人教课标版高中数学必修5《简单的线性规划问题》第一课时参考学案
人教新课标版数学高二B必修5学案 3.5.2 简单线性规划(一)
3.5.2 简单线性规划(一)明目标、知重点 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．1．线性规划中的基本概念名称 定义目标函数 要求最大值或最小值的函数，叫做目标函数 约束条件 目标函数中的变量所要满足的不等式组线性目标函数 如果目标函数是关于变量的一次函数，则称为线性目标函数 线性约束条件 如果目标函数是关于变量的一次不等式(或等式)，则称为线性约束条件 线性规划问题 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题最优解 使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解可行解 满足线性约束条件的解，叫做可行解 可行域 由所有可行解组成的集合叫做可行域线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是zb ，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值．在生产与营销活动中，我们常常需要考虑：怎样利用现有的资源(人力、物力、资金……)，取得最大的收益．或者，怎样以最少的资源投入去完成一项给定的任务．我们把这一类问题称为“最优化”问题．不等式的知识是解决“最优化”问题的得力工具．本节我们将借助二元一次不等式(组)的几何表示，学习“最优化”问题中的简单“线性规划”问题． 探究点一 线性规划中的基本概念问题 某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两种原料．生产甲产品1工时需要A 种原料3 kg ，B 种原料1 kg ；生产乙产品1工时需要A 种原料2 kg ，B 种原料2 kg ，现有A 种原料1 200 kg ，B 种原料800 kg.如果生产甲产品每工时的平均利润是30元，生产乙产品每工时的平均利润是40元，问甲、乙两种产品各生产多少工时能使利润的总额最大？最大利润是多少？思考1 “问题”中的数量关系比较复杂，为清晰起见，你能用表格表示出来吗？ 答 依题意可列表如下：产品原料A 数量(kg) 原料B 数量(kg) 利润(元)生产甲种产品1工时 3 1 30 生产乙种产品1工时2 2 40 限额数量1 200800思考2 表示问题中的限制条件？如何表示获得的利润总额？答 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤1 200x ＋2y ≤800x ≥0y ≥0.获得的利润总额为f ＝30x ＋40y .思考3 写出x ，y 满足的不等式组后，求利润的总额最大问题转化成了什么问题？ 答 转化成了在x ，y 满足不等式组的条件下，求f ＝30x ＋40y 的最大值．思考4 如下图，不等式组的解集对应着不等式组表示的平面区域的点集，在此前提下，求利润的总额最大问题又可转化成什么问题？答 转化成在不等式组表示的平面区域内找一点，把它的坐标代入式子30x ＋40y 时，使该式取得最大值．思考5 若把f ＝30x ＋40y 变形为y ＝－34x ＋f 40，这是斜率为定值－34，在y 轴上的截距为f 40的直线，在此背景下，如何求f 的最大值？答 如图(见思考4)，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，就能确定一条直线，因而确定出唯一截距f 40，而且当截距f40最大时，f 取得最大值．由图可以看出，当直线y＝－34x ＋f40经过点B 时，截距的值最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝1 200x ＋2y ＝800，得点B 的坐标为(200,300)，将x ＝200，y ＝300代入f ＝30x ＋40y ，得f max ＝30×200＋40×300＝18 000.答 用200工时生产甲种产品，用300工时生产乙种产品，能获得利润18 000元，此时利润总额最大．小结 (1)在上述问题中，我们把要求最大值或最小值的函数f ＝30x ＋40y 叫做目标函数，目标函数中的变量所要满足的不等式组称为约束条件．(2)如果目标函数是关于变量的一次函数，则称为线性目标函数，如果约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)，则称为线性约束条件．(3)在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题．使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解．(4)一般地，满足线性约束条件的解(x ，y )叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域． 探究点二 生活中的线性规划问题例1 下表给出甲、乙、丙三种食物中的维生素A ，B 的含量及单价：单位，维生素B 不少于4 800单位，而且要使付出的金额最低，这三种食物应各购买多少千克？解 设购买甲种食物x 千克，乙种食物y 千克，则购买丙种食物(10－x －y )千克，又设总支出为z 元，依题意得 z ＝7x ＋6y ＋5(10－x －y )， 化简得z ＝2x ＋y ＋50. x ，y 应满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧400x ＋600y ＋400(10－x －y )≥4 400800x ＋200y ＋400(10－x －y )≥4 800x ≥0，y ≥010－x －y ≥0，化简，得⎩⎨⎧y ≥22x －y ≥4x ＋y ≤10x ≥0.根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域，如图阴影部分所示．画直线l 0：2x ＋y ＝0，平行移动l 0到直线l 的位置，使l 过可行域的某点，并且可行域内的其他各点都在l 的不包含直线l 0的另外一侧，该点到直线l 0的距离最小，则这一点的坐标使目标函数取最小值，容易看出，点M 符合上述条件，点M 是直线y ＝2与直线2x －y ＝4的交点． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22x －y ＝4得点M (3,2)．因此，当x ＝3，y ＝2时，z 取得最小值 z min ＝2×3＋2＋50＝58， 此时，10－x －y ＝5.答 购买甲食物3千克，乙食物2千克，丙食物5千克时，付出的金额最低为58元． 反思与感悟 图解法是解决线性规划问题的有效方法．其关键在于平移目标函数对应的直线ax ＋by ＝0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取得最大值还是最小值． 跟踪训练1 已知1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，求2x －3y 的取值范围．解 作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3所表示的平面区域(如图)即为可行域．设z ＝2x －3y ，变形得y ＝23x －13z ，则得到斜率为23，且随z 变化的一族平行直线．－13z 是直线在y 轴上的截距，当直线截距最大时，z 的值最小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标函数z ＝2x －3y 取得最小值．由图可见，当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点A 时，截距最大，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1x ＋y ＝5得A 的坐标为(2,3)，∴z min ＝2x －3y ＝2×2－3×3＝－5.当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点B 时，截距最小，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3x ＋y ＝1得B 的坐标为(2，－1)．∴z max ＝2x －3y ＝2×2－3×(－1)＝7.∴－5≤2x －3y ≤7，即2x －3y 的取值范围是．例2 某货运公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，一个大集装箱能够装所托运货物的总体积不能超过24 m 3，总质量不能低于650千克．甲、乙两种货物每袋的体积，质量和可获得的利润，列表如下：货物 每袋体积(单位：m 3)每袋质量(单位：百千克)每袋利润(单位：百元)甲 5 1 20 乙42.510解 设托运甲种货物x 袋，乙种货物y 袋，获得利润z 百元，则z ＝20x ＋10y .依题意，可得关于x ，y 的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤242x ＋5y ≥13x ≥0，y ≥0根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域，如图阴影部分所示．画直线l 0：20x ＋10y ＝0.即2x ＋y ＝0，平行移动l 0到直线l 的位置，使l 过可行域的某点，并且可行域内的其他各点都在l 的包含直线l 0的同一侧，该点到直线l 0的距离最大，则这一点的坐标使目标函数取最大值，容易看出，图中的点M 符合上述条件．点M 是直线2x ＋5y ＝13与直线5x ＋4y ＝24的交点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝242x ＋5y ＝13，得点M (4,1)．因此当x ＝4，y ＝1时，z 取得最大值．此时， z max ＝20×4＋10×1＝90.答 在一个大集装箱内装甲种货物4袋，乙种货物1袋，可获得最大利润9 000元. 反思与感悟 用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)作出可行域；(3)平移目标函数对应的直线确定最优解；(4)求出最优解的坐标及目标函数的最值．跟踪训练2 A 、B 两个居民小区的居委会组织本小区的中学生，利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动，两个小区都有同学参加．已知A 区的每位同学往返车费是3元，每人可为5位老人服务；B 区的每位同学往返车费是5元，每人可为3位老人服务．如果要求B 区参与活动的同学比A 区的同学多，且去敬老院的往返总车费不超过37元．怎样安排参与活动同学的人数，才能使受到服务的老人最多？受到服务的老人最多是多少人？解 设A 、B 两区参与活动的人数分别为x ，y ，受到服务的老人人数为z ，则z ＝5x ＋3y ，应满足的约束条件是⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≥13x ＋5y ≤37x ≥1x ，y ∈Z ，化简得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤03x ＋5y ≤37x ≥1x ，y ∈Z.根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域，如图阴影部分所示． 画直线l 0：5x ＋3y ＝0，平行移动l 0到直线l 的位置，使l 过可行域中的某点．容易看出，点M 符合上述条件，点M 是直线x －y ＋1＝0与直线3x ＋5y ＝37的交点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－13x ＋5y ＝37， 得点M (4,5)．因此，当x ＝4，y ＝5时，z 取得最大值，并且z max ＝5×4＋3×5＝35.答 A 、B 两区参与活动同学的人数分别为4、5时，受到服务的老人最多，最多为35人．1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A ．－52B ．0 C.53 D.52答案 C解析 画出可行域如图．设z ＝x ＋2y ，平行移动直线y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋z 2过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，z 取最大值53， 所以(x ＋2y )max ＝53.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．23答案 B解析 作出可行域如图所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7. 3．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－1 D ．1 答案 A解析 －1a ＝2－14－1＝13，∴a ＝－3.4．已知实数x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2，则z ＝2x ＋4y 的最大值为________．答案 8解析 如图，由不等式组表示的可行域知，目标函数z 在点A (0,2)处取得最大值8.1．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： (1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l ；(3)平移——将直线l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． 2．一般地，对目标函数z ＝ax ＋by ，若b >0，则纵截距与z 同号，因此，纵截距最大时，z 也最大；若b <0，则纵截距与z 异号，因此，纵截距最大时，z 反而最小．3．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．一、基础过关1．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．2 答案 A解析 如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点A (－2,2)时，z 取得最小值，此时z min ＝2×(－2)－2＝－6. 2．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A ．9 B.157 C ．1 D.715答案 A解析 画出可行域如图：当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2 答案 A解析 可行域如图阴影部分(含边界)令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知，当直线l 过D 点时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0得D (5,3)． ∴z min ＝3－2×5＝－7，故选A.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( ) A ．3，－11 B ．－3，－11 C ．11，－3 D ．11,3答案 A解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3,5)，B (5,3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－11.5．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)． 答案解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤42≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值，z min ＝2×3－3×1＝3； 当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值，z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈．6．已知x ，y 满足条件：⎩⎪⎨⎪⎧ 7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.求z ＝4x －3y 的最大值和最小值． 解 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 7x －5y －23≤0x ＋7y －11≤04x ＋y ＋10≥0所表示的可行域如图所示：其中A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)，作一族与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y －z ＝0， 当l 过点C 时，z 值最小；当l 过B 点时，z 值最大，∴z min ＝4×(－3)－3×2＝－18，z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14.7．在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下，求z ＝2x －y 的最大值和最小值．解 如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)，x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一组与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z .即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点B 时，－z 取最小值，此时z 最大，即z max ＝2×9－1＝17；当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7.∴z max ＝17，z min ＝－7.二、能力提升8．已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2答案 B解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点B 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12，故选B. 9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧ 0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( ) A ．3 B ．4 C ．3 2 D ．42答案 B解析 由线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.10．某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造1 t 甲产品要用煤9 t ，电力4 kW ，劳动力(按工作日计算)3个；制造1 t 乙产品要用煤4 t ，电力5 kW ，劳动力10个．又知制成甲产品1 t 可获利7万元，制成乙产品1 t 可获利12万元．现在此工厂只有煤360 t ，电力200 kW ，劳动力300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少吨能获得最大经济效益？解 设此工厂应分别生产甲、乙产品x t 、y t ，利润z 万元，则依题意可得约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧ 9x ＋4y ≤360，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0，利润目标函数为：z ＝7x ＋12y . 画出可行域如图所示．作直线l ：7x ＋12y ＝0，把直线l 向右上方平移至l 1位置，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z ＝7x ＋12y 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y ＝300，4x ＋5y ＝200，得M 点坐标为(20,24)． ∴生产甲种产品20 t ，乙种产品24 t ，才能使此工厂获得最大利润.11．某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大．最大收益是多少万元？ 解 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y .作出可行域如图所示：作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，由图可知当l 过点M 时，目标函数z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900.得M (100,200)． ∴z max ＝3 000×100＋2 000×200＝700 000(元)．答 该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．三、探究与拓展12．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，求|PQ |的最小值．解 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0所表示的平面区域，x 2＋(y ＋2)2＝1所表示的曲线为以(0，－2)为圆心，1为半径的一个圆．如图所示，只有当点P 在点A ⎝⎛⎭⎫0，12，点Q 在点B (0，－1)时，|PQ |取最小值32.。
人教版高中数学必修五 教案精选：3.3.2 简单的线性规划问题4
3.3.2简单的线性规划问题(第1课时)高一数学邓春茹20140604【教学过程】一、导入新课［帮帮团支书］：执信中学学生团委要用A、B两种材料制作甲、乙两种义卖品，每制作1千克甲使用4千克A材料并耗时1h，每制作1千克乙使用4千克B材料并耗时2h，现在最多只有16千克A材料和12千克B材料，按每天工作8h计算，一天所有可能的制作该怎么表示？［进一步思考］: 若制作1千克甲获筹款2百元，1千克乙筹款3百元，采用哪种安排获得义卖款最多？二．学生自主探讨，老师点拨方法任务一：[带着问题，学生分组研究讨论解决方法]三、归纳提升，引出线性规划的概念1.对于关于两个变量x ,y 的不等关系表示成的不等式（组），称为（ ），如果约束条件中都是关于x ,y 的一次不等式，称为（ ）2.在线性约束条件下，欲达到最大值或最小值所涉及的关于变量x ,y 的函数解析式z =f (x ,y )称为（ ），当f (x ,y )是关于x ,y 的一次解析式时，z =f (x ,y )称为（ ）3.在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为（ ），满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做（ ），由所有可行解组成的集合叫做（ ），使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的（ ）。
[来.4. 解线性规划问题的步骤：四、任务二：[变式深化，学生再分组研究讨论]变式问题：变量x ，y 满足同上的条件: ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≤+.0,0,124,164,82y x y x y x 时，讨论以下问题：（1） z= 2x -3y 有最值吗？若有,求出z 最值，并求出相应的x ，y .（2） z= x +2y 有最值吗？若有,求出z 最值，并求出相应的x ，y .（3）z ＝ax ＋y ，(其中a >0) ，仅在点(4,2)处取得最大值，a 的范围是什么？五、非线性目标函数的类型思考：若变量x ，y 满足以上条件，目标函数z =21+-x y ；22)1(y x z ++=的范围分别是什么？【谈谈收获】【课后作业】成才后P39 #9 P40 #7，8。
人教课标版高中数学必修五《简单的线性规划(第1课时)》教案(1)-新版
3.3.2 简单的线性规划问题(第1课时)【核心素养】通过学习简单的线性规划问题，提升学生的数学抽象、数学建模与数据处理的能力．【学习目标】理解什么是线性规划，并能够解决一些简单的线性规划问题．【学习重点】简单的二元线性规划问题．【学习难点】准确而快速的画出线性规划可行域，并进行最优解的求解．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务 1 阅读教材P1－P4，思考：线性规划是如何形成的？它的主要功能是什么?利用线性规划解决一些简单问题.2．预习自测1．不等式组36020.x yx y≥⎧⎨<⎩－＋，－＋表示的平面区域是()【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：B2．不等式组210.y xy xy≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩－＋，－，所表示的平面区域的面积为( )A.1B.12C.13D.14【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：D3．若满足条件20x yx yy a-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的整点(,)x y恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为（）A．3-B．2-C．1-D．0【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】解：C（二）课堂设计1．知识回顾在平面直角坐标系中，直线:0l Ax By C++=将平面分成两部分，平面内的点分为三类：（1）直线上的点（x，y）的坐标满足：0=++CByAx；（2）直线一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：0>++CByAx；（3）直线另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：0Ax By C++<.即二元一次不等式0Ax By C++>或0Ax By C++<在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C++=的某一侧所有点组成的平面区域，直线0Ax By C++=叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）.由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2．问题探究问题探究一线性规划的含义观察与思考：某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？想一想：怎样将题目条件转化为我们熟悉的不等式组？⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≤+.0,0,124,164,82y x y x y x想一想：在前一节二元一次不等式（组）与平面区域的学习中，如何将上述不等式组表示成平面区域？探究：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？想一想：设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得利润为z ，则如何表示它们的关系？错误！未找到引用源。
高中数学必修五《简单的线性规划问题》优秀教学设计
§3.3.2 简单的线性规划问题（第一课时）【学习目标】1. 复习掌握二元一次不等式（组）表示的平面区域；2. 了解线性规划的意义以及线性的约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解的概念；3. 了解线性规划问题的图解法，掌握图解法求线性目标函数的最大值、最小值。
【重点和难点】重点、难点：掌握图解法求线性目标函数的最大值、最小值。
【课堂教学】（一）复习：二元一次不等式（组）与平面区域1. 满足二元一次不等式（组）的解()y x ,可以看成直角坐标平面内点的坐标。
于是，二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合。
2. 平面区域：二元一次不等式表示平面区域的判定方法是：以线定界（包括边界，画实线；不包括边界，画虚线），以点定域（以0>++C By Ax 为例）：（1）画边界：即画出直线0=++C By Ax 。
（2）定区域：在直线0=++C By Ax 的一侧取一个特殊点()00,y x 作为测试点代入式子C By Ax ++，由C By Ax ++00的符号判定0>++C By Ax 表示的是直线0=++C By Ax 哪一侧的平面区域，当0≠C ，常选取()0,0作为测试点；当0=C ，常选取()0,1或()1,0作为测试点。
（3）求交集（公共部分）：二元一次不等式组表示的平面区域是各不等式表示的平面区域的公共部分。
【温故而知新】1. 在平面直角坐标系中，若点()t A ,2-在直线042=+-y x 的上方，则t 的取值范围是___________。
2. 点()2,1与点()4,3-在直线0=++a y x 的两侧，则实数a 的取值范围是____________。
3. 画出不等式（组）⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域，并求其面积。
（二）简单的线性规划问题1. 线性规划问题中的基本概念：线性约束条件、目标函数、线性目标函数、可行解、可行域、最优解。
高中数学 3.3.3 简单的线性规划问题(第1课时)教案 必修5
3．3.3 简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；(2)了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念，会根据条件建立线性目标函数；(3)了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值；(4)培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想．2.过程与方法(1)本节课是以二元一次不等式(组)表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决；(2)考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性，同时，借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性．3．情感、态度与价值观(1)结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新；(2)渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识，激发学生的学习兴趣.●重点、难点重点：线性规划问题的图解法，寻求线性规划问题的最优解．难点：利用图解法求最优解．为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法，将实际问题数学化，代数问题几何化．解决难点的方法是精确作图，利用数形结合的思想将代数问题几何化．(教师用书独具)●教学建议从内容上看，简单的线性规划问题是在学习了不等式、直线方程的基础上展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解．它是用数学知识解决实际问题，属于数学建模，是初等数学中较抽象的，对学生要求较高，又是必须予以掌握的内容．考虑到学生的认知水平和理解能力，建议教师可以通过激励学生探究入手，讲练结合，培养学生对本节内容的学习兴趣，培养学生数形结合的意识，让学生体味数学的工具性作用．另外，教师还可借助计算机直观演示利用图解法求最优解的过程，增强教学的趣味性和生动性．●教学流程创设问题情境，引导学生了解线性约束条件、线性目标函数、可行域、线性规划问题等概念.⇒结合教材让学生掌握线性规划问题的图解法.⇒通过例1及其变式训练使学生巩固掌握利用图解法求最优解的步骤.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握利用线性规划研究字母参数的方法.⇒通过例3及其变式训练使学生掌握求非线性目标函数的最值的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双达达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.(对应学生用书第56页)课标解读1.了解目标函数、约束条件、可行域、最优解等基本概念．2.掌握线性规划问题的求解过程，特别是确定最优解的方法．(重点、难点)可行域约束条件所表示的平面区域，称为可行域.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题，上述只含两个变量的简单线性规划问题可用图解法解决.(对应学生用书第56页)线性规划问题设z ＝3x ＋5y ，式中变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥3，7x ＋10y ≥17，x ≥0，y ≥0.求z的最小值．【思路探究】【自主解答】 画出约束条件表示的点(x ，y )的可行域， 如图所示的阴影部分(包括边界直线)．把z ＝3x ＋5y 变形为y ＝－35x ＋z 5，得到斜率为－35，在y 轴上的截距为z5，随z 变化的一族平行直线．作直线l ：3x ＋5y ＝0，把直线向右上方平行移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时l 1：3x ＋5y －z ＝0的纵截距最小，同时z ＝3x ＋5y 取最小值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，7x ＋10y ＝17，得M (1,1)．故当x ＝1，y ＝1时，z min ＝8.1．由本例可以看出，解线性规划问题时，一定要注意最优解的对应点是最大值点，还是最小值点．对于目标函数z ＝ax ＋by ，当b >0时，直线截距最大时，z 有最大值，截距最小时，z 有最小值；当b <0时，则相反．2．图解法是解决线性规划问题的有效方法，其关键是利用z 的几何意义求解．平移直线ax ＋by ＝0时，看它经过哪个点(哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，最优解一般是在可行域的边界取得．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为多少．【解】 作可行域如图所示，解⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＋y －8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，∴A (3,5)．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8＝0，x －5y ＋10＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，∴B (5,3)．平移直线3x －4y ＝z 可知，直线过A 点时，z 取最小值，过B 点时，z 取最大值． ∴z min ＝3×3－4×5＝－11，z max ＝3×5－4×3＝3.利用线性规划求字母参数的值(或范围)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x ≥1，设z ＝ax ＋y (a ＞0)，若当z 取最大值时，对应的点有无数多个，求a 的值．【思路探究】【自主解答】 作出可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝25，x －4y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，∴点A 的坐标为(5,2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.4，∴点C 的坐标为C (1,4.4)．当直线z ＝ax ＋y (a ＞0)平行于直线AC ，且直线经过线段AC 上任意一点时，z 均取得最大值，此时有无数多点使z 取得最大值，而k AC ＝－35，∴－a ＝－35，即a ＝35.1．本题中，z 取最值时对应的点有无数多个，故这无数多个对应点构成平面区域的一段边界．2．解线性规划问题时一般要结合图形(平面区域)及目标函数的几何意义解题．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是________．【解析】 作出可行域，让目标函数所表示的直线过定点，观察斜率的范围，构建不等式求参数范围．如图所示，约束条件所表示的平面区域为三角形，目标函数z ＝ax ＋2y ，即y ＝－a 2x ＋z 2仅在点(1,0)处取得最小值，故其斜率应满足－1＜－a 2＜2，即－4＜a ＜2.故填(－4,2)．【答案】 (－4,2)求非线性目标函数的最值已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值和最小值； (2)求z ＝yx ＋5的最大值和最小值． 【思路探究】【自主解答】 画出不等式组所表示的平面区域，如图所示．(1)∵u ＝x 2＋y 2，∴u 为点(x ，y )到原点(0,0)的距离，结合不等式组所表示的平面区域可知，点B 到原点的距离最大，而当(x ，y )在原点时，距离为0.由⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23＝0，4x ＋y ＋10＝0得点B 的坐标为(－1，－6)，∴(x 2＋y 2)max ＝(－1)2＋(－6)2＝37，(x 2＋y 2)min ＝0. (2)z ＝yx ＋5＝y －0x －－5，所以求z 的最大值和最小值，即是求可行域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线斜率的最大值和最小值．设点M 的坐标为(－5,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0得点C 的坐标为(－3,2)，由(1)知点B 的坐标为(－1，－6)，∴k max ＝k MC ＝2－0－3－－5＝1，k min ＝k MB ＝－6－0－1－－5＝－32，∴yx ＋5的最大值是1，最小值是－32. 1．本题中，(1)x 2＋y 2是平面区域内的点(x ，y )到原点的距离的平方；(2)y x ＋5＝y －0x －－5可看成平面区域内的点(x ，y )与点(－5,0)连线的斜率．2．解决此类问题，应先准确作出线性约束条件表示的平面区域，然后弄清非线性目标函数的几何意义．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0.(1)求z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值； (2)求z ＝|x ＋2y －4|的最大值． 【解】 (1)作出可行域，如图所示， ∵z ＝(x ＋12＋y －12)2，∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到点M (－1,1)的距离的平方． 由图可知z min 等于原点到直线x ＋y －4＝0的距离的平方， ∴z min ＝(|－4|2)2＝8.(2)∵z ＝|x ＋2y －4|＝5·|x ＋2y －4|5， ∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍． 由图可知点C 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点C (7,9)，∴z max ＝|7＋2×9－4|5×5＝21.(对应学生用书第58页) 直线的倾斜程度判断不准致误已知⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ≤44，7x ＋5y ≤35，6x ＋7y ≤42，x ≥0，y ≥0，求z ＝x ＋y 的最大值．【错解】 作出可行域，如图所示．作出直线l 0：x ＋y ＝0，将它移至点B ，则点B 的坐标是可行域中的最优解，它使z 达到最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ＝44，7x ＋5y ＝35，得点B 的坐标为(8027，7727)．所以z max ＝8027＋7727＝15727.【错因分析】 将直线l 0向上移动时，最后离开可行域的点不是点B 而是点A ，这是由于直线倾斜程度不准确引起的，由于三条边界直线的斜率依次是－67，－75，－114，而目标函数z ＝x ＋y 的斜率为－1，它夹在－67与－75之间，故经过点B 时，直线x ＋y ＝z 必在点A 的下方，即点B 不是向上平移直线时最后离开可行域的点，而是点A .【防范措施】 解决线性规划问题时，可行域一定要准确，关键点的位置不能画错，若数据比较大，不易画图，也可用斜率分析法确定关键点或取得最值点．【正解】 作出二元一次不等式组所表示的平面区域如上图．作出直线l ′0：x ＋y ＝0，将它向上平移，当它经过点A 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y ＝35，6x ＋7y ＝42，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3519，y ＝8419，故z max ＝3519＋8419＝119191．基础知识： (1)可行域； (2)线性规划． 2．基本技能： (1)解线性规划问题；(2)利用线性规划求字母参数的值(或范围)； (3)求非线性目标函数的最值． 3．思想方法： (1)数形结合思想； (2)函数思想； (3)转化思想．(对应学生用书第58页)1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．【解析】 画出不等式组表示的平面区域，由图可知目标函数在点(3，－3)处取得最小值－3.【答案】 －3图3－3－72．给出平面区域(包含边界)如图3－3－7所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)取得最大值的最优解有无数多个，则a 的值为________．【解析】 由题意知－a ＝k AC ＝－35，∴a ＝35.【答案】 353．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＜0，x ＞1，x ＋y －7＜0，则yx的取值范围是________．【解析】 目标函数y x 是可行域上的动点(x ，y )与原点连线的斜率，最小值是k OC ＝95，最大值是k AO ＝6，又可行域边界取不到，∴95＜yx＜6.【答案】 (95，6)4．已知x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，求z ＝4x －3y 的最值．【解】 原不等式组表示的平面区域如图所示： 其中A (4,1)、B (－1，－6)、C (－3,2)． 作与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝t ， 即y ＝43x －t3，则当l 过C 点时，t 最小； 当l 过B 点时，t 最大．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14，z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.(对应学生用书第97页)一、填空题1．(2013·微山高二检测)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥－2，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋y 变形为y ＝－3x ＋z 得到斜率为－3，在y 轴截距为z 的一族平行直线，由图当直线l ：y ＝－3x ＋z 过可行域内一点M 时，在y 轴截距最大，z 也最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2，即M (3，－2)．∴当x ＝3，y ＝－2时，z max ＝3×3＋(－2)＝7. 【答案】 72．(2013·苏州高二检测)变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，2x ＋9y ≥36，2x ＋3y ≥24，x ≥0，y ≥0，则使得z ＝3x ＋2y 的值最小的(x ，y )是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，作与直线l 0：y ＝－32x 平行的直线l ，显然当l 经过可行域内点M 时在y 轴上截距最小，z 也最小．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝12，2x ＋3y ＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，即M (3,6)时，z ＝3x ＋2y 的值最小． 【答案】 (3,6)3．设z ＝2y －2x ＋4，式中的x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，则z 的取值范围是________．【解析】 作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1的可行域(如图所示)，作直线2y －2x ＝0，并将其平移，由图象可知当直线经过点A (0,2)时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8； 当直线经过点B (1,1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.所以z 的取值范围是[4,8]． 【答案】 [4,8]4．(2013·连云港检测)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx的最大值是________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示： 又y x ＝y －0x －0表示过平面区域内一点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，由图知(x ，y )在平面区域内A 点处时直线斜率最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32，∴A (1，32)，∴y x 的最大值为32.【答案】 325．(2013·无锡检测)二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，y ＜0，x ＋y ＋4＞0表示的平面区域内，使得x ＋2y 取得最小值的整点坐标为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示： ∵平面区域不包括边界，∴平面区域内的整点共有(－1，－1)，(－1，－2)，(－2，－1)三个． 代入检验知，整点为(－1，－2)时x ＋2y 取得最小值． 【答案】 (－1，－2)6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，且u ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8，则u 的最小值为________．【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示，由已知得(x －2)2＋(y －2)2＝(u )2，则(u )min ＝|2＋2－1|1＋1＝32，u min ＝92.【答案】 927．已知变量x ，y 满足约束条件1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为________．【解析】 由题设知可行域为如图所示的矩形，要使目标函数z ＝ax ＋y 在点(3,1)处取得最大值，结合图形可知a ＞1.【答案】 (1，＋∞)8．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．【解析】 首先作出不等式组表示的平面区域和曲线x 2＋(y ＋2)2＝1，如图所示，从而可知点P 到Q 的距离最小值是可行域上的点到(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ |min ＝12＋－22－1＝5－1。
人教新课标版数学高一-数学必修5导学案 简单的线性规划问题(一)
3.3.2 简单的线性规划问题(一)学习目标了解线性规划的意义；会求简单的线性目标函数的最值及一些简单的非线性函数的最值． 预习篇1．二元一次不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的 不等式，所以又称为线性约束条件．2．z ＝ax ＋by (a 、b 是实常数)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫做 函数．由于z ＝ax ＋by 又是x 、y 的一次解析式，所以又叫做 目标函数．3．求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．满足线性约束条件的解(x ，y)叫做 ，由所有可行解组成的集合叫做 .分别使目标函数z ＝ax ＋by 取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解．课堂篇探究点一 线性目标函数的最值问题问题 若x≥0，y≥0，且x ＋y≤1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最大值是________．探究点二 非线性目标函数的最值问题问题 一些非线性目标函数的最值可以赋予几何意义，利用数形结合的思想加以解决，例如： ①z ＝x 2＋y 2表示可行域中的点(x ，y) _______；②z ＝(x －a)2＋(y －b)2表示可行域中的点(x ，y) _____________；③z ＝y －b x －a表示可行域内的点(x ，y) _______； ④z ＝ay ＋b cx ＋d (ac≠0)，可以先变形为z ＝a c ·y －⎝⎛⎭⎫－b a x －⎝⎛⎭⎫－d c ，可知z 表示可行域内的点(x ，y) ； ⑤z ＝|ax ＋by ＋c| (a 2＋b 2≠0)，可以化为z ＝a 2＋b 2·|ax ＋by ＋c|a 2＋b2的形式，可知z 表示可行域内的点(x ，y)__________________________________．典型例题例1 已知1≤x ＋y≤5，－1≤x －y≤3，求2x －3y 的取值范围．跟踪训练1 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y≥3，x －y≥－1，2x －y≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．23例2 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，(1)试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值； (2)试求z ＝x 2＋y 2的最大值和最小值． 跟踪训练2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，求下列函数z 的最值：(1)z ＝y ＋1x ＋2； (2)z ＝|x ＋2y －4|.巩固篇1．已知实数x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0，y≥0，x ＋y≤2，则z ＝2x ＋4y 的最大值为________． 2．若x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y≥6，x≤4，y≤4，则z ＝y －1x －1的最大值是________． 3．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ y≤1，x≤1，x ＋y≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．。
高中数学新人教A版必修5学案 3.3.2 简单的线性规划问题(第1课时)
3.3.2 简单的线性规划问题(第1课时)学习目标1.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.2.了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念.3.了解线性规划的图解法,并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值.合作学习一、设计问题,创设情境问题情境:在现实生产、生活中,经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.例如,某工厂用A,B两种配件生产甲、乙两种产品,两种产品所需配件、耗时、利润如下表:产品所需配件及数量耗时(小时/件)利润(万元/件)甲产品A配件4个 1 2乙产品B配件4个 2 3该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,怎样安排生产才能使利润最大?问题1:利润由哪些量来决定?有哪些数量关系?根据这些数量关系,可以设出几个未知数?请你用这些未知数,表达出问题中的数量关系.问题2:有了上面的分析过程,这个实际问题可以转化为怎样的数学问题?问题3:我们前面碰到过求最值的问题吗?一般方法有哪些?这个问题能转化为前面所学的函数问题吗?那么,怎样获取符合条件的x,y的值呢?二、信息交流,揭示规律问题4:若把不等式组改变为求z=2x+3y的最大值,这种方法还可以用吗?那样如何求解呢?问题5:大家在刚才的代入法求解中,有没有发现点A(0,3),B(3,1)使得z=2x+3y都为9,也就是使2x+3y=9成立,你能用所学的知识解释这一现象吗?那么在平面区域内还有这样的点吗?点(4,1)会对应着类似的直线吗?问题6:如何从几何角度认识z=2x+3y?它对应的图形是什么?有什么条件约束这组平行直线?那么,怎样求z的最大值呢?请大家自己探究一下.三、运用规律,解决问题【例题】设z=2x+y,式中变量x,y满足条件求z的最大值和最小值.问题7:请大家反思一下,解答线性规划问题的一般步骤是什么.四、变式训练,深化提高变式训练1:设z=6x+10y,式中x,y满足条件求z的最大值和最小值.变式训练2:请大家在上面的线性约束条件下,探究目标函数z=x-3y的最大值和最小值分别对应可行域中的哪个点?问题8:目标函数z=ax+by中,z与纵截距的关系主要由哪个字母决定?问题9:刚才有的同学得出目标函数z=x-3y的最大值和最小值分别对应可行域中的点C和点B,这是什么原因造成的呢?五、反思小结,观点提炼问题10:目标函数z=ax+by中有几个自变量?我们这节课学习的线性规划问题,体现了什么数学思想?那么我们在四个步骤中应该注意什么问题?参考答案一、设计问题,创设情境问题情境:问题1:生产的甲、乙产品的数量.等量关系:使用的A配件数量=甲产品数量×4;使用的B配件数量=乙产品数量×4;利润=2×甲产品数量+3×乙产品数量.不等关系:生产甲产品总耗时+生产乙产品总耗时≤8;使用的A配件数量≤16;使用的B配件数量≤12;甲、乙产品的数量都是自然数.甲产品数量x、乙产品数量y、利润z.即问题2:已知实数x,y满足求z=2x+3y的最大值.问题3:碰到过;用函数求最值、几何法求最值;不能,因为没有关于x,y的等式,不能消元;可以画出不等式组表示的平面区域,然后从中把符合条件的有限个点的坐标求出,代入z=2x+3y,通过比较求得最大值.二、信息交流,揭示规律学生探究1:画出不等式组表示的平面区域,如图中的阴影部分所示.可以求得平面区域内满足x,y∈N的点有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3 ,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2).将坐标代入,比较知道,当x=4,y=2时,z最大为14.问题4:不能,点有无数个,不可能一一验证.问题5:2x+3y=9表示一条直线,而点A(0,3),B(3,1)都在直线2x+3y=9上,所以都能使得2x+3y=9成立;有,如图所示的平面区域内位于线段AC上的所有的点,都使2x+3y=9,即z的值等于9;对应着直线2x+3y=11.问题6:当z变化时,它表示一族平行直线.将z=2x+3y化为斜截式为y=-x+,所以直线的斜率确定;而且这组直线必须和平面区域有公共点.因为当纵截距最大时,z就最大.所以,只需作出平行直线后,找到与y轴的交点最靠上的那条直线所经过的一个点就可以求z的最大值了.学生动手操作后,得出结论:当直线平移经过点P时,位置最靠上,也就是纵截距最大,从而z最大.把点P(4,2)代入z=2x+3y后,得到z max=14.三、运用规律,解决问题【例题】解:由题意,变量x,y所满足的每个不等式都表示一个平面区域,不等式组则表示这些平面区域的公共区域.由图知,原点(0,0)不在公共区域内,当x=0,y=0时,z=2x+y=0,即点(0,0)在直线l0:2x+y=0上,作一组平行于l0的直线l:2x+y=t,t∈R,可知:当l在l0的右上方时,直线l上的点(x,y)满足2x+y>0,即t>0,而且,直线l往右平移时,t随之增大.由图象可知,当直线l经过点A(5,2)时,对应的t最大,当直线l经过点B(1,1)时,对应的t最小,所以,z max=2×5+2=12,z min=2×1+1=3.问题7:一画(可行域);二移(直线);三求(最优解);四答(最大值).四、变式训练,深化提高变式训练1:解:由引例可知:直线l0与AC所在直线平行,则由引例的解题过程知,当l与AC所在直线3x+5y-25=0重合时z最大,此时满足条件的最优解有无数多个,当l经过点B(1,1)时,对应z最小,将AC所在直线上任意一点,如A(5,2),代入z=6x+10y,得z max=6×5+2×10=50,z min=6×1+10×1=16.变式训练2:分别对应可行域中的点C和点A.问题8: b的符号,当b>0时,直线l在最上(下)面时z最大(小);当b<0时,直线l在最上(下)面时z最小(大).问题9:目标函数对应直线的斜率比可行域中直线x-4y+4=0的斜率大,但是在平移直线时,所作直线没有与直线x-4y=0保持平行而是发生偏斜,使平行后所得到的直线斜率小于.五、反思小结,观点提炼问题10:两个;数形结合;一画要准;二移直线斜率要相对准确;三求最优解位置要准确.。
人教版高中数学必修五学案 3.3.2 简单的线性规划问题
3.3.2 简单的线性规划问题学习目标 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念(重点)；2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题(重、难点).知识点1线性规划中的基本概念名称意义约束条件关于变量x，y的一次不等式(组) 线性约束条件关于x，y的一次不等式(组)目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式线性目标函数关于变量x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题【预习评价】1.线性约束条件的特征是什么？提示一是关于变量x，y的不等式；二是次数为1.2.可行解、可行域和最优解之间是什么关系？提示可行解是满足约束条件的解(x，y)；可行域是由所有可行解组成的集合；最优解是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.知识点2线性规划问题1.目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－ab x＋zb，在y轴上的截距是zb，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线.当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值.2.解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域.(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解.(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值.(4)答：写出答案.【预习评价】1.最优解一般会在可行域的哪些地方取到？提示若目标函数存在一个最优解，则最优解通常在可行域的顶点处取得；若目标函数存在多个最优解，则最优解一般在可行域的边界上取得.2.在线性目标函数z＝x－y中，目标函数z的最大、最小值与截距的对应关系又是怎样的？提示z的最大值对应截距的最小值，z的最小值对应截距的最大值.方向1 求线性目标函数的最值问题【例1－1】 设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( ) A.－15 B.－9 C.1D.9解析 作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点B (－6，－3)处取得最小值z min ＝－12－3＝－15.故选A.答案 A方向2 非线性目标函数的最值【例1－2】 (1)变量x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x ＞－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( ) A.322 B. 5 C.5D.92(2)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2≥0，x ＋y ≤6，2x －y ≤6，则目标函数z ＝4y ＋4x ＋2的最大值为()A.6B.5C.2D.－1解析 (1)作出不等式组对应的平面区域，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方，由图象知CD 的距离最小，此时z 最小. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)， 此时z ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5， 故选C.(2)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋y ≤6，2x －y ≤6表示的可行域如图：目标函数z ＝4y ＋4x ＋2＝4×y ＋1x ＋2，目标函数的几何意义是可行域的点与(－2，－1)连线斜率的4倍，由题意可知：DA 的斜率最大. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝6，可得A (2，4)， 则目标函数z ＝4y ＋4x ＋2的最大值为：4×4＋42×2＝5.故选B.答案 (1)C (2)B方向3 由目标函数的最值求参数的值【例1－3】已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( ) A.3 B.4 C.5D.7解析 作出不等式组对应的平面区域如图： 由目标函数为z ＝x －y ，得y ＝x －z ，当z ＝－1时，函数为y ＝x ＋1，此时对应的平面区域在直线y ＝x ＋1的下方，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝2x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即A (2，3)，同时A 也在直线x ＋y ＝m 上，即m ＝2＋3＝5，故选C.答案 C规律方法 1.给定约束条件的情况下，求目标函数的最优解主要用图解法，其主要思路为：(1)根据约束条件作出可行域；(2)将目标函数看作经过可行域内点的直线，并将目标函数值与该直线在y轴(或x轴)上的截距建立联系；(3)平移直线确定截距最大(最小)时所对应点的位置；(4)解有关方程组求出对应点坐标，再代入目标函数求目标函数最值.2.(1)若目标函数为形如z＝y－bx－a，可考虑(a，b)与(x，y)两点连线的斜率.(2)若目标函数为形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，可考虑(x，y)与(a，b)两点距离的平方.题型二线性规划的实际应用【例题】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125随z 变化的一簇平行直线，z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大.又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大.解方程组⎩⎨⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3).所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多. 规律方法 解答线性规划应用题的一般步骤(1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺.(2)转化——设元.写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题. (4)作答——对应用题提出的问题作出回答.【训练】 某公司计划2019年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 min 的广告，广告费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/min 和200元/min.已知甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？ 解 设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为 x min 和y min ，总收益为z 元.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3 000x ＋2 000y .二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图阴影部分所示，当直线z ＝3 000x ＋2 000y 过点M 时，z 最大. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900得M (100，200). 所以z max ＝3 000×100＋2 000×200＝700 000(元)＝70(万元).所以该公司在甲电视台做100 min 广告，在乙电视台做200 min 广告，公司收益最大，最大值为70万元.【训练】 某人有一幢房子，室内面积共180 m 2，拟分隔成两类房间作为游客住房.大房间每间面积为18 m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15 m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1 000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8 000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？解 设他应隔出大房间x 间，小房间y 间，能获得收益为z 元，则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧18x ＋15y ≤180，1 000x ＋600y ≤8 000，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ， 目标函数z ＝200x ＋150y .约束条件化简为⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ≤60，5x ＋3y ≤40，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，可行域如图阴影部分所示.根据目标函数作一族平行直线：4x ＋3y ＝t ，这些直线中经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫207，607的直线在y 轴上的截距最大.此时z ＝200x ＋150y 取最大值，但此时x ，y 均不为整数，故不是最优解，因此要进行调整.将直线4x ＋3y ＝2607向左下方平移至4x ＋3y ＝37，则 y ＝37－4x3，将其代入的约束条件，得⎩⎨⎧6x ＋5×37－4x3≤60，5x ＋3×37－4x3≤40，可得52≤x ≤3.∵x 为整数，∴x ＝3，此时y 为非整数，故在直线4x ＋3y ＝37上无最优整数解. 将直线再向左下方平移一个单位，得直线4x ＋3y ＝36.则y ＝36－4x3，将其代入约束条件，得⎩⎨⎧6x ＋5×36－4x3≤60，5x ＋3×36－4x3≤40，可得0≤x ≤4.∵x 为整数，∴x ＝0，1，2，3，4，代入求得它们对应的y ＝12，323，283，8，203. 故可得最优解为(0，12)和(3，8)，此时z max ＝1 800.即他应该隔出小房间12间或隔出大房间3间，小房间8间，才能获得最大收益.课堂达标1.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋y ≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( ) A.23 B.1 C.32D.3解析 目标函数为四边形ABCD 及其内部，其中A (0，1)，B (0，3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，43，所以直线z ＝x ＋y 过点B 时取最大值3，选D. 答案 D2.实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x 的取值范围是()A.[－1，0]B.(－∞，0]C.[－1，＋∞)D.[－1，1) 解析 作出可行域，如图所示，y －1x 的几何意义是点(x ，y )与点(0，1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1，0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1，1). 答案 D3.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为( )A.－3B.3C.－1D.1解析 若最优解有无数个，则y ＝－1a x ＋z a 与其中一条边平行，三边斜率分别为13，－1，0与－1a 对照知a ＝－3或a ＝1.又因为z ＝x ＋ay 取最小值，则a ＝－3. 答案 A4.若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________.解析由题意，画出可行域如图阴影部分所示：由z＝3x－4y，得y＝34x－z4，作出直线y＝34x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(1，1)处取最小值，故z min＝3×1－4×1＝－1.答案－1课堂小结1.用图解法解决线性或非线性规划问题的基本步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域.(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形.(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解.(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.2.作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解.3.在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题.4.在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析.。
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§3.3.2 简单的线性规划问题(1) 学习目标
①巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；
②能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件.
学习过程
一、课前准备
阅读课本Ｐ
８７至Ｐ
８８
的探究
找出目标函数，线性目标函数，线性规划，可行解，可行域的定义．
二、新课导学
※学习探究
在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，如：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？
（1）用不等式组表示问题中的限制条件：
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组：（2）画出不等式组所表示的平面区域：
注意：在平面区域内的必须是整数点．
（3）提出新问题：
进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种
生产安排利润最大？
（4）尝试解答：
（5）获得结果：
新知：线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解(,)
x y叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
※典型例题
例1 在探究中若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利2万元，问如何安排生产才能获得最大利润？
※动手试试
练1. 求2z x y =+的最大值，其中x 、y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩
三、总结提升
※ 学习小结
用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
※ 知识拓展
寻找整点最优解的方法：
1. 平移找解法：先打网格，描整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应用于充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.
2. 调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛先出整点最优解.
3. 由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将数个可能解逐一检验即可见分晓.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 目标函数32z x y =-，将其看成直线方程时，z 的意义是（ ）.
A ．该直线的横截距
B ．该直线的纵截距
C ．该直线的纵截距的一半的相反数
D ．该直线的纵截距的两倍的相反数
2. 已知x、y满足约束条件
50
3
x y
x y
x
-+≥
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪≤
⎩
，则
24
z x y
=+的最小值为（）.
A．6 B．-6 C．10 D．-10
3. 在如图所示的可行域内，目标函数z x ay
=+取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值是（）.
A. -3
B.3
C. -1
D.1
4. 有5辆6吨汽车和4辆5吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为.
5. 已知点（3，1）和（-4，6）在直线320
x y a
-+=的两侧，则a的取值范围是.
1. 在ABC
∆中，A（3，-1），B（-1，1），C（1，3），写出ABC
∆区域所表示的二元一次不等式组.
2. 求35
z x y
=+的最大值和最小值，其中x、y满足约束条件
5315
1
53
x y
y x
x y
+≤
⎧
⎪
≤+
⎨
⎪-≤
⎩
.
1）。