第六讲 线性规划与非线性规划
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精心整理的运筹学重点6.非线性规划N L P
∂f 2 ( x) ∂f ( x ) ∂x 2 ∂x x 2,0 1 / 2 , 0 0 1 1 2 0 −1 H (X ) = = ,[ H ( X )] = 0,1/50 ∂f ( x) ∂f 2 (x ) 0,50 2 ∂ x x ∂ x 2 1 2
2 r1* (5 − x12 − x2 )=0
r2* (6 − 3 x1 − x2 ) = 0 r1* ≥ 0 r2* ≥ 0
情况 １：假设两约束完全不起作用，此时 r1* = r2* = 0 情况 ２：第一个约束起作用，第二个不起作用， r2* = 0 ，检验知是一个 Ｋ－Ｔ 点。 情况 ３：第二个约束起作用，第一个不起作用， r1* = 0 情况 ４：两个约束完全起作用， r1* > 0, r2* > 0 ２）带约束问题最优化方法－－－－－制约函数法（外点法、内点法） 外点法：将有约束问题转成无约束极值问题，分两种情况 １． 等式约束
∂f ( x) ∂x 2 x 4 ∇f ( x ) = 1 = 1 , ∇ f ( x0 ) = ∂f ( x) 50 x2 100 ∂x 2
0 0 0 0
则 X + λ d = X − λ∇f ( X ) = [ 2 − 4 λ , 2 − 100λ ]
４．带约束问题的最优化方法
min f ( x) s.t g i ( x) ≥ 0
１）最优性条件 Ｋ－Ｔ 条件（判断最优的条件）
∇f ( x* ) − ∑ rj*∇g j ( x * ) = 0
* r* j g j(x ) = 0
r* j ≥0
2 2 min f ( x) = 2 x1 + 2 x1x2 + x2 −10x1 − 10x 2 2 例求 5 − x12 − x2 ≥0
非线性规划
非线性规划非线性规划是一种涉及非线性目标函数和/或非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同，非线性规划可能存在多个局部最优解，而不是全局最优解。
非线性规划在许多领域都有广泛的应用，如经济学、工程学和管理学等。
非线性规划的一般形式可以表示为：最小化或最大化 f(x)，其中 f(x) 是一个非线性函数，x 是决策变量向量。
满足一组约束条件g(x) ≤ 0 和 h(x) = 0，其中 g(x) 和 h(x) 是非线性函数。
为了求解非线性规划问题，可以使用不同的优化算法，如梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
这些算法的目标是找到目标函数的最小值或最大值，并满足约束条件。
非线性规划的难点在于寻找全局最优解。
由于非线性函数的复杂性，这些问题通常很难解析地求解。
因此，常常使用迭代算法来逼近最优解。
非线性规划的一个重要应用是在经济学中的生产计划问题。
生产活动通常受到多个因素的限制，如生产能力、原材料和劳动力等。
非线性规划可以帮助确定最佳的生产数量，以最大化利润或最小化成本。
另一个应用是在工程学中的优化设计问题。
例如，优化某个结构的形状、尺寸和材料以满足一组要求。
非线性规划可以帮助找到最佳设计方案，以最大程度地提高性能。
在管理学中，非线性规划可以用于资源分配和风险管理问题。
例如，优化一个公司的广告预算，以最大程度地提高销售额。
非线性规划可以考虑多种因素，如广告投入和市场需求，以找到最佳的广告投放策略。
总之，非线性规划是一种重要的优化方法，用于解决涉及非线性目标函数和约束条件的问题。
它在经济学、工程学和管理学等领域有广泛的应用。
尽管非线性规划的求解难度较大，但通过合适的优化算法，可以找到最佳的解决方案。
第六讲线性规划与非线性规划
f=f(x); •
(2)若有非线性约束条件：c1 x 0 或c2 x 0, 则建立M
文件c.m定义函数c1 x,c2 x, 一般形式为
function [c1,c2]=c(x)
c1=…
c2=… (3)建立主程序。求解非线性规划的函数是fmincon,
调用格式为 x=fmincon(‘fun’,x0,A1,b1);
故它属于一个整数线性规划问题，这里当成一个线 性规划求解，求得最优解刚好是整数x1=9，x2=0， 故它就是该整数规划的最优解.若用线性规划解法求 得的最优解不是整数，将其取整后不一定是相应整 数规划的最优解，这样的整数规划应用专门的方法 求解.
二、非线性规划
1、二次规划
❖
标准形式：min
z
1
xT
x1 4x2 5
•
x1, x2 0
❖
改写成标准形式：min z
x1 2x2
1 2
x12
1 2
x22
s.t.
2x1 3x2 x1 4x2
6 5
0 0
0 0
x1 x2
❖ 建立M文件fun1.m
❖ 建立主程序(见MATLAB程序(feixianxingguihua1))
工费用如下表.问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加
工工件的要求，又使加工费用最低？
车床 类型
甲
乙
单位工件所需加工台时数 工件 1 工件 2 工件 3
0.4
1.1
1.0
0.5
1.2
1.3
单位工件的加工费用 工件 1 工件 2 工件 3
13
9
10
11
12
8
可用台 时数
800
(2)若有非线性约束条件：c1 x 0 或c2 x 0, 则建立M
文件c.m定义函数c1 x,c2 x, 一般形式为
function [c1,c2]=c(x)
c1=…
c2=… (3)建立主程序。求解非线性规划的函数是fmincon,
调用格式为 x=fmincon(‘fun’,x0,A1,b1);
故它属于一个整数线性规划问题，这里当成一个线 性规划求解，求得最优解刚好是整数x1=9，x2=0， 故它就是该整数规划的最优解.若用线性规划解法求 得的最优解不是整数，将其取整后不一定是相应整 数规划的最优解，这样的整数规划应用专门的方法 求解.
二、非线性规划
1、二次规划
❖
标准形式：min
z
1
xT
x1 4x2 5
•
x1, x2 0
❖
改写成标准形式：min z
x1 2x2
1 2
x12
1 2
x22
s.t.
2x1 3x2 x1 4x2
6 5
0 0
0 0
x1 x2
❖ 建立M文件fun1.m
❖ 建立主程序(见MATLAB程序(feixianxingguihua1))
工费用如下表.问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加
工工件的要求，又使加工费用最低？
车床 类型
甲
乙
单位工件所需加工台时数 工件 1 工件 2 工件 3
0.4
1.1
1.0
0.5
1.2
1.3
单位工件的加工费用 工件 1 工件 2 工件 3
13
9
10
11
12
8
可用台 时数
800
二次规划ppt课件
• 满足约束条件的点称可行点，可行点集合构成可行域
2
线性规划与非线性规划
• 非线性规划(Nonlinear Programming)
• 非线性规划的数学模型可以表示为
min f x
xRn
s.t. gi x 0 i hj x 0 j
• 在目标函数或者约束函数中至少有一个函数是非线性的 • 当非线性规划问题的可行域为整个实数域时，称为无约束优化问题，
0
优化问题无界或者不可行
• output.a lgorithm
output.iterations
优化算法类型 算法的迭代次数
• lambda.ineqlin
不等式约束的乘子
lambda.eqlin
等式约束的乘子
14
lambda.lower / upper 变量下界和上界
案例分析
• 假设有四种投资1,2,3,4，第i种投资的收益率 ri 的预期收益均值为 i E ri ，
• 在满足收益率条件下最小化风险模型：
min f x 1 xTQx 2
2 s.t. uT x M
4
xi 1, x 0
1
16
案例分析
Q 社保债券 技术交易中心 管理咨询中心 游乐中心 预期收益
社保债券 2 0.4 0.1 0 7
技术交易中心 管理咨询中心
0.4
0.1
4
3
3
6
-1
1
8
10
游乐中心 0 -1 1 10 14
方差
2 iBiblioteka Erii2
表示投资的风险大小，即收益率关于均值的偏离程度
• 令 xi 为第i个项目的投资额占总投资的比例，向量 x x1, x2, x3, x4 T表示一个
线性规划
饲料 蛋白质（g） A1 0.3 A2 2 A3 1 A4 0.6 A5 1.8
矿物质（g）
维生素(mg）
0.1
0.05
0.05
0.1
0.02
0.02
0.2
0.2
0.05
0.08
希望建立数学模型，既能满足动物需要，又使总成 本最低的饲料配方
模型
饲料 符号 A1 x1 A2 x2 A3 x3 A4 x4 A5 x5
约 l2 : 12x1 8x2 480 束 12x1 8x2 480 l4 条 3x1 100 l3 : 3x1 100 件 c l4 : x1 0, l5 : x2 0 x1 , x2 0 目标 函数
l1 : x1 x2 50
x2 A
l1 B l2 C Z=3600 l3
线性规划问题的数学模型的一般形式
（ 1）列出约束条件及目标函数 （2）画出约束条件所表示的可行域 （3）在可行域内求目标函数的最优解及最优值
线性规划问题的标准形式
{
max y=cTx s.t. Ax=b x≥0
求解方法： （1）单纯形法 （2）软件求解:Lindo， Lingo, matlab，sas
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 X2 ROW 72.000000 24.000000 8.000000
Max z 72x1 64x2
z=c (常数) ~等值线
0
l5
Z=0
x1 D Z=2400
矿物质（g）
维生素(mg）
0.1
0.05
0.05
0.1
0.02
0.02
0.2
0.2
0.05
0.08
希望建立数学模型，既能满足动物需要，又使总成 本最低的饲料配方
模型
饲料 符号 A1 x1 A2 x2 A3 x3 A4 x4 A5 x5
约 l2 : 12x1 8x2 480 束 12x1 8x2 480 l4 条 3x1 100 l3 : 3x1 100 件 c l4 : x1 0, l5 : x2 0 x1 , x2 0 目标 函数
l1 : x1 x2 50
x2 A
l1 B l2 C Z=3600 l3
线性规划问题的数学模型的一般形式
（ 1）列出约束条件及目标函数 （2）画出约束条件所表示的可行域 （3）在可行域内求目标函数的最优解及最优值
线性规划问题的标准形式
{
max y=cTx s.t. Ax=b x≥0
求解方法： （1）单纯形法 （2）软件求解:Lindo， Lingo, matlab，sas
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 X2 ROW 72.000000 24.000000 8.000000
Max z 72x1 64x2
z=c (常数) ~等值线
0
l5
Z=0
x1 D Z=2400
线性规划与非线性规划
21
求解例一
max z 7x1 5x2
3x1 2x2 90 4x1 6x2 200
7x2 210
x1 0, x2 0
min z 7x1 5x2
3x1 2x2 90 4x1 6x2 200
7x2 210
x1 0, x2 0
min z f T x
s.t. A x b
单位。若一吨甲和一吨乙的经济价值分别为7 万元和5万元，三中资源分别为90吨、200 m3 和210个单位，试决定应生产这两种产品各多 少吨才能创造总经济价值最高？
3
（1）假定自变量（决策变量）
x1 ：生产产品甲的数量（吨）
x2 ：生产产品乙的数量（吨）
（2）分析并表达限制条件（约束条件）
资源A 限制： 3x1 2x2 90 资源B 限制： 4x1 6x2 200 资源C 限制： 7x2 210
三个问题
1. 什么是线性规划问题？ 2. 如何求解线性规划问题？ 3. 求解线性规划问题的注意事项。
1
一、什么是线性规划问题？
线性规划是研究在一组线性约束条件下，某 一个线性函数的最大值或最小值问题。一般 线性规划问题数学模型为：
min(或 max)z f1x1 f2 x2 L fn xn s.t. a11x1 a12 x2 L a1n xn (或 ，或 )b1
非负条件： x1 0, x2 0
4
（3）分析目标
以Z表示生产甲和乙两种产品各为x1 和 （x2吨）
时产生的经济价值，则有：
z 7x1 5x2
综上可得： max z 7x1 5x2
3x1 2x2 90 4x1 6x2 200
7x2 210
x1 0, x2 0
5
求解例一
max z 7x1 5x2
3x1 2x2 90 4x1 6x2 200
7x2 210
x1 0, x2 0
min z 7x1 5x2
3x1 2x2 90 4x1 6x2 200
7x2 210
x1 0, x2 0
min z f T x
s.t. A x b
单位。若一吨甲和一吨乙的经济价值分别为7 万元和5万元，三中资源分别为90吨、200 m3 和210个单位，试决定应生产这两种产品各多 少吨才能创造总经济价值最高？
3
（1）假定自变量（决策变量）
x1 ：生产产品甲的数量（吨）
x2 ：生产产品乙的数量（吨）
（2）分析并表达限制条件（约束条件）
资源A 限制： 3x1 2x2 90 资源B 限制： 4x1 6x2 200 资源C 限制： 7x2 210
三个问题
1. 什么是线性规划问题？ 2. 如何求解线性规划问题？ 3. 求解线性规划问题的注意事项。
1
一、什么是线性规划问题？
线性规划是研究在一组线性约束条件下，某 一个线性函数的最大值或最小值问题。一般 线性规划问题数学模型为：
min(或 max)z f1x1 f2 x2 L fn xn s.t. a11x1 a12 x2 L a1n xn (或 ，或 )b1
非负条件： x1 0, x2 0
4
（3）分析目标
以Z表示生产甲和乙两种产品各为x1 和 （x2吨）
时产生的经济价值，则有：
z 7x1 5x2
综上可得： max z 7x1 5x2
3x1 2x2 90 4x1 6x2 200
7x2 210
x1 0, x2 0
5
第6讲整数规划、非线性规划模型
一、模型准备 该问题是在原料数量一定的限制条件下，求商店生产三种口味 蛋糕各多少时，可获得最大收益． 二、模型假设 1．假设在生产过程中没有材料的浪费． 2． 假设生产的面包能全部售出， 且不考虑影响销售价格的因素． 三、变量假设 设商店生产草莓、蓝莓、柠檬三种口味的蛋糕的数量分别为
x1 , x2 , x3 ，获得的总收益为 R 元．
x=intvar(1,2); C=[240 378]; a=[1 0;0 1;1 1];b=[8 6 10]; f=C*x'; F=set(0<=x<=inf); F=F+set(a*x'<=b')+set(96*x(1)+120*x(2)>=720); solvesdp(F,f) double(f)
double(x)
整
数
规
划
最优化问题中的所有变量均为整数时，这类 问题称为整数规划问题。
如果线性规划中的所有变量均为整数时，称 这类问题为线性整数规划问题。 整数规划可分为线性整数规划和非线性整数 规划 ，以及混合整数规划等。 如果决策变量的取值只能为0或1，则这样的 规划问题称为0－1规划。
double(f)
double(x)
非线性规划
非线性规划问题的一般数学模型：
min
f ( x) h j ( x) 0, j 1, 2, , l.
s.t. gi ( x) 0, i 1, 2,, m,
其中， x E n ，
f (x) 为目标函数，
g i ( x), h j ( x) 为约束函数，这些函数中至少有
最优化模型（2）
一、一般的线性规划模型 二、整数规划模型
chapter 6 非线性规划
（3）若f(X)，g(X)均为为凸集R上的凸函数，则 f(X)+g(X)也为为凸集R上的凸函数；
– 3. 函数的凸性的判别 – 定理6.1（一阶条件） 设R是n维欧式空间上的开凸
集，f(X)在R上具有一阶连续偏导数，则f(X)为R上 的凸函数的充分必要条件是，对于任意两个不同点 X(1)∈R和X(2)∈R，恒有
– 此外，若将上述关于凸函数定义中两个不等式中 的不等号改为“≥”和“>”，则分别称f(X)为凸集R 上的凹函数和严格凹函数。
– 2. 凸函数的性质
（1）若f(X)为凸函数，则－f(X)必为凹函数，反之亦 然；
（2）若f(X)为凸集R上的凸函数，则对于任意非负实 数α，函数αf(X)亦为凸集R上的凸函数；
chapter 6 非线性规划
chapter 6 非线性规划
概述
一、问题提出
– 生产管理中很多问题的运行过程都是以非线性形式运 行的，如生产成本往往是生产量的非线性函数，产品 的需求量是其价格的非线性函数等等。这样，我们在 建立一个决策问题的数学模型时，目标函数或者约束 条件常常会出现非线性形式。
f ( X (2) ) f ( X (1) ) f ( X (1) )T ( X (2) X (1) )
定理6.2（二阶条件） 设R是n维欧式空间上的某一 开凸集，f(X)在R上具有二阶连续偏导数，则f(X)为 R上的凸函数的充分必要条件是：f(X)的海森矩阵 H(X)在R上处处半正定。
– 6. 全局最优解——对于非线性规划min f = f(X)，gi(X) ≥ 0 （i = 1,2,…,l;），设X0∈R，对于任何X∈R均有f(X0) ≤ f(X)， 则称X0为非线性规划问题在R上的一个全局最优解。若
X0≠X时，f(X0) < f(X)严格成立，称X0为严格全局最优解。
– 3. 函数的凸性的判别 – 定理6.1（一阶条件） 设R是n维欧式空间上的开凸
集，f(X)在R上具有一阶连续偏导数，则f(X)为R上 的凸函数的充分必要条件是，对于任意两个不同点 X(1)∈R和X(2)∈R，恒有
– 此外，若将上述关于凸函数定义中两个不等式中 的不等号改为“≥”和“>”，则分别称f(X)为凸集R 上的凹函数和严格凹函数。
– 2. 凸函数的性质
（1）若f(X)为凸函数，则－f(X)必为凹函数，反之亦 然；
（2）若f(X)为凸集R上的凸函数，则对于任意非负实 数α，函数αf(X)亦为凸集R上的凸函数；
chapter 6 非线性规划
chapter 6 非线性规划
概述
一、问题提出
– 生产管理中很多问题的运行过程都是以非线性形式运 行的，如生产成本往往是生产量的非线性函数，产品 的需求量是其价格的非线性函数等等。这样，我们在 建立一个决策问题的数学模型时，目标函数或者约束 条件常常会出现非线性形式。
f ( X (2) ) f ( X (1) ) f ( X (1) )T ( X (2) X (1) )
定理6.2（二阶条件） 设R是n维欧式空间上的某一 开凸集，f(X)在R上具有二阶连续偏导数，则f(X)为 R上的凸函数的充分必要条件是：f(X)的海森矩阵 H(X)在R上处处半正定。
– 6. 全局最优解——对于非线性规划min f = f(X)，gi(X) ≥ 0 （i = 1,2,…,l;），设X0∈R，对于任何X∈R均有f(X0) ≤ f(X)， 则称X0为非线性规划问题在R上的一个全局最优解。若
X0≠X时，f(X0) < f(X)严格成立，称X0为严格全局最优解。
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min z f ( x)
x
(1)
*
s.t. g i ( x) 0, i 1, 2, m (2)
只满足(2)的解 x 称为可行解，同满足(1)(2)的解 x x 称最
优解。
优化模型的分类 数学规划
线性规划(LP) 二次规划(QP) 非线性规划(NLP) 0-1整数规划 一般整数规划
[2] x0表示初始解。 (4) 命令： [x,fval,ef,out,lambda]=linprog(c,A1,b1,A2,b2,v1,v2,x0) 输出x为最优解，fval为最优值，ef为程序停止的标志，out 为个结构变量，包括程序运行的有关信息，lambda也是结 构变量，对应于相应的约束的Lagrange乘子。
min z 13 x1 9 x2 10 x3 11x4 12 x5 8 x6 s.t. x1 x4 400 x2 x5 600 x3 x6 500 0.4 x1 1.1x2 x3 800 0.5 x4 1.2 x5 1.3 x6 900 xi 0, i 1, 2, 6
min z (32 x1 24 x2 ) (8 x1 12 x2 ) 40 x1 36 x2 s.t. 8 25 x1 8 15 x2 1800 8 25 x1 1800 8 15 x2 1800 x1 0, x2 0 5 x1 3x2 45 x1 9 x2 15 x1 0, x2 0
见MATLAB程序 （xianxingguihua300个工件2,在乙机床上加工400 个工件1、500个工件3，可在满足条件的情况下使 总加工费最小为13800.
例4：问题二的解答 x1 改写为 min z (40 36) x
2 x1 s.t. 5 3 45 x2 1 0 x1 9 x1 x , x 0 0 1 2 15 2
s.t. 0.01x1 0.01x2 0.01x3 0.03x4 0.03x5 0.03x6 850
见MATLAB程序 （xianxingguihua1）
x1 min z 6 x1 3 x2 4 x3 min z (6 3 4) x2 例2： x 3 x1 1 1 1 120 s.t. s.t. x1 x2 x3 120 x2 0 1 0 50 x1 30 x3 0 x2 50 30 x1 x3 20 0 x2 20 x 3
纯整数规划(PIP)
混合整数规划(MIP)
连续规划
整数规划(IP)
一、线性规划
1、引例
问题一：任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用 于加工三种工件.假定这两台车床的可用台时数分别为800 和900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知 用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加 工费用如下表.问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加 工工件的要求，又使加工费用最低？
见MATLAB程序 （xianxingguihua2）
例3：问题一的解答 改写为 min z (13 9 10
11 12 8) x
0 0 0.4 1.1 1 0 800 s.t. x 0 0 0 0.5 1.2 1.3 900 x1 x2 1 0 0 1 0 0 400 x3 0 1 0 0 1 0 x 600 , x x 0 4 0 0 1 0 0 1 500 x5 x 6
二、非线性规划
1、二次规划 1 T 标准形式：min z x Hx cT x
s.t. 2 A 1 x b1 A2 x b2 v1 x v2
MATLAB调用格式： (1) x=quadprog(H,C,A1,b1); (2)x=quadprog(H,C,A1,b1,A2,b2,v1,v2); (3)[x,fval,exitflag,output]= quadprog(H,C,A1,b1, A2,b2 ,v1,v2,x0,options);
v1 x v2
(1)首先建立M文件fun.m,用来定义目标函数f(x)，形 式为 function f=fun(x) f=f(x); c (2)若有非线性约束条件：1 x 0 或c2 x 0, 则建立M 文件c.m定义函数c1 x , c2 x , 一般形式为 function [c1,c2]=c(x) c1=… c2=… (3)建立主程序。求解非线性规划的函数是fmincon, 调用格式为 x=fmincon(„fun‟,x0,A1,b1); [x,fv,ef,out,lag,grad,hess]=fmincon(„fun‟,x0,A1,b1,A2 ,b2,v1,v2,‟c‟,opt,P1,P2,…)
例1：
min f ( x1 , x2 ) 2 x12 3x1 x2 3x2 2 3x1 x2 s.t. x1 2 x2 3 2 x1 x2 3 x1 3x2 4 x1 2, x2 0
改写成标准形式：
1 min z ( x1 2
4 3 x1 3 x1 x2 ) x x 3 6 2 1 2 2 1 x1 3 s.t. x 1 3 2 4 x1 1 2 3 x2 2 x1 x 2 0
第六讲
线性规划与 非线性规划
线性规划与非线性规划
最优化是人们在工程技术、科学研究和经济管理等领域常 见的问题。要表述一个最优化问题，一般需要确定三个要 素：一是决策变量，通常是要求解的未知量 x ；二是目标 函数，通常是要优化(最小或最大)的那个目标的数学表达 式，是决策变量的函数f ( x)；三是约束条件，对决策变量 的限制条件，即 x 允许取值的范围，称为可行域。 一般地，优化模型可表述为
(3) 模型3：
min z cT x s.t. A1 x b1 A2 x b2
v1 x v2 命令： [1] x=linprog(c,A1,b1,A2,b2,v1,v2) [2] x=linprog(c,A1,b1,A2,b2,v1,v2,x0) A 注：[1] 若没有等式约束： 2 x b2 ，令 A2 [], b2 [].
见MATLAB程序 （xianxingguihua4）
结果：
即只需聘用9个一级检验员。 注：本问题应还有一个约束条件：x1、x2取整数， 故它属于一个整数线性规划问题，这里当成一个线 性规划求解，求得最优解刚好是整数x1=9，x2=0， 故它就是该整数规划的最优解.若用线性规划解法求 得的最优解不是整数，将其取整后不一定是相应整 数规划的最优解，这样的整数规划应用专门的方法 求解.
注意： (1) fmincon函数提供了大型优化算法和中型优化算 法。当options参数的GradObj设置为’on‟时必须 给出fun函数的梯度，并且只有上下界约束或只有 等式约束，fmincon函数将选择大型算法。当既有 等式约束又有梯度约束时，使用中型算法。
(2) fmincon函数的中型算法使用的是序列二次规划 法(SQP方法)。在每一步迭代中求解二次规划子问 题，并用BFGS法更新拉格朗日Hesse矩阵。 (3)fmincon函数可能会给出局部最优解，这与初值 x0的选取有关。
车床 类 型 甲 乙 单位工件所需加工台时数 工件 1 0.4 0.5 工件 2 1.1 1.2 工件 3 1.0 1.3 单位工件的加工费用 工件 1 13 11 工件 2 9 12 工件 3 10 8 可用台 时数 800 900
模型 设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为 x1 , x2 , x3 , 在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为 x4 , x5 , x6 .
问题二：某厂每日8小时的产量不低于1800件.为了进行质 量控制，计划聘请两种不同水平的检验员.一级检验员的标 准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时； 二级检验员的标准为：速度15件/小时，正确率95%，计时 工资3元/小时.检验员每错检一次，工厂要损失2元.为使总 检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？ 模型 设需要一级、二级检验员的人数分别为 x1 , x2人， 应付检验员工资为 8 4 x1 8 3x2 32 x1 24 x2 , 因检验员错检而造成的损失为 (8 25 2% x1 8 15 5% x2 ) 2 8 x1 12 x2
T
编程(见MATLAB程序(erciguihua1))
结果：
2、一般非线性规划 标准形式： min z
s.t.
f ( x)
c2 x 0 A1 x b1 A2 x b2
c1 x 0
c1 其中 x 为n维变元向量， ( x), c2 x 均为非线性函数组 成的向量，其他变量的含义与线性规划、二次规划 中相同． 用MATLAB求解上述问题，基本步骤分三步。
例1： max z 0.4 x1 0.28x2 0.32 x3 0.72 x4 0.64 x5 0.6 x6
0.02 x1 0.05 x4 700 0.02 x2 0.05 x5 100 0.03x3 0.08 x6 900 x j 0, j 1, 2, 6
m n 是约束
mn
3、线性规划模型的实用形式 (1) min z cT x (2) min z cT x