运筹学-4线性规划的解的概念
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线性规划在物流运输中数学模型及应用
目录线性规划在物流运输中数学模型及应用 (1)摘要 (1)关键词 (1)引言 (1)1、线性规划问题 (1)1.1、线性规划问题的提出 (1)1.2、线性规划数学模型 (6)1.3、线性规划问题的标准形式 (7)1.4、线性规划问题解的概念 (8)1.4.1、可行解 (9)1.4.2、基 (9)1.4.3、基可行解 (10)1.4.4、可行基 (10)2、物流运输问题 (10)2.1、物流运输 (10)2.2、物流运输的规划设计 (11)2.2.1、运输成本 (11)2.2.2、运输速度 (11)2.2.3、运输的一致性 (11)2.2.4、与物流节点的匹配程度 (11)2.3、运输规划设计内容 (12)2.3.1、确定运输战略 (12)2.3.2、确定运输线路 (12)2.3.3、选择运输方式 (12)2.3.4、运输过程控制 (12)2.4、物流运输问题的提出 (12)2.5、物流运输问题的数学模型 (14)3、物流运输问题线性规划数学模型实例 (14)3.1、车辆调度问题 (15)3.2、产销运输问题 (17)3.3、物资调运问题： (18)4、结束语 (25)致谢 (25)参考文献 (25)英文摘要 (26)Linear Programming in logistics and (26)transportand application of mathematical models (26)Abstract (26)Keywords (26)线性规划在物流运输中数学模型及应用线性规划在物流运输中数学模型及应用摘要：本论文重要是对线性规划问题的提出、标准型、以及求解进行分析，然后建立一些数学模型来解决一些实际问题。
针对物流运输这个方面的实际应用建立一些特殊的数学模型用线性规划进行分析，让物流运输变的简单、快捷、节约成本。
本文的关键是对物流运输中的问题建立的数学模型就行分析，利用线性规划来运算和求解，建立线性规划数学模型。
第一章_线性规划
第 一 节 线性规划问题及其数学模型
一、线性规划问题的数学模型
线性规划问题主要解决以下两类问题： 1、任务确定后，如何统筹安排，做到应用尽量少的人 力和物力资源来完成任务； 2、在一定量的人力、物力资源的条件下，如何安排、 使用他们，使完成的任务最多。
在生产管理和经济活动中，经常会遇到线性规划问 题，如何利用线性规划的方法来进行分析，下面举例 来加以说明。
表1－2
成分
产品来源
分析：很明显，该厂可以有多种不同的方案从A，B 两处采购原油，但最优方案应是使购买成本最小的一 个，即在满足供应合同单位的前提下，使成本最小的 一个采购方案。
解：设分别表示从A，B两处采购的原油量（单位：万 吨），建立的数学模型为：
m in S 200 x1 290 x2
3. 若存在无非负要求的变量。即有某一个变 量 xj 取正值或负值都可以。这时为了满足标准型 对变量的非负要求，可令 xj = xjˊ- xj〞, 其中： xjˊ、 xj〞 0 ，由于xjˊ可能大于也可能小于xj〞，故 xj 可以为正也可以为负。
上述的标准型具有如下特点： （1）目标函数求最大值； （2）所求的变量都要求是非负的； （3）所有的约束条件都是等式； （4）常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7
x13x1x2
x4 x2
x5 2x4
x7 2 2x5 5
x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排 生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的 设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件 可获利润见表所示：
《运筹学》试题及答案(六)
值下降为 0
14.在我们所使用的教材中对单纯形目标函数的讨论都是针对 B 情况而言的。
映的关系和客观事物的内在联系。
四、把下列线性规划问题化成标准形式：
2、minZ=2x1-x2+2x3
五、按各题要求。建立线性规划数学模型 1、某工厂生产 A、B、C 三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量 以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：
根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为 200，250 和 100 件，最大月 销售量分别为 250，280 和 120 件。月销售分别为 250，280 和 120 件。 问如 何安排生产计划，使总利润最大。
B 使 Z 更小
C 绝对值更大
DZ
绝对值更小
12.如果线性规划问题有可行解，那么该解必须满足 D
A 所有约束条件 B 变量取值非负 C 所有等式要求 D 所有不
等式要求
13.如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在 D 集合
中进行搜索即可得到最优解。
A基
B 基本解
C 基可行解
D 可行域
A．基可行解的非零分量的个数不大于 mB．基本解的个数不会超过 Cmn 个 C．该
问题不会出现退化现象 D．基可行解的个数不超过基本解的个数 E．该问题的基
是一个 m×m 阶方阵
4．若线性规划问题的可行域是无界的，则该问题可能 ABCD
A．无有限最优解 B．有有限最优解 C．有唯一最优解 D．有无穷多个最优
本
解
为
基
可
行
解
9.线性规划问题有可行解，则 A
A 必有基可行解 B 必有唯一最优解 C 无基可行解
D无
线性规划及在水资源中的应用
（4）基可行性解
满足非负约束条件的基解称为基可行性解；
（5）可行基
对应于基可行解的基称为可行基。
2、线性规划的求解方法
线性规划的基本解法有图解法和单纯形法两 种，图解法一般只适用于2-3个变量的问题，实用 价值不大。单纯形法是一种解变量较多的常用解 法，运用此方法时，常借助于已有的程序用计算 机求解。
（3）基解
方设程问组题变的为基为B=(aij)m×m=(P1 , P2 , … Pm)，将约束
m
n
Pj x j b Pj x j
j 1
j m1
（1）
解 问在向题方量的程基X组=解（(x；11 ）, x的2 ,解…中, 令xmx,j=00,(…j=m, +01,)T,
… , n)，则称 为线性规划
（1） 约束方程均为等式方程 （2） 所有变量均为非负变量
max z C X
A X b
s.t.
X
0
对于非标准形的线性规划模型都可以化为标准形， 其方法如下：
（1）目标函数为最小化的问题：令z′= - z，则
max z′=- min z = - C·X
（2）约束条件为不等式：对于不等号“≤（≥）”的 约束条件，则可在“≤（≥）”的左端加上（或减去） 一个非负变量（称为松弛变量）使其变为等式；
C . 最优性检验的方法
假设要检验基可行解X(1) =(x1(1) , x2(1) ,… , xm(1) , 0 ,…, 0)T =(b′1 , b′2 , b′m , 0 ,… , 0) T的最优性。由约束方程 组对任意的X=(x1 , x2 , … , xm )T有
n
xi bi aijxj (i 1,2,.m) j m 1
线性规划问题的标准型与解的概念
向量，设为Pj1,Pj2,…,Pjm,称可逆矩阵B=（Pj1,Pj2,…,Pjm） 为线性规划（L）的一个基，称B中的列向量对应的变量 xj1,xj2,…,xjm为基变量，其余变量称为非基变量。
基本解：记基变量为XB=（xj1,xj2,…,xjm）T，非基变量
构成的列向量记为XN，并令XN =0，则有AX=ΣPjxj=BXB=b， 于是有 XB=B-1b。称XB=B-1b， XN =0为线性规划（L）的 一个基本解。 基（本）可行解：若基本解中XB=B-1b≥0，则称该解为基 可行解，
这时基B也称为可行基。 -
显然，基可行解的数目≤基解的数目≤
Cm n
例4 求出下面线性规划的所有基本解，并指出哪些
是基可行解。
maxZ=2x1+x2 3x1+5x2≤15 6x1+2x2≤24 x1,x2≥0
解 ：标准化得 maxZ=2x1+x2 3x1+5x2 + x3 = 15 6x1+2x2 + +x4= 24 x1,x2, x3,, x4 ≥0
11显然基可行解的数目显然基可行解的数目基解的数目基解的数目求出下面线性规划的所有基本解并指出哪些是求出下面线性规划的所有基本解并指出哪些是基可行解
运筹学
主讲教师 向宇
-
第一章 线性规划与单纯形法
• §3 线性规划问题的标准型与解的概念
–3.1 线性规划的标准型
我们规定线性规划的标准型如下：
maxZ=c1x1+c2x2+‥‥+cnxn a11x1+a12x2+‥‥+a1nxn＝b1 a21x1+a22x2+‥‥+a2nxn＝b2 …………………………… am1x1+am2x2+‥‥+amnxn＝bm x1,x2,‥,xn≥0
基本解：记基变量为XB=（xj1,xj2,…,xjm）T，非基变量
构成的列向量记为XN，并令XN =0，则有AX=ΣPjxj=BXB=b， 于是有 XB=B-1b。称XB=B-1b， XN =0为线性规划（L）的 一个基本解。 基（本）可行解：若基本解中XB=B-1b≥0，则称该解为基 可行解，
这时基B也称为可行基。 -
显然，基可行解的数目≤基解的数目≤
Cm n
例4 求出下面线性规划的所有基本解，并指出哪些
是基可行解。
maxZ=2x1+x2 3x1+5x2≤15 6x1+2x2≤24 x1,x2≥0
解 ：标准化得 maxZ=2x1+x2 3x1+5x2 + x3 = 15 6x1+2x2 + +x4= 24 x1,x2, x3,, x4 ≥0
11显然基可行解的数目显然基可行解的数目基解的数目基解的数目求出下面线性规划的所有基本解并指出哪些是求出下面线性规划的所有基本解并指出哪些是基可行解
运筹学
主讲教师 向宇
-
第一章 线性规划与单纯形法
• §3 线性规划问题的标准型与解的概念
–3.1 线性规划的标准型
我们规定线性规划的标准型如下：
maxZ=c1x1+c2x2+‥‥+cnxn a11x1+a12x2+‥‥+a1nxn＝b1 a21x1+a22x2+‥‥+a2nxn＝b2 …………………………… am1x1+am2x2+‥‥+amnxn＝bm x1,x2,‥,xn≥0
《运筹学》(第二版)课后习题参考答案
表1—17 家具生产工艺耗时和利润表
生产工序
所需时间（小时）
每道工序可用时间（小时）
1
2
3
4
5
成型
3
4
6
2
3
3600
打磨
4
3
5
6
4
3950
上漆
2
3
3
4
3
2800
利润（百元）
2.7
3
4.5
2.5
3
解：设 表示第i种规格的家具的生产量（i=1,2,…,5），则
s.t.
通过LINGO软件计算得： ．
11．某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过A，B，C三种设备加工。已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润如表2—10所示。
－10/3
－2/3
0
故最优解为 ，又由于 取整数，故四舍五入可得最优解为 , ．
（2）产品丙的利润 变化的单纯形法迭代表如下：
10
6
0
0
0
b
6
200/3
0
1
5/6
5/3
－1/6
0
10
100/3
1
0
1/6
－2/3
1/6
0
0
100
0
0
4
－2
0
1
0
0
－20/3
－10/3
－2/3
0
要使原最优计划保持不变，只要 ，即 ．故当产品丙每件的利润增加到大于6.67时，才值得安排生产。
答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；
（2）多重最优解：无穷多个最优解；
（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；
生产工序
所需时间（小时）
每道工序可用时间（小时）
1
2
3
4
5
成型
3
4
6
2
3
3600
打磨
4
3
5
6
4
3950
上漆
2
3
3
4
3
2800
利润（百元）
2.7
3
4.5
2.5
3
解：设 表示第i种规格的家具的生产量（i=1,2,…,5），则
s.t.
通过LINGO软件计算得： ．
11．某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过A，B，C三种设备加工。已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润如表2—10所示。
－10/3
－2/3
0
故最优解为 ，又由于 取整数，故四舍五入可得最优解为 , ．
（2）产品丙的利润 变化的单纯形法迭代表如下：
10
6
0
0
0
b
6
200/3
0
1
5/6
5/3
－1/6
0
10
100/3
1
0
1/6
－2/3
1/6
0
0
100
0
0
4
－2
0
1
0
0
－20/3
－10/3
－2/3
0
要使原最优计划保持不变，只要 ，即 ．故当产品丙每件的利润增加到大于6.67时，才值得安排生产。
答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；
（2）多重最优解：无穷多个最优解；
（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；
《运筹学》教案汇总
《运筹学》教案授课专业：信息管理、工程管理任课教师：黄健南通大学商学院2007．2教案用纸第 1 次课 3 学时上次课复习：无一、本次课题（或教材章节题目）：绪论1、运筹学的性质和特点2、运筹学的模型与工作步骤3、运筹学的应用与展望教学要求： 1、了解运筹学的性质和特点、运筹学的应用与展望2、运筹学的模型与工作步骤重点：运筹学工作步骤难点：无教学手段及教具：讲授讲授内容：1、运筹学的性质和特点2、运筹学的模型与工作步骤3、运筹学的应用与展望课后作业无同济大学出版社：运筹学教程参考资料高等教育出版社：管理运筹学注：本页为每次课教案首页教案用纸第 2 次课 3 学时上次课复习：运筹学的学科性质和发展概况运筹学的模型与工作步骤本次课题（或教材章节题目）：二、线性规划与目标规划第一章线性规划及单纯形法1、线性规划问题及其数学模型教学要求：1、通过实际问题引入线性规划模型，初步掌握建立线性规划模型的方法；2、通过图解法直观地理解线性规划解的状态和线性规划的基本性质；3、熟练掌握线性规划问题的标准化方法；4、理解基、基解，基可行解的概念。
重点：线性规划问题及其数学模型、标准形式难点：线性规划问题及其数学模型、线性规划问题解的概念教学手段及教具：讲授讲授内容：1、线性规划模型的建立2、线性规划问题的图解法3、线性规划问题的标准形式4、线性规划问题解的概念课后作业P44： 1.1、1.2、1.3、1.10同济大学出版社：运筹学教程参考资料高等教育出版社：管理运筹学注：本页为每次课教案首页教案用纸第 3 次课 3 学时上次课复习：1、线性规划模型的建立2、线性规划问题的图解法3、线性规划问题的标准形式4、线性规划问题解的概念本次课题（或教材章节题目）：2、线性规划问题的几何意义3、单纯形法4、单纯形法的计算步骤教学要求：1、了解线性规划问题的几何意义和基本性质2、理解单纯形法的理论基础，熟练掌握可行条件和优化条件；3、熟练掌握单纯形法的计算步骤重点：可行条件与优化条件。
线性规划的数学模型和基本性质
1．线性规划介绍
美国科学院院士DANTZIG（丹齐克），1948年在 研究美国空军资源的优化配置时提出线性规划及其通用 解法 “单纯形法”。被称为线性规划之父。
线性规划之父的Dantzig (丹齐克)。据说，一次上课，Dantzig迟到 了，仰头看去，黑板上留了几个几个题目，他就抄了一下，回家后埋头 苦做。几个星期之后，疲惫的去找老师说，这件事情真的对不起，作业 好像太难了，我所以现在才交，言下很是 惭愧。几天之后，他的老师 就把他召了过去，兴奋的告诉他说他太兴奋了。Dantzig很不解 , 后来 才知道原来黑板上的题目根本就不是什么家庭作业，而是老师说的本领 域的未解决的问题，他给出的那个解法也就是单纯形法。这个方法是上 个世纪前十位的算法。
s.t.
2．线性规划数学模型
线性规划问题应用 市场营销(广告预算和媒介选择，竞争性定价，新产品 开发，制定销售计划) 生产计划制定(合理下料，配料，“生产计划、库存、 劳力综合”) 库存管理(合理物资库存量，停车场大小，设备容量) 运输问题 财政、会计(预算，贷款，成本分析，投资，证券管理) 人事(人员分配，人才评价，工资和奖金的确定) 设备管理(维修计划，设备更新) 城市管理(供水，污水管理，服务系统设计、运用)
1．线性规划介绍
线性规划研究的主要问题： 有一定的人力、财力、资源条件下，如何 合理安排使用，效益最高?
某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省?
2．线性规划数学模型
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各 制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、 B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出 一件时的获利情况如表I—l所示。问该公司应制造A、B两 种家电各多少件，使获取的利润为最大？
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Ch1 Linear Programming
2020年6月20日星期六 Page 6 of 13
max Z 4x1 2x2 x3
10
5x1 x1
x2 x3 x4 6x2 2x3
3 x5
2
5 1 B2 10 0,
xj 0, j 1,
基本解为
,5
X
(2)
(
1
,0,0,4,0)T
当最优解唯一时，最优解
亦是基本最优解，当最优解
不唯一时，则最优解不一定
是基本最优解。例如右图中 线段 Q1Q2的点为最优 解时， Q1点及Q2点是基本最优解,线 段 Q1Q2 的内点是最优解§1.4 线性规划解的概念 Basic Concepts of solution
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2020年6月20日星期六 Page 7 of 13
基本最优解 最优解是基本解称为基本最优解。例如，满足 式（1.1）~(1.3)是最优解,又是B3的基本解,因此它是基本最 优解.
最优基 基可行解对应的基称为可行基；基本最优解对应的基称 为最优基，如上述B3就是最优基，最优基也是可行基。
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可行解 满足式（1.2）及（1.3）的解X=（x1,x2…，xn)T 称为 可行解 。
例如，X (0,0, 1 , 7 ,1)T 与X=（0，0，0，3，2，）都是例1 的可行解。 2 2
最优解 满足式 （1 .1）的可行解称为最优解，即是使得目标 函数达到最大值的可行解就是最优解，例如可行解
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由线性代数知，基矩阵B必为非奇异矩阵并且|B|≠0。当矩阵 B的行列式等式零即|B|=0时就不是基
当确定某一矩阵为基矩阵时，则基矩阵对应的列向量称为基 向量，其余列向量称为非基向量
基向量对应的变量称为基变量，非基向量对应的变量称 为非基变量
5 1 B2 10 0
A
5 10
1 6
1 2
1 0
0 1
在上例中B2的基向量是A中的第一列和第四列，其余列向量 是非基向量，x1、x4是基变量，x2、x3、x5是非基变量。基变 量、非基变量是针对某一确定基而言的，不同的基对应的基 变量和非基变量也不同。
§1.4 线性规划解的概念 Basic Concepts of solution
5
由于 X（1） 0是基本解，从而它是基本可行解，在 X（2）中
x1<0,因此不是可行解，也就不是基本可行解。
反之，可行解不一定是基本可行解
例如 X (0,0, 1 , 7 ,1)T 满足式（1.2）～（1.3），但不是
22
任何基矩阵的基本解。
§1.4 线性规划解的概念 Basic Concepts of solution
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基本最优解、最优解、基本可行解、基本解、可行解 的关系如下所示：
基本最优解
基本可行解
基本解
最优解
可行解
例如,B点和D点是可 行解,不是基本解;C点 是基本可行解;A点是 基本最优解,同时也 是最优解、基本可行 解、基本解和可行解。
2020年6月20日星期六 Page 2 of 13
【例1.12】线性规划 max Z 4x1 2x2 x3
10
5x1 x1
x2 x3 x4 6x2 2x3
3 x5
2
xj 0, j 1, ,5
【解】约束方程的系数矩阵为2×5矩阵
求所有基矩阵。
5 1 1 1 0 A 10 6 2 0 1
X ( 3 ,0,0,0,8)T是例2的最优解。 5
基本解 对某一确定的基B，令非基变量等于零，利用式（1.２）
解出基变量，则这组解称为基Ｂ的基本解。
基本可行解，若基本解是可行解则称为是基本可行解（也称 基可行解）。
§1.4 线性规划解的概念 Basic Concepts of solution
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2020年6月20日星期六 Page 5 of 13
显然，只要基本解中的基变量的解满足式（1.３）的非负要求， 那么这个基本解就是基本可行解。
在例1中，对Ｂ１来说，x1,x2是基变量，x3,x4，x5是非基变量，
令x3=x4=x5=0，则式（1.２）为
－5x110x1x2
x2
40 30 20
10
(3,4)
C(0,20)
例1.6 max Z=3x1+4x2 2x1 x2 40 x1 1.5x2 30
容易看出r（A）=2，2阶子矩阵有 =10个，基矩阵只有9个，即
C5
2
5 B1 10
1
5
6, B2 10
1 0,
5 B3 10
0 1,
B4
1 6
1
2
1 B5 6
10,
1 0 B6 6 1,
1
B7
2
0 1,
1
B8
2
1 0,
B9
1 0
0 1
§1.4 线性规划解的概念 Basic Concepts of solution
§1.4 线性规划解的概念 Basic Concepts of solution
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设线性规划的标准型
max Z=CX
（1.1）
AX=b
（1.2）
X≥0
（1.3）
式中A是m×n矩阵，m≤n并且r（A）=m，显然A中
3 6x2
2
5 1 B1 10 6,
因|Ｂ１|≠０，由克菜姆法则知，x1,x2有唯一解
x2=1则基本解为
x(1) ( 2 ,1,0,0,0)T
5
x1
2 5
对B2来说，x1,x4,为基变量，令非变量x2,x3,x5为零，由式
（1.2）得到
x1
1 5
，x4=4，
§1.4 线性规划解的概念 Basic Concepts of solution
至少有一个m×m子矩阵B，使得r（B）=m。
基 A中m×m子矩阵B并且有r（B）=m，则称B是线
性规划的一个基（或基矩阵 ）。当m=n时，基矩阵
唯一，当m<n时，基矩阵就可能有多个，但数目不
超过 Cnm
§1.4 线性规划解的概念 Basic Concepts of solution
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