第4章线性规划的基本概念及基本原理
线性规划基础
知识详解1.线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x，y的约束条件，这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x，y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．2.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解3.解线性规划实际问题的步骤：（1）列出约束条件与目标函数；（2）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值；（3）验证.4. 主要的目标函数的几何意义:（1）-----直线的截距；（2）-----两点的距离或圆的半径；（3）-----直线的斜率一．二元一次不等式(组)表示的平面区域例1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )例2. (2020·汉中质检)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y －1≥0，y ≥0所表示的平面区域的面积等于________．二.目标函数形如z=ax+by 型：例1（2008.全国Ⅱ）设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值是（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-解：画出可行域（如图1），由y x z 3-=可得331z x y -=，所以3z -表示直线331zx y -=的纵截距，由图可知当直线过点A （-2，2）时，z 的最小值是-8，选D.三.目标函数形如ax by z --=型：：画出可行域（如图2），yx表示可行域内的点（x,y=6，KOC =59，所以6≤，选A.1.已知变量满足约束条件，则的最大值为( )2. (2012年高考·辽宁卷 理8)设变量满足，则的最大值为4. A.⎣⎡C ．6A ．C ．7. 8如果点P 在平面区域⎪⎩⎨≥-≤-+01202y y x 上,点O 在曲线的那么上||,1)2(22PQ y x=++最小值为____9.设,x y 满足约束条件3602000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数,(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为6，则46a b +的最小值为_______、10.某糖果厂生产A 、B 两种糖果，A 种糖果每箱获利润40元，B 种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混,x y 241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩3z x y =+()A 12()B 11()C 3()D -1,x y -100+20015x y x y y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩2+3x y合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间（单位：分钟）每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12机器小时，烹调的设备至多只能用机器30机器小时，包装的设备只能用机器15机器小时，试用每种糖果各生产多少箱可获得最大利润．11.某工厂利用两种燃料生产三种不同的产品A、B、C，每消耗一吨燃料与产品A、B、C有下列关系：现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为3:2，现需要三种产品A、B、C各50吨、63吨、65吨．问如何使用两种燃料，才能使该厂成本最低？。
线性规划的定义及解题方法
线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。
它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。
线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。
本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。
一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。
它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。
通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。
在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。
这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。
例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。
这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。
二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。
决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。
2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。
3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。
例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。
4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。
它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。
线性规划--基本概念
线性规划–基本概念简介线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种数学优化技术，用于寻找最佳解决方案。
它被广泛应用于工程、经济学、商业和其他领域，以帮助决策者做出最佳决策。
基本概念1. 线性规划模型线性规划模型由一个目标函数和一组约束条件组成。
目标函数是需要最小化或最大化的线性函数，约束条件是关于决策变量的线性不等式或等式。
2. 决策变量决策变量是影响问题解决方案的变量。
在线性规划中，这些变量通常代表着可供决策者调整的资源或决策参数。
3. 目标函数目标函数是需要优化的线性函数。
在线性规划中，最常见的目标是最大化利润或最小化成本，目标函数通常用代数符号表示。
4. 约束条件约束条件是问题中必须满足的条件。
这些条件通常由一组线性不等式或等式组成，描述了决策变量的限制范围。
5. 最优解线性规划的目标是找到满足所有约束条件下使目标函数达到最小值或最大值的决策变量值。
这些决策变量值组成了最优解。
6. 可行解满足所有约束条件的解决方案被称为可行解。
线性规划求解过程中，需要找到一个可行解才能进行优化。
7. 线性可分线性规划要求问题中的目标函数和约束条件都是线性的。
这意味着这些函数和不等式都可以用直线表示，且在图形上相交于有限个点。
求解方法1. 单纯形法单纯形法是最常用的线性规划求解方法之一。
它通过不断移动目标函数的极值点来寻找最优解，直到无法再改进为止。
2. 内点法内点法是另一种常用的线性规划求解方法，它通过在内部点迭代来逼近最优解。
与单纯形法相比，内点法在大规模问题上具有更好的性能。
3. 混合整数线性规划混合整数线性规划（Mixed Integer Linear Programming，简称MILP）扩展了线性规划，允许决策变量为整数。
这种形式的问题更难求解，通常需要使用分支定界等复杂算法。
应用领域线性规划在许多领域都有广泛的应用：•生产计划：优化生产线的效率和成本。
•供应链管理：优化库存水平和运输成本。
高考数学中的线性规划基本概念介绍
高考数学中的线性规划基本概念介绍在高中数学中，我们接触到了许多不同的数学知识，其中很重要的一项便是线性规划。
在高考数学考试中，线性规划占据了相当重要的位置，成为众多学生备战高考的重要课程。
本文将为大家介绍一下高考数学中的线性规划基本概念。
一、线性规划的含义与基本形式所谓线性规划，就是针对一定的线性约束条件和线性目标函数，找到一个可行解，使得目标函数取得最大值或最小值。
具体来说，我们可以把线性规划形式表示为以下三个部分：第一部分：目标函数。
实际应用中，我们需要通过目标函数来描述最优解的性质。
第二部分：约束条件。
约束条件按照不同的形式可以分为等式约束和不等式约束。
等式约束通常包括一些限制条件，例如生产的成本、材料、人工等费用等；而不等式约束则包括一些限制条件，例如工艺上的限制、质量上的限制等等。
第三部分：变量范围。
变量范围是针对线性规划中的所有变量进行限制，例如生产量、工作量等等。
变量的范围通常以非负数的形式进行限制。
二、线性规划的图形解释在图形表示中，我们可以把约束条件和目标函数分别绘制在平面直角坐标系上。
具体来说，约束条件的图像形式通常为一些直线或者凸多边形，而目标函数的图像则大多为一条直线。
设二维实数集合$$S = {(x,y)\mid x,y \in R}$$为平面直角坐标系上的点集。
设集合$$P = {(x,y)\mid a_{1}x+b_{1}y\le c_{1},a_{2}x+b_{2}y\le c_{2}}$$ 其中a1,b1,c1,a2,b2,c2均为常数，为x 轴和y轴上的两条直线。
则P就是由这两个约束条件限制而成的平面直角坐标系中的点集。
同时，一元线性规划问题中最常见的约束条件就是不等式约束。
在平面直角坐标系中，这些不等式约束通常形成一个封闭凸多边形，我们将其称之为约束多边形。
因此，在二元问题中，问题的可行解便是在该多边形中的可行点，即使得目标函数取得最小值或最大值的点。
三、线性规划的解法与应用在现实生活中，线性规划具有广泛的应用范围，例如经济学、管理学等学科领域。
线性规划讲义
线性规划讲义一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的目标最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
本讲义将介绍线性规划的基本概念、模型建立和求解方法。
二、基本概念1. 线性规划模型线性规划模型由目标函数和一组线性约束条件组成。
目标函数是要最小化或者最大化的线性表达式，而约束条件是对决策变量的限制条件。
2. 决策变量决策变量是问题中需要决策的变量，它们的取值将影响目标函数的值。
决策变量通常用符号x表示。
3. 约束条件约束条件是对决策变量的限制条件，可以是等式约束或者不等式约束。
等式约束表示某些决策变量之间的关系，不等式约束表示某些决策变量的取值范围。
4. 目标函数目标函数是线性规划模型中要最小化或者最大化的线性表达式。
它通常由决策变量和系数构成。
三、模型建立1. 确定决策变量根据问题的具体情况，确定需要决策的变量，并用符号x表示。
2. 建立目标函数根据问题要求，建立一个线性表达式作为目标函数。
目标函数可以是最小化或者最大化的。
3. 建立约束条件根据问题中给出的限制条件，建立一组线性不等式或者等式作为约束条件。
每一个约束条件都要写成决策变量的线性表达式。
4. 确定变量的取值范围根据问题的实际情况，确定决策变量的取值范围。
这些范围可以是非负数、整数或者其他限制条件。
四、求解方法1. 图形法当决策变量的个数较少时，可以使用图形法来求解线性规划问题。
图形法通过绘制约束条件的图形，并找到目标函数的最优解。
2. 单纯形法单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。
它通过迭代计算，逐步逼近最优解。
单纯形法的核心是构造单纯形表，并进行基变量的选择和迭代计算。
3. 整数线性规划当决策变量需要取整数值时，可以使用整数线性规划方法来求解。
整数线性规划是一种复杂的优化问题，通常需要使用分支定界等算法来求解。
五、案例分析以一个生产计划问题为例，假设一个工厂有两个产品A和B，需要决定每一个产品的生产数量，以最大化利润。
第四章 线性规划模型的建立(1)
第四章 线性规划模型的建立
目前线性规划是应用最广泛、 最成功的运筹学分支。 在线性规划以 目前线性规划是应用最广泛、 最成功的运筹学分支。 及运筹学其它分支的应用中， 最重要的是建立繁简适当、 能反映实际问 及运筹学其它分支的应用中， 最重要的是建立繁简适当、 题的主要因素、 题的主要因素、 得出正确结论并能取得经济效益的数学模型。 得出正确结论并能取得经济效益的数学模型。 一个经验 不丰富的运筹学工作者要做到这一点， 是很不容易的。 在大多数情况下， 不丰富的运筹学工作者要做到这一点， 是很不容易的。 在大多数情况下， 建立数学模型要经过几个阶段的精心思考。 ， 建立数学模型要经过几个阶段的精心思考。 最初， 最初 为了实际情况简化得 能较容易地建立一个粗略的、 可以使用的模型， 常常只考虑少数最重要 能较容易地建立一个粗略的、 可以使用的模型， 的因素， 的因素， 而将许多次要因素省略。 而将许多次要因素省略。 但这样做必然使得模型距实际情况较 甚至得不出正确的结论。 ， 因此， 远， 甚至得不出正确的结论。 因此 要在此基础上加进一些被省略因素 中显得比较重要的若干因素，变更已建立的模型。 中显得比较重要的若干因素，变更已建立的模型。 重要的若干因素
第四章 线性规划模型的建立
3．约束方程的建立与资源利用的限制和生产过程的管理 ． 要求有关。 要求有关。 在建立规划模型的过程中，必须认真分析各种约束因 在建立规划模型的过程中， 素，建立与约束条件相对应的约束方程，切记不能遗忘 建立与约束条件相对应的约束方程， 约束，否则就不能得出正确的结论。 约束，否则就不能得出正确的结论。如果因问题比较复 杂，一时很难发现是否遗忘了约束条件，那么求解结果 一时很难发现是否遗忘了约束条件， 就可能出现无可行解、无限界解的情况。这时， 就可能出现无可行解、无限界解的情况。这时，再回过 头来检查是否遗忘了约束条件也是一种常用的办法。 头来检查是否遗忘了约束条件也是一种常用的办法。
线性规划知识点
线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最优解。
它广泛应用于经济、工程、运输、资源分配等领域。
本文将介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及应用案例。
二、基本概念1. 变量：线性规划中的决策变量表示问题中需要优化的量，可以是实数、整数或布尔值。
2. 目标函数：线性规划的目标函数是需要最小化或最大化的线性表达式，通常表示为求解最小值或最大值。
3. 约束条件：线性规划的约束条件是限制变量取值范围的线性等式或不等式。
4. 可行解：满足所有约束条件的变量取值组合称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最小值或最大值的解称为最优解。
三、模型建立线性规划的建模过程包括确定决策变量、建立目标函数和约束条件。
1. 决策变量的确定：根据问题的实际情况，确定需要优化的变量及其取值范围。
2. 目标函数的建立：根据问题的要求，将需要最小化或最大化的目标转化为线性表达式。
3. 约束条件的建立：根据问题的限制条件，将约束条件转化为线性等式或不等式。
四、求解方法线性规划可以使用多种方法求解，常见的有单纯形法和内点法。
1. 单纯形法：单纯形法是一种迭代求解方法，通过不断移动顶点来逼近最优解。
它从一个可行解开始，通过交换变量的值来改进目标函数的值，直到找到最优解。
2. 内点法：内点法是一种基于迭代的方法，通过在可行域内寻找最优解。
它通过将可行域内的点逐渐移向最优解，直到找到最优解。
五、应用案例线性规划在实际应用中具有广泛的应用场景，以下是一个简单的应用案例：假设某公司生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为10元，每单位产品B的利润为8元。
公司有两个车间可供生产，每个车间每天的工作时间为8小时。
产品A每单位需要1小时的生产时间，产品B每单位需要2小时的生产时间。
车间1每天最多可生产100单位产品A或80单位产品B，车间2每天最多可生产80单位产品A或60单位产品B。
公司希望确定每天的生产计划，以最大化利润。
第4章线性规划
f ( X ) 5 x1 4 x 2 4 x1 x 2 60 x1 x 2 24 x1 0 x2 0
(1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5)
例题21： • 首先由(4)，(5)二式（x1≥ 0、x2 ≥ 0）知， 其解
在第一象限所在的范围，所以在画图时将第二、
产品Ⅰ 产品Ⅱ 资源总量
设 备（台时）
原料A（公斤） 原料B（公斤）
1
4 0
2
0 4
8
16 12
利 润（百元）
2
3
线性规划范例
• 例B. 任务分配问题
表2
产品
1 23
2 21
3 19
4 17
某公司拟生产4种产品， 可分配给下属的3个工厂 生产，由于工厂的地理位 置和设备不同，每个工厂 生产每种产品的成本不相 同，加工能力也不相同。 有关数据分别由表2和表3 给出。公司应如何给下属 各工厂分配任务，才能在 保证完成每种产品的任务 的条件下，使得公司所花 费的成本最少？
例 : x2 0 y 0, y x2
对于无限制变量的处理：同时引进两个非负变量， 然后用它们的差代替无限制变量。
例 : x2无限制 x2 y1 y2 y1 , y2 0
例题20： 将下述线性规划问题化为标准形
m i n s .t . f ( X ) x1 2 x 2 3 x 3 2 x1 x 2 x 3 9 3 x1 x 2 2 x 3 4 3 x1 2 x 2 3 x 3 6 x1 0, x 2 0, x 3无限制
含量限制 原 A B C 加工费（元/kg） 料 纱线1 ≥60% 无 ≤20% 1.5 纱线2 ≥15% ≥10% ≤60% 1.2 纱线3 无 无 50% 0.9 （元/kg） 6 4.5 3 （kg/月） 2000 2500 1200 原料成本 原料限量
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数学模型
目标函数：min(或max)z=c1x1+c2x2+…..+cnxn 约束条件： a11x1+a12x2+…+a1nxn≤(=, ≥)b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn≤(=, ≥)b2 ………………………………… am1x1+am2x2+…+amnxn≤(=, ≥)bm
21
x1 x2 x3 1 14 7 x1 x2 x4 1 7 12 x1 x2 x5 8 x1 , x2 .....x5 0
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线性规划数学模型的一般形式：
满足 minf(x)=c1x1+c2x2+……+cnxn
a11x1+a12x2+…+a1nxn =b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 ………………………………… am1x1+am2x2+…+amnxn=bm xj≥0 j=1,2,…,n m,n正整数。m为独立的约束方程个数，n为变量个数 n＞m bi≥0 (i=1,2,…,m)
11
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该配料问题的最优化数学模型为: 目标函数: 飞机汽油１的总产量越多越好 maxz= x1+x2+x3+x4 约束函数(限制条件): X5+x6+x7+x8≥250000 X1+x5≤380000 X2+x6≤265200 2.85x1-1.42x2+4.27x3-18.49x4≥0 2.85x5-1.42x6+4.27x7-18.49x8≥0 16.5x1+2.0x2-4.0x3+17.0x4≥0 7.5x5-7.0x6-13.0x7+8.0x8≥0 xj≥0 j=1,2,…,8
x1+x2=10
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求x＝（x1
§1.3线性规划问题的标准型 x2 )T
使f(x)=-5x1-10x2
并满足：
min 设计变量： x1 ， x2
松弛变量： x3 ， x4 ， x5 松弛变量:把不等式约束变成等式约束 所增加的变量称为松弛变量。 剩余变量:若不等式约束为“≥”形式, 则在改写等式约束时,所增加变量前面 的符号应为负,这时所增加的变量称为 剩余变量。 自由变量:若约束条件中有某个变量无 ' ' ' ' 非负限制,令 xk xk xk' 其中xk , xk' 0
2x1+3x2100
4x1+2x2 120 x1、x20 求出x1、x2的值
（原材料限制）
（工时限制） （变量非限制）
要求：总产值最大，maxf(x1、x2)= 6x1+4x2 maxf(x1、x2)
3
两个变量的线性规划
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例2 分配任务的最优化问题
现有四种不同规格的产品要分配在四台不同性能的机床上 同时加工，由于产品的规格不同和机床的性能各异，因此每 一件产品在不同机床上加工的工时定额是不同的，其工时定 额如表，问应如何分配加工任务，使总的加工时间最少？
X2+x6≤265200 (标准汽油2号的库存量限制)
X3+x7≤408100 (标准汽油3号的库存量限制) X4+x8≤130000 (标准汽油4号的库存量限制) xj≥0 j=1,2,…,8
8
(非负限制)
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2、蒸汽压和辛烷值的限制条件 分压定律：设有一混合气体，由n种气体组成。令混合气体的压力 为p，所站总容积为v；各组分的压力分别为p1,p2….pn,各组分所 n 占容积分别为V1，V2，…..Vn,则“ pV piVi ”， 利用分压定律建立蒸汽压力的限制条件： 根据表1-2，飞机汽油1的蒸汽压力应为：
Ｂ：常数项列阵
Ｘ≥０：表示向量Ｘ中的每一个分量都大于零
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§1.4线性规划问题的解 1.可行解：满足非负约束条件的约束方程的任何一个解 都是可行解。在可行区中的任何一个解都是可行解。
i 1
7.11102 x1 11.38102 x2 5.69102 x3 28.45102 x4 x1 x2 x3 x4
根据表1-3，蒸汽压力不大于9.96*10-2
7.11x1 11.38x2 5.69x3 28.45x4 9.96 x1 x2 x3 x4
工时 机床 产品
1 7 20 21 48
2 50 13 16 27
4
3 16 40 25 43
4 1 35 42 16
1 2 3 4
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解:今要求四种产品同时在四台不同的机床上进行加工，因此 每种产品只能而且必须分配在一台机床上，同时每台机床只 能而且必须加工一种产品，所以这个问题属于任务分配问题 (表示产品j不分配在机床i上加工） 设 xij= 0 1 (表示产品j分配在机床i上加工） 则限制条件为 4 xij 1, i 1,2,3,4 (第i台机床只加工一种产品)
x1, x2…xn的全部或部分非负
14
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§1.2线性规划的图解法
一、引例 例：若有某水泥制品厂生产Ａ、Ｂ两种混合料。按照工厂的生 产能力，每小时可生产Ａ料14t或Ｂ料7t。从运输距离来讲， 每小时能运Ａ料7t或Ｂ料12t。按工厂的运输能力，不论何种 混合料，每小时只能运出物料8t。已知生产Ａ料所创造的经济 价值为5元／t，Ｂ料为10元／t。试问该厂每小时能创造的最 大经济价值为多少？这时每小时生产的Ａ、Ｂ料各为多少？ 解：设x1、x2分别为每小时生产的A、B料数量， 故设计变量为X=(x1、x2)T 目标函数：f(x)= 5x1+10x2 约束条件： ??
x2 60
约束条件:
2x1+x2≤60
30
2x1+x2=60
3x1+5x2=150
3x1+5x2≤150
x1,x2≥0
18
0
30
50
x1
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解的几种特殊情况 2.可行集无界 x
2
目标函数: maxz=f(x1,x2)=2x1-x2
1
x1-3x2= -3
约束条件:
x1+x2≥1
X3+x7≤408100
X4+x8≤130000
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小
结
1)每一问题都用一组未知数(x1,x2,…,x3)表示某一方案,这组 未知数的一组定值就代表一个具体方案。一些实际问题还要求 这些未知数的全部或部分取值是非负的。
2）这些未知数需满足一定的限制条件，这些限制条件都可以 用一组线性等式或不等式来表示。 3）都有一个目标要求，并且这个目标可表示为这组未知数的 线性函数（目标函数）。 按研究的问题不同，要求目标函数实现最大或最小 线性规划问题
0 1
Z=2x1-x2
x1
x1-3x2≤-3
x1,x2≥0
19
x1+x2=1
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解的几种特殊情况 3.可行集为空集 目标函数: maxz=f(x1,x2)=x1+3x2
x2 30
约束条件:
x1+x2≤10
2x1+x2=30
2x1+x2≥30
x1,x2≥0
20
10
0 10 15 x1
9
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整理后得： 2.85x1-1.42x2+4.27x3-18.49x4≥0 (1号飞机汽油蒸汽压指标限制) 要求飞机汽油2的蒸汽压力与飞机汽油1的相同，则： 2.85x5-1.42x6+4.27x7-18.49x8≥0 (2号飞机汽油蒸汽压指标限制)
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关于辛烷值的考虑也可采用类似分压定律
对于1号飞机汽油,有
107.5 x1 93.0 x2 87.0 x3 108.0 x4 91.0 x1 x2 x3 x4
整理后得:
16.5x1+2.0x2-4.0x3+17.0x4≥0 (1号飞机汽油辛烷值指标限制) 对于2号飞机汽油,有 7.5x5-7.0x6-13.0x7+8.0x8≥0 (2号飞机汽油辛烷值指标限制)
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解：设x1、x2分别为每小时生产的A、B料数量 故设计变量为X=(x1、x2)T 目标函数：f(x)= 5x1+10x2
约束条件：
x1 x2 1 14 7 x1 x2 1 7 12 x1 x2 8 x1 , x2 0
16
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图解法（生产规划问题的几何描述）
x1 x2 1 7 12
１２
１０
８
f(x)等值线
D
E
６
f(x)=70
４
G
可行区
２
C
x1 x2 1 14 7
A
0 ２ ４ ６
x1 x2 8
B
８
17
１０
１２
x1 １４
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解的几种特殊情况 1.无穷多个最优解 目标函数: maxz=f(x1,x2)=6x1+10x2