线性规划问题的解
线性规划问题的求解
线性规划问题的求解线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下最大化或最小化目标函数。
线性规划的应用非常广泛，包括生产计划、投资组合、运输问题、资源分配等。
在实际问题中，线性规划可以帮助我们做出最佳决策，达到最优化的效果。
线性规划的一般形式可以表示为：Max (or Min) C^T * XSubject to:A * X <= BX >= 0其中，C是目标函数的系数向量，X是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，B是约束条件的右侧向量。
线性规划的求解方法有很多种，常用的方法有单纯形法、内点法、分支定界法等。
这些方法通过迭代计算寻找目标函数最大（或最小）值的最优解。
在这些方法中，单纯形法是最为常用且效果较好的方法之一。
单纯形法的基本思想是通过不断交替改变基本变量和非基本变量的值来接近最优解。
初始时，选择一个基本可行解。
然后，通过计算单位增大量（reduced cost）判断是否已经到达最优解。
如果还有正的单位增大量，就选择它对应的非基本变量作为进入变量。
接着，通过计算比率（ratio）决定离开变量。
重复这个过程直到达到最优解。
单纯形法虽然是一种有效的求解线性规划的方法，但当问题规模较大时，计算复杂度会非常高。
因此，针对大规模问题，研究者们不断提出改进的算法，如内点法。
内点法基于KKT条件，通过在可行域的内部搜索来找到最优解。
相较于单纯形法，内点法在求解大规模问题时更加高效。
除了单纯形法和内点法，分支定界法也是一种常用的求解线性规划问题的方法。
分支定界法是基于问题的整数性质进行求解的。
当某些决策变量必须是整数时，分支定界法能找到最优解。
该方法通过将问题划分为不同的子问题，并逐步排除不满足约束条件的解来逼近最优解。
线性规划问题的求解不仅仅限于上述方法，还有其他的求解算法。
根据具体问题的特点，选择合适的求解方法可以提高求解的效率和精度。
总之，线性规划是一种重要的数学优化方法，它在解决实际问题时起到了至关重要的作用。
线性规划问题求解例题和知识点总结
线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在经济管理、交通运输、工农业生产等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。
二、线性规划问题的求解方法常见的求解线性规划问题的方法有图解法和单纯形法。
1、图解法适用于只有两个决策变量的线性规划问题。
步骤如下：画出直角坐标系。
画出约束条件所对应的直线。
确定可行域（满足所有约束条件的区域）。
画出目标函数的等值线。
移动等值线，找出最优解。
例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10 ＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件对应的直线：＄x ＋ 2y ＝ 8$，＄2x ＋ y ＝10$，以及$x ＝ 0$，＄y ＝ 0$。
线性规划的解与最优解知识点总结
线性规划的解与最优解知识点总结在现实生活和工作中，我们经常会遇到需要最优化某个目标函数的问题。
线性规划作为一种常见的数学优化方法，在各个领域中得到了广泛应用。
它能够帮助我们在一定的约束条件下，找到目标函数的最佳解。
本文将对线性规划的解与最优解的相关知识点进行总结。
1. 基本概念线性规划问题由目标函数和一组线性约束条件组成。
目标函数的形式通常是最大化或最小化一些变量的线性组合，而约束条件则给出了这些变量的取值范围。
线性规划问题的一般形式如下：```max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0```其中，Z表示目标函数的值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右边常数，x₁,x₂, ..., xₙ为决策变量。
2. 解的存在性线性规划问题存在三种解的情况：无解、有界解和无界解。
如果约束条件与目标函数之间存在矛盾，例如出现一个约束条件为 a₁₁x₁ +a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁，而目标函数的系数为 c₁ > a₁₁，那么这个线性规划问题就没有解。
有界解指的是线性规划问题在满足所有约束条件的情况下，能够找到目标函数的最大值或最小值。
无界解意味着目标函数可以无限制地增大或减小。
3. 最优解的性质线性规划问题的最优解具有以下性质：- 最优解必然出现在可行域的顶点上。
可行域是指所有满足约束条件的解的集合，而顶点则指可行域的边界上的点。
- 如果最优解存在，那么至少存在一个顶点是最优解。
- 如果可行域是有限的，则一定存在一个顶点是最优解。
- 如果最优解存在，那么一定有一条或多条约束条件在最优解上取等号。
线性规划问题解的概念和性质
线性规划问题解的应用之一是生产计划问题，通过合理安排生产计划，最大化利润并满足市场需 求。
线性规划问题解的生产计划问题需要考虑多种因素，如生产成本、市场需求、产品价格等，以制 定最优的生产计划。
线性规划问题解的生产计划问题可以通过建立数学模型进行求解，利用计算机软件进行优化和模 拟。
线性规划问题解的生产计划问题在实际应用中具有广泛的应用价值，可以提高企业的生产效率和 经济效益。
线性规划问题的标准形式
初始解的求解方法
初始解的判断准则
初始解的调整策略
迭代过程：通过不断迭代更新解，逐步逼近最优解 终止条件：当迭代过程中解的变化小于预设阈值或达到最大迭代次数时，终止迭代 收敛性：算法收敛于最优解的充分必要条件是所有约束条件都是“可行”的 算法复杂度：迭代次数与问题规模呈指数关系，需要选择合适的算法和参数
方案。
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定义：在给定风险 水平下最大化收益， 或在给定收益水平
下最小化风险
应用场景：股票、 债券等金融资产的
投资组合配置
线性规划问题解的 应用：通过线性规 划方法找到最优投 资组合，实现风险
和收益的平衡
线性规划问题解的 概念和性质：在投 资组合优化问题中， 线性规划方法用于 求解最优解，其概 念和性质对于理解 和应用投资组合优
解的唯一性：线性 规划问题有唯一最 优解
解的稳定性：最优 解不会因约束条件 的微小变化而发生 大的改变
解的敏感性：当目 标函数系数或约束 条件发生变化时， 最优解可能会发生 改变
算法原理：通过 不断迭代，寻找 最优解
适用范围：线性 规划问题
求解步骤：确定 初始解，计算目 标函数值，迭代 更新解
线性规划问题的解法
线性规划问题的解法线性规划（Linear Programming，LP）是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最大化或最小化目标函数的问题。
线性规划问题在经济学、管理学、工程学等领域都具有广泛的应用，其求解方法也十分成熟。
本文将介绍线性规划问题的常用解法，包括单纯形法和内点法。
一、单纯形法单纯形法是解决线性规划问题最常用的方法之一。
它通过在可行解空间中不断移动，直到找到目标函数的最优解。
单纯形法的基本步骤如下：1. 标准化问题：将线性规划问题转化为标准形式，即将目标函数转化为最小化形式，所有约束条件均为等式形式，且变量的取值范围为非负数。
2. 初始可行解：选择一个初始可行解，可以通过人工选取或者其他启发式算法得到。
3. 进行迭代：通过不断移动至更优解来逼近最优解。
首先选择一个非基变量进行入基操作，然后选取一个基变量进行出基操作，使目标函数值更小。
通过迭代进行入基和出基操作，直到无法找到更优解为止。
4. 结束条件：判断迭代是否结束，即目标函数是否达到最小值或最大值，以及约束条件是否满足。
单纯形法的优点是易于理解和实现，而且在实际应用中通常具有较好的性能。
但是，对于某些问题，单纯形法可能会陷入循环或者运算效率较低。
二、内点法内点法是一种相对较新的线性规划求解方法，它通过在可行解空间的内部搜索来逼近最优解。
与单纯形法相比，内点法具有更好的数值稳定性和运算效率。
内点法的基本思想是通过将问题转化为求解一系列等价的非线性方程组来求解最优解。
首先，将线性规划问题转化为等价的非线性优化问题，然后通过迭代求解非线性方程组。
每次迭代时，内点法通过在可行解空间的内部搜索来逼近最优解，直到找到满足停止条件的解。
内点法的优点是在计算过程中不需要基变量和非基变量的切换，因此可以避免单纯形法中可能出现的循环问题。
此外，内点法还可以求解非线性约束条件下的最优解，具有更广泛的适用性。
三、其他方法除了单纯形法和内点法，还有一些其他的线性规划求解方法，如对偶方法、割平面法等。
求解线性规划的方法
求解线性规划的方法
求解线性规划问题的常用方法有以下几种：
1. 单纯形法（Simplex Method）：单纯形法是解线性规划问题的经典方法，通过逐步迭代找到目标函数的最优解。
它适用于小到中等规模的问题。
2. 内点法（Interior Point Method）：内点法通过在可行域内的可行点中搜索目标函数最小化的点来解决线性规划问题。
相对于单纯形法，内点法在大规模问题上的计算效率更高。
3. 梯度法（Gradient Method）：梯度法是基于目标函数的梯度信息进行搜索的一种方法。
它适用于凸优化问题，其中线性规划问题是一种特殊的凸优化问题。
4. 对偶法（Duality Method）：对偶法通过构建原问题和对偶问题之间的关系来求解线性规划问题。
通过求解对偶问题，可以得到原问题的最优解。
5. 分支定界法（Branch and Bound Method）：分支定界法通过将原问题划分为更小的子问题，并逐步确定可行域的界限，来搜索目标函数的最优解。
需要根据具体的问题规模、约束条件和问题特点选择合适的方法进行求解。
线性规划的解法
线性规划的解法线性规划是现代数学中的一种重要分支，它是研究如何在一定约束条件下优化某种目标函数的一种数学方法。
在现实生活中，许多问题都可以用线性规划求解。
如在生产中，如何安排产品的产量才能最大化利润；在运输中，如何安排不同的运输方式最大程度降低成本等等。
线性规划的解法有多种，下面我们就来对其进行详细的介绍。
1. 单纯形法单纯形法是线性规划中最重要的求解方法之一，它是由Dantzig于1947年提出的。
单纯形法的基本思路是从某一个初始解出发，通过挑选非基变量，使得目标函数值逐步减少，直到得到一个最优解。
单纯形法的求解过程需要确定初始解和逐步迭代优化的过程，所以其求解复杂度较高，但是在实际中仍有广泛应用。
2. 对偶线性规划法对偶线性规划法是一种将线性规划问题转化为另一个线性规划问题来求解的方法。
这种方法的主要优势是，它可以用于求解某些无法用单纯形法求解的问题，如某些非线性规划问题。
对偶线性规划法的基本思路是将原问题通过拉格朗日对偶性转化为对偶问题，然后求解对偶问题，最终得到原问题的最优解。
3. 内点法内点法是一种由Nesterov和Nemirovsky于1984年提出的方法，它是一种不需要寻找可行起点的高效的线性规划求解方法。
内点法的基本思路是通过不断向可行域的内部靠近的方式来求解线性规划问题。
内点法的求解过程需要实现某些特殊的算法技术，其求解效率高，可以解决一些规模较大、约束条件复杂的线性规划问题。
4. 分枝定界法分枝定界法是一种通过逐步将线性规划问题分解成子问题来求解的方法。
这种方法的基本思路是，在求解一个较大的线性规划问题时，将其分解成若干个较小的子问题，并在每个子问题中求解线性规划问题，在不断逐步求解的过程中不断缩小问题的规模，最终得到问题的最优解。
总之，不同的线性规划解法各有千秋，根据实际问题的需要来选择合适的求解方法是非常重要的。
希望本文能够对您有所帮助。
线性规划问题的四种求解方法
可出直线
l0
:y
=-
2 3
x
,
把直线
l0
向右上方
平移 , 当经过可行域上点 B 时 , 直线的截距最
大 .此时 z = 12x +18y 取最大值 .解方程组
z =6x +3y +5[ 300 -(x +y)] +5(200 -x ) +9(450 -y)+6(100 +x +y)=2 x -5y +
★解题方法与技巧
线性规划问题的四种求解方法
江 苏溧 阳中 学(2 13300) 吕清 平
线性规划问题是现实生活中一类重要的应 用问题 , 它常用来研究物资调运 、生产安排 、下
时 , zmax =12 ×5 +18 ×4 =132(万美元) 答 :购买第一种机器 5 台 , 第二种机器 4 台
料等工作的资源优化配制问题 , 寻求线性规划 时能使工厂获得的年利润最大 .
值线值的大小知 , 当等值线经过可行域上点 C 成本如下表 :
时 , 等值线的值最小 .z 有最小值 5650 元 , 此时 x =0 、y =300 , 故甲地产品运往 B 地 ;乙地产 品运往 A 、B 、C 三地分别为 200 吨 、150 吨 、400
甲乙丙 维生素 A(单位 / 千克) 600 700 400
解 设每天生产甲 、乙产品的件数分别是
维生素 B (单位 / 千克) 800 400 500
成本(单位 / 千克) 11 9 4
某食物营养所想用 x 千克甲种食物 , y 千 克乙种食物 , z 千克丙种食物配成 100 千克混合 物 , 并使混合物至少含有 56000 单位维生素 A 和 63000 单位维生素 B
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规划问题有无界解。
二、单纯形法的矩阵描述
在线性规划问题的标准型：
Max z CT X
s.t.
AX X
b 0
中，不妨设 B ( p1, p2 , , pm ) 是一个可行基，则系数矩阵Ａ可分块为
（Ｂ，Ｎ）。对应于Ｂ的基变量
基：A中任何一组m个线性无关的列向量构 成的子矩阵,称为该问题的一个基（basis）,
与中的这些列向量对应的变量称为基变量 （basic variable）
基本解：对于基,令非基变量为零,求得满足 （1-13）的解，称为基对应的基本解（basic solution）。
基本可行解：满足（1-14）的基本解 称为基本可行解（basic feasible solution）；基本可行解所对应的基称 为可行基（feasible basis）。
为，X B (x1, x2 , , xm )T 为 X N (xm1, xm2 , , xn )T
，非基变量 ，Ｎ
＝ ( pm1, pm2 , , pn )
。并令C T
(C
T B
,
C
T N
)
，其
中 B 为基变量X B的系数列向量，N 为
非基变量的系数列向量。于是原问题可化
为
Max
0
x
0 l
a lj
由（1-22）式得
（1-22）
xi0
aij
0 0
(i l) (i l)
（1-23）
故 X (1) 是一个可行解
3、最优性检验和解的判别
将基本可行解 X (0) 和 X (1) 分别代入目标函数得
m
z (0) ci xi0 i 1 m
， y2 y1
。
M2x2, y2
Mx, y
即
x y
a
x1 y1
(1
a)
x2 y2
M x1, y1
o
当 a [0,1] 时,上式表示以 M1, M2 为端点的线 段的点集。若 X (1) , X 表示 (2) n 维空间中的 两个点,则 X aX(1) (1 a)X (2) a[0,1] X 表示 X (1) , X (2) 两点的线性组合,几何上 仍表示一个点。
❖ 最优解：若基本可行解又是最优解（也 称基本最优解），这个基就称为最优基 （optimal basis）。
二.解的性质
在右图中设线段长度与之比为，由此得x2 x a y2 y a
x ax 1 (1 a ) x 2
所以
y
ay 1
(1
a)
y2
x2 x1
§1-4.线性规划问题的解
❖ 一.解的基本概念
对于标准型LP问题 max（或 min） z CT X
(1 12)
s.t.
AX b X 0
(1 13) (1 14)
设 A 是mn阶矩阵,mn,且 A 的秩为 m。
可行解：满足约束条件（1-13）和（1-14） 的解称为可行解。
“-M”称为“罚因子”，即只要人工变量取值大于零，目 标函数就不可能实现最优。因而添加人工变量后，例110的数学模型的标准形式就变为
max z 3x1 x3 0x4 0x5 Mx6 Mx7
x1 x2 x3 x4
4
s.t.
2x1
x2
x3
3x2 x3
一个数学符号一起参加运算。检验数中含M符号的项，当
M的系数为正时，该检验数为正，当M的系数为负时，该
项检验数为负。
例1-10添加人工变量后，用单纯形法求解的过程见下页 表1-8。最优解为：
(x1, x2 , x3 )T (0,5 2,3 2)T
凸集：在点集 S 上,对任何两点 X (1) , X (2) ,若
X aX (1) (1 a) X (2) S a [0,1]
称 S 为一凸集（convex set）。即凸集上任 何两点所连线必在凸集上。二维空间中三 角形域、矩形域、圆形域都是凸集,而环形 域就不是凸集；三维空间的椭球体、平行 六面体也是凸集。 极点：在凸集 S 上,若点 X 不能用相异两点 X (1) , X (2) 线性表示为 X aX (1) (1 a) X (2) a (0,1) 称 X 为 S 的极点（Extreme Point）或顶点。 这也就是说极点不是 S 上任何线段的内点。 比如三角形的顶点，圆周上的点均为极点。
z(1) ci xi0 aij c j
i 1
m i1
ci xi0
cj
m i1
ci
aij
z(0)
c j
m i1
ci aij
(1 24)
m
❖ （1-24）式中因 0, 所以只要[Cj ciaij ] 0 ,就 i1 m
§1-6 .初始可行基的求法
一、 大M法
在上一节例1-9中，化为标准形式后约束 条件的系数矩阵中含有单位矩阵，以此作 初始基，使求初始基可行解和建立初始单 纯形表都十分方便。但时常化为标准形后 的约束条件的系数矩阵中不存在单位矩 例1-10 用单纯形法求解线性规划问题
Max z 3x1 x3
x1 x2 x3 4
s.t.
2x1
x2 3x2
x3 x3
1 9
x1, x2, x3 0
解 先将其化成标准形有
Max z 3x1 x3 0x4 0x5
s.t.
x1 x2 x3 x4 4
2x1 x2 x3 x5 1
j 1
n
pjxj b
j 1
xj 0( j 1, , n)
(1-17)
(1 18) (1 19)
在约束条件（1-18）式的变量的系数矩阵中总 会存在一个单位矩阵，不妨设为
1 0
p1, p2 ,
,
pm
0
1
0 0
0
0 (1-20)
综上所述,我们在理论上得到了线性规划问题的以 下结论：
❖ 线性规划问题的可行域是一凸集（包括有界凸集 和无界凸集）；线性规划问题的每个基本可行解 对应着可行域的一个极点（顶点）；若线性规划 问题有最优解,必在可行域的某一极点上得到。 由此可见,我们只需在基本可行解中寻求最优解。 如何有效地寻求最优解,这就是下节要介绍的单 纯形法。
3x2 x3
9
x15 0
(1 33) (1 34) (1 35)
这种情况下，可以通过添加两列单位向量，使连同 约束条件中的向量构成单位矩阵。
p4 p6 p7
1 0 0 0 1 0 0 0 1
p6 , p7是人为添加上去的，它相当于在上述问题的约
束条件（1-34）中添加变量，约束条件(1-35)中添加变 量，变量相应称为人工变量。由于约束条件（1-34） （1-35）在添加人工变量前已是等式为使这些等式得到 满足，因此在最优解中人工变量取值必须为零。为此， 令目标函数中人工变量的系数为任意大的负值，用“M”代表。
其中 是 X(1) 的第 j 个坐标的值。要使 X (1) 是一个基本可行解，
因规定 >0，故应对所有 i=1,…,m，存在
x
0 i
a ij
0
（1-21）
令这 m 个不等式中至少有一个等号成立。因为当 aij 0 时,
上式显然成立,故可令
min
x
0 i
a ij
a ij
（2）当所有的 j 0 ,又对某个非基变量 x j 有 j 0 ,且可以找到
0,这表明可能找到另一顶点（基可行解）目标函数值也达到最大
由于该两点连线上的点也属可行域内的点,且目标函数值相等,即该 线性规划问题有无穷多最优解。反之,当所有非基变量的 j 0 时,线 性规划问题具有唯一最优解。 （3）如果所有的 j 0 不满足，说明还有比 X(0) 更好的基本解， 此时可用换基迭代得到比 X(0) 更好且与 X(0) 相临的基本可行解 X(1)。 （4） 如果存在某个, j 0 且 p j 0 ,对任意的0,均有 x0i aij 0,
线性规划问题的几个定理
定理1-1 线性规划问题的可行域是凸集。
定理1-2 A为线性规划问题可行域的极 点的充要条件是的A正分量对应的系数 列向量线性无关。（证明从略）。 定理1-3A是可行域的极点的充要条件是它 为基本可行解。（证明从略。） 定理1-4 线性规划问题有可行解,必有基本
可行解；有最优解,必有基本最优解。
，
C
CBT B1A
，
则又有
Z
C
T B
B
1b
+NXN
=
C
T B
B
1b
+
X
三、单纯形法的计算步骤
根据上节中讲述的原理,单纯形法的计算步骤如下： 第一步：求初始基本可行解,列出初始单纯形表。
第二步：最优性检验。 第三步：从一个基本可行解转换到相邻的目标函
数值更大的基本可行解，列出新的单纯形表。 第四步：重复第二、三两步，一直到计算结束为止。
Z
C
T B
B
1b
(C