北京市朝阳区数学一模试题及答案
2022年北京市朝阳区中考数学一模试卷(附答案详解)
2022年北京市朝阳区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.如图是某几何体的三视图，该几何体是()A. 三棱柱B. 长方体C. 圆锥D. 圆柱2.2022年3月5日，国务院总理李克强代表国务院，向十三届全国人大五次会议作政府工作报告．报告中指出过去一年是党和国家历史上具有里程碑意义的一年，“十四五”实现良好开局，我国发展又取得新的重大成就．2021年国内生产总值达114万亿元，增长8.1%.将1140000用科学记数法表示应为()A. 0.114×107B. 1.14×105C. 1.14×106D. 11.4×1043.实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中正确的是()A. a+b>0B. ab>0C. a−b>0 D. |a|>|b|4.将一副三角尺(厚度不计)如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的大小为()A. 100°B. 105°C. 115°D. 120°5.下列多边形中，内角和与外角和相等的是()A. B.C. D.6.不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到颜色相同的球的概率为()A. 23B. 13C. 12D. 147. 如图是国家统计局公布的2021年居民消费价格月度涨跌幅度，月度同比和月度环比的平均数分别为x −同，x −环，方差分别为s 同2，s 环2，则( )A. x −同>x −环，s 同2>s 环2B. x −同>x −环，s 同2<s 环2C. x −同<x −环，s 同2>s 环2D. x −同<x −环，s 同2<s 环28. 点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)在反比例函数y =2x 的图象上，下列推断正确的是( )A. 若x 1<x 2，则y 1<y 2B. 若x 1<x 2，则y 1>y 2C. 若x 1+x 2=0，则y 1+y 2=0D. 存在x 1=x 2使得y 1≠y 2二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9. 若代数式1x−1有意义，则实数x 的取值范围是______． 10. 分解因式：2a 2−4ab +2b 2=______． 11. 写出一个比4大且比5小的无理数：______．12. 如图，AC ，BC 是⊙O 的弦，PA ，PB 是⊙O 的切线，若∠C =60°，则∠P =______．13. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在AC 上(不与点A ，C 重合)，只需添加一个条件即可证明△ABC 和△BDC 相似，这个条件可以是______(写出一个即可)．14. 如图，2022年北京冬奥会上，一些可看作正六边形的“小雪花”对称地排列在主火炬周围，中间空出了13个“小雪花”的位置来突出主火炬．在其中91个“小雪花”上面写有此次参会的国家或地区的名称，此外还有几个“小雪花”上面只有中国结图案．这些只有中国结图案的“小雪花”共有______个．15.若关于x的一元二次方程(a−1)x2+a2x−a=0有一个根是x=1，则a的值为______．16.尊老敬老是中华民族的传统美德，某校文艺社团的同学准备在“五一”假期去一所敬老院进行慰问演出，他们一共准备了6个节目，全体演员中有8人需参加两个或两个以上的节目演出，情况如表：度考虑，首尾两个节目分别是A，F，中间节目的顺序可以调换，请写出一种符合条件的节目先后顺序______(只需按演出顺序填写中间4个节目的字母即可)．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.计算：2cos30°+|−√3|−(π−√3)0−√12．四、解答题（本大题共11小题，共63.0分）18.解不等式组：{x−3(x−2)≥4 x−1<1+2x3．19.已知x2+x−3=0，求代数式(2x+3)(2x−3)−x(x−3)的值．20.已知关于x的一元二次方程x2−ax+a−1=0．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．21.中国古代数学家李子金在《几何易简集》中记载了圆内接正三角形的一种作法：“以半径为度，任用圆界一点为心，作两圆相交，又移一心，以交线为界，再作一交圆，其三线相交处为一角，其两线相交处为两角，直线界之亦得所求”．由记载可得作法如下：①作⊙M，在⊙M上取一点N，以点N为圆心，MN为半径作⊙N，两圆相交于A，B两点，连接AB；②以点B为圆心，AB为半径作⊙B，与⊙M相交于点C，与⊙N相交于点D；③连接AC，AD，BC，BD．△ABC，△ABD都是圆内接正三角形．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：连接AM，AN，MN，BM．∵MA=MN=NA，∴△AMN为______．∴∠AMN=60°．同理可得，∠BMN=60°．∴∠AMB=120°．∴∠ACB=60°(______)(填推理的依据)．∵BA=BC，∴△ABC是等边三角形．同理可得，△ABD是等边三角形．22.如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE//BD，BE//AC．(1)求证：四边形AEBO是菱形；(2)若AB=OB=2，求四边形AEBO的面积．23.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若cos∠CAD=4，AB=5，求CD的长．524.某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为ℎ米．d(米)0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00ℎ(米) 3.75 4.00 3.75 3.00 1.750请解决以下问题：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；(3)求ℎ关于d的函数表达式；(4)公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米．工人想只通过调整喷头距离湖面的高度(不考虑其他因素)就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．25.某校初三年级有两个校区，其中甲校区有200名学生，乙校区有300名学生，两个校区所有学生都参加了一次环保知识竞赛，为了解两个校区学生的答题情况，进行了抽样调查，从甲、乙两个校区各随机抽取20名学生，对他们本次环保知识竞赛的成绩(百分制)进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a.甲校区成绩的频数分布直方图如下(数据分成4组：60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)：b.甲校区成绩在70≤x<80这一组的是：74747577777777787979c.甲、乙两校区成绩的平均数、中位数如下：平均数中位数甲校区79.5m乙校区7781.5根据以上信息，回答下列问题：(1)写出表中m的值；(2)两个校区分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，超过本校区的平均分就可以赋予等级A，判断在本次抽取的学生中哪个校区赋予等级A的学生更多，并说明理由；(3)估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为______(直接写出结果)．26.在平面直角坐标系xOy中，点(−2,0)，(−1,y1)，(1,y2)，(2,y3)在抛物线y=x2+bx+c上．(1)若y1=y2，求y3的值；(2)若y2<y1<y3，求y3的取值范围．27.在△ABC中，D是BC的中点，且∠BAD≠90°，将线段AB沿AD所在直线翻折，得到线段AB′，作CE//AB交直线AB′于点E．(1)如图，若AB>AC，①依题意补全图形；②用等式表示线段AB，AE，CE之间的数量关系，并证明；(2)若AB<AC，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由；若不成立，直接用等式表示线段AB，AE，CE之间新的数量关系(不需证明)．28.在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：y=kx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．(1)如图1，⊙O的半径为1，当k=1，b=1时，直接写出直线l关于⊙O的“圆截距”；(2)点M的坐标为(1,0)，√5，①如图2，若⊙M的半径为1，当b=1时，直线l关于⊙M的“圆截距”小于45求k的取值范围；②如图3，若⊙M的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值2，直接写出b的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由几何体的主视图和左视图都是长方形，故该几何体是一个柱体，又∵俯视图是一个三角形，故该几何体是一个三棱柱．故选：A．根据一个几何体的主视图和左视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体底面形状，得到答案．本题考查了由三视图判断几何体，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥体，如果有两个矩形，该几何体一定柱体，其底面由第三个视图的形状决定．2.【答案】C【解析】解：1140000=1.14×106．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】D【解析】解：∵a<0<b，|a|>|b|，∴a+b<0，故A选项错误，不符合题意；∵a<0<b，∴ab<0，故B选项错误，不符合题意；∵a<0<b，∴a−b<0，故C选项错误，不符合题意；∵|a|>|b|，∴D选项正确，符合题意．故选：D．根据图示，可得：a<0<b，|a|>|b|，据此逐项判定即可．此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．4.【答案】B【解析】解：如图，∵AB//DE，∴∠ABC=∠BED=30°，又∵∠DEF=45°，∴∠BEF=75°，∴∠1=180°−∠BEF=105°，故选：B．根据平行线的性质可得∠ABC=∠BED=30°，再根据三角尺各角的度数以及邻补角的定义即可得∠1的度数．此题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义，关键是掌握两直线平行，内错角相等．5.【答案】B【解析】解：设所求多边形的边数为n，根据题意得：(n−2)⋅180°=360°，解得n=4．故选：B．根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了简单随机事件发生概率的求法，用列表法或树状图法列举出所有可能出现的情况，求出相应事件发生的概率是常用的方法．用列表法或树状图法列举出所有可能出现的情况，求出两次都摸到颜色相同的球的概率，作出选择即可．【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果为：∴两次都摸到颜色相同的球的概率P =24=12．故选C ． 7.【答案】A【解析】解：从图表中可以看出月度同比有10次的成绩均不低于月度环比，但是月度同比波动比较大，故x −同>x −环，S 同>S 环．故选：A ．根据图表数据可以看出月度同比和月度环比的平均数和波动情况，即可求解． 本题主要考查平均数和方差的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：反比例函数y =2x 的图象在一、三象限，在每个象限y 随x 的增大而减小，A .若x 1<x 2，且点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)在同一象限，则y 1>y 2，故A 错误；B .若x 1<x 2，且点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)不在同一象限，则y 1<y 2，故B 错误；C .若x 1+x 2=0，则点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)关于原点对称，则y 1+y 2=0，故C 正确；D .若x 1=x 2，则2x 1=2x 2，即y 1=y 2，故D 错误； 故选C ．利用反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征即可判断．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．9.【答案】x ≠1【解析】解：依题意得：x −1≠0，解得x ≠1，故答案为：x≠1．分式有意义时，分母x−1≠0，据此求得x的取值范围．本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．10.【答案】2(a−b)2【解析】解：原式=2(a2−2ab+b2)=2(a−b)2．故答案为：2(a−b)2原式提取2变形后，利用完全平方公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．11.【答案】√17【解析】解：比4大且比5小的无理数可以是√17．故答案为√17．由于4=√16，5=√25，所以可写出一个二次根式，此根式的被开方数大于16且小于25即可．本题考查了对估算无理数的大小的应用，注意：无理数是指无限不循环小数，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．12.【答案】60°【解析】解：连接OA，OB，∵∠C=60°，∴∠AOB=2∠C=120°，∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠PAP=∠OBP=90°，∵∠AOB+∠OAP+∠OBP+∠P=360°，∴∠P=360°−90°−90°−120°=60°，故答案为：60°．连接OA，OB，由圆周角和圆心角的关系求得∠AOB=120°，由切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，根据多边形内角和定理即可求出∠P=60°．本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解决问题的关键．13.【答案】∠A=∠CBD【解析】解：添加∠A=∠CBD，理由如下：∵∠A=∠CBD，∠ACB=∠BCD，∴△ABC∽△BDC，故答案为：∠A=∠CBD．利用相似三角形的判定可求解．本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．14.【答案】5【解析】解：用一个小黑点表示一个小“雪花”，观察、画出图案的一部分如下：由图可知，由里向外，最中间1个“小雪花”，第二层每条边上两个小“雪花”，第二层一共有6×2−6=6(个)“小雪花”，第三层每条边上3个小“雪花”，第三层一共6×3−6=12(个)“小雪花”，同理第四层一共6×4−6=18(个)“小雪花”，第五层一共6×5−6=24(个)“小雪花”，第六层一共6×6−6=30(个)“小雪花”，最外面一层(第七层)每条边上3个“小雪花”，一共6×3=18(个)“小雪花”，∴如果全部摆满有1+6+12+18+24+30+18=109(个)“小雪花”，∵中间空出了13个“小雪花”的位置来突出主火炬，91个“小雪花”上面写有此次参会的国家或地区的名称，∴只有中国结图案的“小雪花”共有109−13−91=5(个)；故答案为：5．观察每层各边的“小雪花”个数，得出规律即可解答．本题考查图案的变化规律，解题的关键是仔细观察图形，得出各层正六边形每条边上“小雪花”的个数．15.【答案】−1【解析】解：把x=1代入(a−1)x2+a2x−a=0，得a−1+a2−a=0，解得：a1=1，a2=−1，∵a−1≠0，∴a=−1．故答案是：−1．把x=1代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程求得a的值即可．本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根一定满足该方程的解析式．16.【答案】EBD【解析】解：由题意得，首尾两个节目分别是A，F，节目A参演演员有1、3、5、6、8，节目F参演演员有5、7，由于从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出，故可先确定第二个节目为不含演员1、3、5、6、8的节目，即节目E，第三个节目为不含2、7的节目，即节目B或C，第五个节目为不含5、7的节目，即节目B或C，所以，可确定第四个节目为节目D，综上，演出顺序为节目AEBDC．故答案为：EBD．根据题意，可先确定第二个节目为节目E，继而确定第三个节目和第五个节目的可能性，最后确定了第四个节目，即可得到答案．此题考查了统计表，利用信息做出决策或方案，能够正确理解题意是解题的关键．17.【答案】解：原式=2×√3+√3−1−2√32=√3+√3−1−2√3=−1．【解析】代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，零指数幂，二次根式，然后算乘法，再算加减．本题考查实数的混合运算，理解a0=1(a≠0)，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．18.【答案】解：解不等式x−3(x−2)≥4，得：x≤1，，得：x<4，解不等式x−1<1+2x3则不等式组的解集为x≤1．【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19.【答案】解：(2x+3)(2x−3)−x(x−3)=4x2−9−x2+3x=3x2+3x−9，当x2+x−3=0时，原式=3(x2+x−3)=3×0=0．【解析】先去括号，再合并同类项，然后把x2+x−3=0代入化简后的式子进行计算即可解答．本题考查了整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．20.【答案】(1)证明：∵Δ=(−a)2−4(a−1)=a2−4a+4=(a−2)2≥0，∴该方程总有两个实数根；(2)解：x2−ax+a−1=0．(x−1)[x−(a−1)]=0，x−1=0或x−(a−1)=0，∴x1=1，x2=a−1，∵方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，∴a为整数，a−1=2×1或1=2(a−1)，(舍去)，解得a=3或a=32∴a的值为3．【解析】(1)计算根的判别式的值得到Δ=(a−2)2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；(2)利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=a−1，根据题意得a为整数，a−1=2×1或1=2(a−1)，然后解一次方程得到a的值．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．21.【答案】等边三角形同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半【解析】(1)解：图形如图所示：(2)证明：连接AM，AN，MN，BM．∵MA=MN=NA，∴△AMN为(等边三角形)．∴∠AMN=60°．同理可得，∠BMN=60°．∴∠AMB=120°．∴∠ACB=60°(同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半)，∵BA=BC，∴△ABC是等边三角形．同理可得，△ABD是等边三角形．故答案为：等边三角形，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半．(1)根据要求作出图形；(2)利用圆周角定理，等边三角形的判定解决问题即可．本题考查作图−复杂作图，圆周角定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】(1)证明：∵AE//BD，BE//AC，∴四边形AEBO是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO，BO=DO，AC=BD，∴OA=OB，∴四边形AEBO是菱形；(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，∴OA=OB=OC=DO，∵OB=AB=2，∴BD=4，由勾股定理得：AD=√BD2−AB2=√42−22=2√3，∵BO=DO，∴S△AOB=S△AOD=12S△BAD=12×12AD×AB=12×12×2√3×2=√3，∵四边形AEBO是菱形，AB=AO，∴AE=AO=BO=BE=AB=2，∴△AEB≌△BOA(SSS)，∴△AEB的面积=△AOB的面积=√3，∴四边形AEBO的面积是√3+√3=2√3．【解析】(1)根据平行四边形的判定得出四边形AEBO是平行四边形，根据矩形的性质得出AO=CO，BO=DO，AC=BD，求出OA=OB，再根据菱形的判定得出即可；(2)根据矩形的性质得出∠DAB=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，求出OA=OB= OC=DO=2，求出BD，根据勾股定理求出AD，再求出△BAD的面积，求出△ABO的面积即可．本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，三角形的面积和勾股定理等知识点，能熟记矩形的对角线相等且平分是解此题的关键．23.【答案】(1)证明：连接OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC//AD，∴∠OCA=∠DAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，∴AC 平分∠DAB ；(2)解：连接BC ，如图，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∵cos∠OAC =cos∠CAD =45， 在Rt △ACB ，∵cos∠OAC =AC AB =45，∴AC =45AB =45×5=4， 在Rt △ADC 中，∵cos∠CAD =AD AC =45， ∴AD =45AC =165，∴CD =√AC 2−AD 2=√42−(165)2=125．【解析】(1)连接OC ，如图，根据切线的性质得到OC ⊥CD ，则可判断OC//AD ，所以∠OCA =∠DAC ，然后利用∠OAC =∠OCA 得到∠DAC =∠OAC ；(2)连接BC ，如图，先根据圆周角定理得到∠ACB =90°，接着在Rt △ACB 中利用余弦的定义求出AC =4，然后在Rt △ADC 中利用余弦的定义求出AD ，然后利用勾股定理计算出CD 的长．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、垂径定理和解直角三角形．24.【答案】解：(1)如图，(2)水柱最高点距离湖面的高度是4米；(3)由图象可得，顶点(1,4)，设二次函数的关系式为ℎ=a(d −1)2+4，把(2,3)代入可得a =−1，所以ℎ=−(d −1)2+4；(4)设水枪高度向上调整m米，设平移后二次函数关系式为ℎ′=−(d−1)2+4+m，当d=1+2=3时，ℎ′=−4+4+m=m，∴m≥2，答：水枪高度至少向上调整2米．【解析】(1)根据对应点画图象即可；(2)由图象可得答案；(3)利用待定系数法可得关系式；(4)设水枪高度向上调整m米，设平移后二次函数关系式为ℎ′=−(d−1)2+4+m，再根据二次函数的性质可得答案．本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．25.【答案】78分【解析】解：(1)由题意知第10、11个数据分别为77、78，=77.5；∴其中位数m=77+782(2)因为甲校区的中位数小于乙校区，所以甲校区赋予等级A的学生更多；=78(分)，(3)估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为：79.5×200+77×300200+300故答案为：78分．(1)根据频数分布直方图和70≤x<80的这一组的具体成绩得出第10、11个数据分别为77、78，继而依据中位数的定义求解即可；(2)根据两个校区的中位数判断即可；(3)根据加权平均数公式计算即可．本题主要考查频数分布表、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据表格得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．26.【答案】解：(1)当y1=y2时，(−1,y1)，(1,y2)关于对称轴对称，则抛物线对称轴为y轴，∴(−2,0)，(2,y3)关于y轴对称，∴y3=0．(2)将(−2,0)代入y=x2+bx+c得4−2b+c=0，将(1,y2)代入y=x2+bx+c得y2=1+b+c，将(−1,y1)代入y=x2+bx+c得y1=1−b+c，∵y2<y1，∴1+b+c<1−b+c，∴b<0，将(2,y3)代入y=x2+bx+c得y3=4+2b+c，∵y1<y3，∴1−b+c<4+2b+c，∴b>−1，∵4−2b+c=0，∴y3=4+2b+c=4b，∴−4<4b<0，即−4<y3<0．【解析】(1)由y1=y2可得抛物线对称轴为y轴，由抛物线经过(−2,0)，(2,y3)可得y3的值．(2)由抛物线经过(−2,0)可得4−2b+c=0，分别将(−1,y1)，(1,y2)，(2,y3)代入解析式，根据y2<y1<y3及b的取值范围求解．本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．27.【答案】解：(1)①补全图形如图所示：②AB=AE+CE，理由如下：如图，连接ED，并延长交AB于点F，过点D作DG⊥AB于G，DH⊥AB′于H，∵CE//AB，∴∠B=∠BCE，∵D是BC的中点，∴BD=CD，又∵∠BDF=∠CDE，∴△BDF≌△CDE(ASA)，∴CE=BF，DF=ED，∵将线段AB沿AD所在直线翻折，∴∠BAD=∠B′AD，又∵∠AFD=∠AED=90°，AD=AD，∴△ADG≌△ADH(AAS)，∴DG=DH，AG=AH，又∵DE=DF，∴Rt△DFG≌Rt△DEH(HL)，∴GF=EH，∴AF=AE，∴AB=BF+AF=CE+AE；(3)如图，AB=AE−CE，理由如下：连接ED，并延长交AB于点F，过点D作DG⊥AB于G，DH⊥AB′于H，∵CE//AB，∴∠DBF=∠BCE，∵D是BC的中点，∴BD=CD，又∵∠BDF=∠CDE，∴△BDF≌△CDE(ASA)，∴CE=BF，DF=ED，∵将线段AB沿AD所在直线翻折，∴∠BAD=∠B′AD，又∵∠AFD=∠AED=90°，AD=AD，∴△ADG≌△ADH(AAS)，∴DG=DH，AG=AH，又∵DE=DF，∴Rt△DFG≌Rt△DEH(HL)，∴GF=EH，∴AF=AE，∴AB=AF−BF=AE−CE．【解析】(1)①依照题意补全图形；②由“ASA”可证△BDF≌△CDE，可得CE=BF，DF=ED，由“AAS”可证△ADG≌△ADH，可得DG=DH，AG=AH，由HL可证Rt△DFG≌Rt△DEH，可得GF=EH，可得结论；(2)由“ASA”可证△BDF≌△CDE，可得CE=BF，DF=ED，由“AAS”可证△ADG≌△ADH，可得DG=DH，AG=AH，由HL可证Rt△DFG≌Rt△DEH，可得GF=EH，可得结论．本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．28.【答案】解：(1)∵k=1，b=1，∴直线l的解析式为y=x+1，设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，则A(−1,0)，B(0,1)，∴AB=√12+12=√2，即直线l关于⊙O的“圆截距”为√2；(2)①如图2，设直线与y正半轴交点为P，且P(0,1)，∵点M的坐标为(1,0)，⊙M的半径为1，∴圆与x轴正半轴交点为Q(2,0)，当b=1时，直线l的解析式为y=kx+1，当直线经过点Q时，2k+1=0，解得k=−12；过点M作MF⊥PQ，垂足为F，∵OP=1，OQ=2，∴PQ=√12+22=√5，∴sin∠PQO=OPPQ =√5=√55，∵MQ=1，sin∠PQO=MFMQ =√55，∴MF =√55，QF =√12−(√55)2=2√55， 设直线PQ 与圆M 的另一个交点为C ，则QC =2QF =4√55， ∵关于⊙M 的“圆截距”小于4√55， ∴k 的取值范围是−12<k ≤0；设直线PM 与圆的交点为N ，∵点P(0,1)，点M 的坐标为(1,0)，∴OP =OM ，∴∠PMO =45°，∴∠QMN =45°，根据圆的对称性，直线PQ 和直线PD 关于直线PN 对称，此时ED =CB ，∴∠DMN =45°，∴∠DMQ =90°，∴D 的坐标为(1,−1)，∴k +1=−1，解得k =−2，∴直线PD 的解析式为y =−2x +1，关于⊙M 的“圆截距”小于4√55， k 的取值范围是k <−2；综上，k 的取值范围是k <−2或−12<k ≤0．②如图3，设⊙M 与x 的正半轴交点为B ，当BF =2时，作直线AB 交y 轴的正半轴于点A ，此时b 的值最大，过点M 作MD ⊥AB ，垂足为D ，∵BF =2，∴BD=1，∵MB=2，∴∠DMB=30°，∠ABO=60°，∵OB=3，tan∠ABO=OA，OB∴OA=OBtan60°=3√3，此时b的最大值为3√3；设⊙M与x轴的正半轴的交点为B，当BG=2时，作直线BC交y轴的负半轴于点C，此时b的值最小，过点M作ME⊥BC，垂足为E，∵BG=2，∴BE=1，∵MB=2，∴∠EMB=30°，∠CBO=60°，∵OB=3，tan∠CBO=OC，OB∴OC=OBtan60°=3√3，此时b的最小值为−3√3；故b的取值范围是−3√3≤b≤3√3．【解析】(1)根据k和b的值直接写出直线的解析式，设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，根据勾股定理求出“圆截距”即可；√5时，弦的位置，注意分类，确定直线的解析(2)①根据圆的垂径定理，确定弦长为45式，根据直线的增减性确定k的取值范围即可；②当最短弦长为2时，分弦在x轴上方和x轴下方两种情况讨论求解．本题考查了垂径定理，一次函数的解析式和性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，熟练掌握圆的性质，灵活运用特殊角的三角函数值是解题的关键．。
2024北京朝阳区初三一模数学试卷和答案
2024北京朝阳初三一模数 学考生须知1．本试卷共6页，共三道大题， 28道小题， 满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、班级、姓名和考号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上， 在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束， 请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．1. 2024年1月21日北京市第十六届人民代表大会第二次会议开幕，在政府工作报告中提到，2023年北京向天津、河北输出技术合同成交额74870000000元，将74870000000用科学记数法表示应为（ ）A. 974.8710⨯ B. 107.48710⨯ C. 97.48710⨯ D. 110.748710⨯2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.3. 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，若50AOC ∠=︒，15DOE ∠=︒，则∠BOE 的度数为（ ）A. 15︒B. 30︒C. 35︒D. 65︒4. 如果一个几何体的三视图都是矩形，那么这个几何体可能是（ ）A. 三棱柱B. 长方体C. 圆柱D. 圆锥5. 若a b <，则下列结论正确的是（ ）A. a b-<- B. 2a a b<+ C. 11a b-<- D. 2121a b +>+6. 正十边形的内角和为（ ）A. 144︒B. 360︒C. 1440︒D. 1800︒7. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数为5的概率是（ ）A.23B. 12C.13D.168. 如图，四边形ABCD 是正方形， 点E F ，分别在AB BC ，的延长线上， 且BE CF =，设AD a AE b AF c ===，，． 给出下面三个结论：①a b c +>；②22ab c <；2a >．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③二、填空题 （共16分，每题2分）9. x 的取值范围是______．10. 分解因式：3x 2+6xy+3y 2＝_____．11. 方程21345x x =-的解为______．12. 关于x 的一元二次方程250x x m ++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是_____．13. 某种植户种植了1000棵新品种果树，为了解这1000棵果树的水果产量，随机抽取了50棵进行统计，获取了它们的水果产量（单位：千克），数据整理如下：水果产量50x <5075x ≤<75100x ≤<100125x ≤<125x ≥果树棵数11520122根据以上数据，估计这1000棵果树中水果产量不低于75千克的果树棵数为_____．14. 在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点C 处的镜子中看到教学楼的顶部D 时，测得小南的眼睛与地面的距离 1.6m AB =，同时测得 2.4m BC =，9.6m CE =，则教学楼高度DE =_____m ．15. 如图，O 是Rt ABC △的外接圆，OE AB ⊥于点D ，交O 于点E ，若8AB =，2DE =，则BC 的长为_____．16. 甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作A B C D 、、、四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： A B C D 甲9568乙7793（1）如果按照A B C D →→→的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为_______分钟；（2）两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是_______．三、解答题（共68分， 第17-19题， 每题5分， 第20-21题， 每题6分， 第22-23题， 每题5分，第24题6分， 第25题5分， 第26题6分， 第27-28题， 每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. ()012π2sin45--︒18. 解不等式组：()2431432x x x x ⎧-<-⎪⎨--<⎪⎩，．19. 已知220x y ++=，求代数式 2422yxx x x y ⎛⎫-⋅⎪-⎝⎭的值．20. 如图，在ABCD Y 中，AB AC =，过点D 作AC 的平行线与BA 的延长线相交于点 E ．（1）求证： 四边形ACDE 是菱形；（2）连接CE ，若5tan 2AB B ==，，求CE 的长．21. 燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思．全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同．其桌面共有三种尺寸，包括2张长桌、2张中桌和3张小桌，它们的宽都相同．七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身．右图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式．若全套七张桌子桌面的总面积为61.25平方尺，则长桌的长为多少尺？22. 在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数()0y mx m =≠的图象和反比例函数 ()0ky k x=≠的图象都经过点()24A ，．（1）求该正比例函数和反比例函数的解析式；（2）当3x >时， 对于x 的每一个值， 函数()0y mx n m =+≠的值都大于反比例函数 ()0k y k x=≠的值，直接写出n 的取值范围．23. 某广场用月季花树做景观造型，先后种植了两批各12棵，测量并获取了所有花树的高度 （单位：cm ），数据整理如下：a ．两批月季花树高度的频数： 131135136140144148149第一批13422第二批12351b ．两批月季花树高度的平均数、中位数、众数（结果保留整数）： 平均数中位数众数第一批140140n 第二批141m144（1）写出表中m ，n 的值；（2）在这两批花树中，高度的整齐度更好的是 （填“第一批”或“第二批”）；（3）根据造型的需要，这两批花树各选用10棵，且使它们高度的平均数尽可能接近．若第二批去掉了高度为135cm 和149cm 的两棵花树，则第一批去掉的两棵花树的高度分别是 cm 和 cm ．24. 如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上，D 是 BC的中点，AD 的延长线与过点B 的切线交于点E ，AD 与BC 的交点为F ．（1）求证：BE BF =；（2）若O 的半径是2，3BE =，求AF 的长．25. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至100C ︒后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于50C ︒水壶不加热；若水温降至50C ︒，水壶开始加热，水温达到100C ︒时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量a （单位：L ），水温T （单位： C ︒）与时间t （单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据．表1从20C ︒开始加热至100C ︒水量与时间对照表a0.51 1.522.53t4.5811.51518.522表2 1L 水从20C ︒开始加热，水温与时间对照表煮沸模式保温模式t036m 101214161820222426…T 205080100898072666055505560对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为1L 时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温T 就是加热时间t 的一次函数．（1）写出表中m 的值；（2）根据表2中的数据，补充完成以下内容：①在下图中补全水温与时间的函数图象；②当60t =时，T = ；（3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有30分钟，他往水壶中注入2.5L 温度为 20C ︒的水，当水加热至100C ︒后立即关闭电源．出门前，他 （填“能”或“不能”）喝到低于50C ︒的水．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 ()20y ax bx a =+>上有两点()()1122,,x y x y ，， 它的对称轴为直线x t =．（1）若该抛物线经过点()40，，求t 的值；（2）当()101x <<时，①若1t >， 则1y 0； （填“>”“=”或“<” ）②若对于122x x +=，都有120y y >，求t 的取值范围．27. 如图，在菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，E 是CD 边上一点（不与点C ，D 重合）．将线段AE 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AF ，连接DF ，连接BF 交AC 于点G ．（1）依据题意，补全图形；（2）求证：GB GF =；（3）用等式表示线段BC ，CE ，BG 之间的数量关系．28. 在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于直线l 和线段PQ ，给出如下定义：若线段PQ 关于直线l 的对称图形是O 的弦P Q ''（P '，Q '分别为P ，Q 的对应点），则称线段PQ 是O 关于直线l 的“对称弦”（1）如图，点1A ，2A ，3A ，1B ，2B ，3B 的横、纵坐标都是整数．线段11A B ，22A B ，33A B 中，是O 关于直线1y x =+的“对称弦”的是 ；（2）CD 是O 关于直线()0y kx k =≠的“对称弦”，若点C 的坐标为()1,0-，且1CD =，求点D 的坐标；（3）已知直线y x b =-+和点(3,M ，若线段MN 是O 关于直线y b =-+的“对称弦”，且1MN =，直接写出b 的值．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．1. 【答案】B【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，解题的关键要正确确定a 的值以及n 的值．【详解】解：10748700000007.48710=⨯；故选：B ．2. 【答案】D【分析】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形，根据中心对称图形是指图形绕着某个点旋转180°能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；逐项分析即可得出答案．【详解】解：A 、正三角形是轴对称图形不是中心对称图形，A 不符合题意；B 、等腰直角三角形是轴对称图形不是中心对称图形，B 不符合题意；C 、正五边形是轴对称图形不是中心对称图形，C 不符合题意；D 、正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形，D 符合题意；故选：D ．3. 【答案】C【分析】本题考查了对顶角相等，角的运算；根据对顶角的性质得50BOD AOC ∠=∠=︒，根据BOE BOD DOE ∠=∠-∠即可求解．【详解】解：∵直线AB ，CD 相交于点O ，50AOC ∠=︒，∴50BOD AOC ∠=∠=︒，∵15DOE ∠=︒，∴501535BOE BOD DOE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：C ．4. 【答案】B【分析】本题考查了简单几何图的三视图，根据几何体的三视图逐项判断即可求解．【详解】解：三棱柱的两个底面是三角形，所以不可能三视图都是矩形，故选项A 不符合题意；长方体的三视图都是矩形，故选项B 符合题意；圆柱的两个底面是三角形，所以不可能三视图都是矩形，故选项C 不符合题意；正立的圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故选项D 不符合题意．故选：B ．5. 【答案】B【分析】本题主要考查不等式的基本性质，解题的关键是根据不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变逐项判定．【详解】解：A 、若a b <，则a b ->-，故不合题意；B 、若a b <，则2a a b <+，故符合题意；C 、若a b <，则11a b ->-，故不合题意；D 、若a b <，则2121a b +<+，故不合题意，故选：B ．6. 【答案】C【分析】本题主要考查多边形的内角和，解题的关键是利用多边形的内角和公式进行计算即可．【详解】解：正十边形的内角和为180(102)︒⨯-1808=︒⨯1440=︒．故选C ．7. 【答案】D【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是根据概率公式求解，随机事件A 的概率()P A =事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．【详解】解：∵骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，∴向上一面的点数为5的概率是16，故选：D ．8. 【答案】A【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明DAE BAF △≌△，结合三角形的三边关系判断①；完全平方公式结合勾股定理判定②；勾股定理判断③．【详解】解：∵正方形ABCD ，∴,90AD AB BC DAB ABC ==∠=∠=︒，∵BE CF =，∴AE BF =，∴DAE BAF △≌△，∴AF DE c ==，∵AD AE DE +>，∴a b c +>；故①正确；∵222AD AE DE +=，即：222+=a b c ，∴()2222220b a a ab b c ab -=-+=->，∴22ab c <；故②正确；c =，且,E F 为动点，∴无法确定c 和2a 的关系，故③错误；故选A ．二、填空题 （共16分，每题2分）9. 【答案】14x ≥【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，根据被开方数不小于零列出不等式，解不等式即可．∴140x -≥，解得：14x ≥．故答案为：14x ≥．10. 【答案】3（x+y ）2．【分析】先利用提取公因式法提取数字3，再利用完全平方公式继续进行分解．【详解】3x 2+6xy +3y 2=3（x 2+2xy +y 2）=3（x +y ）2．故答案为3（x +y ）2．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．11. 【答案】2x =【分析】本题考查了解分式方程，根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得出答案．【详解】解：21345x x =-去分母得：()2453x x -=，去括号得：8103x x -=，移项得：8310x x -=，合并同类项得：510x =，系数化为1得：2x =．检验：当2x =时，()3450x x -≠，∴原分式方程的解为2x =．故答案为：2x =．12. 【答案】254m <【分析】根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式＞0，即可求解本题．【详解】解：∵方程250x x m ++=有两个不相等的实数根，∴25410＞∆=-⨯⨯m ，解得：254m <；故答案为：254m <．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．13. 【答案】680【分析】本题考查了频数（率）分布表和用样本估计总体，解题的关键是利用样本估计总体思想的运用．用1000乘以水果产量不低于75千克的果树的百分比即可求解．【详解】解：估计这1000棵果树中水果产量不低于75千克的果树棵数为20122100068050++⨯=（棵）．故答案为：680．14. 【答案】6.4【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形的判定和性质列出比例式，即可求解．【详解】解：由题意可知，AB DE ∥，∴ABC DEC ∽△△，∴AB BCDE CE=，即1.62.49.6DE =，解得 6.4DE =，则教学楼高度 6.4m DE =，故答案为：6.4．15. 【答案】6【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理和中位线定理，由垂径定理得142AD BD AB ===，90ADO BDO ∠=∠=︒，则可得OD 是ABC 的中位线，设半径为r ，由勾股定理得222OA OD AD =+，求出=5r 即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵OE AB ⊥，∴142AD BD AB ===，90ADO BDO ∠=∠=︒，∵OA OC =，∴OD 是ABC 的中位线，∴12OD BC =，即2BC OD =，设半径为r ，则2OD OE DE r =-=-，在Rt AOD 中，由勾股定理得：222OA OD AD =+，∴()22224r r =-+，解得=5r ，∴23OD r =-=，∴26BC OD ==．16. 【答案】 ①. 35 ②. B C A D→→→【分析】本题主要考查最优化时间的使用的有理数加减运算，()1根据甲乙各自的拼装和上色所需时间进行分解，求出对应的用时再求得总时长即可；()2由于甲乙开始都需要时间，为甲选择B ，再结合各自所需时间排序即可．【详解】解：（1）甲先拼装A 需9分钟，乙开始上色A ，与此同时甲可以拼装B 和2分钟的C ，乙给B 上色时，甲可以继续拼装C 和3分钟D ，乙为C 上色5分钟时甲可以完成D 的拼装，此时乙还需要4分钟为C 上色，接着为D 上色3分钟，时间分解如图，（其中字母表示制作的游戏道具，数字表示相应的时间）故总时长最少为97754335+++++=分钟，故答案为35；（2）甲先拼装B 需5分钟，乙开始上色B ，与此同时甲可以拼装C 和1分钟的A ，乙给C 上色时，甲可以继续拼装A 和1分钟D ，乙为A 上色7分钟时甲可以完成D 的拼装，此时乙还需要3分钟为D 上色，时间分解如图，选择B C A D →→→这种方案即可用时最少．（其中字母表示制作的游戏道具，数字表示相应的时间）故答案为B C A D→→→．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【答案】【分析】此题主要考查了实数运算，解题的关键是直接利用二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零整数指数幂的性质分别化简得出答案．()012π2sin45+---︒112=-+-11=+-+=18. 【答案】12x-<<【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．【详解】解：()2431432x xxx⎧-<-⎪⎨--<⎪⎩①②，解不等式①得，1x>-，解不等式②得，2x<，∴不等式组的解集为12x-<<．19. 【答案】24x y+，4-【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算化简所求式子，再根据220x y++=，可以得到22+=-x y，代入化简后的式子计算即可．【详解】解：2422y xxx x y⎛⎫-⋅⎪-⎝⎭22422x y x x x y -=⋅-()()2222x y x y xxx y-+=⋅-()22x y =+24x y =+，∵220x y ++=，∴22+=-x y ，∴原式()()22422x y ==⨯-=-+．20. 【答案】（1）见解析 （2）【分析】（1）由平行四边形的性质得AB CD =，AB CD ∥，再证明四边形ACDE 是平行四边形，进而证明CD AC =，然后由菱形的判定即可得出结论；（2）设AD 与CE 交于点F ，证明FAC ACB B ∠=∠=∠，再由菱形的性质得AF DF =，CF EF =，AD CE ⊥，进而由锐角三角函数定义得CF 2AF =，设CF x =，则2CF x =，然后在Rt AFC △中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【小问1详解】证明： 四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=，AB CD ∥，DE AC ∥ ，∴四边形ACDE 是平行四边形，AB AC = ，CD AC ∴=，∴平行四边形ACDE 是菱形；【小问2详解】如图，设AD 与CE 交于点F ，5AB AC == ，B ACB ∴∠=∠，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥，FAC ACB B ∴∠=∠=∠，由（1）可知，四边形ACDE 是菱形，AB CD AE ∴==，AD BC ∥，AD CE ⊥，90BCE AOE ∴∠=∠=︒，在Rt BCE △中，tan 2CEB BC==，设BC x =，则2CE x =，∵AB =5∴BE =2AB =10∵222BC CE BE += ，222(2)10x x ∴+=，解得12)x x ==-舍即CE 的长为【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义以及勾股定理等知识．21. 【答案】7【分析】本题考查了一元二次方程的应用，结合图形表示出小桌、中桌、长桌的长是解题的关键．设每张桌面的宽为x 尺，结合图形分别表示出小桌、中桌、长桌的长，根据题意列出方程，解方程即可求解．【详解】解：设每张桌面的宽为x 尺，根据图形可得：小桌的长为2x 尺，中桌的长为3x 尺，长桌的长为4x 尺，故可得22224233261.25x x x ⨯+⨯+⨯=，解得：174x =，274x =-（舍去），∴47x =，答：长桌的长为7尺．22. 【答案】（1）2y x =，8y x=（2）103n ≥-【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是：（1）将A 点坐标代入两个函数解析式求出,m k 值即可；（2）当3x =时，26y mx n x n n =+=+=+，883y x ==，根据题意863n +>，解出不等式解集即可．【小问1详解】解： 正比例函数(0)y mx m =≠的图象和反比例函数(0)kyk x=≠的图象都经过点(2,4)A ，422m ∴==，428k =⨯=，∴正比例函数解析式为：2y x =；反比例函数解析式为：8y x=；【小问2详解】当3x =时，26y mx n x n n =+=+=+，883y x ==， 当3x >时，对于x 的每一个值，函数(0)ymx n m =+≠的值都大于反比例函数(0)ky k x=≠的值，863n ∴+≥，解得103n ≥-．23. 【答案】（1）140n =，142m = （2）第二批 （3）131，135【分析】本题考查了众数，中位数，平均数等．（1）根据众数和中位数的定义直接进行解答即可；（2）从平均数，众数和中位数三个方面进行分析，即可得出答案；（3）根据表中给出的数据，分别进行分析，即可得出答案．【小问1详解】解：∵在第一批中，140出现了4次，出现的次数最多，∴众数是140cm ，即140n =；把第二批花的高度从小到大排列，中位数是第6、第7个数的平均数，则中位数是1401441422+=（cm ），即142m =；【小问2详解】（2）第一批的方差是：112×[（131-140）2+3×（135-140）2+4×（140-140）2+2×（144-140）2+2×（148-140）2]=793，第二批的方差是：112×[（135-141）2+2×（136-141）2+3×（140-141）2+5×（144-141）2+（149-141）2]=16.5，则在这两批花树中，高度的整齐度更好的是第二批；故答案为：第二批；【小问3详解】解：第二批去掉了高度为135cm 和149cm 的两棵花树后的平均数为：14112135149140.810⨯--=（cm ），第一批花树的平均数为140cm ，去掉的两棵且使高度尽可能接近平均高度，则需要去掉高度最小的两颗，即去掉的两棵花树的高度分别是131cm ，135cm ；故答案为：131，135．24. 【答案】（1）证明见解析 （2）75【分析】（1）根据在同圆中等弧所对的圆周角相等得出BAD CAD ∠=∠，根据直径所对的圆周角是直角可得90C ∠=︒，根据直角三角形中两个锐角互余可得90CAD AFC ∠+∠=︒，根据对顶角相等可得90CAD EFB ∠+∠=︒，根据圆的切线垂直于经过切点的半径可得90ABE ∠=︒，根据直角三角形中两个锐角互余可得90E BAD ∠+∠=︒，根据等角的余角相等可得EEFB ∠=∠，根据等角对等边即可证明；（2）连接BD ，根据直径所对的圆周角是直角可得90ADB ∠=︒，根据直角三角形中两个锐角互余可得90EAB ABD ∠+∠=︒，根据等角的余角相等可得EAB EBD ∠=∠，根据题意可得4AB =，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得5AE =，根据锐角三角形函数的定义可求得95ED =，根据等腰三角形底边上的高与底边上的中点重合可得185EF =，即可求解．【小问1详解】证明：∵D 是 BC的中点，∴ BDCD =，∴BAD CAD ∠=∠，∵AB 是O 的直径，∴90C ∠=︒，∴90CAD AFC ∠+∠=︒，∵AFC EFB ∠=∠，∴90CAD EFB ∠+∠=︒，∵BE 与O 相切于点B ，∴90ABE ∠=︒，∴90E BAD ∠+∠=︒，∴EEFB ∠=∠，∴BE BF =．【小问2详解】解：连接BD ，如图：∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∴90EAB ABD ∠+∠=︒，∵90ABE EBD ABD ∠=∠+∠=︒，∴EAB EBD ∠=∠，∵O 的半径是2， ∴4AB =，∵3BE =，在Rt ABE △中，5AE ===，∴3sin sin 5DE BE EBD EAB BE AE ====∠∠，∴39sin 355ED BE EBD =⋅=⨯=∠，∵BE BF =，BD EF ⊥，∴9182255EF DE ==⨯=，∴187555AF AE EF =-=-=．【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角形函数的定义，等角的余角相等等，熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键．25. 【答案】（1）8（2）①图见解析；②60℃ （3）不能【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意并分析表格中数据变化的规律是解题的关键．（1）在煮沸模式下，加热时间每增加3分钟，水温就上升30℃，从而计算出每增加1分钟水上升的温度，据此列方程并求解即可；（2）①描点并连线即可；②当时间从26分开始，设时间为t 时，水温加热到100℃．在这个过程中每2分钟，水温升高5℃，从而求出每增加1分钟水上升的温度，据此列方程求出t ，再计算出剩下的时间，根据表2，得到在剩下的时间内水温可以变化到多少；（3）由表1可知，2.5L 的水从20℃加热到100℃需要18.5分，此时离出门还剩3018.511.5-=（分）；根据表2，计算水温从100℃降到50℃需要的时间，将这个时间与21.5分比较，在关闭电源的基础上即可得到结论．【小问1详解】解：在煮沸模式下，加热时间每增加3分钟，水温就上升30℃，30310÷=（℃），∴在煮沸模式下，加热时间每增加1分钟，水温就上升10℃，∴()10610080m -=-，∴8m =．【小问2详解】解：①补全水温与时间的函数图象如图所示：②当时间从26分开始，设时间为t 时，水温加热到100℃．在这个过程中每2分钟，水温升高5℃，则每1分钟水温升高52 2.5÷=（℃），由此得()2.52610060t -=-，解得42t =，604218-=（分），根据表2的数据可知，100T =℃经过18分后水温降到了60℃，∴当60t =时，60T =℃．故答案为：60℃；【小问3详解】解：由表1可知，2.5L 的水从20℃加热到100℃需要18.5分，3018.511.5-=（分），由表2可知，水温从100℃降到50℃需要22814-=（分），∵11.513<，且电源已关闭，∴出门前，他不能喝到低于50℃的水．故答案为：不能．26. 【答案】（1）2t = （2）①<，②1t ≤或0t ≤【分析】本题主要考查二次函数的性质，()1将点代入抛物线求得4b a =-，结合对称轴定义即可求得；()2①根据题意得抛物线开口向上，且过原点，即可得10y<；②由已知求得212x <<，结合120y y >恒成立，则有点()()1122,,x y x y ，在x 的同侧即可．【小问1详解】解：将点()40，代入()20y ax bx a =+>得1640a b +=，解得4b a =-，∴4222b a x a a-=-=-=，则2t =；【小问2详解】①根据题意得抛物线开口向上，且过原点，∵1t >，101x <<，∴10y <；②∵122x x +=， 101x <<，∴212x <<，∵有120y y >恒成立，∴点()()1122,,x y x y ，在x 的同侧，则1t ≤或0t ≤．27. 【答案】（1）图见解析（2）证明见解析 （3）22234BC CE BG +=【分析】（1）根据题意连线即可；（2）连接BD ，与AC 相交于点O ，根据旋转的性质可得60EAF ∠=︒，AE AF =，根据菱形的性质可得AB BC =，1602BAC CAD BAD ∠=∠=∠=︒，BO OD =，根据等边三角形的判定和性质可得AC AD =，60ACD ∠=︒，根据全等三角形的的判定和性质可得60ADF ACD ==︒∠∠，根据平行线的判定得出DF AC ∥，根据平行线分线段成比例定理即可证明；（3）根据勾股定理可得2224BD DF BG +=，根据等边三角形的性质可得30OBC ∠=︒，根据锐角三角函数可求得BC =，推得223BC BD =，即可求解．【小问1详解】解：如图：【小问2详解】证明：连接BD ，与AC 相交于点O ，如图：∵线段AE 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AF ，∴60EAF ∠=︒，AE AF =，∵在菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，∴AB BC =，1602BAC CAD BAD ∠=∠=∠=︒，BO OD =，∴ABC 、ACD 是等边三角形，∴AC AD =，60ACD ∠=︒，∴CAE DAF ∠=∠,∴ACE ADF ≌，∴60ADF ACD ==︒∠∠，∴DF AC ∥，∴BGBOGF OD =，∵BO OD =，∴GB GF =；【小问3详解】解：22234BC CE BG +=，理由如下：∵DF AC ∥，BD AC ⊥，∴DF BD ⊥，在Rt BFD 中，()2222224BD DF BF BG BG +===，∵ABC 是等边三角形，BO AC ⊥，∴1302OBC ABC ==︒∠，cos30cos OB OBC BC ︒===∠，∴BC =，则2243BC BO =，则()2222342BC BO BO BD ===，∴2222234BC CE BD DF BG +=+=，即22234BC CE BG +=．【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解直角三角形等，解题的关键是根据全等三角形的性质和平行线的判定推得DF AC ∥．28. 【答案】（1）11A B（2）1,2⎛- ⎝或12⎛- ⎝（3【分析】（1）根据题中定义即可画图得出；（2）根据题意可得直线()0y kx k =≠垂直平分CC '，DD '，结合点C 的坐标，推得点D 在O 上，即可得出点D 是C 与O 交点，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求得点1D 、2D 的坐标；（3）结合（2）可得点1N 是点1M 与O 交点，先求出直线y x b =-+与x ，y 轴的交点坐标，结合三角形的面积求得OH 的值，根据锐角三角函数可求得点O '的坐标3,2b ⎫⎪⎪⎭，根据两点间的距离公式即可列出方程，解方程即可．【小问1详解】解：如图所示：∴O 关于直线1y x =+的“对称弦”的是线段11A B ；【小问2详解】解：设点C ，D 关于直线()0y kx k =≠的对称点为C ',D ¢，∴直线()0y kx k =≠垂直平分CC '，DD '，∵CD 是O 关于直线()0y kx k =≠的“对称弦”，∴C ',D ¢在O 上，∵点C 的坐标为()1,0-，即点C 在O 上，∵直线()0y kx k =≠经过圆心O ，∴点D 也在O 上，∵1CD =，故点D 在以点C 为圆心，CD 为半径的圆上，如图：C 与O 交于点1D 与点2D ；∵11OC CD OD ==，即1OCD △是等边三角形，故点1D 的横坐标为12-，点1D同理，点2D 的横坐标为12-，点2D 的纵坐标为-，综上，点D 的坐标为1,2⎛- ⎝或12⎛- ⎝；【小问3详解】解：设点M 关于直线y x b =-+的对称点为1M ,∴直线y x b =-+垂直平分1MM ，∵线段MN 是O 关于直线y x b =-+的“对称弦”， ∴1M 在O 上，由（2）可得点1N 在以点1M 为圆心，MN 为半径的圆上，又∵1MN =，即11OM =；令直线y x b =-+与x ，y 轴交于点P ，Q ，过点O 作OO '⊥直线y x b =-+交于点H ，点O '作O E x '⊥轴交于点E ，如图：令0x =，则y b =，即点()0,Q b ，OQ b =,令0y =，则x =，即点),0P ，OP =，则2PQ b ===，则OQ OP OH PQ ⋅===，∴2OO OH =='，∵90OQP QOH ∠+∠=︒，90OQP QPO ∠+∠=︒，∴QOH QPO ∠=∠，∵OQ O E ' ，∴OO E QOH QPO ∠=∠=∠'，∵1sin 2OQ QPO PQ ∠==，cos OP QPO PQ ∠==，∴1sin 2OE OO E OO ∠==''，cos O E OO E OO ''=='∠∴sin OE OO OO E ''=⋅∠=，3cos 2O E OO OO E b ='∠'⋅='，即点O '的坐标为3,2b ⎫⎪⎪⎭，∵(3,M ，11O M OM '==；∴1O M '==，整理得：23200b -+=，解得：b =或b =，故b 的值为【点睛】本题考查了轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定和性质等，正确理解新定义的含义，灵活应用数形结合思想是解题的关键．。
2023北京朝阳区初三一模数学试题及参考答案
北京市朝阳区九年级综合练习（一）一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．1.下图是某几何体的三视图，该几何体是（A ）长方体（B ）三棱柱（C ）圆锥（D ）圆柱第1题 第3题 第4题 第7题2.我国已建成世界上规模最大的社会保障体系、医疗卫生体系，基本养老保险覆盖1 040 000 000人左右，将1 040 000 000用科学记数法表示应为（A ）1.04×1010 （B ）1.04×109 （C ）10.4×109 （D ） 0.104×10113．如上图，若数轴上的点A 表示下列四个无理数中的一个，则这个无理数是（A ） （B（C （D ）π4. 如上图，直线AB ，CD 相交于点O ，若∠AOC =60°，∠BOE =40°，则∠DOE 的度数为（A ）60° （B ）40°（C ）20° （D ）10°5. 经过某路口的汽车，只能直行或右转. 若这两种可能性大小相同，则经过该路口的两辆汽车都直行的概率为（A ）（B ）（C ）（D ）141312346．正六边形的外角和为（A ）180°（B ）360°（C ）540°（D ）720°7．某中学为了解学生对四类劳动课程的喜欢情况，从本校学生中随机抽取了200名进行问卷调查，根据数据绘制了如上面图所示的统计图. 若该校有2000名学生，估计喜欢木工的人数为（A ）64（B ）380（C ）640 （D ）7208. 下面的三个问题中都有两个变量：①矩形的面积一定，一边长y 与它的邻边x ;②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积S 与全村总人口n ;③汽车的行驶速度一定，行驶路程s 与行驶时间t .其中，两个变量之间的函数关系可以用形如的式子表示的是（A ）①②（B ）①③（C ）②③（D ）①②③二、填空题（共16分，每题2分）9在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ．10．分解因式：．11． 若关于x 的一元二次方程260x x m ++=有两个相等的实数根，则实数m 的值为 ．12．方程的解为 ．13．在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数的图象经过点和点，则．14．如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AC =6. 若△ABD 的周长为13，则△ABC 的周长为．15．如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 边上，连接BE 并延长，交CD 的延长0ky k k x=≠（为常数，）2363a a -+=322x x=+6y x=()2A m ，()2B n -，m n +=第14题图第15题图线于点F . 若AB =2，BC =4，，则BF 的长为 ．16. 一个33人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下4间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚130元.（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住. 三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付130元.）（1）若该旅游团一晚的住宿房费为1530元，则他们租住了间一人间;（2）若该旅游团租住了3间一人间，且共有19名男士，则租住一晚的住宿房费最少为元.三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17．计算：．18．解不等式组：19．已知，求代数式的值．20. 下面是证明“等腰三角形的两个底角相等”的两种添加辅助线的方法，选择其2AEDE=(02sin 45π-+-o 17242.3x x xx +⎧⎪+⎨⎪⎩＞-，≤230x x --=(2)(2)(2)x x x x +---中一种，完成证明.已知：如图，在△ABC 中，AB =AC .求证：∠B =∠C .方法一证明：如图，作△ABC 的中线AD .方法二证明：如图，作△ABC 的角平分线AD .21. 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 在BD 上，AE ∥CF ，连接AF ，CE ．（1）求证：四边形AECF 为平行四边形；（2）若∠EAO +∠CFD =180°，求证：四边形AECF 是矩形．22. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图象经过点（0，1），（-2，2），与x轴交于点A .（1）求该一次函数的表达式及点A 的坐标；（2）当2x ≥时，对于x 的每一个值，函数的值大于一次函数0y kx b k =+≠（）2y x m =+的值，直接写出m 的取值范围.23. 如图，AB 是⊙O 的弦，过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C ，过点A 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点D ，连接OB .（1）求证：∠B =∠D ；（2）延长BO 交⊙O 于点E ，连接AE ，CE ，若AD=，sinBCE 的长．24．某校为了解读书月期间学生平均每天阅读时间，在该校七、八、九年级学生中各随机抽取了15名学生，获得了他们平均每天阅读时间（单位：min ），并对数据进行了整理、描述，给出部分信息.a . 七、八年级学生平均每天阅读时间统计图：0y kx b k =+≠（）七年级学生平均每天阅读时间八年级学生平均每天阅读时间b . 九年级学生平均每天阅读时间：21 22 25 33 36 36 37 37 39 39 41 42 46 48 50c . 七、八、九年级学生平均每天阅读时间的平均数：年级七八九平均数26.435.236.8根据以上信息，回答下列问题：（1）抽取的15名九年级学生平均每天阅读时间的中位数是 ；（2）求三个年级抽取的45名学生平均每天阅读时间的平均数；（3）若七、八、九年级抽取的学生平均每天阅读时间的方差分别为，，，则，，之间的大小关系为.25．一位滑雪者从某山坡滑下并滑完全程，滑行距离s （单位：m ）与滑行时间t （单位：s ）近似满足“一次函数”、“二次函数”或“反比例函数”关系中的一种. 测得一些数据如下：滑行时间t /s 01234滑行距离s /m261220（1）s 是t 的函数（填“一次”、“二次”或“反比例”）；21s 22s 23s 21s 22s 23s（2）求s 关于t 的函数表达式；（3）已知第二位滑雪者也从坡顶滑下并滑完全程，且滑行距离与第一位滑雪者相同，滑行距离s （单位：m ）与滑行时间t （单位：s ）近似满足函数关系2522s t t =+. 记第一位滑雪者滑完全程所用时间为t 1，第二位滑雪者滑完全程所用时间为t 2，则t 1t 2（填“<”，“=”或“＞”）.26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+（2m -6）x +1经过点()124m -，.（1）求a 的值；（2）求抛物线的对称轴（用含m 的式子表示）；（3）点()1m y -，，()2m y ，，()32m y +，在抛物线上，若231y y y ＜≤，求m 的取值范围.27. 如图，∠MON =α，点A 在ON 上，过点A 作OM 的平行线，与∠MON 的平分线交于点B ，点C 在OB 上（不与点O ，B 重合），连接AC ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转180°-α，得到线段AD ，连接BD .（1）直接写出线段AO 与AB 之间的数量关系，并证明∠MOB =∠DBA ；（2）连接DC 并延长，分别交AB ，OM 于点E ，F . 若α=60°，用等式表示线段EF 与AC 之间的数量关系，并证明.28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P ，C ，Q （点P 与点C 不重合），给出如下定义：若∠PCQ =90°，且1CQ CP k，则称点Q 为点P 关于点C 的“k -关联点”.已知点A （3，0），点B （0，），⊙O 的半径为r .（1）①在点D （0，3），E （0，-1.5），F （3，3）中，是点A 关于点O 的“1-关联点”的为；②点B 关于点O 的关联点”的坐标为；（2）点P 为线段AB 上的任意一点，点C 为线段OB 上任意一点（不与点B重合）.①若⊙O 上存在点P 关于点O 的关联点”，直接写出r 的最大值及最小值；②当r =⊙O 上不存在点P 关于点C 的“k -关联点”，直接写出k 的取值范围：.北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷答案及评分参考2023.4一、选择题（共16分，每题2分）题号12345678答案A B D C A B C A 二、填空题（共16分，每题2分）三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27，28题，每题7分）17. 解：原式12=-++1=+.18. 解：原不等式组为17242.3x xxx+⎧⎪+⎨⎪⎩＞-，≤解不等式①，得 2.x>解不等式②，得 4.x≤∴原不等式组的解集为2 4.x<≤19. 解：(2)(2)(2)x x x x+---2242x x x=--+222 4.x x=--∵230x x--=，∴2 3.x x-=题号9101112答案5x≥23(1)a-9x=4题号13141516答案01951；1600①②∴原式22()4 2.x x =--=20. 方法一证明：∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD =CD .在△ABD 和△ACD 中，AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，∴△ABD ≌△ACD . ∴∠B =∠C .方法二证明：∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD =∠CAD . 在△ABD 和△ACD 中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△ABD ≌△ACD . ∴∠B =∠C.21. 证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =OC . ∵AE ∥CF ，∴∠EAO =∠FCO .∵∠AOE =∠COF ，∴△AEO ≌△CFO . ∴OE =OF .∴四边形AECF 为平行四边形.（2）∵∠EAO +∠CFD =180°，∠CFO +∠CFD =180°，∴∠EAO=∠CFO . ∵∠EAO =∠FCO ，∴∠FCO=∠CFO . ∴OC=OF . ∴AC=EF .∴四边形AECF 是矩形．22. 解：（1）∵一次函数的图象经过点（0，1），（-2，2），∴12 2.b k b =⎧⎨-+=⎩，解得 121.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴该一次函数的表达式为11.2y x =-+令0y =，得 2.x =∴()20.A ，（2） 4.m ＞-23. （1）证明：如图，连接OA .∵AD 为⊙O 的切线，∴∠OAD =90°.∴∠CAD +∠OAB =90°.∵OC ⊥AB ，∴∠ACD =90°.∴∠CAD +∠D =90°.∴∠OAB =∠D .∵OA =OB ，∴∠OAB =∠B .∴∠B =∠D .（2）解：在Rt △ACD 中，AD=，sin D =sin B，可得sin 2AC AD D =⋅=.∴AB =2AC =4.根据勾股定理，得CD =4.∴tan B =tan D =12.∵BE 为⊙O 的直径，0y kx b k =+≠（）∴∠EAB =90°.在Rt △ABE 中,tan 2AE AB B =⋅=.在Rt △ACE 中，根据勾股定理，得CE=24．解：（1）37．（2）根据题意可知，三个年级抽取的45名学生平均每天阅读时间的平均数为 1526.41535.21536.832.8.45⨯+⨯+⨯=（3）＜＜．25．解：（1）二次.（2）设s 关于t 的函数表达式为s =at 2+bt ，根据题意，得242 6.a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得11.a b =⎧⎨=⎩，∴s 关于t 的函数表达式为s =t 2+t.（3）＞.26．解：（1）∵抛物线y =ax 2+（2m -6）x +1经过点()124m -，，∴2m -4=a +（2m -6）+1.∴a =1（2）由（1）得抛物线的表达式为y =x 2+（2m -6）x +1.∴抛物线的对称轴为3.x m =-（3）①当m ＞0时，可知点()1m y -，，()2m y ，，()32m y +，从左至右分布.根据23y y ＜可得232m m m ++-＜.∴ 1.m ＞根据31y y ≤可得232m m m -++-≥.∴ 2.m ≤22s 21s 23s∴1 2.m ＜≤②当m ≤0时，∵3m m m +≤-＜-，∴21y y ≥，不符合题意.综上，m 的取值范围为1 2.m ＜≤27．解：（1）AO =AB .证明：∵OB 平分∠MON ， ∴∠MOB =∠NOB. ∵OM //AB ，∴∠MOB =∠ABO. ∴∠NOB =∠ABO. ∴AO =AB .根据题意，得AC =AD ，∠OAB =∠CAD .∴∠CAO =∠DAB.∴△OAC ≌△BAD. ∴∠COA =∠DBA. ∴∠MOB =∠DBA.（2）EF =.证明：如图，在OM 上截取OH =BE ，连接CH .∵△OAC ≌△BAD ，∴OC=BD.又OH =BE ，∴△OHC ≌△BED.∴CH=DE ，∠OHC=∠BED ，∵OM//AB ，∴∠MFC=∠BED.∴∠MFC=∠OHC.∴CF=CH.∴CF=DE.∴CD=EF.∵α=60°，∴∠CAD=180°－α=120°，作AK ⊥CD 于点K. ∵AC=AD ，∴∠ACK =30°，1.2CK CD =∴.CK AC =∴CD =.∴EF =.28． 解：（1）①D .②（-3，0）或（3，0）.（2）① 3，32.②k .。
北京市朝阳区2024届高三一模数学含答案
北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一数学2024.4（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集{1,2,3,4},{|2}U A x U x ==∈<，则U A =ð（A ）{1}（B ）{1,2}（C ）{3,4}（D ）{2,3,4}（2）复数i3i+在复平面内对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（3）在ABC △2sin b A =，则B ∠=（A ）6π（B ）6π或65π（C ）3π（D ）3π或32π（4）已知a ∈R ，则“01a <<”是“函数3()(1)f x a x =-在R 上单调递增”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知直线60x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r =（A ）2（B ）（C ）4（D ）（6）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12341,4a a a a =++=，则6S =（A ）9（B ）16（C ）21（D ）25（7）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作垂直于x 轴的直线l ，,M N分别是l 与双曲线C 及其渐近线在第一象限内的交点．若M 是线段FN 的中点，则C 的渐近线方程为（A ）y x=±（B ）2y x =±（C ）3y x =±（D ）5y x =±（8）在ABC △中，2,AB AC BC ===，点P 在线段BC 上．当PA PB ⋅取得最小值时，PA =（A （B （C ）34（D ）74（9）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别为棱11,,AA BC CC 的中点，动点H 在平面EFG 内，且1DH =．则下列说法正确的是（A ）存在点H ，使得直线DH 与直线FG 相交（B ）存在点H ，使得直线DH ⊥平面EFG （C ）直线1B H 与平面EFG 所成角的大小为π3（D ）平面EFG （10）已知n 个大于2的实数21,,,n x x x ，对任意(1,2,),i n x i = ，存在2i y ≥满足i i y x <，且i i y x i i x y =，则使得12115n n x x x x -+++ ≤成立的最大正整数n 为（A ）14（B ）16（C ）21（D ）23第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市朝阳区初三数学一模试卷及答案
北京市朝阳区九年级综合练习（一）语文试卷 2008.5第Ⅰ卷（共60分）一、选择题，完成第1—5题。
下面各题均有四个选项，其中只有一个符合题意，请将该答案的字母序号填在题干后的括号内。
（共10分）1．下面加点字读音有误的是（ ）（2分）A. 忌讳．（hu ì） 干涸．（h é） 谆．谆教诲（zh ūn ）B. 游弋．（y ì） 自诩．（y ǔ） 言简意赅．（g āi ）C. 蹒．跚（pán） 修葺．（q ì） 断壁残垣．（yu án ）D. 侥．幸（ji ǎo ） 执拗．（ni ù） 载．歌载舞（z ài ）2．根据成语解说，在横线处填写的汉字不正确的是( ) （2分）A ．完 归赵蔺相如到秦国献美玉时，见秦王无意给赵国城池，便派人把美玉完好无损地送回赵国。
比喻将原物完好无损地归还原主。
横线处应填“璧”字。
B ．守 待兔一农夫见一只兔子撞在树桩上死了，便捡回家。
以后他便每天守着树桩，希望再捡到兔子。
比喻心存侥幸，不劳而获。
横线处应填“株”字。
C ．闻鸡起东晋时，祖逖和刘琨互相勉励，立志为国效力，半夜听到鸡鸣就起床练剑。
形容有志之士及时发奋，刻苦自励。
横线处应填“武”字。
D．破沉舟项羽跟秦兵打仗，过河后把锅都打破，船都沉弃，营房烧毁，表示不再回来。
现比喻下决心，不顾一切干到底。
横线处应填“釜”字。
3．下面文字是对“微笑北京”主题活动的介绍。
在横线处填入恰当的词语，正确的是（）（2分）在开展“微笑北京”主题活动中，北京团市委推出了佩戴奥运志愿五色“微笑圈”的活动。
随着红、黑、绿、黄、蓝五色“微笑圈”越来越为人们所熟知并佩戴，整个活动的知晓率和参与率都在不断上升。
志愿服务奥运也是我们中学生的责任，我们将用微笑迎接八方来客。
A. 首当其冲B.不言而喻C. 义不容辞D.当之无愧4．填入下列文字横线处的语句，与上文衔接最恰当的是（）（2分）精读之外，还需要略读。
2021年北京市朝阳区高考数学一模试卷【含答案】
2021年北京市朝阳区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x﹣1≥0}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3}B．{1，2，3}C．{2，3}D．{3}【分析】利用集合交集的定义求解即可．【解答】解：因为集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}，所以A∩B＝{1，2，3}．故选：B．【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．2．（4分）如果复数的实部与虚部相等，那么b＝（）A．﹣2B．1C．2D．4【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等求得b值．【解答】解：∵的实部与虚部相等，∴b＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝1，S9＝18，则a1＝（）A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣3【分析】先由题设求得a5，再利用等差数列的性质求得结果．【解答】解：∵S9＝18＝＝9a5，∴a5＝2，又a3＝1，∴由等差数列的性质可得：a1+a5＝a1+2＝2a3＝2，∴a1＝0，故选：A．【点评】本题主要考查等差数列的性质及基本量的计算，属于基础题．4．（4分）已知圆x2+y2＝4截直线y＝kx+2所得弦的长度为，则实数k＝（）A．B．C．D．【分析】求出圆的圆心与半径，利用弦长，推出弦心距，利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：圆x2+y2＝4截直线y＝kx+2所得弦的长度为，可得弦心距为：＝1，所以：，解得k＝．故选：D．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．5．（4分）已知双曲线的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为（）A．B．C．D．y＝±2x【分析】根据题意，由双曲线的离心率e＝2可得c＝2a，由双曲线的几何性质可得b＝a，由此求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：根据题意，双曲线的离心率为2，其焦点在x轴上，其渐近线方程为y＝±x，又由其离心率e＝＝2，则c＝2a，则b＝＝a，即＝，则其渐近线方程y＝±x；故选：A．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意由双曲线的标准方程分析焦点的位置，确定双曲线的渐近线方程，是中档题．6．（4分）在△ABC中，若a2﹣b2+c2+ac＝0，则B＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用余弦定理的应用求出结果．【解答】解：若a2﹣b2+c2+ac＝0，所以，由于B∈（0，π），所以B＝．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．7．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥最长的棱长为（）A．2B．C．D．【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的各个棱长，从而确定结果．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥A﹣BCD；如图所示：所以：AB＝BC＝，CD＝BD＝1，AD＝，AC＝，故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，三棱锥的棱长的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8．（4分）在△ABC中，“tan A tan B＜1”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】解法一：对角分类讨论，利用正切和差公式及其三角函数的单调性即可判断出结论．解法二：tan A tan B＜1⇔1﹣＞0⇔cos A cos B cos C＜0⇔△ABC为钝角三角形，即可判断出结论．【解答】解：解法一：（1）若C为钝角，则A，B为锐角，∴tan C＝﹣tan（A+B）＝﹣＜0，解得tan A tan B＜1．若A或B为钝角，则tan A tan B＜1成立．（2）若tan A tan B＜1成立，假设A或B为钝角，则△ABC为钝角三角形．假设A，都B为锐角，tan C＝﹣tan（A+B）＝﹣＜0，解得C为钝角，则△ABC为钝角三角形．综上可得：在△ABC中，“tan A tan B＜1”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件．解法二：tan A tan B＜1⇔1﹣＞0⇔＞0⇔cos A cos B cos C＜0⇔△ABC为钝角三角形．∴在△ABC中，“tan A tan B＜1”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查了分类讨论、正切和差公式及其三角函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（4分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P是直线l上的动点．若点A在抛物线C上，且|AF|＝5，则|PA|+|PO|（O为坐标原点）的最小值为（）A．8B．C．D．6【分析】不妨设A为第一象限内的点，坐标为（a，b），由抛物线的定义可得|AF|＝a+1＝5，解得A点的坐标，设点A关于直线x＝﹣1的对称点为A′（﹣6，4），由对称性可得|PA|+|PO|＝|PA′|+|PO|≥|A′O|，即可得出答案．【解答】解：不妨设A为第一象限内的点，坐标为（a，b）由抛物线的方程可得焦点F（1，0），则|AF|＝a+1＝5，解得a＝4，所以A（4，4），所以点A关于直线x＝﹣1的对称点为A′（﹣6，4），故|PA|+|PO|＝|PA′|+|PO|≥|A′O|＝＝2，当且仅当A′，P，O三点共线时，等号成立，即|PA|+|PO|的最小值为2．故选：B．【点评】本题考查图形的对称性，抛物线的定义，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．10．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段BC1上的点，过A1的平面α与直线PD垂直．当P在线段BC1上运动时，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积的最小值是（）A．1B．C．D．【分析】画出图形，判断截面的位置，结合正方体的特征，转化求解截面面积的最小值即可．【解答】解：当P在B点时，BD⊥平面ACC1A1，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积：1×＝是最大值；当P与C1重合时，DC1⊥平面A1D1CB，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积：1×＝是最大值当P由B向C1移动时，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面A1EF，E由A向B移动，当P到BC1的中点时，取得最小值，如图此时E为AB的中点，F为D1C1的中点，（P在底面ABCD上的射影为DH，H是BC的中点，此时EC ⊥DH，可得DP⊥EC，同理可得DP⊥CF，可证明DP⊥平面A1ECF），A1E＝CE＝，AC＝，EF＝，四边形A1ECF是菱形，所以平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积：＝．故选：C．【点评】本题考查直线与平面垂直，截面面积的最小值问题，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是难题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）在（x+）8的展开式中，x4的系数为28．（用数字作答）【分析】求出展开式的通项，然后令x的指数为2，求出r的值，由此即可求解．【解答】解：展开式的通项为T，令8﹣2r＝4，解得r＝2，所以x4的系数为C，故答案为：28．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．12．（5分）已知函数则f（0）＝1；f（x）的值域为（﹣∞，2）．【分析】根据分段函数的表达式直接代入即可求出f（0），利用指数函数和对数函数的性质分别进行求解即可．【解答】解：f（0）＝20＝1，当x＜1时，0＜2x＜2，此时0＜f（x）＜2，当x≥1时，log2x≥0，则﹣log2x≤0，即此时f（x）≤0，综上f（x）＜2，即函数f（x）的值域为（﹣∞，2），故答案为：1，（﹣∞，2）．【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用指数函数和对数函数的单调性的性质是解决本题的关键，是基础题．13．（5分）已知向量＝（，1），＝（x，y）（xy≠0），且||＝1，•＜0，则向量的坐标可以是（，）．（写出一个即可）【分析】利用已知条件画出图形，判断向量的坐标的位置，即可写出结果．【解答】解：向量＝（，1），＝（x，y）（xy≠0），且||＝1，•＜0，如图，可知向量的坐标可以是黑色圆弧上的任意一点，向量的坐标可以是（，）．故答案为：（，）．【点评】本题考查向量的数量积的应用，点的坐标的求法，是基础题．14．（5分）李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A商品获利8元．现计划在“五一”期间对A商品进行广告促销，假设售出A商品的件数m（单位：万件）与广告费用x（单位：万元）符合函数模型．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投入3万元．【分析】由题意知，每售出1万件A商品获利8万元，可得售出m万件A商品的总获利为24﹣，设f（x）＝24﹣（x≥0），利用导数求最值得答案．【解答】解：由题意知，每售出1万件A商品获利8万元，∴售出m万件A商品的总获利为：8m﹣x＝8（3﹣）﹣x＝24﹣，设f（x）＝24﹣（x≥0），则f′（x）＝（x≥0），令f′（x）＞0，即＞0（x≥0），解得0≤x＜3，∴当0≤x＜3时，f′（x）＞0，函数f（x）在[0，3）单调递增，当x＞3时，f′（x）＜0，函数f（x）在（3，+∞）上单调递减，则当x＝3时，函数f（x）取得极大值，即最大值，∴要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投入3万元．故答案为3．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用导数求最值，考查运算求解能力，是中档题．15．（5分）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设f （x）是定义在R上的函数，对于x0∈R，令x n＝f（x n﹣1）（n＝1，2，3，…），若存在正整数k使得x k＝x0，且当0＜j＜k时，x j≠x0，则称x0是f（x）的一个周期为k的周期点．给出下列四个结论：①若f（x）＝e x﹣1，则f（x）存在唯一一个周期为1的周期点；②若f（x）＝2（1﹣x），则f（x）存在周期为2的周期点；③若f（x）＝则f（x）不存在周期为3的周期点；④若f（x）＝x（1﹣x），则对任意正整数n，都不是f（x）的周期为n的周期点．其中所有正确结论的序号是①④．【分析】由周期点的定义，可得直线y＝x与y＝f（x）存在交点．分别对选项分析，结合函数的最值和函数值的符号，可得结论．【解答】解：对于x0∈R，令x n＝f（x n﹣1）（n＝1，2，3，…），若存在正整数k使得x k＝x0，且当0＜j＜k时，x j≠x0，则称x0是f（x）的一个周期为k的周期点．对于①f（x）＝e x﹣1，当k＝1时，x1＝f（x0）＝e x0﹣1，因为直线y＝x与y＝f（x）只有一个交点（1，1），故①正确；对于②，f（x）＝2（1﹣x），k＝2时，x2＝f（x1）＝2（1﹣x1）＝2[1﹣f（x0）]＝4x0﹣2，由x2＝x0，可得x0＝，x1＝，…，x n＝，不满足当0＜j＜k时，x j≠x0，所以f（x）不存在周期为2的周期点，故②不正确；对于③，当，，，满足题意，故存在周期为3的周期点，故③错误，对于④，f（x）＝x（1﹣x）＝﹣（x﹣）2+，所以f（x）≤，即f（x）＜，所以不是周期点，故④正确．故答案为：①④．【点评】本题考查函数的新定义的理解和运用，主要是周期点的定义，考查运算能力和推理能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（13分）已知函数由下列四个条件中的三个来确定：①最小正周期为π；②最大值为2；③；④f（0）＝﹣2．（Ⅰ）写出能确定f（x）的三个条件，并求f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．【分析】（Ⅰ）若函数f（x）满足条件④，则由f（0）＝A sinφ＝﹣2，推出与A＞0，0＜φ＜矛盾，可得函数f（x）不能满足条件④，由条件①，利用周期公式可求ω＝2，由条件②，可得A＝2，由条件③，可得f（﹣）＝0，结合范围0＜φ＜，可求φ＝，可得函数解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的单调性即可求解．【解答】解：（Ⅰ）若函数f（x）满足条件④，则f（0）＝A sinφ＝﹣2，这与A＞0，0＜φ＜矛盾，故函数f（x）不能满足条件④，所以函数f（x）只能满足条件①，②，③，由条件①，可得＝π，又因为ω＞0，可得ω＝2，由条件②，可得A＝2，∴f（x）＝2sin（2x+φ）由条件③，可得f（﹣）＝2sin（﹣+φ）＝0，∴sin（﹣+φ）＝0，∴﹣+φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝+kπ，k∈Z，又因为0＜φ＜，所以φ＝，所以f（x）＝2sin（2x+）．（Ⅱ）令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，∴﹣+kπ≤x≤+kπ，∴f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，（k∈Z）．【点评】本题主要考查了由y＝A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O是AD边的中点，PO⊥底面ABCD，PO＝1．在底面ABCD 中，BC∥AD，CD⊥AD，BC＝CD＝1，AD＝2．（Ⅰ）求证：AB∥平面POC；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣D的余弦值．【分析】（Ⅰ）先证明四边形ABCO是平行四边形，即可得到AB∥OC，由线面平行的判定定理证明即可；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，利用待定系数法求出平面BAP的法向量，由向量的夹角公式求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：在四边形ABCD中，因为BC∥AD，，O是AD的中点，则BC∥AO，BC＝AO，所以四边形ABCO是平行四边形，所以AB∥OC，又因为AB⊄平面POC，CO⊂平面POC，所以AB∥平面POC；（Ⅱ）连结OB，因为PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OB，PO⊥OD，又因为点O时AD的中点，且，所以BC＝OD，因为BC∥AD，CD⊥AD，BC＝CD，所以四边形OBCD是正方形，所以BO⊥AD，建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，﹣1，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），所以，设平面BAP的法向量为，则，即，令y＝1，则x＝z＝﹣1，故，因为OB⊥平面PAD，所以是平面PAD的一个法向量，所以＝，由图可知，二面角B﹣AP﹣D为锐角，所以二面角B﹣AP﹣D的余弦值为．【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理的应用，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．18．（14分）我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困．为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对A，B两个地区2019年脱贫家庭进行简单随机抽样，共抽取500户家庭作为样本，获得数据如表：A地区B地区100户150户2019年人均年纯收入超过10000元200户50户2019年人均年纯收入未超过10000元假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立．（Ⅰ）从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，估计该家庭2019年人均年纯收入超过10000元的概率；（Ⅱ）在样本中，分别从A地区和B地区2019年脱贫家庭中各随机抽取1户，记X为这2户家庭中2019年人均年纯收入超过10000元的户数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，发现这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元．根据这个结果，能否认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年有变化？请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用概率公式求解即可；（Ⅱ）确定X的取值，分别求解其概率，然后列出分布列求出数学期望即可；（Ⅲ）先通过2019年的样本数据可得0.012，然后据此说明理由即可．【解答】解：（Ⅰ）设事件C：从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过10000元，从表格数据可知，A地区抽出的300户家庭中2019年人均年收入超过10000元的有100户，因此P（C）可以估计为＝；（Ⅱ）设事件A：从样本中A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过10000元，设事件B：从样本中B地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过10000元，由题意可知，X的可能取值为0，1，2，＝，＝＝，＝，所以X的分布列为：X012P所以X的数学期望为E（X）＝＝；（Ⅲ）设事件E为“从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元”，假设样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年没有变化，则由2019年的样本数据可得0.012．答案示例1：可以认为有变化，理由如下：P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年发生了变化，所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化，理由如下：事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．【点评】本题考查了离散型随机变量及其分布列以及离散型随机变量的期望，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．19．（15分）已知椭圆C的短轴的两个端点分别为A（0，1），B（0，﹣1），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程及焦点的坐标；（Ⅱ）若点M为椭圆C上异于A，B的任意一点，过原点且与直线MA平行的直线与直线y＝3交于点P，直线MB与直线y＝3交于点Q，试判断以线段PQ为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由题意可得b的值，再由离心率及a，b，c之间的关系求出a的值，进而求出椭圆的方程；（Ⅱ）设直线MA的方程，由题意可得直线OP的方程，与y＝3联立求出P的坐标，将直线AM的方程与椭圆联立求出M的坐标，进而求出直线BM的方程，与y＝3联立求出Q的坐标，设以PQ为直径的圆的方程过T点，可得数量积＝0，求出T的坐标，即圆过的定点的坐标．【解答】解（Ⅰ）由题意可得b＝1，e＝＝，c2＝a2﹣b2，解得a2＝3，所以椭圆的方程为：+y2＝1，且焦点坐标（±，0）；（Ⅱ）设直线MA的方程为：y＝kx+1，（k≠0）则过原点的直线且与直线MA平行的直线为y＝kx，因为P是直线y＝kx，y＝3的交点，所以P（，3），因为直线AM的方程与椭圆方程+y2＝1联立：，整理可得：（1+3k2）x2+6kx＝0，可得x M＝﹣，y M＝+1＝，即M（﹣，），因为B（0，﹣1），直线MB的方程为：y＝﹣﹣1，联立，解得：y＝3，x＝﹣12k，由题意可得Q（﹣12k，3），设T（x0，y0），所以＝（x0﹣，y0﹣3），＝（x0+12k，y0﹣3），由题意可得以线段PQ为直径的圆过T点，所以＝0，所以（x0﹣，y0﹣3）•（x0+12k，y0﹣3）＝0，可得x02+12kx0﹣x0﹣36+y02﹣6y0+9＝0，①，要使①成立，，解得：x0＝0，y0＝﹣3，或x0＝0，y0＝9，所以T的坐标（0，﹣3）或（0，9）．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，以线段为直径的圆的方程恒过定点可得数量积为0的性质，属于中档题．20．（15分）已知函数f（x）＝（ax﹣1）e x（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线y＝ax+a与曲线y＝f（x）相切，求证：a∈（﹣1，）．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，根据直线和f（x）相切，得到a＝，结合y＝的单调性证明结论成立即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝（ax+a﹣1）e x，令f′（x）＝0，得ax＝1﹣a，当a＝0时，f′（x）＝﹣e x＜0，y＝f（x）在R单调递减，当a＞0时，x，f′（x），f（x）的变化如下：x（﹣∞，）（，+∞）f′（x）﹣0+f（x）递减极小值递增当a＜0时，x，f′（x），f（x）的变化如下：x（﹣∞，）（，+∞）f′（x）+0﹣f（x）递增极大值递减综上：当a＝0时，y＝f（x）在R单调递减，当a＞0时，y＝f（x）的单调递增区间是（﹣∞，），单调递减区间是（，+∞），当a＜0时，y＝f（x）的单调递增区间是（﹣∞，），单调递减区间是（，+∞）；（Ⅱ）证明：由题意得f′（x）＝（ax+a﹣1）e x，设直线y＝ax+a与曲线y＝f（x）相切于点（x0，y0），则，由①﹣②得﹣a＝ax0，即a（+x0）＝0，若a＝0，则f（x）＝﹣e x，ax+a＝0，直线y＝0与曲线y＝f（x）不相切，不符合题意，所以a≠0，所以+x0＝0，③，令φ（x）＝e x+x，则φ′（x）＝e x+1＞0，故φ（x）单调递增，∵φ（﹣）＝﹣＞0，φ（﹣1）＝e﹣1﹣1＜0，故存在唯一x0∈（﹣1，﹣）使得+x0＝0，将③代入①得a+ax0﹣x0+a＝0，故a＝＝，易知在（﹣1，﹣）内y＝x++1单调递减，且x++1＜0，故y＝在（﹣1，﹣）内单调递增，∵x0∈（﹣1，﹣），∴﹣1＜a＜﹣，故a∈（﹣1，﹣）．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．21．（15分）设数列A m：a1，a2，…，a m（m≥2），若存在公比为q的等比数列B m+1：b1，b2，…，b m+1，使得b k＜a k＜b k+1，其中k＝1，2，…，m，则称数列B m+1为数列A m的“等比分割数列”．（Ⅰ）写出数列A4：3，6，12，24的一个“等比分割数列”B5；（Ⅱ）若数列A10的通项公式为a n＝2n（n＝1，2，…，10），其“等比分割数列”B11的首项为1，求数列B11的公比q的取值范围；（Ⅲ）若数列A m的通项公式为a n＝n2（n＝1，2，…，m），且数列A m存在“等比分割数列”，求m的最大值．【分析】（Ⅰ）根据“等比分割数列”的定义即可求解；（Ⅱ）根据定义可得q n﹣1＜2n＜q n（n＝1，2，3，…，10），从而求得q＞2，且q n﹣1＜2n（n＝1，2，3，…，10），n＝1时显然成立，当n＝2，3，…，10时，将q n﹣1＜2n转化为q＜，利用指数函数的单调性即可求得q的取值范围；（Ⅲ）设B m+1是数列A m的“等比分割数列”，首项为b1，公比为q，由定义可得b1q n﹣1＜n2＜b1q n（n ＝1，2，…，m），设m≥6，解不等式可推出矛盾，可得m≤5，当m＝5时，取b1＝0.99，q＝2.09，满足定义，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）根据定义可得数列A4：3，6，12，24的一个“等比分割数列”B5：2，4，8，16，32．（答案不唯一）（Ⅱ）由题意可得，q n﹣1＜2n＜q n（n＝1，2，3，…，10），所以q＞2，且q n﹣1＜2n（n＝1，2，3，…，10），当n＝1时，1＜2成立；当n＝2，3，…，10时，应有q＜成立，因为y＝2x在R上单调递增，所以＝随着n的增大而减小，故q＜，综上，q的取值范围是（2，）．（Ⅲ）设B m+1是数列A m的“等比分割数列”，首项为b1，公比为q，由题意，应有b1q n﹣1＜n2＜b1q n（n＝1，2，…，m），显然b1＞0，q＞0，设m≥6，此时有b1＜1＜b1q＜4＜b1q2＜9＜b1q3＜16＜b1q4＜25＜b1q5＜36＜b1q6＜…．所以＞，可得q3＞9，所以q＞＞2，又b1q3＞9，所以b1q5＞9×22＝36，与b1q5＜36＜b1q6矛盾，故m≤5，又当m＝5时，取b1＝0.99，q＝2.09，可得0.99＜1＜0.99×2.09＜4＜0.99×2.092＜9＜0.99×2.093＜16＜0.99×2.094＜25＜0.99×2.095，所以m＝5时成立，综上，m的最大值为5．【点评】本题主要考查新定义，数列的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．。
北京市朝阳区评标：202404初三数学一模
-北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷答案及评分参考 2024. 4一、选择题（共 16 分，每题 2 分）题号12345678答案B D C B B C D A 二、填空题（共 16 分，每题 2 分）题号9101112答案x ≥143(x+y)2x = 2254m<题号13141516答案680 6.4635；B → C → A →D三、解答题（共 68 分，第 17-19 题，每题 5 分，第 20-21 题，每题 6 分，第22-23 题，每题 5 分，第 24 题 6 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27-28 题，每题 7 分）17．解：原式=.................................................................................4 分112+-= ................................................................................................................5 分18.解：原不等式组为2431432x xxx-<---<⎧⎪⎨⎪⎩（）①②解不等式①，得x > –1．................................................................................................2 分解不等式②，得x ＜2．...............................................................................................4 分∴原不等式组的解集为 –1 ＜x＜2．..........................................................................5 分19.解：2422y xxx x y-⋅-（）......................................................................................................1分22422x y xx x y-=⋅-=...........................................................................................2分(2)(2)22x y x y xx x y+-⋅-= 2(x + 2 y)．....................................................................................................................3 分∵x + 2 y + 2 = 0，∴x + 2 y = -2 ．.............................................................................................................4 分∴原式= -4．.................................................................................................................5 分20．（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB //CD ，AB = CD ．.....................................................................................1 分∵ DE //AC ，∴四边形 ACDE 是平行四边形．.....................................................................2 分∵ AB =AC ，∴ AC =CD ．∴四边形 ACDE 是菱形．.................................................................................3 分（2）解： 设 CE 与 AD 相交于点 O ．由（1）可知，AD ⊥CE ，AD //BC ，AB = CD = AE ．∴∠BCE = ∠AOE = 90°．........................................4 分∴在 Rt △BCE 中，tan B =．2CE BC=设 BC = x ，则 CE = 2x ．∵ AB = 5，∴ BE = 2AB = 10．∵ BC 2+ CE 2 = BE 2，∴ x 2+（2x ）2 = 102．..........................................................................................5 分解得 x 1 = ，x 2 =-∴ CE =．.....................................................................................................6 分21.解：设每张桌面的宽为 x 尺．...............................................................................................1 分由图形可知，小桌的长为 2x 尺，中桌的长为 3x 尺，长桌的长为 4x 尺．...............2 分依题意，可得 2×4x 2 ＋ 2×3x 2 ＋ 3×2x 2 ＝ 61.25．......................................................3 分解得 x 1 =，x 2 =（舍）． ...............................................................................4 分7474-∴ 4x = 7．......................................................................................................................5 分答：长桌的长为 7 尺．.................................................................................................6 分22.解：（1）∵ y = mx 的图象经过点 A （2，4），∴ m = 2．∴ y = 2x ．............................................................................................................2 分∵ 的图象经过点 A （2，4），k y x=∴ k = 8．∴ ．............................................................................................................3 分8y x =（2） n ≥ ． (5)分103-（2）第二批；................................................................................................................3 分（3）如：131，135．....................................................................................................5 分24．（1）证明：∵D 是 的中点，A BC∴．A A BCCD =∴∠BAD = ∠CAD ．.........................................................................................1 分∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠C = 90°．.....................................................................................................2 分∴∠CAD + ∠AFC = 90°．∵∠EFB = ∠AFC ，∴∠CAD + ∠EFB = 90°．∵ BE 是⊙O 的切线，∴∠ABE = 90°．∴∠BAD + ∠E = 90°．∴∠EFB = ∠E ．∴ BE = BF ．......................................................................................................3 分（2）解： 连接 BD ．∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB = 90°．∴∠EAB + ∠ABD = 90°．∵∠EBD + ∠ABD = 90°，∴∠EAB = ∠EBD ．∵⊙O 的半径是 2，∴ AB = 4．∵ BE = 3，∴在 Rt △ABE 中，AE．........................................................4 分5=∴ sin ∠EBD = sin ∠EAB = ．35BE AE=∴ ED = BE ·sin ∠EBD =．................................................................................5 分95∵ BE = BF ，BD ⊥ EF ，∴ EF = 2ED =．185∴ AF = AE – EF =．.........................................................................................6 分75B（2）①补全的函数图象如下：..................................................② 60；.................................................................................................................4 分（3）不能．..................................................................................................................5 分26.解：（1）∵抛物线 y = ax 2 + bx 经过点（4，0），∴ 16a + 4b = 0．∴ b = –4a ．∴ t = 2．.................................................................................................................2 分（2）① ＜ ；..................................................................................................................3 分② ∵ a > 0，∴当 x ≥ t 时，y 随 x 的增大而增大；当 x ≤ t 时，y 随 x 的增大而减小．∵ 0 < x 1 < 1，x 1 + x 2 = 2，∴ 1 < x 2 < 2．(i)当 t ≤ 0 时，∵ 0 < x 1 < x 2，∴ y 1 > 0，y 2 > 0．∴总有 y 1 y 2 > 0，符合题意．(ii)当0 ＜ t ≤时，12∵ 1 < x 2 < 2，∴ x 2 > 2t ．∴ y 2 > 0．当 0 ＜ x 1＜ t 时，y 1 < 0．∴ y 1 y 2 < 0．∴不符合题意．(iii)当 t ＞时，12∵ 0 < x 1 < 1，∴ y 1 < 0．要使 y 1 y 2 > 0，只需 y 2 < 0．∵（0，0）关于 x = t 的对称点为（2t ，0），∴ x 2 < 2t ．∴ 2t ≥ 2．∴ t ≥ 1．综上所述，t 的取值范围是 t ≤0 或 t ≥ 1．.................................................6分27．（1）依题意补全图形，如图所示：.................................................................................（2）证明：连接 BD ，与 AC 相交于点 O ．∵线段 AE 绕点 A 逆时针旋转 60° 得到线段 AF ，∴∠EAF = 60°，AE =AF ．∵在菱形 ABCD 中，∠BAD = 120°，AD = CD ，∴∠CAD =∠BAD = 60°．12∴△ACD 是等边三角形．∴ AC = AD ．∴∠CAE = ∠DAF ． ......................................................................................2分∴△ACE ≌△ADF ．........................................................................................3分∴∠ADF =∠ACD = 60°．∴∠ADF = ∠CAD ．∴ DF //AC ．.......................................................................................................5分∴BG BO GFOD∵ BO = OD ，∴ GB = GF ．.....................................................................................................6 分（3）3BC 2 + CE 2 = 4BG 2．....................................................................................................7 分28. 解：（1） A 1 B 1；.....................................................................................................................1 分（2） 设点 C ，D 关于直线 y = kx （k ≠ 0）的对称点为 C'，D' ，∴直线 y = kx （k ≠ 0）垂直平分 CC'，DD'．∵ CD 是⊙O 关于直线 y = kx （k ≠ 0）的“对称弦”，∴ C'，D' 在⊙O 上．∵直线 y = kx （k ≠ 0）经过圆心 O ，∴点 D 在⊙O 上．................................................................................................3 分∵ CD = 1，∴△ OCD 是等边三角形．可求点 D 的坐标为 或 ．..............................................5 分1(2-，1(2-（3 ....................................................................................................7 分。
2023年北京朝阳区高三一模数学试卷(解析版)
2023年北京朝阳区高三一模数学试卷(详解)一、单选题2.A.B.C.D.【答案】【解析】若，则（ ）A 【分析】根据不等式的性质判断A ，取特殊值判断BCD.【详解】，，即，故A 正确；取，则不成立，故B 错误；取，则不成立，故C 错误；取，则，故D 错误.故选：A1.A.B.C.D.【答案】【解析】已知集合，集合，则（ ）C 【分析】化简，再由集合并集的运算即可得解.【详解】由题意，，所以.故选：C.3.A.5B.6C.7D.8【答案】【解析】设，若，则（ ）A 【分析】先求出展开式第项，再由列出方程，即可求出的值.【详解】展开式第项，∵，∴，∴.故选：A.4.A. B.C.D.【答案】【解析】已知点，．若直线上存在点P ，使得，则实数k 的取值范围是（ ）D 【分析】将问题化为直线与圆有交点，注意直线所过定点与圆的位置关系，再应用点线距离公式列不等式求k 的范围.【详解】由题设，问题等价于过定点的直线与圆有交点，又在圆外，所以只需，可得.故选：D5.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】【解析】已知函数，则“”是“”的（ ）C 【分析】由的奇偶性、单调性结合充分条件、必要条件的概念即可得解.【详解】因为定义域为，，所以为奇函数，且为上的增函数.当时，，所以，即“”是“”的充分条件，当时，，由的单调性知，，即，所以“”是“”成立的必要条件.综上，“”是“”的充要条件.故选：C6.A.B.C.2D.或2过双曲线的右焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为A ．若（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）【答案】【解析】B 【分析】由题意易得所以，从而，再由求解.【详解】解：在中，因为，所以，则，所以，故选：B7.A.B.C.D.【答案】【解析】在长方体中，与平面相交于点M ，则下列结论一定成立的是（ ）C 【分析】根据平面交线的性质可知，又平行线分线段成比例即可得出正确答案，对于ABD 可根据长方体说明不一定成立.【详解】如图，连接，交于，连接，，在长方体中，平面与平面的交线为,而平面，且平面，所以，又，，所以，故C 正确.对于A ，因为长方体中与不一定垂直，故推不出，故A 错误；对于B ，因为长方体中与不一定相等，故推不出，故B 错误；对于D ，由B 知，不能推出与垂直，而是中线，所以推不出，故D 错误.故选：C8.A.的一个周期为B.的最大值为C.的图象关于直线对称D.在区间上有3个零点【答案】【解析】声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ）D 【分析】A.代入周期的定义，即可判断；B.分别比较两个函数分别取得最大值的值，即可判断；C.代入对称性的公式，即可求解；D.根据零点的定义，解方程，即可判断.【详解】A.，故A 错误；B.，当，时，取得最大值1，，当，时，即，时，取得最大值，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以的最大值不是，故B 错误；C.，所以函数的图象不关于直线对称，故C 错误；D.，即，，即或，解得：，所以函数在区间上有3个零点，故D 正确.故选：D9.A.5B.10C.13D.26【答案】【解析】如图，圆M 为的外接圆，，，N 为边BC 的中点，则（ ）C 【分析】由三角形中线性质可知，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知，同理可得，再由数量积运算即可得解.【详解】 是BC 中点，，M 为的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，，同理可得，.故选：C10.A.14B.15C.16D.17【答案】【解析】已知项数为的等差数列满足，．若，则k 的最大值是（ ）B 【分析】通过条件，，得到，再利用条件得到，进而得到不等关系：，从而得到的最大值.【详解】由，，得到，即，当时，恒有，即，所以，由，得到，所以，，整理得到：，所以.故选：B二、填空题11.【答案】【解析】【踩分点】若复数，则 .根据以及复数商的模等于复数的模的商，计算可得答案.【详解】因为，所以.故答案为：【点睛】本题考查了复数模的性质，考查了复数的模长公式，属于基础题.12.【答案】函数的值域为 ．【解析】【踩分点】【分析】利用对数函数和指数函数的图象和性质分别求和的值域，再取并集即可.【详解】因为当时，，当时，，所以函数的值域为，故答案为：13.【答案】【解析】【踩分点】经过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若，则（O 为坐标原点）的面积为 ．【分析】求出焦点坐标，设直线方程，联立抛物线方程，韦达定理，利用弦长求出直线方程，可求得O 点到直线距离，进一步求出三角形面积.【详解】由题意知，抛物线的焦点，设，，直线AB ：，联立方程，消去x 可得，，韦达定理得，因为，所以，即，所以直线AB ：，所以点O 到直线AB 的距离为，所以.故答案为：14.【答案】【解析】某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：，其中正实数，分别为红、蓝两方初始兵力，t 为战斗时间；，分别为红、蓝两方t 时刻的兵力;正实数a ，b 分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T ．给出下列四个结论：①若且，则；②若且，则；③若，则红方获得战斗演习胜利；④若，则红方获得战斗演习胜利．其中所有正确结论的序号是 ．①②④【分析】对于①根据已知条件利用作差法比较大小即可得出，所以①正确；对于②，利用①中结论可得蓝方兵力先为0，即解得，②正确；对于③和④，若要红方获得战斗演习胜利，分别解出红、蓝两方兵力为0时所用时间、，比较大小即可知③错误，④正确.【详解】对于①，若且，则，即，所以，由可得，即①正确；对于②，当时根据①中的结论可知，所以蓝方兵力先为0，即，化简可得，即，两边同时取对数可得，【踩分点】即，所以战斗持续时长为，所以②正确；对于③，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可，设红方兵力为0时所用时间为，蓝方兵力为0时所用时间为，即，可得同理可得即，解得又因为都为正实数，所以可得，红方获得战斗演习胜利；所以可得③错误，④正确.故答案为：①②④.三、解答题15.【答案】【解析】在中，，，．（1）若，则；（2）当（写出一个可能的值）时，满足条件的有两个．（答案不唯一）【分析】（1）求出，再由余弦定理求解即可；（2）根据已知两边及一边的对角求三角形解得情况，建立不等式求出的范围即可得解.【详解】（1），，，，由余弦定理，，即，解得.【踩分点】（2）因为,,所以当时，方程有两解，即，取即可满足条件（答案不唯一）16.【答案】【解析】如图，在三棱柱中，平面ABC ，D ，E 分别为AC ，的中点，，．(1)求证：平面BDE ；(2)求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；(3)求点D 到平面ABE 的距离．(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）根据线面垂直的性质得到，根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）利用空间向量的方法求线面角即可；（3）利用空间向量的方法求点到面的距离即可.【详解】（1）在三棱柱中，，为，的中点，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴，在三角形中，，为中点，∴，∵，平面，∴平面.（2）如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，在直角三角形中，，，∴，，，，，，，，设平面的法向量为，，令，则，，所以，设直线与平面所成角为，所以.（3）设点到平面的距离为，所以.【踩分点】17.设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在．(1)求函数的解析式；(2)求在区间上的最大值和最小值．条件①：；条件②：的最大值为；条件③：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．【答案】【解析】【踩分点】(1)选择条件②③，(2)最大值为，最小值为.【分析】（1）由正弦函数和余弦函数的奇偶性可排除条件①，先利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的图象和性质即可求解；（2）利用整体代入法，结合正弦函数的图象和性质即可求解.【详解】（1）若选择条件①，因为，所以，由可得对恒成立，与矛盾，所以选择条件②③，由题意可得，设，由题意可得，其中，，因为的最大值为，所以，解得，所以，，由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得，所以解得，所以.（2）由正弦函数的图象可得当时，，，所以在区间上的最大值为，最小值为.18.【答案】【解析】某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：性别人数获奖人数一等奖二等奖三等奖男生200101515女生300252540假设所有学生的获奖情况相互独立．(1)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；(2)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X 表示这2名学生中获奖的人数，求X 的分布列和数学期望；(3)用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为，试比较与的大小．（结论不要求证明）(1)(2)分布列见解析，期望(3)【分析】（1）直接计算概率；（2）的所有可能取值为0,1,2，求出高一男生获奖概率和高一女生获奖概率，再计算概率得到分布列，最后计算期望即可；（3）计算出，，比较大小即可.【详解】（1）设事件为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名,抽到的2名学生都获一等奖”，则，【踩分点】（2）随机变量的所有可能取值为0,1,2.记事件为“从该地区高一男生中随机抽取1名,该学生获奖”,事件为“从该地区高一女生中随机抽取1名,该学生获奖”.由题设知,事件,相互独立,且估计为估计为.所以,,.所以的分布列为12故的数学期望（3），理由：根据频率估计概率得，由（2）知，，故，则.19.【答案】已知函数．(1)求的单调区间；(2)若对恒成立，求a 的取值范围；(3)证明：若在区间上存在唯一零点，则．(1)答案见解析(2)(3)证明见解析【解析】【分析】（1）讨论、，结合导数的符号确定单调区间；（2）由，讨论、研究导数符号判断单调性，进而判断题设不等式是否恒成立，即可得参数范围；（3）根据（2）结论及零点存在性确定时在上存在唯一零点，由零点性质及区间单调性，应用分析法将问题转化为证在上恒成立，即可证结论.【详解】（1）由题设，当时，，则在R上递增；当时，令，则，若，则，在上递减；若，则，在上递增；综上，时的递增区间为R，无递减区间；时的递减区间为，递增区间为.（2）由，当时，在上恒成立，故在上递增，则，满足要求；当时，由（1）知：在上递减，在上递增，而，所以在上递减，在上递增，要使对恒成立，所以，只需，令且，则，即递减，所以，故在上不存在；综上，（3）由（2）知：时，在恒有，故不可能有零点；【踩分点】时，在上递减，在上递增，且，所以上，无零点，即，且趋向于正无穷时趋向正无穷，所以，在上存在唯一，使，要证，只需在上恒成立即可，令，若，则，令，则，即在上递增，故，所以，即在上递增，故，所以在上恒成立，得证；故，得证.【点睛】关键点点睛：第三问，通过讨论确定在某一单调区间上存在唯一零点的a 的范围后，应用分析法证恒成立即可.20.【答案】【解析】已知椭圆经过点．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)设椭圆E 的左顶点为A ，直线与E 相交于M ，N 两点，直线AM 与直线相交于点Q ．问：直线NQ 是否经过x 轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由．(1)椭圆E 的方程为，离心率为.(2)直线过定点.【分析】(1)根据椭圆经过点即可求得椭圆方程，利用离心率公式即可求离心率；(2)表示出直线的方程为，即可求得点，再利用点斜式表示得直线的方程为，即可求出与轴的交点，利用韦达定理等量替换即可求出直线NQ 恒过的定点.【详解】（1）因为椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆E的方程为，因为所以，所以离心率为.（2）直线过定点，理由如下：由可得，显然，设则有直线的方程为令，解得，则，所以直线的斜率为且，所以直线的方程为令，则所以直线过定点.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于利用直线的点斜式方程求的点点的坐标，再利用点斜式方程表示出直线与轴的交点横坐标，利用韦达定理等量代换求恒过定点.【踩分点】21.【答案】【解析】已知有穷数列满足．给定正整数m ，若存在正整数s ，，使得对任意的，都有，则称数列A 是连续等项数列．(1)判断数列是否为连续等项数列？是否为连续等项数列？说明理由；(2)若项数为N 的任意数列A 都是连续等项数列，求N 的最小值；(3)若数列不是连续等项数列，而数列，数列与数列都是连续等项数列，且，求的值．(1)数列是连续等项数列，不是连续等项数列，理由见解析；(2)11(3)0【分析】（1）根据新定义直接验证数列，1，0，1，0，1，，可得结论；（2）先根据新定义证明时，数列一定是连续等项数列，再验证时，不是连续等项数列即可；（3）由都是连续等项数列可得，，再由反证法证得，即可得出的值.【详解】（1）数列是连续等项数列，不是连续等项数列，理由如下:因为，所以是连续等项数列.因为为；为；为;为，所以不存在正整数，使得.所以A 不是连续等项数列.（2）设集合，则中的元素个数为.因为在数列中，所以.若，则.所以在这个有序数对中，至少有两个有序数对相同，即存在正整数，使得.所以当项数时，数列一定是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若,数列不是连续等项数列.所以的最小值为11.（3）因为与都是连续等项数列，所以存在两两不等的正整数,使得，下面用反证法证明.假设，因为，所以中至少有两个数相等.不妨设，则所以是连续等项数列，与题设矛盾.所以.所以.【点睛】方法点睛：对于新定义问题，一般先要读懂定义内容，第一问一般是给具体的函数或数列验证是否满足所给定义，只需要结合新定义，验证即可，在验证过程中进一步加强对新定义的理解，第二步一般在第一步强化理解的基础上，所给函数或数列更加一般或复杂，进一步利用新定义处理，本题第三问根据与都是连续等项数列得出，，利用反证法求是关键点.【踩分点】。
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北京市朝阳区2016年初中数学一模试卷1．在下列各数中，绝对值最大的数是A ．1B ．－2C ．21D ．13-2．2015年10月16日，新一期全球超级计算机500强榜单在美国公布，中国“天河二号”超级计算机以每秒338600000亿次浮点运算速度连续第六度称雄．将338600000用科学记数法表示为A ．3．386×107B ．0.3386×109C ．3．386×108D ．0.3386×1083. 右图是某个几何体的三视图，则这个几何体是A ．圆柱B ．圆锥C ．三棱柱D ．三棱锥4．阿仁是一名非常爱读书的学生．他制作了五张材质和外观完全一样的书签，每张书签上写有一本书的名称和作者，分别是：《海底两万里》（作者：凡尔纳，法国）、《三国演义》（作者：罗贯中）、《西游记》（作者：吴承恩）、《骆驼祥子》（作者：老舍）、《钢铁是怎样炼成的》（作者：尼·奥斯特洛夫斯基，前苏联），从这五张书签中随机抽取一张，则抽到的书签上的作者是中国人的概率是A ．15B ．25C ．35D ．455. 下列运算正确的是A ．236x x x =B ．632x x x ÷=C ．32422x x x -= D ．()236xx =6．一次函数y kx b =+的图象如右图所示， 则k,b 应满足的条件是A ．0,0k b >>B ．0,0k b ><C OABC ．0,0k b <>D ．0,0k b <<7．如图，将一块含有45°的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1=20°，则∠2的度数是A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°8．如图，⊙O 的半径为10，AB 是弦，OC ⊥AB 于点C ，若AB =12，则OC 的长为A ．2B ．22C ．6D ．89．某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例， 右图表示的是该电路中电流I 与电阻R 之间函数关系的图象，则 电流I 关于电阻R 的函数关系式为A ．6I R =B ．6I R =-C ．3I R =D ．2I R=10．如图，把正方形ABCD 绕它的中心O 顺时针旋转，得到正方形A ’B ’C ’D ’，旋转角大于0°小于90°.△A ’EF 的面积为S ，线段AE 的长度为x ，那么S 关于x 的函数的图象可能是S xO SnO FED'A'B'ODACBS x O xO第13题图第14题图第Ⅱ卷 （共70分）二、填空题 （共6道小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：22ax ay -=___________．12．某校在进行“阳光体育活动”中，统计了7位原来偏胖的学生的情况，他们的体重分别降低了5，9，3，10，6，8，5（单位：kg ），则这组数据的中位数是__________．13. 如图，若在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帥”位于点（-3，-2），“炮”位于点（-2.0），则“兵”位于的点的坐标为 ．14．如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形，开口∠1=60°，半径为，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为 ．15．若关于x 的一元二次方程2420kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_________________．16. 阅读下面材料: 在数学课上，老师提出如下问题:小义同学作法如下： 尺规作图：作一个角等于已知角. 已知：∠AOB ．①作射线O′A′；②以点O 为圆心，以任意长为半径作弧，交OA 于C ，交OB 于D ； ③以点O′为圆心，以OC 长为半径作弧，交O′A′于C′； ABC DAOB老师说:“小义的作法正确.”请回答:小义的作图依据是______________________________________________________．三、解答题17．（本小题5分） 计算：()1201611-2-2sin453-⎛⎫-++︒ ⎪⎝⎭． 18．（本小题5分）解不等式2113x x --≤，并写出不等式的正整数解． 19．（本小题5分）如图，△AFD 和△BEC 中，点A 、E 、F 、C 在同一条直线上.有下面四个关系式： （1）AD ＝CB ，（2）AD ∥BC ，（3）∠B ＝∠D ，（4）AE ＝CF .请用其中三个作为已知条件，余下一个作为求证的结论，写出你的已知和求证，并证明.20．（本小题5分）先化简，再求值：2212 2x xy y x y x y-+--，其中3x y =．21．（本小题5分）ABCDEFD'C'CDBO'B'某城市2015年约有初中生10万人， 2016年初中生人数还会略有增长.该市青少年活动中心对初中生阅读情况进行了统计，绘制的统计图表如下：根据以上信息解答下列问题： （1）扇形统计图中m 的值为 ；（2）2015年，在该市喜爱阅读的初中生中，首选阅读科普读物的人数为 万； （3）请你结合对数据的分析，预估2016年该市喜爱阅读的初中生人数，并简单说明理由.22．（本小题5分）在“校园文化”建设中，某校用8 000元购进一批绿植，种植在礼堂前的空地处. 根据建设方案的要求，该校又用7500元购进第二批绿植.两次所买绿植盆数相同，且第二批每盆的价格比第一批的少10元. 请问第二批绿植每盆多少元？ 23．（本小题5分）如图，△ABC 和△CDE 都是直角三角形，点B 、C 、D 在同一条直线上，∠B =∠D =∠ACE =90°，112BC AB == ，4CD = ．（1）求DE 的长；（2）连接AE ．求证：四边形ABDE 是矩形．年份 喜爱阅读的初中生人数（万人） 2012 1.0 2013 2.2 2014 3.5 20155.0EB DA 2015年某市喜爱阅读的初中生的阅读首选类别2012-2015年某市 喜爱阅读的初中生人数1ODCA24．（本小题5分）如图，以△ABC 的一边BC 为直径的⊙O ，交AB 于点D ，连接CD ，OD ，已知∠A +12∠1=90°．（1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若∠B =30°，AD =2，求⊙O 的半径．25．在平面直角坐标系中，已知抛物线22y x mx =-与x 轴的一个交点为A （4，0）． （1）求抛物线的表达式及顶点B 的坐标；（2）将05x ≤≤时函数的图象记为G ，点P 为G 上一动点，求P 点纵坐标n 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若经过点C （4，-4）的直线()0y kx b k =+≠与图象G 有两个公共点，结合图象直接写出b 的取值范围．26．（本小题6分）在一节数学活动课上，老师和同学们一起研究不同等腰三角形形状差异问题，老师提出我们可以规定一个“正度”，“正度”应满足三个条件：①可以用来衡量等腰三角形与正三角形的接近程度；②相似的等腰三角形的“正度”相等；③“正度”的值是非负数．经过讨论后，有两个组给出了答案：小智组提出：设等腰三角形的底和腰分别为a ，b ，可用式子a b -来表示“正度”，a b -的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；小信组提出：设等腰三角形的底角和顶角分别为α和β，可用式子αβ-来表示“正度”，αβ-的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形． ⑴ 他们的方案哪个较为合理，为什么？ ⑵ 请再写出一种可以衡量“正度”的表达式．北京市朝阳区2016年初中数学一模数学试卷评分标准及参考答案2016.4一、选择题（每小题3分，共30分）1．B 2．C 3．B 4．C 5．D 6．A7．C 8．D 9．A 10．B二、填空题（每小题3分，共18分）11 12．6 131） 14．5π16．三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形对应角相等（写出其中一个即可）．三、解答题（17—24题每小题5分，25—26题每小题6分，共52 分）17………………………………………………4分=4．………………………………………………………………… 5分18………………………………………………………………2分……………………………………………………3分………………………………………………………………4分∴原不等式的所有正整数解为1，2．………………………………………5分19．已知：AD＝CB，AD∥CB，∠D＝∠B．……………………………………1分求证：AE＝CF．证明：∵AD∥CB，∴∠A＝∠C. ……………………………………………………2分∵AD＝CB，∠D＝∠B,∴△ADF ≌△CBE ………………………………………………… 3分∴AF＝CE. …………………………………………………………………4分∴AE＝CF. ………………………………………………………… 5分20…………………………………………………3分…………………………………………………………… 4分…………………………………………………… 5分21. 解：（1）8. ………………………………………………………………1分（2）0.75. ………………………………………………………………3分（3）答案依据数据说明，合理即可．如：6.6万人，因为该市喜爱阅读的初中生人数逐年增长，且增长趋势变快. …………………………5分22. 解：设第二批绿植每盆x元．……………………………………………1分……………………………………… 2分解得………………………………… 3分经检验，x = 150是原方程的解，且符合题意. …………… 4分答：第二批绿植每盆150元．……………………………………………5分23.（1）解：∵∠B=∠ACE=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∠ECD+∠ACB=90°．∴∠A=∠ECD．………………………………………………1分∵∠B=∠D=90°，∴△ABC∽△CDE．…………………………………………2分…………………………………………………3分（2）证明：∵∠B=∠D=90°，∴∠B+∠D=180°．∴AB∥DE．…………………………………………………4分∵AB=DE=2，∴四边形ABDE是平行四边形．∵∠B=90°，∴平行四边形ABDE是矩形．………………………………5分24.（1）证明：依题意，得∠B1．…………………………………1分∵∠A∴∠A+∠B=90°.∴∠ACB=90°.∴AC⊥BC.∵BC是⊙O的直径，∴AC是⊙O的切线．………………………………………2分（2）解：∵BC是⊙O的直径，∴∠CDB=∠ADC=90°．……………………………………3分∵∠B=30°，∴∠A=60°，∠ACD=30°．∴AC=2AD=4．………………………………………………4分∴⊙O……………………………………5分25.解：（1）∵A（4，0解得…………………………………………………1分即……………………………………………2分（2y有最小值–4y有最大值5.∴点P纵坐标的n……………………………4分（3…………………………………………………………………6分26.解：（1）小信组的方案合理. …………………………………………………………1分60°，等腰三角形就越接近正三角形，且保证相似三角形的正度相等. ………………………………………………2分小智组的方案不合理. ……………………………………………………………3分因为不能保证相似的等腰三角形的正度相等，如三边分别为4、4、2和8、8、4…………………………4分（2…………………………6分友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。