考虑如下线性规划问题
线性规划
线性规划问题建模求解实例分析
产品甲 产品乙 产品丙 工时限制 单件铸造工时（小时） 单件机加工工时（小时） 单件装配工时（小时） 自产铸件成本（元/件） 外协铸件成本（元/件） 机加工成本（元/件） 装配成本（元/件） 产品售价（元/件） 5 6 3 3 5 2 3 23 10 4 2 5 6 1 2 18 7 8 2 4 3 2 16 8000 12000 10000
应用EXCEL工具求解线性规划问题
三、线性规划问题解的表现
EXCEL建模求解，其解的结果在“规划 求解结果”对话框中提示： 1、唯一最优解为“找到一个解”
2、无穷多最优解为“满足条件有多个解”
3、无解为“未找到可行解”
线性规划问题建模求解实例分析
（一）生产计划问题 例1：某工厂生产甲、乙、丙三种产品，都要经过铸造、 机加工(包括本场和外包的)和装配三个车间。甲、乙 两种产品的铸件可以外包协作，也可自行生产，但 产品丙必须在本厂铸造才能保证质量。数据见表。 问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品 应各生产多少件？甲、乙两种产品的铸件应由本公 司铸造和由外包协作各多少件?
方案。一般要求其非负。
约束条件：反映所给问题的客观限制及完成任务的
具体要求，一般表示为一组决策变量的线性等式或
不等式。
目标函数：问题所要达到的目标。一般表示为决策
变量的线性函数，取最大值或最小值。
线性规划问题基本理论及方法
建模步骤：
确定决策变量：根据决策问题，确定 找出约束条件：找出所有的限制条件，写出其
2
n
(, ) b2
…
a x a x ... a x (, )b x , x , x ,...,x 0
第二章线性规划
线性规划要研究的两类问题中都包含有约束条件和目 标函数。用数学的方式描述，规划的目的就是在给定 的限制条件（或称约束条件）下，求目标函数的极值 问题（包括极小值和极大值）。
2
线性规划的数学模型
3
解： 设产品 的产量为：1 , 产品 的产量为：x2 x
4
5
6
7
配料问题：由若干种不同价格、不同成分含量的原料，用 不同的配比混合调配出一些不同规格的产品，在原料的供 应量限制和保证产品成分含量的前提下，如何进行配料来 获取最大利润或使总成本最低。
15
2.2.3 线性规划求解的可能结局
1、有唯一的最优解
2、有无穷多个最优解 （将目标函数改为 z=4x1+3x2 ）
x2
max z 4 x1 3 x2 x1 2 x2 5 2 x x 4 1 2 s.t. 4 x1 3 x2 9 x1 , x2 0
3x1 2 x2 4 x3 3
3x1 2 x2 4 x3 xs 3
剩余变量
变量xs实际上是原式左端减去右端的差，即 ：
xs 3x1 2 x2 4 x3 3
当约束条件是“ ”型的不等式时，只要将该约 束条件左端减去一个非负的剩余变量即可化为等式。 无论是松弛变量还是剩余变量在决策中都不产生实际价 值，因此它们在目标函数中的系数都应该为零。有时也将松 29 弛变量和剩余变量统称为松弛变量。
2x1+x2=4 D C
x1+2x2=5 B 4x1+3x2=9 O A x1
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3、无界解
指线性规划问题有可行解，但是 在可行域，目标函数值是无界的， 因而达不到有限最优值。因此线 性规划问题不存在最优解。
线性规划
• 4.2 两阶段法
• 两阶段法是处理人工变量的另一种方法。其具体做 法是在原约束条件中增加人工变量，构造一个新的 目标函数，其中人工变量的系数为-1，其余变量的 系数为0，这样就产生了如下的最优解有三种情形。 （1）这说明在辅助问题的最优解中，还有人工变量是基变量， 且取值不为0，此时原问题无可行解。 （2）且最优解中人工变量均为非基变量，则把它们划去后就得 到了原问题的一个基本可行解。 （3）但最优解中还有人工变量是基变量，其取值为0。这时， 只要选某个不是人工变量的非基变量进基，把在基中的人工 变量替换出来，则情形同（2）。 第二阶段：对于第一阶段的后两种情形，在第一阶段的最优单 纯形表中划去人工变量所在的列，并把检验数行换成原问题 目标函数（消去基变量以后）的系数，从而得到原问题的初 始单纯形表，再继续迭代求解。
2014-6-19 3
例2（运输问题）
• 设有某种物资要从A1，A2，A3三个仓库运往四个 销售点B1，B2，B3，B4。各发点（仓库）的发货 量、各收点（销售点）的收货量以及 到 的单位运 费如表1-2。问如何组织运输才能使总运费最少？
例3（配料问题）
• 在现代化的大型畜牧业中，经常使用工业生产的饲料。 设某种饲料由四种原料B1，B2，B3 ，B4混合而成，要 求它含有三种成份（如维生素、抗菌素等）A1，A2， A3的數量分別不少于25、36、40个单位（这些单位可 以互不相同），各种原料的每百公斤中含三种成份的数 量及各种原料的单价如表1-3.
1.2 线性规划的数学模型
一、一般形式 上述各例具有下列共同特征： 1．存在一组变量 ，称为决策变量，表示某一方案。通 常要求这些变量的取值是非负的。 2．存在若干个约束条件，可以用一组线性等式或线性 不等式来描述。 3．存在一个线性目标函数，按实际问题求最大值或最 小值。
线性规划常见疑问
线性规划常见疑问第一章线性规划常见疑问解答1.线性规划——这一运筹学重要分支的开创者是谁这里，必须谈到两个著名的人物，康托洛维奇和丹捷格。
1939年著名数理经济学者康托洛维奇发表了《生产组织和计划中的数学方法》这一运筹学的先驱性名著，其中已提到类似线性规划的模型和“解乘数求解法”。
但是他的工作直到1960年的《最佳资源利用的经济计算》一书出版后，才得到重视。
1975年，康托洛维奇与T .C . Koopmans 一起获得了诺贝尔经济学奖。
1947年G . B. Dantzig 在研究美国空军军事规划时提出了线性规划的模型和单纯形解法，并很快引起美国著名经济学家Koopmans的注意。
Koopmans为此呼吁当时年轻的经济学家要关注线性规划。
今天，单纯形法及其理论已成为了线性规划的一个重要的部分。
2.线性规划模型的形式是什么目标函数和约束条件都是线性的。
3.线性规划模型的三要素是什么就是资源向量b，价值向量c，系数矩阵A（一般都假设A是满秩的）。
其中，资源向量b表示了稀缺资源的种类和限度；价值向量c反映了单位产品（广义）所创造的收益或形成的成本；而系数矩阵A是现有生产技术、生产工艺、管理水平的具体体现。
只要这三个要素确定了，相应的线性规划模型就确定了。
4.线性规划模型的经济意义何在简言之，线性规划模型对于解决经济学研究的核心问题——资源有效配置有比较重要的意义。
它不仅为宏观或微观的经济研究提供了一个有效的解决问题的平台，而且，（曾经）为经济学家提供了一个解决资源优化配置的新的思路。
不仅如此，线性规划在企业的运作管理、物流管理、财务管理、人力资源管理、战略管理等诸多方面也能为管理者提供科学的决策支持。
5.线性规划的标准形式是怎样的线性规划的标准形式有三个特点：a)约束条件都是等式；b)等式约束的右端项为非负的常数；c)每个变量都要求取非负数值。
下面是线性规划标准形式的一般表达，6.线性规划标准形的向量矩阵形式是怎样的线性规划的标准形式如用向量矩阵形式可简洁表述为：7.在将线性规划的一般形式转化为标准形式时，要注意哪几点要注意两点：一是某一约束条件为“≤”或“≥”形式的不等式时，应“+”一个非负松弛变量或“－”非负松弛变量；二是某个变量不满足非负约束时，这个变量要用一到两个非负的新变量替换，以使标准型中所有的变量均满足非负要求。
线性规划问题
线性规划问题一、线性规划问题的基本概念先看几个典型实例 例1 生产计划问题某工厂拥有a 、b 两种原材料生产A 、B 两种产品，现有设备使用限量为8台时，已知每件产品的利润、所需设备台时及原材料的消耗如下表所示：试问：在计划期内应如何安排计划才能使工厂获得的利润最大？解 设x 1、x 2分别表示在计划期内产品A 、B 的产量，则所用设备的有效台时必须满足x 1＋2x 2≤8同样，由原材料的限量，可以得到4x 1≤16，4x 2≤12因此，生产计划就是满足如下约束条件的一组变量x 1、x 2的值：x1＋2x 2≤8， 4x 1≤16，4x 2≤12， x 1≥0，x 2≥0显然，可行的生产计划有限多个，现在问题就是要在很多个可行计划中找一个利润最大的，即求一组变量x 1、x 2的值，使它满足约束条件，并使目标函数L=2x 1＋3x 2的值最大（即利润最大）例2 资金分配问题某商店拥有100万元资金，准备经营A 、B 、C 三种商品，其中A 商品有A 1、A 2两种型号，B 商品有B 1、B 2两种型号，每种商品的利润率如下表所示：在经营中有以下限制：(1)经营A 或B 的资金各自都不能超过总资金的50%； (2)经营C 的资金不能少于经营B 的资金的25%； (3)经营A 2的资金不能超过经营A 的总资金的60%； 试问应怎样安排资金的使用才能使利润最大？解 设经营A 1、A 2、B 1、B 2、C 的资金分别为x 1，x 2,x 3,x 4，x 5（万元），这一问题的数学模型为求一组变量x 1、x 2，…，x 5的值，使它满足 x 1＋x 2＋…＋x 5=100， x 1＋x 2≤50， x 3＋x 4≤50，025x 3＋0.25x 4－x 5≤0 0.6x 1－0.4x 2≥0，x j ≥0 （j=1，2， (5)并使目标函数L=0.073x 1＋0.103x 2＋0.064x 4＋0.075x 4＋0.045x 5的值最大(利润最大)上面我们建立了几个实际问题的数学模型，虽然实际问题各不相同，但是它们的数学模型却有相同的数学形式，这就是：表示约束条件的数学式子都是线性等式或线性不等式，表示问题最优化指标的目标函数都是线性函数，因为约束条件和目标函数都是线性的，所以把具有这种模型的问题称为线性规划问题。
简单的线性规划问题
8）时，直线与原点的距离最近，即z的最小值为12.
解法二：特值验证法
由解法一知，目标函数取得最小值的整点应分布在可行域的 左下侧靠近边界的整点，依次取满足条件的整点A0（0， 15），A1（1，13），A2（2，11），A3（3，9），A4（4， 8），A5（5，8），A6（6，7），A7（7，7），A8（8，7）， A9（9，6），A10（10，6），…，A27（27，0）.
由图可见，当直线z=2x+y经过可行域上的点A时，截距最 大，即z最大.
解方程组 x - 4y 3 0, 3x 5y 25 0
，得A的坐标为(5,2).
∴zmax=2×5+2=12.
当直线z=2x+y经过可行域上的点B时，截距最小，即z
最小.
解方程组
x x
- 4y 1
返回
【解析】设进T 恤x件，运动鞋y双，则有
x 50,y 30,x,y N, x y 40, 36x 48y 2 400,
其目标函数为z=18x+20y. 作出它的可行域如图所示， 由图可知： 当x=50且y=12.5时，z取得最大值1 150. 但x,y∈N*,
（3）由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而 迅速地找出最优解，此时可将可能的数逐一检验即可分 晓.
假如你要开一家卖T恤和运动鞋的小商店，由于店面和 资金有限，在你经营时会受到如下限制：①你最多能 进50件T恤；②你最多能进30双运动鞋；③你至少需要 T恤和运动鞋共40件才能维持经营；④已知进货价：T 恤每件36元，运动鞋每双48元.现在你有2 400元资金， 假设每件T恤的利润是18元，每双运动鞋的利润是20元， 问：如何进货可以使你获利最大？
单纯形法大M法求解线性规划问题
1
B=(P3P5
)=
0
0 1
，基变量
x 3，x 5
非基变量x1,x 2 , x 4 。
X
B
=
x3 x5
,X
N
=
x1 x2 x4
,B=
1 0
1
0 1
,N=
2 5 2
1 3
1
2 -1 2
,
CB =(3,1) CN =(5,2,-1)
,b=
4 3
➢ 若在化标准形式前，m个约束方程都是“≤”的形式， 那么在化标准形时只需在一个约束不等式左端都加上一个松弛变 量xn+i (i=12…m)。
➢ 若在化标准形式前，约束方程中有“≥”不等式， 那么在化标准形时除了在方程式左端减去剩余变量使不等式变 成等式以外，还必须在左端再加上一个非负新变量，称为 人工变量．
➢ 即使系数矩阵Ａ中找到了一个基B，也不能保证该基恰好是可行基。 因为不能保证基变量ＸB=Ｂ-1b≥0。
➢ 为了求得基本可行解
X=
B，01b必 须求基Ｂ的逆阵Ｂ-1。
但是求逆阵Ｂ-1也是一件麻烦的事。
结论：在线性规划标准化过程中设法得到一个m阶单位矩阵I作为初始
可行基Ｂ，
6
为了设法得到一个m阶单位矩阵I作为初始可行基Ｂ，可在性规 划标准化过程中作如下处理：
Ｎ=(Ｐm+1，Pm+2， …Pn)为非基变量xm+1，xm+2， …xn的
系数列向量构成的矩阵。
4
所以约束方程 AX=就b可以表示为
AX=(BN)
XB XN
=BXB
+NXN
=b
用可行基Ｂ的逆阵Ｂ-1左乘等式两端，再通过移项可推得：
互补松弛(紧)性详细证明
互补松弛性孙敏 枣庄学院考虑如下互为对偶的一组线性规划问题⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+==+=≤=≥+=≤+=≥=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+=≤=≥+=≥+=≤====nt j c yp t s j c yp s j c yp m q i y q p i y p i y n t j x t s j x s j x m q i b x a q p i b x a p i b x a ybW cx Z j j j j j j i i i j j j i i i i i i ,,1,,,1,,,1,,,1,0,,1,0,,1, s.t. ,,1,,,1,0,,1,0,,1,,,1,,,1, s.t.min max (DP) (LP) 无符号限制无符号限制对偶问题原问题其中[]n m n m R p p p a a a A ⨯∈=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 2121。
定理（互补松弛/紧性） 设1*⨯∈n Rx 与mRy ⨯∈1*分别是问题（LP ）与问题（DP ）的可行解，则它们分别是问题（LP ）与问题（DP ）的最优解的充要条件是，对一切m i ,,1 =和一切n j ,,1 =有⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=0)(0)(****j j j ji i i i c p y x v y x a b u 证明 首先由1*⨯∈n Rx 与mRy ⨯∈1*分别是问题（LP ）与问题（DP ）的可行解得对一切m i ,,1 =和一切n j ,,1 =有0,0≥≥j i v u 。
定义0,011≥=≥=∑∑==nj j mi i v v u u因此，0=u 当且仅当),,1(0m i u i ==，0=v 当且仅当),,1(0n j v j ==，也就是0=+v u 当且仅当),,1(0),,,1(0n j v m i u j i ====。
于是为了证明命题成立，只需要证明*x 与*y 分别是问题（LP ）与问题（DP ）的最优解的充要条件是0=+v u 。
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考虑如下线性规划问题：
Min z=60 x1+40 x2 +80 x3
s.t. 3 x1 +2 x2 + x3 2
4x1 +x2 +3x3 4
2x1 +2x2 +2x3 3
x1 , x2 , x3 0 要求：（1）写出其对偶问题；
（2）用对偶单纯形法求解原问题；
（3）用单纯形法求解其对偶问题；
（4）对比（2）与（3）中每步计算得到的结果。
解：（1）设对应于上述约束条件的对偶变量分别为y1,y2, y3 ；则由原问题和对偶问题，可以直接写出对偶问题为：
Max Z'=2 y1+4 y2+3 y3
s.t 3y1+4 y2+2 y3 60
2y1+y2+2 y3 40
y1 +3y2 +2 y3 80
y1,y2,y3 0
（2）用对偶单纯形法求解原问题（添加松弛变量x4 ,x5 , x6 ）MaxZ= -60 x1 -40x2-80x3 +0x4 +0x5 +0x6
s.t -3x1 -2x2- x3+ x4 =-2 -4x1-x2-3x3+x5=-4
-2 x1-2 x2-2 x3+x6=-3
X i, X2 , X3 0
建立此问题的初始单纯形表，可见:
从表中可以看到，检验数行对应的对偶问题的解是可行解。
因b列数字为负，故需进行迭代运算。
换出变量的确定，计算min (-2,-4, -3)=-4，故x为换出变量。
换入变量的确定，计算得15,40, 80/3,故x i为换入变量。
由表可知，X6为换出变量。
X2为换入变量。
然后继续画单纯形表:
X i, X2 , X3 0
可得X4为换出变量，X3为换入变量。
继续做单纯形表:
所以此问题的最优解为X= （11/10,19/30, 1/10）,此对偶问题的最优解为Y二（16,12,30），原问题的最小值为118/3.
（3）MaxZ '2 y1+4 y2 +3 y +0 y +0 * +0 y
S.t 3 y1+4 y2+2 y3+ y4=60
2 y1 + y2 +2 y
3 + y =40
y1 +3y2+2 出 + y6=80
y1, y2, y3, y4, y5, y6 0
然后建立单纯形表，可得
由此可知，y4为换出变量，y2为换入变量。
继续画单纯形表，
由此可知，y5为换出变量，y3为换入变量。
继续画单纯形表，
由此可得最后一行的检验数都已经为负或是零，这表示目标函数值已不可能再增大，于是得到最优解为
Y（0,20 /3,50/3, 0,0,80/3）
目标函数值为230/3
（4）比较第二问和第三问，主要是换出变量和换入变量的关系：
第（2）问里，X5为换出变量，X i为换入变量；X6为换出变量。
X2为换入变量；X4为换出变量，X3为换入变量！
第（3）问里，纸为换出变量，牡为换入变量；y为换出变量, 换入变量！。