第六章-运筹学图与网络优化
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运筹学课件 第六章图与网络分析(清华大学出版社)
w(P ) = min w(P) 0
P
路P0的权称为从vs到vt的距离，记为：d（ vs，vt ）
OR3 12
– 最短路算法
Dijkstra算法 ：有向图 ，wij≥0 一般结论：
vs到 j的 短 v 最 路
vs ,...,vi ,...,vj ⇒ vs ,...,vi
vs到 i的 短 v 最 路
OR3 17
4 ）
标号的点，考察弧（ v 4 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ v 4 , v 6），（ v 4 , v 7）的端点 v 6，v 7： T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [13 , 9 + 9 ] = 13 46 6 6 4 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [14 , 9 + 7 ] = 14 47 7 7 4 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 13 。 6 6 此时 P 标号的点集 S = { ， ， , v , v , v } v1 v 2 v 3 5 4 6 。 6 7）v 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ 标号的点，考察弧（ v 6 , v 7），（ v 6 , v 8）的端点 v 7， 8： v 6 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [14 ,13 + 5 ] = 14 67 7 7 6 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [+ ∞ ,13 + 4 ] = 17 68 8 8 6 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 14 。 7 7 此时 P 标号的点集 S = { ， ， , v , v , v , v } v1 v 2 v 3 5 4 6 7 。 7
P
路P0的权称为从vs到vt的距离，记为：d（ vs，vt ）
OR3 12
– 最短路算法
Dijkstra算法 ：有向图 ，wij≥0 一般结论：
vs到 j的 短 v 最 路
vs ,...,vi ,...,vj ⇒ vs ,...,vi
vs到 i的 短 v 最 路
OR3 17
4 ）
标号的点，考察弧（ v 4 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ v 4 , v 6），（ v 4 , v 7）的端点 v 6，v 7： T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [13 , 9 + 9 ] = 13 46 6 6 4 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [14 , 9 + 7 ] = 14 47 7 7 4 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 13 。 6 6 此时 P 标号的点集 S = { ， ， , v , v , v } v1 v 2 v 3 5 4 6 。 6 7）v 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ 标号的点，考察弧（ v 6 , v 7），（ v 6 , v 8）的端点 v 7， 8： v 6 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [14 ,13 + 5 ] = 14 67 7 7 6 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [+ ∞ ,13 + 4 ] = 17 68 8 8 6 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 14 。 7 7 此时 P 标号的点集 S = { ， ， , v , v , v , v } v1 v 2 v 3 5 4 6 7 。 7
《图与网络优化》PPT课件
• “充分性”：设图 G 中任两个点之间恰有一条链， 那么易见 G 是连通的。如果 G 中含有圈，那么这个 圈上的两个顶点之间有两条链，这与假设相矛盾， 故 G 不含圈，于是 G 是树。
• 由这个定理，很容易推出如下结论：
• （1）从一个树中去掉任意一条边，则余下的图是不 连通的。由此可知，在点集合相同的所有图中，树 是含边数最少的连通图。
么 G 本身就是一个树，从而 G 是它自身的一个支撑
树。现假设 G 含圈，任取一个圈，从圈中任意地去
掉一条边，得到图 G 的一个支撑子图 G1 。如果 G1 不含圈，那么 G1 就是 G 的一个支撑树（因为 G1 的 顶点数与 G 相同，且连通）；如果 G1 仍然含圈，那 么从 G1 中任取一个圈，从圈中再任意去掉一条边， 得到图 G 的一个支撑子图 G2 ，如此重复，最终可以 得到 G 的一个支撑子图 Gk ，它不含圈，于是 Gk 是 G 的一个支撑树。
• 以点 v 为端点的边的个数称为 v 的次。记为 dG(v) 或 d(v) 。称次为1的点为悬挂点，悬挂点的关联边称为
悬挂边，次为零的点称为孤立点。
• 定理1：图 G=(V , E) 中，所有点的次之和是边数的
两倍，即有： dv2q vV
• 次为奇数的点称为奇点，否则称为偶点。
• 定理2：任一个图中，奇点的个数为偶数。
精选ppt
4
• 如果一个图 G 是由点及边所构成的，则称之为无向 图，简记为 G=(V , E)，其中， V , E 分别是图 G 的点 集合和边集合。一条连接点 vi ，vj V 的边记为[vi ,vj ] （或 [vj , vi]）。
• 如果一个图 D 是由点及弧所构成的，则称之为有向 图，简记为D =(V , A)，其中， V , A 分别是图 G 的点 集合和弧集合。一条方向是从 vi 指向 vj 的弧记为 (vi ,vj)。
运筹学(第6章 图与网络分析)
a1 (v1) 赵
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
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(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
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a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
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(v1) 赵
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e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
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运筹学第六章图与网络分析1.
一、树的概念及性质 例：已知有五个城市，要在它们之间架设电话线，要 求任何两个城市都可以互相通话（允许通过其它城市） ，并且电话线的根数最少。
v2
v3
v1
v5
v4
9
1.树的定义 ：连通且不含圈的无向图称为树。 次为1的点称为树叶，次大于1的点称为分枝点，树的边称 为树枝。
v2 v4 v2 v1 v4
d1 j = min( d1i wij )
i
设任一点vi到任一点 vj都有一条弧，如果（vi, vj）不是弧，则添 22 加弧（vi, vj），令wij=+∞
迭代过程：
①初始条件： t=1,d1j(1)=w1j (j=1,2,…,n) ，如果 v1 与 vj间 无边，其最短路长记为+∞ ②t=2,3,…
3
悬挂边：悬挂点的关联边
定理1：图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数 的两倍，即
Σd(v)=2q vV
定理2：任一图中，奇点的个数为偶数。
给定一个图G=(V,E)，一个点边的交错序列(vi1, ei1, vi2, ei2,…,vik-1,eik-1,vik)，如果满足eit=[vit,vit+1] (t=1,2,…,k1)，则称为一条联结vi1和vik的链，记为(vi1,vi2,…,vik)， 称点vi2, vi3,…,vik-1为链的中间点。
2．最小支撑树（最小树）
具有最小权的支撑树称为最小支撑树。
13
3．求最小支撑树的方法
（1）避圈法 在图中选一条权数最小的边，在以后的每步中，总从未被选 取的边中选一条权数最小的边，并使之与已选取的边不构成圈（ 权数相同时，任选一条），直到选够n-1条边为止。
3
2
4 1 5
v2
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1.树的定义 ：连通且不含圈的无向图称为树。 次为1的点称为树叶，次大于1的点称为分枝点，树的边称 为树枝。
v2 v4 v2 v1 v4
d1 j = min( d1i wij )
i
设任一点vi到任一点 vj都有一条弧，如果（vi, vj）不是弧，则添 22 加弧（vi, vj），令wij=+∞
迭代过程：
①初始条件： t=1,d1j(1)=w1j (j=1,2,…,n) ，如果 v1 与 vj间 无边，其最短路长记为+∞ ②t=2,3,…
3
悬挂边：悬挂点的关联边
定理1：图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数 的两倍，即
Σd(v)=2q vV
定理2：任一图中，奇点的个数为偶数。
给定一个图G=(V,E)，一个点边的交错序列(vi1, ei1, vi2, ei2,…,vik-1,eik-1,vik)，如果满足eit=[vit,vit+1] (t=1,2,…,k1)，则称为一条联结vi1和vik的链，记为(vi1,vi2,…,vik)， 称点vi2, vi3,…,vik-1为链的中间点。
2．最小支撑树（最小树）
具有最小权的支撑树称为最小支撑树。
13
3．求最小支撑树的方法
（1）避圈法 在图中选一条权数最小的边，在以后的每步中，总从未被选 取的边中选一条权数最小的边，并使之与已选取的边不构成圈（ 权数相同时，任选一条），直到选够n-1条边为止。
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第六章-运筹学图与网络优化
9
6 3
3
4
7
2
53
4 31
5
1
7
4
4
第3节 最短路问题
一、最短路的含义
赋权有向图D (V，A)，图中各弧(vi，v j )有权wij， vs，vt为图D中任意两点，求一条路P， 使它是从vs到vt的所有路中总权最小的路，
即w(
P
)
min
wij 。
(vi，vj )P
定义：路P的权是P中所有弧的权之和，记为w(P)
习题6-3：用Dijkstra方法求解下图从v1到v9的 最短‘路’。
v2
11
v7
3 6
2
5
5
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8
v1
v3
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2 4
4
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4
v6
6
v8
第3节 最短路问题
三、最短路问题的应用 ✓ 设备更新问题
第3节 最短路问题
例10：某工厂使用一台设备，每年年初工厂都要作出决定， 如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备， 要付购买费。试制定一个5年的更新计划，使总支出最 少。已知设备在各年的购买费，及不同机器役龄时的 维修费如下表所示：
5
2
5 v6
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v7 8
习题6-2
2、
v2
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v3
第3节 最短路问题
（二）赋权无向图的最短‘路’问题的求解方 法
赋权无向图G=(V，E)，边[vi，vj]表示既可以 从vi到达vj，也可以从vj到达vi，所以边[vi， vj]可以看作是两条弧(vi，vj)和(vj，vi)，且 它们具有相同的权ωij。
运筹学第六章网络计划
工序(i,j)的总时差=(j)最迟开始时间-t(i,j) -(i)最早开始时间
工序(i,j)的自由时差=(j）最早开始时间- (i）最早完成时间
所有时间参数
例3（P136）某项课题研究工作分解的作业表如下。根据此表绘制此项科研工作的网络图，计算时间参数，并确定关键路线。
工序代号
工序
紧前工序
工序时间
（3）按照工作的新工时，重新计算网络计划的关键 路线及关键工序。
（4）再比较关键工序的直接费用率与间接费用率。
不断重复，直到使总费用上升为止。 （直接费用率>间接费用率）
注：若压缩引起出现多于一条新的关键路线时，需同时压缩各关键路线.
（因为不同时压，则工期不能缩短， 工期=关键工序上工时之和）
表示相邻工序时间分界点，称为事 项，
用 表示
（3）相邻弧：
表示工序的前后衔接关系，称为紧前 （或紧后）关系。
如
A
B
A是B的紧前工序，B是A的紧后工序。
A
（4）虚工序（虚箭线）
为表示工序前后衔接关系的需要而增加的。
6.1 网络计划图的绘制 6.2 时间参数计算与关键路线确定 6.3 网络图的调整及优化
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1.问题的一般提法：
设有一项工程，可分为若干道工序，已知各工序间 的先后关系以及各工序所需时间t。
问：
（1）工程完工期T？
（2）工程的关键工序有哪些？
若再各压缩1天
则应压缩B、C（同时压）
此时的直接费用率将是3+4=7>5
故最低成本工期为10天。
注：
（1）有时资料未给可压缩时间，但给了正常工作时间及最短工作时间。则压缩时间=正常工作时间-最短工作时间。
网络优化图及网络(运筹学)
27
(2,1) (0,S)
28
(2,1) (0,S)
(3,3)
29
(0,S) (3,3)
(2,1) (5,2)
30
(0,S)
(2,1) (5,2)
(3,3) (7,5)
31
(0,S)
(2,1) (5,2)
(3,3)
(7,5)
(8,4)
32
用WinQSB求解 把节点数和节点之间边的长度输入，节 点间没有边则不输入任何值 注意：无向图中i-j的边与j-i的边的长度相 同
C1 根
C2
C3
C4
叶
6
例5（石油流向管网示意图，P131）
此为一个有向图
v2
24
v5
20 8
11 10
v1
15
10
v4 8
v7
20
v3
6
v6
7
1 图的基本概念
无向图：G={V，E} V v1,v2,...,vp E e1,e2,...,eq
顶点或节点：v 边：e=eij=[vi,vj] =[vj,vi] 链：连接两个顶点的一个序列；例1中{a,b,c}，{a,b,e,d}等 圈：两个端点重合的链，例1中{a,b,c,a}，{a,b,d,a}等
v5
38
(16, v1)
v2
22
41
16 16
30
30
(0,S) v1
59
41(22, v1) v3
23
(30, v1) v4 23 17
v6
18 v5 (41, v1) 39
(16, v1) v2
16 16
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v1
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(2,1) (0,S)
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(2,1) (0,S)
(3,3)
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(2,1) (5,2)
(3,3) (7,5)
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(0,S)
(2,1) (5,2)
(3,3)
(7,5)
(8,4)
32
用WinQSB求解 把节点数和节点之间边的长度输入，节 点间没有边则不输入任何值 注意：无向图中i-j的边与j-i的边的长度相 同
C1 根
C2
C3
C4
叶
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例5（石油流向管网示意图，P131）
此为一个有向图
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1 图的基本概念
无向图：G={V，E} V v1,v2,...,vp E e1,e2,...,eq
顶点或节点：v 边：e=eij=[vi,vj] =[vj,vi] 链：连接两个顶点的一个序列；例1中{a,b,c}，{a,b,e,d}等 圈：两个端点重合的链，例1中{a,b,c,a}，{a,b,d,a}等
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(16, v1) v2
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v1
59
网络优化图及网络(运筹学)
详细描述
最短路径问题有多种算法，如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。这些算法通 过不断优化路径长度，最终找到最短路径。在现实生活中，最短路径问题广泛 应用于交通网络、通信网络和电力网络等领域。
最小生成树问题
总结词
最小生成树问题是图论中的另一个经典问题，旨在在给定连 通图中找到一棵包含所有节点且总权重最小的树。
网络优化图及网络(运筹学)
目 录
• 网络优化图概述 • 网络(运筹学)基础 • 网络优化模型 • 网络优化算法 • 网络优化实例分析 • 网络(运筹学)的未来发展与挑战
01
网络优化图概述
定义与特点
定义
网络优化图是一种数学模型，用于描 述现实世界中各种网络系统的结构和 行为。
特点
网络优化图具有节点和边的概念，能 够表示各种对象之间的关系和交互作 用，同时可以引入各种参数和约束条 件，以实现特定的优化目标。
详细描述
大数据的爆炸式增长使得传统的数据 处理和分析方法难以应对，需要采用 新的数据处理和分析技术，如分布式 计算、流处理等，以提高数据处理效 率。
人工智能与网络优化
总结词
人工智能技术的发展为网络优化提供了 新的思路和方法，可以更好地解决复杂 的问题。
VS
详细描述
人工智能技术如机器学习、深度学习等可 以用于网络优化，例如通过学习历史数据 来预测未来的流量和需求，从而更好地进 行资源调度和路径选择。
遗传算法通过模拟生物进化 过程中的自然选择和遗传机 制，不断迭代和优化种群中 的个体，最终找到最优解。
遗传算法适用于多目标优化、 约束满足问题等复杂问题，具 有较好的鲁棒性和全局搜索能
力。
05
网络优化实例分析
最短路径问题
最短路径问题有多种算法，如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。这些算法通 过不断优化路径长度，最终找到最短路径。在现实生活中，最短路径问题广泛 应用于交通网络、通信网络和电力网络等领域。
最小生成树问题
总结词
最小生成树问题是图论中的另一个经典问题，旨在在给定连 通图中找到一棵包含所有节点且总权重最小的树。
网络优化图及网络(运筹学)
目 录
• 网络优化图概述 • 网络(运筹学)基础 • 网络优化模型 • 网络优化算法 • 网络优化实例分析 • 网络(运筹学)的未来发展与挑战
01
网络优化图概述
定义与特点
定义
网络优化图是一种数学模型，用于描 述现实世界中各种网络系统的结构和 行为。
特点
网络优化图具有节点和边的概念，能 够表示各种对象之间的关系和交互作 用，同时可以引入各种参数和约束条 件，以实现特定的优化目标。
详细描述
大数据的爆炸式增长使得传统的数据 处理和分析方法难以应对，需要采用 新的数据处理和分析技术，如分布式 计算、流处理等，以提高数据处理效 率。
人工智能与网络优化
总结词
人工智能技术的发展为网络优化提供了 新的思路和方法，可以更好地解决复杂 的问题。
VS
详细描述
人工智能技术如机器学习、深度学习等可 以用于网络优化，例如通过学习历史数据 来预测未来的流量和需求，从而更好地进 行资源调度和路径选择。
遗传算法通过模拟生物进化 过程中的自然选择和遗传机 制，不断迭代和优化种群中 的个体，最终找到最优解。
遗传算法适用于多目标优化、 约束满足问题等复杂问题，具 有较好的鲁棒性和全局搜索能
力。
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网络优化实例分析
最短路径问题
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✓ 初等链：链中没有重复的点。 ✓ 初等圈：圈中没有重复的点。 ✓ 简单链：链中没有重复的边。 ✓ 简单圈：圈中没有重复的边。
第1节 图的基本概念
图例：
v1
e4
v4
e5
v5
e1
e3
e6
v2
e2
v3
e9
e7
v6
e8
v7
问：（v1，v2， v3， v4， v5， v3， v6， v7）？
（v1， v2， v3， v6， v7）？（v1， v2， v3， v4， v1）？
二、无向图的基本概念 ✓ 端点：两个点vi，vj属于V，边[vi，vj]属于E，
称vi，vj是边的端点。 ✓ 关连边：边[vi，vj]是点vi及点vj的关连边。 ✓ 环：边的两个端点相同。 ✓ 多重边：两个点之间多于一条的边。 ✓ 简单图：不含环和多重边的无向图。 ✓ 多重图：不含环，但含有多重边的无向图。
步中，总从未被选取的边中选一条权最小的 边，并使之与已选取的边不构成圈（每一步 中，如果有两条或两条以上最小权的边，则 任选一条）。
2倍。 ✓ 任何无向图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
第1节 图的基本概念
四、有向图的基本概念 ✓ 基础图：去掉有向图中所有弧上的箭头得到
的无向图。 ✓ 始点、终点：弧(vi，vj)中，称vi为弧的始点，
vj为弧的终点。
第1节 图的基本概念
五、图的综合概念
（一）无向图
✓ 链：无向图G中一个点、边交错序列
（v1， a2， v3， a8， v5，a10， v6）？
（v1，a2， v3， a4， v4， a6， v5， a8， v3）？
第2节 树
一、树的概念 ✓ 连通图：无向图中任意两点间至少有一条链
相连。（不连通图） ✓ 连通分图：不连通图中每个连通的部分。 ✓ 树：连通且不含圈的无向图。
第2节 树
(vi1，ei1，vi2，ei2，L
,v ，e ，v iK1
iK 1
iK
)，
若满足eit [vit , vit1 ](t 1，2，L ，k 1)，
称这个点边序列为连接vi1，vik的链。
✓ 圈：无向图G中，连结vi1与vik的一条链，
当vi1与vik 是同一个点时，称此链为圈。
第1节 图的基本有边的权之和为支撑树T的权，
记为w(T )，即w(T )
wij。
[vi，v j ]T
如果支撑树T 的权w(T )是G所有支撑树的权中最小的，
则称T 为G的最小支撑树。
第2节 树
✓ 最小支撑树的求解方法 方法一：避圈法 基本做法：首先选一条最小权的边，以后每一
（v4， v1， v2， v3， v5， v7， v6， v3， v4）？
（v1， v2， v3， v5， v4， v3， v4， v1）？
第1节 图的基本概念
（二）有向图
✓ 链：有向图D中一个点、弧交错序列
(vi1，ai1，vi2，ai2，L
,viK
，a 1
iK
，v 1
iK
)，
若此序列在基础图G(D)中所对应的点边序列是一条链，
✓ 支撑树的性质：图G有支撑树的充分必要条 件是图G是连通图。
第2节 树
图例：
v1
v2
v3
v1
v2
v3
v4
v5
v4
v5
支撑子图
第2节 树
四、最小支撑树
✓ 赋权图：图G (V，E)，对G中每一条边[vi，vj ]，
相应地有一个数wij，则称图G为赋权图， wij称为边[vi，vj ]上的权，表示距离、时间、费用等。
图。 ✓ 在树中不相邻的两个点之间添上一条边，则必得到
一个圈；反之再从该圈中任意去掉一条边，则必得 到一个树。
第2节 树
图例：
v1
v5
v2
v4
v3
第2节 树
三、支撑树 ✓ 支撑子图：设图G (V，E)，G (V ，E )，
V V，E E 称G是G的一个支撑子图。
✓ 支撑树：如果图G的支撑子图是一个树T， 则称树T是图G的一个支撑树。
第1节 图的基本概念
✓ 次：以点vi为端点的边的个数。 ✓ 悬挂点：次为1的点。 ✓ 悬挂边：连结悬挂点的边。 ✓ 奇点：次为奇数的点。 ✓ 偶点：次为偶数的点。 ✓ 孤立点：次为零的点。
第1节 图的基本概念
图例：
e1 e3
v1 e2
v2
v1
v3 e2
e1
v2
v4
不连通图
第1节 图的基本概念
三、无向图的基本性质 ✓ 任何无向图中，顶点次数的总和等于边数的
则称这个点弧序列是D的链。
✓ 路：有向图D中一条链
(vi1，ai1，vi2，ai2，L
,v ，a ，v iK1
iK 1
iK
)，
若满足ait =(vit，vit1 )(t 1，2，L ，k 1)，
则称这个点弧序列为从vi1到vik的一条路。
第1节 图的基本概念
✓ 回路：有向图D中，连结vi1与vik的一条链， 当vi1与vik 是同一个点时，称此路为回路。
二、树的性质
✓ 任何树中必然存在次为1的点。 （1）树中次为1的点称为树叶 （2）树中次大于1的点称为分枝点 ✓ 树的点有n个，则该树的边必有（n-1）条。 ✓ 任何具有n个点、（n-1）条边的连通图必是树。 ✓ 树中任意两点之间有且只有唯一一条链。 ✓ 从一个树中去掉任一条边，则余下的图必是不连通
v乙
v甲
v丙
v戊
v丁
第1节 图的基本概念
一、图的基本概念 ✓ 图：由一些点及一些点之间的连线组成。 ✓ 边：两点之间不带箭头的连线。 ✓ 弧：两点之间带箭头的连线。 ✓ 无向图：由点及边组成。 ✓ 有向图：由点及弧组成。
第1节 图的基本概念
图例：
v3
e1 e3
v1 e2
a2
a3
v2
v1
a1
v2
第1节 图的基本概念
第六章 图与网络优化
第六章 图与网络优化
第1节 图的基本概念 第2节 树 第3节 最短路问题 第4节 网络最大流问题
第1节 图的基本概念
例1：我国北京、上海等十个城市间的铁路交通 图如下图所示：
北京
天津
济南
青岛
郑州 武汉
徐州 南京
连云港 上海
第1节 图的基本概念
例2：有甲、乙、丙、丁、戊五个球队，他们 之间的比赛情况如下图所示：
✓ 初等路：路中没有重复的点。 ✓ 初等回路：回路中没有重复的点。
第1节 图的基本概念
图例：
v3
a8
v5
a2
v1
a3
a1
a4
a6
a10
v7
a9
a11
v6
a7
v2
a5
v4
问： （v3，a3， v2， a5， v4， a6， v5， a8， v3）？
（v1， a2， v3， a4， v4，a7， v6）？
第1节 图的基本概念
图例：
v1
e4
v4
e5
v5
e1
e3
e6
v2
e2
v3
e9
e7
v6
e8
v7
问：（v1，v2， v3， v4， v5， v3， v6， v7）？
（v1， v2， v3， v6， v7）？（v1， v2， v3， v4， v1）？
二、无向图的基本概念 ✓ 端点：两个点vi，vj属于V，边[vi，vj]属于E，
称vi，vj是边的端点。 ✓ 关连边：边[vi，vj]是点vi及点vj的关连边。 ✓ 环：边的两个端点相同。 ✓ 多重边：两个点之间多于一条的边。 ✓ 简单图：不含环和多重边的无向图。 ✓ 多重图：不含环，但含有多重边的无向图。
步中，总从未被选取的边中选一条权最小的 边，并使之与已选取的边不构成圈（每一步 中，如果有两条或两条以上最小权的边，则 任选一条）。
2倍。 ✓ 任何无向图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
第1节 图的基本概念
四、有向图的基本概念 ✓ 基础图：去掉有向图中所有弧上的箭头得到
的无向图。 ✓ 始点、终点：弧(vi，vj)中，称vi为弧的始点，
vj为弧的终点。
第1节 图的基本概念
五、图的综合概念
（一）无向图
✓ 链：无向图G中一个点、边交错序列
（v1， a2， v3， a8， v5，a10， v6）？
（v1，a2， v3， a4， v4， a6， v5， a8， v3）？
第2节 树
一、树的概念 ✓ 连通图：无向图中任意两点间至少有一条链
相连。（不连通图） ✓ 连通分图：不连通图中每个连通的部分。 ✓ 树：连通且不含圈的无向图。
第2节 树
(vi1，ei1，vi2，ei2，L
,v ，e ，v iK1
iK 1
iK
)，
若满足eit [vit , vit1 ](t 1，2，L ，k 1)，
称这个点边序列为连接vi1，vik的链。
✓ 圈：无向图G中，连结vi1与vik的一条链，
当vi1与vik 是同一个点时，称此链为圈。
第1节 图的基本有边的权之和为支撑树T的权，
记为w(T )，即w(T )
wij。
[vi，v j ]T
如果支撑树T 的权w(T )是G所有支撑树的权中最小的，
则称T 为G的最小支撑树。
第2节 树
✓ 最小支撑树的求解方法 方法一：避圈法 基本做法：首先选一条最小权的边，以后每一
（v4， v1， v2， v3， v5， v7， v6， v3， v4）？
（v1， v2， v3， v5， v4， v3， v4， v1）？
第1节 图的基本概念
（二）有向图
✓ 链：有向图D中一个点、弧交错序列
(vi1，ai1，vi2，ai2，L
,viK
，a 1
iK
，v 1
iK
)，
若此序列在基础图G(D)中所对应的点边序列是一条链，
✓ 支撑树的性质：图G有支撑树的充分必要条 件是图G是连通图。
第2节 树
图例：
v1
v2
v3
v1
v2
v3
v4
v5
v4
v5
支撑子图
第2节 树
四、最小支撑树
✓ 赋权图：图G (V，E)，对G中每一条边[vi，vj ]，
相应地有一个数wij，则称图G为赋权图， wij称为边[vi，vj ]上的权，表示距离、时间、费用等。
图。 ✓ 在树中不相邻的两个点之间添上一条边，则必得到
一个圈；反之再从该圈中任意去掉一条边，则必得 到一个树。
第2节 树
图例：
v1
v5
v2
v4
v3
第2节 树
三、支撑树 ✓ 支撑子图：设图G (V，E)，G (V ，E )，
V V，E E 称G是G的一个支撑子图。
✓ 支撑树：如果图G的支撑子图是一个树T， 则称树T是图G的一个支撑树。
第1节 图的基本概念
✓ 次：以点vi为端点的边的个数。 ✓ 悬挂点：次为1的点。 ✓ 悬挂边：连结悬挂点的边。 ✓ 奇点：次为奇数的点。 ✓ 偶点：次为偶数的点。 ✓ 孤立点：次为零的点。
第1节 图的基本概念
图例：
e1 e3
v1 e2
v2
v1
v3 e2
e1
v2
v4
不连通图
第1节 图的基本概念
三、无向图的基本性质 ✓ 任何无向图中，顶点次数的总和等于边数的
则称这个点弧序列是D的链。
✓ 路：有向图D中一条链
(vi1，ai1，vi2，ai2，L
,v ，a ，v iK1
iK 1
iK
)，
若满足ait =(vit，vit1 )(t 1，2，L ，k 1)，
则称这个点弧序列为从vi1到vik的一条路。
第1节 图的基本概念
✓ 回路：有向图D中，连结vi1与vik的一条链， 当vi1与vik 是同一个点时，称此路为回路。
二、树的性质
✓ 任何树中必然存在次为1的点。 （1）树中次为1的点称为树叶 （2）树中次大于1的点称为分枝点 ✓ 树的点有n个，则该树的边必有（n-1）条。 ✓ 任何具有n个点、（n-1）条边的连通图必是树。 ✓ 树中任意两点之间有且只有唯一一条链。 ✓ 从一个树中去掉任一条边，则余下的图必是不连通
v乙
v甲
v丙
v戊
v丁
第1节 图的基本概念
一、图的基本概念 ✓ 图：由一些点及一些点之间的连线组成。 ✓ 边：两点之间不带箭头的连线。 ✓ 弧：两点之间带箭头的连线。 ✓ 无向图：由点及边组成。 ✓ 有向图：由点及弧组成。
第1节 图的基本概念
图例：
v3
e1 e3
v1 e2
a2
a3
v2
v1
a1
v2
第1节 图的基本概念
第六章 图与网络优化
第六章 图与网络优化
第1节 图的基本概念 第2节 树 第3节 最短路问题 第4节 网络最大流问题
第1节 图的基本概念
例1：我国北京、上海等十个城市间的铁路交通 图如下图所示：
北京
天津
济南
青岛
郑州 武汉
徐州 南京
连云港 上海
第1节 图的基本概念
例2：有甲、乙、丙、丁、戊五个球队，他们 之间的比赛情况如下图所示：
✓ 初等路：路中没有重复的点。 ✓ 初等回路：回路中没有重复的点。
第1节 图的基本概念
图例：
v3
a8
v5
a2
v1
a3
a1
a4
a6
a10
v7
a9
a11
v6
a7
v2
a5
v4
问： （v3，a3， v2， a5， v4， a6， v5， a8， v3）？
（v1， a2， v3， a4， v4，a7， v6）？