必修4 《三角函数的应用》(2课时)教案
三角函数的应用教案
三角函数的应用教案教案标题：三角函数的应用教案教学目标：1. 理解三角函数的定义和基本性质。
2. 掌握三角函数在实际问题中的应用。
3. 能够解决涉及三角函数的实际问题。
4. 培养学生的数理思维和应用能力。
课程时间：2学时（80分钟）教学内容：1. 复习三角函数的定义和基本性质。
2. 介绍三角函数在实际生活中的应用场景。
3. 展示三角函数在工程、建筑、天文等领域的具体应用。
4. 指导学生通过实际问题运用三角函数求解。
教学步骤：Step 1: 复习三角函数的定义和基本性质（10分钟）- 回顾正弦函数、余弦函数和正切函数的定义。
- 强调这些函数的基本性质，如周期、幅值、奇偶性等。
Step 2: 介绍三角函数的应用场景（15分钟）- 分析三角函数在实际生活中的应用场景，如测量高度、测量角度、振动问题等。
- 引导学生思考三角函数在这些场景中的作用和关系。
Step 3: 展示三角函数的具体应用（20分钟）- 展示三角函数在工程、建筑和天文等领域的具体应用案例，如桥梁设计、房屋建筑和导航系统等。
- 分析这些案例中的三角函数应用原理和关键问题。
Step 4: 指导学生解决实际问题（30分钟）- 提供一些实际问题，要求学生通过运用三角函数解决，如求解三角形的边长、角度等。
- 指导学生分析问题，建立数学模型，并运用三角函数求解。
- 强调解题过程的合理性和解答的准确性。
教学资源：1. 教学投影仪和电脑。
2. 实际应用案例的图片和视频资料。
3. 学生课本和练习册。
4. 白板和书写工具。
评估方法：1. 课堂讨论和互动检查学生对三角函数的理解和应用能力。
2. 布置课后练习，检验学生对三角函数应用的掌握程度。
3. 提供实际问题，要求学生独立解决并写出解题过程和结果。
拓展活动：1. 组织学生进行小组讨论和展示，分享不同领域的三角函数应用案例。
2. 鼓励学生自主选择一个实际问题，通过运用三角函数进行深入研究和解决。
备注：1. 针对学生不同的学习背景和能力，教师可适当调整难度和教学方法。
人教A版高中数学必修4三角函数模型的简单应用教案及教案说明
人教A版高中数学必修4三角函数模型的简单应用教案及教案说明教案说明：本教案是针对人教A版高中数学必修4中，三角函数模型的简单应用进行的教学设计。
本教案旨在通过教师引导学生运用三角函数模型解决实际问题，培养学生的问题解决能力和应用数学的能力。
教案目标：1.了解三角函数模型在实际问题中的应用；2.掌握三角函数模型的基本概念和方法；3.能够运用三角函数模型解决实际问题。
教案过程：Step 1 引入新课题（5分钟）1.通过给出一个具体的实际问题，引起学生的兴趣和思考，例如：现在有一根高塔，你站在塔的正前方，塔的高度是10米，你向上看到塔顶的角度是30°，请问你离塔多远？2.让学生思考该问题的解决思路和相关知识点，引导学生发现角度与距离之间的关系。
Step 2 探究三角函数模型的定义（20分钟）1.引导学生思考角度与距离之间的关系，引出正弦、余弦和正切的概念。
2.通过展示三角函数的定义和计算方法，让学生理解三角函数与角度之间的关系。
3.提供一些简单角度和距离的实例，让学生运用三角函数模型进行计算。
Step 3 运用三角函数模型解决实际问题（35分钟）1.提供一些与角度和距离有关的实际问题，如测算树木的高度、建筑物的高度等，让学生用三角函数模型解决。
2.引导学生分析问题的关键点，确定适当的假设和变量，并解决实际问题。
Step 4 知识总结（10分钟）1.总结三角函数模型的基本概念和用法。
2.让学生回答一些相关的问题，巩固所学内容。
3.布置相关作业，让学生继续练习和巩固知识。
教学反思：通过本节课的教学，学生对三角函数模型的定义和应用有了初步的了解，可以初步运用三角函数模型解决实际问题。
但是由于课时有限，限制了学生对于三角函数模型的深入理解和运用，需要在后续的教学中进一步加强。
此外，在教学过程中，教师应引导学生思考和探究，培养学生的问题解决能力和应用数学的能力。
三角函数基本关系教案(3篇)
第1篇课时：2课时年级：高中教材：《高中数学》必修4教学目标：1. 知识与技能：理解并掌握同角三角函数的基本关系式，能运用这些关系式进行三角函数式的化简、求值和恒等式证明。
2. 过程与方法：通过观察、分析、推导等活动，培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生严谨、求实的科学态度。
教学重难点：重点：理解并掌握同角三角函数的基本关系式及其应用。
难点：灵活运用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和恒等式证明。
教学准备：多媒体课件、教具（三角板、圆规等）教学过程：第一课时一、导入新课1. 复习任意角的三角函数定义，回顾正弦、余弦、正切的概念。
2. 提问：如何求一个角的正弦、余弦、正切值？二、新课讲授1. 引入同角三角函数的概念，强调同角三角函数的基本关系式。
2. 推导同角三角函数的基本关系式：（1）正弦函数与余弦函数的关系：$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$（2）正弦函数与正切函数的关系：$\tan\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$（3）余弦函数与正切函数的关系：$\tan\theta = \frac{1}{\cos\theta}$3. 举例说明同角三角函数基本关系式的应用。
三、课堂练习1. 利用同角三角函数基本关系式进行三角函数式的化简。
2. 求一些特定角的三角函数值。
四、课堂小结1. 总结同角三角函数的基本关系式及其应用。
2. 强调掌握这些关系式对解决三角函数问题的重要性。
第二课时一、复习导入1. 回顾上一节课所学内容，提问：如何利用同角三角函数基本关系式进行三角函数恒等式证明？2. 引入三角函数恒等式证明的概念。
二、新课讲授1. 推导三角函数恒等式：（1）平方关系：$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$（2）和差关系：$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm\cos\alpha\sin\beta$（3）倍角关系：$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$，$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$2. 举例说明三角函数恒等式的应用。
高中数学必修4 《三角函数线及其应用》教案
三角函数线及其应用1．有向线段(1)定义：带有方向的线段．(2)表示：用大写字母表示，如有向线段OM ，MP . 2．三角函数线(1)作图：①α的终边与单位圆交于P ，过P 作PM 垂直于x 轴，垂足为M . ②过A (1，0)作x 轴的垂线，交α的终边或其反向延长线于点T . (2)图示：(3)结论：有向线段MP 、OM 、AT ，分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．思考：当角的终边落在坐标轴上时，正弦线、余弦线、正切线变得怎样？ 提示：当角的终边落在x 轴上时，正弦线、正切线分别变成了一个点；终边落在y 轴上时，余弦线变成了一个点，正切线不存在．1．角π7和角8π7有相同的( ) A ．正弦线 B ．余弦线 C ．正切线D ．不能确定C [角π7和角8π7的终边互为反向线，所以正切线相同．]2．如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A ．正弦线OM ，正切线A ′T ′B ．正弦线OM ，正切线A ′T ′C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线MP ，正切线A ′T ′C [α为第三象限角，故正弦线为MP ，正切线为AT ，C 正确．] 3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为 ．1 [若角α的余弦线长度为0时，α的终边落在y 轴上，正弦线与单位圆的交点为(0，1)或(0，－1)，所以正弦线长度为1.](1)－π4；(2)17π6；(3)10π3. [解] 如图．其中MP 为正弦线，OM 为余弦线，AT 为正切线．三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．(2)作正切线时，应从A (1，0)点引x 轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T ，即可得到正切线AT .1．作出－5π8的正弦线、余弦线和正切线． [解] 如图：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π8＝MP ， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π8＝OM ，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π8＝AT .A ．若α、β是第一象限角，则sin α＞sin βB ．若α、β是第二象限角，则tan α＞tan βC ．若α、β是第三象限角，则sin α＞sin βD ．若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β(2)利用三角函数线比较sin 2π3和sin 4π5，cos 2π3和cos 4π5，tan 2π3和tan 4π5的大小．思路点拨：(1)在规定象限内画出α、β的余弦线满足cos α＞cos β→观察正弦线或正切线判断大小观察图形，比较大小(1)D [由图(1)可知，cos α＞cos β时，sin α＜sinβ，故A 错误；图(1)由图(2)可知，cos α＞cos β时，tan α＜tan β，故B 错误；图(2)由图(3)可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，C 错误；图(3)由图(4)可知，cos α＞cos β时，tan α＞tan β，D 正确．]图(4)(2)解：如图，sin 2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT ，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan4π5＝AT ′.显然|MP |＞|M ′P ′|，符号皆正， ∴sin 2π3＞sin 4π5；|OM |＜|OM ′|，符号皆负，∴cos 2π3＞cos 4π5； |AT |＞|AT ′|，符号皆负，∴tan 2π3＜tan 4π5.(1)利用三角函数线比较大小的步骤：①角的位置要“对号入座”； ②比较三角函数线的长度； ③确定有向线段的正负．(2)利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点： ①关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．②注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．2．已知a ＝sin 2π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜cD [由如图的三角函数线知：MP ＜AT ，因为2π7＞2π8＝π4， 所以MP ＞OM ，所以cos 2π7＜sin 2π7＜tan 2π7， 所以b ＜a ＜c .]3．设π4＜α＜π2，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果π2＜α＜3π4，上述长度关系又如何？[解] 如图所示，当π4＜α＜π2时，角α的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT ，显然在长度上，AT ＞MP ＞OM ；当π2＜α＜3π4时，角α的正弦线为M ′P ′，余弦线为OM ′，正切线为AT ′，显然在长度上，AT ′＞M ′P ′＞OM ′.1．利用三角函数线如何解答形如sin α≥a ，sin α≤a (|a |≤1)的不等式？ 提示：对形如sin α≥a ，sin α≤a (|a |≤1)的不等式：图①画出如图①所示的单位圆；在y 轴上截取OM ＝a ，过点(0，a )作y 轴的垂线交单位圆于两点P 和P ′，并作射线OP 和OP ′；写出终边在OP 和OP ′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式sin α≤a 的角α的范围，其余部分即为满足不等式sin α≥a 的角α的范围．2．利用三角函数线如何解答形如cos α≥a ，cos α≤a (|a |≤1)的不等式？ 提示：对形如cos α≥a ，cos α≤a (|a |≤1)的不等式：图②画出如图②所示的单位圆；在x 轴上截取OM ＝a ，过点(a ，0)作x 轴的垂线交单位圆于两点P 和P ′，作射线OP 和OP ′；写出终边在OP 和OP ′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式cos α≤a 的角α的范围，其余部分即为满足不等式cos α≥a 的角α的范围．【例3】 利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围． (1)cos α＞－22；(2)tan α≤33；(3)|sin α|≤12. 思路点拨：确定对应方程的解―→确定角α的终边所在区域―→写出角α的取值范围[解] (1)如图，由余弦线知角α的取值范围是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－3π4＜α＜2k π＋3π4，k ∈Z .(2)如图，由正切线知角α的取值范围是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2＜α≤k π＋π6，k ∈Z .(3)由|sin α|≤12，得－12≤sin α≤12. 如图，由正弦线知角α的取值范围是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪k π－π6⎭⎬⎫≤α≤k π＋π6，k ∈Z .的不等式改为“－12≤sin θ＜32”，求sin π3＝sin2π3＝32，sin利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法(1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置．(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值．(3)写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求． 提醒：在一定范围内先找出符合条件的角，再用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合．1．本节课的重点是三角函数线的画法，以及利用三角函数线解简单的不等式及比较大小问题，难点是对三角函数线概念的理解．2．本节课应重点掌握三角函数线的以下三个问题 (1)三角函数线的画法，见类型1； (2)利用三角函数线比较大小，见类型2； (3)利用三角函数线解简单不等式，见类型3.3．三角函数线是三角函数的几何表示，它们都是有向线段，线段的方向表示三角函数值的正负，与坐标轴同向为正，异向为负，线段的长度是三角函数的绝对值，这是本节重中之重．4．利用三角函数线解三角不等式的方法1．下列判断中错误的是( )A ．α一定时，单位圆中的正弦线一定B ．在单位圆中，有相同正弦线的角相等C ．α和α＋π有相同的正切线D ．具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上B [A 正确；B 错误，如π6与5π6有相同正弦线；C 正确，因为α与π＋α的终边互为反向延长线；D 正确．]2．如果OM ，MP 分别是角α＝π5的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是( ) A ．MP ＜OM ＜0B ．MP ＜0＜OMC ．MP ＞OM ＞0D ．OM ＞MP ＞0D [角β＝π4的余弦线与正弦线相等，结合图象可知角α＝π5的余弦线和正弦线满足OM ＞MP ＞0.]3．若a ＝sin 4，b ＝cos 4，则a ，b 的大小关系为 ．a ＜b [因为5π4＜4＜3π2，画出4弧度角的正弦线和余弦线(如图)，观察可知sin 4＜cos 4，即a ＜b .]4．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合．(1)sin α≥32；(2)cos α≤－12.[解] (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则角α的终边在如图①所示的阴影区域内(含边界)，角α的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪π3＋2k π≤α≤23π＋2k π，k ∈Z .图① 图②(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则角α的终边在如图②所示的阴影区域内(含边界)，角α的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪23π＋2k π≤α≤43π＋2k π，k ∈Z .。
1.5.三角函数的应用—船有触礁的危险吗(教案)
最后，我认为在课堂教学中，要更加注重因材施教，关注每一个学生的学习情况。对于学习困难的学生，我会给予更多的关心和指导，帮助他们克服困难，提高学习效果。
2.问题解决：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高数学建模、数学运算的核心素养。
3.合作交流：小组讨论案例分析，提升学生团队合作、沟通交流的能力，培养其数学表达、共享成果的学科素养。
4.创新意识：鼓励学生在解决问题的过程中，提出新思路、新方法，激发创新意识，发展其数学探究、创新能力的核心素养。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正弦、余弦、正切函数的应用和计算方法这两个重点。对于难点部分，我会通过实际案例和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角函数应用相关的实际问题，如船只触礁危险判断。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过测量和计算，演示三角函数在实际问题中的应用。
5.实践意识：让学生在实际问题中感受数学的实用价值，培养实践意识，提高解决实际问题的能力，增强其数学在实际生活中的应用素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握三角函数（正弦、余弦、正切）在实际问题中的应用。
-学会利用三角函数解决船只触礁危险判断的问题。
-掌握通过角度和距离的关系建立数学模型，解决实际问题。
其次，在小组讨论环节，我发现部分学生参与度不高，可能是因为他们对讨论主题不够熟悉。为此，我将在下一次的教学中，提前为学生提供相关背景资料，帮助他们更好地展开讨论。
三角函数的应用教案
三角函数的应用教案教案：三角函数的应用一、教学目标通过本节课的学习，学生将能够：1. 理解什么是三角函数及其基本性质；2. 掌握三角函数的应用，包括角度的测量、图像的绘制等；3. 运用三角函数解决实际问题。
二、教学准备1. 教材：教科书《高中数学》（或其他相关教材）；2. 工具：黑板、粉笔、投影仪、计算器等。
三、教学过程1. 导入利用投影仪展示一些有关三角函数的实际应用场景的图片，引发学生对三角函数的兴趣，进而进入本节课的学习。
2. 概念讲解通过黑板和语言讲解，介绍三角函数的定义及其基本性质。
着重强调正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和图像特征。
3. 实例探究提供一些实际问题，引导学生运用三角函数的知识解决这些问题。
例如：问题一：一个建筑师正在设计一座斜塔，在塔下的观察点P处，与塔的底部在水平方向上的夹角为30°，观察点P到塔顶的距离为100米，请计算塔的高度。
问题二：一条高速公路的坡度为10%，即每行驶100米，海拔升高10米。
若某车辆行驶了一段距离后的海拔是500米，请计算此时车辆行驶的距离。
4. 总结归纳让学生对本节课的内容进行总结归纳，重点强调三角函数的应用，包括解决问题时的角度测量、图像绘制等。
5. 拓展延伸提出一些拓展问题，让学生思考更复杂的三角函数应用问题。
例如：问题三：在田径场上，甲、乙两位运动员同时从同一起点出发，以30km/h的速度沿着同一个圆形赛道以逆时针方向奔跑，甲选手以100m/分钟的速度增加，乙选手以100m/分钟的速度减小。
请问，当甲、乙两选手再次相遇时，赛道上的圆心角是多少度？6. 课堂讨论展开课堂讨论，让学生分享自己的解题思路和方法，并进行互动交流。
7. 展示作业布置相关的课后作业，包括计算题和应用题，鼓励学生独立完成，并在下节课展示和讨论。
四、教学反思本节课通过导入实际应用场景，激发学生的兴趣，引导学生从具体问题出发，将三角函数的知识应用于实际问题的解决中。
高中数学必修4《三角函数模型简单应用》 教案
课题：三角函数模型的简单应用教材：新课标人教A版必修4教学目标：1，知识目标（1）.能够由函数图象模型求出求出解析式模型。
（2）.能够由函数图象获取相应函数的性质。
（3）.将简单的实际问题抽象为三角函数模型。
（4）.体现三角函数是描述周期现象的重要模型。
2， 能力目标让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想从而培养学生的创新精神和实践能力。
3， 情感目标通过主动探索，合作交流， 让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用。
教学重点：1.用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题．2.三角函数图象模型与解析式模型之间的相互转化。
教学难点：.将简单的实际问题抽象为三角函数模型,.体现三角函数是描述周期现象的重要模型。
教学手段：多媒体辅助教学教法学法（教法）数学是一门培养人的思维，发展人的思维的学科，在教学中不仅要使学生“知其然”而且要知其“所以然”，因此教学要充分呈现获取数学知识和方法的思想过程。
因此本节课采用探究式教学法，其主要宗旨在于充分发挥学生的个性，引导学生获得解决问题的各种思想和方法，培养学生的创造力，推动学生知识和能力水平的提高。
该模式是以问题为纽带，使学生在提出问题、分析问题、解决问题的探究过程中发展智力、提高能力。
在教学过程中借助多媒体辅助教学。
（学法）在学法上，以探究问题为中心，给学生提供思考的机会，提供合作探究的机会，提供表达交流的机会，提供成功的机会。
让学生经历观察、思考、推理、应用的过程从而建构自己的知识体系。
学情分析本堂课是学生在学完三角函数基础知识后的一堂综合应用课.学生在这之前已经系统地学习了三角函数的计算，三角函数的图象以及三角函数的性质，对三角函数有了一定的知识储备，为本堂课的顺利开展垫定了良好的基础 .教学过程： （一） 复习引入 提出问题问题：你能举出几个生活中具有周期变化规律的例子吗？钱塘潮。
2.波动现象。
高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案及教案说明
高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案及教案说明教案示例：一、教学目标1.理解三角函数模型的基本概念和性质；2.能够应用三角函数模型解决实际问题；3.培养学生的数学建模能力和问题解决能力。
二、教学内容1.三角函数模型的概念和性质；2.三角函数模型的简单应用。
三、教学重点1.理解三角函数模型的概念和基本性质；2.能够运用三角函数模型解决实际问题。
四、教学方法1.讲授法：通过教师讲授和示范，引导学生理解三角函数模型的概念和特点；2.案例法：通过具体实例，让学生运用三角函数模型解决实际问题，提高问题解决能力；3.合作学习法：通过小组合作学习，培养学生的合作意识和团队精神。
五、教学步骤和内容详细说明步骤一：引入1.导入话题：通过提问和讨论，引导学生思考在现实生活中有哪些问题可以用三角函数模型来解决。
2.引入概念：介绍三角函数模型的概念和基本性质，引导学生理解三角函数模型的意义和应用范围。
步骤二：探究与讲解1.设计实例：给学生一个具体实例，引导他们通过观察和探究，了解三角函数模型的具体应用。
2.讲解三角函数模型的基本概念、公式和性质，帮助学生建立起三角函数模型的基本框架。
步骤三：梳理与总结1.梳理知识：回顾三角函数模型的基本概念和公式，让学生用自己的话总结出三角函数模型的特点和应用方法。
2.综合训练：设计一些综合性的应用题，让学生运用所学知识解决问题，提高解题能力。
步骤四：拓展与延伸1.拓展应用：给学生一些更复杂的实际问题，让他们运用所学知识进行分析和解答，培养他们的建模能力和创新思维。
2.延伸探究：引导学生思考三角函数模型的局限性和应用范围，鼓励他们用不同的方法去解决同一个问题。
六、教学资源和工具1.教材：高中数学必修4教材；2.工具：白板、多媒体投影仪等。
七、教学评价1.提问评价：通过提问方式，检查学生对三角函数模型的理解程度；2.综合评价：通过学生的实际表现和作业完成情况，评价他们运用三角函数模型解决实际问题的能力。
北师大版必修4《1.9三角函数的简单应用》教案
【教学主题】三角函数的简单应用【教学目标】：1．会用三角函数解决一些简单的实际问题．2．体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 【知识梳理】1、周期现象是自然界中最常见的现象之一，______________是研究周期现象最重要的数学模型．2、面对实际问题建立数学模型y ＝__________________是一项重要的基本技能． 【典型例题】 一、选择题1.如图所示的半径为3m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮自点B 开始1min 旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝5[答案] A[解析] ∵1min 旋转4圈，∴1圈需14min ，即T ＝604＝15(s)．又∵T ＝2πω，∴2πω＝604＝15，∴ω＝2π15.又∵P 到水面的最大距离为5m ， ∴函数最大值为5m ，故A ＝3.2．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3[答案]A[解析] 最小正周期T ＝2ππ3＝6，∵f (x )过(0,1)，则1＝2sin φ， 又|φ|<π2，∴φ＝π6，故选A.3．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向旋转23π弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫－12，32B ．⎝⎛⎭⎫－32，－12 C ．⎝⎛⎭⎫－12，－32D ．⎝⎛⎭⎫－32，12 [答案]A[解析]当逆时针旋转23π后，Q 点坐标为⎝⎛⎭⎫cos 23π，sin 23π，即⎝⎛⎭⎫－12，32. 4．如图所示为一简谐振动的图像，则下列判断正确的是( )A ．该质点的振动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时振动速度最大D ．该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零 [答案] B[解析] 由图像可知，T2＝0.7－0.3＝0.4，∴T ＝0.8(s)，故A 错，显然振幅A ＝5cm ，故B 正确； 该质点在0.1s 和0.5s 时振动速度为0，故C 错；在0.3s 和0.7s 时，加速度改变方向，且不为0，故D 错．5．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式是s ＝3cos(g l t ＋π3)，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1s 时，线长l 等于( ) A ．g πB ．g 2πC ．g π2D ．g 4π2[答案]D[解析]：因为周期T ＝2πg l， 所以g l ＝2πT ＝2π.则l ＝g 4π2. 6．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin(π4x －π4)＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋)B ．f (x )＝9sin(π4x －π4)(1≤x ≤12，x ∈N ＋)C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋)D ．f (x )＝2sin(π4x ＋π4)＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋)[答案] A[解析] 令x ＝3可排除选项D ；令x ＝7可排除选项B ；由A ＝9－52＝2可排除选项C ；或由题意，可得A ＝9－52＝2，b ＝7，周期T ＝2πω＝2×(7－3)＝8，∴ω＝π4.∴f (x )＝2sin(π4x ＋φ)＋7.∵当x ＝3时，y ＝9，∴2sin(3π4＋φ)＋7＝9，即sin(3π4＋φ)＝1.∵|φ|<π2，∴φ＝－π4.∴f (x )＝2sin(π4x －π4)＋7(1≤x ≤12，x ∈N ＋)．二、填空题7．设函数f (x )＝2sin(π2x ＋π5)，若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值是________．[答案] 2[解析] 由题意知f (x 1)只能恒等于－2，f (x 2)只能恒等于2，最小正周期T ＝4. ∴|x 1－x 2|min ＝T2＝2.8．弹簧振子以O 点为平衡位置，在B 、C 间做简谐振动，B 、C 相距20cm ，某时刻振子处在B 点，经0.5s 振子首次达到C 点，则振子在5秒内通过的路程及5s 末相对平衡位置的位移大小分别为____________．[答案] 2m 、10cm[解析] 设振幅为A ，则2A ＝20cm ，A ＝10cm ， 设周期为T ，则T2＝0.5s ，T ＝1s.振子在1T 内通过的路程为4A ，故在t ＝5s ＝5T 内通过的路程S ＝5×4A ＝20A ＝20×10cm ＝2m. 5s 末振子处在B 点，所以它相对平衡位置的位移是10cm.三、解答题9．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系为s ＝6sin(2πt ＋π6)．(1)作出它的图像．(2)单摆开始摆动(t ＝0)时，离开平衡位置多少厘米？ (3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？ (4)单摆来回摆动一次需要多少时间？ [解析] (1)列表如下：描点并用光滑的曲线连接这些点，再向左或向右平移k (k ∈Z )个单位长度，得函数s ＝6sin(2πt ＋π6)的图像，如图所示．(2)当t ＝0时，s ＝6sin π6＝3，即单摆开始摆动时，离开平衡位置3cm.(3)s ＝6sin(2πt ＋π6)的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6cm.(4)s ＝6sin(2πt ＋π6)的周期T ＝2π2π＝1，所以单摆来回摆动一次需要的时间为1s.一、选择题1．设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t 与水深y 的关系：能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]B ．y ＝12＋3sin(π6t ＋π)，t ∈[0,24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈ [0,24]D ．y ＝12＋3sin(π12t ＋π2)，t ∈[0,24][答案] A[解析] 解法一：由上表可知：y max ≈15，y min ≈9， 所以A ＝15－92＝3，又可知周期T ＝12，所以ω＝π6，代入t ＝0可得φ＝0，k ＝15－3＝12，故y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]．因此选A.解法二：该题可直接由上表得到周期T ＝12， 又由t ＝0时，y ＝12，可知φ＝0.2．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图像大致是( )[答案] C[解析] AP 为单位圆上的弧长，∴l ＝∠POA ，过O 作P A 的垂线，且平分∠POA ，则由解直角三角形得|P A |＝2sin l 2，即d ＝2sin l2，其图像是周期为4π的正弦曲线，故选C.二、填空题3．电流强度I (安培)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)的图像如图所示，则当t ＝7120(秒)时电流强度为________．[答案] 0[解析] 由题图知，T 2＝4300－1300＝1100，∴T ＝150，即ω＝100π，A ＝10.又t ＝1300时，I 取最大值，则有10＝10sin(1300×100π＋φ)， 解得φ＝π6，即I ＝10sin(100πt ＋π6)．令t ＝7120，则I ＝10sin(100π×7120＋π6)＝10sin6π＝0.4．已知某游乐园内摩天轮的中心点O 距离地面的高度为50m ，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P 自最低点A 起，经过t min 后，点P 的高度h ＝40sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2＋50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P 的高度在距地面70m 以上的时间将持续________分钟．[答案] 4[解析] 依题，即40sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2＋50≥70，即cos π6t ≤－12，从而在一个周期内持续的时间为2π3≤π6t ≤4π3，4≤t ≤8，即持续时间为4分钟．三、解答题5．如图所示，某地一天从0～10时的温度变化曲线近似地满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，其中A >0，ω>0，－π<φ<0.(1)求这一天0～10时的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式．[解析] (1)由图可知，这一天0～10时的最高温度是20℃，最低温度是0℃，则最大温差是20℃－0℃＝20℃.(2)由图可以看出，从1～9时是半个周期， 则周期T ＝2(9－1)＝16，∴2πω＝16，解得ω＝π8.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝20，－A ＋b ＝0，得A ＝10，b ＝10，则有y ＝10sin(π8x ＋φ)＋10，∴sin(π8＋φ)＝－1.又－π<φ<0，则φ＝－5π8，综上，所求解析式为y ＝10sin(π8x －5π8)＋10，x ∈[0,10]．6．已知电流I 与时间t 的关系式为I ＝A sin(ωt ＋φ)．(1)下图是I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图像，根据图中数据求I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流I ＝A sin(ωt ＋φ)都能取得最大值，那么ω的最小正整数值是多少？[解析] (1)因为周期T ＝2[1180－ (－1900)]＝175，ω＝2πT＝150π，。
三角函数的应用教案
三角函数的应用教案一、教学目标：1. 理解三角函数的定义和基本性质。
2. 掌握三角函数在平面直角坐标系中的几何意义和应用。
3. 能够解决利用三角函数解决实际问题的应用题。
二、教学重点：1. 三角函数定义和基本性质的理解。
2. 三角函数在平面直角坐标系中的几何意义。
3. 利用三角函数解决实际问题的应用题。
三、教学难点：1. 三角函数在平面直角坐标系中的几何意义的理解。
2. 利用三角函数解决实际问题的能力培养。
四、教学准备：1. 教师准备好教案和课件。
2. 学生准备好笔记本、教科书等学习资料。
五、教学过程：第一步：导入新课1. 老师口头复习上节课的内容，引出本节课的主题：三角函数的应用。
第二步：讲解三角函数在平面直角坐标系中的几何意义1. 介绍余弦函数和正弦函数在平面直角坐标系中的几何意义。
2. 示意图：绘制一个直角三角形，并在直角边上定义一个角度θ。
3. 解释余弦函数和正弦函数的定义：余弦函数为邻边与斜边之比，正弦函数为对边与斜边之比。
第三步：讲解三角函数的基本性质和应用1. 讲解三角函数的基本性质：周期性、奇偶性等。
2. 讲解三角函数的应用场景：如测量高处物体的高度、测量角度、计算两点间的距离等。
第四步：解决应用题1. 给出一些实际问题，要求学生利用三角函数解决问题。
2. 学生分组讨论并解答问题，同时老师巡视指导。
第五步：作业布置1. 布置课后作业：完成课后习题。
六、教学反思本节课主要讲解了三角函数在平面直角坐标系中的几何意义和应用，通过一些实际问题的解答，培养学生运用三角函数解决问题的能力。
在教学过程中，学生的参与度较高，也体现出了较好的学习效果。
下节课可以继续引入正割函数和余割函数的讲解，进一步拓宽学生的数学知识面。
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必修4 1.3.4 三角函数的应用 共8页 第1页 x 3 3
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泰州市第三高级中学高一数学教案 授课教师 授课时间 第 周 第 节 课题 三角函数的应用 授课课时 共2课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 1.会根据函数图象写出解析式； 2．能根据已知条件写出sin()yAx中的待定系数,,A； 3. 培养学生用已有的知识解决实际问题的能力； 4. 渗透数形结合的思想． 教学重点 待定系数法求三角函数解析式
教学难点 根据已知条件写出sin()yAx中的待定系数,,A 教法 讲练结合 教 学 过 程 （需体现智慧课堂教学的基本模式，体现清晰的教学思路，重难点突破的教学设计与学法指导，学生活动的设计等） 二次备课
一、开启智慧之门（情境创设、目标展示、新课导入、预习作业检查等） 【回顾复习】 1. 由函数sinyx的图象到sin()yAx的图象的变换方法． 2. 如何用五点法作)sin(xAy的图象？
3. ,,A对函数)sin(xAy图象的影响作用． 二、探究智慧之源（活动设计、分组讨论话题、思维展示、问题链（变式）等） 例1 已知函数sin()yAx（0A，0）一个周期内的函数图象，如下图所示，求函数的一个解析式． 解 由图知，函数最大值为3，最小值为3，又∵0A，
∴3A，由图知52632T,∴2T，∴2，
又∵157()23612， ∴图象上最高点为 7(,3)
12
，∴733sin(2)12，即
7sin()16，可取23
，所以，函数
的一个解析式为23sin(2)3yx． 必修4 1.3.4 三角函数的应用 共8页 第2页
例2 已知函数cos()yAx（0A，0，0）的最小值是5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差π4，
且图象经过点5(0,)2，求这个函数的解析式． 解 由题意：5A， 24T， ∴22T，∴4，∴5cos(4)yx，又∵图象经过点5(0,)2，∴55cos2，即1cos2，又∵0，∴23，所以，函数的解析式为25cos(4)3yx．
例3 函数)(xf的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移2个单位所得的曲线是xysin21的图象，试求)(xfy的解析式． 解 将xysin21的图象向右平移2个单位得：)2sin(21xy ,即xycos21的图象再将横坐标压缩到原来的21得：xy2cos21, ∴xxfy2cos21)(．
三、生成智慧之果（当堂训练、总结、归纳等） 【课堂练习】 1.已知函数sin(Ayx)，在同一周
期内，当x＝9π时函数取得最大值2，当x
＝49π 时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为_________． 2．已知函数sin(Ayx)（0,0,02πA）的图象
一个最高点为A（2，3），由点A到相邻最低点的图象交x轴于(6,0)，求此函数的解析式_________ 必修4 1.3.4 三角函数的应用 共8页 第3页
3．函数)(xf向左平移2个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍所得的曲线是xysin21的图象，试求)(xfy的解析式_________． 【课堂小结】 1．会根据函数图象写出解析式． 2．能根据已知条件写出sin()yAx中的待定系数,,A．主要是找图象的特征，求就需要周期，最高点，最低点要注意． 3．图象的平移变换，所有的平移都是针对x而言．
四、点燃智慧之炬（研究性学习的小课题、知识的自主串联、直击高考、自主编题等）
思考：例1中求φ时如果代入的点为(3π,0)，会出现怎样的情况？如何确定φ的值？ 课堂作业 教材第51页第16题
课后作业
板书设计
教后反思 必修4 1.3.4 三角函数的应用 共8页 第4页
泰州市第三高级中学高一数学教案 授课教师 授课时间 第 周 第 节
课题 三角函数的应用 授课课时 共2课时 第1课时 课型 新授课
教学目标 1.能正确分析收集到的数据，选择恰当的函数模型刻画数据所蕴含的规律，能根据问题的实际意义，利用模型解释有关实际问题． 2.体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力． 3.培养学生用已有的知识解决实际问题的能力,培养学生数学应用意识．
教学重点 对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型，用函数思想解决具有周期变化的实际问题
教学难点 1.分析、整理、利用信息，从实际问题中抽象出三角函数模型． 2．由图象求解析式时的确定． 教法 教 学 过 程 （需体现智慧课堂教学的基本模式，体现清晰的教学思路，重难点突破的教学设计与学法指导，学生活动的设计等） 二次备课
一、开启智慧之门（情境创设、目标展示、新课导入、预习作业检查等） 【复习提问】
1. 函数1sin2yx图像上每一点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向
左平移π2个单位，求所得函数图象的解析式. 2．函数sin(),(0,0,||)2yAxA的最小值是－2，其图象最高点与最低点横坐标差是3，且图象过点(0,1)，求函数解析式. 3. 讨论：如何由图观察得到三角函数的各系数？ 如何确定初相？
二、探究智慧之源（活动设计、分组讨论话题、思维展示、问题链（变式）等） 必修4 1.3.4 三角函数的应用 共8页 第5页
【研探新知】 例1 (学生自学)一半径为3cm的水轮如图1-3-22所示，水轮圆心O距离水面2cm，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上
点P从水中浮现时（图中0P点）开始计算时间．
（1）将点P距离水面的高度()cmz表示为时间)(st的函数；
（2）点P第一次到达最高点大约要多长时间？ （例1是一个有关圆周运动的问题，是现实生活中的周期问题，可以运用三角函数模型来解决（具体地可以借助图形计算器或计算机来画图求解）．由此可见，三角函数是描述周期现象的重要数学模型． 教师进行适当的评析.并回答下列问题：根据物理常识，应选择怎样的函数式模拟物体的运动；怎样求A，和初相位？） 例2 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常的情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深. 时间 0.00 3.00 6.00 9.00 12.00 15.00 18.00 21.00 24.00
水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
（1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的近似数值. （2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ （3）若船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？ 【问题1】 1.请同学们仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？应该选 择怎样的数学模型反映该实际问题？ 小组合作发现，代表发言，可能结果： （1）水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米． （2）水的深度开始由5.0米增加到7.5米，后逐渐减少一直减少到2.5，又开始逐渐变深，增加到7.5米后，又开始减少． （3）水深变化并不是杂乱无章，而是呈现一种周期性变化规律． （4） 学生活动：作图——更加直观明了这种周期性变化规律． 必修4 1.3.4 三角函数的应用 共8页 第6页
（5）教师呈现作图结果，学生小组代表发言，跟我们前面所学过哪个函数类型非常的类似？
2．根据正弦型函数bxAy)sin(，回答下列问题． （1）图表中的最大值与三角函数的哪个量有关？ （2）函数的周期为多少？ （3）“吃水深度”对应函数中的哪个字母？ 3. 学生活动，求解析式
A＝7.5－2.52 ＝2.5，b＝5，T＝ 2π ω ＝12，ω＝π 6 ，φ＝0
∴y＝2.5sin πx6 ＋5 为了保证所选函数的精确性，通常还需要一个检验过程． 教师应该点明：建模过程——选模、求模、验模、应用． 【问题2】
（师生一起分析）水深5.5米得出2.5sin55.56x，即2.06sinx，
（讨论）解三角不等式2.06sinx的方法 令2.06sinx学生活动：操作计算器计算3848.0,2014.06xx， 结合电脑呈现图象．
发现：在[0，24]范围内，方程2.06sinx的解一共有4个，从小到大依次记为：xA，xB，xC，xD，那么其他三个值如何求得呢？（留给学生思考） xB≈6－0.3848＝5.6152，xC≈12＋0.3848＝12.3848，xD≈12＋5.6152＝17.6152 得到了4个交点的横坐标值后，结合图象说说货船应该选择什么时间进港？什么时间出港呢？ （过渡语）刚才整个过程，货船在进港，在港口停留，到后来离开港口，货船的