朝阳区高三数学一模试卷(答案)

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北京市朝阳区高三数学第一次综合练习(一模)试题理(含解析)-人教版高三全册数学试题

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类） 2016．3（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1． i 为虚数单位，复数2i 1i+= A ．1i - B ．1i -- C ．1i -+ D ．1i + 答案：D解析：分母实数化，即分子与分母同乘以分母的其轭复数：222(1)111i i i i i i -==++-。

2．已知全集U =R ，函数ln(1)y x =-的定义域为M ，集合{}20N x x x =-<，则下列结论正确的是 A ．M N N = B ．()UMN =∅C ．M N U =D ．()U M N ⊆答案：D解析：∵函数 y ＝ln(x －1)的定义域M ＝{}|1x x >，N ＝{}|01x x <<，又U ＝R ∴{}|1U C N x x =≥≤或x 0，∴MN =∅，故 A ，C 错误，D 显然正确。

3． >e e ab>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析>0a b >≥，又xy e =是增函数，所以，a b e e >，由a b e e >知a b >，但,a b 取负值时，,a b 无意义，故选A 。

4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．42B ．19C ．8D ．3答案：B解析：依次执行结果如下：S ＝2×1＋1＝3，i ＝1＋1＝2，i ＜4； S ＝2×3＋2＝8，i ＝2＋1＝3，i ＜4； S ＝2×8＋1＝19，i ＝3＋1＝42，i ≥4；所以，S ＝19，选B 。

北京市朝阳区高三年级期2022学年数学统一考试含答案

北京市朝阳区2022-2022学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（文史类）2022.11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{|(1)0,}A x x x x =-<∈R ，1{|2,}2B x x x =<<∈R ，那么集合A B = A.∅B ．1{|1,}2x x x <<∈RC ．{|22,}x x x -<<∈RD ．{|21,}x x x -<<∈R 2.下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是A ．1y x =- B ．tan y x =C ．3y x =D ．2y x=-3. 已知3sin 5x =，则sin 2x 的值为A ． 1225 B ．2425 C ．1225或1225- D ．2425或2425-4. 设x ∈R 且0x ≠，则“1x >”是“1+2x x>”成立的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 设m ,n 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面.下列命题正确的是A ．若,,m n m n αβ⊂⊂⊥，则αβ⊥ B ．若//,,//m n αβαβ⊥，则 m n ⊥C ．若,,//m n αβαβ⊥⊥，则//m nD ．若,,m n m αβαβ⊥=⊥ ，则n β⊥6. 已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心），且OB OC +=0 ， ||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于（）A ．154-B ．34-C ．154D ．347. 已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数()1()()2g x f f x =-的零点个数是A ．4 B ．3 C ．2 D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 设平面向量，若//，则y = .10. 已知角A 为三角形的一个内角，且3cos 5A =，sin A = . cos 2A = . 11. 已知 2.1log 0.6a =，0.62.1b =，0.5log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是 .12. 设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23=a ，245S S =，则1a 的值为，4S 的值为．13．已知函数221,0,()(1)2,0,xmx x f x m x ⎧+≥=⎨-<⎩在(,)-∞+∞上具有单调性，则实数m 的取值范围是.14. 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作.书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐。

北京市朝阳区2024届高三一模数学含答案

北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一数学2024.4（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集{1,2,3,4},{|2}U A x U x ==∈<，则U A =ð（A ）{1}（B ）{1,2}（C ）{3,4}（D ）{2,3,4}（2）复数i3i+在复平面内对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（3）在ABC △2sin b A =，则B ∠=（A ）6π（B ）6π或65π（C ）3π（D ）3π或32π（4）已知a ∈R ，则“01a <<”是“函数3()(1)f x a x =-在R 上单调递增”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知直线60x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r =（A ）2（B ）（C ）4（D ）（6）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12341,4a a a a =++=，则6S =（A ）9（B ）16（C ）21（D ）25（7）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作垂直于x 轴的直线l ，,M N分别是l 与双曲线C 及其渐近线在第一象限内的交点．若M 是线段FN 的中点，则C 的渐近线方程为（A ）y x=±（B ）2y x =±（C ）3y x =±（D ）5y x =±（8）在ABC △中，2,AB AC BC ===，点P 在线段BC 上．当PA PB ⋅取得最小值时，PA =（A （B （C ）34（D ）74（9）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别为棱11,,AA BC CC 的中点，动点H 在平面EFG 内，且1DH =．则下列说法正确的是（A ）存在点H ，使得直线DH 与直线FG 相交（B ）存在点H ，使得直线DH ⊥平面EFG （C ）直线1B H 与平面EFG 所成角的大小为π3（D ）平面EFG （10）已知n 个大于2的实数21,,,n x x x ，对任意(1,2,),i n x i = ，存在2i y ≥满足i i y x <，且i i y x i i x y =，则使得12115n n x x x x -+++ ≤成立的最大正整数n 为（A ）14（B ）16（C ）21（D ）23第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2021年北京市朝阳区高考数学一模试卷【含答案】

2021年北京市朝阳区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x﹣1≥0}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3}B．{1，2，3}C．{2，3}D．{3}【分析】利用集合交集的定义求解即可．【解答】解：因为集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}，所以A∩B＝{1，2，3}．故选：B．【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．2．（4分）如果复数的实部与虚部相等，那么b＝（）A．﹣2B．1C．2D．4【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等求得b值．【解答】解：∵的实部与虚部相等，∴b＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝1，S9＝18，则a1＝（）A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣3【分析】先由题设求得a5，再利用等差数列的性质求得结果．【解答】解：∵S9＝18＝＝9a5，∴a5＝2，又a3＝1，∴由等差数列的性质可得：a1+a5＝a1+2＝2a3＝2，∴a1＝0，故选：A．【点评】本题主要考查等差数列的性质及基本量的计算，属于基础题．4．（4分）已知圆x2+y2＝4截直线y＝kx+2所得弦的长度为，则实数k＝（）A．B．C．D．【分析】求出圆的圆心与半径，利用弦长，推出弦心距，利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：圆x2+y2＝4截直线y＝kx+2所得弦的长度为，可得弦心距为：＝1，所以：，解得k＝．故选：D．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．5．（4分）已知双曲线的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为（）A．B．C．D．y＝±2x【分析】根据题意，由双曲线的离心率e＝2可得c＝2a，由双曲线的几何性质可得b＝a，由此求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：根据题意，双曲线的离心率为2，其焦点在x轴上，其渐近线方程为y＝±x，又由其离心率e＝＝2，则c＝2a，则b＝＝a，即＝，则其渐近线方程y＝±x；故选：A．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意由双曲线的标准方程分析焦点的位置，确定双曲线的渐近线方程，是中档题．6．（4分）在△ABC中，若a2﹣b2+c2+ac＝0，则B＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用余弦定理的应用求出结果．【解答】解：若a2﹣b2+c2+ac＝0，所以，由于B∈（0，π），所以B＝．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．7．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥最长的棱长为（）A．2B．C．D．【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的各个棱长，从而确定结果．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥A﹣BCD；如图所示：所以：AB＝BC＝，CD＝BD＝1，AD＝，AC＝，故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，三棱锥的棱长的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8．（4分）在△ABC中，“tan A tan B＜1”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】解法一：对角分类讨论，利用正切和差公式及其三角函数的单调性即可判断出结论．解法二：tan A tan B＜1⇔1﹣＞0⇔cos A cos B cos C＜0⇔△ABC为钝角三角形，即可判断出结论．【解答】解：解法一：（1）若C为钝角，则A，B为锐角，∴tan C＝﹣tan（A+B）＝﹣＜0，解得tan A tan B＜1．若A或B为钝角，则tan A tan B＜1成立．（2）若tan A tan B＜1成立，假设A或B为钝角，则△ABC为钝角三角形．假设A，都B为锐角，tan C＝﹣tan（A+B）＝﹣＜0，解得C为钝角，则△ABC为钝角三角形．综上可得：在△ABC中，“tan A tan B＜1”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件．解法二：tan A tan B＜1⇔1﹣＞0⇔＞0⇔cos A cos B cos C＜0⇔△ABC为钝角三角形．∴在△ABC中，“tan A tan B＜1”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查了分类讨论、正切和差公式及其三角函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（4分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P是直线l上的动点．若点A在抛物线C上，且|AF|＝5，则|PA|+|PO|（O为坐标原点）的最小值为（）A．8B．C．D．6【分析】不妨设A为第一象限内的点，坐标为（a，b），由抛物线的定义可得|AF|＝a+1＝5，解得A点的坐标，设点A关于直线x＝﹣1的对称点为A′（﹣6，4），由对称性可得|PA|+|PO|＝|PA′|+|PO|≥|A′O|，即可得出答案．【解答】解：不妨设A为第一象限内的点，坐标为（a，b）由抛物线的方程可得焦点F（1，0），则|AF|＝a+1＝5，解得a＝4，所以A（4，4），所以点A关于直线x＝﹣1的对称点为A′（﹣6，4），故|PA|+|PO|＝|PA′|+|PO|≥|A′O|＝＝2，当且仅当A′，P，O三点共线时，等号成立，即|PA|+|PO|的最小值为2．故选：B．【点评】本题考查图形的对称性，抛物线的定义，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．10．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段BC1上的点，过A1的平面α与直线PD垂直．当P在线段BC1上运动时，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积的最小值是（）A．1B．C．D．【分析】画出图形，判断截面的位置，结合正方体的特征，转化求解截面面积的最小值即可．【解答】解：当P在B点时，BD⊥平面ACC1A1，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积：1×＝是最大值；当P与C1重合时，DC1⊥平面A1D1CB，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积：1×＝是最大值当P由B向C1移动时，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面A1EF，E由A向B移动，当P到BC1的中点时，取得最小值，如图此时E为AB的中点，F为D1C1的中点，（P在底面ABCD上的射影为DH，H是BC的中点，此时EC ⊥DH，可得DP⊥EC，同理可得DP⊥CF，可证明DP⊥平面A1ECF），A1E＝CE＝，AC＝，EF＝，四边形A1ECF是菱形，所以平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积：＝．故选：C．【点评】本题考查直线与平面垂直，截面面积的最小值问题，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是难题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）在（x+）8的展开式中，x4的系数为28．（用数字作答）【分析】求出展开式的通项，然后令x的指数为2，求出r的值，由此即可求解．【解答】解：展开式的通项为T，令8﹣2r＝4，解得r＝2，所以x4的系数为C，故答案为：28．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．12．（5分）已知函数则f（0）＝1；f（x）的值域为（﹣∞，2）．【分析】根据分段函数的表达式直接代入即可求出f（0），利用指数函数和对数函数的性质分别进行求解即可．【解答】解：f（0）＝20＝1，当x＜1时，0＜2x＜2，此时0＜f（x）＜2，当x≥1时，log2x≥0，则﹣log2x≤0，即此时f（x）≤0，综上f（x）＜2，即函数f（x）的值域为（﹣∞，2），故答案为：1，（﹣∞，2）．【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用指数函数和对数函数的单调性的性质是解决本题的关键，是基础题．13．（5分）已知向量＝（，1），＝（x，y）（xy≠0），且||＝1，•＜0，则向量的坐标可以是（，）．（写出一个即可）【分析】利用已知条件画出图形，判断向量的坐标的位置，即可写出结果．【解答】解：向量＝（，1），＝（x，y）（xy≠0），且||＝1，•＜0，如图，可知向量的坐标可以是黑色圆弧上的任意一点，向量的坐标可以是（，）．故答案为：（，）．【点评】本题考查向量的数量积的应用，点的坐标的求法，是基础题．14．（5分）李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A商品获利8元．现计划在“五一”期间对A商品进行广告促销，假设售出A商品的件数m（单位：万件）与广告费用x（单位：万元）符合函数模型．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投入3万元．【分析】由题意知，每售出1万件A商品获利8万元，可得售出m万件A商品的总获利为24﹣，设f（x）＝24﹣（x≥0），利用导数求最值得答案．【解答】解：由题意知，每售出1万件A商品获利8万元，∴售出m万件A商品的总获利为：8m﹣x＝8（3﹣）﹣x＝24﹣，设f（x）＝24﹣（x≥0），则f′（x）＝（x≥0），令f′（x）＞0，即＞0（x≥0），解得0≤x＜3，∴当0≤x＜3时，f′（x）＞0，函数f（x）在[0，3）单调递增，当x＞3时，f′（x）＜0，函数f（x）在（3，+∞）上单调递减，则当x＝3时，函数f（x）取得极大值，即最大值，∴要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投入3万元．故答案为3．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用导数求最值，考查运算求解能力，是中档题．15．（5分）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设f （x）是定义在R上的函数，对于x0∈R，令x n＝f（x n﹣1）（n＝1，2，3，…），若存在正整数k使得x k＝x0，且当0＜j＜k时，x j≠x0，则称x0是f（x）的一个周期为k的周期点．给出下列四个结论：①若f（x）＝e x﹣1，则f（x）存在唯一一个周期为1的周期点；②若f（x）＝2（1﹣x），则f（x）存在周期为2的周期点；③若f（x）＝则f（x）不存在周期为3的周期点；④若f（x）＝x（1﹣x），则对任意正整数n，都不是f（x）的周期为n的周期点．其中所有正确结论的序号是①④．【分析】由周期点的定义，可得直线y＝x与y＝f（x）存在交点．分别对选项分析，结合函数的最值和函数值的符号，可得结论．【解答】解：对于x0∈R，令x n＝f（x n﹣1）（n＝1，2，3，…），若存在正整数k使得x k＝x0，且当0＜j＜k时，x j≠x0，则称x0是f（x）的一个周期为k的周期点．对于①f（x）＝e x﹣1，当k＝1时，x1＝f（x0）＝e x0﹣1，因为直线y＝x与y＝f（x）只有一个交点（1，1），故①正确；对于②，f（x）＝2（1﹣x），k＝2时，x2＝f（x1）＝2（1﹣x1）＝2[1﹣f（x0）]＝4x0﹣2，由x2＝x0，可得x0＝，x1＝，…，x n＝，不满足当0＜j＜k时，x j≠x0，所以f（x）不存在周期为2的周期点，故②不正确；对于③，当，，，满足题意，故存在周期为3的周期点，故③错误，对于④，f（x）＝x（1﹣x）＝﹣（x﹣）2+，所以f（x）≤，即f（x）＜，所以不是周期点，故④正确．故答案为：①④．【点评】本题考查函数的新定义的理解和运用，主要是周期点的定义，考查运算能力和推理能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（13分）已知函数由下列四个条件中的三个来确定：①最小正周期为π；②最大值为2；③；④f（0）＝﹣2．（Ⅰ）写出能确定f（x）的三个条件，并求f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．【分析】（Ⅰ）若函数f（x）满足条件④，则由f（0）＝A sinφ＝﹣2，推出与A＞0，0＜φ＜矛盾，可得函数f（x）不能满足条件④，由条件①，利用周期公式可求ω＝2，由条件②，可得A＝2，由条件③，可得f（﹣）＝0，结合范围0＜φ＜，可求φ＝，可得函数解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的单调性即可求解．【解答】解：（Ⅰ）若函数f（x）满足条件④，则f（0）＝A sinφ＝﹣2，这与A＞0，0＜φ＜矛盾，故函数f（x）不能满足条件④，所以函数f（x）只能满足条件①，②，③，由条件①，可得＝π，又因为ω＞0，可得ω＝2，由条件②，可得A＝2，∴f（x）＝2sin（2x+φ）由条件③，可得f（﹣）＝2sin（﹣+φ）＝0，∴sin（﹣+φ）＝0，∴﹣+φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝+kπ，k∈Z，又因为0＜φ＜，所以φ＝，所以f（x）＝2sin（2x+）．（Ⅱ）令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，∴﹣+kπ≤x≤+kπ，∴f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，（k∈Z）．【点评】本题主要考查了由y＝A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O是AD边的中点，PO⊥底面ABCD，PO＝1．在底面ABCD 中，BC∥AD，CD⊥AD，BC＝CD＝1，AD＝2．（Ⅰ）求证：AB∥平面POC；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣D的余弦值．【分析】（Ⅰ）先证明四边形ABCO是平行四边形，即可得到AB∥OC，由线面平行的判定定理证明即可；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，利用待定系数法求出平面BAP的法向量，由向量的夹角公式求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：在四边形ABCD中，因为BC∥AD，，O是AD的中点，则BC∥AO，BC＝AO，所以四边形ABCO是平行四边形，所以AB∥OC，又因为AB⊄平面POC，CO⊂平面POC，所以AB∥平面POC；（Ⅱ）连结OB，因为PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OB，PO⊥OD，又因为点O时AD的中点，且，所以BC＝OD，因为BC∥AD，CD⊥AD，BC＝CD，所以四边形OBCD是正方形，所以BO⊥AD，建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，﹣1，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），所以，设平面BAP的法向量为，则，即，令y＝1，则x＝z＝﹣1，故，因为OB⊥平面PAD，所以是平面PAD的一个法向量，所以＝，由图可知，二面角B﹣AP﹣D为锐角，所以二面角B﹣AP﹣D的余弦值为．【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理的应用，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．18．（14分）我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困．为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对A，B两个地区2019年脱贫家庭进行简单随机抽样，共抽取500户家庭作为样本，获得数据如表：A地区B地区100户150户2019年人均年纯收入超过10000元200户50户2019年人均年纯收入未超过10000元假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立．（Ⅰ）从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，估计该家庭2019年人均年纯收入超过10000元的概率；（Ⅱ）在样本中，分别从A地区和B地区2019年脱贫家庭中各随机抽取1户，记X为这2户家庭中2019年人均年纯收入超过10000元的户数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，发现这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元．根据这个结果，能否认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年有变化？请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用概率公式求解即可；（Ⅱ）确定X的取值，分别求解其概率，然后列出分布列求出数学期望即可；（Ⅲ）先通过2019年的样本数据可得0.012，然后据此说明理由即可．【解答】解：（Ⅰ）设事件C：从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过10000元，从表格数据可知，A地区抽出的300户家庭中2019年人均年收入超过10000元的有100户，因此P（C）可以估计为＝；（Ⅱ）设事件A：从样本中A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过10000元，设事件B：从样本中B地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过10000元，由题意可知，X的可能取值为0，1，2，＝，＝＝，＝，所以X的分布列为：X012P所以X的数学期望为E（X）＝＝；（Ⅲ）设事件E为“从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元”，假设样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年没有变化，则由2019年的样本数据可得0.012．答案示例1：可以认为有变化，理由如下：P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年发生了变化，所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化，理由如下：事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．【点评】本题考查了离散型随机变量及其分布列以及离散型随机变量的期望，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．19．（15分）已知椭圆C的短轴的两个端点分别为A（0，1），B（0，﹣1），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程及焦点的坐标；（Ⅱ）若点M为椭圆C上异于A，B的任意一点，过原点且与直线MA平行的直线与直线y＝3交于点P，直线MB与直线y＝3交于点Q，试判断以线段PQ为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由题意可得b的值，再由离心率及a，b，c之间的关系求出a的值，进而求出椭圆的方程；（Ⅱ）设直线MA的方程，由题意可得直线OP的方程，与y＝3联立求出P的坐标，将直线AM的方程与椭圆联立求出M的坐标，进而求出直线BM的方程，与y＝3联立求出Q的坐标，设以PQ为直径的圆的方程过T点，可得数量积＝0，求出T的坐标，即圆过的定点的坐标．【解答】解（Ⅰ）由题意可得b＝1，e＝＝，c2＝a2﹣b2，解得a2＝3，所以椭圆的方程为：+y2＝1，且焦点坐标（±，0）；（Ⅱ）设直线MA的方程为：y＝kx+1，（k≠0）则过原点的直线且与直线MA平行的直线为y＝kx，因为P是直线y＝kx，y＝3的交点，所以P（，3），因为直线AM的方程与椭圆方程+y2＝1联立：，整理可得：（1+3k2）x2+6kx＝0，可得x M＝﹣，y M＝+1＝，即M（﹣，），因为B（0，﹣1），直线MB的方程为：y＝﹣﹣1，联立，解得：y＝3，x＝﹣12k，由题意可得Q（﹣12k，3），设T（x0，y0），所以＝（x0﹣，y0﹣3），＝（x0+12k，y0﹣3），由题意可得以线段PQ为直径的圆过T点，所以＝0，所以（x0﹣，y0﹣3）•（x0+12k，y0﹣3）＝0，可得x02+12kx0﹣x0﹣36+y02﹣6y0+9＝0，①，要使①成立，，解得：x0＝0，y0＝﹣3，或x0＝0，y0＝9，所以T的坐标（0，﹣3）或（0，9）．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，以线段为直径的圆的方程恒过定点可得数量积为0的性质，属于中档题．20．（15分）已知函数f（x）＝（ax﹣1）e x（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线y＝ax+a与曲线y＝f（x）相切，求证：a∈（﹣1，）．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，根据直线和f（x）相切，得到a＝，结合y＝的单调性证明结论成立即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝（ax+a﹣1）e x，令f′（x）＝0，得ax＝1﹣a，当a＝0时，f′（x）＝﹣e x＜0，y＝f（x）在R单调递减，当a＞0时，x，f′（x），f（x）的变化如下：x（﹣∞，）（，+∞）f′（x）﹣0+f（x）递减极小值递增当a＜0时，x，f′（x），f（x）的变化如下：x（﹣∞，）（，+∞）f′（x）+0﹣f（x）递增极大值递减综上：当a＝0时，y＝f（x）在R单调递减，当a＞0时，y＝f（x）的单调递增区间是（﹣∞，），单调递减区间是（，+∞），当a＜0时，y＝f（x）的单调递增区间是（﹣∞，），单调递减区间是（，+∞）；（Ⅱ）证明：由题意得f′（x）＝（ax+a﹣1）e x，设直线y＝ax+a与曲线y＝f（x）相切于点（x0，y0），则，由①﹣②得﹣a＝ax0，即a（+x0）＝0，若a＝0，则f（x）＝﹣e x，ax+a＝0，直线y＝0与曲线y＝f（x）不相切，不符合题意，所以a≠0，所以+x0＝0，③，令φ（x）＝e x+x，则φ′（x）＝e x+1＞0，故φ（x）单调递增，∵φ（﹣）＝﹣＞0，φ（﹣1）＝e﹣1﹣1＜0，故存在唯一x0∈（﹣1，﹣）使得+x0＝0，将③代入①得a+ax0﹣x0+a＝0，故a＝＝，易知在（﹣1，﹣）内y＝x++1单调递减，且x++1＜0，故y＝在（﹣1，﹣）内单调递增，∵x0∈（﹣1，﹣），∴﹣1＜a＜﹣，故a∈（﹣1，﹣）．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．21．（15分）设数列A m：a1，a2，…，a m（m≥2），若存在公比为q的等比数列B m+1：b1，b2，…，b m+1，使得b k＜a k＜b k+1，其中k＝1，2，…，m，则称数列B m+1为数列A m的“等比分割数列”．（Ⅰ）写出数列A4：3，6，12，24的一个“等比分割数列”B5；（Ⅱ）若数列A10的通项公式为a n＝2n（n＝1，2，…，10），其“等比分割数列”B11的首项为1，求数列B11的公比q的取值范围；（Ⅲ）若数列A m的通项公式为a n＝n2（n＝1，2，…，m），且数列A m存在“等比分割数列”，求m的最大值．【分析】（Ⅰ）根据“等比分割数列”的定义即可求解；（Ⅱ）根据定义可得q n﹣1＜2n＜q n（n＝1，2，3，…，10），从而求得q＞2，且q n﹣1＜2n（n＝1，2，3，…，10），n＝1时显然成立，当n＝2，3，…，10时，将q n﹣1＜2n转化为q＜，利用指数函数的单调性即可求得q的取值范围；（Ⅲ）设B m+1是数列A m的“等比分割数列”，首项为b1，公比为q，由定义可得b1q n﹣1＜n2＜b1q n（n ＝1，2，…，m），设m≥6，解不等式可推出矛盾，可得m≤5，当m＝5时，取b1＝0.99，q＝2.09，满足定义，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）根据定义可得数列A4：3，6，12，24的一个“等比分割数列”B5：2，4，8，16，32．（答案不唯一）（Ⅱ）由题意可得，q n﹣1＜2n＜q n（n＝1，2，3，…，10），所以q＞2，且q n﹣1＜2n（n＝1，2，3，…，10），当n＝1时，1＜2成立；当n＝2，3，…，10时，应有q＜成立，因为y＝2x在R上单调递增，所以＝随着n的增大而减小，故q＜，综上，q的取值范围是（2，）．（Ⅲ）设B m+1是数列A m的“等比分割数列”，首项为b1，公比为q，由题意，应有b1q n﹣1＜n2＜b1q n（n＝1，2，…，m），显然b1＞0，q＞0，设m≥6，此时有b1＜1＜b1q＜4＜b1q2＜9＜b1q3＜16＜b1q4＜25＜b1q5＜36＜b1q6＜…．所以＞，可得q3＞9，所以q＞＞2，又b1q3＞9，所以b1q5＞9×22＝36，与b1q5＜36＜b1q6矛盾，故m≤5，又当m＝5时，取b1＝0.99，q＝2.09，可得0.99＜1＜0.99×2.09＜4＜0.99×2.092＜9＜0.99×2.093＜16＜0.99×2.094＜25＜0.99×2.095，所以m＝5时成立，综上，m的最大值为5．【点评】本题主要考查新定义，数列的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．。

2023年北京朝阳区高三一模数学试卷(解析版)

2023年北京朝阳区高三一模数学试卷(详解)一、单选题2.A.B.C.D.【答案】【解析】若，则（）A 【分析】根据不等式的性质判断A ，取特殊值判断BCD.【详解】，，即，故A 正确；取，则不成立，故B 错误；取，则不成立，故C 错误；取，则，故D 错误.故选：A1.A.B.C.D.【答案】【解析】已知集合，集合，则（）C 【分析】化简，再由集合并集的运算即可得解.【详解】由题意，，所以.故选：C.3.A.5B.6C.7D.8【答案】【解析】设，若，则（）A 【分析】先求出展开式第项，再由列出方程，即可求出的值.【详解】展开式第项，∵，∴，∴.故选：A.4.A. B.C.D.【答案】【解析】已知点，．若直线上存在点P ，使得，则实数k 的取值范围是（）D 【分析】将问题化为直线与圆有交点，注意直线所过定点与圆的位置关系，再应用点线距离公式列不等式求k 的范围.【详解】由题设，问题等价于过定点的直线与圆有交点，又在圆外，所以只需，可得.故选：D5.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】【解析】已知函数，则“”是“”的（）C 【分析】由的奇偶性、单调性结合充分条件、必要条件的概念即可得解.【详解】因为定义域为，，所以为奇函数，且为上的增函数.当时，，所以，即“”是“”的充分条件，当时，，由的单调性知，，即，所以“”是“”成立的必要条件.综上，“”是“”的充要条件.故选：C6.A.B.C.2D.或2过双曲线的右焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为A ．若（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）【答案】【解析】B 【分析】由题意易得所以，从而，再由求解.【详解】解：在中，因为，所以，则，所以，故选：B7.A.B.C.D.【答案】【解析】在长方体中，与平面相交于点M ，则下列结论一定成立的是（）C 【分析】根据平面交线的性质可知，又平行线分线段成比例即可得出正确答案，对于ABD 可根据长方体说明不一定成立.【详解】如图，连接，交于，连接，，在长方体中，平面与平面的交线为,而平面，且平面，所以，又，，所以，故C 正确.对于A ，因为长方体中与不一定垂直，故推不出，故A 错误；对于B ，因为长方体中与不一定相等，故推不出，故B 错误；对于D ，由B 知，不能推出与垂直，而是中线，所以推不出，故D 错误.故选：C8.A.的一个周期为B.的最大值为C.的图象关于直线对称D.在区间上有3个零点【答案】【解析】声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（）D 【分析】A.代入周期的定义，即可判断；B.分别比较两个函数分别取得最大值的值，即可判断；C.代入对称性的公式，即可求解；D.根据零点的定义，解方程，即可判断.【详解】A.，故A 错误；B.，当，时，取得最大值1，，当，时，即，时，取得最大值，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以的最大值不是，故B 错误；C.，所以函数的图象不关于直线对称，故C 错误；D.，即，，即或，解得：，所以函数在区间上有3个零点，故D 正确.故选：D9.A.5B.10C.13D.26【答案】【解析】如图，圆M 为的外接圆，，，N 为边BC 的中点，则（）C 【分析】由三角形中线性质可知，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知，同理可得，再由数量积运算即可得解.【详解】是BC 中点，，M 为的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，，同理可得，.故选：C10.A.14B.15C.16D.17【答案】【解析】已知项数为的等差数列满足，．若，则k 的最大值是（）B 【分析】通过条件，，得到，再利用条件得到，进而得到不等关系：，从而得到的最大值.【详解】由，，得到，即，当时，恒有，即，所以，由，得到，所以，，整理得到：，所以.故选：B二、填空题11.【答案】【解析】【踩分点】若复数，则 .根据以及复数商的模等于复数的模的商，计算可得答案.【详解】因为，所以.故答案为：【点睛】本题考查了复数模的性质，考查了复数的模长公式，属于基础题.12.【答案】函数的值域为．【解析】【踩分点】【分析】利用对数函数和指数函数的图象和性质分别求和的值域，再取并集即可.【详解】因为当时，，当时，，所以函数的值域为，故答案为：13.【答案】【解析】【踩分点】经过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若，则（O 为坐标原点）的面积为．【分析】求出焦点坐标，设直线方程，联立抛物线方程，韦达定理，利用弦长求出直线方程，可求得O 点到直线距离，进一步求出三角形面积.【详解】由题意知，抛物线的焦点，设，，直线AB ：，联立方程，消去x 可得，，韦达定理得，因为，所以，即，所以直线AB ：，所以点O 到直线AB 的距离为，所以.故答案为：14.【答案】【解析】某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：，其中正实数，分别为红、蓝两方初始兵力，t 为战斗时间；，分别为红、蓝两方t 时刻的兵力;正实数a ，b 分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T ．给出下列四个结论：①若且，则；②若且，则；③若，则红方获得战斗演习胜利；④若，则红方获得战斗演习胜利．其中所有正确结论的序号是．①②④【分析】对于①根据已知条件利用作差法比较大小即可得出，所以①正确；对于②，利用①中结论可得蓝方兵力先为0，即解得，②正确；对于③和④，若要红方获得战斗演习胜利，分别解出红、蓝两方兵力为0时所用时间、，比较大小即可知③错误，④正确.【详解】对于①，若且，则，即，所以，由可得，即①正确；对于②，当时根据①中的结论可知，所以蓝方兵力先为0，即，化简可得，即，两边同时取对数可得，【踩分点】即，所以战斗持续时长为，所以②正确；对于③，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可，设红方兵力为0时所用时间为，蓝方兵力为0时所用时间为，即，可得同理可得即，解得又因为都为正实数，所以可得，红方获得战斗演习胜利；所以可得③错误，④正确.故答案为：①②④.三、解答题15.【答案】【解析】在中，，，．（1）若，则；（2）当（写出一个可能的值）时，满足条件的有两个．（答案不唯一）【分析】（1）求出，再由余弦定理求解即可；（2）根据已知两边及一边的对角求三角形解得情况，建立不等式求出的范围即可得解.【详解】（1），，，，由余弦定理，，即，解得.【踩分点】（2）因为,,所以当时，方程有两解，即，取即可满足条件（答案不唯一）16.【答案】【解析】如图，在三棱柱中，平面ABC ，D ，E 分别为AC ，的中点，，．(1)求证：平面BDE ；(2)求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；(3)求点D 到平面ABE 的距离．(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）根据线面垂直的性质得到，根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）利用空间向量的方法求线面角即可；（3）利用空间向量的方法求点到面的距离即可.【详解】（1）在三棱柱中，，为，的中点，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴，在三角形中，，为中点，∴，∵，平面，∴平面.（2）如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，在直角三角形中，，，∴，，，，，，，，设平面的法向量为，，令，则，，所以，设直线与平面所成角为，所以.（3）设点到平面的距离为，所以.【踩分点】17.设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在．(1)求函数的解析式；(2)求在区间上的最大值和最小值．条件①：；条件②：的最大值为；条件③：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．【答案】【解析】【踩分点】(1)选择条件②③，(2)最大值为，最小值为.【分析】（1）由正弦函数和余弦函数的奇偶性可排除条件①，先利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的图象和性质即可求解；（2）利用整体代入法，结合正弦函数的图象和性质即可求解.【详解】（1）若选择条件①，因为，所以，由可得对恒成立，与矛盾，所以选择条件②③，由题意可得，设，由题意可得，其中，，因为的最大值为，所以，解得，所以，，由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得，所以解得，所以.（2）由正弦函数的图象可得当时，，，所以在区间上的最大值为，最小值为.18.【答案】【解析】某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：性别人数获奖人数一等奖二等奖三等奖男生200101515女生300252540假设所有学生的获奖情况相互独立．(1)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；(2)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X 表示这2名学生中获奖的人数，求X 的分布列和数学期望；(3)用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为，试比较与的大小．（结论不要求证明）(1)(2)分布列见解析，期望(3)【分析】（1）直接计算概率；（2）的所有可能取值为0,1,2，求出高一男生获奖概率和高一女生获奖概率，再计算概率得到分布列，最后计算期望即可；（3）计算出，，比较大小即可.【详解】（1）设事件为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名,抽到的2名学生都获一等奖”，则，【踩分点】（2）随机变量的所有可能取值为0,1,2.记事件为“从该地区高一男生中随机抽取1名,该学生获奖”,事件为“从该地区高一女生中随机抽取1名,该学生获奖”.由题设知,事件,相互独立,且估计为估计为.所以,,.所以的分布列为12故的数学期望（3），理由：根据频率估计概率得，由（2）知，，故，则.19.【答案】已知函数．(1)求的单调区间；(2)若对恒成立，求a 的取值范围；(3)证明：若在区间上存在唯一零点，则．(1)答案见解析(2)(3)证明见解析【解析】【分析】（1）讨论、，结合导数的符号确定单调区间；（2）由，讨论、研究导数符号判断单调性，进而判断题设不等式是否恒成立，即可得参数范围；（3）根据（2）结论及零点存在性确定时在上存在唯一零点，由零点性质及区间单调性，应用分析法将问题转化为证在上恒成立，即可证结论.【详解】（1）由题设，当时，，则在R上递增；当时，令，则，若，则，在上递减；若，则，在上递增；综上，时的递增区间为R，无递减区间；时的递减区间为，递增区间为.（2）由，当时，在上恒成立，故在上递增，则，满足要求；当时，由（1）知：在上递减，在上递增，而，所以在上递减，在上递增，要使对恒成立，所以，只需，令且，则，即递减，所以，故在上不存在；综上，（3）由（2）知：时，在恒有，故不可能有零点；【踩分点】时，在上递减，在上递增，且，所以上，无零点，即，且趋向于正无穷时趋向正无穷，所以，在上存在唯一，使，要证，只需在上恒成立即可，令，若，则，令，则，即在上递增，故，所以，即在上递增，故，所以在上恒成立，得证；故，得证.【点睛】关键点点睛：第三问，通过讨论确定在某一单调区间上存在唯一零点的a 的范围后，应用分析法证恒成立即可.20.【答案】【解析】已知椭圆经过点．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)设椭圆E 的左顶点为A ，直线与E 相交于M ，N 两点，直线AM 与直线相交于点Q ．问：直线NQ 是否经过x 轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由．(1)椭圆E 的方程为，离心率为.(2)直线过定点.【分析】(1)根据椭圆经过点即可求得椭圆方程，利用离心率公式即可求离心率；(2)表示出直线的方程为，即可求得点，再利用点斜式表示得直线的方程为，即可求出与轴的交点，利用韦达定理等量替换即可求出直线NQ 恒过的定点.【详解】（1）因为椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆E的方程为，因为所以，所以离心率为.（2）直线过定点，理由如下：由可得，显然，设则有直线的方程为令，解得，则，所以直线的斜率为且，所以直线的方程为令，则所以直线过定点.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于利用直线的点斜式方程求的点点的坐标，再利用点斜式方程表示出直线与轴的交点横坐标，利用韦达定理等量代换求恒过定点.【踩分点】21.【答案】【解析】已知有穷数列满足．给定正整数m ，若存在正整数s ，，使得对任意的，都有，则称数列A 是连续等项数列．(1)判断数列是否为连续等项数列？是否为连续等项数列？说明理由；(2)若项数为N 的任意数列A 都是连续等项数列，求N 的最小值；(3)若数列不是连续等项数列，而数列，数列与数列都是连续等项数列，且，求的值．(1)数列是连续等项数列，不是连续等项数列，理由见解析；(2)11(3)0【分析】（1）根据新定义直接验证数列，1，0，1，0，1，，可得结论；（2）先根据新定义证明时，数列一定是连续等项数列，再验证时，不是连续等项数列即可；（3）由都是连续等项数列可得，，再由反证法证得，即可得出的值.【详解】（1）数列是连续等项数列，不是连续等项数列，理由如下:因为，所以是连续等项数列.因为为；为；为;为，所以不存在正整数，使得.所以A 不是连续等项数列.（2）设集合，则中的元素个数为.因为在数列中，所以.若，则.所以在这个有序数对中，至少有两个有序数对相同，即存在正整数，使得.所以当项数时，数列一定是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若,数列不是连续等项数列.所以的最小值为11.（3）因为与都是连续等项数列，所以存在两两不等的正整数,使得，下面用反证法证明.假设，因为，所以中至少有两个数相等.不妨设，则所以是连续等项数列，与题设矛盾.所以.所以.【点睛】方法点睛：对于新定义问题，一般先要读懂定义内容，第一问一般是给具体的函数或数列验证是否满足所给定义，只需要结合新定义，验证即可，在验证过程中进一步加强对新定义的理解，第二步一般在第一步强化理解的基础上，所给函数或数列更加一般或复杂，进一步利用新定义处理，本题第三问根据与都是连续等项数列得出，，利用反证法求是关键点.【踩分点】。

2021-2022学年北京市朝阳区高三一模数学试卷参考答案

北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一数学参考答案 2022．3一、选择题：（本题满分40分）二、填空题：（本题满分25分）三、解答题：（本题满分85分）（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）因为sin cos 0a C c A +=，由正弦定理sin sin a cA C =，得sin sin sin cos 0A C C A +=，即sin (sin cos )0C A A +=．因为(0,)C ∠∈π，所以sin 0C ≠．所以sin cos 0A A +=．所以2A π∠≠.所以cos 0A ≠．所以sin tan 1cos AA A ==-．所以4A 3π∠=． ········································································· 6分（Ⅱ）选条件②③：由正弦定理sin sin a bA B =，及a =sin B ，sin 4=，所以b ．因为3=4A π∠，所以(0,)4B π∠∈，所以cos B=．所以sin sin()sin cos cos sinC A B A B A B=+=+=(+．所以11sin122ABCS ab C===△． ······························· 13分选条件①③：由余弦定理2222cosa b c bc A=+-，及b=，得222102c c=++解得c=．所以2b=．所以11sin2122ABCS bc A==⨯=△． ··································· 13分（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）由题意得，(0.0060.0180.0320.0200.010)101t+++++⨯=，解得0.014t=．因为0.06450.14550.18650.32750.20850.109572.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以估计全校学生的平均成绩为72.6．···········································4分（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，3．3103152491(0)CP XC===，211053151(14)59C CP XC===，121053151(22)9C CP XC===，35315291(3)CP XC===．所以X的分布列为所以X 的数学期望为2445202()0123191919191E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ··········· 10分（Ⅲ）()()D X D Y =． ········································································ 13分（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为AC DB ⊥，EF DB ∥，所以AC EF ⊥．所以1A H EF ⊥，HC EF ⊥．又因为1A H ⊂平面1A HC ，HC ⊂平面1A HC ，1A HHC H =，所以EF ⊥平面1A HC ． ····························································· 4分（Ⅱ）（i ）因为平面1A EF ⊥平面BCDFE ，平面1A EF平面BCDFE EF =，1A H ⊂平面1A EF ，1A H EF ⊥，所以1A H ⊥平面BCDFE ．因为HC ⊂平面BCDFE ，所以1A H HC ⊥．又因为HC EF ⊥，如图建立空间直角坐标系H xyz -，则(0,0,0)H ，1(0,0,2)A ，(0,3,0)C ， (1,1,0)B ，(1,1,0)D -，2(,0,0)3F -．所以1(0,3,2)A C =-，(1,2,0)DC =．设平面1A DC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则10,0,A C DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即320,20.y z x y -=⎧⎨+=⎩ 令3z =，则2y =，4x =-．所以(4,2,3)=-n ．由（I ）可知，EF ⊥平面1A HC ，所以平面1A HC 的一个法向量是(1,0,0)=m ．所以cos ,||||n m n m n m ⋅〈〉===．由题可知，二面角1D AC H --为锐角，． ·································································· 10分（ii ）设(,,)N x y z 是线段1A F 上一点，设11A N A F λ=(0)[,1]λ∈．则2(,,2)(,0,2)3x y z λ-=--．解得23x λ=-，0y =，22z λ=-．所以2(1,1,22)3NB λλ=+-．因为2104(1)23(22)8033NB λλλ⋅=-+++-=-<n ，所以0NB ≠⋅n ．所以直线BN 与平面1A DC 相交． ················································· 14分（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）()1e x f x a '=-，因为曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴重合，所以(1)1e =0f a '=-．所以1=ea , 经检验符合题意. ······················································· 4分（Ⅱ）①当0a 时，()e 10x f x a '=-+>，函数()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递增，所以()f x 在区间(1,)+∞上无极值．所以0a 不合题意．②当0a >时，令()e 10x f x a '=-+=，解得1=ln x a．当1<ln x a 时，()0f x '>，函数()f x 在区间1(,ln )a -∞上单调递增；当1>lnx a 时，()0f x '<，函数()f x 在区间1(ln ,)a+∞上单调递减．所以当1=lnx a时，函数()f x 取得极大值．令1ln1a>，解得10<e a <．所以a 的取值范围是1(0,)e． ···················································· 10分（Ⅲ）由题可知，2()(2)2e x g x f x x a -=-=--，10<ea <．则2()e 1x g x a -'=-．令()0g x '=，即2e 10x a --=，解得=2+ln x a ．因为10<ea <，则ln 1a <-，所以2+ln 1a <．当(1,)x ∈+∞，()0g x '<，所以函数()g x 在区间(1,)+∞上单调递减．…15分（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）由已知得半焦距1c =，因为椭圆C 过点3(1,)2，由椭圆定义得352422a =+=，所以2a =．又因为222a b c =+，所以b所以椭圆方程为22143x y +=．离心率e 12c a ==． ···························· 5分（Ⅱ）依题可设直线:4l x my =+．由224,1,43x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)24360m y my +++=．令222357640144()144(4)m m m ∆-=-=+>，得2m >或2m <-．设2121(,),(,)A x y B x y ，21y y ≠，则1212222436,3434m y y y y m m +=-=++，所以121223()my y y y =-+．由题得23(4,),(1,)M y Q m-，则22113,43MA MQ y y y m k k x +-=-=．则21212112112123()3()3()333(4)()()MA MQ k y y y y y y k my y y x y my y m m---===---+-+2121121123()3()233()3()22y y y y y y y y y =---==+-．···································· 15分（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）{0,5,10,15,20}X X +=，{2,1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}X Y +=--．··································· 4分（Ⅱ）因为111213123n n n n n x x x x x x x x x x x x x x +<+<+<<+<+<+<<+，所以X X +中至少包含21n -个元素，所以||21X X n +-．因为||X n =，由题得||2X X n +<，又因为||X X +是整数，所以||21X X n +-．所以||21X X n +=-．所以X X +中的所有元素为111213123,,,,,,,,n n n n n x x x x x x x x x x x x x x +++++++．又因为1122121223,,,,,,,,n n n n n x x x x x x x x x x x x x x -+++++++是X X +中的21n -个元素，且2112212132n n n n n x x x x x x x x x x x x x x -+<+<+<<+<+<+<<+，所以121j j x x x x -+=+（2,3,,j n =），即121j j x x x x --=-（2,3,,j n =），所以112210n n n n x x x x x x ----=-==->．所以数列12,,,n x x x 是等差数列． ················································· 9分（Ⅲ）因为{|}B k m k m =∈-Z ，所以||21B m =+．设1(21)n x x m q r -=++，其中,q r ∈N ，02r m ．设{}i a 是首项为1x m +，公差为21m +的等差数列，即1(1)(21)i a x m i m =++-+，i *∈N ．令集合121{,,,}q A a a a +=，则111||111121||||n n n x x r x x r x xA q mB B -----=+=+=+++．所以1111{,1,2,,(21)2}A B x x x x m q m +=+++++，即11{|(21)2}A B t x t x m q m +=∈+++Z ．因为11(21)(21)2n x x m q r x m q m =++++++，所以112{|}{,,,}n n A B t x t x x x x +⊇∈⊇Z ．所以X A B ⊆+． ······································································· 15分。

北京市朝阳区高三一模理科数学试题及答案

北京市朝阳区高三一模理科数学试题及答案一、选择题（共5小题；共25分）1. 若集合，集合，则等于A. B. C. D.2. 已知平面向量，满足：，，则与的夹角为______A. B. C. D.3. 如图，设区域，向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落入到阴影区域的概率为______A. B. C. D.4. 在中，，“ ” 是“ ”的______A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 执行如图所示的程序框图，输出的值为______A. B. C. D.二、填空题（共1小题；共5分）6. 双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是，则 ______；此双曲线的离心率为______．三、解答题（共2小题；共26分）7. 已知函数，．（1）求的值及函数的最小正周期；（2）求函数在上的单调减区间．8. 已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若函数在区间的最小值为，求的值．四、选择题（共3小题；共15分）9. 复数在复平面内对应的点位于______A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限10. 已知函数．下列命题：①函数的图象关于原点对称；②函数是周期函数；③当时，函数取最大值；④函数的图象与函数的图象没有公共点，其中正确命题的序号是______A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④11. 直线与圆交于不同的两点，，且，其中是坐标原点，则实数的取值范围是______A.B.C.D.五、填空题（共4小题；共20分）12. 在各项均为正数的等比数列中，，，则该数列的前项和为______．13. 在极坐标系中，为曲线上的点，为曲线上的点，则线段长度的最小值是______．14. 某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积为______；表面积为______．15. 有标号分别为、、的红色卡片张，标号分别为、、的蓝色卡片张．现将全部的张卡片放在行列的格内（如图）．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数为______．（用数字作答）六、解答题（共2小题；共26分）16. 已知椭圆经过点，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于，两点，点是椭圆的右顶点．直线与分别与轴交于点、，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点?若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．17. 从中这个数中取个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为．（1）当，时，写出所有可能的递增等差数列及的值；（2）求；（3）求证：．七、填空题（共1小题；共5分）18. 如图，在四棱锥中，底面．底面为梯形，，，，．若点是线段上的动点，则满足的点的个数是______．答案第一部分1. C2. B3. A4. B5. A第二部分6. ；第三部分7. （1）．．函数的最小正周期为．（2）令得又因为，所以．函数在上的单调减区间为．8. （1）求导，得．（1）当时，，故函数在上单调递减．（2）当时，恒成立，所以函数在上单调递减．（3）当时，令，又因为，解得．①当时，，所以函数在单调递减．②当时，，所以函数在单调递增．综上所述，当时，函数的单调减区间是，当时，函数的单调减区间是，单调增区间为．（2）（1）当时，由（Ⅰ）可知，在上单调递减，所以的最小值为，解得，舍去．（2）当时，由（Ⅰ）可知，①当，即时，函数在上单调递增，所以函数的最小值为，解得．②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为，解得，舍去．③当，即时，函数在上单调递减，所以函数的最小值为，得，舍去．综上所述，．第四部分9. B 10. C11. D第五部分12.13.14. ；15.第六部分16. （1）由题意，得解得，．所以椭圆的方程是．（2）以线段为直径的圆过轴上的定点．由方程组消去，得由点在椭圆内部，得恒成立．设，，则有而，则直线的方程为直线的方程为从而，．若以线段为直径的圆过轴上的定点，则等价于恒成立．由，，得恒成立．因为所以解得．故以线段为直径的圆过轴上的定点．17. （1）符合要求的递增等差数列为，共个．所以．（2）设满足条件的一个等差数列的首项为，公差为，．根据等差数列的通项公式，得则的可能取值为．对于给定的，当分别取时，可得递增等差数列个（如时，，当分别取时，可得递增等差数列个：．其他同理）．所以当取时，可得符合要求的等差数列的个数为（3）设等差数列首项为，公差为，则得记的整数部分是，则即，则的可能取值为．对于给定的，当分别取时，可得递增等差数列个．当取时，则符合要求的等差数列的个数为由，得又因为所以从而即．第七部分18.。

北京朝阳区高三一模数学(理)试题答案

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（理工类）三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1cos 1()sin 222x f x x ωω-=-+1sin cos 22x x ωω=+ sin()6x ωπ=+. …………………………………………4分因为()f x 最小正周期为π，所以2ω=. ………………………………6分所以()sin(2)6f x x π=+.由222262k x k ππππ-≤+≤π+，k ∈Z ，得36k x k πππ-≤≤π+. 所以函数()f x 的单调递增区间为[,36k k πππ-π+]，k ∈Z . ………………8分（Ⅱ）因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈， …………………………………10分所以1sin(2)126x π-≤+≤. ………………………………………12分所以函数()f x 在[0,]2π上的取值范围是[1,12-]. ……………………………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A ：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则 21()42P A ==．答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12．…………………………3分（Ⅱ）设事件B ：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．由（Ⅰ）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12．所以041344111111()1[()()()]222216P B C C =-⋅+⋅=．答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为1116．……………7分（Ⅲ）由题意可知，ξη，的可能取值为1,01-，,2，所以随机变量X 的可能取值为2,101,--，，,24．21(2)448P X=-==⨯； 21(1)448P X=-==⨯； 77(0)4416P X===⨯； 21(=1)448P X ==⨯；21(=2)448P X ==⨯； 11(=4)4416P X ==⨯．所以随机变量X 的分布列为所以1()2101881688164E X =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=24．……………………13分（17）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）由已知，PE PFPB PCλ==，所以 EF BC ．因为BCAD ，所以EFAD ．而EF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以EF平面PAD ． ……………………………………………………4分（Ⅱ）因为平面ABCD ⊥平面PAC ，平面ABCD平面PAC AC =，且PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABCD . 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥．又因为AB AD ⊥，所以,,PA AB AD 两两垂直． ……………………………………………………5分如图所示，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，2PA AD ==，所以()()0,0,01,0,0,A B ,()()()1,1,0,0,2,0,0,0,2C D P ．当12λ=时，F 为PC 中点，所以11(,,1)22F ,所以11(,,1),(1,1,0)22BF CD =-=-．设异面直线BF 与CD 所成的角为θ，所以11|(,,1)(1,1,0)|cos |cos ,|3BF CD θ-⋅-=〈〉==，所以异面直线BF 与CD ．…………………………………9分（Ⅲ）设000(,,)F x y z ，则000(,,2),(1,1,2)PF x y z PC =-=-．由已知PF PC λ=，所以000(,,2)(1,1,2)x y z λ-=-，所以000,,22.x y z λλλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 所以(,,22)AF λλλ=-．设平面AFD 的一个法向量为1111(,,)x y z =n ，因为()0,2,0AD =,所以110,0.AF AD n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1111(22)0,20.x y z y λλλ++-=⎧⎨=⎩令1z λ=，得1(22,0,)λλn =-．设平面PCD 的一个法向量为2222(,,)x y z =n ，因为()()0,2,2,1,1,0PD CD =-=-,所以220,0.PD CD n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2222220,0. y z x y -=⎧⎨-+=⎩令21x =，则2(1,1,1)=n ．若平面AFD ⊥平面PCD ，则120n n ⋅=，所以(22)0λλ-+=，解得23λ=．所以当23λ=时，平面AFD ⊥平面PCD ．…………………………………………14分（18）（本小题满分1 3分）解：函数定义域为{}0x x >，且(2)(1)()2(2).a x a x f x x a x x--'=-++=…………2分 ①当0a ≤，即02a≤时，令()0f x '<，得01x <<，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，令()0f x '>，得1x >，函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞.②当012a <<，即02a <<时，令()0f x '>，得02ax <<或1x >，函数()f x 的单调递增区间为(0,)2a，(1,)+∞.令()0f x '<，得12a x <<，函数()f x 的单调递减区间为(,1)2a.③当12a=，即2a =时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. …7分(Ⅱ)①当0a ≤时，由(Ⅰ)可知，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，()f x 在(1,2]单调递增. 所以()f x 在(]0,2上的最小值为(1)1f a =+，由于22422221121()2(1)10e e e e e e a a f =--+=--+>，要使()f x 在(]0,2上有且只有一个零点，需满足(1)0f =或(1)0,(2)0,f f <⎧⎨<⎩解得1a =-或2ln 2a <-. ②当02a <≤时，由(Ⅰ)可知，（ⅰ）当2a =时，函数()f x 在(0,2]上单调递增；且48414(e )20,(2)22ln 20e ef f -=--<=+>，所以()f x 在(]0,2上有且只有一个零点.（ⅱ）当02a <<时，函数()f x 在(,1)2a 上单调递减，在(1,2]上单调递增；又因为(1)10f a =+>，所以当(,2]2ax ∈时，总有()0f x >.因为22e12a aa +-<<+，所以22222222(e)e[e(2)](ln e22)0a a a a aaaaf a a a ++++----=-++++<.所以在区间(0,)2a 内必有零点.又因为()f x 在(0,)2a 内单调递增，从而当02a <≤时，()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. 综上所述，02a <≤或2ln 2a <-或1a =-时，()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. …………………………………………………………………………………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，依题意得22222,1314a b c c a ab ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得24a =，21b =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ………………………………………………4分（Ⅱ）显然点(2,0)A .（1）当直线l 的斜率不存在时，不妨设点E 在x轴上方，易得(1,(1,22E F -，(3,(3,22M N -，所以1EM FN ⋅=. …………………………………………6分（2）当直线l 的斜率存在时，由题意可设直线l 的方程为(1)y k x =-，显然0k =时，不符合题意. 由22(1),440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=. 设1122(,),(,)E x y F x y ,则22121222844,4141k k x x x x k k -+==++. 直线AE ，AF 的方程分别为：1212(2),(2)22y y y x y x x x =-=---，令3x =，则1212(3,),(3,)22y yM N x x --. 所以1111(3)(3,)2y x EM x x -=--，2222(3)(3,)2y x FN x x -=--. ……………………10分所以11221212(3)(3)(3)(3)22y x y x EM FN x x x x --⋅=--+⋅--121212(3)(3)(1)(2)(2)y y x x x x =--+--2121212(1)(1)(3)(3)(1)(2)(2)x x x x k x x --=--+⋅--2121212121212()1[3()9][1]2()4x x x x x x x x k x x x x -++=-++⨯+⋅-++222222222222244814484141(39)(1)4484141244141k k k k k k k k k k k k k --+-++=-⋅+⋅+⋅-++-⋅+++22221653()(1)414k k k k +-=⋅++22216511164164k k k +==+++. ……………………………………………12分因为20k >，所以21644k +>，所以22165511644k k +<<+，即5(1,)4EM FN ⋅∈.综上所述，EM FN ⋅的取值范围是5[1,)4. ……………………………………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1011()|23|7654321012857kk k S xx τ+==-=+++++++++=∑. ……3分（Ⅱ）数10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍分别如下：20,18,16,14,12,10,8,6,4,2, 30,27,24,21,18,15,12,9,6,3其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为20372131-=，所以()131S τ≤.对于排列0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ=，此时0()131S τ=，所以()S τ的最大值为131. ……………………………………………………………8分（Ⅲ）由于数1,2,3,4所产生的8个数都是较小的数，而数7,8,9,10所产生的8个数都是较大的数，所以使()S τ取最大值的排列中，必须保证数1,2,3,4互不相邻，数7,8,9,10也互不相邻；而数5和6既不能排在7,8,9,10之一的后面，又不能排在1,2,3,4之一的前面.设11x =，并参照下面的符号排列1△○□△○□△○□△○其中2,3,4任意填入3个□中，有6种不同的填法；7,8,9,10任意填入4个圆圈○中，共有24种不同的填法；5填入4个△之一中，有4种不同的填法；6填入4个△中，且当与5在同一个△时，既可以在5之前又可在5之后，共有5种不同的填法，所以当11x =时，使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数为624452880⨯⨯⨯=，由轮换性知，使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数为28800. ……………………………13分。

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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类） 2012.3三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为π()cos()410f αα=-=，所以(cos sin )210αα+=，所以 7cos sin 5αα+=. 平方得，22sin 2sin cos cos αααα++=4925，所以 24sin 225α=. ……………6分（II ）因为()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+=(cos sin )(cos sin )22x x x x +⋅- =221(cos sin )2x x - =1cos 22x . ……………10分当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 所以，当0x =时，()g x 的最大值为12；当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ……………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意，0.0451000200,0.025*******a b =⨯⨯==⨯⨯=. ……………4分（Ⅱ）设其中成绩为优秀的学生人数为x ，则350300100401000x ++=，解得：x =30，即其中成绩为优秀的学生人数为30名. ……………7分（Ⅲ）依题意，X 的取值为0，1，2，2102403(0)52C P X C ===，1110302405(1)13C C P X C ===，23024029(2)52C P X C ===，所以X 的分布列为350125213522EX =⨯+⨯+⨯=，所以X 的数学期望为2. ……………13分（17）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）取AD 的中点N ，连接MN,NF .在△DAB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以1=2MN//AB,MN AB ，又因为1=2EF//AB,EF AB ，所以MN//EF 且MN =EF .所以四边形MNFE 为平行四边形，所以EM//FN .又因为FN ⊂平面ADF ，⊄EM 平面ADF ，故EM//平面ADF . …………… 4分解法二：因为EB ⊥平面ABD ，AB BD ⊥，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-B xyz . ……………1分由已知可得 (0,0,0),(0,2,0),(3,0,0),B A D3(3,-2,0),(,0,0)2C E F M （Ⅰ）3=((3,-2,0)2EM ,AD=u u u r u u u r，设平面ADF 的一个法向量是()x,y,z n =.由0,0,AD AF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r 得32x -y =0,=0.⎧⎪⎨⎪⎩ 令y=3，则n =. 又因为3(=3+0-3=02EM n ⋅=⋅u u u r，所以EM n ⊥u u u r，又EM ⊄平面ADF ，所以//EM 平面ADF . ……………4分NCA F EBMD（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面ADF的一个法向量是n =. 因为EB ⊥平面ABD ，所以EB BD ⊥.又因为AB BD ⊥，所以BD ⊥平面EBAF .故(3,0,0)BD =u u u r是平面EBAF 的一个法向量.所以1cos <=2BD BD,BD n n n ⋅>=⋅u u u ru u u r u u u r，又二面角D-AF -B 为锐角，故二面角D-AF -B 的大小为60︒. ……………10分（Ⅲ）假设在线段EB 上存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒.不妨设(0,0,t)P（0t ≤≤，则=(3,-2,-),=PC AF t u u u r u u u r.所以cos <PC AF PC,AF PC AF ⋅>==⋅u u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r ，2=，化简得35-=，解得0t =<.所以在线段EB 上不存在点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒.…………14分（18）（本小题满分13分）解：因为2e (),1ax f x x =+所以222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+.（Ⅰ）当1a =时, 2e ()1xf x x =+,222e (21)()(1)x x xf x x -+'=+, 所以(0)1,f = (0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……………4分（Ⅱ）因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax ax ax x a f x ax x a x x -+'==-+++， ……………5分（1）当0a =时,由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >.所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减. ……………6分（2）当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……………7分①当01a <<时，此时0∆>.由()0f x '>得x <,或x >；由()0f x '<得11x a a-+<<.所以函数()f x 单调递增区间是1(,a -∞和1()a ++∞,单调递减区间11(,a a +. ……………9分②当1a ≥时，此时0∆≤.所以()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞. ……………10分 ③当10a -<<时，此时0∆>.由()0f x '>x <<；由()0f x '<得x <,或x >.所以当10a -<<时,函数()f x 单调递减区间是1(,a +-∞和1()a +∞,单调递增区间11(a a +-. ……………12分④当1a ≤-时, 此时0∆≤，()0f x '≤，所以函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞. …………13分（19）（本小题满分14分）解: （Ⅰ）依题意，c =1b =，所以a == 故椭圆C 的方程为2213x y +=. ……………4分（Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,3x y ==±.不妨设A，(1,B ，因为132233222k k +=+=，又1322k k k +=，所以21k =，所以,m n 的关系式为213n m -=-，即10m n --=. ………7分 ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213x y +=整理化简得，2222(31)6330k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631k x x k +=+,21223331k x x k -=+. ………9分又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-. 所以12122113121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211212[2(1)](3)[2(1)](3)3()9k x x k x x x x x x ---+---=-++121212122(42)()6123()9kx x k x x k x x x x -++++=-++222222223362(42)6123131336393131k k k k k k k k k k k -⨯-+⨯++++=--⨯+++ 222(126)2.126k k +==+………12分所以222k =，所以2213n k m -==-，所以,m n 的关系式为10m n --=.………13分综上所述，,m n 的关系式为10m n --=. ………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若0:0,1,1,3,0,0A ，则1:1,0,1,3,0,0A ；2:2,1,2,0,0,0A ； 3:3,0,2,0,0,0A ； 4:4,1,0,0,0,0A ； 5:5,0,0,0,0,0A ．若4:4,0,0,0,0A ，则 3:3,1,0,0,0A ； 2:2,0,2,0,0A ； 1:1,1,2,0,0A ；0:0,0,1,3,0A ． ………4分（Ⅱ）先证存在性，若数列001:,,,n A a a a L 满足0k a =及0(01)i a i k >≤≤-，则定义变换1T -，变换1T -将数列0A 变为数列10()T A -：01111,1,,1,,,,k k n a a a k a a -+---L L ．易知1T -和T 是互逆变换． ………5分对于数列,0,0,,0n L 连续实施变换1T -（一直不能再作1T -变换为止）得,0,0,,0n L 1T -−−→1,1,0,,0n -L 1T -−−→2,0,2,0,,0n -L 1T-−−→3,1,2,0,,0n -L 1T -−−→L 1T-−−→01,,,n a a a L ，则必有00a =（若00a ≠，则还可作变换1T -）．反过来对01,,,n a a a L 作有限次变换T ，即可还原为数列,0,0,,0n L ，因此存在数列0A 满足条件．下用数学归纳法证唯一性：当1,2n =是显然的，假设唯一性对1n -成立，考虑n 的情形．假设存在两个数列01,,,n a a a L 及01,,,n b b b L 均可经过有限次T 变换，变为,0,,0n L ，这里000a b ==，1212n n a a a b b b n +++=+++=L L 若0n a n <<，则由变换T 的定义，不能变为,0,,0n L ；若n a n =，则120n a a a ====L ，经过一次T 变换，有0,0,,0,n L T−−→1,1,,1,0L 由于3n ≥，可知1,1,,1,0L （至少3个1）不可能变为,0,,0n L ．所以0n a =，同理0n b =令01,,,n a a a L T−−→121,,,,n a a a '''L ，01,,,n b b b L T−−→121,,,,n b b b '''L ，则0nn a b ''==，所以1211n a a a n -'''+++=-L ，1211n b b b n -'''+++=-L ．因为110,,,n a a -''L T−−−−→有限次-1,0,,0n L ，110,,,n b b -''L T−−−−→有限次-1,0,,0n L ，故由归纳假设，有i i a b ''=，1,2,,1i n =-L ．再由T 与1T -互逆，有01,,,n a a a L T−−→111,,,,0n a a -''L ，01,,,n b b b L T−−→111,,,,0nb b -''L ，所以i i a b =，1,2,,i n =L ，从而唯一性得证． ………9分（Ⅲ）显然i a i ≤(1,2,,)i n =L ，这是由于若对某个0i ，00i a i >，则由变换的定义可知，0i a通过变换，不能变为0．由变换T 的定义可知数列0A 每经过一次变换，k S 的值或者不变，或者减少k ，由于数列0A 经有限次变换T ，变为数列,0,,0n L 时，有0m S =，1,2,,m n =L ，所以m m S mt =(m t 为整数)，于是1m m m S a S +=+1(1)m m a m t +=++，0m a m ≤≤，所以m a 为m S 除以1m +后所得的余数，即[](1)1mm m S a S m m =-++．………13分。