2020年高三数学一模试卷-普陀区含答案

普陀区2019学年第一学期高三数学质量调研

考生注意:

1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟.

2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.

3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.

1．若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2

，则实数m 的值为 .

2. 132lim 31

n n

n

n +→∞+=+ . 3. 不等式

1

1x

>的解集为 . 4. 已知i 为虚数单位，若复数1

i 1i

z m =

++是实数，则实数m 的值为 . 5. 设函数()log (4)a f x x =+（0a >且1a ≠），若其反函数的零点为2，则a =_______. 6. 631

(1)(1)x x

+

-展开式中含2x 项的系数为__________（结果用数值表示）. 7. 各项都不为零的等差数列{}n a （*N n ∈）满足2

2810230a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且

88a b =，则4911b b b = _ .

8. 设椭圆Γ：()22

211x y a a

+=>，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP ∆是

等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA =，则Γ的长轴长等于_________.

9. 记,,,,,a b c d e f 为1,2,3,4,5,6的任意一个排列，则()()()a b c d e f +++为偶数的排列的个数共有________.

10. 已知函数()()()22+815f x x x ax bx c

=+++(),,a b c R ∈是偶函数，若方程2

1ax

bx c ++=在

区间[]1,2上有解，则实数a 的取值范围是___________.

11. 设P

是边长为123456A A A A A A 的边上的任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦，则PM PN ⋅的取值范围为___________.

12. 若M 、N 两点分别在函数()y f x =与()y g x =的图像上，且关于直线1x =对称，则称M 、N 是()y f x =与()y g x =的一对“伴点”

（M 、N 与N 、M 视为相同的一对）. 已知(

)()

)

22x f x x ⎧<=≥，()1g x x a =++，若()y f x =与()y g x =存在两对“伴点”，则实数a 的取值范围为 .

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

13. “{}1,2m ∈”是“ln 1m <”成立的 ………………………（ ）

)A (充分非必要条件 ()B 必要非充分条件

()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件

14. 设集合{}

1A x x a =-=，{}1,3,B b =-，若A ⊆B ，则对应的实数对(,)a b 有 …（ ） )A (1对 ()B 2对 ()C 3对 ()D 4对

15. 已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a ，b ，c ，则下列命题中正确的是 ……（ ）

)A (若//a α，b αβ=，则//a b

()B 若a ，b 在平面α内，且c a ⊥，c b ⊥，则c α⊥

()C 若a ，b ，c 是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与a ，b ，c 都相交 ()D 若α，β分别经过两异面直线a ，b ，且c α

β=，则c 必与a 或b 相交

16. 若直线l ：212x y b a a b +=++经过第一象限内的点11

(,)P a b

，则ab 的最大值为 ……

（ ） )A (7

6

()B 4-

()C 5-

()D 6-

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤

17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

如图所示的三棱锥P ABC -的三条棱PA ，AB ，AC 两两互相垂直，22AB AC PA ===,点D 在棱AC 上，且=AD AC λ(0λ>).

（1）当1

=

2

λ时，求异面直线PD 与BC 所成角的大小； （2）当三棱锥D PBC -的体积为2

9

时，求λ的值.

18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

设函数()221

x

x

f x a -=

. （1）当4a =-时，解不等式()5f x <；

（2）若函数()f x 在区间[)2+∞，上是增函数，求实数a 的取值范围.

19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB 进行改建.如图所示，平行四边形OMPN 区域为停车场，其余部分建成绿地，点P 在围墙AB 弧上，点M 和点N 分别在道路OA 和道路OB 上，且=60OA 米，=60AOB ∠︒，设POB θ∠=．

（1）求停车场面积S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；

（2）当θ为何值时，停车场面积S 最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）.

C

M

P

B

A

O