高三数学一模试卷理(含解析)

2016年河南省焦作市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|2x2﹣5x﹣3＞0}，则A∩B=（）

A．{x|﹣1＜x＜﹣，或2＜x＜3} B．{x|2＜x＜3}

C．{x|﹣＜x＜2} D．{x|﹣1＜x＜﹣}

2．若复数z满足z（1+i）=|1+i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．设向量=（2，0），=（1，1），则下列结论中不正确的是（）

A．||=|2| B．?=2 C．﹣与垂直 D．∥

4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（）

A．7 B．8 C．9 D．10

5．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）

A．B．

C．D．

6．若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y=log a|x|的图象是（）

A．B．C．

D．

7．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．8

8．已知函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=．则函数f（x）的单调递

增区间为（）

A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）

C．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）D．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）

9．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，则当n为偶数时，数列{a n}的前n项和S n=（）

A．﹣B． +C．D．

10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）

A．4+B．6 C．4+D．6

11．已知椭圆（a＞b＞0），P为椭圆上与长轴端点不重合的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，过F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，若|OQ|=2b，椭圆的离心

率为e，则的最小值为（）

A．B．C．D．1

12．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n=（）

A．B．C．D．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

13．直线x﹣y+2=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则|AB|= ．

14．若实数x，y满足，则z=|x+2y﹣3|的最小值为．

15．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代

数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b）的距离．结合上述观点，可得f（x）=+的最小值为．

16．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，

若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是．

三、解答题（本大题共5小题，满分60分）解答下列各题应在答题纸的相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC

（Ⅰ）求∠A的大小；

（Ⅱ）若f（x）=，求f（B）的取值范围．

18．在市高三学业水平测试中，某校老师为了了解所教两个班100名学生的数学得分情况，按成绩分成六组：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）统计数据如下：

分数段[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）人数 2 8 30 30 20 10

（Ⅰ）请根据上表中的数据，完成频率分布直方图，并估算这100学生的数学平均成绩；

（Ⅱ）该教师决定在[110，120），[120，130），[130，140）这三组中用分层抽样抽取6名学生进行调研，然后再从这6名学生中随机抽取2名学生进行谈话，记这2名学生中有ξ名学生在[120，130）内，求ξ的分布列和数学期望．

19．如图所示，平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AD⊥ED，AF ∥DE，AB∥CD，CD=2AB=2AD=2ED=xAF．

（Ⅰ）若四点F、B、C、E共面，AB=a，求x的值；

（Ⅱ）求证：平面CBE⊥平面EDB；

（Ⅲ）当x=2时，求二面角F﹣EB﹣C的大小．

20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），定点M（2，0），以O为圆心，抛物线C的准线与以|OM|为半径的圆所交的弦长为2．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）若直线y=﹣x+m（m∈R）与抛物线交于不同的两点A、B，则抛物线上是否存在定点P （x0，y0），使得直线PA，PB关于x=x0对称．若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

21．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx．

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2lnx，F（x）=3g（x）﹣2xg′（x），若函数F（x）在定义域内有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：＜0．

请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时．用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E 点，F为CE上一点，且DE2=EF?EC．

（Ⅰ）求证：A、P、D、F四点共圆；

（Ⅱ）若AE?ED=12，DE=EB=3，求PA的长．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标

方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ

≤π）．

（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；

（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．

（1）求a+b+c的值；

（2）求a2+b2+c2的最小值．

2016年河南省焦作市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|2x2﹣5x﹣3＞0}，则A∩B=（）

A．{x|﹣1＜x＜﹣，或2＜x＜3} B．{x|2＜x＜3}

C．{x|﹣＜x＜2} D．{x|﹣1＜x＜﹣}

【考点】交集及其运算．

【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．

【解答】解：由B中不等式变形得：（2x+1）（x﹣3）＞0，

解得：x＜﹣或x＞3，即B={x|x＜﹣或x＞3}，

∵A={x|﹣1＜x＜2}，

∴A∩B={x|﹣1＜x＜﹣}，

故选：D．

2．若复数z满足z（1+i）=|1+i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．

【分析】利用复数的代数形式混合运算化简求出复数，得到复数对应点的坐标，即可得到结果．

【解答】解：复数z满足z（1+i）=|1+i|=2，

可得z==1﹣i，复数对应点为（1，﹣1），

在复平面内z的共轭复数对应的点（1，1）．

故选：A．

3．设向量=（2，0），=（1，1），则下列结论中不正确的是（）

A．||=|2| B．?=2 C．﹣与垂直 D．∥

【考点】平面向量的坐标运算．

【分析】根据平面向量的坐标表示与运算，对选项中的命题进行分析判断即可．

【解答】解：∵向量=（2，0），=（1，1），

∴||=2，||===2，||=||，A正确；

?=2×1+0×1=2，B正确；

（﹣）?=（1，﹣1）?（1，1）=1×1﹣1×1=0，∴（﹣）⊥，C正确；

2×1﹣0×1≠0，∴∥不成立，D错误．

故选：D．

4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（）

A．7 B．8 C．9 D．10

【考点】程序框图．

【分析】根据程序框图，知当i=4时，输出S，写出前三次循环得到输出的S，列出方程求出S0的值．

【解答】解：根据程序框图，知当i=4时，输出S，

∵第一次循环得到：S=S0﹣1，i=2；

第二次循环得到：S=S0﹣1﹣4，i=3；

第三次循环得到：S=S0﹣1﹣4﹣9，i=4；

∴S0﹣1﹣4﹣9=﹣4，

解得S0=10

故选：D．

5．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）

A．B．

C．D．

【考点】双曲线的标准方程．

【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为x=﹣6，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在x轴上，则双曲线的左焦点为（﹣6，0），此时由双曲线的性质a2+b2=c2可得a、b的一个

方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，可得=，则得a、b的另

一个方程．那么只需解a、b的方程组，问题即可解决．

【解答】解：因为抛物线y2=24x的准线方程为x=﹣6，

则由题意知，点F（﹣6，0）是双曲线的左焦点，

所以a2+b2=c2=36，

又双曲线的一条渐近线方程是y=x，

所以，

解得a2=9，b2=27，

所以双曲线的方程为．

故选B．

6．若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y=log a|x|的图象是（）A．B．C．

D．

【考点】函数的图象；指数函数的图象变换．

【分析】根据指数函数的图象和性质求出0＜a＜1，利用对数函数的图象和性质进行判断即可．

【解答】解：∵|x|≥0，∴若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，

∴0＜a＜1，

当x＞0时，数y=log a|x|=log a x，为减函数，

当x＜0时，数y=log a|x|=log a（﹣x），为增函数，且函数是偶函数，关于y轴对称，

故选：A

7．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=（）

A．﹣2 B．0 C．1 D．8

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．

【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，

曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，

则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．

由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，

y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，

得ax2+ax+2=0，

又a≠0，两线相切有一切点，

所以有△=a2﹣8a=0，

解得a=8．

故选D．

8．已知函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=．则函数f（x）的单调递

增区间为（）

A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）

C．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）D．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）

【考点】正弦函数的对称性；正弦函数的单调性．

【分析】由题意知函数f（x）=sinx+acosx在x=处取得最值，从而可得（?+a）2=3+a2，从而解出f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），从而确定单调增区间．

【解答】解：∵函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=，

∴函数f（x）=sinx+acosx在x=处取得最值；

∴（?+a）2=3+a2，

解得，a=1；

故f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），

故2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，

故2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，

故选：C．

9．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，则当n为偶数时，数列{a n}的前n项和S n=（）

A．﹣B． +C．D．

【考点】等差数列的前n项和．

【分析】数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，可知：此数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为3，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

【解答】解：数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，

可知：此数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为3，

且a2k﹣1=1+3（k﹣1）=3k﹣2，a2k=2+3（k﹣1）=3k﹣1．

则当n为偶数时，设2k=n，数列{a n}的前n项和S n=+=3k2=．

故选：C．

10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）

A．4+B．6 C．4+D．6

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】作出几何体侧面展开图，将问题转化为平面上的最短问题解决．

【解答】解：由三视图可知几何体为圆锥的一部分，圆锥的底面半径为2，几何体底面圆心角为120°，

∴几何体底面弧长为=．

圆锥高为2．∴圆锥的母线长为．

作出几何体的侧面展开图如图所示：

其中，AB=AB′=2，AB⊥BC，AB′⊥B′D，B′D=BC=2，

AC=AD=4，．

∴∠BAC=∠B′AD=30°，∠CAD=．

∴∠BAB′=120°．

∴BB′==6．

故选D．

11．已知椭圆（a＞b＞0），P为椭圆上与长轴端点不重合的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，过F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，若|OQ|=2b，椭圆的离心率为e，则的最小值为（）

A．B．C．D．1

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】由题意画出图形，利用转化思想方法求得OQ=a，又OQ=2b，得a=2b，进一步得到a，e与b的关系，然后利用基本不等式求得的最小值．

【解答】解：如图，由题意，P是以F1，F2为焦点的椭圆上一点，

过焦点F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，

延长F2Q交F1P延长线于M，得PM=PF2，

由椭圆的定义知PF1+PF2=2a，故有PF1+PM=MF1=2a，

连接OQ，知OQ是三角形F1F2M的中位线，

∴OQ=a，又OQ=2b，

∴a=2b，则a2=4b2=4（a2﹣c2），

即c2=a2，

∴==

=2b+≥2=．

当且仅当2b=，即b=时，有最小值为．

故选：C．

12．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n=（）

A．B．C．D．

【考点】数列与函数的综合．

【分析】根据定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），可得f（x+2）=f （x），从而f（x+2n）=f（x），利用当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x，可求（x）在

[2n﹣2，2n）上的解析式，从而可得f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n，进而利用等比数列的求和公式，即可求得{a n}的前n项和为S n．

【解答】解：∵定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），

∴f（x+2）=f（x），

∴f（x+4）=f（x+2）=f（x），f（x+6）=f（x+4）=f（x），…f（x+2n）=f

（x）

设x∈[2n﹣2，2n），则x﹣（2n﹣2）∈[0，2）

∵当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．

∴f[x﹣（2n﹣2）]=﹣2[（x﹣（2n﹣2）]2+4[x﹣（2n﹣2）]．

∴=﹣2（x﹣2n+1）2+2

∴f（x）=21﹣n[﹣2（x﹣2n+1）2+2]，x∈[2n﹣2，2n），

∴x=2n﹣1时，f（x）的最大值为22﹣n

∴a n=22﹣n

∴{a n}表示以2为首项，为公比的等比数列

∴{a n}的前n项和为S n==

故选B．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．