线性规划的概念
线性规划知识点
线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最优解问题。
它在运筹学、管理科学、经济学等领域有着广泛的应用。
线性规划的目标是通过线性目标函数的最小化或最大化，找到使得一系列线性约束条件得到满足的最优解。
二、基本概念1. 线性规划模型线性规划模型由目标函数和约束条件组成。
目标函数是需要最小化或最大化的线性函数，约束条件是一系列线性不等式或等式。
2. 可行解可行解是满足所有约束条件的解。
在线性规划中，可行解构成了一个可行域，即满足所有约束条件的解的集合。
3. 最优解最优解是使得目标函数取得最小或最大值的可行解。
在线性规划中，最优解可以是有限的，也可以是无穷的。
4. 线性规划的标准形式线性规划的标准形式包括以下特点：- 目标函数为最小化形式；- 所有约束条件为等式形式；- 变量的取值范围为非负数。
1. 图形法图形法是线性规划最直观的解法之一。
它通过绘制变量的可行域图形，找到目标函数的最优解。
2. 单纯形法单纯形法是一种迭代算法，通过不断地移动解的位置来逐步逼近最优解。
它是线性规划中应用最广泛的解法之一。
3. 对偶理论对偶理论是线性规划中的重要概念之一。
它通过将原始问题转化为对偶问题，从而得到原始问题的最优解。
四、线性规划的应用线性规划在实际生活中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 生产计划线性规划可以用于确定最佳的生产计划，以最小化生产成本或最大化利润。
2. 运输问题线性规划可以用于解决运输问题，如货物的最佳配送方案、最短路径等。
3. 金融投资线性规划可以用于优化投资组合，以最大化投资收益或最小化风险。
4. 资源分配线性规划可以用于确定最佳的资源分配方案，如人力资源、物资等。
尽管线性规划在许多问题中有着广泛的应用，但它也存在一些局限性：1. 线性假设线性规划的基本假设是目标函数和约束条件都是线性的，这限制了它在处理非线性问题上的应用。
2. 离散性问题线性规划通常适用于连续变量的问题，对于离散变量的问题，它的应用受到限制。
线性规划知识点
线性规划知识点一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，如经济学、管理学、工程学等。
本文将详细介绍线性规划的基本概念、模型构建、求解方法以及应用案例。
二、基本概念1. 变量：线性规划中的变量是决策的对象，通常用x1、x2、...、xn表示。
2. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn。
3. 约束条件：线性规划的变量需要满足一系列线性约束条件，通常表示为a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1，...，am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm。
4. 非负约束：线性规划中的变量通常需要满足非负约束条件，即xi ≥ 0。
三、模型构建1. 目标函数的确定：根据问题的具体要求，确定最大化或最小化的目标函数。
2. 约束条件的确定：根据问题的限制条件，确定各个变量的线性约束条件。
3. 变量的非负约束：确定各个变量的非负约束条件。
四、求解方法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。
首先画出目标函数的等高线图和约束条件的线性图形，然后找到使目标函数取得最大（最小）值的交点。
2. 单纯形法：对于多维线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。
该方法通过迭代计算，逐步找到使目标函数取得最大（最小）值的解。
3. 整数规划方法：当变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。
该方法通过将线性规划问题转化为整数规划问题，并应用相应的算法进行求解。
五、应用案例假设某公司生产两种产品A和B，产品A每单位利润为10元，产品B每单位利润为15元。
公司的生产能力限制为每天生产不超过100个单位的产品A和150个单位的产品B。
另外，公司还有两个约束条件：产品A的生产量不能超过产品B的两倍，产品B的生产量不能超过产品A的三倍。
问如何安排生产计划以最大化利润。
高中线性规划
高中线性规划高中线性规划是高中数学课程中的一个重要内容，它是线性代数的一部份，主要涉及到线性方程组的解法和应用。
线性规划是一种优化问题，通过数学模型和计算方法，寻觅使目标函数达到最大或者最小的变量值。
在实际应用中，线性规划可以用于资源分配、生产计划、投资决策等方面。
一、线性规划的基本概念线性规划的基本概念包括目标函数、约束条件和可行解。
目标函数是需要最大化或者最小化的线性函数，约束条件是限制变量取值范围的线性不等式或者等式，可行解是满足所有约束条件的变量取值组合。
二、线性规划的解法线性规划的解法主要有图形法、单纯形法和对偶理论等。
其中，图形法适合于二维线性规划问题，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等值线，找到最优解。
单纯形法是一种迭代计算方法，通过不断调整基变量和非基变量的取值，逐步接近最优解。
对偶理论是线性规划的一个重要理论基础，通过对原始问题和对偶问题的转化和求解，可以得到最优解。
三、线性规划的应用案例1. 资源分配问题：某公司有限定的人力和物力资源，需要合理安排生产计划，以最大化利润。
通过线性规划，可以确定各项生产任务的分配比例，使得总利润最大化。
2. 投资决策问题：某投资者有一定的资金，希翼通过投资股票和债券来获取最大的回报。
通过线性规划，可以确定投资比例，使得预期收益最大化。
3. 运输问题：某物流公司需要将货物从多个仓库运送到多个客户处，希翼通过合理的运输方案，使得运输成本最小。
通过线性规划，可以确定货物的运输路径和运输量，使得总运输成本最小化。
四、线性规划的局限性线性规划在实际应用中存在一定的局限性。
首先，线性规划的模型假设目标函数和约束条件均为线性关系，但实际问题中往往存在非线性关系。
其次，线性规划的解法可能存在多个最优解或者无解的情况，需要结合实际情况进行判断。
此外，线性规划对数据的准确性要求较高，对于不确定性较大的问题，可能需要引入其他方法进行处理。
总结：高中线性规划是数学课程中的一部份，主要涉及到线性方程组的解法和应用。
线性规划的定义及解题方法
线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。
它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。
线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。
本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。
一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。
它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。
通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。
在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。
这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。
例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。
这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。
二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。
决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。
2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。
3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。
例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。
4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。
它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。
高中线性规划
高中线性规划线性规划是运筹学中的一种优化方法，用于在给定的约束条件下寻觅一个线性目标函数的最优解。
在高中数学中，线性规划是一个重要的内容，它可以匡助我们解决一些实际问题，例如资源分配、生产计划等。
一、线性规划的基本概念线性规划的基本概念包括目标函数、约束条件和可行解。
目标函数是我们要优化的线性函数，通常表示为最大化或者最小化某个变量。
约束条件是限制目标函数变量的取值范围的条件，可以是等式或者不等式。
可行解是满足所有约束条件的解。
二、线性规划的数学模型线性规划可以通过数学模型来表示。
设有n个决策变量x1, x2, ..., xn，目标函数为f(x1, x2, ..., xn)，约束条件为g1(x1, x2, ..., xn)≤b1, g2(x1, x2, ..., xn)≤b2, ...,gm(x1, x2, ..., xn)≤bm。
其中，f(x1, x2, ..., xn)为线性函数，g1(x1, x2, ..., xn)≤b1,g2(x1, x2, ..., xn)≤b2, ..., gm(x1, x2, ..., xn)≤bm为线性不等式。
三、线性规划的求解方法线性规划可以使用图形法、单纯形法等方法进行求解。
其中，图形法适合于二维问题，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线，找到最优解。
而单纯形法适合于多维问题，通过构造初始单纯形表，不断迭代求解，找到最优解。
四、线性规划的应用举例1.资源分配问题：某工厂生产两种产品A和B，每天可用的资源有限，产品A和B的生产所需资源不同，且每种产品的利润也不同。
如何合理分配资源，使得利润最大化？2.生产计划问题：某工厂需要生产多种产品，每种产品的生产时间、所需资源和利润不同。
如何安排生产计划，使得产量最大化同时资源利用率最高？3.投资组合问题：某投资者有多种投资标的可选，每种标的的收益率、风险和投资额不同。
如何合理选择投资标的，使得收益最大化同时风险最小化？五、线性规划的局限性线性规划方法在解决一些实际问题时可能存在一些局限性。
线性规划知识点
线性规划知识点线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它可以帮助我们在资源有限的情况下，找到最佳的解决方案。
本文将详细介绍线性规划的基本概念、模型构建、求解方法以及应用领域。
一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，该函数被称为目标函数。
例如，最大化利润或最小化成本。
2. 约束条件：线性规划问题通常有一系列线性约束条件，用于限制变量的取值范围。
例如，生产数量不能超过资源限制。
3. 变量：线性规划问题中的变量是我们要优化的决策变量。
例如，生产的数量或分配的资源。
4. 非负约束：线性规划的变量通常需要满足非负约束，即变量的取值必须大于等于零。
二、模型构建线性规划问题的模型构建包括确定目标函数、约束条件和变量的定义。
下面以一个简单的生产问题为例进行说明。
假设某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A的利润为10元，产品B的利润为15元。
工厂拥有两台机器，每台机器每天的工作时间为8小时。
生产一单位产品A需要2小时，生产一单位产品B需要3小时。
工厂希望确定每种产品的生产数量，以最大化总利润。
目标函数：最大化总利润，即10A + 15B。
约束条件：工作时间约束，即2A + 3B ≤ 16。
非负约束：A ≥ 0，B ≥ 0。
三、求解方法线性规划问题可以使用多种方法求解，其中最常用的方法是单纯形法。
单纯形法通过迭代的方式逐步接近最优解，直到找到最优解为止。
单纯形法的基本步骤如下：1. 将线性规划问题转化为标准形式，即将不等式约束转化为等式约束。
2. 选择一个初始可行解，通常为原点（0,0）。
3. 计算目标函数的值，并确定是否达到最优解。
4. 如果未达到最优解，则选择一个进入变量和一个离开变量，通过调整这两个变量的值来改善目标函数的值。
5. 重复步骤3和步骤4，直到达到最优解。
四、应用领域线性规划在各个领域都有广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 生产计划：线性规划可以帮助企业确定最佳的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
线性规划讲义
线性规划讲义一、引言线性规划是一种优化问题的数学建模方法，它可以用来解决一类特定的最优化问题。
本讲义将介绍线性规划的基本概念、问题形式化、求解方法以及应用领域。
二、线性规划的基本概念1. 线性规划定义线性规划是一种在给定的约束条件下，求解线性目标函数的最优解的数学问题。
线性规划的目标函数和约束条件都是线性的。
2. 线性规划的数学模型线性规划可以用数学模型来表示，一般形式为：最大化（或最小化）目标函数约束条件：线性规划的目标函数和约束条件可以包含多个变量和多个约束条件。
3. 线性规划的基本假设线性规划的求解过程基于以下假设：- 可行解存在：问题存在满足约束条件的解。
- 目标函数有界：问题存在有限的最优解。
- 线性关系：目标函数和约束条件都是线性的。
三、线性规划的问题形式化1. 目标函数的确定线性规划的目标函数可以是最大化或最小化某个特定的指标，如利润最大化、成本最小化等。
2. 约束条件的确定约束条件是限制问题解的条件，可以包括等式约束和不等式约束。
约束条件可以来自于问题的实际限制，如资源的有限性、技术要求等。
3. 决策变量的确定决策变量是问题中需要决策的变量，它们的取值将影响目标函数的值。
决策变量的选择应该与问题的实际需求相匹配。
四、线性规划的求解方法1. 图解法图解法是线性规划求解的一种直观方法，通过绘制约束条件的图形和目标函数的等高线，找到目标函数取得最大（或最小）值的点。
2. 单纯形法单纯形法是一种常用的线性规划求解算法，它通过迭代计算，逐步接近最优解。
单纯形法的基本思想是通过不断地移动到更优的解，直到找到最优解。
3. 整数规划的分支定界法整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量的取值为整数。
分支定界法是一种用于求解整数规划的方法，它通过将问题分解为多个子问题，并逐步缩小解空间，最终找到最优解。
五、线性规划的应用领域线性规划在实际问题中有广泛的应用，包括但不限于以下领域：- 生产计划与调度- 运输与物流管理- 金融投资组合优化- 能源调度与优化- 供应链管理等六、总结线性规划是一种重要的数学建模方法，它可以用来解决一类特定的最优化问题。
线性规划知识点
线性规划知识点线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域中都有广泛的应用，包括经济学、管理学、工程学等。
一、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中ci为系数，xi为变量。
2. 约束条件：线性规划的解必须满足一系列线性约束条件。
约束条件通常表示为a1x1 + a2x2 + ... + anx ≤ b，其中ai为系数，b为常数。
3. 变量：线性规划中的变量是需要优化的未知数，通常表示为x1, x2, ..., xn。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或者最小值的解称为最优解。
二、线性规划的求解方法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法求解。
首先绘制约束条件的直线，然后确定可行域，最后在可行域中找到使目标函数最大或者最小的解。
2. 单纯形法：对于高维线性规划问题，通常使用单纯形法求解。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断挪移到更优的解来寻觅最优解。
3. 整数规划：当变量需要取整数值时，称为整数规划。
整数规划问题通常较难求解，可以使用分支定界法等方法进行求解。
三、线性规划的应用1. 生产计划：线性规划可以用于确定最佳的生产计划，包括生产数量、原材料采购等。
2. 仓储管理：线性规划可以用于优化仓储管理，包括货物的存放位置、调度等。
3. 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，包括货物的调度、最佳路径选择等。
4. 金融投资：线性规划可以用于优化投资组合，确定最佳的资产配置方案。
5. 能源管理：线性规划可以用于能源管理，包括能源生产、分配等。
四、线性规划的局限性1. 线性假设：线性规划假设目标函数和约束条件都是线性的，这在某些实际问题中可能不成立。
2. 单一目标：线性规划只能优化一个目标函数，对于多目标问题需要进行权衡和转化。
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3.6：线性规划
目录：
（1）线性规划的基本概念
（2）线性规划在实际问题中的应用
【知识点1：线性规划的基本概念】
(1)如果对于变量x 、y 的约束条件，都是关于x 、y 的一次不等式，则称这些约束条件为__线性约束条件__(),z f x y =是欲求函数的最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫做__目标函数_，当(),f x y 是x 、y 的一次解析式时，(),z f x y =叫做_线性目标函数__. (2)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，称为__线性规划问题__ ；满足线性约束条件的解(),x y 叫做__可行解_；由所有可行解组成的集合叫做__可行域_；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做_最优解__
例题：若变量x 、y 满足约束条件2
10x y x y +≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
，则z x y =+的最大值和最小值分别为
( B )
A. 4和3
B. 4和2
C. 3和2
D. 2和0
分析：本题考查了不等式组表示平面区域，目标函数最值求法.
解：画出可行域如图
作020l x y +=：
所以当直线2z x y =+过()20A ，
时z 最大，过()1,0B 时z 最小max min 4, 2.z z ==
变式1：已知2z x y =+，式子中变量x 、y 满足条件11y x
x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则z 的最大值是__3___
解：不等式组表示的平面区域如图所示.
作直线0:20l x y +=，平移直线0l ，当直线0l 经过
平面区域的点()21A -，时，z 取最大值2213⨯-=.
变式2：设2z x y =+，式中变量x 、y 满足条件43
35251x y x y x -≤-⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，求z 的最大值和最小值
分析：由于所给约束条件及目标函数均为关于x 、y 的一次式，所以此问题是简单线性
规划问题，使用图解法求解
解：作出不等式组表示的平面区域(即可行域)，如图所示．
把2z x y =+变形为2y x z =-+，得到斜率为-2，在y 轴上的截距为z ，随z 变化的一族平行直线．
由图可看出，当直线2z x y =+经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．
解方程组430
35250x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得A 点坐标为()5,2，
解方程组1
430x x y =⎧⎨-+=⎩
，得B 点坐标为()1,1
所以max min 25212,211 3.z z =⨯+==⨯+=
变式3：若变量x 、y 满足约束条件6
321x y x y x +≤⎧⎪
-≤-⎨⎪≥⎩
，则23z x y =+的最小值为( C )
A. 17
B. 14
C. 5
D. 3
解:作出可行域(如图阴影部分所示)．
作出直线:230l x y +=.
平移直线l 到l ′的位置，使直线l 通过可行域中的A 点(如图) 这时直线在y 轴上的截距最小，z 取得最小值． 解方程组132x x y =⎧⎨-=-⎩，得最优解1
1x y =⎧⎨=⎩，
min 21315z ∴=⨯+⨯=
【知识点2:线性规划在实际问题中的应用】
例题：某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A 、B 两种规格金属板，每张面积分别为2m2与3m2.用A 种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A 、B 两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？
解：设A 、B 两种金属板分别取x 张、y 张，用料面积为z ，则约束条件为 3645
565500
x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪
⎨
≥⎪⎪≥⎩ 目标函数为23z x y =+.
作出以上不等式组所表示的平面区域(即可行域)，如图所示：
23z x y =+变为233z y x =-+，得斜率为23-，在y 轴上截距为3
z
且随z 变化的一组平行
直线．
当直线23z x y =+过可行域上点M 时，截距最小，z 最小． 解方程组 ，得M 点的坐标为(5,5)．
此时()
2min 253525z m =⨯+⨯=．
答：当两种金属板各取5张时，用料面积最省．
变式1：4个茶杯和5包茶叶的价格之和小于22元，而6个茶杯与3包茶叶的价格之和大于24元，则2个茶杯和3包茶叶的价格比较( A ) A ．2个茶杯贵 B ．3包茶叶贵 C ．相同 D ．无法确定 解：设茶杯每个x 元，茶叶每包y 元，则
45226324,x y x y x y N +<⎧⎪
+>⎨⎪∈⎩
2U x y =-取值的符号判断如下
由2.033U y x U =
-=当时，过点()32A ，
，往下平移．经过可行域内的点03
U
-< ∴0U >，即23x y >.往上平移不经过可行域内的点． ∴选A.
变式2 已知x 、y 满足20
40250x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪--≤⎩
，求：
(1)221025z x y y =+-+的最小值； (2)1
1
y z x +=
+的取值范围. 分析：(1)将z 化为()2
25z x y =+-，问题转化为求可行域中的点与定点的最小距离问题； (2)将式子化为(1)
(1)
y z x --=--或1(1)y z x +=+，问题转化为求可行域中的点与定点的连线的
斜率的最值问题
解：作出可行域如图
并求出点A 、B 的坐标分别为(13)(31)，，
(1)()2
25z x y =+-表示可行域内任一点(),x y 到定点()0,5M 的距离的平方，过M 作直线
AC 的垂线MN ，垂足为N ，则：2
2
min
922z MN ⎛⎫=∣∣== ⎪ ⎪⎝⎭
. (2)1(1)
1(1)
y y z x x +--=
=
+--表示可行域内任一点(),x y 与定点()1,1Q --连线的斜率，可知，kAQ 最大，kQB 最小．而31111
2,11312
QA QB k k ++=
===++. ∴z 的取值范围为1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．
点评:求非线性目标函数的最值，要注意分析目标函数所表示的几何意义，通常与截距、斜率、距离等联系，是数列结合的体现．
变式3 在条件02
021
x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-≥⎩
下，()()2211z x y =++-的取值范围是___122⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，__.
解：由约束条件作出可行域如图
目标函数表示点(x y)，与点(11)M ，的距离的平方．由图可知，z 的最小值为点M 与直线1x y -=的距离的平方．即2
min
1
22z ⎛⎫==. z 的最大值为点()11M ，与点(20)B ，的距离的平方： 即()()2
2
max 12102z =-+-=. ∴z 的取值范围为122⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，．
变式4 设变量x 、y 满足条件3210411,0,0
x y x y x Z y Z x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨∈∈⎪⎪>>⎩. 求54S x y =+的最大值.
错解：依约束条件画出可行域如图所示
如先不考虑x 、y 为整数的条件，则当直线54x y S +=过点923,510A ⎛⎫
⎪⎝⎭
时，
54S x y =+max 91
5
S =
取最大值， . 因为x 、y 为整数，而离点A 最近的整点是()1,2C ，这时13S =，所要求的最大值为13. 分析：显然整点(21)B ，满足约束条件，且此时14S =，故上述解法不正确． 对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点． 而要先对边界点作目标函数t Ax By =+的图像， 则最优解是在可行域内离直线t Ax By =+最近的整点． 正解：依约束条件画出可行域如图示 作直线:540l x y +=
平行移动直线l 经过可行域内的整点(21)B ，时，max 14S =.。