高考数学一轮复习 第五章 第4讲 简单的线性规划课件 文
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线性规划PPT课件
线性规划的基本定理
线性规划的解存在性
对于任何线性规划问题，都存在至少一个最优解。
最优解的唯一性
在某些情况下，线性规划问题的最优解是唯一的，这取决于目标函 数和约束条件的形状和位置。
解的稳定性
线性规划问题的最优解是稳定的，即使目标函数或约束条件略有变 化，最优解也不会发生大的变化。
03
线性规划的求解方法
优缺点：内点法具有全局收敛性和对初始点不敏 感的优点，但计算量较大，需要较高的计算资源 。
椭球法
01
总结词：几何方法
02
03
04
详细描述：椭球法是一种基 于几何方法的线性规划算法。 它将可行解的边界表示为椭 球，通过迭代移动椭球中心
来逼近最优解。
算法步骤：椭球法的基本步 骤包括初始化、构建椭球和 迭代更新。在每次迭代中， 根据当前椭球的位置和方向 来更新中心和半径，直到满
运输问题
总结词
运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的重要应用，旨在优化运输成本、 运输时间和运输量等目标。
详细描述
运输问题通常需要考虑多个出发地、目的地、运输方式和运输成本等因素。通 过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低、运输时间 最短，同时满足运输量和运输路线的限制。
投资组合优化问题
03
单纯形法
单纯形法是线性规划的标 准算法，通过迭代和优化， 找到满足约束条件的最大 或最小目标函数值。
初始解
在应用单纯形法之前，需 要先找到一个初始解，这 可以通过手动计算或使用 软件工具来实现。
迭代过程
单纯形法通过不断迭代和 优化，逐步逼近最优解， 每次迭代都需要重新计算 目标函数值和最优解。
线性规划的几何意义
2013届高考数学一轮复习课件(文科)5.4《简单的线性规划》新人教版必修5
图5－4－2
把直线 l 向右上方平移到 l 的位置， 直线 l 经过可行域上的点 M， 此时 z＝80x＋120y 取得最大值． 由x2＋x＋2yy＝＝960000，
解得点 M 的坐标为(100,400)． 所以当 x＝100，y＝400 时， zmax＝80×100＋120×400＝56 000(元)．
大，故本题即已知约束条件y2x≥≥x＋00，，3y≤18，
求目标函数z＝5x＋3y 的最大值，
如图D9，可求出最优解为
x＝3， y＝4.
故zmax＝15＋12＝27.
图D9
思想与方法
10．用数形结合的思想求非线性目标函数的最值
x－y＋2≤0，
例题：已知变量 x，y 满足约束条件x≥1， x＋y－7≤0，
(2)设只生产书橱 y 张，可获利润 z 元．
则 01.·2y≤y≤69000， ， z＝120x
⇒yy≤ ≤465000， ⇒y≤450.
所以当 y＝450 时，zmax＝120×450＝54 000(元)． 即如果只安排生产书橱，最多可生产 450 张书橱，可获利润 54 000 元．
3 吨．销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润
3 万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原
料不超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是( )
A．12 万元 C．25 万元
B．20 万元 D．27 万元
解析：设甲、乙种两种产品各需生产x，y 吨，可使利润z 最 3x＋y≤13，
A．a＜5
B．a≥7
C．5≤a＜7
D．a＜5 或 a≥7
x＋y－11≥0，
2．(2010 年北京)设不等式组3x－y＋3≥0， 5x－3y＋9≤0
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：平面向量的概念及线性运算
当λ<0时，λa的方向与a的方向 相反 ； λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b_
当λ＝0时，λa＝__0__
知识梳理
3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b＝λa .
常用结论
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最 后一个向量终点的向量，即A—1→A2＋A—2→A3＋A—3→A4＋…＋—A—n－—1A→n ＝A—1→An，特 别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若 F 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则O→F＝12(O→A＋O→B).
常用结论
3.若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心，A→P＝13(A→B＋A→C). 4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( √ ) (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( × )
√B.A→M＋M→B＋B→O＋O→M＝A→M
C.A→B＋B→C－A→C＝0 D.A→B－A→D－D→C＝B→C
教材改编题
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝－__13__.
由题意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以λ1＝＝－3kk，，
解得k＝13， λ＝－13.
知识梳理
2.向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a＋b＝ b＋a ； 结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c)_
当λ＝0时，λa＝__0__
知识梳理
3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 b＝λa .
常用结论
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最 后一个向量终点的向量，即A—1→A2＋A—2→A3＋A—3→A4＋…＋—A—n－—1A→n ＝A—1→An，特 别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量. 2.若 F 为线段 AB 的中点，O 为平面内任意一点，则O→F＝12(O→A＋O→B).
常用结论
3.若 A，B，C 是平面内不共线的三点，则P→A＋P→B＋P→C＝0⇔P 为△ABC 的重心，A→P＝13(A→B＋A→C). 4.对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关.( √ ) (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.( × )
√B.A→M＋M→B＋B→O＋O→M＝A→M
C.A→B＋B→C－A→C＝0 D.A→B－A→D－D→C＝B→C
教材改编题
3.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝－__13__.
由题意知存在k∈R，
使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，
所以λ1＝＝－3kk，，
解得k＝13， λ＝－13.
知识梳理
2.向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义)
运算律
加法
交换律：a＋b＝ b＋a ； 结合律：(a＋b)＋c＝_a_＋__(_b_＋__c)_
高考数学总复习 第五章 第4讲 简单的线性规划配套课件 文
答案(dá àn)：B
图 D9
第十四页，共29页。
【方法(fāngfǎ)与技巧】利用线性规划求最值，一般用图解法求
其步骤是：①在平面直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系内作出可行域； ②考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；
线，从③而确(定có最ng优é解r)：确在定可最行优域解内；平行移动目标函数变形后的直 ④求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小
x≤ 2y
给定.若 M(x，y)为 D 上的动点，点 A
的坐标为( 2，1)，则 z＝O→M·O→A的最大值为( )
A.3
B.4
C.3 2
D.4 2
第十三页，共29页。
解析：z＝ 2x＋y，即 y＝－ 2x＋z，画出不等式组表示的 平面区域如图 D9，易知当直线 y＝－ 2x＋z 经过点( 2，2)时， z 取得最大值，∴zmax＝ 2× 2＋2＝4.
第十一页，共29页。
【互动探究】
1.(2012 年福建)若函数 y＝2x 图象(tú xiànɡ)上存在点(x，y)满足
Hale Waihona Puke 条件xx＋ －y2－y－3≤ 3≤0， 0， x≥m，
则实数 m 的最大值为( B )
1
A.
2
B.1
3
C. 2
D.2
解析(jiě xī)：画出可行域，当直线 x＝m 经过函数 y＝2x 的图象与
金分别为A.13610020元0/辆元和 2400 元/辆，旅行社要B求.3租6车0总0数0 (元zǒngshù)不超过
C.36 800 元
D.38 400 元
第二十三页，共29页。
解析：设分别租用(zūyòng) A，B 两种型号的客车 x 辆，y 辆，所用
2019版高考数学理科一轮复习课件：简单的线性规划
A时,z=2x-y取得最大值.其最大值为2×5-2=8.故选B.
思路分析 首先由约束条件画出可行域,再利用直线y=2x-z的斜率和截距的几何意义求解. 易错警示 误认为直线3x-y-5=0与x-3y+1=0的交点坐标为最优解,导致错选C.
3.(2014课标全国Ⅰ,9,5分,0.700)不等式组
应的数值,从而确定目标函数的最值. (2)由目标函数的最值求参数.求线性规划中参数的值的基本方法有两种:一是把参数当成常数 用,根据线性规划问题的求解方法求出最优解,代入目标函数确定最值,通过构造方程求解参数 的值;二是先分离含有参数的式子,通过观察确定含参的式子所满足的条件,确定最优解的位 置,从而求出参数.
可得目标函数z=3x-4y在点A(1,1)处取得最小值,zmin=3×1-4×1=-1.
x y 0,
8.(2014大纲全国,14,5分)设x、y满足约束条件
x
2
y
3,
则z=x+4y的最大值为
.
x 2 y 1,
答案 5
解析 画出可行域,如图,
由z=x+4y得y=- 1 x+ z .当直线y=- 1 x+ z 经过点B时,z取得最大值.
x 2 y 5 0,
4.(2018课标全国Ⅱ,14,5分)若x,y满足约束条件 x 2y 3 0, 则z=x+y的最大值为
.
x 5 0,
答案 9 解析 本题考查简单的线性规划.
由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示).
当直线x+y-z=0经过点A(5,4)时,z=x+y取得最大值,最大值为9.
命题p1为真命题;由于∀(x,y)∈D,x+2y≥0,故∃(x,y)∈D,x+2y≥2,因此命题p2为真命题;由于z=x
高三数学第一轮复习课件(ppt)目录
Page 12
目录 CONTENTS
第二章
2.1 函数及其表示 2.2 函数的单调性与最值 2.3 函数的奇偶性与周期性 2.4 一次函数、二次函数 2.5 指数与指数函数 2.6 对数与对数函数 2.7 幂函数 2.8 函数的图象及其变换 2.9 函数与方程
函数
2.10 函数模型及其应用
第一讲：三角函数
S ABC=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2ah，可得sinA=√15/8，sinC=√15/4。
∴cosA=7/8,cosC=1/4，
∴cos（A-C）=7/8 x 1/4 + √15/8 x √15/4
=11/16 c=2
A
b=2
h=√15/2
Page 21
B
C 1/2 a
1/2
C、﹙1，＋∞﹚
D、[1，＋∞﹚
解析：由于3x＞0，所以3x+1＞1，所以f（x）＞0，集合表示为（0，＋∞），答案为A
2、已知函数y=2x＋1的值域为（5,7），则对应的自变量x的范围为（
）
A、[2,3）
B、[2,3]
C、(2,3)
D、（2,3]
解析：根据题意：5＜2x+1＜7,解得2＜x＜3，用集合表示为（2,3），答案为C
A [1,2]
解析：解二元一次不等式x2 +2x-8≤0，可得-4≤x≤2，所以M为[-4,2]; 解不等式3x-2≥2x-1,可得x≥1,所以N为[1,＋∞﹚。此时我们可以应用数轴马 上解决问题：
-4 0 1 2
如图所示，阴影部分即为所求。答案：A 启示：掌握好数轴工具，在集合、函数问题（ B
B、﹙－∞，5]
）
D、[5，＋∞﹚
线性规划课件ppt
根据实际问题的特点，选择适合的线性规划模型进行建模和优化。
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。
届高考数学一轮复习讲义课件：二元一次不等式与简单的线性规划问题(共59张PPT)
考点串串讲
1．二元一次不等式表示平面区域 (1)一般地，二元一次不等式 Ax＋By＋C＞0 在平面直角坐标系 中表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧所有点组成的平面区域．我们把 直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画 不等式 Ax＋By＋C≥0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直 线，则把边界直线画成实线． (2)用二元一次不等式表示平面区域，常有一定的规律性，大致 可分为以下四种情况(如图所示)．
点评 线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界上取 得，具体方法是：将表示目标函数的直线平行移动，最先(或最后) 通过的区域内的点便是最优解．特别地，当表示线性目标函数的直 线与可行域的某边重合时，其最优解可能有无数个 .
变式迁移 2
设 z＝2y－2x＋4，式中 x、y 满足条件00≤≤xy≤ ≤21， ， 2y－x≥1.
2．简单的线性规划问题 (1)求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤是： ①作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的 平行直线系中的任意一条直线 l. ②平移：将直线 l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置． ③求值：解有关的方程组求出最优解，再代入目标函数，求出 目标函数的最值． (2)关于线性规划的几点说明： ①最优解有时唯一，有时不唯一，甚至是无穷多． ②对于二元一次不等式组所表示的区域，如果存在使线性目标 函数达到最大或最小的点，那么最值一定是在该区域的顶点或边界 上达到．
所以，原不等式组表示的区域如图所示．
题型二 线性目标函数的最值问题
例 2.已知 x，y 满足条件
35xx＋ ＋83yy＋ －16≤ 5≥00，， 2x－5y＋10≥0，
则 z＝x－y 的取值范围是________．
解析 先画出约束条件的可行域，如图所示，
1．二元一次不等式表示平面区域 (1)一般地，二元一次不等式 Ax＋By＋C＞0 在平面直角坐标系 中表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧所有点组成的平面区域．我们把 直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画 不等式 Ax＋By＋C≥0 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直 线，则把边界直线画成实线． (2)用二元一次不等式表示平面区域，常有一定的规律性，大致 可分为以下四种情况(如图所示)．
点评 线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界上取 得，具体方法是：将表示目标函数的直线平行移动，最先(或最后) 通过的区域内的点便是最优解．特别地，当表示线性目标函数的直 线与可行域的某边重合时，其最优解可能有无数个 .
变式迁移 2
设 z＝2y－2x＋4，式中 x、y 满足条件00≤≤xy≤ ≤21， ， 2y－x≥1.
2．简单的线性规划问题 (1)求线性目标函数在约束条件下的最值问题的求解步骤是： ①作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的 平行直线系中的任意一条直线 l. ②平移：将直线 l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置． ③求值：解有关的方程组求出最优解，再代入目标函数，求出 目标函数的最值． (2)关于线性规划的几点说明： ①最优解有时唯一，有时不唯一，甚至是无穷多． ②对于二元一次不等式组所表示的区域，如果存在使线性目标 函数达到最大或最小的点，那么最值一定是在该区域的顶点或边界 上达到．
所以，原不等式组表示的区域如图所示．
题型二 线性目标函数的最值问题
例 2.已知 x，y 满足条件
35xx＋ ＋83yy＋ －16≤ 5≥00，， 2x－5y＋10≥0，
则 z＝x－y 的取值范围是________．
解析 先画出约束条件的可行域，如图所示，
人教A版高中数学必修五课件《简单的线性规划》(21张)(共21张PPT)
高中数学课件
灿若寒星整理制作
简单的线性规划
教学目标
1.掌握线性规划的意义以及约束条件、 目标函数、可行解、可行域、最优解 等基本概念; 2.运用线性规划问题的图解法，解决一 些简单的实际问题.
例1: 求z 2x y的最大值和最小值，
x - 4y -3 其中x, y满足下列条件 : 3x 5y 25
括周界)，目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无
数个，则a的一个可能值为( A )
(A)-3
(B)3 (C)-1 (D)1
5.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且
包括周界)，目标函数z=x+ay取得最大值的最优解
有无数个，则a的一个可能值为( D )
(A)-3
(B)3 (C)-1 (D)1
5)求Z x2 y2的最值 x 1
y C(1, 22)
5
P
A(1,1)
0
x1
x 4 y 3
B(5,2)
x
3x 5 y 25
例2 ： 若x, y满足下列条件: x - 4y -3 3x 5y 25
x 1
6)若 z=ax+y取得最大值的最优解
有无数个, 求实数a的值
y
22
C(1, )
5
x 4 y 3
A(1,1)
0
x1
B(5,2)
x
3x 5 y 25
例2 ： 若x, y满足下列条件: x - 4y -3 3x 5y 25 x 1
7)若 z=ax+y取得最小值的最优解
有无数个, 求实数a的值
y C(1, 22)
1、画：画出线性约束条件所表示的可行域；
灿若寒星整理制作
简单的线性规划
教学目标
1.掌握线性规划的意义以及约束条件、 目标函数、可行解、可行域、最优解 等基本概念; 2.运用线性规划问题的图解法，解决一 些简单的实际问题.
例1: 求z 2x y的最大值和最小值，
x - 4y -3 其中x, y满足下列条件 : 3x 5y 25
括周界)，目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无
数个，则a的一个可能值为( A )
(A)-3
(B)3 (C)-1 (D)1
5.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且
包括周界)，目标函数z=x+ay取得最大值的最优解
有无数个，则a的一个可能值为( D )
(A)-3
(B)3 (C)-1 (D)1
5)求Z x2 y2的最值 x 1
y C(1, 22)
5
P
A(1,1)
0
x1
x 4 y 3
B(5,2)
x
3x 5 y 25
例2 ： 若x, y满足下列条件: x - 4y -3 3x 5y 25
x 1
6)若 z=ax+y取得最大值的最优解
有无数个, 求实数a的值
y
22
C(1, )
5
x 4 y 3
A(1,1)
0
x1
B(5,2)
x
3x 5 y 25
例2 ： 若x, y满足下列条件: x - 4y -3 3x 5y 25 x 1
7)若 z=ax+y取得最小值的最优解
有无数个, 求实数a的值
y C(1, 22)
1、画：画出线性约束条件所表示的可行域；
高中数学人教A版必修5 3.简单的线性规划优 课件
目标函数
问题： （线性目标函数） 约束条件
设z=2x+y，式中变量满足
下列条件： 最优解
3xx45yy235 x 1
任何一个满足不 等式组的（x,y）
求z的最大值与最小值。
线性规划问题
可行域 所有的 可行解
线性规划
线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最 大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
3
x
5
y
25
x 1
求z的最大值和最小值.
截距为-z的直线
y x 1
由 z 2 xy y 2 x z C
A(5,2) C (1, 22 )
5
zmin
212212 55
•B
O
zm ax2 528
x4y30
•A
3x5y25 0
x
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域, 和直线 a x b y 不0 ( 全a , b 为 目标0 函， 数为 z a x b y ) ;
8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理 解力有 所欠缺 ，所以 在读书 时往往 容易只 看其中 一点或 几点， 对书中 蕴含的 丰富意 义难以 全面把 握。
9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
若生产1件甲种产品获利2万元,生产1 件乙 种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?
设甲,乙两种产品分别生产x,y件,由己知条件可得:
x 2y 8
y
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第4讲 简单的线性规划
考纲要求
考纲研读
1.会从实际情境中抽象出二 二元一次不等式表示相应直线 Ax＋
元一次不等式组．
By＋C＝0 某一侧所有点组成的平面
2．了解二元一次不等式的几 区域，可结合交集的概念去理解不
何意义，能用平面区域表示 等式组表示的平面区域．对于线性
二元一次不等式组．
规划问题，能通过平移直线求目标
( B) A．0
B．1
C. 3
D．9
2x＋y－6≤0， 4．不等式组x＋y－3≥0，
y≤2
所表示的平面区域的面积为1_.
5．若点(1,3)和点(－4，－2)在直线 2x＋y＋m＝0 的两侧，则 m 的取值范围是__－__5_＜__m_＜__1_0______.
考点1 二元一次不等式(组)与平面区域 例1：设集合 A＝{(x，y)|x，y,1－x－y 是三角形的三边长}， 则 A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )
A．3
B．4
C．3 2
D．4 2
解析：z＝ 2x＋y，即 y＝－ 2x＋z，
画出不等式组表示的平面区域如图 D8，
易知当直线 y＝－ 2x＋z 经过点( 2，2)
时，z 取得最大值，zmax＝ 2× 2＋2＝4. 答案：B
图D8
线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域(即
几条直线围成的区域)，则区域端点的值使目标函数取得最大或最
考点2 线性规划中求目标函数的最值问题
例 2 ： ① (2011 年 全 国 ) 若 变 量 x ， y 满 足 约 束 条 件
xx＋ －y3≤y≤6， －2， x≥1，
则 z＝2x＋3y 的最小值为( )
A．17
B．14
C．5
D．3
解析：作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线
(2)目标函数：z＝Ax＋By 是欲达到最大值或最小值所涉及的 变量 x，y 的解析式，我们把它称为目标函数．
(3)线性目标函数：由于 z＝Ax＋By 是关于 x，y 的一次解析式， 所以又可叫做线性目标函数．
(4)可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解， (5)可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域． (6)最优解：若可行解(x1，y1)和(x2，y2)分别使目标函数取得最 大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解． (7)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最 小值的问题，统称为线性规划问题．
1．不等式组xx－－3y＋y＋26<≥00， 表示的平面区域是( B )
2．已知实数 x，y 满足xx－＋yy＋≥04，≥0， x≤1，
则 2x＋y 的最小值是
( B)
A．－3
B．－2
C．0
D．1
x－y＋1≥0， 3．若实数 x，y 满足x＋y≥0，
x≤0，
则 z＝3x＋2y 的最小值是
考点3 线性规划在实际问题中的应用 例3：某家具厂有方木料 90 m，五合板 600 m，准备加工成书 桌和书橱出售，已知生产一张书桌需要方木料 0.1 m，五合板 2 m， 生产一个书橱需要方木料 0.2 m，五合板 1 m，出售一张书桌可获 利润 80 元，出售一个书橱可获利润 120 元，如果只安排生产书桌， 可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？如何安排 生产可使所得利润最大？ 解题思路：找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域， 再利用图形直观求得满足题设的最优解．
(3)可在直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧任取一点，一般取特殊点 (x0，y0)[如原点(0,0)]，用 Ax0＋By0＋C 的值的正负来判断 Ax＋By ＋C>0(或 Ax＋By＋C>0)所表示的区域．
2．线性规划 (1)线性约束条件：不等式组是一组对变量 x，y 的约束条件， 由于这组约束条件都是关于 x，y 的一次不等式，所以又可称其为 线性约束条件．
小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最值．
【互动探究】 3．(2011 年陕西)如图 5－4－1，点(x，y)在四边形 ABCD 内部
和边界上运动，那么 2x－y 的最小值为__1__.
图 5－4－1 解析：目标函数z＝2x－y，当x＝0 时，z＝－y，所以当y 取 得最大值时，z 的值最小；移动直线2x－y＝0，当直线移动到过点 A 时，y 最大，即z 的值最小，此时z＝2×1－1＝1.
A．a＜5
B．a≥或 a≥7
x＋y－11≥0，
2．(2010 年北京)设不等式组3x－y＋3≥0， 5x－3y＋9≤0
表示的平面区
域为 D，若指数函数 y＝ax 的图象上存在区域 D 上的点，则 a 的取
值范围是( A ) A．(1,3] C．(1,2]
B．[2,3] D．[3，＋∞)
3．会从实际情境中抽象出一 函数的最值．对于实际问题，能转
些简单的二元线性规划问 化成两个相关变量有关的不等式
题，并能加以解决.
(组)，再利用线性规划知识求解.
1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式 Ax＋By＋ C>0 表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧所有点组成的平面区域，不含 边界线．不等式 Ax＋By＋C≥0 所表示的平面区域包括边界线． (2)对于直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点(x，y)，使得 Ax ＋By＋C 的值的符号相同，也就是说位于同一平面区域内的点， 若其坐标适合 Ax＋By＋C>0，则位于另一个平面区域内的点，其 坐标适合 Ax＋By＋C<0.
z＝2x＋3y 过直线x＝1 与x－3y＝－2 的交点(1,1)时取得最小值， 所以最小值为5.
答案：C
②(2011 年广东)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等
式组0y≤≤2x≤ ， 2， x≤ 2y
给定．若 M(x，y)为 D 上的动点，点 A 的坐标
为( 2，1)，则 z＝OM OA的最大值为( )
答案：A
由三角形的三边关系(两边之和大于第三边)来确 定二元一次不等式组，然后求可行域．本题以三角形、集合为载 体来考查线性规划的问题，由于是选择题，只要找出正确的不等 式组并作出相应的直线即可看出答案．
【互动探究】
x－y＋5≥0，
1．若不等式组y≥a，
表示的平面区域是一个三角
0≤x≤2
形，则 a 的取值范围是( C )
解题思路：由三角形的三边关系(两边之和大于第三边)来确定 二元一次不等式组，然后求可行域．
解析：由于 x，y,1－x－y 是三角形的三边长，
故有xx＋ ＋y1＞－1x－ －xy－ ＞yy， ， y＋1－x－y＞x
x＋y＞21， ⇒x＜12，
y＜12，
再分别在同一坐标中作直线 x＝12，y＝12，x＋y＝12， 易知A正确．
考纲要求
考纲研读
1.会从实际情境中抽象出二 二元一次不等式表示相应直线 Ax＋
元一次不等式组．
By＋C＝0 某一侧所有点组成的平面
2．了解二元一次不等式的几 区域，可结合交集的概念去理解不
何意义，能用平面区域表示 等式组表示的平面区域．对于线性
二元一次不等式组．
规划问题，能通过平移直线求目标
( B) A．0
B．1
C. 3
D．9
2x＋y－6≤0， 4．不等式组x＋y－3≥0，
y≤2
所表示的平面区域的面积为1_.
5．若点(1,3)和点(－4，－2)在直线 2x＋y＋m＝0 的两侧，则 m 的取值范围是__－__5_＜__m_＜__1_0______.
考点1 二元一次不等式(组)与平面区域 例1：设集合 A＝{(x，y)|x，y,1－x－y 是三角形的三边长}， 则 A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )
A．3
B．4
C．3 2
D．4 2
解析：z＝ 2x＋y，即 y＝－ 2x＋z，
画出不等式组表示的平面区域如图 D8，
易知当直线 y＝－ 2x＋z 经过点( 2，2)
时，z 取得最大值，zmax＝ 2× 2＋2＝4. 答案：B
图D8
线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域(即
几条直线围成的区域)，则区域端点的值使目标函数取得最大或最
考点2 线性规划中求目标函数的最值问题
例 2 ： ① (2011 年 全 国 ) 若 变 量 x ， y 满 足 约 束 条 件
xx＋ －y3≤y≤6， －2， x≥1，
则 z＝2x＋3y 的最小值为( )
A．17
B．14
C．5
D．3
解析：作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线
(2)目标函数：z＝Ax＋By 是欲达到最大值或最小值所涉及的 变量 x，y 的解析式，我们把它称为目标函数．
(3)线性目标函数：由于 z＝Ax＋By 是关于 x，y 的一次解析式， 所以又可叫做线性目标函数．
(4)可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解， (5)可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域． (6)最优解：若可行解(x1，y1)和(x2，y2)分别使目标函数取得最 大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解． (7)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最 小值的问题，统称为线性规划问题．
1．不等式组xx－－3y＋y＋26<≥00， 表示的平面区域是( B )
2．已知实数 x，y 满足xx－＋yy＋≥04，≥0， x≤1，
则 2x＋y 的最小值是
( B)
A．－3
B．－2
C．0
D．1
x－y＋1≥0， 3．若实数 x，y 满足x＋y≥0，
x≤0，
则 z＝3x＋2y 的最小值是
考点3 线性规划在实际问题中的应用 例3：某家具厂有方木料 90 m，五合板 600 m，准备加工成书 桌和书橱出售，已知生产一张书桌需要方木料 0.1 m，五合板 2 m， 生产一个书橱需要方木料 0.2 m，五合板 1 m，出售一张书桌可获 利润 80 元，出售一个书橱可获利润 120 元，如果只安排生产书桌， 可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？如何安排 生产可使所得利润最大？ 解题思路：找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域， 再利用图形直观求得满足题设的最优解．
(3)可在直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧任取一点，一般取特殊点 (x0，y0)[如原点(0,0)]，用 Ax0＋By0＋C 的值的正负来判断 Ax＋By ＋C>0(或 Ax＋By＋C>0)所表示的区域．
2．线性规划 (1)线性约束条件：不等式组是一组对变量 x，y 的约束条件， 由于这组约束条件都是关于 x，y 的一次不等式，所以又可称其为 线性约束条件．
小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最值．
【互动探究】 3．(2011 年陕西)如图 5－4－1，点(x，y)在四边形 ABCD 内部
和边界上运动，那么 2x－y 的最小值为__1__.
图 5－4－1 解析：目标函数z＝2x－y，当x＝0 时，z＝－y，所以当y 取 得最大值时，z 的值最小；移动直线2x－y＝0，当直线移动到过点 A 时，y 最大，即z 的值最小，此时z＝2×1－1＝1.
A．a＜5
B．a≥或 a≥7
x＋y－11≥0，
2．(2010 年北京)设不等式组3x－y＋3≥0， 5x－3y＋9≤0
表示的平面区
域为 D，若指数函数 y＝ax 的图象上存在区域 D 上的点，则 a 的取
值范围是( A ) A．(1,3] C．(1,2]
B．[2,3] D．[3，＋∞)
3．会从实际情境中抽象出一 函数的最值．对于实际问题，能转
些简单的二元线性规划问 化成两个相关变量有关的不等式
题，并能加以解决.
(组)，再利用线性规划知识求解.
1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式 Ax＋By＋ C>0 表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧所有点组成的平面区域，不含 边界线．不等式 Ax＋By＋C≥0 所表示的平面区域包括边界线． (2)对于直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点(x，y)，使得 Ax ＋By＋C 的值的符号相同，也就是说位于同一平面区域内的点， 若其坐标适合 Ax＋By＋C>0，则位于另一个平面区域内的点，其 坐标适合 Ax＋By＋C<0.
z＝2x＋3y 过直线x＝1 与x－3y＝－2 的交点(1,1)时取得最小值， 所以最小值为5.
答案：C
②(2011 年广东)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等
式组0y≤≤2x≤ ， 2， x≤ 2y
给定．若 M(x，y)为 D 上的动点，点 A 的坐标
为( 2，1)，则 z＝OM OA的最大值为( )
答案：A
由三角形的三边关系(两边之和大于第三边)来确 定二元一次不等式组，然后求可行域．本题以三角形、集合为载 体来考查线性规划的问题，由于是选择题，只要找出正确的不等 式组并作出相应的直线即可看出答案．
【互动探究】
x－y＋5≥0，
1．若不等式组y≥a，
表示的平面区域是一个三角
0≤x≤2
形，则 a 的取值范围是( C )
解题思路：由三角形的三边关系(两边之和大于第三边)来确定 二元一次不等式组，然后求可行域．
解析：由于 x，y,1－x－y 是三角形的三边长，
故有xx＋ ＋y1＞－1x－ －xy－ ＞yy， ， y＋1－x－y＞x
x＋y＞21， ⇒x＜12，
y＜12，
再分别在同一坐标中作直线 x＝12，y＝12，x＋y＝12， 易知A正确．