2022年北京市朝阳区中考数学一模试卷(附答案详解)

2022年北京市朝阳区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.如图是某几何体的三视图，该几何体是()A. 三棱柱B. 长方体C. 圆锥D. 圆柱2.2022年3月5日，国务院总理李克强代表国务院，向十三届全国人大五次会议作政府工作报告．报告中指出过去一年是党和国家历史上具有里程碑意义的一年，“十四五”实现良好开局，我国发展又取得新的重大成就．2021年国内生产总值达114万亿元，增长8.1%.将1140000用科学记数法表示应为()A. 0.114×107B. 1.14×105C. 1.14×106D. 11.4×1043.实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中正确的是()A. a+b>0B. ab>0C. a−b>0 D. |a|>|b|4.将一副三角尺(厚度不计)如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的大小为()A. 100°B. 105°C. 115°D. 120°5.下列多边形中，内角和与外角和相等的是()A. B.C. D.6.不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到颜色相同的球的概率为()A. 23B. 13C. 12D. 147. 如图是国家统计局公布的2021年居民消费价格月度涨跌幅度，月度同比和月度环比的平均数分别为x −同，x −环，方差分别为s 同2，s 环2，则( )A. x −同>x −环，s 同2>s 环2B. x −同>x −环，s 同2<s 环2C. x −同<x −环，s 同2>s 环2D. x −同<x −环，s 同2<s 环28. 点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)在反比例函数y =2x 的图象上，下列推断正确的是( )A. 若x 1<x 2，则y 1<y 2B. 若x 1<x 2，则y 1>y 2C. 若x 1+x 2=0，则y 1+y 2=0D. 存在x 1=x 2使得y 1≠y 2二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9. 若代数式1x−1有意义，则实数x 的取值范围是______． 10. 分解因式：2a 2−4ab +2b 2=______． 11. 写出一个比4大且比5小的无理数：______．12. 如图，AC ，BC 是⊙O 的弦，PA ，PB 是⊙O 的切线，若∠C =60°，则∠P =______．13. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在AC 上(不与点A ，C 重合)，只需添加一个条件即可证明△ABC 和△BDC 相似，这个条件可以是______(写出一个即可)．14. 如图，2022年北京冬奥会上，一些可看作正六边形的“小雪花”对称地排列在主火炬周围，中间空出了13个“小雪花”的位置来突出主火炬．在其中91个“小雪花”上面写有此次参会的国家或地区的名称，此外还有几个“小雪花”上面只有中国结图案．这些只有中国结图案的“小雪花”共有______个．15.若关于x的一元二次方程(a−1)x2+a2x−a=0有一个根是x=1，则a的值为______．16.尊老敬老是中华民族的传统美德，某校文艺社团的同学准备在“五一”假期去一所敬老院进行慰问演出，他们一共准备了6个节目，全体演员中有8人需参加两个或两个以上的节目演出，情况如表：度考虑，首尾两个节目分别是A，F，中间节目的顺序可以调换，请写出一种符合条件的节目先后顺序______(只需按演出顺序填写中间4个节目的字母即可)．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.计算：2cos30°+|−√3|−(π−√3)0−√12．四、解答题（本大题共11小题，共63.0分）18.解不等式组：{x−3(x−2)≥4 x−1<1+2x3．19.已知x2+x−3=0，求代数式(2x+3)(2x−3)−x(x−3)的值．20.已知关于x的一元二次方程x2−ax+a−1=0．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．21.中国古代数学家李子金在《几何易简集》中记载了圆内接正三角形的一种作法：“以半径为度，任用圆界一点为心，作两圆相交，又移一心，以交线为界，再作一交圆，其三线相交处为一角，其两线相交处为两角，直线界之亦得所求”．由记载可得作法如下：①作⊙M，在⊙M上取一点N，以点N为圆心，MN为半径作⊙N，两圆相交于A，B两点，连接AB；②以点B为圆心，AB为半径作⊙B，与⊙M相交于点C，与⊙N相交于点D；③连接AC，AD，BC，BD．△ABC，△ABD都是圆内接正三角形．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：连接AM，AN，MN，BM．∵MA=MN=NA，∴△AMN为______．∴∠AMN=60°．同理可得，∠BMN=60°．∴∠AMB=120°．∴∠ACB=60°(______)(填推理的依据)．∵BA=BC，∴△ABC是等边三角形．同理可得，△ABD是等边三角形．22.如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE//BD，BE//AC．(1)求证：四边形AEBO是菱形；(2)若AB=OB=2，求四边形AEBO的面积．23.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若cos∠CAD=4，AB=5，求CD的长．524.某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为ℎ米．d(米)0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00ℎ(米) 3.75 4.00 3.75 3.00 1.750请解决以下问题：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；(3)求ℎ关于d的函数表达式；(4)公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米．工人想只通过调整喷头距离湖面的高度(不考虑其他因素)就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．25.某校初三年级有两个校区，其中甲校区有200名学生，乙校区有300名学生，两个校区所有学生都参加了一次环保知识竞赛，为了解两个校区学生的答题情况，进行了抽样调查，从甲、乙两个校区各随机抽取20名学生，对他们本次环保知识竞赛的成绩(百分制)进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a.甲校区成绩的频数分布直方图如下(数据分成4组：60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)：b.甲校区成绩在70≤x<80这一组的是：74747577777777787979c.甲、乙两校区成绩的平均数、中位数如下：平均数中位数甲校区79.5m乙校区7781.5根据以上信息，回答下列问题：(1)写出表中m的值；(2)两个校区分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，超过本校区的平均分就可以赋予等级A，判断在本次抽取的学生中哪个校区赋予等级A的学生更多，并说明理由；(3)估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为______(直接写出结果)．26.在平面直角坐标系xOy中，点(−2,0)，(−1,y1)，(1,y2)，(2,y3)在抛物线y=x2+bx+c上．(1)若y1=y2，求y3的值；(2)若y2<y1<y3，求y3的取值范围．27.在△ABC中，D是BC的中点，且∠BAD≠90°，将线段AB沿AD所在直线翻折，得到线段AB′，作CE//AB交直线AB′于点E．(1)如图，若AB>AC，①依题意补全图形；②用等式表示线段AB，AE，CE之间的数量关系，并证明；(2)若AB<AC，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由；若不成立，直接用等式表示线段AB，AE，CE之间新的数量关系(不需证明)．28.在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：y=kx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．(1)如图1，⊙O的半径为1，当k=1，b=1时，直接写出直线l关于⊙O的“圆截距”；(2)点M的坐标为(1,0)，√5，①如图2，若⊙M的半径为1，当b=1时，直线l关于⊙M的“圆截距”小于45求k的取值范围；②如图3，若⊙M的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值2，直接写出b的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由几何体的主视图和左视图都是长方形，故该几何体是一个柱体，又∵俯视图是一个三角形，故该几何体是一个三棱柱．故选：A．根据一个几何体的主视图和左视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体底面形状，得到答案．本题考查了由三视图判断几何体，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥体，如果有两个矩形，该几何体一定柱体，其底面由第三个视图的形状决定．2.【答案】C【解析】解：1140000=1.14×106．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】D【解析】解：∵a<0<b，|a|>|b|，∴a+b<0，故A选项错误，不符合题意；∵a<0<b，∴ab<0，故B选项错误，不符合题意；∵a<0<b，∴a−b<0，故C选项错误，不符合题意；∵|a|>|b|，∴D选项正确，符合题意．故选：D．根据图示，可得：a<0<b，|a|>|b|，据此逐项判定即可．此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．4.【答案】B【解析】解：如图，∵AB//DE，∴∠ABC=∠BED=30°，又∵∠DEF=45°，∴∠BEF=75°，∴∠1=180°−∠BEF=105°，故选：B．根据平行线的性质可得∠ABC=∠BED=30°，再根据三角尺各角的度数以及邻补角的定义即可得∠1的度数．此题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义，关键是掌握两直线平行，内错角相等．5.【答案】B【解析】解：设所求多边形的边数为n，根据题意得：(n−2)⋅180°=360°，解得n=4．故选：B．根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了简单随机事件发生概率的求法，用列表法或树状图法列举出所有可能出现的情况，求出相应事件发生的概率是常用的方法．用列表法或树状图法列举出所有可能出现的情况，求出两次都摸到颜色相同的球的概率，作出选择即可．【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果为：∴两次都摸到颜色相同的球的概率P =24=12．故选C ． 7.【答案】A【解析】解：从图表中可以看出月度同比有10次的成绩均不低于月度环比，但是月度同比波动比较大，故x −同>x −环，S 同>S 环．故选：A ．根据图表数据可以看出月度同比和月度环比的平均数和波动情况，即可求解． 本题主要考查平均数和方差的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：反比例函数y =2x 的图象在一、三象限，在每个象限y 随x 的增大而减小，A .若x 1<x 2，且点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)在同一象限，则y 1>y 2，故A 错误；B .若x 1<x 2，且点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)不在同一象限，则y 1<y 2，故B 错误；C .若x 1+x 2=0，则点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)关于原点对称，则y 1+y 2=0，故C 正确；D .若x 1=x 2，则2x 1=2x 2，即y 1=y 2，故D 错误； 故选C ．利用反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征即可判断．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．9.【答案】x ≠1【解析】解：依题意得：x −1≠0，解得x ≠1，故答案为：x≠1．分式有意义时，分母x−1≠0，据此求得x的取值范围．本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．10.【答案】2(a−b)2【解析】解：原式=2(a2−2ab+b2)=2(a−b)2．故答案为：2(a−b)2原式提取2变形后，利用完全平方公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．11.【答案】√17【解析】解：比4大且比5小的无理数可以是√17．故答案为√17．由于4=√16，5=√25，所以可写出一个二次根式，此根式的被开方数大于16且小于25即可．本题考查了对估算无理数的大小的应用，注意：无理数是指无限不循环小数，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．12.【答案】60°【解析】解：连接OA，OB，∵∠C=60°，∴∠AOB=2∠C=120°，∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠PAP=∠OBP=90°，∵∠AOB+∠OAP+∠OBP+∠P=360°，∴∠P=360°−90°−90°−120°=60°，故答案为：60°．连接OA，OB，由圆周角和圆心角的关系求得∠AOB=120°，由切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，根据多边形内角和定理即可求出∠P=60°．本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解决问题的关键．13.【答案】∠A=∠CBD【解析】解：添加∠A=∠CBD，理由如下：∵∠A=∠CBD，∠ACB=∠BCD，∴△ABC∽△BDC，故答案为：∠A=∠CBD．利用相似三角形的判定可求解．本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．14.【答案】5【解析】解：用一个小黑点表示一个小“雪花”，观察、画出图案的一部分如下：由图可知，由里向外，最中间1个“小雪花”，第二层每条边上两个小“雪花”，第二层一共有6×2−6=6(个)“小雪花”，第三层每条边上3个小“雪花”，第三层一共6×3−6=12(个)“小雪花”，同理第四层一共6×4−6=18(个)“小雪花”，第五层一共6×5−6=24(个)“小雪花”，第六层一共6×6−6=30(个)“小雪花”，最外面一层(第七层)每条边上3个“小雪花”，一共6×3=18(个)“小雪花”，∴如果全部摆满有1+6+12+18+24+30+18=109(个)“小雪花”，∵中间空出了13个“小雪花”的位置来突出主火炬，91个“小雪花”上面写有此次参会的国家或地区的名称，∴只有中国结图案的“小雪花”共有109−13−91=5(个)；故答案为：5．观察每层各边的“小雪花”个数，得出规律即可解答．本题考查图案的变化规律，解题的关键是仔细观察图形，得出各层正六边形每条边上“小雪花”的个数．15.【答案】−1【解析】解：把x=1代入(a−1)x2+a2x−a=0，得a−1+a2−a=0，解得：a1=1，a2=−1，∵a−1≠0，∴a=−1．故答案是：−1．把x=1代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程求得a的值即可．本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根一定满足该方程的解析式．16.【答案】EBD【解析】解：由题意得，首尾两个节目分别是A，F，节目A参演演员有1、3、5、6、8，节目F参演演员有5、7，由于从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出，故可先确定第二个节目为不含演员1、3、5、6、8的节目，即节目E，第三个节目为不含2、7的节目，即节目B或C，第五个节目为不含5、7的节目，即节目B或C，所以，可确定第四个节目为节目D，综上，演出顺序为节目AEBDC．故答案为：EBD．根据题意，可先确定第二个节目为节目E，继而确定第三个节目和第五个节目的可能性，最后确定了第四个节目，即可得到答案．此题考查了统计表，利用信息做出决策或方案，能够正确理解题意是解题的关键．17.【答案】解：原式=2×√3+√3−1−2√32=√3+√3−1−2√3=−1．【解析】代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，零指数幂，二次根式，然后算乘法，再算加减．本题考查实数的混合运算，理解a0=1(a≠0)，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．18.【答案】解：解不等式x−3(x−2)≥4，得：x≤1，，得：x<4，解不等式x−1<1+2x3则不等式组的解集为x≤1．【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19.【答案】解：(2x+3)(2x−3)−x(x−3)=4x2−9−x2+3x=3x2+3x−9，当x2+x−3=0时，原式=3(x2+x−3)=3×0=0．【解析】先去括号，再合并同类项，然后把x2+x−3=0代入化简后的式子进行计算即可解答．本题考查了整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．20.【答案】(1)证明：∵Δ=(−a)2−4(a−1)=a2−4a+4=(a−2)2≥0，∴该方程总有两个实数根；(2)解：x2−ax+a−1=0．(x−1)[x−(a−1)]=0，x−1=0或x−(a−1)=0，∴x1=1，x2=a−1，∵方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，∴a为整数，a−1=2×1或1=2(a−1)，(舍去)，解得a=3或a=32∴a的值为3．【解析】(1)计算根的判别式的值得到Δ=(a−2)2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；(2)利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=a−1，根据题意得a为整数，a−1=2×1或1=2(a−1)，然后解一次方程得到a的值．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．21.【答案】等边三角形同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半【解析】(1)解：图形如图所示：(2)证明：连接AM，AN，MN，BM．∵MA=MN=NA，∴△AMN为(等边三角形)．∴∠AMN=60°．同理可得，∠BMN=60°．∴∠AMB=120°．∴∠ACB=60°(同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半)，∵BA=BC，∴△ABC是等边三角形．同理可得，△ABD是等边三角形．故答案为：等边三角形，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半．(1)根据要求作出图形；(2)利用圆周角定理，等边三角形的判定解决问题即可．本题考查作图−复杂作图，圆周角定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】(1)证明：∵AE//BD，BE//AC，∴四边形AEBO是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO，BO=DO，AC=BD，∴OA=OB，∴四边形AEBO是菱形；(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，∴OA=OB=OC=DO，∵OB=AB=2，∴BD=4，由勾股定理得：AD=√BD2−AB2=√42−22=2√3，∵BO=DO，∴S△AOB=S△AOD=12S△BAD=12×12AD×AB=12×12×2√3×2=√3，∵四边形AEBO是菱形，AB=AO，∴AE=AO=BO=BE=AB=2，∴△AEB≌△BOA(SSS)，∴△AEB的面积=△AOB的面积=√3，∴四边形AEBO的面积是√3+√3=2√3．【解析】(1)根据平行四边形的判定得出四边形AEBO是平行四边形，根据矩形的性质得出AO=CO，BO=DO，AC=BD，求出OA=OB，再根据菱形的判定得出即可；(2)根据矩形的性质得出∠DAB=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，求出OA=OB= OC=DO=2，求出BD，根据勾股定理求出AD，再求出△BAD的面积，求出△ABO的面积即可．本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，三角形的面积和勾股定理等知识点，能熟记矩形的对角线相等且平分是解此题的关键．23.【答案】(1)证明：连接OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC//AD，∴∠OCA=∠DAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，∴AC 平分∠DAB ；(2)解：连接BC ，如图，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∵cos∠OAC =cos∠CAD =45， 在Rt △ACB ，∵cos∠OAC =AC AB =45，∴AC =45AB =45×5=4， 在Rt △ADC 中，∵cos∠CAD =AD AC =45， ∴AD =45AC =165，∴CD =√AC 2−AD 2=√42−(165)2=125．【解析】(1)连接OC ，如图，根据切线的性质得到OC ⊥CD ，则可判断OC//AD ，所以∠OCA =∠DAC ，然后利用∠OAC =∠OCA 得到∠DAC =∠OAC ；(2)连接BC ，如图，先根据圆周角定理得到∠ACB =90°，接着在Rt △ACB 中利用余弦的定义求出AC =4，然后在Rt △ADC 中利用余弦的定义求出AD ，然后利用勾股定理计算出CD 的长．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、垂径定理和解直角三角形．24.【答案】解：(1)如图，(2)水柱最高点距离湖面的高度是4米；(3)由图象可得，顶点(1,4)，设二次函数的关系式为ℎ=a(d −1)2+4，把(2,3)代入可得a =−1，所以ℎ=−(d −1)2+4；(4)设水枪高度向上调整m米，设平移后二次函数关系式为ℎ′=−(d−1)2+4+m，当d=1+2=3时，ℎ′=−4+4+m=m，∴m≥2，答：水枪高度至少向上调整2米．【解析】(1)根据对应点画图象即可；(2)由图象可得答案；(3)利用待定系数法可得关系式；(4)设水枪高度向上调整m米，设平移后二次函数关系式为ℎ′=−(d−1)2+4+m，再根据二次函数的性质可得答案．本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．25.【答案】78分【解析】解：(1)由题意知第10、11个数据分别为77、78，=77.5；∴其中位数m=77+782(2)因为甲校区的中位数小于乙校区，所以甲校区赋予等级A的学生更多；=78(分)，(3)估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为：79.5×200+77×300200+300故答案为：78分．(1)根据频数分布直方图和70≤x<80的这一组的具体成绩得出第10、11个数据分别为77、78，继而依据中位数的定义求解即可；(2)根据两个校区的中位数判断即可；(3)根据加权平均数公式计算即可．本题主要考查频数分布表、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据表格得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．26.【答案】解：(1)当y1=y2时，(−1,y1)，(1,y2)关于对称轴对称，则抛物线对称轴为y轴，∴(−2,0)，(2,y3)关于y轴对称，∴y3=0．(2)将(−2,0)代入y=x2+bx+c得4−2b+c=0，将(1,y2)代入y=x2+bx+c得y2=1+b+c，将(−1,y1)代入y=x2+bx+c得y1=1−b+c，∵y2<y1，∴1+b+c<1−b+c，∴b<0，将(2,y3)代入y=x2+bx+c得y3=4+2b+c，∵y1<y3，∴1−b+c<4+2b+c，∴b>−1，∵4−2b+c=0，∴y3=4+2b+c=4b，∴−4<4b<0，即−4<y3<0．【解析】(1)由y1=y2可得抛物线对称轴为y轴，由抛物线经过(−2,0)，(2,y3)可得y3的值．(2)由抛物线经过(−2,0)可得4−2b+c=0，分别将(−1,y1)，(1,y2)，(2,y3)代入解析式，根据y2<y1<y3及b的取值范围求解．本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．27.【答案】解：(1)①补全图形如图所示：②AB=AE+CE，理由如下：如图，连接ED，并延长交AB于点F，过点D作DG⊥AB于G，DH⊥AB′于H，∵CE//AB，∴∠B=∠BCE，∵D是BC的中点，∴BD=CD，又∵∠BDF=∠CDE，∴△BDF≌△CDE(ASA)，∴CE=BF，DF=ED，∵将线段AB沿AD所在直线翻折，∴∠BAD=∠B′AD，又∵∠AFD=∠AED=90°，AD=AD，∴△ADG≌△ADH(AAS)，∴DG=DH，AG=AH，又∵DE=DF，∴Rt△DFG≌Rt△DEH(HL)，∴GF=EH，∴AF=AE，∴AB=BF+AF=CE+AE；(3)如图，AB=AE−CE，理由如下：连接ED，并延长交AB于点F，过点D作DG⊥AB于G，DH⊥AB′于H，∵CE//AB，∴∠DBF=∠BCE，∵D是BC的中点，∴BD=CD，又∵∠BDF=∠CDE，∴△BDF≌△CDE(ASA)，∴CE=BF，DF=ED，∵将线段AB沿AD所在直线翻折，∴∠BAD=∠B′AD，又∵∠AFD=∠AED=90°，AD=AD，∴△ADG≌△ADH(AAS)，∴DG=DH，AG=AH，又∵DE=DF，∴Rt△DFG≌Rt△DEH(HL)，∴GF=EH，∴AF=AE，∴AB=AF−BF=AE−CE．【解析】(1)①依照题意补全图形；②由“ASA”可证△BDF≌△CDE，可得CE=BF，DF=ED，由“AAS”可证△ADG≌△ADH，可得DG=DH，AG=AH，由HL可证Rt△DFG≌Rt△DEH，可得GF=EH，可得结论；(2)由“ASA”可证△BDF≌△CDE，可得CE=BF，DF=ED，由“AAS”可证△ADG≌△ADH，可得DG=DH，AG=AH，由HL可证Rt△DFG≌Rt△DEH，可得GF=EH，可得结论．本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．28.【答案】解：(1)∵k=1，b=1，∴直线l的解析式为y=x+1，设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，则A(−1,0)，B(0,1)，∴AB=√12+12=√2，即直线l关于⊙O的“圆截距”为√2；(2)①如图2，设直线与y正半轴交点为P，且P(0,1)，∵点M的坐标为(1,0)，⊙M的半径为1，∴圆与x轴正半轴交点为Q(2,0)，当b=1时，直线l的解析式为y=kx+1，当直线经过点Q时，2k+1=0，解得k=−12；过点M作MF⊥PQ，垂足为F，∵OP=1，OQ=2，∴PQ=√12+22=√5，∴sin∠PQO=OPPQ =√5=√55，∵MQ=1，sin∠PQO=MFMQ =√55，∴MF =√55，QF =√12−(√55)2=2√55， 设直线PQ 与圆M 的另一个交点为C ，则QC =2QF =4√55， ∵关于⊙M 的“圆截距”小于4√55， ∴k 的取值范围是−12<k ≤0；设直线PM 与圆的交点为N ，∵点P(0,1)，点M 的坐标为(1,0)，∴OP =OM ，∴∠PMO =45°，∴∠QMN =45°，根据圆的对称性，直线PQ 和直线PD 关于直线PN 对称，此时ED =CB ，∴∠DMN =45°，∴∠DMQ =90°，∴D 的坐标为(1,−1)，∴k +1=−1，解得k =−2，∴直线PD 的解析式为y =−2x +1，关于⊙M 的“圆截距”小于4√55， k 的取值范围是k <−2；综上，k 的取值范围是k <−2或−12<k ≤0．②如图3，设⊙M 与x 的正半轴交点为B ，当BF =2时，作直线AB 交y 轴的正半轴于点A ，此时b 的值最大，过点M 作MD ⊥AB ，垂足为D ，∵BF =2，∴BD=1，∵MB=2，∴∠DMB=30°，∠ABO=60°，∵OB=3，tan∠ABO=OA，OB∴OA=OBtan60°=3√3，此时b的最大值为3√3；设⊙M与x轴的正半轴的交点为B，当BG=2时，作直线BC交y轴的负半轴于点C，此时b的值最小，过点M作ME⊥BC，垂足为E，∵BG=2，∴BE=1，∵MB=2，∴∠EMB=30°，∠CBO=60°，∵OB=3，tan∠CBO=OC，OB∴OC=OBtan60°=3√3，此时b的最小值为−3√3；故b的取值范围是−3√3≤b≤3√3．【解析】(1)根据k和b的值直接写出直线的解析式，设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，根据勾股定理求出“圆截距”即可；√5时，弦的位置，注意分类，确定直线的解析(2)①根据圆的垂径定理，确定弦长为45式，根据直线的增减性确定k的取值范围即可；②当最短弦长为2时，分弦在x轴上方和x轴下方两种情况讨论求解．本题考查了垂径定理，一次函数的解析式和性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，熟练掌握圆的性质，灵活运用特殊角的三角函数值是解题的关键．。