2021届高考数学一轮知能训练：第六章第4讲 简单的线性规划
高考第一轮复习——简单的线性规划
专题复习一——简单的线性规划一、考点分析：新课标高考对简单的线性规划知识点的考查主要以基础题为主，重点考查对二元一次不等式（组）表示的平面区域的简单应用，从近几年的高考命题趋势看，考查的题型主要以选择、填空题为主。
试题的难度相对较小，学生易得分。
同时也可能出现将线性规划知识与其他知识综合起来考查及建立二元线性规划数学模型解决简单的实际问题的试题。
1. 二元一次不等式（组）表示的平面区域（1）直线0:=++C By Ax l 把平面内不在直线上的点分成两部分，对于同一侧所有点的坐标代入Ax ＋By ＋C 中所得的值的符号都相同，异侧所有点的坐标代入Ax ＋By ＋C 所得的值的符号都相反。
（2）对于直线:l Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，可化为：y ＝kx ＋b 的形式。
对于二元一次不等式b kx y +≥表示的平面区域在直线y ＝kx ＋b 的上方（包括直线y ＝kx ＋b ）。
对于二元一次不等式b kx y +≤表示的平面区域在直线y ＝kx ＋b 的下方（包括直线y ＝kx ＋b ）。
注意：二元一次不等式)0(0<>++或C By Ax 与二元一次不等式)0(0≤≥++C By Ax 所表示的平面区域不同，前者不包括直线Ax ＋By ＋C ＝0，后者包括直线Ax ＋By ＋C ＝0。
2. 线性规划我们把求线性目标函数在线性目标条件下的最值问题称为线性规划问题。
解决这类问题的基本步骤是：（1）确定好线性约束条件，准确画出可行域。
（2）对目标函数z ＝ax ＋by ，若b ＞0，则bz取得最大值（或最小值）时，z 也取得最大值（或最小值）；若b ＜0，则反之。
（3）一般地，可行域的边缘点有可能是最值点，有些问题可直接代入边缘点找最值。
（4）注意实际问题中的特殊要求。
说明：1. 线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；2. 线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数个。
(山东专用)2021版高考数学一轮复习练案(40)第六章不等式、推理与证明第三讲简单的线性规划(含解析)
[练案40]第三讲 简单的线性规划A 组基础巩固一、单选题1．关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，x ＋y －4≤0表示的平面区域的面积为( C )A ．3B ．52 C ．2D ．32[解析] 平面区域为一个直角三角形ABC ，其中A (3,1)，B (2,0)，C (1,3)，所以面积为12|AB |·|AC |＝12×2×8＝2，故选C.[方法总结] 求平面区域的面积的方法平面区域的面积问题主要包括两类题型：(1)求已知约束不等式(组)表示的平面区域的面积；(2)根据平面区域面积的大小及关系求未知参数，求解时需抓住两点：(1)正确判断平面区域的形状，如果形状不是常见的规则平面图形，则要进行分割；(2)求参数问题一般涉及一条动直线，因此确定其位置显得更为关键，有时还要对动直线的位置进行分类讨论．2．(2020·黑龙江省大庆市模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －y ＋1≥0x ≤3，则z ＝2x －3y的最小值是( B )A ．－7B ．－6C ．－5D ．－3[解析] 作出可行域：并作出直线l 0：2x －3y ＝0，平移l 0 到经过点E (3,4)时，目标函数z ＝2x －3y ， 取得最小值为：z min ＝2×3－3×4＝－6.故选B.3．(2020·河北省唐山市模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3≤0x ＋y －1≥0x －y ＋1≥0则z ＝2x ＋y 的最大值为( C )A ．1B ．2C ．7D ．8[解析] 作出线性约束条件的可行域，如图示：由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0x －y ＋1＝0，解得A (2,3)，由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ，平移直线y ＝－2x ， 显然直线过A (2,3)时，z 最大，最大值是7，故选C.4．(2020·浙江湖州、衢州、丽水三地市期中)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0x ＋y －2≥0，y ≥0则x 2＋y 2的最小值是( B )A ． 2B ．2C ．4D ．8[解析] 画出可行域如下图所示，x 2＋y 2表示原点到可行域内的点的距离的平方，由图可知，原点到可行域内的点的距离是原点到直线x ＋y －2＝0的距离|0＋0－2|2＝2，其平方为2.故x 2＋y 2的最小值为2.故选B.5．(2018·天津，2)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x＋5y 的最大值为( C )A ．6B ．19C ．21D ．45[解析] 由变量x ，y 满足的约束条件画出可行域(如图阴影部分所示)．作出直线l 0：3x ＋5y ＝0，平移直线l 0，当经过点A (2,3)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋5×3＝21，故选C.6．(2020·福建龙岩质检)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0x ＋2y ＋1≤03x ＋y －2≤0，则x －y 的取值范围为( B )A ．[－2，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，2]D ．[－2,2][解析] 设z ＝x －y ，则y ＝x －z ，作出不等式组对应的平面区域(阴影部分)如图：平移直线y ＝x －z ，由图象可知当直线y ＝x －z 经过点A (－1,0)时，直线y ＝x －z 的截距最大，此时z 最小，最小值z ＝－1－0＝－1， 继续向下平移直线y ＝x －z ，z 值越来越大，∴x －y 的取值范围为[－1，＋∞)故选B.7．(2020·河北省张家口市、沧州市联考)若x ，y 变量满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2≥0x －y ＋2≥0y ＋1≥0，则使z＝x ＋2y 取得最小值的最优解为( C )A ．(－3，－1)B ．(－67，87)C ．(2，－1)D ．(－87，67)[解析] 绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：y ＝－12x ＋12z ，其中z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B 处取得最小值，联立直线方程：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0y ＋1＝0，可得点的坐标为B (2，－1)．选择C.8．(2020·河北省衡水中学调研)已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋y ≤2y ≥0，则|3x ＋4y －12|的最小值为( A )A ．5B ．12C ．6D ．4[解析] 根据约束条件画出可行域，如图所示，令z ＝3x ＋4y －12，转化为斜截式为y ＝－34x ＋z ＋124，即斜率为－34的一簇平行线，z ＋124是其在y 轴的纵截距，直线过O (0,0)时，其纵截距最小； 过B (1,1)时，其纵截距最大， 即－12≤z ≤－5，所以5≤|z |≤12， 即|z |min ＝5，故选A 项．9．(2020·安徽黄山模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥02x －y －2≥0x ＋y －2≤0，则y ＋1x ＋1的取值范围是( A )A ．[13，57]B ．[13，12]C ．[12，57]D ．[12，2)[解析] 画出x ，y 满足的可行域，如下图：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0y ＝0，解得B (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0x ＋y －2＝0，解得，C(43，23)，y＋1x＋1可看作定点A(－1，－1)与动点P(x，y)连线的斜率，当动点P在B时，y＋1x＋1取最小值为13，当动点P在C时，y＋1x＋1取最大值为23＋143＋1＝57，故13≤y＋1x＋1≤57，故答案为A.二、多选题10．若原点O和点P(1,1)在直线x＋y－a＝0的两侧，则a的取值可以是( BC )A．0 B．12C．1 D．2[解析] 由题意得(－a)·(1＋1－a)<0，解得0<a<2，故选B、C.11．(2020·广东调研改编)若x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋4≥0，x－2≤0，x＋y－2≥0，且z＝ax＋y的最大值为2a＋6，则a的取值可以是( ACD )A．1 B．－2C．－1 D．0[解析] 作出约束条件表示的可行域，如图所示．因为z＝ax＋y的最大值为2a＋6，所以z＝ax＋y在点A(2,6)处取得最大值，则－a≤1，即a≥－1.故选A、C、D.三、填空题12．(2018·课标全国Ⅲ，15)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3≥0，x －2y ＋4≥0，x －2≤0，则z ＝x ＋13y 的最大值是__3__.[解析] 本题考查简单的线性规划．解法一：根据约束条件作出可行域，如图所示．z ＝x ＋13y 可化为y ＝－3x ＋3z .求z 的最大值可转化为求直线y ＝－3x ＋3z 纵截距的最大值，显然当直线y ＝－3x ＋3z 过A (2,3)时，纵截距最大，故z max ＝2＋13×3＝3.解法二：画出可行域(如上图)，由图知可行域为三角形区域，易求得顶点坐标分别为(2,3)，(2，－7)，(－2,1)，将三点坐标代入，可知z max ＝2＋13×3＝3.13．(2018·北京，13)若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是__3__. [解析] 由x ＋1≤y ≤2x 作出可行域，如图中阴影部分．设z ＝2y －x ，则y ＝12x ＋12z ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x ＋1，得A (1,2)．由图可知，当直线y ＝12x ＋12z 过A (1,2)时，z 取得最小值，z min ＝3.14．(2020·广西桂林、贺州、崇左联合调研)某校今年计划招聘女教师x 人，男教师y人，若x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥5，x －y ≤2，x <6.则该学校今年计划招聘的教师人数最大值为__10__.[解析] 设z ＝x ＋y ，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y >5，x －y ≤2，x <6.对应的平面区域如图：由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x ＋z ，由图象可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 的截距最大，此时z 最大，但此时最大值取不到，由图象当直线经过整点E (5,5)时，z ＝x ＋y 取得最大值，代入目标函数z ＝x ＋y 得z ＝5＋5＝10，即目标函数z ＝x ＋y 的最大值为10，故答案为10.15．(2020·海南五校模拟)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x －y ≥－2，y ≥1，则(x －3)2＋(y ＋2)2的最小值为__13__.[解析] 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x －y ≥－2，y ≥1表示的平面区域(图略)，易知(x －3)2＋(y ＋2)2表示可行域内的点(x ，y )与(3，－2)两点间距离的平方，通过数形结合可知，当(x ，y )为直线x ＋y ＝2与y ＝1的交点(1,1)时，(x －3)2＋(y ＋2)2取得最小值，最小值为13.B 组能力提升1．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2y ≤0，2x ＋y ≤4，向量a ＝(2x,1)，b ＝(1，m －y )，则满足a ⊥b的实数m 的最小值为( B )A ．125B ．－125C ．32D ．－32[解析] 由向量a ＝(2x,1)，b ＝(1，m －y )，a ⊥b 得2x ＋m －y ＝0，整理得m ＝y －2x ， 根据约束条件画出可行域，将求m 的最小值转化为求y ＝2x ＋m 在y 轴上的截距的最小值，当直线y ＝2x ＋m 经过点A 时，m 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝4，解得A (85，45)，则实数m 的最小值为－2×85＋45＝－125.故选B.2．(2020·广东省中山市第一中学模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( B ) A ．[23，11]B ．[32，11]C ．[3,11]D ．[1,11][解析]x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，表示动点P (x ，y )， 与定点M (－1，－1)， 连线斜率k 的两倍加1，由图可知，当点P 在A (0,4)点处时，k 最大， 最大值为11；当点P 在B (3,0)点处时，k 最小， 最小值为32；从而x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[32，11]．3．(2020·河北唐山一中质检)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a x －3，若z＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( B )A ．14 B ．12 C ．1D ．2[解析] 画出⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ＋y ≤3所表示的区域，作直线z ＝2x ＋y 与直线x ＝1交于点A (1，－1)，则点A 必在直线y ＝a (x －3)上，∴－1＝a (1－3)，∴a ＝12，故选B.4．(2020·湛江模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥2，3x －y －6≤0，则目标函数z ＝(12)2x＋y的最大值为 18.[解析] 绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)．要求解目标函数z＝(12)2x＋y的最大值，只需求解函数z′＝2x＋y的最小值，结合函数z′＝2x＋y的几何意义可知，函数z′＝2x＋y在点C(1,1)处取得最小值z′min ＝2＋1＝3，则目标函数z＝(12)2x＋y的最大值为(12)3＝18.5．(2020·广东江门市模拟)在直角坐标系xOy中，记⎩⎪⎨⎪⎧x>0x－2y>0x－y≤1，表示的平面区域为Ω，在Ω中任取一点M(x0，y0)，3x0－y0≥1的概率P＝45.[解析] 根据不等式组得到可行域为：图中染色部分，满足3x0－y0≥1的是黑色部分，在Ω中任取一点M(x0，y0)，3x0－y0≥1的概率P即为黑色部分的面积除以总的染色面积．P＝12×1×2－12×1×2512×1×2＝45.6．(2020·宁夏银川模拟)已知实数x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x－y≤2x－y≥－1，x＋y>1若目标函数z＝2x＋ay仅在点(3,4)取得最小值，则a的取值范围是__(－∞，2)__.[解析] 作出不等式组对应的平面区域，如图所示，若a＝0，则目标函数z＝2x，即为此时函数在A(3,4)时取得最大值，不满足条件，当a ≠0，由z ＝2x ＋ay ，得y ＝－2a x ＋z a， 若a >0，目标函数斜率－2a <0，此时平移y ＝－2a x ＋z a 得y ＝－2a x ＋z a在点A (3,4)处的截距最大，此时z 取得最大值，不满足条件，若a <0，目标函数斜率－2a>0，要使得目标函数z ＝2x ＋ay 仅在点A (3,4)处取得最小值， 则－2a<k AB ＝1，即a <－2.。
高三第一轮复习数学---简单的线性规划及实际应用
高三第一轮复习数学---简单的线性规划及实际应用一、教学目标：1、了解二元一次不等式（组）表示平面区域；2、了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；3、了解线性规划问题的图象法，并能用线性规划的方法解决一些简单的实际问题二、教学重点：准确确定二元一次不等式表示的平面区域，正确解答简单的线性规划问题三、教学过程：（一）主要知识：1知识精讲：（1）二元一次不等式表示的平面区域：在平面直角坐标系中，设有直线0=++C By Ax （B 不为0）及点),(00y x P ，则①若B>0，000>++C By Ax ，则点P 在直线的上方，此时不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的上方的区域；②若B>0，000<++C By Ax ，则点P 在直线的下方，此时不等式0<++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 的下方的区域；（注：若B 为负，则可先将其变为正）（2）线性规划：①求线性目标函数在约束条件下的最值问题，统称为线性规划问题；②可行解：指满足线性约束条件的解（x,y ）;可行域：指由所有可行解组成的集合；（二）例题分析：1、二元一次不等式（组）表示的平面区域例1、画出下列不等式（或组）表示的平面区域()⎪⎩⎪⎨⎧≤-<≥++>+-3210120121x y x y x（2）．求不等式2|1||1|≤-+-y x 表示的平面区域的面积。
解：（1）不等式x-2y+1>0表示直线x-2y+1>0右下方的点的集合不等式x+2y+1≥0表示直线x+2y+1≥0右上方的点的集合 不等式321≤-<x 可化11<≤-x 或53≤<x ，它表示夹在两平行线x=-1和x=1之间或夹在两平行线x=3或x=5之间的带状区域，但不包括直线x=1或x=3上的点所以原不等式表示的区域如图所示解（2）：先将原不等式化为以下四个不等式例1图人教版高三第一轮复习数学教案第 3 页 共 8 页组：或或⎪⎩⎪⎨⎧≤-<≥⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥211411y x y x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥<011211y x y x x y y x 或， 再在坐标系中画出相应的平面区域：最后求出其面积为S=8（单位）[思维点拔]去掉绝对值转化为二元一次不等式组。
高考数学一轮复习《线性规划》复习练习题(含答案)
高考数学一轮复习《线性规划》复习练习题（含答案）一、单选题1．若x ，y 满足1010330x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩，则4z x y =-的最小值为（ ）A ．-6B ．-5C ．-4D ．12．已知x ，y 满足不等式组240,3260,20,x y x y x y --≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩则23z x y =+的取值范围为（ ）A ．32,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．325,52⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[)6,-+∞D ．5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭3．设变量,x y 满足约束条件100240x y x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．0B ．32C ．3D ．44．已知实数,x y 满足2030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．112B ．5C ．52D ．35．若实数x ，y 满足约束条件110x y x y x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．26．若,x y 满足约束条件310x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．不等式44x y +<表示的区域在直线440x y +-=的（ ） A ．左上方B ．左下方C ．右上方D ．右下方8．已知实数x ，y 满足210,10,2,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪<⎩，则z =2x -y 的最小值是（ ）A ．5B ．52C ．0D ．-19．若实数x ，y 满足约束条件23023020x y x y x ++≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =-的最大值是（ ）A ．6-B ．2C ．4D ．610．已知动点(),P m n 在不等式组400x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩ 表示的平面区域内部及其边界上运动，则35n z m -=-的最小值（ ） A ．4 B ．13C ．53D ．311．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6个小时，假定它们在一昼夜的时间中随机到达，若两船有一艘在停泊位时，另一艘船就必须等待，则这两艘轮船停靠泊位时都不需要等待的概率为（ ） A ．1116B ．916C ．716D ．51612．若实数,x y 满足约束条件10210y x y x y ≤⎧⎪-≤⎨⎪++≥⎩，则z ）A ．1BCD二、填空题13．已知x ，y 满足约束条件1000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值为_________．14．已知x 、y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则21x y z x ++=+的最小值是__________．15．在等差数列{}n a 中，125024a a a ≤≥-≤，，，则4a 的取值范围是______． 16．若实数,x y 满足约束条件102310y x x x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数3z x y =+的取值范围是__________ .三、解答题17．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.(1)设投资人用x 万元、y 万元分别投资甲、乙两个项目，列出满足题意的不等关系式，并画出不等式组确定的平面区域图形；(2)求投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？18．若变量x ，y 满足约束条件240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩(1)画出不等式组表示的平面区域； (2)求目标函数z =y +x 的最大值和最小值.19．已知点(),P x y 在圆()2211x y +-=上运动，(1)求12y x --的取值范围； (2)求2x ＋y 的取值范围．20．已知圆C ：222440x y x y +-+-=，直线l ：30mx y m -+-=()m R ∈与圆C 相交于A ､B 两点.(1)已知点(,)x y 在圆C 上，求34x y +的取值范围： (2)若O 为坐标原点，且2AB OC =，求实数m 的值.21．已知命题p ：0x ∃∈R ，()()2011(0)m x a a ++≤>，命题q ：x ∀，y 满足+1002x y x y -≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，m .(1)若q 为真命题，求m 的取值范围.(2)判断p ⌝是q 的必要非充分条件，求a 的范围22．2021年6月17日9时22分，我国“神舟十二号”载人飞船发射升空，展开为期三个月的空间站研究工作，某研究所计划利用“神舟十二号”飞船进行新产品搭载试验，计划搭载若干件新产品,A B 、要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表:（1）试用搭载,A B 产品的件数,x y 表示收益z (万元);（2）怎样分配,A B 产品的件数才能使本次搭载实验的利润最大，最大利润是多少?23．设函数(),()x f x e g x ax b ==+，其中, a b R ∈．（Ⅰ）若1,1a b ==-，当1x ≥时，求证：()()ln f x g x x ≥；（Ⅱ）若不等式()()f x g x ≥在[1,)+∞上恒成立，求()2223a e b -+的最小值．24．对于函数()f x 和()g x ，设集合(){}0,R A x f x x ==∈，(){}0,R B x g x x ==∈，若存在1x A ∈，2x B ∈，使得12(0)x x k k -≤≥，则称函数()f x 与()g x “具有性质()M k ”.(1)判断函数()sin f x x =与()cos g x x =是否“具有性质1()2M ”，并说明理由；(2)若函数1()22x f x x -=+-与2()(2)24g x x m x m =+--+“具有性质(2)M ”，求实数m 的最大值和最小值；(3)设0a >且1a ≠，1b >，若函数1()log x bf x a x=-+与()log x b g x a x=-+“具有性质(1)M ”，求1212x x -的取值范围。
高三数学第一轮复习讲义(47)简单的线性规划
高三数学第一轮复习讲义（47）简单的线性规划一、复习目标：1．了解用二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会简单的应用； 2．通过以线性规划为内容的研究课题与实习作业，提高解决实际问题的能力． 二、知识要点：已知直线0Ax By C ++=，坐标平面内的点00(,)P x y ．1．①若0B >，000Ax By C ++>，则点00(,)P x y 在直线的 方；②若0B >，000Ax By C ++<，则点00(,)P x y 在直线的 方． 2．①若0B >，Ax By C ++>②若0B <，Ax By C ++三、课前预习：1．不等式240x y -->()A 左上方 ()B 2()A 220102x y x y -+≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩ ()B ⎧⎪⎨⎪⎩()C 2201002x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩()D ⎧⎪⎨⎪⎩3(0)z ax y a =+>则a 的值为（ B ）()A 14()B 354．原点和点(1,1)在直线0x y a +-=的两侧，则a 的取值范围是(0,2)．5．由|1|1y x ≥+-及||1y x ≤-+表示平面区域的面积是23. 四、例题分析：例1．某人上午7时乘船出发，以匀速v 海里/时（420v ≤≤）从A 港到相距50海里的B 港去，然后乘汽车以ω千米/时（30100ω≤≤）自B 港到相距300千米的C 市去，计划在当天下午4至9时到达C 市.设乘船和汽车的时间分别为x 和y 小时，如果已知所要的经费（单位：元）P =解：由v x 50=，4≤v ≤20 P=100+3（5-x ）+（8-y ） 9≤x+y ≤14，25≤x ≤225，3≤y ≤10.z=3x+y. x+y=14，由 得A （11，3 y=3此时，x v 50==1150，=ω 答：当v=1150海里/时，ω 小结： 例2．某运输公司有10辆载重量为6吨的A 型卡车与5辆载重量为8吨的B 型卡车，有11名且z=350x+400y.x ≤10， y ≤5， 即 x+y ≤11， 6x+7y ≥60， x ，y ∈N ， 作出可行域，作直线0l ：350x+400y=0，即7x+8y=0.作出一组平行直线：7x+8y=t 中（t 为参数）经过可行域内的点和原点距离最近的直线，此直线经过6x+7y=60和y=5的交点A （625，5），由于点A 的坐标不都是整数，而x ，y ∈N ，所以可行域内的点A （625，5）不是最优解.怎样求出最优解呢？必须进行定量分析.因为，7×625+8×5≈69.2，所以经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）且与原点最小的直线是7x+8y=10，在可行域内满足该方程的整数解只有x=10，y=0，所以（10，0）是最优解，即当l 通过B 点时，z=350×10+400×0=3500元为最小. 答：每天派出A 型车10辆不派B 型车，公司所化的成本费最低为3500元. 小结：五、课后作业： 班级 学号 姓名 1．三个点(1,1)P 、(2,2)Q 、(0,1)R -中，在由方程|1||1|1x y -+-=确定的曲线所围成区域中的个数有 （ C ）()A 3个 ()B 2个 ()C 1个 ()D 0个2．已知集合{(,)||||1}A x y x y =+≤，集合{(,)|()()}0B x y y x y x =-+≤，M AB =，则M 的面积是 1 ．3．已知整点(,3)P a 在不等式组430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域内，则a 为{1,2,3}．4．某人有楼房一幢，室内面积共1802m ，拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为182m ，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为152m ，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元.装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？为求出最优解，同样必须进行定量分析. 因为4×720+3×760=7260≈37.1，但该方程的非负整数解（1，11）、（4，7）、（7，3）均不在可行域内，所以应取4x+3y=36.同样可以验证，在可行域内满足上述方程的整点为（0，12）和（3，8）.此时z 取最大值1800元.5．已知三种食物P 、Q 、R 的维生素含量与成本如下表所示.现在将xkg 的食物P 和ykg 的食物Q 及zkg 的食物R 混合，制成100kg 的混合物.如果这100kg 的混合物中至少含维生素A 44000单位与维生素B 48000单位，那么,,x y z 为何值时，混合物的成本最小？解 已知条件可归结为下列不等式组： x ≥0， y ≥0，x+y ≤100，400x+600y+400（100-x-y ）≥44000， x+y ≤100，即 y ≥20， 2x-y ≥40.y=20，2x-y=40（包括边界）分.设混合物的成本为k 元，那么=2x+y+400. 作直线0l ：2x+y=0，把直线0l 置时，距离最小，此时2x+y 2x-y=40， 由 得 y=20， 所以，最小值k =2×答：取x=30，y=20，z=50时，混合物的成本最小，最小值是480元.6．设函数2()(,,0)f x ax c a c R a =-∈≠，又4(1)1f -≤-≤，1(2)5f -≤≤，求(3)f 的最小值、最大值以及取得最小值、最大值时,a c 的值．解 由条件知，目标函数为f (3)＝9a －c ． a －c ≥－4， a －c ≤1，4a －c ≥－1， 4a －c ≤5，作出直线直线l ：9a －c ＝0，将直线l 向上平移到直线l 1的位置， l 1过可行域内的点A ，此时直线到原点的距离最大，f (3)取得最小值；将直线l 向下平移到直线l 2的位置，l 2过可行域内的点此时直线到原点的距离最大，f (3)取得最大值．由 ⎩⎨⎧，＝－－，＝－141c a c a 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧，＝－，＝－3532c a 即 A (－32，－35)，∴ f (3)min ＝9×(－32)－(－35)＝－313； 制约条件为 作出可行域如图(包括边界)． 图由 ⎩⎨⎧，＝－，＝－－544c a c a 得⎩⎨⎧，＝，＝73c a 即 C (3，7)， ∴ f (3)max ＝9×3－7＝20． ∴ 当a ＝－32，c ＝－35时，f (3)取得最小值－313；当a ＝3，c ＝7时，f (3)取得最大值20．。
2021版新高考数学(山东专用)一轮课件：第6章+第3讲+简单的线性规划
不等式 推理与证明第三讲 简单的线性规划1 知识梳理 • 双基自测2 考点突破 • 互动探究3 名师讲坛 • 素养提升知识梳理•双基自测知识点一 二元一次不等式表示的平面区域(1)在平面直角坐标系中，直线Ax ＋By ＋C ＝0将平面内的所有点分成三类：一类在直线Ax ＋By ＋C __________上，另两类分居直线Ax ＋By ＋C ＝0的两侧，其中一侧半平面的点的坐标满足Ax ＋By ＋C __________，另一侧半平面的点的坐标满足Ax ＋By ＋C __________.(2)二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的平面区域且不含边界，作图时边界直线画成__________，当我们在坐标系中画不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，此时边界直线画成__________.＝0 >0 <0 虚线 实线 知识点二 二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．(1)直线定界，即若不等式不含__________，则应把直线画成虚线；若不等式含有__________，把直线画成实线．(2)特殊点定域，由于在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的点，实数Ax ＋By ＋C 的值的符号都__________，故为确定Ax ＋By ＋C 的值的符号，可采用__________，如取(0,0)、(0,1)、(1,0)等点，由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的__________.等号 等号 相同 特殊点法 公共部分 知识点三 线性规划中的基本概念不等式(组) 名称意义约束条件由变量x ，y 组成的__________线性约束条件由x ，y 的__________不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x ，y 的函数__________，如z ＝2x ＋3y 等线性目标函数关于x ，y 的__________解析式可行解满足约束条件的解__________可行域所有可行解组成的__________最优解使目标函数取得__________或__________的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的__________或__________问题一次 解析式 一次 (x ，y ) 集合 最大值 最小值 最大值 最小值题组一 走出误区1．(多选题)下列命题正确的是( )BC A．不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方B．点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0C．最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解D．目标函数z＝ax＋by(a≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距CCA(2，－1)，B(－1，－1)，显然当直线l：z＝2x＋y＋1经过A时z取得最大值，且z max＝4，当直线l过点B时，z取得最小值，且z min＝－2，故选C．－28－3 1中的△ABC及其内部．易知A(－1，－1)，B(2，－1)，C(2,3)．设z＝y－x，平移直线y－x＝0，当直线过点C 时，z max＝3－2＝1，当直线过点B时，z min＝－1－2＝－3.考点突破•互动探究考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域——自主练透CDA(1)画平面区域的步骤：①画线：画出不等式所对应的方程表示的直线．②定侧：将某个区域内的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧，常用的特殊点为(0,0)，(±1,0)，(0，±1)．③求“交”：如果平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，再求这些区域的公共部分，这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域，这种方法俗称“直线定界，特殊点定域”．(2)计算平面区域的面积时，通常是先画出不等式组所对应的平面区域，然后观察区域的形状，求出有关的交点坐标、线段长度，最后根据相关图形的面积公式进行计算，如果是不规则图形，则可通过割补法计算面积．(3)判断不等式表示的平面区域和一般采用“代点验证法”．6[解析] 本题主要考查线性规划．由x，y满足的约束条件画出对应的可行域(如图中阴影部分所示)．由图知当直线3x＋2y－z＝0经过点A(2,0)时，z取得最大值，z max＝2×3＝6.－18 [引申1]本例条件下z＝3x＋2y的最小值为__________.[－6,6][引申3]本例条件下，z ＝|3x －2y ＋1|的最大值为__________，此时的最优解为__________.[解析] 由引申2得－6≤3x －2y ≤6，∴－5≤3x －2y ＋1≤7，∴0≤z ≤7，z 最大值为7，此时最优解为(2,0)．7(2,0)利用线性规划求目标函数最值的方法：方法1：①作图——画出线性约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l.(注意表示目标函数的直线l的斜率与可行域边界所在直线的斜率的大小关系)．②平移——将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．③求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．方法2：解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值．C C (2)解法一：当m≤0时，可行域(示意图m<－1)如图中阴影部分所示，z＝2x－y⇔y＝2x－z，显然直线的纵截距不存在最小值，从而z不存在最大值，不合题意，求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中．求解步骤为：①注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解．也可以直接求出线性目标函数经过各顶点时对应参数的值，然后进行检验，找出符合题意的参数值．AD 92 (2020·宁夏银川一中月考)某汽车公司的A ，B 两个装配厂可装配甲、乙两种不同型号的汽车，若A 厂每小时可装配1辆甲型车和2辆乙型车，B 厂每小时可装配3辆甲型车和1辆乙型车，现要装配40辆甲型车和40辆乙型车，若要使所费的总工作时数最少，则这两个装配厂的工作时数分别为( )A ．16,8B ．15,9C ．17,7D ．14,10[分析] 根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最小值取法，即得结果．考点三 线性规划的实际应用——师生共研A 例 5利用线性规划解决实际问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读，明确题意，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中要求其最值的量为z，起关键作用的(或关联较多的)量为未知量x，y，并列出约束条件，写出目标函数．(3)作图：准确作出可行域，确定最优解．(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)．(5)检验：根据结果，检验反馈．〔变式训练2〕(2020·四川广安、眉山、遂宁、内江诊断)某车间租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品8件和B类产品15件，乙种设备每天能生产A类产品10件和B类产品25件，已知设备甲每天的租赁费300元，设备乙每天的租赁费400元，现车间至少要生产A类产品100件，B类产品200件，所需租赁费最少为3 800 __________元．。
高考数学第一轮复习考纲《简单的线性规划》课件26 理
＋y)表示区域的面积为( )
A.34
B.43
C.12
，则点 P(2x－y，x D．1
解析：2x＋x－y＝y＝ba ，xy＝＝a2＋b33－ba
.
代入 x、y 的关系式得：aa≥－0b＋1≤0 ， a＋b－3≤0
如图 5－4－2.易得阴影面积 S＝12×2×1＝1，故选 D.
图 5－4－2
【互动探究】
二步画出可行域；三找出最优解．
【互动探究】
3．(2010 年四川)某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品， 由乙车间加工出 B 产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小 时可加工出 7 千克 A 产品，每千克 A 产品获利 40 元，乙车间加 工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品，每千克 B 产品获利 50 元．甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料 的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时， 甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( B)
误解分析：没有正确理解所求代数式的几何意义，没有将 所求与线性规划问题联系起来，以至无从下手．
正解：因方程 x2＋ax＋2b＝0 的一个根在(0,1)内，另一个根 在(1,2)内，故函数 y＝x2＋ax＋2b 的图像与 x 轴的交点的横坐标 分别在区间(0,1)及(1,2)内，
f0>0 于是f1<0 ，
A．甲车间加工原料 10 箱，乙车间加工原料 60 箱 B．甲车间加工原料 15 箱，乙车间加工原料 55 箱 C．甲车间加工原料 18 箱，乙车间加工原料 50 箱 D．甲车间加工原料 40 箱，乙车间加工原料 30 箱
解析：设甲车间加工原料 x 箱，乙车间加工原料 y 箱，则
x y 70
专题7.2二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题(2021年高考数学一轮复习专题)
专题二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题一、考点全归纳1．二元一次不等式(组)表示的平面区域满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域；(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实数．(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证． 2．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax ＋By ＋C >0或Ax ＋By ＋C <0，则有 (1)当B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方； (2)当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方． 3．平移规律当b >0时，直线z ＝ax ＋by 向上平移z 变大，向下平移z 变小；当b <0时，直线z ＝ax ＋by 向上平移z 变小，向下平移z 变大．二、题型全归纳题型 一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【题型要点】(1)求平面区域面积的方法①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；①对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和． (2)根据平面区域确定参数的方法在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．命题角度一 平面区域的面积【例1】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B ．23 C.43D ．34【解析】表示的平面区域如图阴影部分所示，A ⎝⎛⎭⎫0，43，B (1，1)，C (0，4)，则①ABC 的面积为12×1×83＝43.故选C. 【例2】．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，2x －y ≤4，x －y ≥0所围成的平面区域的面积为( )A ．3 2B ．6 2C ．6D ．3不等式组所围成的平面区域为①ABC ，其中A (2,0)，B (4，4)，C (1,1)，所求平面区域的面积为S ①ABO －S ①ACO ＝12×(2×4－2×1)＝3. 角度二 平面区域的形状【例3】若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)． 解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2得A ⎝⎛⎭⎫23，23；解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2得B (1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.【例4】(2020·南昌一模)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，3x －y －5≤0表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx 经过区域M 内的点，则实数k 的取值范围为( )A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛221，B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡3421，C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡221，D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡234，【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，3x －y －5≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，即三角形ABC (含边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3＝0，3x －y －5＝0得点A (2,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0得点C (1，2)，又直线OA 的斜率为k OA ＝12，直线OC 的斜率为k OC ＝2，而直线y ＝kx 表示过原点O 的直线，因此根据题意可得k OA ≤k ≤k OC ，即12≤k ≤2.题型二 求目标函数的最值命题角度一 求线性目标函数的最值【题型要点】(1)求目标函数的最值形如z ＝ax ＋by (b ≠0)的目标函数，可变形为斜截式y ＝－a b x ＋zb(b ≠0)．①若b >0，当直线过可行域且在y 轴上的截距最大时，z 值最大，在y 轴上截距最小时，z 值最小；①若b <0，当直线过可行域且在y 轴上的截距最大时，z 值最小，在y 轴上的截距最小时，z 值最大． (2)求目标函数最优解的常用方法如果可行域是一个多边形，那么一般在某顶点处使目标函数取得最优解，到底哪个顶点为最优解，可有两种方法判断：①将可行域各顶点的坐标代入目标函数，通过比较各顶点函数值大小即可求得最优解； ①将目标函数的直线平移，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．【例1】 (2020·广东佛山一模)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，y ≤x ＋1，y ≥0.则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．15D ．16【解析】作出变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，y ≤x ＋1，y ≥0.的可行域如图中阴影部分所示：由图可知，目标函数z ＝2x ＋y 在点A 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝4得A (3，2)．所以z max ＝2×3＋2＝8.故选B.【例2】．(2019·全国卷Ⅱ)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≥0，x ＋y －3≤0，y －2≤0，则z ＝3x －y 的最大值是________．【解析】 作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)由图易知，当直线y ＝3x －z 过点C 时，－z 最小，即z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3＝0，2x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，即C 点坐标为(3,0)，故z max ＝3×3－0＝9. 命题角度二 求非线性目标函数的最值【题型要点】常见两类非线性目标函数的几何意义(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)间的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )间的距离； (2)yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －b x －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． 【例3】(2020·安徽马鞍山一模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤x ＋1，y ≥1－x 则x 2＋y 2的最大值与最小值之和为( )A ．5B ．112 C ．6 D ．7【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤x ＋1，y ≥1－x 表示的可行域如图中阴影部分所示，x 2＋y 2的几何意义是原点O 到可行域内点的距离的平方，由图可知，O 到直线x ＋y －1＝0的距离最小，为12.可行域内的点B 与坐标原点的距离最大，为22＋12＝ 5.所以x 2＋y 2的最大值与最小值之和为5＋12＝112.故选B.【例4】实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.(1)若z ＝yx，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围． 【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1，2)，所以k OB ＝21＝2，即z min ＝2，所以z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0，1)，所以OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5，所以z 的取值范围是[1，5]．命题角度三 求参数值或取值范围【题型要点】求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．【例5】(2020·江西九江一模)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －m ≥0，x －3≤0，若z ＝2x －3y 的最大值为9，则正实数m的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【解析】作出x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －m ≥0，x －3≤0，表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知z ＝2x －3y 在点A 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －m ＝0，x ＝3解得A (3，m －3)，由z max ＝2×3－3(m －3)＝9，解得m ＝2.故选A.【例6】(2020·陕西咸阳模拟检测(一))若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，若z ＝ax －y (a ①R )的最小值是－1，则a 的取值范围是 ．【解析】 画出可行域如图所示(阴影部分)，目标函数对应的直线为y ＝ax －z ，当截距－z 最大时，目标函数z 取得最小值，因为z ＝ax －y (a ①R )的最小值是－1，所以在A (0，1)处取得最小值．由图象可知，直线 y ＝ax －z 的斜率a ≤2，因为当a >2时，目标函数在B 点取得最小值，所以a 的取值范围是(－∞，2]．【例7】(2020·华南师大附中二模)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.12B.13C ．1D ．2【解析】作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)．当直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，①z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.题型三 线性规划的实际应用【题型要点】线性规划解决实际问题的一般步骤 (1)能建立线性规划模型的实际问题①给定一定量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收益最大； ①给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源最少． (2)解决线性规划实际问题的一般步骤①转化：设元，写出线性约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题； ①求解：解决这个纯数学的线性规划问题；①作答：根据实际问题，得到实际问题的解，据此作出回答．【例1】(2020·河北“五个一名校联盟”模拟)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的限量如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )B ．17万元C ．18万元D ．19万元【解析】 设该企业每天生产x 吨甲产品，y 吨乙产品，可获得利润为z 万元，则z ＝3x ＋4y ，且x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，可知当直线经过点(2，3)时，z 取得最大值，z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．故选C.【例2】(2020·武汉市部分学校调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为( )A ．1 800元B ．2 100元C ．2 400元D ．2 700元【解析】 设生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为z 元．根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，x ①N *，y ≥0，y ①N *，z ＝300x ＋400y .作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0所表示的可行域，如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，当直线经过点A (0，6)时，z 有最大值，z max ＝400×6＝2 400，故选C.三、高效训练突破 一、选择题1．(2020·贵阳期中)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <－3x ＋12，x <2y 表示的平面区域为( )【解析】选特殊点(0,6)检验，当x ＝0，y ＝6时，y <－3x ＋12成立，x <2y 成立，所以点(0,6)在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <－3x ＋12，x <2y 表示的平面区域内，另外注意到边界线是虚线，故选B. 2．(2020·揭阳模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y ＋1≥0，x ≥0，则z ＝x2＋y 的最小值为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2【解析】：作出x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y ＋1≥0，x ≥0的平面区域如图所示(阴影部分)：由图易得，目标函数z ＝x2＋y 在点A 处取最小值，为－1.故选A.3．(2020·福建漳州一模)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3≥0，x －2y ＋2≤0.则x ＋y ( )A ．有最小值无最大值B ．有最大值无最小值C ．既有最小值也有最大值D ．既无最小值也无最大值【解析】：如图中阴影部分所示即为实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3≥0，x －2y ＋2≤0的可行域，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x －2y ＋2＝0得A ⎝⎛⎭⎫85，95.由图易得当x ＝85，y ＝95时，x ＋y 有最小值175，没有最大值．故选 A.4．(2020·琼海摸底)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y －x ≤1，y ≥0，则z ＝2x ·8y 的最大值是( )A ．4B ．8C ．16D ．32【解析】先根据实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y －x ≤1，y ≥0画出可行域(如图阴影部分所示)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y －x ＝1，解得A ⎝⎛⎭⎫12，32， 当直线u ＝x ＋3y 过点A 时，u 取得最大值是12＋3×32＝5，则z ＝2x ·8y ＝2x ＋3y 的最大值为25＝32.5．(2020·华中师范大学第一附中模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤2，x ≤－1，则x ＋yy 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，23 B.⎝⎛⎦⎤0，23 C.⎝⎛⎦⎤－1，－13 D.⎣⎡⎦⎤32，2【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分由图可知k ＝y x 在点A (－1,3)处取得最小值－3，且斜率k 小于直线x ＋y ＝1的斜率－1.故－3≤k <－1.所以－1<xy ≤－13.故0<x ＋y y ≤23.6．(2020·洛阳市统考)点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，则|PQ |的取值范围是( )A ．[5－1，10－1]B ．[5－1，10＋1]C ．[10－1，5]D ．[5－1，5]【解析】：作出点P 满足的线性约束条件表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为点Q 所在圆的圆心为M (0，－2)，所以|PM |取得最小值的最优解为(－1，0)，取得最大值的最优解为(0，2)，所以|PM |的最小值为5，最大值为4，又圆M 的半径为1，所以|PQ |的取值范围是[5－1，5]，故选D.7.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为( )A ．(0，3]B ．[－1，1]C ．(－∞，3]D ．[3，＋∞) 【解析】：直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1，2)时，k 最小，此时k CM ＝2－（－1）1－0＝3，因此k ≥3，即k ①[3，＋∞)．故选D.8．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，y ≥x ，x ＋y ≤2(a <1)，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )A.211 B ．14 C.12D ．34【解析】：在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点B (1，1)时有最大值3，当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点 A (a ，a )时有最小值3a ，由3＝4×3a ，得a ＝14.9..不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥2，x ＋y ≤4的解集记为D ，则“①(x ，y )①D ，使x －y ≥a 成立”的必要不充分条件是( )A ．a <0B ．a ≤－3C ．a >0D ．a ≤－2【解析】：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥2，x ＋y ≤4表示的区域D ，如图中阴影部分所示其中A (2，2)，B (1，2)，C (1，3)，①(x ，y )①D ，使x －y ≥a 成立，则a ≤(x －y )min ，平移直线x －y ＝0，易知当直线经过点C (1，3)时，x －y 取得最小值，(x －y )min ＝－2，则a ≤－2，故必要不充分条件可以是a <0，故选A.10．(2020·河南洛阳一模)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x －2y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则z ＝yx －5的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－23，43B.⎣⎡⎦⎤－43，23C.⎝⎛⎦⎤－∞，－23①⎣⎡⎭⎫34，＋∞D.⎝⎛⎦⎤－∞，－34①⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 【解析】：作出可行域如图所示(阴影部分)，z ＝yx －5表示可行域内的点(x ，y )与定点C (5，0)连线的斜率，易求得A (2，2)，B (2，－4)，所以k AC ＝－23，k BC ＝43，则由图可知－23≤z ≤43.故选A.11．(2020·太原模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y －2≥0，4x －y －8≤0，则z ＝|x ＋3y |的最大值为( )A ．15B ．13C ．3D ．2【解析】：法一：画出约束条件所表示的可行域，如图所示(阴影部分)， 设z 1＝x ＋3y ，可化为y ＝－13x ＋z 13，当直线y ＝－13x ＋z 13经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 1取得最大值；当直线y ＝－13x ＋z 13经过点B 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 1取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，4x －y －8＝0解得A (3，4)，此时最大值为3＋3×4＝15; 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，4x －y －8＝0解得B (2，0)，此时最小值为2＋3×0＝2，所以z ＝|x ＋3y |的最大值为15，故选A. 二、填空题1．(2020·福州市质量检测)已知点A (0，2)，动点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎨⎧x ≥0y ≤x，则|P A |的最小值是 ．【答案】：2【解析】：可行域为如图所示的阴影部分，|P A |表示可行域上的点到点A (0，2)的距离，所以|P A |的最小值转化成点A 到直线y ＝x 的距离，所以|P A |min ＝|－2|2＝ 2.2．(2020·安徽五校联盟第二次质检)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x ＋2y ≤2，x ≤a 目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为2，则a ＝ ．【解析】：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x ＋2y ≤2x ≤a 表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋3y ＝0，平移直线2x＋3y ＝0，显然过A (a ，1－a )时，z ＝2x ＋3y 取得最小值，则2a ＋3(1－a )＝2，a ＝1.3.(2020·安徽省考试试题)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0则z ＝2x －y 的最小值为 ．【解析】：法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x －y ＝0，平移该直线，由图可知当直线经过点A 时，目标函数z ＝2x －y 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝0x ＋y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，即A (3，4)，所以z min ＝2×3－4＝2.法二：易知目标函数z ＝2x －y 的最小值在可行域的顶点处取得，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝0x ＋y －7＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝0x －3y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0x －3y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝2，所以可行域的顶点坐标分别为(3，4)，(2，1)，(5，2)，代入目标函数得对应的z 的值为2，3，8，所以z 的最小值为2.4．(2020·郑州市第二次质量预测)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋10≤0x ＋2≥0x ＋2y －5≤0，则z ＝y x的取值范围为 ．【解析】：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝yx 表示平面区域内的点与坐标原点O 的连线的斜率．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝0x －3y ＋10＝0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝3，即A (－1，3)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x －3y ＋10＝0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝83，即B ⎝⎛⎭⎫－2，83. 所以z max ＝k OB ＝83－2＝－43，z min ＝k OA ＝3－1＝－3，所以z ＝yx 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－3，－43. 5．已知点A (2，1)，O 是坐标原点，P (x ，y )的坐标满足：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0x －2y ＋3≥0y ≥0，设z ＝OP →·OA →，则z 的最大值是________．【解析】由题意，作出可行域如图中阴影部分所示．z ＝OP →·OA →＝2x ＋y ，作出直线2x ＋y ＝0并平移，可知当直线过点C 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0x －2y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，即C (1，2)，则z 的最大值是4. 6．(2019·湖北“四地七校”联考)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝x ＋2y －4的最大值是________．【解析】画出x ，y 满足的可行域，如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，解得点B (7,9)，则目标函数z ＝x ＋2y －4经过点B (7,9)时，z 取得最大值为7＋18－4＝21.7．(2019·河南安阳)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(x ，y )，且变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，x ＋y －3≤0，则z ＝a ·b 的最大值为________．【解析】 a ·b ＝2x ＋3y ，作出题中可行域，如图①OAB 内部(含边界)，作直线l ：2x ＋3y ＝0，向上平移直线l .当直线过点A ⎪⎭⎫⎝⎛2323，时，z ＝2x ＋3y ＝152为最大值．8．(2019·厦门模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －3y ＋5≥0，2x －y －5≤0，则z ＝x 2＋y 2的最大值为________．【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －3y ＋5≥0，2x －y －5≤0所表示的平面区域如图中阴影部分所示z ＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点距离的平方．z ＝x 2＋y 2的最大值对应的点为A .由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋5＝0，2x －y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3，则A (4,3)．所以z ＝x 2＋y 2的最大值为|OA |2＝42＋32＝25，因此z ＝x 2＋y 2的最大值为25.9.已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0.若目标函数z ＝y －ax (a ≠0)取得最大值时的最优解有无数个，则z ＝y －ax (a ≠0)的最小值为________．【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．易得A (1,0)，B (2,0)，C (3,2)，由z ＝y －ax (a ≠0)得y ＝ax ＋z .当a >0时，作直线l 0：y ＝ax ＋z ，平移l 0可知，当y ＝ax ＋z 与x －y －1＝0重合时，z 取得最大值的最优解有无数个，此时a ＝1.当直线过B 点时，z 有最小值z min ＝0－1×2＝－2；当a <0时，数形结合知，z ＝y －ax 取得最大值的最优解不可能无限多．综上可知z min ＝－2.10．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋y －1≥0，x －y －3≤0，y ≤0，则z ＝y －ln x 的取值范围为________．【答案】：[－2，ln 6]【解析】：作出可行域如图(阴影部分)其中A (16，0)，B (3，0)，C (47，－177)． 由图可知，当y ＝ln x ＋z 过点A (16，0)时z 取得最大值， z max ＝0－ln 16＝ln 6.设y ＝ln x ＋z 的图象与直线y ＝x －3 相切于点M (x 0，y 0)，由y ＝ln x ＋z 得y ′＝1x ，令1x 0＝1得x 0＝1①⎪⎭⎫ ⎝⎛374，， 故y ＝ln x ＋z 与y ＝x －3切于点M (1，－2)时，z 取得最小值，z min ＝－2－ln 1＝－2.所以z ＝y －ln x 的取值范围为[－2，ln 6]．11.(2020·浙江杭州模拟)若存在实数x ，y ，m 使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x －3y ＋2≤0，x ＋y －6≤0与不等式x －2y ＋m ≤0都成立，则实数m 的取值范围是________【解析】：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x －3y ＋2≤0，x ＋y －6≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中A (4，2)，B (1，1)，C (3，3)．设z ＝x －2y ，将直线l ：z ＝x －2y 进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值，可得z max ＝4－2×2＝0，当l 经过点C 时，目标函数z 达到最小值，可得z min ＝3－2×3＝－3，因此z ＝x －2y 的取值范围为[－3，0]．因为存在实数m ，使不等式x －2y ＋m ≤0成立，即存在实数m ，使x －2y ≤－m 成立，所以－m 大于或等于z 的最小值，即－3≤－m ，解得m ≤3，.12．(2020·安徽合肥一模)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A ，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为 千克．【解析】：设生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，利润z 千元，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，z ＝2x ＋y ，作出⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150，60)(满足x ①N ，y ①N )时，z 取得最大值，为360.三 解答题1．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＞0x ＋y ＋1＜03x ＋y ＋9＞0，记点(x ，y )对应的平面区域为P .(1)设z ＝y ＋1x ＋3，求z 的取值范围； (2)过点(－5，1)的一束光线，射到x 轴被反射后经过区域P ，当反射光线所在直线l 经过区域P 内的整点(即横纵坐标均是整数的点)时，求直线l 的方程．【解析】：平面区域如图中阴影部分所示，易得A ，B ，C 三点的坐标分别为A (－4，3)，B (－3，0)， C (－1，0)．(1)由z ＝y ＋1x ＋3知z 的值即是定点P (－3，－1)与区域内的点Q (x ，y )连接的直线的斜率，当直线过A (－4，3)时，z ＝－4；当直线过C (－1，0)时，z ＝12.故z 的取值范围是(－∞，－4)①⎝⎛⎭⎫12，＋∞. (2)过点(－5，1)的光线被x 轴反射后的光线所在直线必经过点(－5，－1)，由题设可得区域内坐标为整数点仅有点(－3，1)，故直线l 的方程是y －1（－1）－1＝（x ＋3）（－5）＋3，即x －y ＋4＝0. 2．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示： 原料现有A 种原料200吨，B 种原料1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．【解析】：(1)由已知得，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3， 这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z 3为直线在y 轴上的截距，当z 3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z 3最大，即z 最大． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20，24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112. 即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．。
高三数学第一轮复习直线中的最值问题及简单的线性规划通用版
高三数学第一轮复习：直线中的最值问题及简单的线性规划通用版【本讲主要内容】直线中的最值问题及简单的线性规划二元一次不等式（组）表示平面区域、线性规划的意义及应用。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 二元一次不等式表示的平面区域：（1）在平面直角坐标系中，已知直线0Ax By C ++=，坐标平面内的点()00,P x y 。
①若0,000>++>C By Ax B ，则点()00,P x y 在直线的上方； ②若0,000<++>C By Ax B ，则点()00,P x y 在直线的下方。
（2）对于任意的二元一次不等式)0(0<>++或C By Ax ，无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数。
当B>0时，①Ax+By+C>0表示直线0Ax By C ++=上方的区域； ②Ax+By+C<0表示直线0Ax By C ++=下方的区域。
（3）判断二元一次不等式表示的平面区域的方法：①点定域法：画二元一次不等式表示的平面区域常采用直线定界，点定域（原点不在边界上时，用原点定域最简单）；不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
例如：画不等式x-2y+4>0表示的平面区域时，可先画直线240x y -+=（虚线），取原点()00，代入原不等式成立，所以不等式x-2y+4>0表示的区域如图所示。
②符号判断法：当B>0时，Ax+By+C>0表示直线0Ax By C ++=上方的区域，Ax+By+C<0表示直线0Ax By C ++=下方的区域；一般的若B<0时，可先把y 项系数变为正数再判断。
例如：3x-2y+6>0表示直线3260x y -+=下方区域；-3x+y+3<0表示直线330x y --=下方区域。
2. 线性规划：（1）有关概念：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
2021届高考数学一轮基础反馈训练：第六章第4讲 简单的线性规划
基础知识反馈卡·6.4时间：20分钟 分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．不在3x ＋2y <6表示的平面区域内的点是( ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,2) D ．(2,0) 2．下列命题正确的是( )A ．点(0,0)在区域x ＋y ≥0内B ．点(0,0)在区域x ＋y ＋1<0内C ．点(1,0)在区域y >2x 内D ．点(0,1)在区域x －y ＋1>0内 3．不等式x －2y ＞0表示的平面区域是( )A B C D4．(2017年新课标Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]5．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32B.23C.43D.346．(2019年浙江)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，3x －y －4≤0，x ＋y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．10D ．12 二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2018年新课标Ⅲ)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3≥0，x －2y ＋4≥0，x －2≤0，则z ＝x ＋13y 的最大值是________．8．(2017年西安铁一中)已知实数x ，y 满足以下约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，则z ＝x 2＋y 2的最小值是________．9．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥12x －1，则y －1x ＋1的取值范围是________． 三、解答题(共15分)10．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y －8≤0，x ≤3，若使得ax －y 取得最小值的可行解有无数个，求实数a 的值．基础知识反馈卡·6.41．D 2.A 3.D 4.B5．C 解析：(数形结合法)画图可知，不等式组所表示的平面区域是一个三角形，且三个顶点的坐标分别是⎝⎛⎭⎫0，43，(0,4)，(1,1)，∴三角形的面积S ＝12×⎝⎛⎭⎫4－43×1＝43. 6．C 解析：不等式组表示的可行域是如图DJ13所示的阴影部分，∵z ＝3x ＋2y ，y ＝－32x ＋z 2，表示斜率为－32的直线系．由图可知，当直线y ＝－32x ＋z 2过点A 时，在y 轴上的截距z 2最大，即z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋4＝0，3x －y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，∴A (2,2)．∴当x ＝2，y ＝2时，z max ＝10.故选C.图DJ137．3 解析：不等式组表示的可行域是如图DJ14所示的阴影部分，由z ＝x ＋13y 得y ＝－3x ＋3z ，作出直线y ＝－3x ，并平移该直线，当直线y ＝－3x ＋3z 过点A (2,3)时，目标函数z ＝x ＋13y 取得最大值为2＋13×3＝3.图DJ148.45解析：作出可行域如图DJ15所示，由z ＝x 2＋y 2＝[(x －0)2＋(y －0)2]2.结合图象，z 的最小值可看作原点到直线2x ＋y －2＝0的距离d 的平方，根据点到直线的距离可得d ＝|0＋0－2|22＋12＝255，故z min ＝x 2＋y 2＝d 2＝45.图DJ159.⎣⎡⎦⎤－34，12 解析：所求为区域内点与点(－1,1)连线的斜率，如图DJ16所示： 过点A (1,2)时取得直线斜率的最大值，此时斜率k max ＝2－11＋1＝12； 过点B ⎝⎛⎭⎫1，－12时取得直线斜率的最小值，此时斜率k min ＝－12－11＋1＝－34. ∴y －1x ＋1的取值范围是⎣⎡⎦⎤－34，12.图DJ16 图DJ1710．解：作出可行域如图DJ17阴影部分所示，若要使得ax －y 取得最小值的可行解有无数个，结合图象可知，则z ＝ax －y 与约束条件的直线x －y ＋1＝0或x ＋2y －8＝0平行，即a＝1或－12.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
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第4讲 简单的线性规划
1．(2019年北京)若x ，y 满足|x |≤1－y ，且y ≥－1，则3x ＋y 的最大值为( ) A ．－7 B ．1 C ．5 D ．7
2．(2019年四川成都模拟)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥0，x －y ≥0，
2x －y －2≥0，则ω＝y －1
x ＋1
的取值
范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫－12，1
B.⎣⎡⎭⎫－1
2，1 C.⎝⎛⎭⎫12，1 D.⎣⎡⎭
⎫1
2，1 3．(2014年新课标Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则
a ＝( )
A ．－5
B ．3
C ．－5或3
D ．5或－3
4．设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，
2x ＋y －14≤0
所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a ＞0，
a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )
A ．[1,3]
B ．[2，10]
C ．[2,9]
D ．[10，9]
5．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，
2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实
数a 的值为( )
A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－1
6．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，3x ＋4y ≥4，
y ≥0，
则x 2＋y 2＋2x 的最小值是( )
A.2
5 B.2－1 C.24
25
D ．1 7．不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥0，x －y －1≥0，
3x －2y －6≤0
表示的平面区域的面积等于________．
8．(2018年浙江)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥0，2x ＋y ≤6，
x ＋y ≥2，则z ＝x ＋3y 的最小值是________，
最大值是________．
9．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2y ＋1≤0，2x －y ≥0，
x ≤1，则点P (2x －y ，x ＋y )表示区域的面积为( )
A.34
B.4
3 C.1
2
D ．1 10．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥1，y ≤2x －1，
x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m
等于( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．7
11．(2017年河南开封一模)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥1，x －y ≥－1，
2x －y ≤2，
且目标函数z ＝ax ＋2y
仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( )
A ．[－4,2]
B ．(－4,2)
C ．[－4,1]
D ．(－4,1)
12．已知点P 在直线x ＋2y －1＝0上，点Q 在直线x ＋2y ＋3＝0上，M (x 0，y 0)为PQ 的中
点，且y 0>2x 0＋1，则y 0
x 0
的取值范围是______________．
第4讲 简单的线性规划
1．C 解析：由题意⎩
⎪⎨⎪⎧
－1≤y ，
y －1≤x ≤1－y ，作出可行域如图D163阴影部分所示．
设z ＝3x ＋y ，y ＝z －3x ，
当直线l 0：y ＝z －3x 经过点(2，－1)时，z 取最大值5.故选C.
图D163 图D164
2．B 解析：作出不等式组所表示的可行域，如图D164中阴影部分所示，由于
y －1
x ＋1
可以看作直线的斜率形式，于是问题可以转化为求可行域内的哪些点与点A (－1,1)连线的斜率最
大、最小问题．如图，当直线过点B (1,0)时，斜率最小，此时ω＝0－11－(－1)
＝－1
2；当直线与x
－y ＝0平行时，斜率最大，此时ω＝1，但它与阴影区域无交点，取不到．故ω＝y －1
x ＋1
的取值
范围是⎣⎡⎭
⎫－1
2，1.故选B. 3．B 解析：根据题中约束条件可画出可行域如图D165.两直线交点坐标为A ⎝⎛⎭⎫
a －12，a ＋12.
又由z ＝x ＋ay 知，当a ＝0时，A ⎝⎛⎭⎫－12，12，z 的最小值为－12，不合题意；当a ≥1时，y ＝－1a x ＋z
a 过点A 时，z 有最小值，即z ＝a －12＋a ×a ＋12＝a 2＋2a －12＝7.解得a ＝3，或a ＝－5(舍去)；当a <1时，z 无最小值．故选B.
图D165 图D166
4．C 解析：本题考查线性规划与指数函数．如图D166阴影部分为平面区域M, 显然a >1，只需研究过(1,9), (3,8)两种情形．a 1≤9且a 3≥8即2≤a ≤9.
5．D 解析：如图D167，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.
图D167 图D168
6．D 解析：x 2＋y 2＋2x ＝(x ＋1)2＋y 2－1表示的可行域上的点(x ，y )与点(－1,0)的距离的平方值减1.选D.
7.3
2 解析：不等式组表示的平面区域如图D168中阴影部分所示，易知A (1,0)，B (2,0)， 由⎩
⎪⎨⎪⎧
x －y －1＝0，3x －2y －6＝0，得C (4,3)． ∴S △ABC ＝12AB ·|y C |＝12×1×3＝3
2
.
8．－2 8
9．D 解析：设⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x －y ＝a ，
x ＋y ＝b ，得⎩⎨⎧
x ＝a ＋b
3
，y ＝2b －a
3.
代入x ，y 的关系式得：⎩⎪⎨⎪
⎧
a －
b ＋1≤0，a ≥0，
a ＋
b －3≤0.
易得图D169阴影面积S ＝1
2
×2×1＝1，故选D.
图D169 图D170
10．C 解析：作出不等式组对应的平面区域如图D170，由目标函数z ＝x －y 的最小值是－1，得y ＝x －z ，即当z ＝－1时，函数为y ＝x ＋1，此时对应的平面区域在直线y ＝x ＋1的下
方，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，y ＝2x －1，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝3，即A (2,3)，同时A 也在直线x ＋y ＝m 上，即m ＝2＋3＝5.
11．B 解析：作出不等式组表示的区域，如图D171中阴影部分，直线z ＝ax ＋2y 的斜
率为k ＝－a 2，从图中可看出，当－1<－a
2
<2，即－4<a <2时，目标函数z 仅在点(1,0)处取得最
小值．故选B.
图D171
12.⎝⎛⎭⎫－12，1
3 解析：因直线x ＋2y －1＝0与x ＋2y ＋3＝0平行，故点M 的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线，其方程为x ＋2y ＋1＝0，即点M (x 0，y 0)满足x 0＋2y 0＋1
＝0，而满足不等式y 0>2x 0＋1的点在直线y ＝2x ＋1的上方，易得直线x ＋2y ＋1＝0与y ＝2x
＋1的交点为⎝⎛⎭⎫－35，－15，故问题转化为求射线(不含端点)x 0＋2y 0＋1＝0⎝
⎛⎭⎫x 0<－35上的点M (x 0，y 0)与坐标原点(0,0)连线斜率，即y 0x 0的取值范围， 故y 0
x 0
＝k OM ∈⎝⎛⎭⎫－12，13.
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