2018高中数学学业分层测评18北师大版2-1.
2017-2018学年高中数学学业分层测评14(含解析)北师大版选修2-1
学业分层测评（十四）（建议用时：45分钟）［学业达标］、选择题2 2x V1.若点Ra, 1）在椭圆-+ 3 = 1的外部，贝y a 的取值范围为（A. 2 3 2 3-_3~，~3~B. ——OO -，3C 性+8C. 3，+D.一OO,【解析】2 2因为点P 在椭圆X 2+y =i 的外部，所以亍+ *> 1，解得a >或a v — ^y 3. 【答案】 B【导学号:2 2x V2.已知椭圆g+話=1（ a >b >0）的左焦点为F ,右顶点为 A ,点B 在椭圆 32550071】，且BF 丄x 轴，直线AB 交V 轴于点P.若AP= 2PB 则椭圆的离心率是（）1C .3【解析】 如图，由题意得 0P//2 a + c 3.【答案】D3.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 #,且椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为 12,则椭圆G 的方程为1 — m m1 — m > 0,-m >0.此时 1 — m >— m >0, •• 21•a =-m 【答案】4=0交椭圆E 于A, B 两点•若|AF + |BF = 4,点M 到直线I 的距离不小于5,则椭圆E 的 离心率的取值范围是()A. 0, -2B . 0, 42 2x y + —= 1 36 9B .2x + 9 +36 2y-=12 2x yC.4 + 9 =1D.2 2x y+ — = 1 9 42x 【解析】 由题意设椭圆G 的方程为 a 2p= 1( a > b > 0)，因为椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为 12,所以a = 6.由离心率为粤，得C=¥，解得c =环3 .所以=36 — 27= 9,2 2则椭圆G 的方程为x + y = 1. 36 9 【答案】 2 24.椭圆(1 — m )x — my = 1的长轴长为(B . c.——mD.I 解析】椭圆标准方程为-1- +1 — m2七=1，••• 0.2a = 25•已知椭圆E=1(a >b >0)的右焦点为F ,短轴的一个端点为 M 直线 I : 3x — 4y2 m- 1 m — 1 —2 —的取值范围，代入离心率公式即可得答案. A , B 两点到椭圆左、右焦点的距离为 4a = 2(| AF ||3 x 0—4X b |4+1 BF |) = 8,所以 a = 2.又 d =』丐》 5 所以 寸3 + —4 5、:1 — 4.因为 1 w b <2,所以 0<e w ，故选 A.【答案】 A 、填空题6.已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F ( — 2 3,0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 _________________________< a = 2b2 ・ 2 2 o o【解析】 由已知得丿a — b = c a 2= 16, b 2= 4.c = 2 32 2标准方程为x^+y =i.16 42 2【答案】X+7= 12 2 2 2x Vx V 7.椭圆 ~2+± = 1 和-2 +2 = k (k > 0, a > 0, b > 0)具有a ba b①相同的顶点；②相同的离心率；③相同的焦点；④相同的长轴和短轴.2 2x V圆2+ 2= 1的离心率e 1 =a b【答案】 ②4&焦点在x 轴上的椭圆，焦距| F 1F 2I = 8,离心率为？椭圆上的点 M 到焦点F 的距离2,5N 为MF 的中点，贝U |ON 0为坐标原点)的值为 _________ .【解析】 根据椭圆的对称性可求得a 的值，再根据短轴的端点到直线的距离求得根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得【解析】 不妨设a >b ,则椭圆2 2a 2+br k 的离心率e 2=ka 2— kb2ka 22— M a — b.而椭 aa 2—b 2a 2 , 故②正确.D.K b <2，所以【导学号：32550072】C 4【解析】T | = 2c = 8, e=：= ,. a= 5,a 5•••|MF| +1 MF| = 2a= 10, |MF| = 2,. | MF = 8.又••• 0 N分别为F1F2, MF的中点，••• 0”是厶F1F2M的中位线,•••I ON = 2| MF| = 4.【答案】4三、解答题9.已知椭圆mX+ (m+ 3)y2= n(m+ 3)( m> 0)的离心率e=f ,求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标.2 2x y 2 【解】椭圆方程可化为+—= 1,贝U a = m+ 3,m^ 3 mmL=F，解得m= 1，则a= 2, b= J C= 3•所以e b2= m c=2X所以椭圆的标准方程为 -+ y2= 1，椭圆的长轴长为4 ；4短轴长为2;焦点坐标分别为(一3, 0) , ( 3, 0);顶点坐标分别为(一2,0) , (2,0) , (0,1) , (0, - 1).■ J吗J10.已知椭圆4 + 2 = 1(a>b>0)的离心率为庁3,短轴一个端点到右焦点的距离为 2.a b 2j, \ •(1)求该椭圆的方程;⑵若P是该椭圆上的一个动点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，求PF • PF的最大值与最小值.【解】(1)设椭圆的半焦距为c ,由题意,且a= 2,得c={3 , b= 1 ,x2•••所求椭圆方程为4+ y2=1.^(2)设Rx, y),由(1)知F(-^3 , 0),尸2(羽，0)，则PF • PF=(-击-x , —丫)•(帝 2 2 2x2 3 2-x, - y) = x + y - 3= x+ 1- 4- 3=4X-2, •/ x € [ - 2,2],•••当x= 0,即点P为椭圆短轴端点时,f f f fPF • PR有最小值一2 ;当x=± 2,即点P为椭圆长轴端点时，PF • PR有最大值1.［能力提升］2 22 2 x y1.若直线ax+ by+4 = 0和圆x + y = 4没有公共点，则过点(a , b)的直线与椭圆—+_9 4=1的公共点个数为()A. 0B. 1C. 2D.需根据a , b 的取值来确定【解析】 直线ax + by + 4 = 0与圆x 2 + y 2= 4没有公共点，即相离, 4门 2以， •••律苻 > 2」a + b < 4,2 2a b+ T< 1 4 42 . 2 2 . 2a b ab+—<—+—<1 4 4 42 2X y•••(a , b )在椭圆-+才=1的内部故有2个公共点. 【答案】 C2 22 •设F i , F 2分别是椭圆C ： ”涪 1(a > b > 0) 的左、右焦点，点 P 在椭圆C 上，线段PF 的中点在y 轴上，若/ PF i F 2 = 30°,则椭圆的离心率为()1 A .6【解析】 设PF 的中点为 M 连接PR ,由于O 为F 1F 2的中点，贝U 0”为厶PFF 2的中位线，所以OM PF a ,所以/ PFF=/ MOF= 90°.由于/ PFF 2= 30°，所以 PF = 2PR , 由勾股定理得 F 1F 2 = PF f - PF = ,3PF ,由椭圆定义得2a = PF + PF = 3PF? a =竽，2c = F 1F 2=J3PF ? c = ^|p ,所以椭圆的【答案】 D3.如图3-1-2，椭圆的中心在坐标原点O 顶点分别是 A 1, A B 1, B,焦点分别为 F ,F 2,延长BF 2与AB 交于P 点，若/ BPA 为钝角，则此椭圆的离心率 e 的取值范围为B . 离心率为c3PFe =犷K2 3P^故选D.D.32 2【解析】 设椭圆方程为 a 2+b 2= 1，建立如图所示的坐标系.E 2(0 , b ) ,F 2( c, 0) , F 2B ( — c , — b ), B 2A 2( a ,—b ),ff2F 2B • BAa = ( — c ，— b ) •(a ,— b ) =— ac + b <0,□21 22又T a = b + c ,2 2^…一ac + a — c <0,2--e + e —1>0,又.0<e <1,4.如图3-1-3，椭圆5+ 2= 1(a >b >0)的左、右焦点分别为 F 1, F 2,过F 2的直线交椭圆 (1)若|PF | = 2 + (2, I图 3-1-2则 A(a,O) , B i (0，- b ),【答案】,1于P, Q 两点，且PQL PF .图 3-1-3PF | = 2 — 2,求椭圆的标准方程;Y/\⑵若| P冋=| PQ，求椭圆的离心率e.【解】”⑴ 由椭圆的定义，有2a=|PF| + | PF| = (2 + 血 + (2 -血 =4,故a = 2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF丄PF,因此2c= | 尸冋=^/1 PF| 2+ | PF2| 2 = 2+ 2 2+ 2— 2 2= 2 3.即c ={3,从而b= . a—c = 1,2x故所求椭圆的标准方程为—+ y2= 1.⑵法一：连接F1Q如图，设点P(X0, y o)在椭圆上，且PF丄PF，则2102由 | PF | = | PQ >| PF | 得 X o >O ,从而 | PF i | = =2( a 2 — b 2) + 2a a 2— 2b 2 = (a + a 2— 2b 2)2.由椭圆的定义，| PF | + | P 冋=2a , | QF | + | QF | = 2a .从而由 | PF | = | PQ = | P 冋 + |QF |，有 | QF | = 4a — 2| PF | ,又由 PF 丄 PR , | PF | =| PQ , 知 | QF | = 2| PF |，因此(2 + 德)| P 冋=4a ,即(2 + 頁)(a +p a 2 — 2b 2) = 4a , 于是(2 +2)(1 +2e 2 — 1) = 4,解得e=、/i R 爲2刁=托-书.法二：如图，由椭圆的定义，| PF | + |PR| = 2a , |QF | + |QF | = 2a ,从而由 |PF | = | PQ =| PF + | QF |，有 | QF | = 4a — 2| PF |.又由 PF 丄 PQ | PF | = | PQ ,知 | QF | =电\ PF | ,因此，4a — 2| PF | =Q 2| PF | ,则 | PF | =2(2 —眾)a ,从而 | P 冋=2a — | PF^| = 2a — 2(2 —>/2)a = 2(灵一1)a .由 PF 丄 PF ,知 |PF |2+ | P 冋 2= | F i F 2|2 = (2 c )2 ,因此e c 心 PF |2+ | PF | 2e = 一=a2a=.2 —、、2 2+ ,2—] 2 =9— 6；2= ,6—3.2X o 2 +ab 2= 1,x o + y o = c , 求得 x o =± 旳a? - 2b ,b 2 y o =± c.。
高中数学学业分层测评5(含解析)北师大版选修2-1(2021学年)
20１7-2018学年高中数学学业分层测评５(含解析）北师大版选修2-1 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（2017-2018学年高中数学学业分层测评５(含解析)北师大版选修2-1)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为２017-20１８学年高中数学学业分层测评５(含解析）北师大版选修２-1的全部内容。
学业分层测评(五)(建议用时：４5分钟）［学业达标]一、选择题1.已知原命题是“若r，则p或ｑ”,则这一命题的否命题是( )A.若綈ｒ，则p且qﻩB.若綈r,则綈p或綈qＣ．若綈r，则綈p且綈ｑＤ．若綈r,则綈p且q【解析】“ｐ或q”的否定为“綈p且綈q”.根据否命题的定义知:选项C正确．【答案】Ｃ2.命题p：点A在直线y＝２x－3上,q：点A在抛物线y＝-x2上，则使“p且q”为真命题的一个点A(x，y)是（）【导学号:３25500１4】Ａ.(0，-3) B.(１，２)C.(1，-1) D．(－１,1)【解析】若“ｐ且q”为真命题，则ｐ为真命题，q为真命题，则A点既在直线y＝2x-3上，又在抛物线y＝-x２上，所以通过验证只有Ｃ正确.【答案】C3.对于p:ｘ∈A∩B,则綈p（）Ａ.x∈A且x∉BﻩＢ．x∉A或x∈BC.x∉A或x∉ＢＤ.x∈A∪B【解析】ｐ等价于ｘ∈Ａ且x∈Ｂ,所以綈p为x∉Ａ或ｘ∉B.【答案】 C4．已知命题p:对任意a∈R，且ａ>0，a+＼f（1，a）≥２，命题q:存在x0∈R，sin x0＋coｓx０＝＼r(3)，则下列判断正确的是( )A．p是假命题ﻩ B.q是真命题C.p且(綈q)是真命题D.(綈p）且q是真命题【解析】由均值不等式知p为真命题;因为sin ｘ0＋cos x0＝错误!sｉn错误!≤错误!,所以q为假命题，则綈q为真命题,所以p且(綈ｑ)为真命题．故选Ｃ．【答案】 C５.命题p:函数ｙ＝log a(ax+2a）（a＞0且a≠1)的图像必过定点(-1,１)；命题q:如果函数y=ｆ(ｘ)的图像关于(3，0）对称,那么函数y=f(ｘ－3)的图像关于原点对称,则有( ）A．“p且q”为真ﻩB．“ｐ或ｑ”为假C．ｐ真q假ﻩＤ.p假q真【解析】将点(－1,１)代入y＝log a（ax+２a），成立，故p为真；由ｙ=f（x)的图像关于（３,0)对称,知y＝ｆ（x-３)的图像关于（6,0)对称,故q为假.【答案】C二、填空题6．命题p:“相似三角形的面积相等”则綈ｐ为__＿＿＿___，否命题为_____＿＿_.【解析】綈p只否定命题的结论,而否命题则是命题的条件、结论都否定.【答案】相似三角形的面积不相等若三角形不相似则它们的面积不相等7．已知命题p:若实数x,y满足x2＋ｙ２＝0，则x,y全为零.命题q:若a＞ｂ，则错误!<错误!.给出下列四个命题：①ｐ且ｑ；②p或q；③非p；④非q其中真命题是___＿__＿_.【解析】显然p为真命题；当a=1,ｂ=-2时,q不成立,所以q是假命题.从而“p且q”“非p”为假命题，“p或q”“非q"为真命题．【答案】②④8．已知命题p：函数f（x)＝lg(ｘ2－4ｘ+ａ2）的定义域为R;命题ｑ:当m∈[-1，1]时,不等式a2－5ａ-3≥错误!恒成立,如果命题“ｐ或q”为真命题，且“p且q"为假命题,则实数a 的取值范围是_＿______＿＿__．【解析】若命题p为真，则Δ＝16－4ａ2<０⇒a＞2或a<－2.若命题q为真，因为m∈[-1，1］,所以错误!∈［2错误!，3］．因为对于任意m∈［-1，1]，不等式a2-5a－３≥错误!恒成立,只需满足a２-5a－３≥３，解得a≥6或a≤-1.命题“p或q”为真命题，且“p且q＂为假命题,则ｐ,ｑ一真一假．①当p真q假时,可得错误!⇒2<a＜６；②当p假q真时，可得错误!⇒－２≤a≤-1.综合①②,可得a的取值范围是［－２,－1]∪（2，６）．【答案】[－2，－1］∪(2,６)三、解答题9.分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“ｐ且q”“綈p”形式，并判断真假.(1)p：2n-1(ｎ∈Z）是奇数；q：2ｎ－1（n∈Z)是偶数.（2)p：a2+b2〈0，ｑ:a2＋ｂ2≥0。
2018学年高中数学北师大版必修五学业分层测评：第一章
学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·佛山高二检测)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n ＋2n ＋1，则这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列【解析】 数列{a n }的通项公式是a n ＝n ＋2n ＋1＝n ＋1＋1n ＋1＝1＋1n ＋1，a n ＋1－a n ＝1n ＋2－1n ＋1＝－1n (n ＋2)，∵n ∈N ＋，∴a n ＋1＜a n ，即数列{a n }为递减数列．【答案】 B2．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }中第几项最大( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第6项或第7项D ．第5项 【解析】 a n ＝－n 2＋10n ＋11＝－(n －5)2＋36，由n ∈N ＋，所以n ＝5时，a n 有最大值．【答案】 D3．已知在数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2 014＝( ) A ．3 B ．－3 C ．6D ．－6【解析】 由题意知：a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－3， a 5＝a 4－a 3＝－6，a 6＝a 5－a 4＝－3， a 7＝a 6－a 5＝3，a 8＝a 7－a 6＝6， a 9＝a 8－a 7＝3，a 10＝a 9－a 8＝－3， …故知{a n }是周期为6的数列， 所以a 2 014＝a 4＝－3. 【答案】 B4．一给定函数y ＝f (x )的图像在下列图中，并且对任意a 1∈(0,1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1＞a n ，则该函数的图像是()【解析】 由a n ＋1＝f (a n )，a n ＋1＞a n 得f (a n )＞a n ， 即f (x )＞x ，结合图像知A 正确． 【答案】 A5．(2016·九江高二检测)设函数f (x )＝⎩⎨⎧(3－a )x －3，x ≤7a x －6， x ＞7，数列{a n }满足a n＝f (n )，n ∈N ＋，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) 【导学号：67940005】A ．(1,3)B ．(2,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3 D ．(1,2)【解析】 ∵函数f (x )＝⎩⎨⎧(3－a )x －3，x ≤7a x －6，x ＞7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N＋，且数列{a n }是递增数列，∴⎩⎨⎧a ＞13－a ＞0a ＞18－7a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1a ＜3a ＞94，即94＜a ＜3. 【答案】 C二、填空题6．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋50，则数列中的最小项是________． 【解析】 数列a n ＝n 2－7n ＋50＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722＋1514，因为n ∈N ＋，所以n ＝3,4时，a 3＝a 4＝38.【答案】 387．若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________.【解析】 由a k ＋1≤a k ，且a k ≥a k －1， 得k (k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ≥(k ＋1)(k ＋5)⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ＋1且k (k ＋4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ≥(k －1)(k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫23k －1， 化简得k 2≥10且k 2－2k －9≤0， 解得10≤k ≤10＋1， 由于k 是正整数，所以k ＝4， 即数列最大项是第4项． 【答案】 48．(2016·吉安高二检测)数列{a n }满足a n ＝n 2＋kn ＋2，若不等式a n ≥a 4恒成立，则实数k 的取值范围是________．【解析】 a n ＝n 2＋kn ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋k 22＋2－k 24，∵不等式a n ≥a 4恒成立， ∴3.5≤－k2≤4.5， 解得－9≤k ≤－7. 【答案】 [－9，－7] 三、解答题9．(2016·宝鸡高二检测)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20. (1)－60是否是该数列中的项，若是，求出项数；该数列中有小于0的项吗？有多少项？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．【解】 (1)由n 2－21n ＋20＝－60得n ＝5或n ＝16；所以数列的第5项，第16项都为60.由n 2－21n ＋20＜0，得1＜k ＜20，所以共有18项．(2)因为a n ＝n 2－21n ＋20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n ＝212＝10.5.又因n ∈N ＋，故n ＝10或n ＝11时，a n 有最小值，其最小值为112－21×11＋20＝－90.10．已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明数列{a n }是递减数列．【解】 (1)∵f (x )＝2x －2－x ，f (log 2a n )＝－2n ， ∴2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ， ∴a n －1a n＝－2n ，∴a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1.∵a n ＞0，∴a n ＝n 2＋1－n ，n ∈N ＋. (2)证明：a n ＋1a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)＜1.∵a n ＞0，∴a n ＋1＜a n ， ∴数列{a n }是递减数列．[能力提升]1．已知数列a n 的通项公式为a n ＝n ＋kn ，若对任意n ∈N ＋，都有a n ≥a 3，则实数k 的取值范围为( )A ．[6,12]B ．(6,12)C ．[5,12]D ．(5,12)【解析】 由题意知n ＋k n ≥3＋k3对任意n ∈N ＋恒成立． 所以k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －13≥3－n ，即k ⎝⎛⎭⎪⎫3－n 3n ≥3－n ， 当n ≥4时，k ≤3n ，所以k ≤12，当n ＝1时，k ≥3，当n ＝2时，k ≥6， 以上三式都成立，故取交集得6≤k ≤12. 【答案】 A2．若数列{a n }的通项公式为a n ＝7·⎝ ⎛⎭⎪⎫342n －2－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，则数列{a n }的( ) A ．最大项为a 5，最小项为a 6 B ．最大项为a 6，最小项为a 7 C ．最大项为a 1，最小项为a 6 D ．最大项为a 7，最小项为a 6【解析】 令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，n ∈N ＋，则t ∈(0,1]，且⎝ ⎛⎭⎪⎫342n －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －12＝t 2.从而a n ＝7t 2－3t ＝7⎝ ⎛⎭⎪⎫t －3142－928.函数f (t )＝7t 2－3t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，314上是减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤314，1上是增函数，所以a 1是最大项，故选C.【答案】 C3．已知{a n }是递增数列，且对任意的自然数n (n ≥1)，都有a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围为________．【解析】 由{a n }为递增数列，得a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－n 2－λn ＝2n ＋1＋λ＞0恒成立， 即λ＞－2n －1在n ≥1时恒成立， 令f (n )＝－2n －1，f (n )max ＝－3. 只需λ＞f (n )max ＝－3即可． 【答案】 (－3，＋∞)4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n，试求数列{a n }的最大项． 【解】 假设第n 项a n 为最大项，则⎩⎨⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.即⎩⎪⎨⎪⎧(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n ≥(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n－1，(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n ≥(n ＋3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫67n ＋1.解得⎩⎨⎧n ≤5，n ≥4，即4≤n ≤5，所以n ＝4或5，故数列{a n }中a 4与a 5均为最大项，且a 4＝a 5＝6574.。
2017-2018学年高中数学学业分层测评19(含解析)北师大版选修2-1
学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)［学业达标］、选择题B. 两条互相平行的直线C. 两条互相垂直的直线yj/V、D. 两条相交但不垂直的直线-X【解析】T4x2—y2+ 4x+ 2y= 0,2 2•••(2x+ 1) —(y—1) = 0,••• 2x + 1 = ±( y—1),/ / 亠• 2x + y = 0或2x—y + 2= 0,这两条直线相交但不垂直.【答案】D3.已知定点A—1,0) , B(1,0)，动点P满足直线PA PB的斜率之积为一1,则动点P满足的方程是()A. x2+ y2= 1C. x2+ y2= 1( X M 0)2 2B. x + y = 1(X M± 1) D. y= . 1—x2(x工士1)【解析】y设动点P的坐标为(x, y)，贝U k pA=丄1(X M— 1),1.方程|x| + |y| = 1表示的曲线是( J-11【解析】原方程可化为x>0, y>0,x+y= 1,x<0, y>0,—x+ y = 1.作出其曲线为【答案】D2.方程4x2—A. 一个占I 八、、2 ___________________________y + 4x+ 2y = 0表示的曲线是(I 7或D.或x>0, y<0, 或x—y = 1,或x w0,丫三0,一x+y = —1,y kpB= x—1(x M 1)()AB .4 7t7t c . 8 D . 9 7t7t t 1A 1B .121 25 21 25 C1 D . 1 + 25 2125 2124y 24x 2 4x 24y4x 2 4x 2 '/ k pA • k pB = —1, y y• x —= — 1,整理得 x + y = 1(x 工土 1).【答案】 B4.已知两定点 A — 2,0)、B (1,0)，如果动点P 满足|PA = 2|PE |，则点P 的轨迹所包 【答案】是圆内一定点，Q 为圆周上任一点.线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M 则M 的轨迹方程为(■ f\【解析】 •/ M 为AQ 垂直平分线上一点，则| AM = I MQ , •••|MC + |MA = | M (C + |MQ =|CQ = 5，故M 的轨迹是以定点 C A 为焦点的椭圆，二a5 2 2 2 21 =^, c = 1,贝U b = a — c ="4, 2 2•其标准方程为彩+芽=1. 【答案】 D 、填空题【导学号：32550093】【解析】 将点(2 , — 1)代入曲线C 的方程xy + 3x + ky + 2 = 0,由曲线与方程的概念 知，方程成立，即 2X ( — 1) + 3X 2+ k x ( — 1) + 2= 0，解得 k = 6.【答案】 6围的图形的面积等于 【解析】 根据题意，用直译法•设动点P 的坐标为(x , y )，所以P 点的轨迹是半径为 2的圆，所以面积是 6.若曲线 C ： xy + 3x + ky + 2= 0，当 k =时，曲线经过点(2 , — 1).冷 x +2 + y = 2x —1 2 2得(x — 2) + y = 4.得 2 + y 2，两边平方, 2 2 2 2x + 4x + 4+ y = 4x — 8x + 4 + 4y ，化简4 n .17.已知点M 到定点F (1,0)的距离和它到定直线 I : x = 4的距离的比是常数乞设点M的轨迹为曲线 C,则曲线C 的轨迹方程是 ___________【解析】 设点Mx ，y )则2 2“ 2 2+ y 1 x y=2整理得4+3 = 1.&下列结论正确的是 ____________ .(填序号)X① 方程2=1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线； ②、ABC 勺顶点坐标分别为 A (0,3) , B ( — 2,0) , C (2,0)，则中线AD 的方程是x = 0;③ 到x 轴距离为5的点的轨迹方程是 y = 5;④ 曲线2x — 3y — 2x + m= 0通过原点的充要条件是 m= 0. 【解析】 ①③不符合曲线与方程概念中的条件 (1);②不满足曲线与方程概念中的条件(2);只有④正确.【答案】 ④ 三、解答题9.光线沿直线I 仁x — 2y + 5= 0射入，遇直线I : 3x — 2y + 7= 0后反射，求反射光线 所在的直线方程.x — 2y + 5= 0,x =— 1,【解】 由得3x — 2y + 7 = 0,y = 2.即反射点M 的坐标为(一1,2).又取直线x — 2y + 5 = 0上一点P ( — 5,0)，设P 关于直线l 的对称点P'(x o, y o )，由PP' 「一2 y丄l 可知，k pp ，=—;= .3 X 0+ 51X0— 5 中、、而PP 的中点Q 的坐标为 二〒,\丿，Q 点在丨上，阳 X 。
高中数学学业分层测评11(含解析)北师大版选修2-1(2021学年)
2017－2018学年高中数学学业分层测评11（含解析)北师大版选修2-1 编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（２017-2018学年高中数学学业分层测评11(含解析）北师大版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步,以下为2017－2018学年高中数学学业分层测评11（含解析)北师大版选修2-1的全部内容。
学业分层测评(十一）(建议用时:４5分钟)[学业达标］一、选择题1。
如图25７,在长方体AＢCD．A1B1C１Ｄ1中，M,Ｎ分别是棱BＢ1，Ｂ1C1的中点，若∠CMN ＝９0°，则异面直线AＤ１与DM的夹角为( )图2５.７A．3０° ﻩＢ.45°C．６0°ﻩ D.9０°【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设D１C1＝a,C1B１=b,C1Ｃ＝c.则D1(０，０,０)，Ａ(0,b，ｃ),D(0，０，c)，C(a，０,c),Ｍ错误!,N错误!.则错误!＝错误!，错误!=错误!。
∵∠CMN＝９0°,∴错误!·错误!=0.即错误!ｂ2－错误!ｃ2＝0,即ｂ2＝错误!ｃ2.∴错误!·错误!=(0,-b,－c)·错误!=－ｂ2+＼f(1,2)c２＝０.∴AＤ1与DＭ的夹角为９0°.【答案】D2.如图2。
5８，在正四面体A.ＢCD中，E为棱AD的中点,则ＣE与平面BCD的夹角的正弦值为( )图２。
58A.错误!B.错误!C.＼ｆ(1,２)ﻩD.错误!【解析】作AO⊥平面BCＤ于Ｏ，则O是△BCD的中心,以O为坐标原点，OD为y轴，ＯA为ｚ轴建立空间直角坐标系，设AB=２,则O(0，0,0）,A错误!，Ｃ错误!,Ｅ错误!,∴错误!=错误!，错误!=错误!，∴cｏs〈错误!,错误!>=错误!=错误!=错误!．∴CE与平面BCD的夹角的正弦值为错误!.【答案】 B3.过正方形ＡＢCD的顶点A作线段PA⊥平面ABＣ，且PA=AB,则平面ABC与平面PCD所成锐二面角的度数为( )A．75° B.60°Ｃ.45°Ｄ．30°【解析】以A为坐标原点,AB，ＡD,AP所在直线分别为ｘ轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,不妨设AB=1，则A(0，0，０）,B(1,0,0）,C(１，１,0),D(0,1,０)，P(0，0，1），从而错误!=(0，1,－1），错误!＝(-１,０,０).设平面ＡBC与平面PＣＤ的法向量分别为n1，n2，取n =错误!=(0,0,１）.１设ｎ２=（x,y,z）,由n2⊥错误!,ｎ2⊥错误!,可得错误!,可取n2＝(0,１，1).于是cos 〈ｎ1,n2〉＝＼f（n1·n2,|ｎ1｜|ｎ２|)=错误!=错误!,所以平面ABC与平面PＣＤ所成锐二面角的度数为4５°.【答案】C4．如图2．59所示，已知点Ｐ为菱形AＢＣD所在平面外一点,且ＰA⊥平面ＡBCD,ＰA＝AD＝AC，点F为ＰC中点,则平面ＣＢＦ与平面DＢF夹角的正切值为( ）图２５9A。
【中小学资料】2018版高中数学 第二章 函数 2.5 简单的幂函数学业分层测评 北师大版必修1
2.5 简单的幂函数(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．幂函数f (x )的图像过点(2，m )，且f (m )＝16，则实数m 的值为( ) A ．4或12B ．±2C ．4或14D.14或2 【解析】 设f (x )＝x α，则2α＝m ，m α＝(2α)α＝2α2＝16， ∴α2＝4，∴α＝±2，∴m ＝4或14.【答案】 C2．函数f (x )＝x 2＋x ( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．是非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数【解析】 函数的定义域为[0，＋∞)，故函数f (x )是非奇非偶函数． 【答案】 C 3．若函数f (x )＝x x ＋x －a为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34D ．1 【解析】 f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－12，且x ≠a .∵f (x )为奇函数，∴定义域关于原点对称，∴a ＝12.【答案】 A4.设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)＞f (－3)＞f (－2)B ．f (π)＞f (－2)＞f (－3)C ．f (π)＜f (－3)＜f (－2)D ．f (π)＜f (－2)＜f (－3) 【解析】 ∵f (x )是偶函数， ∴f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)．又∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴f(π)＞f(3)＞f(2)，即f(π)＞f(－3)＞f(－2)．【答案】 A5. 定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则不等式xf(x)<0的解集为( )A．(－3,0)∪(0,3)B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C．(－3,0)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)【解析】∵f(x)为奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，∴f(x)在(－∞，0)上是增函数．当x>0，∵xf(x)<0，∴f(x)<0＝f(3)，∴0<x<3，当x<0，∵xf(x)<0，∴f(x)>0＝f(－3)，∴－3<x<0，∴不等式的解集为(－3,0)∪(0,3)．【答案】 A二、填空题6. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减小的，且f(3)＝0，则使f(x)<0的x的取值范围为________．【解析】由已知可得f(－3)＝f(3)＝0，结合函数的奇偶性和单调性可画出函数f(x)的大致图像(如图)．由图像可知f(x)<0时，x的取值范围为(－3,3)．【答案】(－3,3)7. 设f(x)是奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2x＋1，则x∈(－∞，0)时，f(x)＝________.【解析】令x<0，∴－x>0，∴f(－x)＝2－x＋1，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝2－x＋1，∴f(x)＝－2－x＋1＝2x－1.【答案】2 x－18. 已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，则f (2)＝________. 【解析】 g (－2)＝f (－2)＋9＝－f (2)＋9＝3，∴f (2)＝6. 【答案】 6 三、解答题9. 已知幂函数f (x )＝x α的图像经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.(1)求实数α的值；(2)用定义证明f (x )在区间(0，＋∞)内的单调性． 【解】 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝2，∴α＝－12.(2)∵f (x )＝x －12＝1x.∴任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2. ∴f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2＝x 2－x 1x 1x 2x 2＋x 1. ∵x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1<x 2， ∴x 2－x 1>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 10. 已知函数f (x )＝1x 2＋1，令g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x .(1)如图255，已知f (x )在区间[0，＋∞)上的图像，请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图像，请说明你的作图依据；(2)求证：f (x )＋g (x )＝1(x ≠0). 【导学号：04100035】图255【解】 (1)∵f (x )＝1x 2＋1， 所以f (x )的定义域为R ，又对任意x ∈R ，都有f (－x )＝1－x2＋1＝1x 2＋1＝f (x )， 所以f (x )为偶函数．故f (x )的图像关于y 轴对称，其图像如图所示．(2)证明：∵g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＝x 21＋x 2(x ≠0)，∴f (x )＋g (x )＝11＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋x21＋x 2＝1，即f (x )＋g (x )＝1(x ≠0)．[能力提升]1．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 【解析】 ∵偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是增加的，∴f (x )在区间(－∞，0)上是减少的，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13， ∵f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13， ∴－13<2x －1<13，∴13<x <23. 【答案】 A2. 已知定义域为R 的函数f (x )在(8，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋8)为偶函数，则( )A ．f (6)＞f (7)B ．f (6)＞f (9)C ．f (7)＞f (9)D ．f (7)＞f (10)【解析】 y ＝f (x ＋8)为偶函数⇒f (x ＋8)＝f (－x ＋8)，即y ＝f (x )关于直线x ＝8对称．又f (x )在(8，＋∞)上为减函数，故在(－∞，8)上为增函数，检验知选D.【答案】 D3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x <0，g x ， x >0，若f (x )是奇函数，则g (2)的值是________．【解析】 ∵f (x )为奇函数，∴f (－2)＝－f (2)， ∴－4＝－g (2)，∴g (2)＝4. 【答案】 44．已知函数f (x )是定义在(－2,2)上的奇函数且是减函数，若f (m －1)＋f (1－2m )≥0，求实数m 的取值范围．【解】 ∵f (m －1)＋f (1－2m )≥0， ∴f (m －1)≥－f (1－2m )． ∵f (x )为奇函数， ∴f (m －1)≥f (2m －1)， ∵f (x )为减函数． ∴m －1≤2m －1， ∴m ≥0.∵f (x )的定义域为(－2,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<m －1<2，－2<1－2m <2，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <3，－12<m <32，∴－12<m <32，又m ≥0，∴0≤m <32.。
2017_2018学年高中数学学业分层测评8含解析北师大版选修2_120171003219
学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．给出下列命题：①空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底；②已知向量a∥b，则a、b与任何向量都不能构成空间的一个基底；→→→③A、B、M、N是空间四点，若BA、BM、BN不能构成空间的一个基底，那么A、B、M、N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4【解析】空间中只要三个向量不共面就可以作为一个基底，故①正确；②中，a∥b，→→→则a，b与其他任一向量共面，不能作为基底；③中，向量BA，BM，BN共面，则A、B、M、N共面；④中，a与m，b不共面，可作为空间一个基底．故①②③④均正确．【答案】 D2．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝αa＋βb＋γc，则α、β、γ分别为()5 1 5 1A. ，－1，－B．，1，2 2 2 25 1 5 1C．－，1，－D．，1，－2 2 2 2【解析】d＝αa＋βb＋γc＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3＝e1＋2e2＋3e3.由向量基底表示唯一性得Error!∴Error!【答案】 A3．已知i，j，k为标准正交基底，a＝i＋2j＋3k，则a在i方向上的投影为()1A．1 B．－1C. 14 D．－14【解析】a·i＝|a||i|cos〈a，i〉，a·i∴|a|cos〈a，i〉＝＝(i＋2j＋3k)·i＝1.|i|【答案】 A→→→4．如图239，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且AA1＝a，AB＝b，AC＝→c，则A1D＝()图2391 1 1A. a＋b＋c2 2 21 1 1B. a－b＋c2 2 21 1 1C. a＋b－c2 2 21 1 1D．－a＋b＋c2 2 2→→→→ 1 →→ 【解析】A1D＝A1C1＋C1D＝AC＋(C1C＋C1B1)21 →→→ ＝c＋(－AA1＋CA＋AB)21 1 1＝c－a＋(－c)＋b2 2 21 1 1＝－a＋b＋c.2 2 2【答案】 D5．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为{8,6,4}，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为()A．(12,14,10) B．(10,12,14)C．(14,10,12) D．(4,2,3)【解析】∵点A在基底{a，b，c}下坐标为(8,6,4)，2→∴OA＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，∴点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．【答案】 A二、填空题6．e1，e2，e3是空间一组基底，a＝e1－2e2＋e3，b＝－2e1＋4e2－2e3，则a与b的关系为________．【导学号：32550030】【解析】∵b＝－2a，∴a∥b.【答案】a∥b7．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1,3)，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为________．【解析】由题意知点A对应向量为2a＋b＋3c＝2(4i＋2j)＋(2j＋3k)＋3(3k－j)＝8i＋3j＋12k，∴点A在基底{i，j，k}下的坐标为(8,3,12)．【答案】(8,3,12)8．已知长方体ABCDA′B′C′D′，点E，F分别是上底面A′B′C′D′和面CC′D′D→→→→的中心，且AE＝xAB＋yBC＋zCC′，则2x－4y＋6z＝________.→→→→ 1 →→ 【解析】∵AE＝AA′＋A′E＝AA′＋(A′B′＋A′D′)21→1→→＝AB＋BC＋CC′，2 2→→→→ 又AE＝xAB＋yBC＋zCC′，1 1∴x＝，y＝，z＝1.2 2∴2x－4y＋6z＝5.【答案】 5三、解答题9．已知在正四棱锥PABCD中，O为底面中心，底面边长和高都是2，E，F分别是侧棱PA，PB的中点，如图2310，以O为坐标原点，分别以射线DA，DC，OP的指向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，D，P，E，F的坐标．3图2310【解】设i，j，k分别是x轴，y轴，z轴的正方向方向相同的单位向量．→(1)因为点B在坐标平面xOy内，且底面正方形的中心为O，边长为2，所以OB＝i＋j，→所以向量OB的坐标为(1,1,0)，即点B的坐标为(1,1,0)．同理可得A(1，－1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)．→ 又点P在z轴上，所以OP＝2k.→所以向量OP的坐标为(0,0,2)，即点P的坐标为(0,0,2)．→ 1 →→ 1 1 1因为F为侧棱PB的中点，所以OF＝(OB＋OP)＝(i＋j＋2k)＝i＋j＋k，所以点F的坐2 2 2 21 1 标为(，1).，2 21 1 同理点(，1).E的坐标为，－2 2故所求各点的坐标分别为A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1，1,0)，D(－1，－1,0)，1 1 1 1P(0,0,2)，E(，1)，F(.，－，1)，2 2 2 210．如图2311，在空间四边形OABC中，|OA|＝8，|AB|＝6，|AC|＝4，|BC|＝5，∠OAC→→＝45°，∠OAB＝60°，求OA在BC上的投影．【导学号：32550031】图2311→→→【解】∵BC＝AC－AB，→→→→→→∴OA·BC＝OA·AC－OA·AB4→→→→→→→→ ＝|OA||AC|cos 〈OA，AC〉－|OA||AB|cos 〈OA，AB〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16 2，→→→→→24－16 2∴OA在BC上的投影为|OA|·cos〈OA，BC〉＝.5[能力提升]→→1．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若OG＝xOA＋y→→OB＋zOC，则(x，y，z)为()1 1 1 3 3 3A.(B．，，4)4)(，，4 4 4 41 1 12 2 2C.(D．，，，，3)(3)3 3 3 33→ 3 →→【解析】因为OG＝OG1＝(OA＋AG1)4 43→ 3 2 1→→＝OA＋×3[2(AB＋AC)]4 43→ 1 →→→→＝＋4[OBOA－OA＋OC－OA]41→1→1→＝OA＋OB＋OC，4 4 4→→→→ 而OG＝xOA＋yOB＋zOC，1 1 1所以x＝，y＝，z＝.4 4 4【答案】 A2．已知向量{a，b，c}是空间的一基底，向量{a＋b，a－b，c}是空间的另一基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为()1 3 3 1A.(B．，，3)(，3)，－2 2 2 21 3 1 3C.(3，－2)D．(－，3)，，2 2 2【解析】设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则a＋2b＋3c＝x(a＋b) ＋y(a－b)＋z c＝(x＋y)a＋(x－y)b＋z c∴Error!，即Error!.【答案】 B5→→1→1→3．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，OM＝xOA＋OB＋OC，则x＝________.3 21 1 1【解析】由于M∈平面ABC，所以x＋＋＝1，解得x＝.3 2 61【答案】6→→→4．如图2312所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P 分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：图2312→→→→(1)AP；(2)A1N；(3)MP＋NC1.【解】(1)∵P是C1D1的中点，→→→→→ 1 →1→ 1∴AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋D1C1＝a＋c＋AB＝a＋c＋b.2 2 2(2)∵N是BC的中点，→→→→1→1→ 1∴A1N＝A1A＋AB＋BN＝－a＋b＋BC＝－a＋b＋AD＝－a＋b＋c.2 2 2(3)∵M是AA1的中点，→→→1→→ 1 1 1 1∴MP＝＋＝＋＝－a＋b)＝a＋b＋c，MA 2 (a＋c＋AP A1A AP2 2 2 2→→→1→→1→→ 1又NC1＝NC＋CC1＝BC＋AA1＝AD＋AA1＝c＋a，2 2 2→→ 1 1 1 3 1 3( b＋c) (a＋c)∴MP＋NC1＝a＋＋＝a＋b＋c.2 2 2 2 2 26。
2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2练习：学业分层
学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)一、选择题1.实数x ，y 满足z 1＝y ＋x i ，z 2＝y i －x ，且z 1－z 2＝2，则xy 的值是( )A.1B.2C.－2D.－1【解析】 z 1－z 2＝y ＋x i －(y i －x )＝x ＋y ＋(x －y )i ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0，∴x ＝y ＝1.∴xy ＝1.【答案】 A2.已知复数z ＋3i －3＝3－3i ，则z ＝( )A.0B.6iC.6D.6－6i【解析】 ∵z ＋3i －3＝3－3i ，∴z ＝(3－3i)－(3i －3)＝6－6i.【答案】 D3.复数z ＝32－a i ，a ∈R ，且z 2＝12－32i ，则a 的值为( ) 【导学号：94210085】A.1B.2C.12D.14 【解析】 由z ＝32－a i ，a ∈R ，得z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－2×32×a i ＋(a i)2＝34－a 2－3a i ，因为z 2＝12－32i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧34－a 2＝12，－3a ＝－32，解得a ＝12. 【答案】 C4.A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则三角形AOB 一定是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】 复数z 1对应向量OA →，复数z 2对应向量OB →.则|z 1＋z 2|＝|OA →＋OB →|，|z 1－z 2|＝|OA →－OB →|，依题意有|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|.∴以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形是矩形.∴△AOB 是直角三角形.【答案】 B5.已知复数z ＝3＋i （1－3i ）2，z －是z 的共轭复数，则z ·z 等于( ) A.14B.12C.1D.2 【解析】 ∵z ＝3＋i （1－3i ）2＝－3i 2＋i （1－3i ）2＝i （1－3i ）（1－3i ）2 ＝i1－3i ＝i （1＋3i ）4＝－34＋i 4， ∴z －＝－34－i 4， ∴z ·z －＝14. 【答案】 A二、填空题6.复数（1＋2i ）23－4i的值是________ . 【解析】 （1＋2i ）23－4i ＝－3＋4i 3－4i＝－1. 【答案】 －17.已知a ＋2ii ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝__________.【解析】 ∵a ＋2ii ＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝(b ＋i)i ＝－1＋b i ，∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1.【答案】 18.已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，则复数z ＝______.【解】 法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ).则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i.∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8， ∴z ＝－15＋8i.法二：原式可化为z ＝2－|z |＋8i ，∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部，于是|z |＝（2－|z |）2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2，∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i ，得z ＝－15＋8i.【答案】 －15＋8i三、解答题9.在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1，2＋i ，－1＋2i.(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积.【解】 (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.(2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22，∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形.(3)S △ABC ＝12×2×22＝2. 10.已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)(1－i)－4.(1)求复数z 的共轭复数；(2)若w ＝z ＋a i ，且复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围.【解】 (1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ，所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)w ＝－2＋(4＋a )i ，复数w 对应向量为(－2，4＋a )，其模为4＋（4＋a ）2＝20＋8a ＋a 2.又复数z 所对应向量为(－2，4)，其模为2 5.由复数w 对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，得20＋8a ＋a 2≤20，a 2＋8a ≤0，a (a ＋8)≤0，所以实数a 的取值范围是－8≤a ≤0.1.设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( )A.若|z 1－z 2|＝0，则z 1－＝z 2－B.若z 1＝z 2，则z 1－＝z 2C.若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1－＝z 2·z 2－D.若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22【解析】 A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1－＝z 2－，真命题；B ，z 1＝z 2－⇒z 1－＝z 2=＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1－＝z 2·z 2－，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题.【答案】 D2.复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则2x ＋4y 的最小值为( )A.2B.4C.4 2D.16【解析】 由|z －4i|＝|z ＋2|，得|x ＋(y －4)i|＝|x ＋2＋y i|，∴x 2＋(y －4)2＝(x ＋2)2＋y 2，即x ＋2y ＝3，∴2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ＋2y ＝223＝42， 当且仅当x ＝2y ＝32时，2x ＋4y 取得最小值4 2. 【答案】 C3.若复数z ＝7＋a i 2－i的实部为3，则z 的虚部为__________. 【解析】 z ＝7＋a i 2－i ＝（7＋a i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝（14－a ）＋（7＋2a ）i 5＝14－a 5＋7＋2a 5i.由题意知14－a 5＝3，∴a ＝－1，∴z ＝3＋i. ∴z 的虚部为1.【答案】 14.已知z 为复数，z －1i 为实数，z1－i为纯虚数，求复数z . 【导学号：94210086】 【解】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －1i ＝a －1＋b i i ＝(a －1＋b i )·(－i)＝b －(a －1)i.因为z －1i 为实数，所以a －1＝0，即a ＝1.又因为z1－i ＝（a ＋b i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝（a －b ）＋（a ＋b ）i 2为纯虚数， 所以a －b ＝0，且a ＋b ≠0，所以b ＝1.故复数z ＝1＋i.。
新北师大版高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》检测(含答案解析)
一、选择题1．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（ ）A ．85B ．97C ．12D ．230 2．如图，四边形ABCD 和ABEF 都是正方形，G 为CD 的中点，60DAF ∠=，则直线BG 与平面AGE 所成角的余弦值是（ ）A ．25B ．105C ．155D ．2153．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(02)AG λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为( )A ．23B ．2C ．223λD ．2554．如图，已知平行六面体1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，12AA =， 011120A AB A AD ∠=∠=，则线段1AC 的长为（ ）A ．2B ．1C ．2D ．35．已知正方体1111ABCD A BC D -,M 为11A B 的中点，则异面直线A M 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．105B ．1010C ．32D ．626．如图是由16个边长为1的菱形构成的图形，菱形中的锐角为,3π=,,a AB b CD =则=a b ⋅A ．5-B ．1-C ．3-D ．6-7．在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A ．123S S S ==B ．21=S S 且23S S ≠C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠8．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面的中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）若,AM MP ⊥则点P 形成的轨迹的长度为( ) A ．76 B ．75 C ．72 D ．749．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，点E F 、分别是棱AB 、BC 的中点，则点1C 到平面1B EF 的距离等于（ ）A ．23B ．223C ．33D ．4310．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形， Q 为BC 的中点，PQ ⊥面ABCD ，且2PQ =，动点N 在以D 为球心半径为1的球面上运动，点M 在面 ABCD内运动，且PM 5=，则MN 长度的最小值为（ ）A ．352-B ．23-C ．25-+D ．332- 11．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -，O 是底面1111D C B A 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离是（ ）A ．12B ．24C ．22D 312．在平面直角坐标系中，()2,3A -、()32B -，，沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则AB 的长为（ ）A 2B ．211C ．32D ．42二、填空题13．在空间四边形ABCD 中，连接AC 、BD ,若BCD 是正三角形，且E 为其中心，则1322AB BC DE AD +--的化简结果为________． 14．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，AB ⊥AC ，且AA 1=AB=AC ，则异面直线AB 1与BC 1所成角为_____．15．已知平面向量()21,3m =+a 与()2,m =b 是共线向量且0⋅<a b ,则=b __. 16．已知四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为________．17．如图所示，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA =，1AB BC ==，动点P 、Q 分别在线段1C D 、AC 上，则线段PQ 长度的最小值是______．18．如图，空间四边形OABC 中，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，分MN 所成的定比为2，OG xOA yOB zOC =++，则,,x y z 的值分别为_____．19．在空间直角坐标系O xyz -中，点(1,2,3)A -到原点的距离为__________．20．三棱锥V-ABC 的底面ABC 与侧面VAB 都是边长为a 的正三角形，则棱VC 的长度的取值范围是_________.三、解答题21．在①()()DE CF DE CF +⊥-，②17||2DE =，③0cos ,1EF DB <<这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并完成问题.问题：如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -.已知点1D 的坐标为()0,0,2，E 为棱11D C 上的动点，F 为棱11B C 上的动点，___________，试问是否存在点E ，F 满足1EF AC ⊥？若存在，求AE BF ⋅的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22．如图.四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是直角梯形，BC ∥AD ，AB AD ，AD=2BC=2，四边形ABB 1A 1和ADD 1A 1均为正方形.（1）证明；平面ABB 1A 1平面ABCD ；（2）求二面角B 1 CD-A 的余弦值.23．如图，在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD AB ⊥，4AB AS ==，3AD =，6BC =，E 为SB 的中点．（1）求证：//AE 平面SCD ．（2）求二面角B AE C --的余弦值．24．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，已知2,6PB PD PA ===，E 为PA 的中点．（1）求证PC BD ⊥；（2）求直线PC 与平面 PBD 所成角的正弦值．（3）求二面角B PC E --的余弦值．25．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，其中四边形ABCD 为正方形，四边形ABEF 为直角梯形，1//902AB AF BE AF BE BAF ==∠=︒，，，M 为线段CE 上一点，//MF 平面ABCD ．（1）确定点M 的位置，并证明你的结论；（2）求直线DF 与平面BFM 所成角的正弦值．26．如图，四棱锥中P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，60DAB ∠=︒，2AB AD CD ==，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PAD △为等腰直角三角形，90APD ∠=︒．（Ⅰ）求证：AD PB ⊥；（Ⅱ）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】用空间向量基本定理表示出AC '，然后平方后转化为数量积的运算求得．【详解】记a AB =，b AD =，c AA '=，则43cos900a b ⋅=⨯⨯︒=，同理152b c ⋅=，10a c ⋅=，由空间向量加法法则得AC a b c '=++， ∴22222()222AC a b c a b c a b b c a c '=++=+++⋅+⋅+⋅222154352210852=+++⨯+⨯=， ∴85AC '=AC '=．故选：A ．【点睛】方法点睛：本题考查求空间线段长，解题方法是空间向量法，即选取基底，用基底表示出向量，然后利用向量模的平方等于向量的平方转化为向量的数量积进行计算．2．C解析：C【分析】 以A 为原点，以AD 、AB 的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，利用空间向量法可求得直线BG 与平面AGE 所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】以A 为原点，以AD 、AB 的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．设2AB =，得()0,0,0A 、()2,1,0G 、()0,2,0B 、(1,3E ，则()2,1,0AG =，(3AE =，()2,1,0BG =-，设平面AGE 的法向量为(),,n x y z =， 则20230n AG x y n AE x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，则2y =-，3z = 所以，平面AGE 的一个法向量为(1,2,3n =-， 从而10cos ,225n BGn BG n BG ⋅<>===⨯⋅， 故直线BG 与平面AGE 2101515⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin h lθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.3．D解析：D【分析】以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点G 到平面1D EF 的距离 .【详解】以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则()()()()12,,2,0,0,2,2,0,1,2,2,1G D E F λ，()()()12,0,1,0,2,0,0,,1ED EF EG λ=-==，设平面1D EF 的法向量(),,n x y z =，则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎨⋅==⎩，取1x =，得()1,0,2n =，∴点G 到平面1D EF 的距离为 2255EG nd n ⋅===，故选D. 【点睛】本题主要考查利用空间向量求点到平面的距离，是中档题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 4．A解析：A【分析】由11AC AB BC CC =++，两边平方，利用数量积的运算法则及数量积公式能求出21AC 的值，从而可得结果.【详解】平行六面体1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，1112,120AA A AB A AD =∠=∠=， 11AC AB BC CC ∴=++，()2211AC AB BC CC ∴=++222111222AB BC CC AB CC BC CC AB BC =+++⋅+⋅+⋅ 114212cos120212cos12002=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+=， ∴线段1AC 的长为12AC = A.【点睛】本题主要考查利用空间向量求线段的长，考查向量数量积的运算法则，属于中档题.向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =. 5．A解析：A【分析】建立空间直角坐标系，求出向量AM 与1BC 的向量坐标，利用数量积求出异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值.【详解】 以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的棱长为1，则(1,0,0)A ，1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(1,1,1)B ，(0,1,0)C ∵M 为11A B 的中点 ∴1(1,,1)2M ∴1(0,,1)2AM =，52AM =；1(1,0,1)B C =--，12B C =. ∴异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值为111110cos ,10AM B C AM B C AM B C⋅===⋅ 故选A.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角∠AEM （或其补角），是解题的关键．如果异面直线所成的角不容易找，则可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量来求解．6．B解析：B【解析】设菱形中横向单位向量为,m 纵向单位向量为n ，则111,1122m n m n ==⋅=⨯⨯=，2a AB m n ==+，32b CD m n ==-+，()()232a b m n m n ⋅=+-+=223443421m n m n -+-⋅=-+-=-，故选B. 7．D解析：D 【分析】试题分析：结合其空间立体图形易知，112222=⨯⨯=S ，2312222S S ==⨯⨯=，所以23S S =且13S S ≠，故选D ．考点：空间直角坐标系及点的坐标的确定，正投影图形的概念，三角形面积公式． 8．C 解析：C【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P 的轨迹方程，得到P 的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长．【详解】建立空间直角坐标系．设A （0，﹣1，0），B （0，1，0），S （0，03M （0，0，3P （x ，y ，0）． 于是有AM =（0，13MP =（x ，y ，3 由于AM ⊥MP ，所以（0，13•（x ，y ，30， 即y 34=，此为P 点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为2371()4-=．故选C ．【点睛】本题考查通过建立坐标系，将求轨迹问题转化为求轨迹方程、考查向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、圆的弦长的求法．属中档题9．D解析：D【分析】建立空间直角坐标系，找到平面1B EF 的法向量，利用向量法求点到平面的距离求解即可.【详解】以1D 为坐标原点，分别以11D A ，11D C ，1D D 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则1(2,2,0)B ，1(0,2,0)C ，(2,1,2)E ，(1,2,2)F .设平面1B EF 的法向量为(,,)n x y z =，1(0,1,2)B E =-1(1,0,2)B F =-则1100n B E n B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x z -+=⎧⎨-+=⎩ 令1z =，得(2,2,1)n =.又11(2,0,0)BC =-，∴点1C 到平面1B EF 的距离1122|||2200|43||221n B C h n ⋅-⨯++===++， 故选：D .【点睛】 本题用向量法求点到平面的距离，我们也可以用等体积法求点到平面的距离，当然也可以找到这个垂线段，然后放在直角三角形中去求.10．C解析：C【分析】若要使MN 最短，点N 必须落在平面ABCD 内，且一定在DN 的连线上，此时应满足,,,D N M Q 四点共线，通过几何关系即可求解【详解】如图，当点N 落在平面ABCD 内，且,,,D N M Q 四点共线时，MN 距离应该最小，由PM 5=1MQ =，即点M 在以Q 为圆心，半径为1的圆上，由几何关系求得5DQ ，1DN MQ ==，故552NM DN MQ -=故答案选：C【点睛】本题考查由几何体上的动点问题求解两动点间距离的最小值，属于中档题11．B解析：B【分析】如图建立空间直角坐标系，可证明1A D ⊥平面11ABC D ，故平面11ABC D 的一个法向量为：1DA ，利用点到平面距离的向量公式即得解. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则：1111(,,1),(0,0,1),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,1)22O D A B C 111(,,0)22OD ∴=-- 由于AB ⊥平面111,ADD A AD ⊂平面11ADD A1AB A D ∴⊥，又11AD A D ⊥，1AB AD1A D ∴⊥平面11ABC D故平面11ABC D 的一个法向量为：1(1,0,1)DA = O ∴到平面11ABC D 的距离为： 1111||22||2OD DA d DA ⋅===故选：B【点睛】本题考查了点到平面距离的向量表示，考查了学生空间想象，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.12．D解析：D 【分析】作AC x ⊥轴于C ，BD x ⊥轴于D ，则AB AC CD DB =++，两边平方后代入数量积即可求得2||AB ，则AB 的长可求．【详解】如图，()2,3A -，()3,2B -，作AC x ⊥轴于C ，BD x ⊥轴于D ，则()2,0C -，()3,0D ，3AC ∴=，5CD =，2DB =，沿x 轴把坐标平面折成60︒的二面角，CA ∴<，60DB >=︒，且0AC CD CD DB ⋅=⋅=，222||()AB AB AC CD DB ∴==++ 222222AC CD DB AC CD CD DB AC DB =+++⋅+⋅+⋅19254232322⎛⎫=+++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭． 42AB ∴=即AB 的长为42故选：D ．【点睛】本题主要考查了空间角，向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 二、填空题13．【分析】由题意结合重心的性质和平面向量的三角形法则整理计算即可求得最终结果【详解】如图取BC 的中点F 连结DF 则∴【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力 解析：0【分析】由题意结合重心的性质和平面向量的三角形法则整理计算即可求得最终结果.【详解】如图，取BC 的中点F ，连结DF ，则23DF DE =， ∴1322AB BC DE AD +--AB BF DF DA =+-+AF FD DA =++0=.【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14．【解析】连结A1B ∵AA1⊥面ABC 平面A1B1C1∥面ABC ∴AA1⊥平面A1B1C1∵A1C1⊂平面A1B1C1∴AA1⊥A1C1∵△ABC 与△A1B1C1是全等三角形AB ⊥AC ∴A1B1⊥A1 解析：2π 【解析】连结A 1B ，∵AA 1⊥面ABC ，平面A 1B 1C 1∥面ABC ，∴AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∵A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，∴AA 1⊥A 1C 1，∵△ABC 与△A 1B 1C 1是全等三角形，AB ⊥AC ，∴A 1B 1⊥A 1C 1，∵A 1B 1∩AA 1=A 1，∴A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ，又∵AB 1⊂平面AA 1B 1B ，∴A 1C 1⊥AB 1，∵矩形AA 1B 1B 中，AA 1=AB ，∴四边形AA 1B 1B 为正方形，可得A 1B ⊥AB 1，∵A 1B∩A 1C 1=A 1，∴AB 1⊥平面A 1BC 1，结合BC 1⊂平面A 1BC 1，可得AB 1⊥BC 1，即异面直线AB 1与BC 1所成角为2π． 故答案为2π．15．【解析】∵向量与是共线向量∴∴或∵∴即∴则∴故答案为解析：22【解析】∵向量(21,3)a m =+与(2,)b m =是共线向量∴(21)6m m +=∴32m =或2m =- ∵0a b ⋅<∴(21)230m m +⨯+<，即27m <-∴2m =-，则(2,2)b =-∴22(b =+=故答案为16．【解析】由平行四边形中对角线互相平分的性质知AC 的中点即为BD 的中点AC 的中点设D(xyz)则∴x ＝5y ＝13z ＝－3故D(513－3)解析：(5,13,3)-【解析】由平行四边形中对角线互相平分的性质知，AC 的中点即为BD 的中点，AC 的中点7(,4,1)2O - ，设D (x ，y ，z )， 则7251,4,12222x y z +-++==-= ∴x ＝5，y ＝13，z ＝－3，故D (5,13，－3)．17．【分析】以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量法计算出异面直线的公垂线的长度即为所求【详解】由题意可知线段长度的最小值为异面直线的公垂线的长度如下图所示以点为坐标原点所在直线分解析：13【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度，即为所求.【详解】由题意可知，线段PQ 长度的最小值为异面直线1C D 、AC 的公垂线的长度.如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则点()1,0,0A 、()0,1,0C 、()10,1,2C 、()0,0,0D ，所以，()1,1,0AC =-，()10,1,2=DC ，()1,0,0DA =，设向量(),,n x y z =满足n AC ⊥，1⊥n DC ，由题意可得1020n AC x y n DC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，解得2x y y z =⎧⎪⎨=-⎪⎩，取2y =，则2x =，1z =-， 可得()2,2,1n =-， 因此，min 23DA n PQ n ⋅==. 故答案为：23. 【点睛】 关键点点睛：解本题的关键在于将PQ 长度的最小值转化为异面直线AC 、1C D 的距离，实际上就是求出两条异面直线的公垂线的长度，利用空间向量法求出两条异面直线间的距离，首先要求出两条异面直线公垂线的一个方向向量的坐标，再利用距离公式求解即可. 18．【解析】∵∴∴故答案为解析：111,,633【解析】∵ O G OM MG =+，12OM OA =，2 ,3MG MN MN ON OM ==-，1 ()2ON OB OC =+，∴111 633OG OA OB OC =++，∴16x =，13y z ==，故答案为111,,63319．【解析】距离【解析】距离d ==20．【解析】分析：设的中点为连接由余弦定理可得利用三角函数的有界性可得结果详解：设的中点为连接则是二面角的平面角可得在三角形中由余弦定理可得即的取值范围是为故答案为点睛：本题主要考查空间两点的距离余弦定解析：)【解析】分析：设AB 的中点为D ，连接,,VD CD VC ，由余弦定理可得22233cos 22VC a a VDC =-∠，利用三角函数的有界性可得结果. 详解：设AB 的中点为D ，连接,,VD CD VC ，则VD VC == VDC ∠是二面角V AB C --的平面角，可得0,1cos 1VDC VDC π<∠<-<∠<，在三角形VDC 中由余弦定理可得，2222cos VC VDC ⎫⎫=+-∠⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2233cos 22a a VDC =-∠22030VC a VC <<⇒<<，即VC 的取值范围是()，为故答案为().点睛：本题主要考查空间两点的距离、余弦定理的应用，意在考查空间想象能力、数形结合思想的应用，属于中档题. 三、解答题21．答案见解析【分析】先利用已知条件写出点坐标，设(0,,2)(02),(,2,2)(02)E a a F b b ≤≤≤≤，进而得到1,,,EF A A F C E B 的坐标，利用空间向量数量积的坐标表示求出1,EF A AE BF C ⋅⋅；若选① ：利用空间向量数量积的坐标表示公式、空间向量垂直的性质即可求解；若选② ：利用空间向量模的坐标表示公式即可得出结果；若选③ ：利用空间向量夹角的性质进行求解即可.【详解】解：由题意，正方体1111ABCD A BC D -棱长为2，则1(2,0,0),(2,2,0),(2,0,2),(0,0,0),(0,2,0)A B A D C ，设(0,,2)(02),(,2,2)(02)E a a F b b ≤≤≤≤，则1(,2,0),(2,2,2),(2,,2),(2,0,2)EF b a A AE a BF b C =-=--=-=-， 所以142(),82EF A a b AE C BF b ⋅=-+⋅=-.选择①：()()DE CF DE CF +⊥-，所以22()()0,DE CF DE CF DE CF +⋅-==，得a b =，若10EF AC ⋅=得42()0a b -+=， 则1a b ==，故存在点(0,1,2),(1,2,2)E F ，满足10EF AC ⋅=，826AE BF b ⋅=-=. 选择②：因为17||2DE =，=， 得12a =， 若10EF AC ⋅=， 即42()0a b -+=，得32b =. 故存在点130,,2,,2,222E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 满足10EF AC ⋅=，825AE BF b ⋅=-=. 选择③：因为0cos ,1EF DB <〈〉<，所以EF 与DB 不共线，所以2b a ≠-，即2a b +≠，则142()0EF AC a b ⋅=-+≠，故不存在点,E F 满足10EF AC ⋅=. 【点睛】关键点睛：建立空间坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示、空间向量垂直的性质、空间向量模的坐标表示公式以及空间向量夹角的性质是解决本题的关键.22．（1）详见解析；（2）66. 【分析】（1）根据四边形ABB 1A 1和ADD 1A 1均为正方形，得到11,AA AB AA AD ⊥⊥，再由线面垂直的判定定理证得1AA ⊥平面ABCD ，然后利用面面垂直的判定定理证明.（2）以A 为原点，以1,,AB AD AA 分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系,求得平面1BCD 的一个法向量为(),,m x y z =，又平面CDA 的一个法向量为()0,0,1n =，然后由cos ,m n m n m n ⋅=⋅求解.【详解】 （1）因为四边形ABB 1A 1和ADD 1A 1均为正方形.所以11,,AA AB AA AD AB AD A ⊥⊥⋂=，所以1AA ⊥平面ABCD ；又因为1AA ⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1平面ABCD ；（2）以A 为原点，以1,,AB AD AA 分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系：则()()()()10,0,0,2,1,0,0,2,0,2,0,2A C D B ，所以()()12,1,0,0,1,2CD CB =-=-，设平面1BCD 的一个法向量为(),,m x y z =， 则100m CD m CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y y z -+=⎧⎨-+=⎩， 令1,2,1x y z ===，则()1,2,1m =，又平面CDA 的一个法向量为()0,0,1n =，所以16cos ,66m nm n m n ⋅===⋅， 二面角B 1CD-A 的余弦值是66【点睛】 方法点睛：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．23．（1）证明见解析；（2）2211. 【分析】（1）取SC 的中点F ，连接,DF EF ，证明四边形ADFE 为平行四边形，可得//AE DF ，即可证//AE 平面SCD ；（2）建立如图所示空间直角坐标系，然后写出各点坐标，得平面ABE 的法向量为AD ，计算平面ACE 的法向量m ，利用数量积公式代入计算二面角的余弦值.【详解】（1）证明：取SC 的中点F ，连接,DF EF因为E 、F 为SB 、SC 的中点，所以//EF BC 且132EF BC ==，又因为//AD BC ，3AD =，6BC =，所以//EF AD 且EF AD =，所以四边形ADFE 为平行四边形，所以//AE DF ，又AE ⊄平面SCD ，DF ⊂平面SCD ，所以//AE 平面SCD ． （2）因为SA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，所以建立如图所示空间直角坐标系， 则(0,0,0),(4,0,0),(4,6,0),(0,3,0),(2,0,2)A B C D E ，(2,0,2),(4,0,0),(4,6,0)AE AB AC ===，(0,3,0)AD = 由题意可知AD ⊥平面ABE ，设平面ACE 的法向量(,,)m x y z =所以00AC m AE m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则460220x y x z +=⎧⎨+=⎩，得(3,2,3)m =-- 设二面角B AE C --的平面角为θ， 所以622cos cos ,322AD m θAD m AD m ⋅-====⨯，所以二面角B AE C --的余弦值为2211.【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面关系的相互转化，通过中位线平行证明线线平行，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.24．（1）证明见解析（2）22（3）155 【分析】(1)由PB PD =可得出PO BD ⊥，再由菱形性质可得AC BD ⊥，即可证明BD ⊥平面POC ，可得PC BD ⊥；（2）先证明OP ⊥平面ABCD ，可以O 为原点，以OB ，OC ，OP 为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角；（3）由（2）利用向量法求二面角的余弦值.【详解】（1）设,AC BD 交点为O ,连接PO ，ABCD 是边长为2的菱形，,AC BD O ∴⊥是,AC BD 的中点，,PD O B BD P P =∴⊥，又PO ⊂平面POC ,AC ⊂平面 POC ，PO AC O =，BD ∴⊥平面POC ，PC ⊂平面POC ，.C BD P ∴⊥（2）60,2,A D B D A A B ︒===∠ABD ∴是等边三角形，又AB PB PD ==PBD ∴是等边三角形， 3P OA O ∴== 222OP PA OA +∴=，OA OP ∴⊥又,OP OB OA OB O ⊥⋂=OP ∴⊥平面ABCD ，以O 为原点，以OB ，OC ，OP 为坐标轴建立空间直角坐标系如图:则(1,0,0),3,0),3)B C P ，(0,3,3PC ∴=-，而3,0)OC →=是平面 PBD 的一个法向量，设直线PC 与平面PBD 所成角为θ， 则||2sin 263|||||PC OC PC OC θ→→→→⋅===⋅ 所以直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为22. (3)由（2）知(3,0)BC →=-,(3,3PC =-设平面BPC 的法向量n (x,y,z)→=， 则.0.0n PC n BC ⎧=⎨=⎩,33030y z x y ⎧-=⎪∴⎨-+=⎪⎩, 令1y =，得3,1x z ==，所以(3,1,1)n →=，又BD ⊥平面EPC , (1,0,0)m ∴=是平面 EPC 的一个法向量，315cos ,||||515m n m n m n ⋅∴〈〉===⋅⋅， ∴二面角B PC E --的余弦值为155. 【点睛】关键点点睛：根据题目所给条件，利用平面几何知识证明OA OP ⊥，再根据OP OB ⊥，证明OP ⊥平面ABCD ，得以O 为原点，以OB ，OC ，OP 为坐标轴建立空间直角坐标系是解题的关键所在.25．（1）点M 在CE 的中点处，证明见解析；（2）32. 【分析】（1）首先观察图形的特征，确定点M 的位置，之后利用线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，设出边长，写出点的坐标，利用向量法求得线面角的正弦值.【详解】（1）点M 在CE 的中点处，证明如下：取BC 中点P ，连接,BP AP ，根据题意，可知//,PM AF PM AF =，所以四边形AFMP 是平行四边形，所以//AP MF ，又因为FM ⊄平面ABCD ，AP ⊂平面ABCD ，所以//MF 平面ABCD ；（2）设1AF AB AD ===，如图建立空间直角坐标系，则有1(1,0,1),(1,1,0),(0,1,),(0,0,0)2D F M B ，所以(0,1,1)DF =-，1(1,1,0),(0,1,)2BF BM ==，设平面BFM 的法向量为(,,)n x y z =， 则有00n BF n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0102x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取1y =，则有1,2x z =-=-， 所以平面BFM 的一个法向量为(1,1,2)n =--， 所以03cos ,26DF nDF n DF n ⋅+<>===⋅， 所以直线DF 与平面BFM 3 【点睛】 思路点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，解题思路如下：（1）首先根据图形的特征，判断出点的位置，之后利用线面平行的判定定理证明即可； （2）在证明的过程中，注意线在面外和线在面内的条件；（3）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量和直线的方向向量；（4）利用向量所成角的余弦值得到线面角的正弦值.26．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3913. 【分析】（Ⅰ）取AD 的中点G ，连结PG 、GB 、BD ，根据PA PD =和ABD △是正三角形，证明AD ⊥平面PGB 即可.（Ⅱ）根据侧面PAD ⊥底面ABCD ，PG AD ⊥，易得直线GA 、GB 、GP 两两互相垂直，以G 为原点，直线GA 、GB 、GP 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系G xyz -，求得平面PBC 的一个法向量()000,,n x y z =，再由平面PAD 的一个法向量1(0,3,0)n GB a ==，设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ，由11cos ||n n n n θ⋅=⋅求解. 【详解】（Ⅰ）如图所示：取AD 的中点G ，连结PG 、GB 、BD ．PA PD =，PG AD ∴⊥AB AD =，且60DAB ∠=︒，ABD ∴是正三角形，BG AD ⊥，又PG BG G =，AD ∴⊥平面PGB ．AD PB ∴⊥（Ⅱ）∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，又PG AD ⊥，PG ∴⊥底面ABCD ．PG BG ∴⊥．∴直线GA 、GB 、GP 两两互相垂直，故以G 为原点，直线GA 、GB 、GP 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．设PG a =，则可求得(0,0,)P a ，(,0,0)A a ，3,0)B a ，(,0,0)D a -，33,02C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 33,,02BC a ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭．(0,3,)PB a a ∴=-． 设()000,,n x y z =是平面PBC 的一个法向量，则0n BC ⋅=且0n PB ⋅=．0000330,230.ax ay az ⎧-=⎪∴⎪-=⎩解得00003,3.x y z y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 取03y =(1,3,3)n =-．又∵平面PAD 的一个法向量13,0)n GB a ==，设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ， 则1139cos ||1393n n n n aθ⋅===⋅++⋅ 所以平面PAD 与平面PBC 39 【点睛】 方法点睛：求二面角最常用的方法：1、几何法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．向量法：分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．。
[推荐学习]2017_2018学年高中数学学业分层测评15含解析北师大版选修2_1
学业分层测评(十五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( ) A ．(－1,0) B ．(1,0) C ．(0，－1)D ．(0,1)【解析】 由准线过已知点可求出p 的值，进而可求出抛物线的焦点坐标．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p ＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．【答案】 B2．设抛物线C ：y 2＝4x 上一点P 到y 轴的距离为4，则点P 到抛物线C 的焦点的距离是( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 抛物线C 的准线方程为x ＝－1，设抛物线C 的焦点为F ，由抛物线的定义知，|PF |＝d (d 为点P 到抛物线C 的准线的距离)，又d ＝4＋1＝5，所以|PF |＝5.【答案】 B3．抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】 ∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵外接圆的圆面积为9π，∴圆的半径为3，又∵圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p 2，∴p 2＋p4＝3，∴p ＝4.【答案】 B4．若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x【解析】 设动圆的半径为r ，圆心O ′(x ，y )，且O ′到点(2,0)的距离为r ＋1，O ′到直线x ＝－1的距离为r ，所以O ′到(2,0)的距离与到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y 2＝8x .【答案】 A5．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|P 1F |＋|P 2F |＝|FP 3|B ．|P 1F |2＋|P 2F |2＝|P 3F |2C ．2|P 2F |＝|P 1F |＋|P 3F |D ．|P 2F |2＝|P 1F |·|P 3F |【解析】 因为P 1，P 2，P 3在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，两边同时加上p ，得2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋p 2＋x 3＋p2，即2|P 2F |＝|P 1F |＋|P 3F |，故选C.【答案】 C 二、填空题6．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．【解析】 椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0.∴p 2＝2，∴p ＝4.【答案】 47．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则抛物线的准线方程为________．【导学号：32550075】【解析】 圆方程为(x －3)2＋y 2＝16.抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，∴3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝4，∴p ＝2，∴抛物线的准线方程为x ＝－1. 【答案】 x ＝－1.8．已知P 是抛物线y 2＝4x 上的动点，过P 作抛物线准线的垂线，垂足为点M ，N 是圆(x －2)2＋(y －5)2＝1上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值是________．【解析】 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，圆(x －2)2＋(y －5)2＝1的圆心为Q (2,5)，根据抛物线的定义可知点P 到准线的距离等于点P 到焦点的距离，进而推断出当P ，Q ，F 三点共线时，点P 到点N 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和最小为1＋25－1＝26－1.【答案】26－1三、解答题9．已知定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝2x 上移动，M 为AB 的中点，求M 点到y 轴的最短距离．【解】 如图所示，抛物线y 2＝2x 的准线为l ：x ＝－12，过A 、B 、M 分别作AA ′、BB ′、MM ′垂直于l ，垂足分别为A ′、B ′、M ′.由抛物线定义知|AA ′|＝|FA |，|BB ′|＝|FB |.又M 为AB 的中点，由梯形中位线定理得|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12(|FA |＋|FB |)≥12|AB |＝12×3＝32，则M 到y 轴的距离d ≥32－12＝1(当且仅当AB 过抛物线的焦点时取“＝”)，所以d min ＝1，即M 点到y 轴的最短距离为1.图32110．如图321，已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线方程；(2)过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 【解】 (1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是，4＋p2＝5，p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x . (2)因为点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又F (1,0)，所以k AF ＝43.因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34.则FA 的方程为y ＝43(x －1)，MN 的方程为y ＝－34x ＋2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝43x －，y ＝－34x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝45.所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.[能力提升]1．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)【解析】 设A (x 0，y 0)，由题意可知F (1,0)，OA →＝(x 0，y 0)，AF →＝(1－x 0，－y 0)，OA →·AF →＝x 0(1－x 0)－y 20＝－4.∵y 20＝4x 0，∴x 0－x 20－4x 0＋4＝0，即x 20＋3x 0－4＝0， ∴x 0＝1或x 0＝－4(舍去)． ∴y 0＝±2. 【答案】 B2．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在棱AB 上，且AM ＝13，点P 是平面ABCD 上的动点，且点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则点P 的轨迹是( )A ．抛物线B ．圆C ．直线D ．以上都不对【解析】 作PF ⊥AD 于F ，则PF ⊥平面ADD 1A 1，作FE ⊥A 1D 1于E ，则PE ⊥A 1D 1. 由勾股定理得PF 2＝PE 2－EF 2＝(PM 2＋1)－1＝PM 2，∴PF ＝PM .由抛物线定义知，点P 的轨迹是以M 为焦点，AD 为准线的抛物线． 【答案】 A3．过抛物线y ＝4x 2的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝5，则线段AB 的长为________．【导学号：32550076】【解析】 抛物线方程可化为x 2＝14y ，∴p ＝18，∴焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝5＋18＝418.【答案】4184．河上有座抛物线形拱桥，当水面距离拱桥顶5m 时，水面宽为8m ，一条小船宽4m ，高2m ，载货后船露出水面上的部分高0.75m ，问：水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？【解】 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设桥拱的抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，由题意可知，点B (4，－5)在抛物线上，故p ＝85，得x 2＝－165y .当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )．由22＝－165y A ，得y A ＝－54，又知船面露出水面上部分高为0.75m ，所以h ＝|y A |＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距2m 时，小船开始不能通航.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 学业分层测评(十八) (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题
1．若点P(2,0)到双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为( ) A.2 B．3 C．22 D．23
【解析】 双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，点P(2,0)到渐近线的距离为|2b|a2＋b2＝2，所以a2＝b2，所以双曲线的离心率为2，故选A. 【答案】 A
2．过双曲线x2－y23＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝( )
A.433 B．23 C．6 D．43 【解析】 设A，B两点的坐标分别为(x，yA)，(x，yB)，将x＝c＝2代入渐近线方程y
＝±3x得到yA，yB，进而求|AB|.由题意知，双曲线x2－y23＝1的渐近线方程为y＝±3x，将x＝c＝2代入得y＝±23，即A，B两点的坐标分别为(2,23)，(2，－23)，所以|AB|＝43. 【答案】 D 3．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( )
A．x2－y24＝1 B．x24－y2＝1
C.y24－x2＝1 D．y2－x24＝1 【解析】 由双曲线的性质利用排除法求解． 由双曲线焦点在y轴上，排除选项A、B，选项C中双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故选C. 【答案】 C 4．将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m＞0)个单2
位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则( ) A．对任意的a，b，e1＞e2 B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2 C．对任意的a，b，e1＜e2 D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2 【解析】 分别表示出e1和e2，利用作差法比较大小．
由题意e1＝a2＋b2a2＝1＋ba2；双曲线C2的实半轴长为a＋m，虚半轴长为b＋m，
离心率e2＝a＋m2＋b＋m2a＋m2＝1＋b＋ma＋m2. 因为b＋ma＋m－ba＝ma－baa＋m，且a＞0，b＞0，m＞0，a≠b， 所以当a＞b时，ma－baa＋m＞0，即b＋ma＋m＞ba. 又b＋ma＋m＞0，ba＞0， 所以由不等式的性质依次可得b＋ma＋m2＞ba2,1＋b＋ma＋m2＞1＋ba2，所以1＋b＋ma＋m2＞1＋ba2，即e2＞e1；同理，当a＜b时，ma－baa＋m＜0，可推得e2＜e1.综上，当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2.
【答案】 D 5．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A.2 B．3
C.3＋12 D．5＋12 【解析】 设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，不妨设一个焦点为F(c,0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFB＝－bc.又渐近线的斜率为±ba，所以由直线垂直关系得－bc²ba＝－1－ba显然不符合，即b2＝ac，又c2－a2＝b2，所以c2－a2＝ac，两边同除以a2，整理得e2－e－1＝0，解得e＝5＋12或e＝1－52(舍去)． 【答案】 D 二、填空题 3
6．过双曲线x24－y23＝1的左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点，则|MF2|＋|NF2|－|MN|的值为________． 【解析】 |MF2|＋|NF2|－|MN|＝|MF2|＋|NF2|－(|MF1|＋|NF1|)＝(|MF2|－|MF1|)＋(|NF2|－|NF1|)＝2a＋2a＝4a＝8. 【答案】 8
7．设F是双曲线C：x2a2－y2b2＝1的一个焦点．若C上存在点P, 使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为__________． 【解析】 根据题意建立a，c间的联系，再利用离心率公式计算． 不妨设F(－c,0)，PF的中点为(0，b)．由中点坐标公式可知P(c,2b)．又点P在双曲线上，
则c2a2－4b2b2＝1，故c2a2＝5，即e＝ca＝5. 【答案】 5 8．若双曲线x2－y2＝1右支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离为3，则a＋b＝________. 【导学号：32550089】 【解析】 由于点P(a，b)在右支上，所以a－b>0.
又∵|a－b|2＝3，∴a－b＝6，又∵a2－b2＝1，
∴a＋b＝a2－b2a－b＝16＝66. 【答案】 66 三、解答题 9．已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144. (1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程； (2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|²|PF2|＝32，求∠F1PF2
的大小．
【解】 (1)由16x2－9y2＝144得x29－y216＝1， 所以a＝3，b＝4，c＝5， 所以焦点坐标F1(－5,0)，F2(5,0)，离心率e＝53，渐近线方程为y＝±43x. (2)由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝6， 4
cos ∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2| ＝|PF1|－|PF2|2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|22|PF1||PF2| ＝36＋64－10064＝0， ∴∠F1PF2＝90°. 10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点P(4，－10)． (1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1→²MF2→＝0； (3)在(2)的条件下，求△F1MF2的面积． 【解】 (1)∵e＝2， ∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x2－y2＝6. (2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝6， ∴c＝23，∴F1(－23，0)，F2(23，0)，
∴kMF1＝m3＋23，kMF2＝m3－23，
kMF1²kMF2＝m29－12＝－m23.
∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3， 故kMF1²kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，∴MF1→²MF2→＝0. 法二：∵MF1→＝(－3－23，－m)， MF2→＝(23－3，－m)，
∴MF1→²MF2→＝(3＋23)³(3－23)＋m2＝－3＋m2. ∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴MF1→²MF2→＝0. (3)△F1MF2的底|F1F2|＝43， △F1MF2的高h＝|m|＝3，∴S△F1MF2＝6. 5
[能力提升] 1．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点为F1，F2，且C上的点P满足PF1→²PF2
→
＝0，|PF1→|＝3，|PF2→|＝4，则双曲线C的离心率为( ) A.102 B．5 C.52 D．5 【解析】 由双曲线的定义可得2a＝||PF2→|－|PF1→||＝1，所以a＝12；因为PF1→²PF2→＝0，所以PF1→⊥PF2→，所以(2c)2＝|PF1→|2＋|PF2→|2＝25，解得c＝52.所以此双曲线的离心率为e＝ca＝5.故D正确． 【答案】 D
2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝47x的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x221－y228＝1 B．x228－y221＝1
C.x23－y24＝1 D．x24－y23＝1 【解析】 利用渐近线过已知点以及双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，列出方程组求解．
由双曲线的渐近线y＝bax过点(2，3)，可得3＝ba³2.① 由双曲线的焦点(－a2＋b2，0)在抛物线y2＝47x的准线x＝－7上，可得a2＋b2＝7.②
由①②解得a＝2，b＝3，所以双曲线的方程为x24－y23＝1. 【答案】 D 3．双曲线x2a2－y2b2＝1，y2b2－x2a2＝1的离心率分别为e1，e2，则e1＋e2的最小值为________．
【解析】 由已知得e1＝a2＋b2a，e2＝a2＋b2b，则e1＋e2＝a2＋b2a＋a2＋b2b＝(a2＋b2)1a＋1b≥2ab²21ab＝22. 6
【答案】 22 4．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点为F1、F2，点P4105，3105在双
曲线的右支上，且|PF1|＝3|PF2|，PF1→²PF2→＝0，求双曲线的标准方程． 【解】 ∵|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝3|PF2|， ∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a.
又PF1→＝－c－4105，－3105，
PF2
→＝c－4105，－3105，
∵PF1→²PF2→＝41052－c2＋31052＝0， ∴c2＝10. 又|PF2|＝a，∴c－41052＋31052＝a2. ∴a2＝4， ∴b2＝c2－a2＝6.
故所求双曲线的标准方程为x24－y26＝1.