【数学】江西省南康中学2019-2020学年高一12月月考(第三次大考)试题
2019-2020学年赣州市南康中学高一(下)第一次月考数学试卷(文科)(含解析)
2019-2020学年赣州市南康中学高一(下)第一次月考数学试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|0≤x≤3}，N={x|x2−3x−4<0}，则M∩N=()A. [−1,3]B. (−1,3)C. [0,3]D. [−1,4]2.tan(−210°)=()A. √3B. −√3C. √33D. −√333.已知数列{a n}中满足a1=15，a n+1=a n+2n，则a nn的最小值为()A. 9B. 7C. 274D. 2√15−14.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若(a2+c2−b2)tanB=√3ac，角B=()A. π6B. π3C. π6或5π6D. π3或2π35.设单位向量e1⃗⃗⃗ ,e2⃗⃗⃗ 的夹角为120°，a⃗=2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ ，则|a⃗|=()A. 3B. √3C. 7D. √76.已知△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，BC边上的中线AD=√7，AB=2则S△ABC=()A. 3B. 2√3C. 3√3D. 67.已知tanα=2，则sin2α+sinαcosα的值为()A. 65B. 1 C. 45D. 238.若函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象上所有的点向右平移π6个单位长度后得到的函数图象关于(π4,0)对称，则φ的值为()A. πB. 3π4C. 5π6D. 2π39.已知函数f(x)={log2x,(x>0)2−x,(x≤0)，则不等式f(x)>1的解集为()A. (2,+∞)B. (−∞,0)C. D. (0,2)10.如图，在△ABC中，D是BC的中点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB等于()A. 4B. √19C. 2√5D. 3√211. 设△ABC 的面积为S ，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =1，tanA =2，则S =( ) A. 1 B. 2C. √55D. 1512. 函数f(x)=log 12(x 2−ax)在区间[2,4]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A. 2<a ≤4 B. a ≤4 C. a <2 D. a ≤2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5=10，S 10=30，则S 15=______． 14. 函数的单调递减区间是______ ．15. 在△ABC 中，若2cosBsinA =sinC ，则△ABC 的形状一定是______三角形．16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且m ⃗⃗⃗ =(√3b −c,cosC)，n ⃗ =(a,cosA)，m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，则tan A 的值等于______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知m ⃗⃗⃗ =(2cosA,√3sinA)，n ⃗ =(cosA,−2cosA)，m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−1．(1)若a =2√3，c =2，求△ABC 的面积； (2)求b−2cacos(60°+C)的值．18. 已知等差数列{a n }中，a 1=34，d =−4，(1)求它的通项公式，及前n 项和S n 。
江西省赣州市南康中学2020-2021学年高二上学期第三次大考数学(文)试题
南康中学2020-2021学年度第一学期高二第三次大考数学（文）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知两点(1,2)A -，(3,4)B ，则直线AB 的斜率为（ ） A. 2 B. 12-C.12D. 2-C直接应用斜率公式计算即可．已知两点(1,2)A -，(3,4)B ，由斜率公式得4213(1)2AB k -==--.故选：C本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．2. 设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A. 若//l α，//l β，则//αβ B. 若l α⊥，l β⊥，则//αβ C. 若l α⊥，//l β，则//αβ D. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥BA 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内. 【考点定位】点线面的位置关系3. 若某中学高二年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（ ）A. 90.5B. 91.5C. 90D. 91A共有8个数据，中位数就是由小到大中间两数的平均数，求解即可.根据茎叶图，由小到大排列这8个数为84，85，89，90，91，92，93，95，所以中位数为90+91=90.52，故选A. 本题主要考查了中位数，茎叶图，属于中档题.4. 如图①、②分别是甲、乙两户居民家庭全年各项支出的统计图.根据统计图，下列对两户教育支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是（）A. 甲户比乙户大B. 乙户比甲户大C. 甲、乙两户一般大D. 无法确定哪一户大B根据统计图表，分别求得甲、乙两户的教育支出的百分比，即可求解.由题意，根据条形图，可得甲户教育支出占120020% 2000120021600=+⨯+，由饼形图，可得乙户教育支出占25%.所以乙户比甲户大.故选：B.5. 观察下列各图形，其中两个变量x y，具有相关关系的图是（）A. ①②B. ①④C. ③④D. ③C根据图形中点的分布，即可判断x y，是否具有相关关系．由图可知，图③中这些点大致分布在一条直线附近，具有线性相关关系；图④中这些点大致分布在一条类似二次曲线附近，具有相关关系；而图①②中这些点分布不均匀，比较分散，不具有相关关系．故选：C．本题主要考查通过散点图判断两个变量是否具有相关关系，意在考查学生识图能力，属于基础题．6. 某中学高一年级共有学生1200人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高一年级共有女生（）A. 630B. 615C. 600D. 570根据分层抽样的方法，结合比例的性质计算即可. 高一年级共有学生1200人，按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本， 样本中共有男生42人，则高一年级的女生人数约为：8042120057080-⨯=.故选：D. 本题主要考查了分层抽样的运用，属于基础题.7. 已知水平放置的ABC ∆，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图A B C '''，其中1B O C O ''''==，3A O ''=，那么原ABC ∆的面积是( )A. 22B. 3C.32D.34B由直观图和原图的面积之间的关系2=4S S 直观图原图 ，直接求解即可． 因为2S S 直观图原图， 且若△A′B′C′的面积为132622⨯ 那么△ABC 3， 故答案为B ．本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基本概念、基本运算的考查． 8. 若一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为2，方差为3，则125x +，225x +，325x +，…，25n x +的平均数和方差分别是（ ）A. 9，11B. 4，11C. 9，12D. 4，17根据()2,()3E x D x ==，利用平均数和方差的性质求()()25,25E x D x ++.由题()2,()3E x D x ==，则(25)2()59E x E x +=+=，2(252()12D x D x +==.故选：C 本题考查了平均数和方差的性质，属于基础题.9. 某程序框图如图所示，若输出的57S =，则判断框内填（ ）A. 4k ≥？B. 5k ≥？C. 6k ≥？D. 7k ≥？B根据程序框图，依次代入计算，即可求得输出值为57S =，通过输出值即可知判断框里的不等式．由题意可知，1,1S k ==2,4k S ==，否 3,11k S ==，否 4,26k S ==，否 5,57k S ==，是所以当5k =时，57S =，此时跳出循环体．所以判断框的内容为5k ≥？ 所以选B本题考查了补全程序框图的条件，注意每次计算的结果是返回执行循环体，还是退出循环体，属于基础题．10. 过直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线方程是（ ) A. 280x y +-= B. 280x y --= C. 280x y ++= D. 280x y -+= A两直线方程联立求得交点坐标；根据垂直关系求得斜率，可写出直线点斜式方程，整理可得结果.由24050x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得两条直线交点坐标为：()1,6 又所求直线与20x y -=垂直 ∴直线斜率为：2-∴所求直线为：()621y x -=--，即：280x y +-=本题正确选项：A本题考查直线方程的求解问题，关键是能够根据垂直关系求得斜率，同时联立求得交点坐标. 11. 如图，在三棱锥B ACD -中，π3ABC ABD DBC ∠∠∠===，3,2AB BC BD ===，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为A. 19π2B. 19πC.75π6D. 7πA首先求得外接球半径，然后求解外接球的表面积即可. 设CD 的中点为P ，由余弦定理可得：222cos607AD AB BD AB BD =+-⨯⨯⨯= 很明显ADC 为等腰三角形，则22716AP AD PD =-=-=BP ==据此有：222AB PA PB =+，由勾股定理的逆定理可得：AP BP ⊥， 很明显,AP CP BP CP ⊥⊥，以P 为原点，PC 为x 轴正方向，PB 为y 轴正方向，P A 为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.易知(()()(),,1,0,0,1,0,0A B C D -， 设球心坐标为(),,O x y z ，由OA =OB =OC =OD 可得：==⎪=⎪⎩，解得：0x y z ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，则外接球半径：R OC ===， 其表面积：219194482S R πππ==⨯=. 本题选择A 选项.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.12. 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数22(x a)(y b)-+-可以转化为平面上点()M x,y 与点()N a,b 的距离.结合上述观点，可得()22f x x 4x 20x 2x 10=++++( ) A. 32 B. 42 C. 52 D. 72C化简得()2222f x (x 2)(04)(x 1)(03)=++-+++()M x,0与点()N 2,4-，()H 1,3--的距离和，利用两点间的距离公式，即可得出结论． ()22f x x 4x 20x 2x 10=++++2222(x 2)(04)(x 1)(03)=++-+++表示平面上点()M x,0与点()N 2,4-，()H 1,3--的距离和， 连接NH ，与x 轴交于()M x,0，由题得044310,,2217MN MH k k x x -+=∴=∴=-+-+， 所以10M ,07⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()f x ∴的最小值为22(21)(43)52-+++=，故选C ．本题主要考查两点间的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，合理转化是正确解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上） 13. 向边长为2的正方形中随机撒一粒豆子，则豆子落在正方形的内切圆内的概率是_________4π 根据几何概型中的面积型直接运算即可.设豆子落在正方形的内切圆内为事件A ，事件A 构成的区域面积是正方形的内切圆面积， 试验全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则()22124P A ππ⨯==，故答案为：4π. 14. 如图，1111ABCD A B C D -为正方体，异面直线AD 与1CB 所成的角为____________45︒利用平行关系，异面直线转化为相交直线所成的角.//AD BC ，∴异面直线AD 与1CB 所成的角为BC 与1B C 所成的角，即1BCB ∠，1BCB △是等腰直角三角形，所以145BCB ∠=.故答案为：4515. 2022年北京冬季奥运会将在北京和张家口两个城市举行，北京市某学校为此举办了主题为“迎冬奥运，普及冰雪运动”的手抄报展示活动，学校决定从收集到的300份作品中，抽取15份进行展示，现采用系统抽样的方法，将这300份作品从001到300进行编号，已知第一组中被抽到的号码为017，则所抽到的第五组号码为________.097由系统抽样的编号为等差数列可求出. 根据系统抽样可知样本间隔为3002015=，从而将300份作品分成15组，每组20份.+⨯=.由题意可得第五组号码为1742097故答案为：097.16. 如图，在直角梯形ABCD中，BC DC⊥，M、N分别是AD、BE的中点，将⊥，AE DC三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是______________.MN平面DEC；（1）不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有//⊥；（2）不论D折至何位置，都有MN AEMN AB；（3）不论D折至何位置（不在平面ABC内），都有//⊥.（4）在折起过程中，一定存在某个位置，使EC AD（1）（2）（4）【分析】折叠后根据线面位置关系对每个结论给出证明．折叠后如图，分别取,EC ED中点,P Q，连接,,NP PQ QM，易知N是,AC BE的交点，因此N 也是AC中点，而M别是AD的中点，∴////NP AE MQ ，12NP AE MQ ==，∴MNPQ 是平行四边形，∴//MN PQ ， MN ⊄平面DEC ，PQ ⊂平面DEC ，∴//MN 平面DEC ．（1）正确； 折叠过程中,AE ED AE EC ⊥⊥保持不变，又EDEC E =，所以AE ⊥平面DEC ，从而AE PQ ⊥，所以AE MN ⊥，（2）正确；若//MN AB ，则,MN AB 共面，即,,,M N P Q 共面，从而直线,AM BN 共面，这样MN 在平面ABN 也即在平面ABC 内，矛盾，（3）错误；当ED EC ⊥时，又EC EA ⊥，而ED EA E =，∴EC ⊥平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以EC AD ⊥．（4）正确． 故答案为：（1）（2）（4）．本题考查空间直线、平面间的位置关系，平面图形折叠成空间图形过程中，有些位置关系保持不变，有些会发生变化，而在空间图形中的位置关系一般要给予证明才能确定．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知等差数列{}n a 满足833a a =，124a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . （1）21n a n =-；（2）221=+n nT n （1）设{}n a 的公差为d ，由831234a a a a =⎧⎨+=⎩，可求出1,a d ，进而可求出数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）知2(21)(21)n b n n =-+112121n n =--+，利用裂项相消求和法可求出n T .（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵831234a a a a =⎧⎨+=⎩，∴()11173224a d a d a d ⎧+=+⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，∴21n a n =-.（2）由（1）知2(21)(21)n b n n =-+，∴112121nb n n =--+，∴1111112(1)()()133521212121n n T n n n n =-+-++-=-=-+++. 18. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 的中点.（1）求证：CD ⊥平面11ABB A ；（2）已知13AA =，2AB =，求正三棱柱111ABC A B C -的侧面积.（1）证明见解析；（2）18.（1）证明CD AB ⊥，1AA CD ⊥利用线面垂直的判定定理即可求证；（2）由三棱柱111ABC A B C -是正三棱柱，可知三个侧面都是长为3，宽为2的矩形，求三个面积之和即可.（1）因为正三棱柱111ABC A B C -，所以ABC 是等边三角形，因为D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥，因为1AA ⊥底面ABC ， CD ⊂底面ABC ，所以1AA CD ⊥.又因为1AA AB A =，AB 平面11ABB A ，1AA ⊂平面11ABB A ，所以CD ⊥平面11ABB A .（2）∵13AA =，2AB =，111ABC A B C -为正三棱柱，所以侧面积为1113332318A ABB S AB AA =⋅⋅=⨯⨯=.19. 将一颗质地均匀正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为y .（1）求事件“3x y +≤”的概率；（2）求事件“||2x y -=”的概率.（1）112（2）29 （1）先列出所有的基本事件，再找出满足条件的基本事件，利用满足条件的基本事件的个数除以所有的基本事件的个数即得到答案；（2）同（1）．解：设(,)x y 表示一个基本事件，则掷两次骰子包括：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5)，(1,6)(2,1),(2,2),,(6,5),(6,6)，共36个基本事件．（1）用A 表示事件“3x y +≤”,则A 的结果有(1,1),(1,2),(2,1)，共3个基本事件31()3612P A ∴== 因此，事件“3x y +≤”的概率为112 （2）用B 表示事件“||2x y -=” ,则B 的结果有(1,3),(2,4),(3,5),(4,6),(6,4),(5,3),(4,2),(3,1)，共8个基本事件82()369P B ∴== 因此，事件“||2x y -=”的概率为29本题主要考查了求古典概型的概率问题，属于基础题．20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，,E F 分别为,PC BD 的中点，平面PAD ⊥ 底面ABCD .（1）求证://EF 平面PAD ；（2）若2PA PD ==，求三棱锥C PBD -的体积.(1)见解析,(2) 23C PBD V -=. 试题分析：（I ）连接AC ，由条件证明EF 为三角形CPA 的中位线，可得EF ∥PA ．再由直线和平面平行的判定定理可得 EF ∥平面PAD ．（Ⅱ）取AD 得中点O ，由侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA=PD=2，可得PO 垂直平面ABCD ，且PO=1．再根据三棱锥P ﹣BCD 的体积V ，运算求得结果．（1）证明：连接AC ，则F 是AC 的中点，E 为PC 的中点，故在PCA ∆中，//EF PA ， 且PA ⊂平面PAD ，EF ⊄ 平面PAD ，∴//EF 平面PAD .(2)取AD 的中点M ，连接PM ，∵2PA PD ==，∴PM AD ⊥,∵222PA PD AD +=,∴APD ∆为直角三角形，∴1PM =. 又平面PAD ⊥ 平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，∴PM ⊥ 平面ABCD ，∴11122213323C PBD P BCD BCD V V S PM --∆==⋅=⨯⨯⨯⨯=. 点睛：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求三棱锥的体积．21. 今年5月底，中央开始鼓励“地摊经济”，地摊在全国遍地开花.某地政府组织调研本地地摊经济，随机选取100名地摊摊主了解他们每月的收入情况，并按收入(单位：千元)将摊主分成六个组[)5,10，[)10,15，[)15,20，[)20,25，[)25,30，[)30,35，得到下边收入频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中t 的值，并估计每月每名地摊摊主收入的中位数和平均数(单位：千元)；（2）已知从收入在[)10,20的地摊摊主中用分层抽样抽取5人，现从这5人中随机抽取2人，求抽取的2人收入都来自[)15,20的概率.（1）0.04t =，中位数为21.875(千元)，平均数为：20.75(千元)；（2）310. （1）由频率分布直方图中所有长方形的面积和为1，列方程可求出t 的值，利用中位数两边的频率相同可求出中位数，平均数等于各组中点值乘以对应的频率，再把所有的积加起来可得平均数；（2）利用分层抽样的比例求出[)10,15和[)15,20的人数，然后利用列举法把所有情况列出来，再利用古典概型的概率公式求解即可.（1）由()0.020.020.030.080.0151t +++++⨯=，则0.04t =，由()0.020.020.0350.35++⨯=，由0.50.355 1.8750.4-⨯=， 则中位数为20 1.87521.875+=(千元)，平均数为()7.50.0212.50.0217.50.0322.50.0827.50.0432.50.015⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯20.75=(千元)（2）由分层抽样可知[)10,15应抽取2人记为1，2，[)15,20应抽取3人记为a ，b ，c ，则从这5人中抽取2人的所有情况有：()()()()()()()()()()1,2,1,,1,,1,,2,,2,,2,,,,,,,a b c a b c a b a c b c ，共10种情况，记其中2人收入都来自[)15,20为事件A ，情况有()()(),,,,,a b a c b c 3种，则()310P A =. 此题考查了由频率分布直方图求中位数，平均数，考查了分层抽样，古典概型，考查了分析问题的能力，属于基础题.22. 已知圆22:430C x y x +-+=.（1）求过点(3,2)M 的圆的切线方程；（2）直线l 过点31,22N ⎛⎫ ⎪⎝⎭且被圆C 截得的弦长为m ，求m 的范围；（3）已知圆E 的圆心在x 轴上，与圆C 2216x y +=相内切，求圆E 的标准方程.（1）3x =或3410x y --=；（2）m ∈；（3）答案不唯一，具体见解析.（1）将圆的方程化为标准形式，求出圆心为(2,0)，半径为1，讨论切线的斜率存在或不存在，设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径即可求解斜率，即求.（2）当直线l CN ⊥时，弦长m 最短，求出m ，当直线l 经过圆心时，弦长最长，即求.（3）设圆222:()(0)E x a y r r -+=>，与圆C 相交于A ，B 两点，根据||AB =纵坐标，进而求出3,2⎛ ⎝⎭或5,2⎛ ⎝⎭在圆E 上，代入即可求解. （1）圆22:430C x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，其圆心为(2,0)，半径为1.当切线的斜率不存在时，切线方程为3x =，符合题意.当切线的斜率存在时，设切线斜率为k ，则切线方程为2(3)y k x -=-，即320kx y k --+=，1=，解得34k =， 此时，切线方程为3410x y --=.综上可得，圆的切线方程为3x =或3410x y --=.（2）当直线l CN ⊥时，弦长m 最短，此时直线l 的方程为10x y --=，所以m ==当直线l 经过圆心时，弦长最长，长为2，所以m ∈.（3）设圆222:()(0)E x a y r r -+=>，与圆C 相交于A ，B 两点，∵||AB =∴， 将234y =代入圆C 的方程，得32x =或52x =，∴3,22⎛± ⎝⎭或5,22⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭在圆E 上.∵圆E 内切于2216x y +=，∴圆E 经过点(4,0)或(4,0)-，若圆E 经过3,2⎛ ⎝⎭和(4,0)，则其标准方程为221349525x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，若圆E 经过5,22⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭和(4,0)，则其标准方程为22(3)1x y -+=，若圆E 经过3,22⎛± ⎝⎭和(4,0)-，则其标准方程为222133************ y ⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若圆E 经过5,22⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭和(4,0)-，则其标准方程为22294318491313169x y ⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 本题考查了圆的切线方程、弦长、圆的标准方程，考查了基本运算求解能力，属于基础题.。
江西省赣州市南康中学2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题(解析版)
江西省赣州市南康中学2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,5A =，集合{}1,3,4,6B =，则集合UA B =（）（ ） A. {}3 B. {}2,5C. {}1,4,6D. {}2,3,5『答案』B『解析』{}2,3,5A =,{}2,5UB =,则{}2,5U A B ⋂=（）,故选B.2.已知全集U =R ，集合A ={0，1，2，3，4}，{20}B x x x =><或，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {0，1，2}B. {1，2}C. {3，4}D. {0，3，4}『答案』A『解析』因为全集U =R ，集合{}0,1,2,3,4A =，{|2B x x =>或0}x <， 所以{}|02U C B x x =≤≤，所以图中阴影部分表示的集合为{}0,1,2U A C B ⋂=， 故选A.3.集合2{}6|A x x y x y -∈∈N N ＝＝＋，，的真子集的个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6『答案』C『解析』由于x ∈N ，y ∈N ，又因为2+6x y =-，则y 可取0，1，2，∴6{}25A =，，， 故集合A 的真子集个数为3217-=， 故选C ．4.已知集合{}12A x x =-≤<，{}B x x a =<若A B ≠∅，则实数a 的取值范围为（ ） A. (]1,2-B. ()1,-+∞C. ()2,-+∞D. [)2,+∞『答案』B『解析』因为{}12A x x =-≤<，{}B x x a =<，将集合A ，B 在数轴上表示出来，如图所示，结合A B ⋂≠∅可得1a >-，故选B5.下列各图中，不可能表示函数y ＝f(x )的图像的是( )A.B.C.D.『答案』B『解析』B 中一个x 对应两个函数值，不符合函数定义. 故选B.6.已知集合{}04P x x =≤≤，Q={02y y ≤≤}，下列不表示从P 到Q 的映射是（ ） A. 2:3f x y x →=B. 1:3f x y x →=.C. 1:2f x y x →= D. :f x y →=『答案』A『解析』对A ，对应关系为2:3f x y x →=，当[]0,4x ∈，80,3y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，823>，故A 错；B 、C 、D 三项经检验都符合映射条件 故选A7.下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）A. ()f x x =，()g x =B. ()f x =()2g x =C. ()211x f x x -=-，()1g x x =+D. ()2f x =，()g x =『答案』A『解析』对A, ()f x x ==()g x =对B, ())f x x R =∈，()()20g x x =≥定义域不同，不是同一函数；对C, ()()2111x f x x x -=≠-，()()1g x x x =+∈R 定义域不同，不是同一函数；对D, ()()20f x x =≤，())g x x =∈R故选：A8.设函数()223,122,1x x f x x x x -≥⎧=⎨--<⎩，若()01f x =，则0x =（ ） A. -1或33 B. 2或-3C. -1或2D. -1或2或3 『答案』C『解析』当01x ≥时，由0231x -=，可得02x =，符合题意；当01x <时，由200221x x --=，可得01x =-或03x =（舍），综上可知，0x 的值是-1或2， 故选：C ．9.下列函数中，不满足：(2)2()f x f x =的是（ ）A. ()f x x =B. ()f x x x =-C. ()1f x x =+D. ()f x x =-『答案』C『解析』A 中()()2222f x x x f x ===，B 中()()2222f x x x f x =-=， C 中()()2212f x x f x =+≠，D 中()()222f x x f x =-=10.已知集合{|12},{|35}A x a x a B x x =-≤≤+=<<,则能使B A ⊆成立的实数a 的取值范围是( ) A. {|34}x a <≤ B. {|34}x a ≤≤C. {|34}x a <<D. φ『答案』B 『解析』B A ⊆成立1325a a -≤⎧∴⎨+≥⎩解得34a ≤≤故选B.11.若函数()21242f x x x =-+的定义域、值域都是[]2,2(1),b b >则（ ） A. 2b = B. 2b ≥C. ()1,2b ∈D. ()2,b ∈+∞『答案』A 『解析』()21222422b b b ⨯-⨯+=， 整理可得：2320b b -+=， 解方程有：2b =或1b =(舍去)， 综上可得2b =. 本题选择A 选项.12.对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （ ） A. 无最大值，无最小值 B. 有最大值2，最小值1 C. 有最大值1，无最小值 D. 有最大值2，无最小值『答案』D『解析』画出()f x 的图像，如图（实线部分），由()1152y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A ． 故()f x 有最大值2，无最小值 故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.2{|21}A x y x x ==-+， 2{|21}B y y x x ==-+则A B =________________『答案』[)0,+∞『解析』{}{}22|21,?|21A x y x x R B y y x x ==-+===-+=[0,)+∞, 所以A B ⋂=[)0,.+∞ 14.已知3,fx =-则()f x =___________.『答案』()22-0xx ≥『解析』令)0t t =≥,则：221,1t x x t =-=+，据此可得：()()()223120f t t tt =-+=-≥，则函数的解析式()()220f x xx =-≥.15.已知()()()()5646x x f x f x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()3f 的值为___________．『答案』2『解析』由已知f （x ）()()()5646x x f x x ⎧-≥⎪=⎨+⎪⎩＜，∵3＜6∴f （3）＝f （3+4）＝f （7） 又∵7≥6∴f （7）＝7﹣5＝2故答案为：216.已知函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且()2f p =，()3f q =，那么()36f =__________．（用p ，q 表示） 『答案』()2p q +『解析』因为()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且()2f p =，()3f q =，所以(6)(2)(3)f f f p q =+=+，所以(36)(6)(6)2()f f f p q =+=+，故填 2()p q +.三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.若,a b ∈R ，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭. 求：（1）+a b ； （2）20222019a a +.解：（1）∵a 是分母，∴0a ≠，因此只能0a b +=； （2）由0a b +=得1ba=-，即{}{}1,0,0,1,a b =-，∴1a =-，1b =， ∴20222019112a a +=+=.18.已知集合{}2|430A x x x =-+=，{}2|90B x x ax =-+=，且()R B C A =∅.（1）用反证法证明B A ≠； （2）若B ≠∅，求实数a 的值．解：（1）由2430x x -+=，解得1x =或3，∴{}1,3A =， 假设B A =，则必有13139a+=⎧⎨⨯=⎩，与39≠矛盾，∴假设错误，∴B A ≠； （2）∵()R BC A =∅又B A ≠，∴B A ⊂≠，又B ≠∅，∴B 可能为{}1，{}3， 当{}1B =或{}3时，则2360a ∆=-=，即6a =±， ①当6a =时，{}3B =适合B A ⊂≠；②当6a =-时{}{}2|903B x x ax =-+==-不适合B A ⊂≠，应舍去．综上，实数6a =． 19.已知方程20x px q ++=两个不相等实根为,αβ．集合{},A αβ=，{}2,4,5,6B =，{}1,2,3,4C =，A C A =，A B =∅，求,p q 的值？解：由A C A =知A C ⊆又{},A αβ=，则C α∈，C β∈.而AB =∅，故B α∉，B β∉显然即属于C 又不属于B 的元素只有1和3.不妨设1α=，3β=.对于方程20x px q ++=的两根,αβ应用韦达定理可得4,3p q =-=. 20.已知二次函数()f x 满足2(1)(1)22,f x f x x x ++-=- 试求： （1）求 ()f x 的解析式；（2）若[0,2]x ∈，试求函数()f x 的值域.解：（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，则有()()2211222222f x f x ax bx a c x x ++-=+++=-，对任意实数x 恒成立，2222220a b a c =⎧⎪∴=-⎨⎪+=⎩，解之得1,1,1a b c ==-=-，()21f x x x ∴=--. （2）由(1)可得()f x 在102⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 上递减，在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递增，又1524f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()0121f f =-<=,所以，函数()f x 的值域为5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.21.某商品在近30天内每件的销售价格p （元）与时间t （天）的函数关系是20,025,100,2530,t t t p t t t +<<∈⎧=⎨-+≤≤∈⎩N N ，该商品的日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系是()40030,Q t t t =-+<≤∈N ．求这种商品的日销售金额y 的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？（注：日销售金额=日销售价格×日销售量）的解：∵日销售金额y p Q =⋅，∴()()2220800025,14040002530,t t t t y t t t t ⎧-++<<∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩N N ()()()()2210900025,709002530,t t t t t t ⎧--+<<∈⎪=⎨--≤≤∈⎪⎩N N . 当025t <<，t N ∈，10t =时，max 900y =（元）； 当2530t ≤≤，t N ∈，25t =时．max 1125y =（元）； ∵1125900>，∴第25天日销售金额最大，max 1125y =（元）． 22.已知函数()221f x x =-．（1）直接写出此函数的定义域与值域（用区间表示）； （2）证明：对于任意的x ∈R ，都有()()f x f x -=； （3）用单调性定义证明()f x 在(],0-∞上是减函数． 解：（1）定义域(),-∞+∞，值域[)1,-+∞.（2）对于任意的x ∈R ，()()()222121f x x x f x -=--=-=. （3）令120x x <-∞<≤，∵()()()()2212122121f x f x x x -=---()()()2212121222x x x x x x =-=-⋅+，又∵120x x <-∞<≤，∴120x x -<，120x x +<，∴()()120f x f x ->即()()12f x f x >，∴()f x 在(],0-∞上是减函数．。
江西省赣州市南康中学2019-2020学年高一下学期第二次大考数学试题 Word版含解析
南康中学2019-2020学年度第二学期高一第二次大考数 学 试 卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在ABC ∆中，()2,4AB =，()1,3AC =，则BC =（ ） A. ()3,7 B. ()3,5C. ()1,1D. ()1,1--【答案】D 【解析】 【分析】由向量的减法及坐标运算即可得解.【详解】解：因为BC =()1,1AC AB -=--， 故选D.【点睛】本题考查了向量差的坐标运算，属基础题.2.集合2*{|70}A x x x x N =-<∈，，则*6{|}B y N y A y=∈∈，中子集的个数为（ ） A. 4个 B. 8个C. 15个D. 16个【答案】D 【解析】 【详解】2*{|70}{1,2,3,4,5,6}A x x x x N =-<∈=，，*6{|}{1,2,3,6}B y N y A y=∈∈=，，即子集的个数为4216=，选D. 3.函数()f x 在()-∞+∞，上单调递增，且为奇函数，若()23f =，则满足()313f x -≤+≤的x 的取值范围是（ ） A. [2,2]- B. [3,3]-C. []04，D. []31-，【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数的性质，可得()()()212f f x f -≤+≤，再结合函数单调性即可求解 【详解】由奇函数的性质可得： ()()223f f -=-=-， 则不等式()313f x -≤+≤即： ()()()212f f x f -≤+≤， 结合函数的单调性脱去f 符号有： 212,31x x -≤+≤∴-≤≤. 故选：D【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，属于基础题. 4.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(,)2ππ上为减函数的是（ ）A. sin 2y x =B. 2|cos |y x =C. cos 2x y =D.tan()y x =-【答案】D 【解析】A 选项，函数在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故排除；B 选项，函数在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故排除； C 选项，函数的周期是4π，故排除；故选D 5.已知()2x af x -=是定义在R 上的偶函数，则下列不等关系正确的是A. 20.5(log 3)(log 5)()<<f f f aB. 0.52(log 5)(log 3)()<<f f f aC. 0.52()(log 5)(log 3)<<f a f fD. 20.5()(log 3)(log 5)<<f a f f【答案】D 【解析】 因为()=2x af x -是偶函数，则()()11f f -=，所以11a a -=--，所以0a =．所以()2,0=22,0x xx x f x x -⎧≥=⎨<⎩ ，()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增．又因为20.52log 30,log 5log 5>=-，所以()()()()0.522log 5log 5log 3f f f f a =>>，所以选D6.设直线l 的斜率为k ，且1k -<≤l 的倾斜角α的取值范围( )A. 30,,34πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B. 30,,64πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ C. 3,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭D. 30,,34πππ⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角α的取值范围.【详解】直线l 的斜率为k ，且1k -<≤∴1tan α-<≤，[0,)απ∈.∴3,0,43ππαπ⎛⎫⎡⎤∈⋃⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：D.【点睛】本小题主要考查直线斜率和倾斜角的对应关系，属于基础题.7.为了得到函数sin cos y x x =+的图象, 可以将函数4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ）A. 向左平行移动4π个单位 B. 向右平行移动4π个单位C. 向左平行移动2π个单位D. 向右平行移动2π个单位【答案】C 【解析】【详解】试题分析：因为sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 所以，将函数2sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平行移动2π个单位得2sin 2sin 244y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故选C ．考点：1、两角差的正弦公式；2、诱导公式及三角函数图象的平移变换．8.函数()lg (010){?16102x x f x x x ，，<≤=-+>，若()()()f a f b f c ==且a ，b ，c 互不相等，则abc 的取值范围是（ ）A. ()110，B. ()56，C. ()1012，D.()2024，【答案】C 【解析】作出函数()lg (010){?16102x x f x x x ，，<≤=-+>的图象（如图所示），∵()()()f a f b f c ==且a ，b ，c 互不相等，∴()()()01,110,1012a b c ∈∈∈，，，，∴由()()f a f b =得lg lg a b =，即lg lg a b -=，即1ab =，∴abc c =，由函数图象得abc 的取值范围是(1012)，，故选C.点睛：本题考查了分段函数图象的画法及其应用，对数函数及一次函数图象的画法，数形结合求参数的取值范围，画出分段函数图象并数形结合解决问题是解决本题的关键；先画出分段函数的图象，根据图象确定字母a ， b ， c 的取值范围，再利用函数解析式证明1ab =，最后数形结合写出其取值范围即可.9.已知单位向量1e 与2e 的夹角为23π，则向量1e 在向量2e 方向上的投影为（ ）A. 12-B.12C. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量投影的概念可求得向量1e 在向量2e 方向上的投影. 【详解】由于单位向量1e 与2e 的夹角为23π，则向量1e 在向量2e 方向上的投影为121cos32e π=-. 故选：A.【点睛】本题考查向量投影的计算，考查平面向量投影概念的应用，考查计算能力，属于基础题.10.等差数列{}n a 中，564,a a +=则10122log (222)a a a⋅⋅⋅=（ ）A. 40B. 20C. 10D. 2+52log【答案】B 【解析】()()11010121012102222log 2?2?·2log 2log 2a a a a a a a a +⨯+++⋅⋅⋅==，又110564a a a a +=+=∴()10122022log 2?2?·2log 220aa a ⋅⋅⋅==故选B11.函数()()21616logxxf x x -=-的图像大致为（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】试题分析：由定义域为(,0)(0,),()()()f x f x f x -∞⋃+∞-=-⇒是奇函数，可排除B 、C,由221111511111()(2)log 3(4)log ()()()424442242f f f f =-=->-=-=⇒>，故排除 D.因此选A.考点：函数的图象.12.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC 3，则c b b c +的最大值是（ ）A. 8B. 6C. D. 4【答案】D 【解析】22b c b c c b bc++=，这个形式很容易联想到余弦定理：cos A 2222b c a bc +-=，①而条件中的“高”容易联想到面积，11262a a ⨯=bc sin A ，即a 2＝sin A ，②将②代入①得：b 2＋c 2＝2bc (cos A A )，∴b c c b+＝2(cos A A )＝4sin(A ＋6π)，当A ＝3π时取得最大值4，故选D ．点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分）13.已知()(),4,2,1a m b m ==-，满足222a b a b +=+，则m =__________． 【答案】23【解析】 分析】根据已知条件，得(216,4m a m b =+=+然后求得()()222||23m a b m +=+++，结合222a b a b +=+列方程，解方程求得m 的值. 【详解】()()()()2222216,41,2,3,||23m m m m a m b m a b a b =+=+-+=+++=+++因为222a b a b +=+ ()()()222222316413m m m m m ∴+++=+++-∴=故答案为：23【点睛】本小题主要考查向量的模的运算，属于基础题. 14.若实数,x y 满足2234x y xy ++=，则x y +的最大值是____________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用基本不等式，根据2()2x y xy +≤把题设等式整理成关于x y +的不等式，求得其范围，则x y +的最大值可得．【详解】因为实数,x y 满足2234x y xy ++=， 所以23()4x y xy +=+， 2()2x y xy +≤， 223()()42x y x y +∴+-≤， 11x y ∴-≤+≤，故x y +最大值为1. 故答案为：1.【点睛】本题考查基本不等式的应用，关键是要把题设等式利用不等式转化为关于目标式的不等式，是基础题.15.已知在数列{}n a 的前n 项之和为n S ，若1112,21n n n a a a -+==++，则10S =_______．【答案】1078 【解析】111112,2121n n n n n n a a a a a --++==++⇒-=+11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---⇒=-+-++-+-+⇒23122211n n n a n a --=+++++-+.111212212n n n n ---=+-+=+-. 29101011122210782S ⨯=+++++=. 答案为：1078.16.如图， ,,A B C 是直线l 上的三点， P 是直线l 外一点，已知112AB BC ==， 90CPB ∠=， 4tan 3APB ∠=．则PA PC ⋅=_________.【答案】3217- 【解析】【详解】设PBC θ∠= ，434tan ,cos ,sin 355APB APB APB ∠=∴∠=∠=，则由112AB BC ==可得()15 22sin 4PC sin PB cos PA sin sin APB θθπθθ===-∠，，＝，且()222222214418AB PB PB AB cos cos P cos cos A πθθθθ+--=++=+＝，2225sin 1816cos θθ∴=+，解得216sin 17θ= 则()5cos sin 2sin cos 904PC PC APC AP PA PA B θθ⋅=⋅⋅∠=⋅+∠()2532sin sin 217APB θ=-∠=- 即答案为3217-三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.其中17题10分，其他12分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设向量,a b 满足||||1a b ==及|32|7a b -=，（Ⅰ）求,a b 夹角θ的大小； （Ⅱ）求|3|a b +的值． 【答案】（Ⅰ）3πθ=（Ⅱ）313a b +=【解析】 【分析】（Ⅰ ）对327a b -=进行平方，利用向量的数量积公式，可以求出,a b 夹角θ的大小；（Ⅱ）先对3a b +进行平方运算，然后把结果再开算术平方根. 【详解】解：（Ⅰ）由327a b -=， 得()2327a b-=，即229124|7a a b b -⋅+=，∵1a b ==，∴12a b ⋅=． ∴11cos ,cos 22a b θθ⋅==．又∵[]0,θπ∈，∴,a b 夹角3πθ=；（Ⅱ）∵()22239|6|a b a a b b +=+⋅+＝196cos1961111332a b π++=+⨯⨯⨯+=． ∴331a b +=．【点睛】本题考查了应用向量数量积求向量夹角问题、求向量模大小问题，考查了运算能力.常见的求模的口诀是遇模则平方再开算术平方根，也就是应用2a a =这个公式.18.已知(3sin cos )a x x =-，，(cos cos )b x x =，，()f x a b =⋅ （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若A ，B ，C 为锐角ABC 的三个内角，且2A B =，求(A)f 的取值范围. 【答案】(1)63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，，k Z∈；(2)1(0)2，. 【解析】【详解】试题分析：（1）先根据向量数量积得()23sin cos cos f x a b x x x =⋅=-，再根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数，最后根据正弦函数性质求单调递增区间（2）由锐角三角形以及2A B =，求出A 范围，再结合正弦函数性质求()f A 的取值范围. 试题解析：（1）()23sin cos cos f x a b x x x =⋅=-11cos222x x =-- 1sin 262x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭由222262k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈得63k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈故()f x 的单调递增区间为63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，，k Z ∈（2）依题可得020202A B C πππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩又2A B =，A B C π++=，解得：32A ππ<<， 52266A πππ<-<∴1sin 2126A π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭ ∴110sin 2622A π⎛⎫<--< ⎪⎝⎭ 即()f A 的取值范围为102⎛⎫⎪⎝⎭，19.已知正项等比数列{}n b （*n N ∈）中，公比1q >，且3540b b +=，35·256b b =， 2log 2n n a b =+.（1）求证：数列{}n a 是等差数列. （2）若11·n n n c a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）见解析；（2）39nn + 【解析】 【分析】（1）根据353540·256b b b b +=⎧⎨=⎩，，求出38b =，532b =，求出2q得2n n b =，即得2n a n =+，再证明数列{}n a 是等差数列； （2）求出1123nc n n ，再利用裂项相消求数列{}n c 的前n 项和n S .【详解】（1）由题得353540·256b b b b +=⎧⎨=⎩，，，所以3b ，5b 是方程2402560x x -+=的两根，注意到1n n b b +>， 所以38b =，532b =，2534b q b ==，∴2q 或2q =-（不合题意，舍去）.∴332n n n b b q -==.所以22log 2log 222nn n a b n =+=+=+.所以13(2)1n n a a n n +-=+-+=∴数列{}n a 是首项为3，公差为1的等差数列.（2）2n a n =+，∴()()1112323n c n n n n ==-++++ ∴111111344523n S n n =-+-++-++113339n n n =-=++. 【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法，考查等差数列性质的证明，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 20.已知：ABC ∆中，满足2cos cos c b Ba A-=. （Ⅰ）求角A大小；（Ⅱ）若a =ABC ∆面积的最大值. 【答案】（Ⅰ）3A π∠=；（Ⅱ）【解析】 【分析】（Ⅰ）把条件中所给的既有角又有边的等式利用正弦定理变化成只有角的形式，整理逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角的关系，得到结果． （Ⅱ）利用余弦定理写成关于角A 的表示式，整理出两个边的积的范围，表示出三角形的面积，得到面积的最大值． 【详解】解：（Ⅰ）因为2cos cos c b Ba A-=， 所以(2)cos cos c b A a B -⋅=⋅， 由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos C B A A B -⋅=⋅. 整理得2sin cos sin cos sin cos CA B A A B ⋅-⋅=⋅. 所以2sin cos sin()sinC A A B C ⋅=+=. 在△ABC 中，sin 0C ≠. 所以1cos 2A =， 3A π∴=；（Ⅱ）由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，a = 所以2220b c bc +-=，222b c bc +≥2220220b c bc bc ∴+-=≥-所以20bc ≤，当且仅当b c =时取“=” 所以三角形的面积1sin 2S bc A =≤所以三角形面积的最大值为【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，本题解题的关键是角和边的灵活互化，两个定理的灵活应用和两角和的公式的正用和逆用，属于中档题．21.南康某服装厂拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用()04x x ≤≤万元满足131m x =-+.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）. （1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数； （2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？ 【答案】（1）[]()16560,41y x x x =--∈+；（2）该服装厂2020年的促销费用投入3万元时，利润最大.【解析】 【分析】（1）由题意知，每件产品的销售价格为8162mm+⨯，再由该产品的利润等于产品的总销售额减去固定投入、再投入以及年促销费，可得出利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数；（2）将函数解析式变形为()165711y x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦，利用基本不等式可求得该服装厂2020年利润的最大值，利用等号成立的条件可求得该服装厂2020年的促销费用. 【详解】（1）由题意知：每件产品的销售价格为8162mm+⨯， ()816116281681681635611m y m m x m x x x m x x +⎛⎫∴=⋅⨯-++=+-=+--=-- ⎪++⎝⎭[]()0,4x ∈；（2）由()161656571574911y x x x x ⎡⎤=--=-++≤-=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当1611x x =++，即3x =时取等号. 答：该服装厂2020年的促销费用投入3万元时，利润最大.【点睛】本题考查利用基本不等式解决实际问题，求出函数解析式是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.22.已知幂函数()()23122233p p f x p p x--=-+满足()()24f f <．（1）求函数()f x 的解析式； （2）若函数()()()[]2,1,9g x fx mf x x =+∈，是否存在实数m 使得()g x 的最小值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由；（3）若函数()()3h x n f x =-+，是否存在实数(),a b a b <，使函数()h x 在[],a b 上的值域为[],a b ？若存在，求出实数n 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）()12f x x =；（2）存在1m =-使得()g x 的最小值为0；（3）9,24n ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦． 【解析】试题分析：（1）根据幂函数()f x 是幂函数，可得2331p p -+=，求解p 的值，即可得到函数的解析式； （2）由函数()()()2,[1,9]g x fx mf x x =+∈，利用换元法转化为二次函数问题，求解其最小值，即可求解实数m 的取值范围；（3）由函数()9(3)h x f x =-+，求解()h x 的解析式，判断其单调性，根据在[],a b 上的值域为[],a b ，转化为方程有解问题，即可求解n 的取值范围． 试题解析：（1）∵()f x 为幂函数，∴2331p p -+=，∴1p =或2p =．当1p =时，()1f x x -=在()0,+∞上单调递减，故()()24f f >不符合题意． 当2p =时，()12f x x ==在()0,+∞上单调递增，故()()24f f <，符合题意．∴()f x =（2）()g x x =+令t =．∵[]1,9x ∈，∴[]1,3t ∈，∴()2g x t mt =+，[]1,3t ∈．当12m-≤时，1t =时，()g x 有最小值， ∴10m +=，1m =-．②当132m <-<时，2m t =-时，()g x 有最小值．∴204m -=，0m =（舍）． ③当32m-≥时，3t =时，()g x 有最小值， ∴930m +=，3m =-（舍）．∴综上1m =-． （3）()h x n =， 易知()h x 在定义域上单调递减，∴()()h a b h b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即n b h a⎧=⎪⎨=⎪⎩，S =t =，则23a S =-，23b t =-，∴2233n S t n t S ⎧-=-⎨-=-⎩，∴22t S S t +=+， ∴()()10t S t S -+-=． ∵a b <，∴S t <，∴10t S +-=，∴1t S =-，1=． ∵a b <，∴1134a -≤<-，∴10,2S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， ∴23n t S =+- 22S S =-- 21924S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．∴9,24n ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦． 点睛：本题主要考查了幂函数的解析式，函数最值的求解，方程与不等式的性质等知识点的综合应用，其中熟记一元二次函数的图象与性质是解答的关键，试题综合性强，属于难题，考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识．。
江西省赣州市南康中学2020-2021学年高二上学期第三次大考数学(文)试题含答案
南康中学2020-2021学年度第一学期高二第三次大考数学（文）试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1、已知两点，(3,4)B ，则直线AB 的斜率为（ ）A ．2B ．12- C ．12 D ．2-2、设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β B ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β C ．若l ⊥α，l ∥β，则α∥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β3、若某中学高二年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（ ）A ．90.5B ．91.5C ．90D ．914、如图①、②分别是甲、乙两户居民家庭全年各项支出的统计图.根据统计图，下列对两户教育支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是( )A.甲户比乙户大B.乙户比甲户大C.甲、乙两户一般大D.无法确定哪一户大5、观察下列各图形，其中两个变量x y ，具有相关关系的图是（ ）A ．①②B ．③④C ．①④D ．③6、某中学高一年级共有学生1200人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高一年级共有女生（ ） A ．630 B ．615 C ．600 D ．5707、已知水平放置的ABC ∆是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中1,B O C O ''''==3A O ''=，那么原ABC ∆的面积是( )A ．3B ．22C ．32D ．348、若一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为2，方差为3，则125x +，225x +，325x +，…，25n x +的平均数和方差分别是（ ）A ．9，11B ．4，11C ．9，12D ．4，179、某程序框图如图所示，若输出的57S =，则判断框内填（ ）A.4k ≥？B.5k ≥？C.6k ≥？D.7k ≥？ 10、经过直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线方程是( )A ．280x y +-=B ．280x y --=C ．280x y ++=D ．280x y -+=11、在三棱锥B ACD -中，3ABC ABD DBC π∠=∠=∠=，3,2AB BC BD ===，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为（ ） A ．192π B ．19π C ．756πD ．7π12、著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如22()()x a y b -+-可以转化为平面上点(,)M x y 与点(,)N a b 的距离结合上述观点，可得22()420210f x x x x x =+++++的最小值( )A.32B.42C.52D.72二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13、向边长为2的正方形中随机撒一粒豆子，则豆子落在正方形的内切圆内的概率是 14、如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，异面直线AD 与CB 1所成的角为15、2022年北京冬季奥运会将在北京和张家口两个城市举行，北京市某学校为此举办了主题为“迎冬奥运，普及冰雪运动”的手抄报展示活动，学校决定从收集到的300份作品中，抽取15份进行展示，现采用系统抽样的方法，将这300份作品从001到300进行编号，已知第一组中被抽到的号码为17，则所抽到的第五组号码为________ 16、如图，在直角梯形ABCD 中，BC ⊥DC，AE⊥DC，M ，N 分别是AD ，BE 的中点，将三角形ADE 沿AE 折起，则下列说法正确的是________(填序号)．①不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)，都有MN∥平面DEC ；②不论D 折至何位置，都有MN⊥AE；③不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)，都有MN∥AB；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.开始结束是否1,1S k ==1k k =+2S S k=+S输出A B C N MD E三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知等差数列{}n a 满足833aa =，124a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.(本小题满分12分)如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D 为AB 的中点. （Ⅰ）求证：CD平面ABB 1A 1；（Ⅱ）已知AA 1＝3，AB ＝2，求正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面积。
江西省南康中学2019_2020学年高一数学上学期第一次月考试题
南康中学2019～2020学年度第一学期高一第一次大考数 学 试 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}235A =,,，集合{}1346B =,,,，则集合()U A C B =∩ A ．{}3B ．{}25,C ．{}146,,D ．{}235,, 2．已知全集U =R ，集合{}01234A =,,,,，{}20B x x x =><或，则图中阴影部分表示的集合为A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}3,4D ．{}0,3,43．集合{}26y y x x ∈=-+∈N N ,的真子集的个数是A ．9B ．8C ．7D ．64．已知集合{}12A x x =-≤<，{}B x x a =<，若A B ≠∅∩，则实数a 的取值范围为A ．12a -<≤B ．1a >-C ．2a >-D ．2a ≥5．下列各图中，不可能表示函数()y f x =的图像的是A ．B ．C ．D ．6．已知集合{}{}04,02A x x B y y =≤≤=≤≤，则下列不表示从A 到B 的映射的是A ．1:2f x y x →=B ．1:3f x y x →=C ．2:3f x y x →=D．:f x y →=7．下列四组函数中，表示相同函数的一组是A．(),()f x x g x ==B．2()()f x g x =C ．21(),()11x f x g x x x -==+-D．2(),()f x g x ==8．设函数()223,122,1x x f x x x x -≥⎧⎨--<⎩＝，若()01f x =，则0=x A ．1-或3B ．2或3C ．1-或2D ．1-或2或39．下列函数中，不满足：(2)2()f x f x =的是A ．()f x x =B ．()f x x x =-C ．()f x x =-D ．()1f x x =+10．已知集合{}12A x a x a =-≤≤+，{}35B x x =<<，则能使A B ⊇成立的实数a 的取值范围是A ．{}34a a <≤B ．{}34a a <<C ． {}34a a ≤≤D ．∅11．若函数21()242f x x x =-+的定义域、值域都是[2,2](1)b b >则 A ．2b =B ．2b ≥C ．(1,2)b ∈D ．(2,)b ∈+∞12．对任意实数x ，规定f (x )取4－x ，x ＋1，12(5－x )三个值中的最小值，则f (x )A ．无最大值，无最小值B ．有最大值2，最小值1C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若{}221A x y x x ==-+，{}221B y y x x ==-+，则A B =∩_____ ______．14．已知3f x =-，则()f x =______ _____．15．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5(x ≥6)，f (x ＋4)(x <6)，则f (3)的值为__ ______．16．已知函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且()2f p =，()3f q =，那么()36f =____ _．（用p ，q 表示）三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）若,a b ∈R ，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭， 求：（1）a b +; （2）20222019a b +．18．（12分）已知集合2{|430}A x x x =-+=，2{|90}B x x ax =-+=，且)R B C A =∅∩(． （1）用反证法证明B A ≠； （2）若B ≠∅，求实数a 的值．19．（12分）已知方程20x px q ++=的两个不相等实根为,αβ．集合{},A αβ=，{}2,4,5,6B =，{}1,2,3,4C =，且,A C A A B ==∅∩∩．求实数,p q 的值．20．（12分）已知二次函数()f x 满足2(1)(1)22f x f x x x ++-=-，试求：（1）求()f x 的解析式；（2）若[0,2]x ∈，试求函数()f x 的值域．21．（12分）某商品在近30天内每件的销售价格p (元)与时间t (天)的函数关系是p ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，t ∈N ，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N .该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系是Q ＝－t ＋40(0<t ≤30，t ∈N ) ．求这种商品的日销售金额y 的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？（注：日销售金额=日销售价格×日销售量）22．（12分）已知函数()221f x x =-．（1）直接写出此函数的定义域与值域（用区间表示）； （2）证明:对于任意的x ∈R ，都有 ()()f x f x -=； （3）用单调性定义证明()f x 在(],0-∞上是减函数．南康中学2019～2020学年度第一学期高一第一次大考数学试卷参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】∵{}1,2,3,4,5,6U =，{}1346B =,,,，∴{2,5}U C B =， ∵{}235A =,,，则(){2,5}U A C B =∩，故选B ． 2．【答案】A【解析】∵全集U =R ，集合{}01234A =,,,,，{}20B x x x =><或，∴{|02}U C B x x =≤≤，∴图中阴影部分表示的集合为(){0,1,2}U A C B =∩，故选A ． 3．【答案】C【解析】0x =时，6y =；1x =时，5y =；2x =时，2y =；3x =时，3y =-； ∵函数26y x =-+在[)0+∞,上是减函数，∴当3x ≥时，0y <；{}{}262,5,6y y x x ∈=-+∈=N N ,，共3个元素，可得其真子集的个数为3217-=个，故选C ． 4．【答案】B【解析】∵{}12A x x =-≤<，{}B x x a =<，A B ≠∅∩， 作出图形如下： ∴1a >-，故选B ． 5．【答案】B【解析】函数表示每个自变量x 有唯一的函数值y 与之对应的一种对应关系， 对B 中图象，0x ≠的x 值，有两个y 值与之对应，故不是函数图象，故选B ． 6．【答案】C【解析】对于选项,,A B D ，集合{}|04A x x =≤≤中每一个x 值，集合{}|02B y y =≤≤中都存在唯一的y 与之对应，因此符合映射“都有像， 像唯一”的定义；对于选项C ，当34x <≤时，B 中不存在元素与之对应即当34x <≤时“无像”， 所以23f x y x →：＝不是从A 到B 的映射，故选C ． 7．【答案】A【解析】∵只有当定义域和对应法则相同的时候，才能保证函数相同 可知选项B 、C 、D 中，定义域不同．∴只能选A ． 8．【答案】C【解析】当01x ≥时，由0231x -=，可得02x =，符合题意；当01x <时，由200221x x --=，可得01x =-或03x =（舍），综上可知，0x 的值是1-或2，故选C ． 9．【答案】Ｄ【解析】A 中()()2222f x x x f x ===； B 中()()2222f x x x f x =-=； C 中()()222f x x f x =-=； D 中()()2212f x x f x =+≠． 10．【答案】C【解析】∵A B ⊇，∴1325a a -≤⎧⎨+≥⎩，∴34a ≤≤，故选C ．11．【答案】A【解析】∵函数21242y x x =-+的对称轴为2x =， 由二次函数的性质可得()f x 在[]2,2b 上为增函数，且有1b >， ∵函数21242y x x =-+的定义域，值域都是[]2,2b ，()22f b b ∴=， 即()21222422b b b ⨯-⨯+=， 化简可得2320b b -+=，解得2b =或1b =（舍去），故选A ．12．【答案】Ｄ [画出f (x )的图像，如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝12(5－x )，得A (1,2)．]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】[)0,+∞【解析】{}221A x y x x ==-+=R ，{}[)2210,B y y x x ==-+=+∞，∴[0,)A B =+∞∩．14．【答案】22(0)x x -≥()210t x t t =⇒=+≥，那么()()223120f t t tt =--=-≥，则()()220f x xx =-≥，故答案为()220x x -≥．15．【答案】2 [f (3)＝f (7)＝7－5＝2.] 16．【答案】()2p q +【解析】因为()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且()2f p =，()3f q =，所以(6)(2)(3)f f f p q =+=+，所以(36)(6)(6)2(f f f p q =+=+，故填2()p q +．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【解】（1）∵a 是分母，∴0a ≠，因此只能0a b +=;………………5分（2）由0a b +=得1ba=-，即{}{}1,0,0,1,a b =- ∴1a =-，1b =∴20222019112a b +=+=．………………10分18．【解】（1）由2430x x -+=，解得1x =或3，{}1,3A ∴=，设B A =，则必有13139a+=⎧⎨⨯=⎩，与39≠矛盾，∴假设错误，∴B A ≠；………………6分（2）∵)R B C A =∅∩(又B A ≠∴B A ，又B ≠∅，∴B 可能为{}{}1,3，当{}1B =或{}3时，要求2360Δa =-=，即6a =±， ①当6a =时，{}3B =适合BA ；②当6a =-时2{|90}B x x ax =-+=={3}-不适合B A ，应舍去．综上，实数6a =．………………12分19．【解】由A C A =∩，知A C ⊆，又{},A αβ=，则C α∈，C β∈，而,A B =∅∩，故B α∉，B β∉， 显然即属于C 又不属于B 的元素只有1和3． 不妨设1α=，3β=………………6分对于方程20x px q ++=的两根,αβ，应用韦达定理可得4p =-，3q =．………………12分 20．【解】（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，则有()()2211222222f x f x ax bx a c x x ++-=+++=-，对任意实数x 恒成立，2222220a b a c =⎧⎪∴=-⎨⎪+=⎩，解之得1a =，1b =-，1c =-，()21f x x x ∴=--．…………6分 （2）由（1）可得215()()24f x x =--在102⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递减，在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递增， 又1524f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()()0121f f =-<=， ∴函数()f x 的值域为5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．………………12分 21．【解】∵日销售金额y ＝p ·Q ，∴ y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800(0<t <25，t ∈N )，t 2－140t ＋4000(25≤t ≤30，t ∈N )，………………6分＝⎩⎪⎨⎪⎧－(t －10)2＋900(0<t <25，t ∈N )，(t －70)2－900(25≤t ≤30，t ∈N )，当0<t <25，t ∈N ，t ＝10时，y max ＝900(元)； 当25≤t ≤30，t ∈N ，t ＝25时．y max ＝1125(元)∵ 1125>900，∴第25天日销售金额最大，y max ＝1125(元)．…………12分答：略22【解】（1）定义域(,-∞+∞)，值域+∞[-1,)……………………4分（2）对于任意的x ∈R ，()()221f x x -=--()221x f x =-=…………8分（3）令12x x ∞-<<≤0∵()()()()2212122121f x f x x x -=---()()()2212121222x x x x x x =-=-⋅+又∵12x x ∞-<<≤0，∴120x x -<，120x x +< ∴()()120f x f x ->即12((f x f x )>)∴()f x 在(],0-∞上是减函数．……………………12分。
江西省赣州市南康区2019-2020学年高一下学期线上教学检测数学试题(二)
A． 钱
B． 钱
C． 钱
D． 钱
7. 若等差数列 A．-1
和等比数列
满足 B．1
，则 （ ） C．-4
8. 在等差数列 A．24
中，若
B．36
，则
的值为（ ） C．48
D．4 D．60
9. 在各项均为正数的等比数列 A．2018
中，若 B．
，则
C．1009
的值为 D．
10. 在等比数列 中，若 ， 是方程
的两根，则 的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
11. 设 是各项均不为0的等差数列 的前 项和，且
A．1
B．3
，则 等于（ ） C．7
D．13
12. 已知等比数列 A．
的公比是 ，首项 B．
，前 项和为 ，设 C．
成等差数列，若
，则正整数 的最大值是 D．
二、填空题
13. 己知 是等差数列， 是其前 项和，
（2）若数列 是递增数列，其前 项和为 ，且
的两根.
，求数列
的前 项和 .
22. 设 为数列 的前 项和，已知
，
（Ⅰ）求 ， ，并求数列 的通项公式；
（Ⅱ）求数列
的前 项和 ．
，
．
江西省赣州市南康区2019-2020学年高一下学期线上教学检测数学试题（二）
一、单选题
1. 已知数列 A．3
中，
，若 B．4
，则 等于（ ）
C．5
D．6
2. 两数
与
的等比中项是（ ）
A．1
B．
C． 或1
D．
3. 已知在等比数列 中，
，
，则 （ ）
【数学】江西省赣州市南康中学2019-2020学年高一上学期期中考试试题
江西省赣州市南康中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、集合{}M =直线, 集合{}N =抛物线, 则集合M N 元素的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．0个、1个或2个2、给定映射:f x y →,其中{}{},,,1,2,x a b c y ∈∈则()1f a =时不同的映射f 的个数是（ ） A. 2B. 3C. 4D. 53、函数2()log (43)f x x =-的单调增区间是（ ）A.(),-∞+∞B.3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. 3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭4、已知0.80.82,log 0.70.8, 1.1b a c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．B ．C ．D ．5、已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A.B.C.D.6、函数()[]()11122,142xx f x x -⎛⎫⎛⎫=-+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域是（ ）A ． []1,10B ．5,104⎛⎤⎥⎝⎦C ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,104⎡⎤⎢⎥⎣⎦7、已知函数()()()log 01a xx a f x x a <<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，（其中1a >），则()2f f a ⎡⎤=⎣⎦（ ）A ．0B ．1C ．2D ．log 2a8、已知函数()xf x a =，且(1)y f x =+过点()2,4，则函数log a y x =的图像必过点（ ）A ．()3,4B. ()2,3C. ()3,2D. ()4,39、已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >），若()f x 的图象如图所示，c b a <<c a b <<a c b <<a c b <<()f x [)+∞,3)11(+x f ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-34,⎥⎦⎤ ⎝⎛34,1⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,则函数()xg x a b =+的图像是（ ）ABCD10、函数2()lg(43)f x x x a =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A.40,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.30,4⎛⎫⎪⎝⎭C. 43⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， D.3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11、已知函数53()2f x ax bx =++，且()2ln(log 3)7f =，则()3ln(log 2)f =（ ） A ．7-B. 5-C. 3-D. 1-12、已知函数2()f x ax bx c =++，且,0a b c a b c >>++=，集合{}|()0A m f m =<，则（ ）A ．对任意的m A ∈，都有(3)0f m +>B ．对任意的m A ∈，都有(3)0f m +<C ．存在0m A ∈，使得0(3)0f m +=D ．存在0m A ∈，使得0(3)0f m +<二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、已知2(1)2,(1)f x x x f x +=+-=则 .14、已知函数9()log (91)xf x kx =++ 是偶函数，则实数k 的值为________.15、已知()()()()331121x a x axfxa x⎧--≤⎪=⎨⎪>⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是______.16、某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以教第97页B 组第3题的函数()1()lg ,1,11xf x x x-=∈-+为基本素材，研究该函数的相性质，取得部分研究成果如下：①同学甲发现：函数)(x f 是偶函数； ②同学乙发现：对于任意的)1,1(-∈x 都有)(2)12(2x f x xf =+； ③同学丙发现：对于任意的)1,1(,-∈b a ，都有)1()()(abba fb f a f ++=+； ④同学丁发现：对于函数)(x f 定义域中任意的两个不同实数21,x x ，总满足1212()()0f x f x x x ->-.其中所有正确研究成果的序号是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分10分）已知全集,U =R 集合，{}|42B x x x =<->或，（1）求AB ;（2）若()U C C A B ⊆，求实数a 的取值范围.18、（本小题满分12分） 计算：⑴121030.75332564()[(2)]160.019-------++⑵7log 22235(lg5)lg 2lg5lg 20log 25log 4log 97+⨯++⨯⨯+19、（本小题满分12分） 已知幂函数2(2)(1)()(1)k k f x k k x -+=+- 在 ()0,+∞ 上单调递增.(1)求实数k 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式；(2)对于（1）中的函数()f x ，试判断是否存在正数m ，使函数 ()1()(21)g x mf x m x =-+-，在区间 []0,1 上的最大值为5 , 若存在,求出m 的值 ; 若不存在,请说明理由.20、（本小题满分12分）进入21世纪以来，南康区家具产业快速发展，为广大市民提供了数十万就业岗位，提高了广大市民的收入，也带动南康和周边县市的经济快速发展.同时，由于生产设备相对落后，生产过程中产生大量粉尘、废气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现，工业废气、粉尘等污染物排放是雾霾形成和持续的重要原因，治理污染刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气、粉尘处理设备，使产生的废气、粉尘经过过滤后再排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气粉尘污染物的数量P （单位：/mg L ）与过滤时间t (单位：h )间的关系为()P t =0ktP e-(0,P k 均为非零常数，e 为自然对数的底数)其中0P 为0t =时的污染物数量.若过滤5h 后还剩余90%的污染物. （1）求常数k 的值.(2)试计算污染物减少到40%至少需要多长时间（精确到1h .参考数据：ln 0.2 1.61,ln 0.3 1.20,ln 0.40.92,ln 0.50.69ln 0.90.11≈-≈-≈-≈-≈-，）21、（本小题满分12分）已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间上有最大值4和最小值1，设（1）求,a b 的值；（2）若不等式02)2(≥⋅-xxk f 在上恒成立，求实数k 的取值范围.22 、（本小题满分12分）[]2,3[]2,1x ∈--定义：对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”．（1）已知二次函数2()24()f x ax x a a R =+-∈，试判断()f x 是否为定义域R 上的“局部奇函数” ? 若是，求出所有满足()()f x f x -=- 的x 的值；若不是，请说明理由． （2）若()2x f x m =+是定义在区间[]1,1-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．【参考答案】一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13、22x x - 14、1-215、(]1,2 16. ②③ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.解：（1）{}|27A x x =<<，{}|42B x x x =<->或，{}|27A B x x =<< (3)分，（2）{}|42A B x x x =<->或{}U C (A B)x|-4x 2=≤≤，……5分0a ≤时，C =∅，满足()C A B ⊆，…7分当C ≠∅只需014212a a a >⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，即910分 18、（1）17 ；…………………6分（2）12 …………………12分 19、解:（１）因为幂函数2(2)(1)()(1)k k f x k k x-+=+-在(0,)+∞上单调递增，()()21012,k k k ∴-+>⇒-<<211,21k k k k +-=∴=-=或所以1k =，()2f x x =；所以()2f x x =．…………………5分（２）()()()()2121211g x mf x m x mx m x =-+-=-+-+，0m >，()g x 开口方向向下，对称轴2111122m x m m-==-<…………7分 又()()01,g g x =在区间[]0,1上的最大值为5，1110221152m m g m m ⎧⎧->>⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪-== ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎩ 52m ∴=…………………12分()005000;590%P .1%P ,ln 0.9(0.02216).5k t P P t P P e k k -======⋯-≈⋯时，当时，于是有9020、由已知得或，当解得分11(ln 0.9)(ln 0.9)550000,=40%0.4=,ln 0.40.92 4.6042.110.11ln 0.9(0.11)5151t t P P eP P P P et =-=≈⋯⨯⋯≈-⋯≈（2）由（1）知当时，有解得分40%.1422⋯⋯⋯故污染物减少到至少需要小时分21、解：2()(1)1g x a x b a=-++-，因为，所以在区间上是增函数，故，解得．…5分（2）由已知可得，所以可化为，化为，令，则，因，故，记2()21h t t t =-+，，故， 所以k 的取值范围是(],1-∞． ………12分 22．解：（1）当， 方程 即，有解所以为“局部奇函数” ……………4分（2）法一：当时，可化为因为的定义域为，所以方程在上有解令，则，设，则在上为减函数，在上为增函数，[]2,1x ∈--[]2,4t ∈[]2,4t ∈()min 1h t =所以当时，，所以，即；……… 12分法二：当时，可化为因为的定义域为，所以方程即在上有解令，则关于的二次方程在上有解即可保证为“局部奇函数”设，当方程在上只有一解时，须满足或，解之得（舍去，因为此时方程在区间有两解，不符合这种情况）或；当方程在上两个不等的实根时，须满足，综上可知；……… 12分。
2019～2020学年度学年度江西省赣州市南康中学高一第1学期第一次月考数学试题及参考答案解析
2019～2020学年度江西省赣州市南康中学高一第一学期第一次月考数学试题一、单选题 1.已知全集,集合,集合,则集合( )A.B.C.D.【试题答案】B 【试题解答】,,则,故选B.本题主要考查集合的交集与补集运算.2.已知全集U =R,集合A ={0,1,2,3,4},{20}B x x x =><或,则图中阴影部分表示的集合为( )A.{0,1,2}B.{1,2}C.{3,4}D.{0,3,4}【试题答案】A【试题解答】首先根据题中所给的韦恩图,判断阴影部分所满足的条件,得到其为U A C B ⋂,根据题中所给的集合,求得相应的补集和交集,得到最后的结果.因为全集U =R ,集合{}0,1,2,3,4A =,{|2B x x =>或0}x <, 所以{}|02U C B x x =≤≤,所以图中阴影部分表示的集合为{}0,1,2U A C B ⋂=, 故选A.该题考查的是有关集合的问题,涉及到的知识点有集合的补集,集合的交集,用韦恩图表示集合,属于简单题目.3.集合26{|}A x x y x N y N -∈∈＝＝＋，，的真子集的个数为( )A.9B.8C.7D.6【试题答案】C【试题解答】分析得到y 可取0,1,2,所以6{}25A =，，,再求集合A 的真子集的个数.由于x ∈N ,y N ∈,又因为2+6x y =-, 则y 可取0,1,2,∴6{}25A =，，, 故集合A 的真子集个数为3217-=, 故选:C.本题主要考查集合及其真子集,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题. 4.已知集合{}12A x x =-≤<,{}B x x a =<若A B ⋂≠∅,则实数a 的取值范围为( ) A.(]1,2- B.()1,-+∞C.()2,-+∞D.[)2,+∞【试题答案】B【试题解答】根据A B ⋂≠∅,说明集合A 与集合B 有公共元素存在,再将集合A 与集合B 在数轴上表示出来,进行求解即可因为{}12A x x =-≤<,{}B x x a =<,将集合A ,B 在数轴上表示出来,如图所示,结合A B ⋂≠∅可得1a >-,故选B.本题考查根据集合的交集运算求解参数问题,若不能明确看出两集合基本关系,常辅以数轴图加以理解,提升准确率5.下列各图中,不可能表示函数y ＝f(x)的图像的是( )A. B. C. D.【试题答案】B【试题解答】B 中一个x 对应两个函数值,不符合函数定义. 故选B.6.已知集合{}04P x x =≤≤,Q={02y y ≤≤},下列不表示从P 到Q 的映射是( ) A.2:3f x y x →=B.1:3f x y x →=C.1:2f x y x →=D.:f x y x →=【试题答案】A【试题解答】根据映射的概念判断四个对应关系,可判断A 错对A ,对应关系为2:3f x y x →=,当[]0,4x ∈,80,3y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,823>,故A 错；B 、C 、D 三项经检验都符合映射条件 故选:A本题考查映射与函数的关系,属于基础题 7.下列四组函数中,表示相同函数的一组是( ) A.()f x x =,()2g x x =B.()2f x x =()2g x x =C.()211x f x x -=-,()1g x x =+D.()2f x x =-,()2g x x =【试题答案】A【试题解答】根据函数相等的条件逐项判断即可.对A, ()f x x ==()2g x x =对B, ())2f x x x R =∈,()()20g x xx =≥定义域不同,不是同一函数；对C, ()()2111x f x x x -=≠-,()()1g x x x R =+∈定义域不同,不是同一函数；对D, ()()20f x x =≤,())g x x R =∈故选:A本题考查了函数的三要素的应用,是基础题 8.设函数()223,122,1x x f x x x x -≥⎧=⎨--<⎩,若()01f x =,则0x =( ) A.-1或33 B.2或-3C.-1或2D.-1或2或3【试题答案】C【试题解答】分类讨论0x 的范围解方程即可.当01x ≥时,由0231x -=,可得02x =,符合题意；当01x <时,由200221x x --=,可得01x =-或03x =(舍),综上可知,0x 的值是-1或2, 故选:C.本题考查分段函数函数值问题,分段函数函数值问题和分段函数不等式问题经常出现在选择题中,一定要有分类意识.9.下列函数中,不满足:(2)2()f x f x =的是( ) A.()f x x = B.()f x x x =-C.()1f x x =+D.()f x x =-【试题答案】C【试题解答】试题分析:A 中()()2222f x x x f x ===,B 中()()2222f x x x f x =-=,C 中()()2212f x x f x =+≠,D 中()()222f x x f x =-=函数求值10.已知集合{|12},{|35}A x a x a B x x =-≤≤+=<<,则能使B A ⊆成立的实数a 的取值范围是( )A.{|34}x a <≤B.{|34}x a ≤≤C.{|34}x a <<D.φ【试题答案】B【试题解答】因为B A ⊆成立,所以1352a a -≤<≤+,解得即可.B A ⊆Q 成立1325a a -≤⎧∴⎨+≥⎩解得34a ≤≤ 故选B.本题考查集合之间的包含关系,属于容易题. 11.若函数()21242f x x x =-+的定义域、值域都是[]2,2(1),b b >则( ) A.2b = B.2b ≥C.()1,2b ∈D.()2,b ∈+∞【试题答案】A【试题解答】结合二次函数的性质,函数()21242f x x x =-+的对称轴为2x =, 结合题意和二次函数的性质可得:()22f b b =,即:()21222422b b b ⨯-⨯+=,整理可得:2320b b -+=, 解方程有:2b =或1b =(舍去), 综上可得2b =. 本题选择A 选项.12.对任意实数x ,规定()f x 取4x -,1x +,()152x -三个值中的最小值,则()f x ( ) A.无最大值,无最小值 B.有最大值2,最小值1 C.有最大值1,无最小值 D.有最大值2,无最小值【试题答案】D【试题解答】由题意画出函数图像,利用图像性质求解画出()f x 的图像,如图(实线部分),由()1152y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A .故()f x 有最大值2,无最小值 故选:D本题主要考查分段函数的图像及性质,考查对最值的理解,属中档题.二、填空题13.2{|21}A x y x x ==-+, 2{|21}B y y x x ==-+则A B I =________________ 【试题答案】[)0,+∞【试题解答】求函数定义域与值域分别得集合A,B,再根据交集定义求结果.{}{}22|21,?|21A x y x x R B y y x x ==-+===-+=[0,)+∞,所以A B ⋂=[)0,.+∞集合的基本运算的关注点(1)看元素组成.集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.(2)有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了,易于解决.(3)注意数形结合思想的应用,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图.14.已知()()()()5646x x f x f x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩,则()3f 的值为___________.【试题答案】2【试题解答】根据已知中分段函数f (x )()()()5646x x f x x ⎧-≥⎪=⎨+⎪⎩＜的解析式,将3代入运算后,即可得到f (3)的值.由已知f (x )()()()5646x x f x x ⎧-≥⎪=⎨+⎪⎩＜, ∵3＜6∴f (3)＝f (3+4)＝f (7) 又∵7≥6 ∴f (7)＝7﹣5＝2 故答案为:2本题考查的知识点是函数的值,根据函数的解析式细心运算即可得到答案,属简单题型.15.已知函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+,且()2f p =,()3f q =,那么()36f =__________.(用p ,q 表示)【试题答案】()2p q +【试题解答】因为()f x 满足()()()f xy f x f y =+,且()2f p =,()3f q =,所以(6)(2)(3)f f f p q =+=+,所以(36)(6)(6)2()f f f p q =+=+,故填 2()p q +.三、解答题16.已知3,fx =-则()f x =___________.【试题答案】()22-0xx ≥【试题解答】令)0t t =≥,则:221,1t x x t =-=+,据此可得:()()()223120f t t t t =-+=-≥,则函数的解析式()()220f x x x =-≥.:求函数解析式常用方法(1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法； (2)换元法:已知复合函数f (g (x ))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围；(3)方程法:已知关于f (x )与1f x ⎛⎫⎪⎝⎭或f (－x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f (x ).17.若,a b ∈R ,集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭. 求:(1)+a b ； (2)20222019a a +.【试题答案】(1)0a b += (2)202220192a a += 【试题解答】(1)利用集合相等求解(2)由集合相等的概念对集合中元素进行讨论,由集合元素的互异性,可求出a ,b 的值,验证集合中元素的特性后可得答案.(1)∵a 是分母,∴0a ≠,因此只能0a b +=； (2)由0a b +=得1ba=-,即{}{}1,0,0,1,a b =-, ∴1a =-,1b =,∴20222019112a a +=+=.本题考查集合相等的条件,考查了集合中元素的特性,是基础题.18.已知集合{}2|430A x x x =-+=,{}2|90B x x ax =-+=,且()R B C A =∅I .(1)用反证法证明B A ≠； (2)若B ≠∅,求实数a 的值.【试题答案】(1)证明见解析 (2)6a =【试题解答】(1)利用反证法得13139a+=⎧⎨⨯=⎩推出矛盾即可(2)由题意得B 可能为{}1,{}3,利用二次方程求解即可(1)由2430x x -+=,解得1x =或3,∴{}1,3A =,假设B A =,则必有13139a+=⎧⎨⨯=⎩,与39≠矛盾,∴假设错误, ∴B A ≠；(2)∵()R B C A =∅I 又B A ≠,∴B A ⊂≠,又B ≠∅,∴B 可能为{}1,{}3,当{}1B =或{}3时,则2360a ∆=-=,即6a =±, ①当6a =时,{}3B =适合B A ⊂≠；②当6a =-时{}{}2|903B x x ax =-+==-不适合B A ⊂≠,应舍去.综上,实数6a =.本题考查集合的运算及集合间关系,考查分类讨论思想 ,是中档题 19.已知方程20x px q ++=的两个不相等实根为,αβ.集合{},A αβ=,{}2,4,5,6B =,{}1,2,3,4C =,A C A =I ,A B =∅I ,求,p q 的值？【试题答案】4,3p q =-=.【试题解答】试题分析:先根据A∩C=A ,可确定集合A 、C 的关系,进而可得到α∈C,β∈C,再由A∩B=∅可知α∉B,β∉B,然后观察集合B 、C 中的元素即可确定α,β的值,然后根据韦达定理可确定p 、q 的值. 试题解析:由A C A =I 知A C ⊆ 又{},A αβ=,则C α∈,C β∈. 而A B =∅I ,故B α∉,B β∉显然即属于C 又不属于B 的元素只有1和3. 不妨设1α=,3β=.对于方程20x px q ++=的两根,αβ应用韦达定理可得4,3p q =-=.20.已知二次函数()f x 满足2(1)(1)22,f x f x x x ++-=- 试求: (1)求 ()f x 的解析式； (2)若[0,2]x ∈,试求函数()f x 的值域.【试题答案】(1) ()21f x x x =--;(2) 5()[,1]4f x ∈-. 【试题解答】试题分析:(1) 设()()20f x ax bx c a =++≠,则有()()11=f x f x ++-22222222ax bx a c x x +++=-,对任意实数x 恒成立,根据对应项系数相等可得方程组,解方程组即可得结果；(2) 由(1)可得()f x 在102⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 上递减,在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递增,又1524f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()()0121f f =-<=,比较大小即可得结果.试题解析:(1)设()()20f x ax bx c a =++≠,则有()()2211222222f x f x ax bx a c x x ++-=+++=-,对任意实数x 恒成立,2222220a b a c =⎧⎪∴=-⎨⎪+=⎩,解之得1,1,1a b c ==-=-,()21f x x x ∴=--. (2)由(1)可得()f x 在102⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 上递减,在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递增,又1524f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()()0121f f =-<=,所以,函数()f x 的值域为5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.21.某商品在近30天内每件的销售价格p (元)与时间t (天)的函数关系是20,025,100,2530,t t t Np t t t N+<<∈⎧=⎨-+≤≤∈⎩,该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系是()40030,Q t t t N =-+<≤∈.求这种商品的日销售金额y 的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(注:日销售金额=日销售价格×日销售量) 【试题答案】max 1125y =元；第25天【试题解答】分情况讨论即可获得日销售金额y 关于时间t 的函数关系式,根据分段函数不同段上的表达式,分别求最大值取较大者即可解答.∵日销售金额y p Q =⋅,∴()()2220800025,14040002530,t t t t N y t t t t N ⎧-++<<∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩()()()()2210900025,709002530,t t t N t t t N ⎧--+<<∈⎪=⎨--≤≤∈⎪⎩. 当025t <<,t N ∈,10t =时,max 900y =(元)； 当2530t ≤≤,t N ∈,25t =时.max 1125y =(元)； ∵1125900>,∴第25天日销售金额最大,max 1125y =(元).11本题考查分段函数的应用,考查分类讨论的思想、二次函数求最值得方法以及问题转化的能力,属于中档题.22.已知函数()221f x x =-.(1)直接写出此函数的定义域与值域(用区间表示)；(2)证明:对于任意的x ∈R ,都有()()f x f x -=；(3)用单调性定义证明()f x 在(],0-∞上是减函数.【试题答案】(1)定义域(),-∞+∞,值域[)1,-+∞ (2)证明见解析 (3)证明见解析【试题解答】(1)利用二次函数性质直接求解定义域与值域；(2)利用偶函数定义证明(3)利用单调性定义直接证明(1)定义域(),-∞+∞,值域[)1,-+∞.(2)对于任意的x ∈R ,()()()222121f x x x f x -=--=-=.(3)令120x x <-∞<≤,∵()()()()2212122121f x f x x x -=---()()()2212121222x x x x x x =-=-⋅+,又∵120x x <-∞<≤,∴120x x -<,120x x +<,∴()()120f x f x ->即()()12f x f x >,∴()f x 在(],0-∞上是减函数.本题考查二次函数的图像与性质,考查单调性定义与判断,考查推理能力,是基础题。
江西省南康中学、平川中学、信丰中学2019-2020学年高二数学12月月考试题 理答案
高二年级理科数学参考答案1---12. ABDD BBAD AADC13. 50 14. 2或-2 15. [)0,4 16. ]1,0[16.提示 当直线在从x 轴开始逆时针旋转到1l 位置时，符合题意，取极限，计算即可。
17. 解：设， 易知．┄┈4分 由是的必要不充分条件，从而是的充分不必要条件，即，┄┈6分 ，┄┈9分 故所求实数的取值范围是．┄┈10分18.解：（ 1）基本事件总数为6×6=36┄┈2分当a =1时，b=1，2，3；┄┈3分当a =2时，b=1，2；┄┈4分当a =3时，b=1﹒┄┈5分共有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）6个点落在条件区域内， ∴P（A ）=┄┈8分（2）当m=7时，┄┈10分（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）共有6种，此时P==最大┄┈12分19.解（1） 1l o y x┄┈2分由散点图可以判断，商品件数y 与进店人数x 线性相关┄┈4分（2）因为713245i i i x y ==∑，25x =，15.43y =， 7215075i i x==∑，()274375x =，72700xy =， 所以()71722173********.785075437ˆ57i ii i i x y xy b x x ==--==≈--∑∑，┄┈7分 ^^y x a b=- 15.430.7825 4.07=-⨯=-┄┈9分 所以回归方程0.7847ˆ.0yx =-，┄┈10分 当80x =时，0.7880 4.0ˆ758y=⨯-≈（件）┄┈11分 所以预测进店人数为80时，商品销售的件数为58件. ┄┈12分20.解（Ⅰ）证明：∵PA ⊥平面ABCD ,∴PA BD ⊥；┄┈1分∵底面ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥;┄┈2分∵PA AC A =,,PA AC ⊂平面PAC ,┄┈3分∴BD ⊥平面PAC .┄┈4分（Ⅱ）证明：∵底面ABCD 是菱形且60ABC ∠=︒，∴ACD ∆为正三角形，∴AE CD ⊥,┈┈5分 ∵//AB CD ,∴AE AB ⊥；┈┈6分∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ,∴AE PA ⊥；∵PA AB A =,∴AE ⊥平面PAB ，┈┈7分AE ⊂平面PAE ,∴平面PAB ⊥平面PAE .┄┈8分（Ⅲ）存在点F 为PB 中点时，满足//CF 平面PAE ；┈┈9分理由如下:分别取,PB PA 的中点,F G ，连接,,CF FG EG ,在三角形PAB 中，//FG AB 且12FG AB =；在菱形ABCD 中，E 为CD 中点，∴//CE AB 且12CE AB =，┈10分∴//CE FG 且CE FG =，即四边形CEGF 为平行四边形，┈┈11分∴//CF EG ;又CF ⊄平面PAE ，EG ⊂平面PAE ，∴//CF 平面PAE .┄┈12分21.解(Ⅰ)由题得蜜柚质量在[)1750,2000和[)2000,2250的比例为2：3，∴应分别在质量为[)1750,2000，[)2000,2250的蜜柚中各抽取2个和3个．┈┈2分记抽取质量在[)1750,2000的蜜柚为1A ，2A ，质量在[)2000,2250的蜜柚为1B ， 2B ，3B ，则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有以下10种：12A A ，11A B ，12A B ，13A B ，21A B ，22A B ，23A B ，12B B ，13B B ，23B B ，┈┈4分其中质量均小于2000克的仅有12A A 这1种情况，故这2个蜜柚质量均小于2000克的概率为110p =．┈┈5分(Ⅱ)方案A 好，┈┈6分理由如下：由频率分布直方图可知，蜜柚质量在[)1500,1750的频率为2500.00040.1⨯=，同理，蜜柚质量在[)1750,2000，[)2000,2250，[)2500,2750，[)2750,3000的频率依次为0.1，0.15，0.4，0.2，0.05．┈┈7分若按A 方案收购：根据题意各段蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250，┈┈8分于是总收益为15001750175020002000225022502500250027502750300050050075020001000250401000222222++++++⎛⎫⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯÷ ⎪⎝⎭ ()()()()()()250250672782893910810114111214010002⎡⎤=⨯⨯+⨯++⨯++⨯++⨯++⨯++⨯⨯÷⎣⎦ []25502630511528423457500(=⨯+++++=元)┈┈9分若按B 方案收购：蜜柚质量低于2250克的个数为()0.10.10.350001750++⨯=，蜜柚质量低于2250克的个数为500017503250-=，┈┈10分∴收益为[]1750603250802502073134365000⨯+⨯=⨯⨯⨯+⨯=元．┈┈11分∴方案A 的收益比方案B 的收益高，应该选择方案A ．┈┈12分22．解 （1）证明：取线段SC 的中点E ，连接ME ，ED ．在SBC 中，ME 为中位线，∴12ME BC ， ∵12AD BC ，∴ME AD ，┈┈1分 ∴四边形AMED 为平行四边形．∴ME DE ．┈┈2分∵DE ⊂平面SCD ，AM ⊄平面SCD ，∴AM 平面SCD ．┈┈3分（2）解：以点A 为坐标原点，建立分别以AD 、AB 、AS 为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,2,0B ，()2,2,0C ，()1,0,0D ，()0,0,2S ，┈┈4分由条件得M 为线段SB 近B 点的三等分点．于是21420,,3333AM AB AS ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即420,,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭┈┈5分 设平面AMC 的一个法向量为(),,n x y z =，则00AM n AC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，令y=1,将坐标代入得()1,1,2n =--，┈┈6分另外易知平面SAB 的一个法向量为()1,0,0m =，所以平面AMC 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦为66n m n m ⋅=⋅．┈┈7分（3）设(),22,0N x x -，其中12x <<． 由于420,,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以102,2,33MN x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．┈┈8分所以2sin 5MN mMN m x θ⋅===⋅-，┈┈9分 可知当401153208269x -=-=，即2615x =时分母有最小值，此时sin θ有最大值，┈┈11分 此时，2622,,01515N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即点N 在线段CD 上且ND =分附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
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江西省南康中学2019-2020学年高一12月月考（第三次大考）数学试题 一、选择题（本大题共12小题，共60分） 1．已知集合A＝{x|x2﹣1＝0}，则下列式子中：
①1∈A；②{﹣1}∈A；③⊆A；④{1，﹣1}⊆A．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.已知角终边上一点(8,6)P，则sin（ ）
A. B. C. D. 3.函数的定义域是1cos2xy（ ）
A.Zkkxkx,3232 B. Zkkxkx,6262 C. Zkkxkx,32232 D. Zkkxkx,322322 4．设x1,0(=2,0xxfxx），则((2))ff（ ） A．﹣1 B． C． D． 5. 给定映射:(,)(2,2)fxyxyxy，在映射f下(4,3)的原象为（ ） A. (2，1) B. (4，3) C. (3，4) D. (10，5)
6.已知是锐角，那么2是（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第一或第三象限 D. 小于180的正角 7．函数3()25fxxx的零点所在的一个区间是（ ） A．(2,1) B．(1,0) C．（0，1） D．（1，2）
8.已知幂函数()yfx的图象过点12(,)22，则4log(2)f的值为（ ） A. B. 14 C. 2 D. 9.若函数()(01)xxfxkaaaa且在(,)上既奇函数又是增函数，则函数()log()agxxk的图象是（ ）
A. B. C. D. 10.已知函数()yfx是(1,1)上的偶函数，且在区间(1,0)上是单调递增的，,,ABC是锐角三角形ABC的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（ ） A.(sin)(sin)fAfB B. (sin)(cos)fAfB C. (cos)(sin)fCfB D. (sin)(cos)fCfB
11.定义在R上的奇函数()fx，当0x时，),1[,31)1,0[),1(log)(21xxxxxf，则关于x的函数()()(01)Fxfxaa的所有零点之和为（ ） A. 21a B. 12a C. 21a D. 12a
12.已知函数()fx是R上的单调函数，且对任意实数x，都有21(())213xffx，则2(log3)f（ ）
A. 1 B. 45 C. 12 D. 0 二.填空题（本大题共4小题，共20分） 13.已知扇形的圆心角为2弧度，其所对的弦长为2，则扇形的弧长等于
14.若函数()fx满足(1)(1)fxfx，且当(1,1]x时，()||fxx，则(1)(2)(3)(2017)(2018)fffff______．
15.已知偶函数()fx是区间[0,)上单调递增，则满足(21)(3)fxf的x取值集合是_____．
16．若函数满足对任意的)(,mnmnx，都有kmxfkn)( 成立，则称函数
是 在区间)(,mnmn上是“被约束的”。若函数22)(aaxxxf在区间)0(,1aaa上是“被约束的”，则实数a的取值范围是 .
三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余各12分，共70分） 17.（本小题满分10分）
已知角的终边在第二象限，且与单位圆交于点)415,(mP. （1）求实数m的值；
（2）求)23cos()tan()2sin(的值.
18. （本小题满分12分）已知集合1{|121},{|381}9xAxmxmBx. （1）当2m时，求AB； （2）若AB，求实数m的取值范围.
19. （本小题满分12分）已知函数Rxxxxf),sin(sin21)( （1）求函数)(xf的最小正周期T和单调递增区间； （2）若,0x，且关于x的函数12)(2)(2)(2axfxfxg的最小值为21，求a的值.
20.（本小题满分12分） 已知定义域为R的函数122)(xxaxf是奇函数． (1)求a值； (2)判断并证明该函数在定义域R上的单调性；
(3)若对任意的Rt，不等式0)2()2(22ktfttf恒成立，求实数k的取值范围．
21．（本小题满分12分）近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步．华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需
另投入成本R（x）万元，且210100,040()100007019450,40xxxRxxxx,由市场调研知，每部手 机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完． （1）求出2020年的利润()Wx（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式（利润＝销售额﹣成本）； （2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
22．（本小题满分12分）已知函数2()hxxbxc是偶函数，且(2)0h，()()hxfxx。 （1）当1,2x时，求函数()fx的值域；
（2）设2216()2(),1,2,FxxafxxaRx，求函数()Fx的最小值()ga； （3）对（2）中的()ga，若不等式2()24gaaat对于任意的(3,0)a恒成立，求实数t的取值范围。 【参考答案】 一、选择题（本大题共12小题，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C D C A D D A C C B C
二.填空题（本大题共4小题，共20分）
13、 14、1009 15、{|12}xx 16．12， 三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余各12分，共70分）
17.解：（1）41m;（2）4515 18.解：当2m时，{|15}Axx， 由B中不等式变形得24333x，解得24x，即{|24}Bxx. （1）{|14},{|25}ABxxABxx. （2）若A,则121mm，0m
若41221121,mmmmA则302x 综上所述，实数m的取值范围是3(,]2
换元可得)12(222atty，对称轴为21t .1,21)232(aa
19. 20.解：(1)由题意可知f(0)＝－1＋a2＝0，得a＝1 ∴f(x)＝1－2x1＋2x， 经验证当a＝1时，f(x)为奇函数， ∴a＝1 (2)f(x)在定义域R上是减函数． 证明：任取 x1，x2∈R，设x1＜x2，则x2－x1＞0，
221121212121)()(21xxxxxfxf
)21)(21()21)(21()21)(21(211221xxxxxx)21)(21(2-222112xxxx
）（
∵0)22(2,1221xxxx,0)21)(21(21xx ∴0)()(21xfxf ∴)()(21xfxf ∴该函数在定义域R上是减函数． (3)由f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0，得f(t2－2t)＜－f(2t2－k)， ∵f(x)是奇函数，∴f(t2－2t)＜f(k－2t2)， 由(2)知，f(x)是减函数， ∴原问题转化为t2－2t＞k－2t2， 即3t2－2t－k＞0对任意t∈R恒成立，
∴Δ＝4＋12k＜0，解得k<－13，所以实数k的取值范围是31, 21.解：（1）当0＜x＜40时，W（x）＝700x﹣（10x2+100x）﹣250＝﹣10x2+600x﹣250
当x≥40时，
∴ （2）若0＜x＜40，W（x）＝﹣（x﹣30）2+8750 当x＝30时，W（x）max＝8750万元 若x≥40，当x＝100时，W（x）max＝9000万元 ∴2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元．
22. 解： （1）因为函数2()hxxbxc是偶函数，所以(2)420(2)420hbchbc，解得0,4bc.故2()4hxx，244()xfxxxx.
当[1,2]x时，函数4yx和yx都是单调递增函数， 故函数()fx在[1,2]上单调递增， (1)143f，(2)220f，
所以当[1,2]x时，函数()fx的值域是30,.
（2）22216444()2()()2()8Fxxaxxaxxxxx, 令4mxx，由（1）知30m,，则2()28Fxmam， 因为二次函数228ymam开口向上，对称轴为xa， 故3a时，228ymam在30,上单调递增，最小值为617a； 30a时，228ymam在3a,上单调递减，在,0a上单调递增，最小值为
28a
；
0a时，228ymam在30,上单调递减，最小值为8.
故函数()Fx的最小值2617,38,308,0aagaaaa. （3）当(3,0)a时，28gaa， 则2()24gaaat即22824aaat，整理得24aat，
因为(3,0)a，所以4taa对于任意的(3,0)a恒成立， 令4Taaa，只需令t大于Ta在(3,0)上的最大值即可. Ta
在3,2上单调递增；在2,0上单调递减；
所以函数Ta在(3,0)上的最大值为42242T，故4t. 所以实数t的取值范围是4,.