第22讲：线性规划
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线性规划的基本定理
线性规划的解存在性
对于任何线性规划问题，都存在至少一个最优解。
最优解的唯一性
在某些情况下，线性规划问题的最优解是唯一的，这取决于目标函 数和约束条件的形状和位置。
解的稳定性
线性规划问题的最优解是稳定的，即使目标函数或约束条件略有变 化，最优解也不会发生大的变化。
03
线性规划的求解方法
优缺点：内点法具有全局收敛性和对初始点不敏 感的优点，但计算量较大，需要较高的计算资源 。
椭球法
01
总结词：几何方法
02
03
04
详细描述：椭球法是一种基 于几何方法的线性规划算法。 它将可行解的边界表示为椭 球，通过迭代移动椭球中心
来逼近最优解。
算法步骤：椭球法的基本步 骤包括初始化、构建椭球和 迭代更新。在每次迭代中， 根据当前椭球的位置和方向 来更新中心和半径，直到满
运输问题
总结词
运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的重要应用，旨在优化运输成本、 运输时间和运输量等目标。
详细描述
运输问题通常需要考虑多个出发地、目的地、运输方式和运输成本等因素。通 过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低、运输时间 最短，同时满足运输量和运输路线的限制。
投资组合优化问题
03
单纯形法
单纯形法是线性规划的标 准算法，通过迭代和优化， 找到满足约束条件的最大 或最小目标函数值。
初始解
在应用单纯形法之前，需 要先找到一个初始解，这 可以通过手动计算或使用 软件工具来实现。
迭代过程
单纯形法通过不断迭代和 优化，逐步逼近最优解， 每次迭代都需要重新计算 目标函数值和最优解。
线性规划的几何意义
《线性规划》课件
线性规划在计算和科学 中的作用
线性规划与其他数学方 法的关系
线性规划为其他计算学科和科 学领域提供了一种有用的工具， 包括操作研究、管理科学、计 算机科学、离散数学和工程。
线性规划和其他数学方法，如 图论、随机优化和动态编程， 经常在更复杂的问题中一起使 用，以提供最佳解决方案。
线性规划的重要性和应 用前景
线性规划的一般形式
目标函数和约束条件均为 >= 或 <= 形式。
线性规划的图形表示
线性规划可用于在二维或三维空间中绘制函数和约束条件，以帮助我们更好地理解问题。
线性规划求解方法
有多种方法可用于解决线性规划问题，包括单纯形法、双纯形法、人工变量法和网络流模型。
1
单纯形法
该方法是最常用的求解线性规划问题的方法。它通过逐步优化策略，找到目标函数的最 大值或最小值。
线性规划在涉及数学和科学的 许多领域都有着广泛的应用， 未来的不断发展将使其能够应 用于更多领域。
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本课程将教授线性规划的基础知识和应用，以及用于解决各种实际问题的技 能和策略。
介绍线性规划ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
线性规划是一种用于优化线性函数的数学方法，它在现代工程、经济学和科学等许多领域都发挥着重要 作用。
线性规划的应用
线性规划可用于创建计划、预 测趋势、优化资源和改进生产 效率。
线性规划的基本概念和 术语
2
双纯形法
双纯形法是单纯形法的一种改进版本，它避免了人工选择初始基变量的缺点。
3
人工变量法
这种方法基于将所有约束条件都转化为等式的基本原理，并将人工变量引入问题中，使 其满足最佳策略。
线性规划的应用案例
线性规划被广泛用于解决各种实际问题。以下是一些典型案例。
线性规划(上课课件)
基变量的检验数： CB- CB B-1B = 0
C - CB B-1A =（0， CN - CB B-1N ）
定理：若检验数全小于等于零，且某一个非基变量 的检验数为0，则线性规划问题有无穷多最优解。 （无穷多最优解情况）
xmk , mk 0. 证明：某个非基变量 xm k 换入基变量中，得到基可行解 X
•从可行域中某个基可行解（一个顶点） 开始（称为初始基可行解）。
线性规划（2）-单纯形方法
单纯形方法基本思路：
•从可行域中某个基可行解（一个顶点） 开始（称为初始基可行解）。 •如可能，从可行域中求出具有更优目标 函数值的另一个基可行解（另一个顶点）， 以改进初始解。
线性规划（2）-单纯形方法
单纯形方法基本思路：
Z= 9＋2 x1 -（3/4）x5 令新的非基变量（ x1，x5 ）=（0，0）T 得到新的基可行解： x(2)=(0,3,2, 16 , 0) T S2= 9 经济含义：生产乙产品3个，获得利润9 百元。
其中（1）—1/2（3）
这个方案比前方案好，但是否是最优？
这个方案比前方案好，但是否是最优？ 分析： Z= 9＋2 x1 -（3/4）x5 非基变量x1系数仍为正数，确定x1为换 入变量。在保证正消去系统的情况下， 确定x3为换出变量。得到新的消去系统：
•从可行域中某个基可行解（一个顶点） 开始（称为初始基可行解）。 •如可能，从可行域中求出具有更优目标 函数值的另一个基可行解（另一个顶点）， 以改进初始解。
•继续寻找更优的基可行解，进一步改进 目标函数值。当某一个基可行解不能再改 善时，该解就是最优解。
第三节
线性规划-单纯形方法
单纯形方法基本思路：
增加单位产品乙（x2）比甲对目标函数 的贡献大（检验数最大），把非基变量 x2换成基变量，称x2为换入基变量，而 把基变量x5换成非基变量，称x5为换出 基变量。 （在选择出基变量时，一定保证消去系 统为正消去系统）（最小比值原则）
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约束条件为：
8 25 x1 8 15 x2 1800 8 25 x 1800 1 8 15 x2 1800 x1 0, x2 0
6
线性规划模型：
min z 40 x1 36 x2
5 x1 3 x2 45 x 9 1 s.t. x2 15 x1 0, x2 0
2
两个引例 问题一 ： 任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用
于加工三种工件.假定这两台车床的可用台时数分别为800和 900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用二种 不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如 下表.问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要 求，又使加工费用最低？
注：lingo的灵敏度分析需要激活（系统默认是不激活的）为了激活灵敏性分析， 运行LINGO|Options…，选择General Solver Tab， 在Dual Computations列表 框中，选择Prices and Ranges选项。 确认并运行LINGO|Ranges或快捷键 ctrl+R.
在LINGO模型 min 13* x1 9* x 2 10* x3 11* x 4 12* x5 8* x6; 窗口输入： x1 x 4 400;
x 2 x5 600; x3 x6 500; 0.4* x1 1.1* x 2 x3 800; 0.5* x 4 1.2* x5 1.3* x6 900;
Cost
X1 X2 X3 X4 X5 X6 Row Price
影子价格
Slack or Surplus
1 2 3 4 5 6
13800.00 0.000000 0.000000 0.000000 140.0000 50.00000
8 25 x1 8 15 x2 1800 8 25 x 1800 1 8 15 x2 1800 x1 0, x2 0
6
线性规划模型：
min z 40 x1 36 x2
5 x1 3 x2 45 x 9 1 s.t. x2 15 x1 0, x2 0
2
两个引例 问题一 ： 任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用
于加工三种工件.假定这两台车床的可用台时数分别为800和 900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用二种 不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如 下表.问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要 求，又使加工费用最低？
注：lingo的灵敏度分析需要激活（系统默认是不激活的）为了激活灵敏性分析， 运行LINGO|Options…，选择General Solver Tab， 在Dual Computations列表 框中，选择Prices and Ranges选项。 确认并运行LINGO|Ranges或快捷键 ctrl+R.
在LINGO模型 min 13* x1 9* x 2 10* x3 11* x 4 12* x5 8* x6; 窗口输入： x1 x 4 400;
x 2 x5 600; x3 x6 500; 0.4* x1 1.1* x 2 x3 800; 0.5* x 4 1.2* x5 1.3* x6 900;
Cost
X1 X2 X3 X4 X5 X6 Row Price
影子价格
Slack or Surplus
1 2 3 4 5 6
13800.00 0.000000 0.000000 0.000000 140.0000 50.00000
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④根据 max（σj>0）=σk 确定xk为换入变量；根据θ 规则 θ＝min{b'i/a'ik｜1≤i≤m, a'ik>0}＝b'l/a'lk 确定相应的换出变量，并得到中心元素a'lk。转⑤。
⑤以a‘lk为枢轴元素进行转轴运算，得到新的单纯形 表。转②.
用单纯行法求解线性规划问题后，应回答下面几 个问题：
x1, x2, , xn≥0
其中，bi≥0 (i=1,2,,m)
不符合标准型的几个方面：
⑴目令标z=函-z数,变为为minmza=xcz1x=1+-cc12xx12-+c2x2+-cnxn-cnxn ⑵约束条件为 a11x1+a12x2++a1nxn≤b1
加入非a1负1x1变+a量12xx2n++1，+称a为1nx松n+弛xn+变1=量b1，有 ⑶约束条件为 a11x1+a12x2++a1nxn≥b1
am1x1 am2 x2 amnxn (, )bm x1, x2 , xn 0
1.1 线性规划问题及其数学模型
1.1.2 图解法
max z 2x1 3x2 x2
x2
x1 2 x2 8
4 x1 16
4 x2 12
x1 , x2 0
x1
x1
唯一最优解
无穷多最优解
线性规划问题
如果有最优解,则最
Min z=1000x1+800x2
(2-x1)/500 ≤0.002 [0.8(2-x1)+1.4-x2]/700
≤0.002
工厂各应处理多少污水才能使处理 x1≤2, x2≤1.4
⑤以a‘lk为枢轴元素进行转轴运算，得到新的单纯形 表。转②.
用单纯行法求解线性规划问题后，应回答下面几 个问题：
x1, x2, , xn≥0
其中，bi≥0 (i=1,2,,m)
不符合标准型的几个方面：
⑴目令标z=函-z数,变为为minmza=xcz1x=1+-cc12xx12-+c2x2+-cnxn-cnxn ⑵约束条件为 a11x1+a12x2++a1nxn≤b1
加入非a1负1x1变+a量12xx2n++1，+称a为1nx松n+弛xn+变1=量b1，有 ⑶约束条件为 a11x1+a12x2++a1nxn≥b1
am1x1 am2 x2 amnxn (, )bm x1, x2 , xn 0
1.1 线性规划问题及其数学模型
1.1.2 图解法
max z 2x1 3x2 x2
x2
x1 2 x2 8
4 x1 16
4 x2 12
x1 , x2 0
x1
x1
唯一最优解
无穷多最优解
线性规划问题
如果有最优解,则最
Min z=1000x1+800x2
(2-x1)/500 ≤0.002 [0.8(2-x1)+1.4-x2]/700
≤0.002
工厂各应处理多少污水才能使处理 x1≤2, x2≤1.4
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线性规划李建恩在现实生活以及工业生产中，我们会遇到各种各样的优化问题。
其实呢，很多优化问题都可以归类于规划问题，如线性规划、非线性规划、二次规划、整数规划、动态规划、多目标规划等等。
什么是优化问题，如何将问题最优化？今天，我给大家讲解的是线性规划，它属于规划类问题，是运筹学的一个重要分支。
什么是线性规划？1.1 实例与定义例 1 某工厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。
生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。
若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？上述问题的数学模型：设该厂应每天生产1x 台甲机床和2x 乙机床，此时总利润最大，则21,x x 应满足：(1)（目标函数）2134max x x z +=A B C 利润（千元/台）甲 2 1 0 4 乙 1 1 1 31087（2）s.t.（约束条件）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,781022122121x x x x x x x这里变量12,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。
上述即为一规划问题数学模型的三个要素。
由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。
总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。
线性规划问题简称LP （linear programming ）问题。
在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解效果。
而选取适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。
线性规划的图解法2134maxx x z += ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,781022122121x x x x x x x246810012345678910x2=72x1+x2=10x1+x2=8z=12(2,6)图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。
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基解：令所为 有 0， 非求 基出 变的 (1量 .2)的 满解 足 称为基解。
基可行解与可行 足基 (1.3)： 的满 基解称为基可 对应基可行解的 为基 可， 行称 基。基 显可 然 解的数目 基解的数 C目 nm
基本最优解与最优基 满： 足(1.1) 的基可行解称为基本 优最 解，
对应m,如果 B是矩A中 阵的一 mm个 阶非奇异 (|B子 |0)矩 ,则阵 称 B是线性规 题的一个基。
基向量与非基向B量 中： 的基 列向量称为，基向 矩阵A中除B之外各列即为非，基 A中 向共 量 有nm个非基向量。
基变量与非基 基变 向P量 j量 对： 应与 的xj变 称量 为基变量；否 基则 变称 量为 。非
将文件存储并命名后，选择菜单 “Solve” 并对提示 “ DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS? ”回答“是”，即 可得到如下输出：
“资源” 剩余 为零的约束为 紧约束（有效 约束）
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
3360.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
可行解 基 解
基可行解
1.4 线性规划问题的图解法
下面结合例1的求解来说明图解法步骤。
例1
max Z 4 x1 3 x2
2 x1 3 x2 24
s. t 3 x1 2 x2 26
x2
x1, x2 0
Q3(6,4)
第一步：在直角坐标系中分
别作出各种约束条件，求出
3x1+2x2=26
Q2(6,4)
B
条 件
3x1 100
x1,x2 0
l3:3x1 100 l4
l4:x10,l5:x200
[模板]线性规划PPT课件
顶点可达到。 4.解题思路是：先找出凸集的任一顶点，计算Z值，比较
Z值最大的顶点为止。
4.无可行解(例1.15):原因是模型本身错误，约束条件之间互相
矛盾，应检查修正。
1、2情形为有最优解 3、4情形为无最优解
-
36
图解法得到的启示
1.求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解、无 穷多最优解、无界解和无可行解。
2.若线性规划问题的可行域存在，则可行域是一凸集。 3.若线性规划问题的最优解存在，则最优解一定在某个
一般情况，决策变量只取正值（非负值）
x1 0, x2 0
-
6
数学模型
max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2 120
2x1+ x2 50 x1,x2 0
线性规划数学模型三要素：
决策变量、约束条件、目标函数
-
7
1-2 线性规划问题的数学模型
例1 .2 营养配餐问题
假定一个成年人每天需要从食物中
第一章 线性规划与单纯形方法
-
1
内容：
线性规划的数学模型，标准形式，基本概念及基本原理；线性规划 的图解法，单纯形法，大M法，两阶段法。
• 重点： • （1）线性规划的基本概念 • （2）单纯形法的基本原理与计算步骤 • 难点： • （1）单纯形法的基本原理与计算步骤
• 基本要求： • （1）理解线性规划的基本概念：目标函数、约束条件、可行解与可行域、基可
和约束方程的影响是独立于其他变量的，
目标函数值是每个决策变量对目标函数
贡献的总和。
-
16
•连续性假定：线性规划问题中的 决策变量应取连续值。
•确定性假定：线性规划问题中的 所有参数都是确定的参数。线性 规划问题不包含随机因素。
Z值最大的顶点为止。
4.无可行解(例1.15):原因是模型本身错误，约束条件之间互相
矛盾，应检查修正。
1、2情形为有最优解 3、4情形为无最优解
-
36
图解法得到的启示
1.求解线性规划问题时，解的情况有：唯一最优解、无 穷多最优解、无界解和无可行解。
2.若线性规划问题的可行域存在，则可行域是一凸集。 3.若线性规划问题的最优解存在，则最优解一定在某个
一般情况，决策变量只取正值（非负值）
x1 0, x2 0
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6
数学模型
max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2 120
2x1+ x2 50 x1,x2 0
线性规划数学模型三要素：
决策变量、约束条件、目标函数
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1-2 线性规划问题的数学模型
例1 .2 营养配餐问题
假定一个成年人每天需要从食物中
第一章 线性规划与单纯形方法
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1
内容：
线性规划的数学模型，标准形式，基本概念及基本原理；线性规划 的图解法，单纯形法，大M法，两阶段法。
• 重点： • （1）线性规划的基本概念 • （2）单纯形法的基本原理与计算步骤 • 难点： • （1）单纯形法的基本原理与计算步骤
• 基本要求： • （1）理解线性规划的基本概念：目标函数、约束条件、可行解与可行域、基可
和约束方程的影响是独立于其他变量的，
目标函数值是每个决策变量对目标函数
贡献的总和。
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16
•连续性假定：线性规划问题中的 决策变量应取连续值。
•确定性假定：线性规划问题中的 所有参数都是确定的参数。线性 规划问题不包含随机因素。
线性规划的方法
线性规划可以帮助 企业优化生产计划， 提高生产效率
线性规划可以解决 生产过程中的资源 分配问题，如原材 料、设备、人力等
线性规划可以帮助企 业实现生产计划的最 优化，降低生产成本 ，提高产品质量和生 产效率
生产计划：确定生产计划，以最大化利润或最小化成本 投资决策：确定投资方案，以最大化收益或最小化风险 库存管理：确定库存水平，以最小化库存成本或最大化服务水平 运输问题：确定运输方案，以最小化运输成本或最大化运输效率
图解法：通过画图求解线性规划问题 单纯形法：通过迭代求解线性规划问题 对偶理论：通过求解对偶问题求解线性规划问题 灵敏度分析：分析线性规划问题解的稳定性和灵敏度
线性规划的求解算 法
基本思想：通过迭代求解线性规划问题 步骤：确定初始单纯形，计算单纯形表，判断是否达到最优解，否则更新单纯形 优点：简单易行，适用于大多数线性规划问题 缺点：对于某些问题，如退化问题，可能无法找到最优解
线性规划的方法
汇报人：XXX
目录ห้องสมุดไป่ตู้
线性规划的基本 概念
线性规划的求解 算法
线性规划的应用 场景
线性规划的软件 工具
线性规划的注意 事项
线性规划的基本概 念
线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性目标函数在满足一组线性约束条件下的最 优解。
线性规划的目标函数和约束条件都是线性的，即目标函数和约束条件中的变量和常数都 是线性的。
初始解的选择：初始解的选择 对线性规划算法的收敛性和稳
定性有重要影响
算法参数的设置：线性规划算 法的参数设置对算法的收敛性
和稳定性有重要影响
感谢您的观看
汇报人：XXX
CPLEX：IBM开发的线性规划软件， 支持大规模线性规划问题，广泛应 用于企业、政府等机构。
22线性规划解的概念、性质及图解法
O
A(1,0)
x1
上页 下页 返回
习题3 max z = 2x1 + 2x2 s.t. x1 + x2 ≥ 1 x1 – 3x2 ≥ – 3 x1 ≤3 x1，x2 ≥ 0
(30,10)
x2
若min Z 换 为max Z 则最优解为 x1 3 ?点
x1 3x2 3
D(0,1)
C(3,2)
的唯一可
行点
最优解：
x1=30 x2 =10
B (30,10)
x1 3x2 60
最优值：zmax=700
x1
上页 下页 返回
0
L1
Z=250
C（40, 0）
习题：用图解法求下列线性规划: 习题2 max z = 2x1 + 2x2 s.t. 2x1 – x2 ≥ 2 -x1 + 4x2≤ 4 x1，x2 ≥ 0 习题4 max z = 5x1 + 3x2 s.t. x1 + x2 ≤ 1 x1 + 2x2 ≥ 4 x1，x2 ≥ 0 习题3 max z = 2x1 + 2x2 s.t. x1 + x2 ≥ 1 x1 – 3x2 ≥ – 3 x1 ≤3 x1，x2 ≥ 0
上页 下页 返回
二、线性规划解的有关概念
可行解、最优解 基、基变量、非基变量 基本解、基本可行解 可行基、最优基
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（1）线性规划的基
定义 线性规划的标准型： 行满秩 的矩阵
max Z CX (1) AX b (2) s.t X 0 (3)
约束条件
x2
A(1,0)
x1
上页 下页 返回
习题3 max z = 2x1 + 2x2 s.t. x1 + x2 ≥ 1 x1 – 3x2 ≥ – 3 x1 ≤3 x1，x2 ≥ 0
(30,10)
x2
若min Z 换 为max Z 则最优解为 x1 3 ?点
x1 3x2 3
D(0,1)
C(3,2)
的唯一可
行点
最优解：
x1=30 x2 =10
B (30,10)
x1 3x2 60
最优值：zmax=700
x1
上页 下页 返回
0
L1
Z=250
C（40, 0）
习题：用图解法求下列线性规划: 习题2 max z = 2x1 + 2x2 s.t. 2x1 – x2 ≥ 2 -x1 + 4x2≤ 4 x1，x2 ≥ 0 习题4 max z = 5x1 + 3x2 s.t. x1 + x2 ≤ 1 x1 + 2x2 ≥ 4 x1，x2 ≥ 0 习题3 max z = 2x1 + 2x2 s.t. x1 + x2 ≥ 1 x1 – 3x2 ≥ – 3 x1 ≤3 x1，x2 ≥ 0
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二、线性规划解的有关概念
可行解、最优解 基、基变量、非基变量 基本解、基本可行解 可行基、最优基
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（1）线性规划的基
定义 线性规划的标准型： 行满秩 的矩阵
max Z CX (1) AX b (2) s.t X 0 (3)
约束条件
x2
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所 开 两 分 域 分 的 部 区 （） 若 个 等 组 3 将 干 不 式 成 所 示 域 公 区 表 区 的 共 域
不 式 等
不 式 不 式 所 等 或 等 组 确 定 区 称 可 域 的 域 为 行 。 例2： 出 列 行 作 下 可 域 1 （)y x 2 1 2 (2) x y 1 x 1 y 1 1 (3) y 2 x 4
，则
2x2+y2的最小值为_______
已知O为坐标原点，点A（1,0），若点M
x y 2 （x,y)为平面区域 x 1 y 2
上的一个动
点，则 | OA OM |
的最小值
，
作 集 A中 点 表 的 域 出 合 的 所 示 区
例4：A x, y x 0, y 0, x y 1 B x y, x y x, y A 分 作 别 出 A，B两 集 所 示 区 个 合 表 的 域
线 规 的 心 题 性 划 核 问 是 函 的 值 数 最 三 基 的 标 数 种 本 目 函
例： 出 列 等 所 1 作 下 不 式 表 示 区 的 域 （）y x 1 0 1 (2)kx 2 y 2k 0 2、 1） 二 曲 方 该 （ 将 次 线 程 成 不 式 依 表 二 等 ， 然 示 次 曲 图 所 开 两 线 像 分 的 部 分 域 取 点 区 （ 特 ） （2） 含 对 的 数 将 绝 值 函 改 成 等 ， 表 对 不 式 也 示 应 图 像 不 式 ， 表 各 等 组 则 示 个
： 可 域 求 标 在 行 里 目
（） 性 标 数 1 线 目 函 ：
z ax by y b u xa d
（） 率 目 函 ： 2 斜 性 标 数 (3)距 型 标 数 离 目 函 ：
x a y b
2
பைடு நூலகம்
2
x y 2 已知x,y满足不等式组 x 1 y 2
线 规 性 划
1、 元 次 程 Ax By C 0表 直 l， 二 一 方 示 线 则 应 两 不 式 对 的 个 等 Ax By C 0, Ax By C 0分 表 l的 侧 域 别 示 两 区
2、 应 域 判 ： 对 区 的 定 （） 特 1 取 点 （ ） 定 A 0, Ax By C 0表 l的 侧 2 固 示 右 ， Ax By C 0表 l的 侧 示 左 （ ） 定 B 0，Ax By C 0表 l的 侧 3 固 示 上 ， Ax By C 0表 l的 侧 示 下
2
f x f ( y ) 0 (4) f ( x) x 2 x, 不 式 等 组 f ( x) f ( y ) 0
2
例3： 出 列 行 作 下 可 域 x y 1 0 （）x y 1 0 1 y 1 0
(2) A x, y x, y,1 x y可 成 的 边 组 △ 三