒-︒=∠223)114180(B . 方法二：几何问题代数化由ED BE AE AC ===得图中有三个等腰三角形则⎩⎨⎧︒=+︒+=18022242y x x y ，解得⎩⎨⎧︒=︒=6822y x .∴ ︒=∠22B .4.已知2111=++z y x ，3111=++x z y ，4111=++y x z ，求z y x 432++的值为（B ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【分析】本题考查解分式方程组（轮换）与分式的求值，渗透整体代入思想方法 方法一：把三个分式方程去分母整理为整式方程：∵2111=++z y x ，∴ xz xy z y x +=++222（1）； ∵3111=++x z y ，∴ yz xy z y x +=++333（2）； ∵4111=++y x z ，∴ yz xz z y x +=++444（3）； )3()2()1(++得)(29z y x xz yx xy ++=++（4）； )1()4(-得)(25z y x yz ++=（5）；)2()4(-得)(23z y x xz ++=（6）；)3()4(-得)(21z y x xy ++=（7）； ）（）（65得35=x y ；）（）（67得31=z y ； 于是可设k x 3=，k y 5=，k z 15=； 于是22451530106k k k k k +=++，整理得023302=-k k ；解得30231=k ，02=k （舍）.∴ 23023152315231545332432=⨯==++=++kk k k z y x . 方法二：令m z y x =++ ∵2111=++z y x ，∴ xz xy z y x +=++222； 则m xm z y x z y x 2)(21-=+++=.∵3111=++x z y ，∴ yz xy z y x +=++333； 则m ym z y x z x y 3)(31-=+++=.∵4111=++y x z ，∴ yz xz z y x +=++444； 则m zm z y x y x z 4)(41-=+++=.∴ 23)(3443322432=-=++-=-⨯+-⨯+-⨯==++mmm m z y x m m z m m y m m x m z y x . 5.甲乙丙丁4人玩传球游戏，持球者将球等可能的传给其他3人，若球首先从甲传出，经过3次传球，则球恰好回到甲手中的概率为（C ） A ．91 B ．41 C ．92 D ．31【分析】本题考查画树状图求等可能随机事件的概率方法一：由树状图可知，3次传球共有27种等可能的结果，其中球恰好回到甲手中有6终结果，则所求概率为92276=.方法二：第一次传球后球在甲手中的概率为0，第二次传球后球在甲手中的概率为31333=⨯，则球不在甲手中的概率为32311=-，第三次传球后球在甲手中的概率为929332=⨯.6.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交点的横坐标分别为1-和4，与y 的正半轴没有交点，则a 、b 、c 之间的关系正确的是（D ）A ．ac b 42= B ．0)5=-c b a （ C ．0=++c b a D ．c b a >> 【分析】本题考查数形结合的数学思想方法一：由题意可知该二次函数的图象的开口向上，则0>a ，然后写出交点式为)4)(1(-+=x x a y ，将之化为一般式a ax ax y 432--=，则a b 3-=，a c 4-= ∵0>a ， ∴ c b a >>.方法二：可用排除法∵二次函数c bx ax y ++=2图象与x 轴交点有两个交点，∴ 042>-ac b 则选项A 错； ∵二次函数的对称轴在y 轴的右侧，∴a 、b 异号；又二次函数的图象与y 的正半轴没有交点，则0>a ，0<c ，故0<b ，则选项B 错； 画出二次函数的图象可知当1=x 时，0<++=c b a y ，则选项C 错，所以选D .7.如图，将矩形纸ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH ，若cm EH 3=，cm EF 4=，则AD 的长为（B ）A ．cm 5.4B ．cm 5C ．cm 6D ．cm 7 【分析】本题考查轴对称（翻折）方法一：由条件可知，四边形EFGH 是矩形， 易证EFJ ∆≌GHK ∆，则HD HK FJ ==. 在EFH Rt ∆中，由勾股定理得5=HF . 5==+=+=HF FJ HJ HD AH AD .方法二：由条件可知，四边形EFGH 是矩形， 在EFH Rt ∆中，由勾股定理得5=HF . 易证AEH ∆∽EFH ∆，DGH ∆∽GFH ∆.则FH EH EH AH =，FH GHGH DH =， ∴ 533=AH ，544=DH ，解得59=AH ，516=DH . 则551659=+=+=DH AH AD . 8.若关于x 的方程m x x +=-24有解，则实数m 的取值范围是（D ）A ．2222≤≤-mB ．222≤≤-mC ．22≤≤-mD ．222≤≤-m【分析】本题考查数形结合的数学思想，也可用排除法或换元法求解 方法一：排除法令22-=m ，则原方程变为2242-=-x x ，整理得02222=+-x x 解得221==x x ，经检验221==x x 不是方程的解，从而排除选项A 、B令22=m ，则原方程变为2242+=-x x ，整理得02222=++x x 解得2-21==x x ，经检验221-==x x 是方程的解，从而排除选项C ，则选D 方法二：换元法令αcos 2=x （)0πα≤≤D不妨取点1(P ，)1-，易算出2==OB OA ，则2=∆AOB S .11.方程413=-++x x 的解集为__________________.【分析】本题考查解绝对值的方程，渗透函数思想，可用零点分段讨论或绝对值的几何意义求解方法一：零点分段讨论413=-++x x ⎩⎨⎧=+----<⇔4133x x x 或⎩⎨⎧=+-+≤≤-41313x x x 或⎩⎨⎧=-++>4131x x x 解得13≤≤-x .方法 二：绝对值的几何意义3+x 表示在数轴上x 到3-的距离，1-x 表示在数轴上x 到1的距离， ∵4)3(1=--，∴13≤≤-x .方法三：数形结合令13-++=x x y ，则⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤---=1(223(4(22x x x x x y画出y 与x 的函数图象(如图)由图象可知当4=y 时，13≤≤-x .12.如图，在等边ABC ∆中，点D 在BC 上，3:2:=DC BD ，把ABC ∆沿直线MN 对折， 使点A 恰好落在D 点，则=ANAM _____________. 【分析】本题考查轴对称的性质，一线三等角模型以及相似三角形的性质，是一道好题由3:2:=DC BD ，可设k BD 2=，k DC 3=)0(>k则k BC AC AB 7===由轴对称的性质可知MD MA =，ND NA =则k AB BD MA BM BD MD BM BD 7C BDM =+=++=++=∆ 同理k C CND 8=∆由一线三等角可证BDM ∆∽CND ∆， ∴8787===∆∆k k C C ND MD CND BDM ， 则 87==ND MD AN AM . 13.已知a 、b 、、d 均为正整数，且45b a =，23d c =，19=-a c ，则=-b d ___________.【分析】本题考查换元法、平方差公式以及质数的性质（是一道陈题）由已知可设4m a =，5m b =，2n c =，3n d =，n m 、(均为正整数）.13≤≤-x 1-x87757∵19=-a c ，∴ 1942=-m n ，则19))((22=-+m n m n . ∵19为质数，∴ 192=+m n 且12=-m n ，解得3=m ，10=n .∴ =-b d 75731053=-.三、解答题（请将解答过程写在题后空白处、每小题20分，共80分、）14.已知二次函数m x m mx y ---=)1(222的图象关于y 轴对称，一次函数n x y -=21的图象与2y 的图象只有一个交点.（Ⅰ）证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的值21y y ≤均成立； （Ⅱ）若二次函数c bx ax y ++=23的图象经过点5(-，）0，且在实数范围内对于x 的同一个值，这三个函数所对应的值231y y y ≤≤均成立，求3y 的解析式. （Ⅰ）证明：∵二次函数m x m mx y ---=)1(222的图象关于y 轴对称，∴ 0)1(2=--m ，解得1=m ，则122-=x y .∵一次函数n x y -=21的图象与2y 的图象只有一个交点， ∴ n x x -=-212有两个相等的实数根. 整理得 0122=-+-n x x .由0)1(4)2(2=---=∆n ，解得2=n ，此时221-=x y . 则这两个函数唯一的交点坐标为1(，）0.∵0)1()22()1(2212≥-=---=-x x x y y （恒成立）， ∴ 12y y ≥，即21y y ≤.∴ 在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的值21y y ≤均成立； （Ⅱ）当1=x 时，021==y y ，由231y y y ≤≤对于x 的同一个值均成立，则3y 一定经过点1(，）0. ∵二次函数c bx ax y ++=23的图象经过点5(-，）0， ∴ 可设)5)(1(3+-=x x a y ，即a ax ax y 5423-+=. ∵31y y ≤恒成立，∴ a ax ax x 54222-+≤-恒成立，则025)24(2≥+--+a x a ax （恒成立）. ∴0>a 且0)25(4)24(2≤+---=∆a a a ，解得0)13(2≤-a . ∵0)13(2≥-a ， ∴013=-a ，即31=a . 当23y y ≤恒成立时，同理解得31=a . ∴3y 的解析式为35343123-+=x x y .N15.如图所示，在正方形ABCD 中，点E 、G 分别在边DA 、DC 上（不与端点重合），且DG DE =，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F .（Ⅰ）求GCB GFB ∠+∠；（Ⅱ）若1=AB ，E 为DA 中点，求四边形BCGF 的面积. 方法一：几何法（Ⅰ）由已知易得BCF FDG DEF ∠=∠=∠易证DEF ∆∽CDF ∆，则CFDF CD DE =由DG DE =，CB CD =可得CFDFCB DG =，于是DFG ∆∽CFB ∆， 则CBF DGF ∠=∠，从而得到GCB GFB ∠+∠︒=180.方法二：解析法 建系如图不妨设正方形ABCD 的边长为1，DG DE ==则1(C ，）1，0(E ，)1m -，0(D ，）1，1(B ，m G (，）1.易求CE l 为m mx y -+=1.由DF ⊥CE 可得DF l 为11+-=x m y . 从而可解得点F 坐标为1(22+m m ，)1122++-m m m . 可求)1(2+--=m m k BF ，112+-=m m k FG .则1-=⋅FG BF k k ，可得BF ⊥FG . 从而得到GCB GFB ∠+∠︒=180.（Ⅱ）方法一： 如图作好相关辅助线由已知条件可得55=DF （相似或等积法）， 于是51=MF , 52==FH MD ，54=FN ，21=+=∆∆FCG BCF BCFG S S S 四边形.（Ⅱ）方法二： 连接BG由已知结合（Ⅰ）的结论可得BFG ∆≌BCG ∆， 易求41=∆BCGS ， 212==∆BCG BCFG S S 四边形. （Ⅱ）方法三：解析法由已知条件且结合（Ⅰ）中的解析法知51(F ，）53，易求四边形BCGF 的面积为21. 16.已知三角形的三边长均为整数，周长为cm 200.（Ⅰ）若最大边长比最小边长的2倍多cm 5，求满足条件的三角形的个数；（Ⅱ）是否存在面积为21500cm 的直角三角形？若存在，求出其三边长；若不存在，请说明理由.解：不妨设三角形三边为a 、b 、c （单位：cm ）， 满足c b a ≤≤且a 、b 、c 为整数. （Ⅰ）由已知可得52+=a c ，a a a b 3195)52(200-=+--=由⎩⎨⎧+>-++≤-≤52)3195(523195a a a a a a ，解得29538≤≤a∵a 为整数，∴ 整数=a 38、39、…、47共10个. ∴满足条件的三角形的个数有10个.（Ⅱ）存在，理由如下.由已知条件可得200=++c b a (1),222c b a =+(2),150021=ab (3). 由(1)得22)200()(c b a -=+, 即222400400002c c b ab a +-=++. 把(2)(3)代入得85=c .∴ 115=+b a , 3000=ab , ∵b a ≤,∴ 40=a , 75=b .∴ 直角三角形的三边长分别为cm 40、cm 75、cm 85.17.如图，在平面直角坐标系中，点B 在直线x y 2=上，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，5=OA . 抛物线:l c bx x y ++=261经过O 、A 两点，且A 点关于直线x y 2=的对称点为C ，以BC 为直径作⊙1O . （Ⅰ）求圆心1O 的坐标；（Ⅱ）过原点O 作⊙1O 的切线OP （点P 与点C 不重合），抛物线l 上是否存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与⊙1O 相切？若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由. （Ⅰ）解：连接AC 、OC 、过点C 作CD ⊥x 轴于点D . 令5=x ，则1052=⨯=y .∴ 5(A ，)0，5(B ，)10，5=OA ，10=AB .则21tan =∠ABO .∵A 点关于直线x y 2=的对称点为C ，∴ ABO ABC COM ∠=∠=∠2，5==OA OC .∴ 34tan =∠COM （“12345”解题法）.在COD Rt ∆中，︒=∠90ODC ，34tan ==∠OD CD COM ，可设m CD 4=，m OD 3=，则55==m OC .解得1=m ，于是3=OD ，4=CD . ∴点C 的坐标为3(-，）4. ∵BC 为⊙1O 的直径， M D∴圆心1O 的坐标为1（，）7.（Ⅱ）抛物线l 上存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与⊙1O 相切，理由如下：∵抛物线:l c bx x y ++=261经过O 0（，）0、A 5（，）0两点，∴ 抛物线:l x x x x y 6561)5(612-=-=.∵OP 与OC 都是⊙1O 的切线， ∴ 点P 与点C 关于1OO 对称.∵1O 的坐标为1（，）7，∴ 1OO l 为x y 7=.∴ PC l 为72571+-=x y . 由 ⎪⎩⎪⎨⎧+-==725717x y x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2721y x ，即1OO 与PC 的交点坐标为M 21(，）27. ∵M 21(，）27为PC 的中点， ∴ 4(P ，）3.∴ 3441371-=--=P O k 。
2015-2016年湘教版八年级上期末教学质量检测数学试题含答案
2015---2016学年度第一学期期末八年级数学试卷一、选择题（共12个小题，每小题3分，共36分）1．若分式的值为0，则x的值为（）A. 0B. 1C. －1D.2．化简结果正确的是（）A. B. C. D.3．若代数式有意义，则的取值范围是（）A．B．C．D．4．在实数，，，，3.14中，无理数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个5．下列图形中，不是．．轴对称图形的是（）A． B． C． D．6．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为( )A．4 B．8 C．16 D．647．已知一个三角形的三个内角的比是1∶2∶1，则这三个内角对应的三条边的比是( ) A．1∶1∶ 2 B．1∶1∶2C．1∶2∶1 D．1∶4∶18. 将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是（）A. 45oB. 60oC.75oD.90o9 ．下列运算错误的是（）A. B.C. D.10. 已知：，则的值为（）A． B． 1 C． -1 D． -511. 如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A.6B. 5C. 4D. 3第11题第12题12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A. B. 4 C. D. 5二、填空题（共8个小题，每小题3分，共24分）13．16的平方根是.14．计算：= .15．若实数满足，则代数式的值是.16．若2 016－（x－2 016）2＝x，则x的取值范围是________．17．一个等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长是 .18．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是_________．第18题第19题19．如图，，，则的大小是.20．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：则第次运算的结果（用含字母和的代数式表示）．三、解答题（共10个小题，每小题6分，共60分）21．计算：÷22、化简：23. 已知：，，求代数式的值.24.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；(2)求证：∠DHF＝∠DEF.25. 解关于的方程：.26. 先化简，再求值：，其中.27. 为了进一步落实“节能减排”措施，冬季供暖来临前，某单位决定对9000平方米的“外墙保温”工程进行招标，现有甲、乙两个工程队参与投标，比较这两个工程队的标书发现：乙队每天完成的工程量是甲队的1.5倍，这样乙队单独干比甲队单独干能提前15天完成任务．问甲队每天完成多少平方米？28. 如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积.29. 已知：如图，在中，点是的中点，过点作直线交，的延长线于点，．当时，求证：．30. 如图，在中，，，，点在上，点在上，使得是等腰直角三角形，，求的长. （提示: 可以运用“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”.31、已知：如图，中，点是边上的一点，，交的外角平分线于点．求证：是等边三角形.32.感知：如图①，点E在正方形ABCD的BC边上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G．可知△ADG≌△BAF.（不要求证明）拓展：如图②，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E, F在∠MAN内部的射线AD 上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证：△ABE≌△CAF.应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边B上．CD=2BD.点E, F在线段AD上．∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为_________.2015---2016学年度第一学期期末八年级教学质量检测数学试题答案及评分参考一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D B A D D C D B D C二、填空题题号13 14 15 16 17 18 19 20答案 2 17或16三、解答题21. 解：原式＝÷………………………………………4分＝÷……………………………………………5分＝………………………………………………………… 6分22. 解：∵，，∴……………………………………………………… 3分解得……………………………………………………5分∴……………………………………………6分23. 解：原式=……………………………………………3分=……………………………………………5分. ………………………………………………6分24．证明：∵，∴．即．………………………………………………………………1分∵AC∥EF，∴．………………………………………………………………2分在△ABC和△EDF中，∴△ABC≌△EDF．………………………………………………………5分∴BC=DF．………………………………………………………………6分25. 解：方程两边同乘以，得．……………………………………………2分解这个整式方程，得．…………………………………………… 4分检验：当时，．…………………………………………5分是原方程的解．……………………………………………6分26. 解：=…………………………………………… 2分=…………………………………………… 3分=…………………………………………… 4分=…………………………………………… 5分∵，∴∴原式=…………………………………………… 6分27. 解：设甲队每天完成平方米，则乙队每天完成平方米………………… 1分根据题意列方程，得…………………………………………… 3分解这个方程，得……………………………………………5分经检验，，是所列方程的解．………………………………………6分答：甲队每天完成200平方米．28．解：连结AC．在△ABC中，∵，AB=4，BC=3，∴，…………1分．…………2分在△ACD中，∵AD=12，AC=5，CD=13，∴．…………………………3分∴△ACD是直角三角形．………………………………………………………4分∴．……………………………………5分∴四边形ABCD的面积=．…………………6分29．证明：过点B作BG∥FC，延长FD交BG于点G．∴．…………………………1分∵点D是BC的中点，∴BD=CD．……………………………2分在△BDG和△CDF中，∴△BDG≌△CDF．∴BG=CF．……………………………3分∵BE=CF，∴BE=BG．∴．…………………………………………………………4分∵，∴．∴．…………………………………………………………5分∴AE=AF．…………………………………………………………………6分30. 证明：在线段BA上截取BM，使BM=BD．………………………… 1分∵∠ABC=60°，∴△BDM为等边三角形，∠ABF=120°，∴DM=DB，∠BDM=∠BMD=60°，∠AMD=120°，…………………… 2分又∵BE平分∠ABF，∴∠DBE=120°，∴∠AMD=∠DBE，………………………………… 3分∵∠ADE =∠BDM =60°，∴∠1=∠2 ………………………………………… 4分∴△ADM≌△EDB（ASA）．……………………… 5分∴AD=ED．∴△ADE为等边三角形．………………………… 6分选做题（5分）解：过点E作EF⊥BC于F，∵，∴∠1+∠3=90°，∵∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2，又∵∠DFE =∠ACD =90°，DE =AD，∴△ACD≌△DFE（AAS）．………………………… 2分∴AC=DF=1，∵在中，，，，∴AB=2，DC =FE，在Rt△ADE中，设EF为x，则DC为x，BE为2x，BF为，∴，解得，∴．…………………………………… 5分12M ABC D EF。
2016年秋季新版湘教版八年级数学上学期第1章、分式单元复试卷8
第1章 分式检测题（本检测题满分：100分，时间：90分钟）一、选择题（每小题3分，共24分）1.下列各式中，分式的个数为（ ）3x y -，21a x -，，3a b -，12x y +，12x y +，2123x x =-+. A.5 B.4 C.3 D.22.下列各式正确的是（ ） A.c c a b a b =---- B.c c a b a b=---+ C.c c a b a b =--++ D.c c a b a b -=---- 3.下列分式是最简分式的是（ ） A.11m m -- B.3xy y xy- C.22x y x y -+ D.6132m m - 4.将分式2x x y+中的x 、y 的值同时扩大2倍，则分式的值（ ） A.扩大为原来的2倍 B.缩小到原来的21 C.保持不变 D.无法确定 5．若分式112+-x x 的值为零，那么的值为( ) A.或 B. C. D. 6. 下列计算，正确的是（ ）A ．1221-=÷-B ．xx x 214243=÷-- C.6326)2(x x =--- D.222743x x x =+-- 7.为了实现街巷硬化工程高质量“全覆盖”，我省今年1~4月公路建设累计投资92.7亿元， 该数据用科学记数法可表示为（ ） A.B. C. D.8.运动会上，初二（3）班啦啦队买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根.乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为元，根据题意可列方程为（ ） A.4030201.5x x-= B.4030201.5x x -= C.3040201.5x x -= D. 3040201.5x x -=二、填空题（每小题3分，共24分）9.若分式33x x --的值为零，则x = . 10. 某红外线遥控器发出的红外线波长为0.000 000 94 m ，用科学记数法表示这个数 是 .11.计算：2223362cab b c b a ÷= . 12.分式2x y xy +，23y x ，26x y xy -的最简公分母为 . 13.已知，则222n m m n m n n m m ---++________. 14. 若解分式方程441+=+-x m x x 产生增根，则_______．15.当________时，分式13-x 无意义；当______时，分式392--x x 的值为． 16.某人上山的速度为，按原路下山的速度为，则此人上、下山的平均速度为_________. 三、解答题（共52分）17.（12分）计算与化简：（1）；（2）222x y y x⋅； （3）22211444a a a a a --÷-+-； （4）()()222142y x x y xy x y x +-÷⋅-． 18.（4分）先化简，再求值：222693b ab a ab a +--,其中，. 19.（6分）解下列分式方程：（1）730100+=x x ；（2）21212339x x x -=+--. 20.（4分）当时，求2221122442x x x x x x⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭的值．21.（5分）已知2321302a b a b⎛⎫-+++=⎪⎝⎭，求代数式221b a aaa b a b a b⎛⎫⎛⎫÷-⋅-⎪⎪+--⎝⎭⎝⎭的值．22.（6分）甲、乙两地相距，骑自行车从甲地到乙地，出发3小时20分钟后，骑摩托车也从甲地去乙地．已知的速度是的速度的3倍，结果两人同时到达乙地．求两人的速度．23.（7分）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的倍.根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品.24.（8分）李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有42分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿道具用了1分钟，然后立即骑自行车（匀速）返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍．(1)李明步行的速度(单位：米/分)是多少？(2)李明能否在联欢会开始前赶到学校？第2章三角形检测题参考答案1.B解析:本题考查了三角形的三边关系，设第三边长为，∵,∴，只有选项B正确.2.C解析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知，从而求出的度数，即∵，∴120°40°=80°.故选C.3.D 解析：添加A选项中条件可用判定两个三角形全等；添加B选项中条件可用判定两个三角形全等；添加C选项中条件可用判定两个三角形全等，故选D．4.A解析:在△中，因为，所以.因为，所以.又因为，所以，所以.5.B解析:当等腰三角形的腰长为3时，它的三边长为3，3，6，由于3+3=6，所以这个三角形不存在.当等腰三角形的腰长为6时，它的三边长为6，6，3，满足任意两边之和大于第三边，所以这个三角形存在,它的周长为15.6.C解析：当时，都可以分别利用SAS,AAS,SAS来证明△≌△，从而得到，只有选项C不能.7.D 解析：①根据作图的过程可知，是的平分线．故①正确.②如图，∵在△中，=90°，=30°，∴=60°．又∵是的平分线，∴∠1=∠2==30°，∴.故②正确.③∵，∴，∴点在的中垂线上．故③正确.④如图，在Rt△中，∵∠2=30°，∴∴∴,．∴，∴=1∶3．故④正确．综上所述，正确的结论是①②③④，共有4个．故选D．8.C解析:本题综合考查了等腰三角形的性质、线段的垂直平分线与角的平分线的性质、相似三角形与黄金分割等知识.∵=36°，,∴.∵是的垂直平分线，∴,∴，∴，∴平分,∴选项A与B都正确.由平分，∴.在△中，180°36°72°72°，∴，即.在Rt△中，,则.如图，作,则.又故，∴选项C错误.由已知可证明△∽△,∴，∴.∵,∴,∴点为线段的黄金分割点.∴选项D正确.9.或或或等（答案不唯一）解析：此题答案不唯一. ∵△的高相交于点，∴90°.∵，要使，只需△≌△，当时，利用HL即可证得△≌△；当时，利用AAS即可证得△≌△；同理：当也可证得△≌△；当时，，∴当时，也可证得△≌△．故答案为：或或或等．10.25°解析:∵=90°，,∴45°，∴45°+40°85°.在△中，180°85°30°65°,∴90°65°25°.11.30°解析:本题考查了三角形的内角和.设三角形的三个内角分别是,由题意知100°,则50°,由三角形的内角和定理知180°,∴30°,∴这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°.12.5 解析：根据题意，得，解得①若是腰长，则底边长为2，三角形的三边长分别为1，1，2，∵ 1+1=2，∴不能组成三角形;②若是腰长，则底边长为1，三角形的三边长分别为2，2，1，能组成三角形，周长=2+2+1=5．故填5．13.1.5 解析:如图，延长交于点,由是角平分线，于点，可以得出△≌△，∴2，.在△中，∵∴是△的中位线,∴()=＝×31.5.14.垂直平分解析：∵是△的角平分线，于点于点，∴.在Rt△和Rt△中，∴△≌△（HL），∴.又是△的角平分线，∴垂直平分.15.①②③解析：∵90°，，∴△≌△.∴∴②正确.又∵∴△≌△，∴③正确.又∵∠1，∠2，∴∠1=∠2，∴①正确，∴题中正确的结论应该是①②③.16.39 解析：∵△和△均为等边三角形，∴∵∴∴△≌△，∴17.分析：本题考查了等腰三角形、三角形外角的性质.利用等腰三角形的两底角相等和三角形外角的性质设未知数列方程求解.解：∵∴而设则可得84°,则21°,即21°.18.分析：（1）根据线段垂直平分线的性质作图.（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质，可得又是公共边，从而利用SSS可证得△≌△,进而得到. （1）解：作图如图所示：（2）证明：根据题意作出图形（如图）.∵点M，N在线段AB的垂直平分线上，∴AM＝BM，AN＝BN.又∵MN=MN,∴△AMN≌△BMN（SSS）.∴∠MAN=∠MBN.19.分析：本题考查了三角形的中位线、全等三角形、直角三角形的性质以及三角形的外角和定理.(1)要证明DE=EF,先证△ADE≌△CFE.(2)CD是Rt△ABC斜边上的中线, ∴CD AD,∴∠1=∠A.而∠1+∠3=90°,∠A+∠B=90°,可得∠B=∠3.由CF∥AB 可得∠2=∠A,要证∠B=∠A+∠DGC,只需证明∠3=∠2+∠DGC.证明：(1)∵点D为边AB的中点（如图）,DE∥BC,∴AE=EC.∵CF∥AB,∴∠A=∠2.在△ADE和△CFE中,∴△ADE≌△CFE(ASA),∴DE=EF.(2)在Rt△ACB中,∵∠ACB=90°,点D为边AB的中点,∴CD=AD,∴∠1=∠A.∵DG⊥DC,∴∠1+∠3=90°.又∵∠A+∠B=90°,∴∠B=∠3.∵CF∥AB,∴∠2=∠A.∵∠3=∠2+∠DGC,∴∠B=∠A+∠DGC.点拨：证明两个角相等的常用方法：①等腰三角形的底角相等；②全等(相似)三角形的对应角相等；③两直线平行，同位角（内错角）相等；④角的平分线的性质；⑤同角（或等角）的余角（或补角）相等；⑥对顶角相等；⑦借助第三个角进行等量代换．20.分析：(1)只要通过证明∠CDO=∠COD就可得到△CDO是等腰三角形.利用BC=BD，∠DBC=30°,求出∠BDC=∠BCD=75°,而∠COD=45°+30°=75°，从而得出∠CDO ∠COD.(2)过点D，A分别作出△BDF与△ABC的高，将梯形分成两个直角三角形和一个矩形后，利用解直角三角形和矩形的性质等知识求解.(1)证明：由题图（1）知BC=DE,∴∠BDC=∠BCD.∵∠DEF=30°,∴∠BDC=∠BCD=75°.∵∠ACB=45°,∴∠DOC=30°+45°=75°.∴∠DOC=∠BDC.∴△CDO是等腰三角形.(2)解：如图，过点A作AG⊥BC,垂足为点G,过点D作DH⊥BF,垂足为点H.在Rt△DHF中,∠F=60°,DF=8,∴DH=4,HF=4.在Rt△BDF中,∠F=60°,DF=8,∴BD=8,BF=16.∴BC=BD=8.∵AG⊥BC,∠ABC=45°,∴BG=AG=4,∴AG=DH.∵AG∥DH,∴四边形AGHD为矩形.∴AD=GH=BF-BG-HF=16-4-4=12-4. 21.解：相等.理由：连接.因为所以△≌△，所以.22.证明：在△中，因为，所以.又因为，所以所以.所以.所以．23.证明：（1）连接.因为，所以Rt△≌Rt△，所以（2）因为Rt△≌Rt△，所以，所以点在的平分线上.24.（1）证明：因为垂直于点,所以，所以.又因为，所以.因为, ，所以.又因为点是的中点，所以.因为，所以△≌△，所以.(2)解：.证明如下：在△中，因为,，所以.因为，即,所以,所以.因为为等腰直角三角形斜边上的中线,所以.在△和△中,,,所以△≌△,所以.。
2016初中数学联赛(初二组)初赛及答案
2016年全国初中数学联合竞赛（四川初二初赛）试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题和填空题只设7分和0分两档；解答题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1、A2、B3、D4、C5、A6、D二、填空题（本题满分28分，每小题7分）7、1275 8、1 9、6 10、13三、解答题（本题共三小题，第11题20分，第12、13题各25分，共70分）11、若关于x 的方程01)32()23(=-++++x n x m x 有无数多个解，求n m ,的值．解：原方程整理得：0132)123(=-++++n m x n m ， ………………5分由题意有：⎩⎨⎧=-+=++01320123n m n m ，………………………………………15分 解得⎩⎨⎧=-=11n m . ………………………………………………………20分12、已知实数a 、b 、c ，满足0≠abc 且0))((4)(2=----b a c b c a ，求b c a +的值． 解：因为222)())((2)()]()[(b a b a b c b c b a b c -+--+-=-+- （1）……5分222)())((2)()]()[(b a b a b c b c b a b c -+----=---（2）…………10分（1）-（2）得))((4)]()[()]()[(22b a b c b a b c b a b c --=-----+- 即：))((4)()2(22b a c b a c b c a ---=---+故0)2())((4)(22=-+=----b c a b a c b a c ， …………………20分即02=-+b c a ，故2=+bc a . …………………………………………25分 13、已知如图，在△ABC 中，C B ∠=∠2，且BD AB AC +=，求证：AD 是BAC ∠的平分线.证明1：延长AB 至G ，使BD BG =，则AC BD AB BG AB AG =+=+=， 所以ACG AGC ∠=∠； ………………………………5分又BDG BGD ∠=∠，所以ACB ABC AGD ∠=∠=∠21， 故DCG ACB ACG BGD AGC CGD ∠=∠-∠=∠-∠=∠；所以DC DG =； …………………15分又AD 是公共边，所以△AGD ≌△ACD ， …………………20分 所以CAD GAD ∠=∠，即AD 是BAC ∠的平分线.…………………25分证明2：作ABC ∠的平分线交AC 于E ，过D 作BE 的平行线交AC 于F ，交AB 的延长线于G ，则： 因为C ABC ∠=∠2，DF 平行BE ，所以FDC C EBC ∠=∠=∠，所以FD FC =，且ABC FDC C AFD ∠=∠+∠=∠…………5分 又BDG FDC C ABC ABE AGD ∠=∠=∠=∠=∠=∠21， 所以BG BD =，所以AC BD AB BG AB AG =+=+=， …………10分又ABC AFG C G ∠=∠∠=∠,，所以△AFG ≌△ABC ， …………………15分所以AB AF =，DB FC DF ==， …………………20分所以△ABD ≌△AFD ，故FAD BAD ∠=∠，即AD 是BAC ∠的平分线.……25分。
2016初二联赛试题与参考答案
。 ab 【答案】32. 1 1 2 4 8 16 。 2 4 8 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x16 ∴ a 16, b 16, a b 32 。 8．若实数 a, b 满足 2a 2 | b | 1 ，则 a 2 2 | b | 的取值范围为 【答案】 2 a 2 2 | b |
∴ n 14 或 7 或 2 或 5。
第二试（C）
一、（本题满分 20 分） 三只蚂蚁同时从点 A 出发，沿三角形道路 A B C A 爬行，已知第一只蚂蚁在
AB, BC , CA 上爬行速度分别为 12 厘米/秒，10 厘米/秒，15 厘米/秒；第二只蚂蚁在此三
段道路上的速度分别为 15 厘米/秒，15 厘米/秒，10 厘米/秒；第三只蚂蚁在此三段上的 速度分别为 10 厘米/秒，20 厘米/秒，12 厘米/秒。若三只蚂蚁同时回到 A 点，求 ABC 的 值。 解：记 AB c, BC a, CA b ， 则
由 2 x 2 y a ，可知 a 必为偶数， 又 1
22 为整数，所以 a 0, 4, 24, 20 。 a2
故选 C。 （ ）
2．定义运算 a b A.720 C.240 【答案】B。 代入求值的结果。
a ( a 1)( a 2) ( a b 2)( a 2 1
2016 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
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1 ∵ BE 平分 ABC ， ∴ ABE EBC ABC 29.5 。 2
又 BD BD, 故 ABD GBD 。……………………………………（10）
BAC 180 ABC ACB 180 59 30.5 90.5 ,
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数学竞赛试题
（满分120分，时间120分钟）
一、选择题：（每小题5分，共40分）
1、能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）．（A）AB∥CD，AD=BC （B）∠A=∠B，∠C=∠D
（C）AB=AD，CB=CD （D）AB=CD，AD=BC
2、已知菱形的周长为20cm，一条对角线长为6cm ,那么这个菱形的面积是（）（A）48cm2（B）24 cm2（C）12 cm2（D）10 cm2
3、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）（A）四条边相等（B）对角线互相垂直平分
（C）对角线平分一组对角（D）对角线相等
4、用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形②矩形③菱形④正方
形⑤等腰三角形⑥等边三角形，一定能拼成的图形是（）
A、①④⑤
B、②⑤⑥
C、①②③
D、①②⑤
5、一次函数y=kx+b的图象经过点和（1，3）和（0，1），那么这个一次函数是（）
A、y=-2x+1
B、y=2x+1
C、y= -x+2
D、y=x+2
6、小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小明家、学校到这条公路的距离忽略
不计），一天，小明从家出发去上学，沿这条公路步行
到公交车站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀
速行驶，小明下车时发现还有4分钟上课，于是他沿这
条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计）。
小明
与家的距离s（单位：米）与他所用时间t（单位：分
钟）之间的函数关系如图所示，已知小明从家出发7分
钟时与家的距离为1200米，从上公交车到他到达学校
共用10分钟。
有下列说法：
①小明从家出发5分钟时乘上公交车；
②公交车的速度为400米/分钟；
③小明下公交车后跑向学校的速度为100米/分钟；
④小明上课没有迟到。
其中正确的个数有（）
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个7、如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得ABC
为等腰直角三角形，则点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9
8、直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC
△如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则CE的长为
（）
A、1
B、 2
C、
4
7
D、
2
3
二、填空题：（每小题5分，共30分）
9
、在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∠CDA=100°，则∠A=_____°
10、若一次函数y=kx+b,当2≤x≤3时，y的取值范围是5≤y≤8.
则k，b的值分别是。
11、在平行四边形中，若一个角的平分线把一条边
分成长是3cm和5cm•的两条线段，则该平行四
边形的周长是
12、如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，∠BAE=300，
AE=2，则AC的长是。
13、如果直线y=-2x+k与两坐标轴所围成的三角形面积是9，
则k的值为__ __。
14、已知:如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、
CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、
N，若∠EAF=500，则∠CME +∠CNF = ________。
三、解答题：（每小题10分，共50分）
15、如图，已知四边形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形EFGH是菱形．
第14题
6 8
C
E
A
B
D
（第8题）
第15题
E
D
B
A
第12题
word
16、如图：矩形ABCD 中，E 在AB 上，F 在AD 上， 且S △BCE =2S △CDF =1
4
S 矩形ABCD =1,求：S △CEF
17、为了缓解用电紧张矛盾，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x(kWh)与应付电费y(元)的关系，如图所示
(1)根据图像，请分别求出当0≤x ≤50和x>50时，y 与x 的函数关系式；
(2)请回答：当每月用电量不超过50kWh 时，收费标准是____；当每月用电量超过50kWh 时，收费标准是____。
18、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，且B(18, 6)，点P 从原点O 出发，以1个单位每秒的速度向A 运动，点Q 从A 出发，以2个单位每秒速度沿A →B →C 运动，P 、Q 两点同时出发，当这两个点其中一点达到自己终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t 。
（1）当t=5，连结PQ ，求PQ 函数解析式；
（2）t 为何值时，PQ 平分矩形的周长；此时PQ 平分矩形OABC 的面积吗？请说明； （3）当点Q 在BC 边上运动时，P 、Q 两点间距离能否为10，若能，请求出此时t 的值；
若不能，请说明理由。
19、如图，正方形ABCD 和正方形CGEF 的边长分别是2和3，且点B ，C ， G 在同一直线上，M 是线段AE 的中点，连结MF ，求MF 的长.
装订线内不要答题 -----------------------------------装---------------------------------------订-----------------------------------------------------线---------------------------------------
第18题
第16题
F E D
C
A
B
第19题
M G
F E
D
C B
A
word
八年级数学竞赛参考答案及评分标准
一、选择题：（每小题5分，共40分）
1、D
2、B
3、D
4、D
5、B
6、D
7、A
8、C
二、填空题：（每小题5分，共30分，只评0分与5分两个等级）
9、40° 10、k=3,b=-1或k=-3,b=14 11、22cm或26cm
12、7 13、±6 14、100°
三、解答题：（每小题10分，共50分）
15、略16、7 4
17、(1)当0≤x≤50时，y=0.5x―――――――――（3分）
当x＞50时，y=0.9x-20―――――――――（6分）
(2) 当每月用电量不超过50kWh时，收费标准是0.5元/kwh；――――（8分）
当每月用电量超过50kWh时，收费标准是0.9元/kwh。
――――――（10分）注：必须要有计算过程，无计算过程、只有答案计0分，以下各题同样。
18、（1）若t=5，则P(5, 0), Q(14, 6) 得y=2
3
x-
10
3
――――――――（3分）
（2）设运动时间为t，则AP=t-
18 Q点运动路程为2t。
∵矩形的周长C=48 ∴18-t+2t=24, 解得:t=6
此时，梯形PABQ的面积是：
)
12
6(
2
1
+
=
梯
S
·54
6=
而矩形OABC的面积为18×6=108
PQ平分矩形OABC的面积.――――――――――（6分）
（3）作QH⊥OA垂足为H,QH=6，若PQ=10 可得 PH=8
从而有：t+2t-6=18-8, 解得:t=
16
3
―――――――（8分）
同理可得：3
32
8
18
6
2=
⇒
+
=
+
-t
t
t
―――――――――――（10分）
19、
2
2
提示：
解法一：连接DM并延长交EF于N，如图，则可证
△ADM≌△ENM，∴FN=1，
则FM是等腰直角△DFN的底边上的高，所以FM=
2
2
解法二：延长AD和FM相交于H点，则在△AMH和△EMF中，
∠MAH＝∠FEM
EM＝AM
∠AHM＝∠EFM
∴△AMH≌△EMF，即FM=MH，AH=EF，
∴DH=AH-AD=EF-AD=1，
∵DF=CF-CD=3-2=1，
在直角△DFH中，FH为斜边，
解直角△DFH得：FH= 2
FM=MH，∴FM=
2
2
解法三：先建立直角坐标系，求出点F、M的坐标，再运用勾股定理求FM。