线性规划--基本概念
线性规划基本模型
在每次迭代中，单纯形法会根据目标函数的 系数和约束条件，通过一系列的数学运算， 将问题转化为更简单的形式，直到找到最优 解或确定无解。
单纯形法具有简单易懂、易于实现 的特点，是解决线性规划问题最常 用的方法之一。
对偶问题
等式约束
等式约束优化是指在优化问题中包含等式约束的线性规划问题。等式约束通常 表示决策变量之间的关系，满足等式约束是找到最优解的必要条件。
求解算法
对于包含等式约束的线性规划问题，可以采用一些特殊的算法进行求解，如消 元法或拉格朗日乘子法。这些算法能够更高效地处理等式约束，并找到最优解。
05
线性规划的扩展模型
线性规划基本模型
• 线性规划概述 • 线性规划的基本概念 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的优化方法 • 线性规划的扩展模型 • 线性规划的实际应用案例
01
线性规划概述
定义与特点
定义
线性规划是一种数学优化方法，通过 在一定的约束条件下最大化或最小化 一个线性目标函数，来找到一组变量 的最优解。
现状
目前，线性规划已经发展成为一 个成熟的学科分支，有许多成熟 的算法和软件工具可用于解决各 种实际问题。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组
01
线性规划问题通常由一组线性方程组成，这些方程描述了决策
变量之间的关系。
线性方程的解
02
线性方程组可能有多个解，但在线性规划中，我们通常只关心
满足特定约束条件的解。
资源利用
线性规划可以确定最佳的资源利用方案，包括原材料、设备、劳动力等，以最小化生产成本或最大化 利润。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种数学优化方法，用于解决线性约束下的最优化问题。
它的基本思想是通过线性目标函数和线性约束条件，找到使目标函数取得最大（或最小）值的变量取值。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中c1, c2, ..., cn为常数，x1,x2, ..., xn为决策变量。
2. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，用于表示问题的解。
决策变量通常用x1, x2, ..., xn表示。
3. 约束条件：约束条件是对决策变量的限制条件，用于限定解的可行域。
约束条件通常表示为a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1, a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2, ..., am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm，其中a11, a12, ..., amn为常数，b1, b2, ..., bm为常数。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大（或最小）值的解称为最优解。
三、线性规划的解法线性规划问题可以通过以下几种方法求解：1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线图，找到最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种迭代算法，通过不断移动到更优的解来寻找最优解。
它从一个可行解开始，每次迭代都朝着更优的方向移动，直到找到最优解或证明问题无解。
3. 对偶理论：线性规划问题可以通过对偶理论转化为对偶问题，并通过求解对偶问题来获得原始问题的最优解。
4. 整数线性规划：当决策变量需要取整数值时，问题称为整数线性规划。
整数线性规划问题通常比线性规划问题更难求解，可以使用分支定界法等方法进行求解。
线性规划基础
知识详解1.线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x，y的约束条件，这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x，y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．2.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解3.解线性规划实际问题的步骤：（1）列出约束条件与目标函数；（2）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值；（3）验证.4. 主要的目标函数的几何意义:（1）-----直线的截距；（2）-----两点的距离或圆的半径；（3）-----直线的斜率一．二元一次不等式(组)表示的平面区域例1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )例2. (2020·汉中质检)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y －1≥0，y ≥0所表示的平面区域的面积等于________．二.目标函数形如z=ax+by 型：例1（2008.全国Ⅱ）设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值是（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-解：画出可行域（如图1），由y x z 3-=可得331z x y -=，所以3z -表示直线331zx y -=的纵截距，由图可知当直线过点A （-2，2）时，z 的最小值是-8，选D.三.目标函数形如ax by z --=型：：画出可行域（如图2），yx表示可行域内的点（x,y=6，KOC =59，所以6≤，选A.1.已知变量满足约束条件，则的最大值为( )2. (2012年高考·辽宁卷 理8)设变量满足，则的最大值为4. A.⎣⎡C ．6A ．C ．7. 8如果点P 在平面区域⎪⎩⎨≥-≤-+01202y y x 上,点O 在曲线的那么上||,1)2(22PQ y x=++最小值为____9.设,x y 满足约束条件3602000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数,(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为6，则46a b +的最小值为_______、10.某糖果厂生产A 、B 两种糖果，A 种糖果每箱获利润40元，B 种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混,x y 241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩3z x y =+()A 12()B 11()C 3()D -1,x y -100+20015x y x y y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩2+3x y合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间（单位：分钟）每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12机器小时，烹调的设备至多只能用机器30机器小时，包装的设备只能用机器15机器小时，试用每种糖果各生产多少箱可获得最大利润．11.某工厂利用两种燃料生产三种不同的产品A、B、C，每消耗一吨燃料与产品A、B、C有下列关系：现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为3:2，现需要三种产品A、B、C各50吨、63吨、65吨．问如何使用两种燃料，才能使该厂成本最低？。
线性规划--基本概念
线性规划–基本概念简介线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种数学优化技术，用于寻找最佳解决方案。
它被广泛应用于工程、经济学、商业和其他领域，以帮助决策者做出最佳决策。
基本概念1. 线性规划模型线性规划模型由一个目标函数和一组约束条件组成。
目标函数是需要最小化或最大化的线性函数，约束条件是关于决策变量的线性不等式或等式。
2. 决策变量决策变量是影响问题解决方案的变量。
在线性规划中，这些变量通常代表着可供决策者调整的资源或决策参数。
3. 目标函数目标函数是需要优化的线性函数。
在线性规划中，最常见的目标是最大化利润或最小化成本，目标函数通常用代数符号表示。
4. 约束条件约束条件是问题中必须满足的条件。
这些条件通常由一组线性不等式或等式组成，描述了决策变量的限制范围。
5. 最优解线性规划的目标是找到满足所有约束条件下使目标函数达到最小值或最大值的决策变量值。
这些决策变量值组成了最优解。
6. 可行解满足所有约束条件的解决方案被称为可行解。
线性规划求解过程中，需要找到一个可行解才能进行优化。
7. 线性可分线性规划要求问题中的目标函数和约束条件都是线性的。
这意味着这些函数和不等式都可以用直线表示，且在图形上相交于有限个点。
求解方法1. 单纯形法单纯形法是最常用的线性规划求解方法之一。
它通过不断移动目标函数的极值点来寻找最优解，直到无法再改进为止。
2. 内点法内点法是另一种常用的线性规划求解方法，它通过在内部点迭代来逼近最优解。
与单纯形法相比，内点法在大规模问题上具有更好的性能。
3. 混合整数线性规划混合整数线性规划（Mixed Integer Linear Programming，简称MILP）扩展了线性规划，允许决策变量为整数。
这种形式的问题更难求解，通常需要使用分支定界等复杂算法。
应用领域线性规划在许多领域都有广泛的应用：•生产计划：优化生产线的效率和成本。
•供应链管理：优化库存水平和运输成本。
线性规划知识点
线性规划知识点线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、物流管理等。
本文将详细介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及应用案例。
一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ，其中c₁、c₂、...、cₙ为系数，x₁、x₂、...、xₙ为决策变量。
2. 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性约束条件，通常表示为a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ ≤ b，其中a₁、a₂、...、aₙ为系数，b为常数。
3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
可行解构成了可行域，即决策变量的取值范围。
4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大或最小值的解称为最优解。
最优解可能是唯一的，也可能存在多个。
二、模型建立1. 决策变量：线性规划的决策变量是问题中需要决策的量，通常表示为x₁、x₂、...、xₙ。
2. 目标函数：根据问题的具体要求，确定目标函数的系数。
如果是最大化问题，系数一般为正；如果是最小化问题，系数一般为负。
3. 约束条件：根据问题中的限制条件，建立线性约束条件。
将约束条件表示为不等式形式，并确定各个约束条件的系数和常数。
4. 可行域：根据约束条件的线性不等式，确定决策变量的取值范围，即可行域。
三、求解方法1. 图解法：对于二维问题，可以使用图解法求解。
将目标函数和约束条件绘制在坐标系中，通过图形的交点确定最优解。
2. 单纯形法：对于高维问题，单纯形法是最常用的求解方法。
它通过迭代计算，逐步优化目标函数的值，直到找到最优解。
3. 整数规划：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法求解。
整数规划是线性规划的扩展，增加了变量取整的限制条件。
四、应用案例1. 生产计划：某公司有限定的资源和订单需求，需要确定各个产品的生产数量，以最大化总利润为目标。
数学公式知识：线性规划的基本概念与解法
数学公式知识：线性规划的基本概念与解法线性规划是一种数学优化方法，它的目的是在一组线性约束条件下，最大化或最小化一个线性目标函数。
基本概念
1.线性函数
线性函数是指满足以下两个条件的函数：（1）任意两个自变量的加权和的值，等于这两个自变量各自代入函数后的加权和的值；（2）函数的系数是定值。
2.线性规划模型
线性规划模型是由线性约束条件和线性目标函数组成的模型。
线性约束条件包括不等式约束条件和等式约束条件。
线性目标函数表示需要优化的目标。
3.线性规划问题
线性规划问题是指在一组线性约束条件下，求解线性目标函数的最大值或最小值。
4.线性规划的基本形式
线性规划的基本形式是将问题转化为以下形式：最大化cT x （或最小化cT x），使得Ax≤b，x≥0，其中c、x和b都是向量，A是一个矩阵。
解法
线性规划的解法分为两种：图形法和单纯性法。
1.图形法
图形法是一种直观的方法，它使用二维或三维图形表示变量的取值范围，并在此基础上确定最优解。
2.单纯性法
单纯性法是一种基于矩阵运算的高效解法。
它通过不断地迭代，减少约束条件的个数，并在此过程中找到最优解。
线性规划在实际应用中具有广泛的应用，例如，生产成本优化、库存管理、交通运输规划等。
它是一种非常有用的工具，可以帮助管理者更有效地制定决策方案。
线性规划知识点
线性规划知识点一、什么是线性规划线性规划是一种数学优化方法，用于解决在给定约束条件下的线性目标函数的最优化问题。
线性规划的目标函数和约束条件都是线性的，因此可以通过线性代数的方法进行求解。
线性规划在实际问题中有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
二、线性规划的基本要素1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，通常表示为Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ，其中 Z 为目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ 为系数，x₁,x₂, ..., xₙ 为决策变量。
2. 决策变量：决策变量是问题中需要决策的变量，通常表示为x₁, x₂, ..., xₙ。
决策变量的取值决定了目标函数的值。
3. 约束条件：约束条件限制了决策变量的取值范围。
约束条件可以是等式约束或不等式约束，通常表示为 a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁，a₂₁x₁ +a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂，...，aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ，其中 a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ 为系数，b₁, b₂, ..., bₙ 为常数。
4. 非负约束：线性规划中通常要求决策变量的取值非负，即 x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, ...,xₙ ≥ 0。
三、线性规划的解法线性规划可以通过不同的方法进行求解，常见的方法包括图形法、单纯形法和内点法。
1. 图形法：图形法适用于二维或三维的线性规划问题。
首先将目标函数和约束条件转化为几何形式，然后在坐标系中绘制约束条件的图形，最后通过图形的分析找到最优解点。
2. 单纯形法：单纯形法是一种通过迭代寻找最优解的方法。
该方法从一个可行解开始，通过不断移动到相邻的可行解来逐步接近最优解。
单纯形法的核心是单纯形表，通过表格的变换和计算来确定下一个迭代点，直到找到最优解。
3. 内点法：内点法是一种通过迭代寻找最优解的方法。
高中线性规划
高中线性规划高中线性规划是高中数学课程中的一个重要内容，它是线性代数的一部分，主要涉及到线性方程组的解法和应用。
线性规划是一种优化问题，通过数学模型和计算方法，寻找使目标函数达到最大或最小的变量值。
在实际应用中，线性规划可以用于资源分配、生产计划、投资决策等方面。
一、线性规划的基本概念线性规划的基本概念包括目标函数、约束条件和可行解。
目标函数是需要最大化或最小化的线性函数，约束条件是限制变量取值范围的线性不等式或等式，可行解是满足所有约束条件的变量取值组合。
二、线性规划的解法线性规划的解法主要有图形法、单纯形法和对偶理论等。
其中，图形法适用于二维线性规划问题，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等值线，找到最优解。
单纯形法是一种迭代计算方法，通过不断调整基变量和非基变量的取值，逐步接近最优解。
对偶理论是线性规划的一个重要理论基础，通过对原始问题和对偶问题的转化和求解，可以得到最优解。
三、线性规划的应用案例1. 资源分配问题：某公司有限定的人力和物力资源，需要合理安排生产计划，以最大化利润。
通过线性规划，可以确定各项生产任务的分配比例，使得总利润最大化。
2. 投资决策问题：某投资者有一定的资金，希望通过投资股票和债券来获取最大的回报。
通过线性规划，可以确定投资比例，使得预期收益最大化。
3. 运输问题：某物流公司需要将货物从多个仓库运送到多个客户处，希望通过合理的运输方案，使得运输成本最小。
通过线性规划，可以确定货物的运输路径和运输量，使得总运输成本最小化。
四、线性规划的局限性线性规划在实际应用中存在一定的局限性。
首先，线性规划的模型假设目标函数和约束条件均为线性关系，但实际问题中往往存在非线性关系。
其次，线性规划的解法可能存在多个最优解或无解的情况，需要结合实际情况进行判断。
此外，线性规划对数据的准确性要求较高，对于不确定性较大的问题，可能需要引入其他方法进行处理。
总结：高中线性规划是数学课程中的一部分，主要涉及到线性方程组的解法和应用。
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Profit & Gambit 公司问题之代数模式
令 TV = 电视广告的单位数量 PM = 平面媒体广告的单位数量
最小化 成本 = TV + 2 PM (百万美元) 受限于 去溃剂增加的销售量： PM ≥ 3 液状洗衣精增加的销售量： 3 TV + 2 PM ≥ 18 洗衣粉增加的销售量： –TV + 4 PM ≥ 4
– 「采用线性模式」告诉规划求解这是一个线性规划模式 – 「采用非负值」会将非负限制式加到所有变动储存格
「规划求解结果」对话视窗
最佳解
Profit & Gambit 公司
➢ 管理阶层决定推动一个新的广告活动，并把目标锁定在以下三种 主要产品上：
– 喷雾去渍剂 – 液态洗衣精 – 洗衣粉
➢ 这个活动将运用电视及平面媒体作广告
伟伯玻璃公司产品组合问题
➢ 伟伯公司发展以下的新产品：
– 铝框 8 呎玻璃门 – 4 呎 6 呎可双面悬挂的木框窗户
➢ 公司拥有三间工厂 ：
– 工厂 1：生产铝框及金属器件 – 工厂 2：生产木框 – 工厂 3：生产玻璃并进行门及窗户的组装
问题：
1. 公司是否应该从事新产品的生产？ 2. 如果是的话，最佳的产品组合为何？
发展试算表模式
➢ 步骤一：资料储存格
– 在试算表上输入问题所有相关的资料 – 使用一致性的栏与列储存方式 – 利用不同颜色来显示这些「资料储存格」（例如：浅色）是不错
的方法
发展试算表模式（续）
➢ 步骤二：变动储存格
– 在试算表上替每个需要做的决策设置一储存格 – 若是你没有特殊的起始解（initial values）考量，只要输入 0 即
➢ 求出目标函数线的斜率，所有的目标函数线的斜率要 相同。
➢ 以这个斜率，在可行区域内往可改善目标值的方向移 动线段，直到此线段与可行区域只交于一点即停止移 动，包含这条线段的直线即是最佳目标函数线。
➢ 在最佳目标函数线上的可行点即为最佳解。
一个生产问题
原物料每周供给量：
8 个小木块
产品：
6 个大木块
➢ 求出目标函数线的斜率，所有的目标函数线的斜率要 相同。
➢ 以这个斜率，在可行区域内往可改善目标值的方向移 动线段，直到此线段与可行区域只交于一点即停止移 动，包含这条线段的直线即是最佳目标函数线。
➢ 在最佳目标函数线上的可行点即为最佳解。
辨识目标储存格与变动储存格
➢ 从「工具」选单选择「规划求解」 ➢ 在「设定目标储存格」视窗中，选择你想要最佳化的
可 – 利用颜色与框线等来显示这些「变动储存格」（例如：浅色并
加框线）是不错的方法
发展试算表模式（续）
• 步骤三：目标储存格
– 发展一个方程式来定义模式的目标 – 基本上此方程式涉及资料储存格与变动储存格以便决定感兴
趣的数量（例如：总利润或总成本） – 利用颜色来显示这个储存格（例如：深色并加粗框线）是不
线性规划--基本概念
2020年4月19日星期日
学习目标
➢ 在读完本章后，你应该能够：
1. 解释什么是「线性规划」。 2. 了解建构试算表模式前所必须找出的三项核心问题。 3. 指出及确认线性规划试算表模式中四种储存格的目的。 4. 根据问题描述于试算表中建构线性规划模式。 5. 在试算表中表示线性规划模型的代数式。 6. 运用图解法求解双变数线性规划问题。 7. 使用 Excel 求解线性规划试算表模式。
桌子
利润 = $20/桌子
椅子
玻璃门的产能
满足 D ≤ 4 之非负解
木 框 窗 户 的 产 能
玻璃门的产能
满足 2W ≤ 12 之非负解
木 框 窗 户 的 产 能
玻璃门的产能
限制式 3D + 2W ≤ 18 之边界线
木 框 窗 户 的 产 能
玻璃门的产能
改变右侧值将产生一些平行的限制式边界线
木 框 窗 户 的 产 能
玻璃门的产能
TV ≥ 0, PM ≥ 0
运用图解法
平面媒体广告的单位数量 可行 区域
电视广告的单位数量
最佳解
平面媒体广告的单位数量
可行 区域
最佳解 电视广告的单位数量
图解法摘要
➢ 画出每个函数限制式的限制边界线，利用原点（或其 他不在线上的点）决定线的哪一边才能满足限制式。
➢ 确定是否同时满足所有的限制式，找出可行区域。
错的方法
发展试算表模式（续）
➢ 步骤四：限制式
– 对于受限制的资源，在试算表某一储存格中计算该资源使用 量（输出储存格）
– 在三个连续的储存格中定义限制式。例如：若数量A <= 数量 B，将此三项（数量A、 <=、 数量B）置于相邻的储存格
一组试验解
➢伟伯问题试算表中将一组试验解（4 扇门及3个窗户） 输入于变动储存格
满足 3D + 2W ≤ 18 之非负解
木 框 窗 户 的 产 能
玻璃门的产能
可行解区域之示意图
目标函数（P = 1,500）
木框窗户的生产率
可行 区域
玻璃门的生产率
寻找最佳解
图解法摘要
➢ 画出每个函数限制式的限制边界线，利用原点（或其 他不在线上的点）决定线的哪一边才能满足限制式。
➢ 确定是否同时满足所有的限制式，找出可行区域。
➢ 最根本的目标是希望增加这些产品的销售量
➢ 管理阶层为该广告活动订定以下目标：
– 去渍剂的销售额至少要增加 3%。 – 洗衣精的销售额至少要增加 18%。 – 洗衣粉的销售额至少要增加 4%。
问题：目标是要决定于各种媒体应该广告多少数量，在达到销售目 标的前提下，使总成本最小化？
Profit & Gambit 公司试算表模式
储存格 ➢ 依据你是否要最大化或最小化目标储存格，选择「最
大值」或「最小值」 ➢ 在「变动储存格」入限制式，选择限制式视窗右侧的「新增」按 钮
➢ 在「新增限制式」对话视窗中输入限制式相关资料
完整的「规划求解」对话视窗
一些重要的选项
➢ 按「选项」钮，并且选取「采用线性模式」以及「采 用非负值」二个选项
伟伯玻璃公司之代数模式
令 D = 玻璃门的生产数量 W =木框窗户的生产数量
最大化 P = $300D + $500W 受限于
D≤4 2W ≤ 12 3D + 2W ≤ 18 且 D ≥ 0, W ≥ 0
产品组合示意图
满足限制式：D ≥ 0 及 W ≥ 0之区域示意图
木 框 窗 户 的 产 能