河北省衡水中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学(理)试题含答案

河北省衡水中学2017-2018学年高一下学期期中考试理数试卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）A ．B ．C ．D ．2.如图，在正方体1111ABCD A BC D -中， ,E F 分别为棱BC ，1BB 的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）A ．1AAB ．11A BC ． 11AD D ．11B C3.在空间中，设,m n 为两条不同的直线，αβ，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若//m α，且//αβ，则//m βB ．若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，且//αβ，则m β⊥D ．若m 不垂直与α，且n α⊂，则m 不必垂直于n4.如图， O A B '''∆是水平放置的OAB ∆的直观图，则OAB ∆的周长为（ ）A．10+．10+．125.若正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心）的侧棱长为45︒，则该正四棱锥的体积是（ ） A ．23 B ．43C. 3 D．36.已知正ABC ∆的三个顶点都在球心为O ，半径为3的球面上，且三棱锥O ABC -的高为2，点D 是线段BC 的中点，过点D 作球O 的截面，则截面面积的最小值为（ ） A ．154π B ．4π C. 72πD ．3π 7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．48π+B ．48π- C. 482π+ D ．482π-8.已知棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -;中， ,,E F M 分别是棱1,,AB AD AA 的中点，又,P Q 分别在线段11A B ，11A D 上，且11A P AQ x ==，01x << ，设平面1MPQ =，则下列结论中不成立的是（ ）A ．l //平面ABCDB ．l AC ⊥C.平面MEF 与平面MPQ 不垂直 D ．当x 变化时， l 不是定直线9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的表面积为（ ）A ．23πB ．43π C. 3π D ．4π10.如图，等边ABC ∆的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知A ED '∆是AED ∆绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（ ）A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．恒有平面A GF '⊥平面BCED C.三棱锥A EFD '-的体积有最大值 D ．异面直线A E '与BD 不可能垂直11.已知边长为2的正方形ABCD 的四个顶点在球O 的球面上，球O的体积为3V =球，则OA 与平面ABCD 所成的角的余弦值为（ ） A．10 B．5C. 5．512.在底面为正三角形的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）111ABC A B C -中，2AB = ，13AA =，点D 为棱BD 的中点，点E 为,A C 上的点，且满足1=mECA E （m R ∈），当二面角E AD C --的余弦值为10时，实数m 的值为（ ）A ．1B ．2 C.12D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点A 到平面1A BD 的距离为 ．14.在三棱锥A BCD -中，侧棱,,AB AC AD 两两垂直， ABC ACD ABD ∆∆∆、、的面积分别为A BCD -的外接球的体积为 ． 15.如图所示，三棱锥A BCD -的顶点,,BCD 在平面α内，4,CA AB BC CD DB AD ======若将该三棱锥以BC 为轴转动，直到点A 落到平面α内为止，则,A D 两点所经过的路程之和是 ．16.在正方体1111ABCD A BC D -中（如图），已知点P 在直线1BC 上运动. 则下列四个命题：①三棱锥1A D PC -的体积不变；②直线AP 与平面1ACD 所成的角的大小不变； ③二面角1P AD C --的大小不变；④M 是平面1111A B C D 内到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是直线11A D . 其中正确命题的编号是 ．（写出所有正确命题的编号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图，O 是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB 为等腰直角三角形， C 为底面圆周上一点.（Ⅰ）若弧BC 的中点为D ，求证：//AC 平面POD ； （Ⅱ）如果PAB ∆面积是9，求此圆锥的表面积与体积.18. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵ABM DCP -与刍童的组合体中1111,AB AD A B A D ==.棱台体积公式：)(13V S S h ='，其中,S S '分别为棱台上、下底面面积，h 为棱台高.（Ⅰ）证明：直线BD ⊥平面MAC ；（Ⅱ）若111,2,AB A D MA ==111A A B D -的体积3V =，求该组合体的体积．19. 如图1，在Rt ABC ∆中， 60ABC ∠=︒，AD 是斜边BC 上的高，沿AD 将ABC∆折成60︒的二面角B AD C --，如图2.（Ⅰ）证明：平面ABD ⊥平面BCD ；（Ⅱ）在图2中，设E 为BC 的中点，求异面直线AE 与BD 所成的角. 20. 在长方体1111ABCD A BC D -中,,,E F G 分别是1,,AD DD CD 的中点，2AB BC == ，过11,,A C B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体1111ABCD A BC D -，且这个几何体的体积为403．（Ⅰ）求证：//EF 平面111A B C ； （Ⅱ）求1A A 的长；（Ⅲ）在线段1BC 上是否存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直，如果存在，求线段1A P 的长，如果不存在，请说明理由．21. 如图，四棱锥S ABCD -中， //,AB CD BC CD ⊥ ，侧面SAB 为等边三角形，2AB BC ==，1CD SD ==.（Ⅰ）证明：SD ⊥平面SAB ；（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小.22. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上．（Ⅰ）求证：1BC A B ⊥；（Ⅱ）若P 是线段AC上一点，2AD AB BC ==，三棱锥1A PBC -的体积为3，求APPC的值.试卷答案一、选择题1-5: BDCAB 6-10: AADBD 11、12：AA 二、填空题14.15. 16.①③④ 三、解答题17.解：（Ⅰ）∵AB 是底面圆的直径， ∴AC BC ⊥. ∵弧BC 的中点为D ， ∴OD BC ⊥. 又,AC OD 共面， ∴//AC OD .又AC ⊄平面,POD OD ⊂平面POD ， ∴//AC 平面POD .（Ⅱ）设圆锥底面圆半径为r ，高为h ，母线长为l ， ∵圆锥的轴截面PAB 为等腰直角三角形，∴1,h l =由21=292ABP S r h r ∆⨯⨯==，得3r =，∴229(1S mrl r r r ππππ=+=+=表，2193V r h ππ==.18.解：（Ⅰ）由题可知ABM DCP -是底面为直角三角形的直棱柱，AD ∴⊥平面MAB又MA ⊂平面MAB ，AD M A ∴⊥ ，又M A AB ⊥， , AD AB A AD =，AB ⊂平面ABCD ，MA ∴⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，M A BD ∴⊥ .又AB AD =，∴四边形ABCD 为正方形，BD AC ∴⊥，又 , MA AC A MA =，AC ⊂平面MAC ，BD ∴⊥平面MAC . …………………6分（Ⅱ）设刍童1111ABCD A B C D -的高为h ， 则三棱锥111A A B D -体积1122323V h =⨯⨯=⨯⨯，∴h =故该组合体的体积为221111(1223236V =⨯++=+=.19.解：（Ⅰ）因为折起前AD 是BC 边上的高， 则当ABD ∆折起后，,AD CD AD BD ⊥⊥，又CD BD D =，则AD ⊥平面BCD ， 因为AD ⊂平面ABD ， 所以平面ABD ⊥平面BCD .（Ⅱ）如图，取CD 的中点F ，连接EF ，则//EF BD ，所以AEF ∠为异面直线AE 与BD 所成的角（或补角）.连接1,6,3EF AD CD DF ====，在Rt ADF ∆中，21AF ==， 在BCD ∆中，因为,AD CD AD BD ⊥⊥， 所以BDC ∠为二面角B AD C --的平面角， 故60BDC ∠=︒，则222228BC BD CD BD CDcos BDC =+-⋅∠=，即BC =从而12BE BC ==2222BD BC CD cos CBD BD BC +-∠==⋅， 在BDE ∆中，222213DE BD BE BD BE BDC =+-⋅∠=，在Rt ADE ∆中，5AE == ，在AEF ∆中， 222122AE EF AF cos AEF AE EF +-∠==⋅ ， 所以异面直线AE 与BD 所成的角为60︒. 20.解：（Ⅰ）连接1AD ，在长方体1111ABCD A BC D -中，1111//,AB DC AB DC =，∴四边形11ABC D 是平行四边形，∴11//AD BC . ∵,E F 分别是1,AD DD 的中点， ∴1//AD EF ，则1//EF BC ，又EF ⊄平面111,A BC BC ⊂平面11A BC A ，则//EF 平面11A BC . 同理//FG 平面11A BC . 又EFFG F =，∴平面//EFG 平面11A BC . （Ⅱ）∵111111111111111104022223233ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V AA AA AA ---=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯==，∴14AA =．（Ⅲ）在平面11CC D D 中作11DQ C D ⊥交1CC 于Q ， 过Q 作//QP CB 交1BC 于点P ， 点P 即为所求的点. 证明如下：∵11A D ⊥平面111,CC D D C D ⊂平面11CC D D ， ∴111C D A D ⊥， 又11//,//QP CB CB A D ，∴11//QP A D ， 又∵1111A D DQ D =， ∴1C D ⊥平面11A PQD ， 又1A P ⊂平面11A PQD ， ∴11A P C D ⊥．∵111Rt DC Q Rt C CD ∆∆∽， ∴1111C Q D C CD C C=， ∴11C Q =.又∵//PQ BC ，∴1142PQ BC ==． ∵四边形11A PQD为直角梯形，且高1DQ =∴12A P ==.21.解：（Ⅰ）取AB 的中点E ，连接,DE SE ， 则四边形BCDE 为矩形， 所以2DE CB ==，所以AD =，因为侧面SAB 为等边三角形， 2AB = ，所以2SA SB AB ===，且SE = 又因为1SD =，所以222222,SA SD AD SE SD ED +=+=， 所以,SD SA SD SE ⊥⊥.又SA SE S =， 所以SD ⊥平面SAB . （Ⅱ）过点S 作SG ⊥DE 于点G ， 因为,,AB SE AB DE SE DE E ⊥⊥=，所以AB ⊥平面SDE .又AB ⊂平面ABCD ， 由平面与平面垂直的性质， 知SG ⊥平面ABCD ，在Rt DSE ∆中，由··SD SE DE SG =，得12SG =，所以SG =. 过点A 作AH ⊥平面SBC 于H ，连接BH ， 则ABH ∠即为AB 与平面SBC 所成的角， 因为//,CD AB AB ⊥平面SDE ， 所以CD ⊥平面SDE ，又SD ⊂平面SDE ， 所以CD SD ⊥.在Rt CDS ∆中，由1CD SD ==，求得SC =在SBC ∆中，2,SB BC SC ===所以122SBCS ∆==， 由A SBC S ABC V V --=，得11··33SBC ABC S AH S SG ∆∆=，即11122332AH =⨯⨯⨯，解得AH =所以7AH sin ABH AB ∠==故AB 与平面SBC所成角的正弦值为7. 22. 解：（Ⅰ）∵AD ⊥平面1,A BC BC ⊂平面1A BC ， ∴AD BC ⊥．在直三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ， ∴1A A BC ⊥， ∵1A AAD A =，∴BC ⊥平面11AA B B ， ∵1A B ⊂平面11AA B B ， ∴1BC A B ⊥．（Ⅱ）设PC x =，过点B 作BE AC ⊥交AC 于点E ， 由（Ⅰ）知，BC ⊥平面11AA B B ，∴BC AB ⊥，∵2AB BC ==，∴AC =BE=∴PBC S ∆=12·BE PC=x . ∵AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上， ∴1AD A B ⊥，∴1BD =. 又∵1A A AB ⊥．∴1Rt ABD Rt A BA ∆∆∽， ∴1BD ADAB AA =，∴12AA=∴1113A PBC PBC V S AA x -∆=⋅=.又三棱锥1A PBC -∴33x =，解得2x =，即2PC =，∴2AP =3AP PC =.。