第4讲 线性规划 (2)

1. 模型：
min z=cX
s.t. AX b
命令：x=linprog（c, A, b）
2. 模型：min z=cX s.t. AX b Aeq X beq 命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）
AX b 存在，则令A=[ ]，b=[ ]. 注意：若没有不等式：
3. 模型：min z=cX s.t. AX b Aeq X beq
钙.kg
售价.元
0.2％ 0.4
0.1％ 0.2
≥0.06
问饲料怎么混合才能使成本最低？
1、
max Z 2 x1 3x2
x1 2 x2 ≤ 8 4 x1 ≤16 4 x2 ≤12 x1 , x2 ≥ 0
2、设0.2 x 2 0.5x 1 0.1x2 0.22 s .t . 0.002x 1 0.001x 2 0.06 x j 0 , j 1, 2 x 1 x2 ＝ 1
结合存量限制和需量限制得数学模型：
min f 12 x1 24 x2 8 x3 30 x4 12 x5 24 x6
x1 x 2 x 3 4 x x x 8 4 5 6 x1 x4 2 s .t . x 2 x5 4 x 3 x6 5 x1 , x 2 , x 3 , x4 , x5 , x6 0
在很多实际问题中,解题思想和运输问题同出一辙, 也就是说我们可以用运输模型解决其他问题.
分派问题
设有n件工作B1, B2, … Bn,分派给n人A1, A2, … An去 做,每人只做一件工作且每件工作只派一个人去做,设Ai 变量xi只取0和 完成Bj的工时为cij,问应如何分派才能完成全部工作的 1,故建立 总工时最少. 的模型也称0-1 1 工作B j 分派给Ai 去做 规划.
练习：
1、某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两 种产品，已知生产单位产品所需的设备台数 及A、B两种原材料的消耗量，见表1-1。该 工厂每生产一件产品Ⅰ可获利润2元，每生 产一件产品Ⅱ可获利润3元，问应如何安排 生产计划使该工厂获得的利润最大？
生产计划问题
产品
资源
设备(台时) 原材料A(g)
Ⅰ
1 4
剩余料头 0.1 0.3 0.9
1.1 0.2 0.8 1.4
设xi 表示按第i种办法下料的原材料的 根数, 则问题的线性规划模型 为:
线性规划模型
min f 0.1 x1 0.3 x2 0.9 x3 0 x4 1.1 x5 0.2 x6 0.8 x7 1.4 x8
线性规划
目的
1. 了解线性规划的基本内容.
2. 掌握用数学软件包求解线性规划问题.
内容
1. 引例. 2. 用数学软件包MATLAB求解线性规划问题. 3. 用数学软件包LINDO、LINGO求解线性规划问题.
生产计划问题
引例：某工厂计划用三种原材料A1，A2和A3生产， 两种产品，已知生产，每吨所需原材料及现有 原材料（单位：吨）如下表, 且, 的利润分别为5, 2万元 / 吨问如何安排计划 . , 可使利润最大 ?
单位
原材
消耗 产品
料
A1 A2 A3
Ⅰ 2 1 0
Ⅱ 1 0 1
现有原 材料 8 3 4
解 : 设生产 , 两种产品分别为 x1 , x2吨,
max f= 5x1 +2x2
求最大利润 三种材料量的限制
2x1 + x2 8
s.t . x1 3
x2 4
x1，x2 0
P38例2
生产量非负
2 x1 x 2 x 3 x4 100 2 x 3 x 3 x 2 x x 100 2 3 5 6 7 s .t . x1 x 3 3 x4 2 x6 3 x7 4 x8 100 不同方 法截得 x j 0, j 1,2,3,4,5,6,7,8; x j 取整 每种根 长的总 此例的变量xi只取正整数, 数至少 故建立的模型也称整数规划. 100 0-1规划是整数规划的特殊情形.
应 用
• 市场营销(广告预算和媒介选择，竞争性定价，新产 品开发，制定销售计划) • 生产计划制定(合理下料，配料，“生产计划、库存、 劳力综合”) • 库存管理(合理物资库存量，停车场大小，设备容量 ) • 运输问题 • 财政、会计(预算，贷款，成本分析，投资，证券管 理) • 人事(人员分配，人才评价，工资和奖金的确定) • 设备管理(维修计划，设备更新) • 城市管理(供水，污水管理，服务系统设计、运用)
选址问题
某公司拟定在在武昌, 汉口, 汉阳建立专卖店, 拟议中 有7个地址 : 武昌 : 中商( A1 ), 亚贸( A2 ), 司门口( A3 ), 汉口: 武 广( A4 ), 步行街( A5 ), 汉阳 : 二十一世纪( A6 ), 汉商( A7 ), 并规 定 : 武昌至多2个, 汉口汉阳至少1个, 若选Ai , 投资bi 元, 每年 可获利ci 元, 总投资不超过b元,问如何选择地址使公司的 年利润最大 ?
线性规划模型三要素
• 决策变量：向量(x1… xn)T ,决策人要考虑和 控制的因素非负； • 约束条件：线性等式或不等式； • 目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求Z极大 或极小；
线性规划模型
一般形式
max min f c1 x1 c2 x 2 cn x n a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 s .t . a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x 2 , x n 0
产量限制
需量限制
运量非负
假设产销平衡:
m n i 1 j 1
a b
i 1 i j 1
m
n
j
min f cij x ij n i 1,..., m x ij a i , 1 j m s .t . x ij b j j 1,..., n i 1 i 1,..., m; j 1,..., n x ij 0
一般运输问题 m个产地A1,…,Am联合供应n个销地B1,…,Bn,各产 地至各销地单位运价(单位:元/吨)为cij，问如何调运使 总运费最少? 解 : 设从产地Ai 到销地B j的运输量为xij . m n 总运价 min f cij x ij
i 1 j 1
n i 1,..., m x ij a i , 1 j m s .t . x ij b j j 1,..., n i 1 i 1,..., m; j 1,..., n x ij 0
设：养鸡场每天需要大豆x1公斤，谷物x2公斤
MinZ 0.4 x 1 0.2 x 2
x 1 x2
＝ 10000
s .t .
0.002x 1 0.001x 2 0.06×10000 x 0 , j 1, 2
j
0.5x 1 0.1x2 0.22×10000
用MATLAB优化工具箱解线性规划
目标函数
约 束 条 件
6
矩阵形式
记c (c1 , c2 , cn ), A aij
T

b b1 , b2 , bn , 矩阵形式为：
m n
, x x1 , x2 , xn ,
T
min f cx Ax b s.t. x0
x 0指x的每一分量x j 0, A称为约束矩阵。
Ⅱ
2 0
资源限量
8 16000
原材料B(g)
0
4
12000
如何制定生产计划，使两种产品总利润最大？
2、某鸡厂共饲养1万只鸡，用大豆和谷物混合喂养， 已知每只鸡消耗饲料1kg /天，鸡至少需要蛋白质、 钙分别为0.22、0.06 kg/天，每公斤大豆含蛋白质、 钙为50％、0.2％，每公斤谷物含蛋白质、钙为10 ％、0.1％，大豆和谷物售价0.4、0.2元/kg。 饲料 成分 蛋白质.kg 大豆 50％ 谷物 10％ 营养/天.鸡 ≥0.22
下料问题 现要做100套钢架,用长为2.9m、2.1m和1.5m的元 钢各一根,已知原料长7.4m,问如何下料,使用的原材料 最省? 分析: 下料方式：
最省：
1.所用刚架根数最少；
2.余料最少
线性规划模型
原料截成 所需长度 Ⅰ 的根数 所 2.9m 2 需 2.1m 0 根 长 1.5m 1 下料方法 Ⅱ 1 2 0 Ⅲ 1 1 1 Ⅳ 1 0 3 0 Ⅴ 0 3 0 Ⅵ 0 2 2 Ⅶ 0 1 3 Ⅷ 0 0 4
线性规划模型相关概念
1、满足约束条件的变量的值称为可行解。
2、可行解的集合称为可行域。 3、使目标函数达到最大（小）值的可 行解称为最优解。 4、相应的目标函数的值称为最优值。
运输问题
有两个粮库A1 , A2向三个粮站B1 , B2 , B3调运大米, 两个粮库现存大米分别为4吨,8吨, 三个粮站至少需要 大米分别为2, 4,5吨, 两个粮库到三个粮站的单位运价 如下,问如何调运使运费最低。
距离
粮库
A1 A2
粮站
B1
12 30
B2
24 12
B3
8 24
解：设A1,A2调运到三个粮站的大米分别为x1， x2， x3， x4， x5， x6吨。 题设量可总到下表：
距离
粮库
及运 粮站 量
12
B1 x1
30
B2
24 8
B3 x3
24
库 存 量
A1 A2