柯西不等式的一个推广

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利用柯西不等式一个推广公式再解竞赛题

１３
时等号成立。
∴ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥
１３
。
例２（１９８４年列宁格勒数学竞赛试题）设ａ、ｂ、
ｃ∈Ｒ＋，且ａ＋ｂ＋ｃ＝１，求证：ａ３ｂ＋ｂ３ｃ＋ｃ３ａ≥ａｂｃ成立。
证明：
因为
ａ３ｂ＋ｂ３ｃ＋ｃ３ａ≥ａｂｃ
等价于
ａ２ｃ
＋
ｂ２ａ
＋
ｃ２ｂ
≥１
所以利用柯西不等式推广公式
ｘ２１ !１
…… ＋ｂ２ｎ） ≥（ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２＋ …… ＋ａｎｂｎ）。若令ａ１＝
ｘ１，ａ２＝ｘ２， ……，ａｎ＝ｘｎ；ｂ１＝"!１，ｂ２＝
"!１
"!２
"!ｎ
"!２， ……，ｂｎ＝"!ｎ（ｘｉ∈Ｒ， !ｉ∈Ｒ＋，ｉ＝１，２， ……，
ｎ），可得柯西不等式一个推广公式：
当前，地市报业作为一种经济组织，其成长与发展处于一个动态进程之中，在这一过程中，报业人力资源的物理状态和心理状态也都在处于一个不断的流变过程中。如何在报业与员工之间建立并维持一份动态平衡的“心理契约”，从而保证人力资源有效地长期地为报业发展服务，特别是采编队伍不随报业的变动成长而发生人才流失，成为时下地市报业人力资源管理的核心话题。
方法，使其接触到各种不同的业务，并得以提升，员工的能力与潜力，无疑给达成与维持心理契约
从而扩展员工们职业生涯的发展道路。培训配合创设良好的氛围、空间，增强员工努力工作的热情
生涯设计是加强员工成就感和工作满意度以及对与信念，激发报业与员工共同信守“契约”所默示
组织忠诚度，阻止人才外流的好办法。同时，作为的各自对应的“承诺”。因此，这种报业文化的建

柯西不等式的应用及推广

3.1 配方法
。
由此证明了且得等号成立的条件为：
.这等价于连比式 [8]。
3.2 判别式法
当或时，不等式显然成立
令，当中至少有一个不为零时，可知A>0
构造二次函数，展开得：故的判别式
移项得，得证。
3.3 数学归纳法
) 当n=1时，有，不等式成立。
当n=2时，
因为，故有
当且仅当，即时等号成立。
ii）假设n=k时不等式成立，即
当且仅当时等号成立。
那么当n=k+1时，
当且仅当 , , 时等号成立，
即时等号成立。
于是n=k+1时不等式成立。
由 ) ii）可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立。
3.4 基本不等式法
运用基本不等式。
记 , , , 。
则柯西不等式就等价于，也等价于。
，当且仅当，即时等号成立；
，当且仅当，即时等号成立；
……
，当且仅当，即时等号成立。
把以上个式子相加得
。
当且仅当时等号成立，则等价命题成立。
故柯西不等式成立。
3.5 运用推广不等式
若为正数，为非负数，，实数，则
（当且仅当时等号成立）。
在以上推广不等式中取。
有。
化简得，。
当为零或几个为零（处于对称位置），不等式显然成立。
2 柯西不等式的诠释
柯西是18世纪法国、巴黎著名的数学家，他的一生获得了多项重要的成果。本文介绍的柯西不等式便是他的一个非常重要的成果。除此之外他在数学的很多领域都进行了深刻的研究，其中包括数论、代数、数学分析和微分方程等，为数学的发展做出的突出的贡献。

应用柯西不等式的几个推广

推论２：已知ｚ，。， … ，ｚ是正整数， … ＋（￣／）］。一＿『・（ ÷ ）］一
Ｘ１
（ ÷ ）一１。不等式得证。
＼，
￣／ｚｚ＋ｚ。＋ … ＋ｚ
作者单位：江苏省扬州市邗江区瓜洲中学
１０
Ｘ１－１
ｚｌ
￣
ｎ＋１
、、１ｒ，广
１
一一１２
、＋，
。
￣２
－
＋．．
２
ｚ
＾
／ｎ）十＋ … ＋（／ｎ．）
Ｉ
。
ｆ＼Ｘ＋＋…＋１ — １，所以
１Ｚ２Ｘｎ，
应用柯西不等式的几个推广
■李援朝
柯西不等式：设口１，ｎ２， … ，口；ｂｌ，ｂ２， …，ｚ２．．
６是两组实数，则有
＾兰１
。：．
墨１
６：≥
。１。
￣／ｚ。＋＋ … ＋
。
一一＋＿一
＋
＋
一１
…
一
ｎ
－
，证
１日目．
：
一
证：由柯西不等式得（。＋。举一＋－ ≯ 一＋
ａｌ＋口３＋ …＋ｎ。ａｌ＋口２＋…＋口ｔ一１，一
＃ｘｌ＋ｚ２＋ … ＋
…
≥ ＃ｘｌ一１＋￣／２ — １＋

柯西施瓦茨不等式

柯西施瓦茨不等式的应用及推广作者：查敏指导老师:蔡改香摘要本文探讨的是柯西施瓦茨不等式在不同数学领域的各种形式和内容及其多种证明方法和应用，并对其进行了一定程度上的推广.通过一系列的例题，反映了柯西施瓦茨不等式在证明相关的数学命题时可以使得解题方法得以简捷明快，甚至可以得到一步到位的效果，特别是在概率统计中的广泛应用.关键词 Cauchy-Schwarz 不等式 Minkowski 不等式 Holder 不等式 Hermite 阵1引言柯西施瓦茨不等式在数学中的应用比较广泛，是异于均值不等式的另一个重要不等式，灵活巧妙的运用它，可以使一些较困难的实际问题得到比较简捷地解决，这个不等式结构和谐，无论代数、几何，都可以应用.本文正是从实数域、微积分.内积空间、概率空间以及矩阵分析这五个方面的内容进行证明并举例说明其应用，对实数域和微积分中的形式进行了一定程度的推广.2 在实数域中的Cauchy 不等式命题1 设,(1,2,,)i i a b R i n ∈=，则222111()()()nnni i i i i i i a b a b ===≤⋅∑∑∑ （1）其中当且仅当,(1,2,,)i i b ka i n ==（k 为常数）等号成立.证明由21()()0,,niii f x xa b x R ==+≥∀∈∑则222111)(2)0n n nii i i i i i a x a b x b ===-+≥∑∑∑（由于x R ∀∈,因此上述不等式的判别式大于零，即：2221114()4)()0n n ni i ii i i i a b a b ===-≤∑∑∑（易得（1）式成立.例1 设(1,2,...,),i a R i n +∈=求证21212111()(++n na a a n a a a ++++≥）证明由不等式左边的形式，很容易想到柯西不等式解之1212111)(+)n n a a a a a a +++++（22212222122211222111[()+][(+)]()()()111[](111)n n n na a a a a a a a a a a a n =++⋅++≥⨯+⨯++⨯=+++=（）（）柯西施瓦茨不等式在实数域中的应用十分广泛，而且许多著名的不等式就是用柯西施瓦茨不等式直接导出.下面介绍两个著名的不等式.由上面的柯西施瓦茨不等式可以得到Minkowski 不等式定理1 任意的2n 个实数1212,,,,,,,n n a a a b b b ，有()111222222111nnni i i i i i i a b a b ===⎧⎫⎧⎫⎧⎫+≤+⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭∑∑∑ （2）事实上，由（1）得()22211112nnnniiii i i i i i i a b aa b b ====+=++∑∑∑∑11111222222222221111112=nn n nn n i i i i i i i i i i i i a a b b a b ======⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑∑∑ 这就证明了（2）.将柯西施瓦茨不等式中的幂指数扩充，则有赫尔德不等式. 定理2 对任意的非负数(),1,2,,i i a b i n =有11111()()nnnp q p q i i iii i i a b ab ===≤⋅∑∑∑其中,p q R +∈，满足111p q+=且1p >. 证明由杨格不等式pq ap b q ab +≥，其中,0a b ≥且111p q+=得111111111111111()()(())1111()()1nn n n n n p q p q pq q p i ii i i i i i i i i i i i p q nn n p q p qi i i i i i i a ba b a a b b a a b b p q p q =========⎡⎤⎡⎤⋅=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪≤+=+=⎢⎥⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑赫尔德不等式中，当2,2p q ==时为柯西施瓦茨不等式，若将n →∞则可导出相应的无穷不等式.由定理2可将定理1的幂指数进行扩充定理3 若对任意的非负实数,i i a b ，111p q+=，,p q R +∈且1p >，则()111111nnnpppp p p i i i i i i i a b a b ===⎧⎫⎧⎫⎧⎫+≤+⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭∑∑∑ 证明()()()-1=p p i i i i i i a b a b a b ++⋅+()()()()==+pqi i i i p pq q i i i i i i a b a b a a b b a b +⋅+⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由杨格不等式()()()111nnnpp pqqiii i i i i i i i i a b a a b b a b ===+≤⋅++⋅+∑∑∑()111111n n np p q p p p i i i i i i i a b a b ===⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪≤+⋅+⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭∑∑∑ 化简即得所要证得的不等式.还可将上述赫尔德不等式推广到无限和不等式：推论1 若对任意非负实数,i i a b ，有11,nnii i i ab ==<∞<∞∑∑，则11111n nnpqp q i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑下面将上命题1进行推广：引理1 （算术-几何平均值不等式）设12,,,n a a a 为个n 正数，则111nnni ii i a an ==≥∑∏，等号成立的充要条件为12n a a a ===.引理2 设{}{}1212,,,,,,,,nnx x x y y y V k R αβ∀==∈∈,作定义：{}{}(){}1122121122,,,,,,,,,,,,n nnn nx y x y x y k kx kx kx x y x y x y αβααβ+=+++==，则在V 中定义了的加法、数乘、内积作成R 上的线性空间一定构成欧几里得空间，简称欧氏空间 (在介绍柯西施瓦茨不等式在内积空间中的应用时会用到此定义).推论2 设,,,,(1,2,)i i i x y z i n =是m 组实数，则有1111()()()()nn nnmm m m i ii iii i i i i x y z x y z ====⋅⋅≤∑∑∑∑ （2）等号成立的充要条件为111222::::=::n n n x y z x y z x y z ==.证明为方便起见，不妨设1,nmmxi i S x ==∑ 1,,nm myi i S y ==∑1,nm m zi i S z ==∑,ii xx a S =,,i i y y b S =,(1,2,)ii zz c i n S ==从而由引理1有i i i x y z i i i x y z S S S a b c ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅m m mi i i x y z a b c S S S m+++≤⋅⋅⋅对上式进行n 的累次求和，可得11()mnm m m i ii x y z i i i ii x y z S S S a b c m=⋅⋅≤⋅⋅+++∑∑即1111()mn nnmmm i ii x y z i i i ii i i x y z S S S a b c m===⋅⋅≤⋅⋅+++∑∑∑∑ （4）由于111()1nmin nm m i i i m i i x xxx a S S ======∑∑∑ 同理11nmii b==∑，11n m i i c ==∑这样（4）式为mi ii x y z ix y z S S S ⋅⋅≤⋅⋅∑再两边m 同时次幂，得()mm m m m i i i x y z ix y z S S S ⋅⋅≤⋅⋅∑故证得（3）式成立.注1 在命题1中，除,,(1,2,,)i i i i x a y b i n ===，其余均为1，且2m =，则不等式（3）就是不等式（1）的推广.推论3 （将命题1推广为无限和不等式）设,,,,i i i x y z R i N ∈∈且1m i i x ∞=<∞∑，1m ii y∞=<∞∑，1,m i i z ∞=<∞∑，则1111()()()()mm m m i i i iii i i i i x y z x y z ∞∞∞∞====⋅⋅≤∑∑∑∑（证明过程可仿推论2的证法并结合引理2）.3 微积分中的Cauchy-Schwarz 不等式命题2 设(),()f x g x 在[],a b 可积，则222()()()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ （5）证明类似命题1可以利用判别式证明之.下面给出另一种证法:因为(),()f x g x 在[],a b 上可积，则由定积分的性质22,,f g fg 均在上[],a b 上可积，对区间[],a b 进行n 等分，分点为+,0,1,2,,i b ax a i i n n-==.由定积分的定义，有1()()lim ()()bni i n i a b af xg x dx f x g x n→∞=-=∑⎰221()lim ()bni n i a b af x dx f x n →∞=-=∑⎰221()lim ()bni n i ab ag x dx g x n→∞=-=∑⎰ 由（1）式知222()()()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 再由极限的保号性易知（5）式成立.注 2 若对[],,()0x a b f x ∀∈=，或(),()f x g x 成正比，则（5）式等号成立，但其逆不真.例如，除有限点外，[]()(),,f x g x x a b =∈，有()()bbaaf x dxg x dx=⎰⎰，但(),()f x g x 并不成比例.例2 利用柯西施瓦茨不等式求极限：设(),()f x g x 在[],a b 上连续，()0,()f x g x ≠有正下界，记()()(),1,2,bnn ad f x g x dx n ==⎰，求证：1limmax ()n n a x bnd f x d +→∞≤≤= .证明为了分析1n n d d +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的变化趋势，研究n d 邻项之间的关系. n d =()()bna f x g x dx ⎰()()()()1122112211112211()()()()bn n a bbn n a a n n g x f x g x f x dxg x f x dx g x f x dx d d -+-+-+=⋅⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅⎰⎰⎰ 因为0n d >，平方得211n n n d d d +-≤，即11n n n n d dd d +-≥. 因为()f x 在[],a b 连续，所以存在0M >，使得()f x M ≤,故()()()()()()()()110bbbbn n nnn naaaadg x f x dxg x f x dx M g x f x dxg x f x dx Md ++≤=≤=⎰⎰⎰⎰因为1n n d d +⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调有上界，所以有极限. 即1limmax ()n n a x bnd M f x d +→∞≤≤==在微积分中的柯西施瓦茨不等式也可以得到一些比较著名的不等式，如下面介绍的Minkowski 不等式：定理4 设(),()f x g x 在[],a b 可积，则Minkowski 不等式()111222222()()()()b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+≤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 证明由（5）式()()222()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ ()()()2b a f x g x dx ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰()()()()222b b b a a af x dx f xg x dx g x dx =++⎰⎰⎰ ()()()()1222222b b bba a a af x dx f x dxg x dx g x dx ⎛⎫≤+⋅+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰2112222()()b b aa f x dx g x dx ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪=+⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭⎰⎰因为两边都大于等于零，且右边大括号也大于等于零，所以有()111222222()()()()bbba a a f x g x dx f x g x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+≤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 将柯西施瓦茨不等式的幂指数进行扩充，有Holder 不等式定理5 (),()0f x g x >，111p q+=，,p q R +∈且1p >，则11()()()()bbbpqp qa a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤≤⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰证明11()()()()bbbpqp qa a a f x g x dxf x dxg x dx ⎡⎤⎡⎤⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 11=()()()()()()()()111bb b p q p q a a a bpqbbp q aaaf x f x dxg x g x dx dx f x g x dxp f x dxq g x dxp q⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤+⋅⋅=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰得证.利用定理5，将定理4的幂指数进行扩充，有()111()()()()bbbppppp p a a a f x g x dx f x g x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+≤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰证明可参考定理3 的证明，且p=2即为定理4中的不等式. 同样将上命题2进行推广. 推论4 设()(1,2,,)i f x i n =是闭区间[],a b 上为正的n 个可积函数，则111()((()))bbn nnniii i a af x dx f x dx ==≤∏∏⎰⎰ （6）证明不妨设(())(1,2,,),bni i af x dx k i n ==⎰则11111()(())()bnibn ni a i n ni ia n ii f x dxf x dx k k====∏⎰∏⎰∏由引理1可得111(())(())1()()1b bn nnn i i ni i i i a a f x f x dx dx k n k ==≤=∑∏⎰⎰ 这样就证得不等式（6）成立.注3 在推论4中，取2n =，则得到柯西施瓦茨不等式，即不等式（5）. 注4 不等式（5）可写成()()()()()()()()22b ba ab baaf x dxf xg x dx f x g x dxg x dx≥⎰⎰⎰⎰受此启发，易于得到柯西施瓦茨不等式更为一般的推广形式：设(),()(,1,2,,)i j f x f x i j n =是闭区间[],a b 上的可积函数，则有det(()())0bi j af x f x dx ≥⎰即为()()()()()()()()()()()()()()()21121221222120bbbnaaabbbna a abbbn n n aaaf x dxf x f x dxf x f x dxf x f x dxf x dxf x f x dx f x f x dxf x f x dxf x dx≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰并且等号成立的充要条件为：存在不全为零的常数12,,,m ααα使得1()0i i i f x α∞=≡∑.推论5 （将命题2再推广）设()()0()0,(1,2,,),0ni i f x i n f x dx ∞≥=≤<∞⎰则11100()((()))n nnniii i f x dx f x dx ∞∞==≤∏∏⎰⎰ （7）（可仿推论4并结合反常积分理论即证）.4 n 维欧氏空间中Cauchy-Schwarz 不等式在n 维欧氏空间中，对任意的向量()()1212,,,,,,,,n n a a a b b b αβ==定义内积()()1122,,,,;n n a b a b a b αβ=定义的长度或范数为()12,ααα=.命题3 对任意的向量,αβ有(),αβαβ≤⋅ （8）当且仅当,αβ线性相关时等号才成立.证明若0α=，则()0,0β=，（8）式显然成立.若0α≠，则令()2,βαγβαα=-⋅，则(),0γα=，且()()2222,,0,βαβαγβαβααα⎛⎫≤= -⋅-⋅⎪ ⎪⎝⎭()()()2,,,βαββαβα=-⋅()222,αββα=-当,αβ线性相关时等号显然成立.反之，如果等号成立，由以上证明过程可以看出，或0α=或0γ=，即()2,βαβαα=⋅也就是说,αβ线性相关.根据上述在n 维欧氏空间中的柯西施瓦茨不等式，我们有三角不等式αβαβ+≤+ （9）因为()()()()()2222,,2,,2=+αβαβαβαααβββααββαβ+=++=++≤++所以（9）式成立.用柯西施瓦茨不等式不等式有时可很巧妙地解决相关数学命题，如下例3 求证2221212++++nn a a a a a a nn++≤.证明这里可取()()12,,,,1,1,,1,n a a a αβ==由柯西施瓦茨不等式()()()()22222221212+++,=1+1++1+++n n a a a a a a αβαβ=≤⋅整理即得2221212++++nn a a a a a a nn++≤5 概率空间(),,F ΩP 中的Cauchy-Schwarz 不等式命题4 设(),X Y 为任意随机变量，若()()22,X Y E E 存在，则()XY E 也存在，且()()()222XY XY E ≤E E ⎡⎤⎣⎦ （10）式中等号成立当且仅当存在常数0t ，使得{}01Y t X P == （11）证明定义实变量t 的二次函数为()()()()()22222u t tX Y X t XY t Y =E -=E -E +E因为对一切t ，必然有()20tX Y -≥,从而有()0u t ≥，于是方程()0u t =要么无实根，要么就有一个实根，亦即重根，即判别式非正，从而()()()2220XY XY E -E E ≤⎡⎤⎣⎦即 ()()()222XY XY E ≤E E ⎡⎤⎣⎦当等号成立时，方程()0u t =有一个重根0t ，使()200t X Y E -= 从而 ()()()()22000D t X Y t X Y t X Y -=E --E -()200t X Y ≤E -=即 ()00D t X Y -= 且 ()00t X Y E -= 于是 {}001t X Y P -== 即 {}01Y t X P ==反之，若存在常数0t ，使得（11）式成立，即{}001t X Y P -==从而 {}222001t X Y P -==，(){}001t X Y X P -== 于是 {}22200Y t X E -=，{}200YX t X E -= 即 ()()2220Y t X E =E ，且()()20XY t X E =E故 ()()()()222222200XY t X t X X ⎡⎤E =E =E E ⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()22Y X =E E 即在（10）式中等号成立.例4 设随机变量i X 与j X 的相关系数i j ρ存在，则1i j ρ≤且1i j ρ=的充要条件为i X 与j X 以概率1线性相关.即存在常数(),0a b a ≠，使{}1j i X aX b P =+=，其中当1i j ρ=时，0a >；当1i j ρ=-时0a <.证明对随机变量()()i i i X X D X -E 与()()j j j X X D X -E 应用柯西施瓦茨不等式，有()()()()()()()()222i i i j j j i i i j i j X X X X X X X X D X D X D X D X ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤-E -E -E ⎡⎤-E ⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦E ≤E E ⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭即21i j ρ≤，所以1i j ρ≤，此时等式成立当且仅当存在0t ，使得()()()()01j j i i i j X X X X t D X D X ⎡⎤-E -E ⎢⎥P ==⎢⎥⎣⎦其中0t 是方程2210i j t t ρ-+=当1i j ρ=时的解.显然，当1i j ρ=时，01t =，即()()()()1j j i i i j X X X X D X D X ⎡⎤-E -E ⎢⎥P ==⎢⎥⎣⎦当1i j ρ=-时，01t =-，即()()()()1j j i i i j X X X X D X D X ⎡⎤-E -E ⎢⎥P =-=⎢⎥⎣⎦该定理表明：当1i j ρ=时，i X 与j X 之间存在线性关系，从而相关系数i j ρ作为“标准尺度下的协方差”是随机变量i X 与j X 之间的线性强弱程度的度量，更确切地说应该是线性相关系数.在统计教学中，求直线趋势方程的两个待定系数时，用到最小二乘法.柯西施瓦茨不等式在求方程系数和判断极值中起到了补充说明的作用，增强了预测模型的准确性、科学性、严密性.例 5 （求方程系数中的应用）当函数(),1,2,,i i y f t i n ==（），是由实验或观察得到的，建立直线趋势方程e y a bt =+的模型时，要求实际观察值i y 与趋势值e y 离差的平方和必须为最小.解设()()21,ni Q a b a bt y ==+-∑，这里()()()2211,n ni i i i Q a b a bt y a bt y ===+-=+-∑∑令2112()10,2()0n ni i Q Qa bt y a bt y t ab ==∂∂=+-⋅==+-⋅=∂∂∑∑ 整理得到：112111nni i n n n i i i y na b t ty a t b t =====⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩∑∑∑∑∑消去a ,2211111n n n n n i i i i i n t t b n ty t y =====⎡⎤⎛⎫-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑.由柯西施瓦茨不等式2222111111n n nn i i i i n t t t ====⎛⎫=⋅≥⋅ ⎪⎝⎭∑∑∑∑知22110nn i i n t t ==⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭∑∑，当且仅当12111nt t t ===时取等号. 由于t 是时间变量，故12n t t t ≠≠≠，所以22110nn i i n t t ==⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭∑∑所以111221111()n n ni i i n ni i n n i i n ty t y b t t y t a b n n =======⎧-⎪⎪=⎪-⎪⎨⎪⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑. 在直线回归方程e y a bx =+中，,a b 均为回归系数.在求回归系数时，同样用Cauchy 不等式证明22110n ni i n x x ==⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭∑∑得到111221111()n n ni i i n ni i n ni i n xy x y b x x y x a b n n =======⎧-⎪⎪=⎪-⎪⎨⎪⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑. 事实上，如果，22110nn i i n x x ==⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭∑∑，由柯西施瓦茨不等式我们得到12,n x x x x ====这时，总体回归直线就是一条平行于y 轴的直线了，这时x 与y 之间没有线性关系，从统计学的角度讲总体中没有变异，就没有必要进行统计了.例 6 （在判断极值存在中的应用）证明()()21,ni Q a b a bt y ==+-∑存在极小值.证明因为2112()1,2()n ni i Q Qa bt y a bt y t ab ==∂∂=+-⋅=+-⋅∂∂∑∑ 求二阶偏导得222222111212,2,2n n ni i i Q Q Q n t t a b a b ===∂∂∂====∂∂∂∂∑∑∑ 因为222222222211112224n n n n i i i i Q Q Q t n t t n t a b a b ====⎡⎤⎛⎫∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆=-⨯=-⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑由柯西施瓦茨不等式我们得到22110nn i i n t t ==⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑∑ 所以222222221140n n i i Q Q Q t n t a b a b ==⎡⎤⎛⎫∂∂∂⎛⎫∆=-⨯=-<⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑又因为2212120n i Q n a =∂==>∂∑，所以()()21,ni Q a b a bt y ==+-∑存在极小值，可以证明也就是最小值.由以上几个例子可以发现，柯西施瓦茨不等式不等式在概率论与数理统计中有着广泛的实际应用.6 矩阵分析中的Cauchy-Schwarz 不等式定义1 设i j A a =为n 阶方阵，记'A A *=,即同时取共轭又转置.若A A *=,则称A 是一个Hermite 阵.当A 为实矩阵时，Hermite 阵就是实对称阵.命题5 设,nx y C ∈，则(a) 2x y x x y y ***≤⋅ 等号成立当且仅当x 与y 线性相关.证明当x 与y 至少一个为零向量时，结论显然不成立.不妨设0x ≠，定义x yz y x x*=-，则0x z *=.于是20z ≤22x y z y y x y x***==-222x y y x*=-此即222x y x y *≤⋅等号成立0z y ⇔=⇔与x 成比例.（b ）设A 为n n ⨯Hermite 阵且0A ≥,则2x Ay x Ax y Ay ***≤⋅等号成立当且仅当x 与y 线性相关.证明因为0A ≥，则由Hermite 阵的性质，存在矩阵B,使得A B B *=.命,u Bx v By ==，对u 和v 应用(a),便得到(b).(c)设A 为n n ⨯的Hermite 阵且0A >,则 ‘ 21x y x Ax y A y ***-≤⋅, 等号成立当且仅当x 与1A y -线性相关.证明因为0A >,所以12A -存在,对12u A x =和12v A y -=应用(a),即得欲证的(c).由上可知,nx y C ∈为任意的一对列向量，我们要讨论的是当它们为正交向量时柯西施瓦茨不等式，是柯西施瓦茨不等式的另一种形式的推广.推论6 C 表示复数域，x *表示x 的共轭转置向量，n n ⨯ 阶正定矩阵的全体记为(),C n >.设(),A C n ∈>，A 的特征值为12,,,n λλλ，且都大于零，那么对于任意一对正交向量,n x y C ∈，有 2112n x Ay x Ax y Ay λλ***⎛⎫≤-⋅ ⎪⎝⎭证明不失一般性，令1x y ==，显然只需要证明当正交向量对1x y ==时，推论6成立.令()(),,B x y A x y *=那么，B 是一个22⨯Hermite 阵，令其特征值为12u u ≥，由Poincare 定理，有 1120n λμμλ≥≥≥> 所以(),B C n ∈>.同时21x Ayx Ax y Ay***-⋅()()()()()()212222222121244det 42x Ax y Ay x AyBx Ax y Ay x Ax y Ay TrB x Ax y Ay y Ay μμμμμμ**********⋅-===+----+-+-()()()1212121211212y Ay y Ay y Ay μμμμμμμμλμμμμ***=≥≥+++-所以()2121121x Axx Ax y Ayμμλμμ***≤-⋅+ 1121111λμμ=-⎛⎫+⎪⎝⎭又因为()()10f x x x=>是单调递减的函数，所以21112nx Axx Ax y Ayλλ***≤-⋅112n λλ=- 这样定理得证.例7 设(),A C n ∈>，A 的特征值为12,,,n λλλ，且都大于零，那么对于任意非零向量nx C ∈，有()()1142nx A x x Ax xλλ*-*≤证明令()()211y xA x x A x x -*-=-，这样0x y *=同时()21Ay xx x A x Ax *-=-()()41x Ay x x A x x Ax **-*=-()()1y Ay x A x y Ax **-*=- （12）由（12）式，我们可以得到10y A x x Ay *-*=≤，将（11）式带入推论6，有 ()21112n x Ay x Ax x A x y Ax λλ***-*⎛⎫≤-⋅⋅- ⎪⎝⎭因为0x Ay y Ax **=≤，所以1112n x Ay x Ax x A x λλ***-⎛⎫≥--⋅ ⎪⎝⎭将上式用于()41x Ay x x A x x Ax **-*=-，我们得到()()4112n x x A x x Ax λλ*-*≥即()()1142nx A x x Ax xλλ*-*≤这样定理得证.注5 由柯西施瓦茨不等式的形式（b ）2x Ay x Ax y Ay ***≤⋅，我们可得到21x Ayx Ax y Ay***≤⋅由推论621112nx Ayx Ax y Ayλλ***≤-≤⋅ （13）因此（13）式的结论较柯西施瓦茨不等式精确，所得结果更强.结束语本文从五个方面分别介绍了柯西施瓦茨不等式的五个等价形式，并进行了简洁的证明.并分别介绍了柯西施瓦茨不等式的简单应用，特别是在概率统计中的实际应用，而且在实数域和微积分中进行了一定的推广.由于知识所限，在对其他方面的柯西施瓦茨不等式没有进入深入的分析，也没有进行推广.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社, 2003. [2]吴传生.数学分析（上册）习题精解[M].合肥:中国科技大学出版社，2004. [3]邓天炎，叶留青.概率统计[M].北京:中国矿业大学出版社，2004. [4] 王松佳,吴密霞,贾忠贞[M].北京:科学出版社,2005.[5] 黄廷祝,杨传胜.特殊矩阵分析及应用[M].北京: 科学出版社, 2007. [6]K.G.宾莫尔.数学分析基础浅导[M].北京：北京大学出版社，2006.[7]孙永生,王昆扬.泛函分析讲义[M].北京：北京师范大学数学科学学院，2007.[8] 罗俊丽,朱白. Cauchy-Schwarz 不等式的几中推广形式[J].商洛学院学报,23:4(2009),28-29. [9]常广平，李林衫，刘大莲.利用Cauchy-Schwarz 不等式估计回归系数[J].北京联合大学学报，22:4(2008),77-78.Application and promotion of the Cauchy-Schwartz inequalityAuthor:Zha Min Superviser: Cai GaixiangAbstract This paper explores all kinds of forms and content and a variety of ways of proof and applications of the Cauchy inequality in diffirent fields of mathematics,and makes some degrees of promotion of it. Through a series of examples,we can see that the Cauchy inequality makes the proof of related mathematical propositions more simple and even can reach onestop effect,especially in the field of probability and statistics. Keywords Cauchy-Schwartz inequality Minkowski inequality Holder inequality Hermite matrix。

柯西不等式赫尔德卡尔松

柯西不等式赫尔德卡尔松柯西不等式、赫尔德不等式和卡尔松不等式是数学中的重要概念，它们在分析、几何和概率论等领域都有着广泛的应用。

本文将从深度和广度两个方面对这三个不等式进行全面评估，并撰写有价值的文章来帮助您更好地理解这些重要的数学概念。

一、柯西不等式柯西不等式是数学分析中的一个重要定理，它是用来衡量两个向量内积的大小关系的不等式。

具体来说，对于两个n维实数向量a和b，它们的内积可以表示为a·b=∑(a_i * b_i)，而柯西不等式则可以表示为|a·b|<=||a||*||b||，其中||a||和||b||分别表示向量a和b的模长。

柯西不等式在几何学、泛函分析和概率论中都有广泛的应用，它可以帮助我们理解向量之间的相对位置关系，以及在求解最优解或估计问题中的重要作用。

在柯西不等式的证明和推广过程中，我们可以利用欧几里德空间的内积和范数的性质，结合线性代数的知识，展开严谨的数学推导和分析。

柯西不等式还可以推广到希尔伯特空间以及一般的内积空间中，有着深刻而广泛的数学意义。

二、赫尔德不等式赫尔德不等式是另一个重要的不等式定理，它是用来衡量函数间积分的大小关系的不等式。

具体来说，对于两个可积函数f和g以及两个常数p和q，赫尔德不等式可以表示为||∫(f*g)dx||<=||f||_p*||g||_q，其中||f||_p和||g||_q分别表示函数f和g在L^p和L^q范数下的大小，而f*g表示f和g的卷积或乘积运算。

赫尔德不等式在数学分析、数学物理和信号处理等领域有着重要的应用，它可以帮助我们理解积分函数之间的大小关系，以及在估计和逼近问题中的关键作用。

赫尔德不等式的证明和推广过程中，我们需要利用Lebesgue积分和Lebesgue测度的性质，结合实变函数和泛函分析的理论，展开严密的数学推导和分析。

赫尔德不等式还可以推广到广义的Lebesgue空间以及一般的测度空间中，有着深刻而广泛的数学意义。

柯西不等式的一个推论及其应用

关键词：西不等式；论；明；赛题柯推证竞
中图分类号：６３．２Ｃ３６，文献标识码：Ａ
本艾根琚栩西不等式得到一个推论，然后用它解证一些国内外中学生数学竞赛题，读者从中看到用它解答，颖有趣，新简捷巧妙！
＋
．
ａ＋ｂ＋Ｃ
≥ —
．
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妻 ∑㈦
— 一
证明：由推论得
５＋ｃ（ｃ＋ａ）ａ＋ｂ ≥ ａ＋ｂ＋ｃｌ＋（）＋（ａ＋ｂ＋ｃ
ｂ＋Ｃ＋。Ｃ＋ａ＋ａ＋ｂ≥ ’ ｒ一
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例３（９９年全国中学数学竞赛题）０＜ａ，＜１丌求证：１７设Ｊ９
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．
３ａ＋ｂ（２２＋Ｃ＋ｄ）２ａ＋ａ２２ｉ（ｂ＋＞ｄ＋６ｃ＋ｂｄ＋ｃ）ｄ，３口＋ｂ＋ｃ＋ｄ（ｂ＋∞ ＋ａ（） ≥８ａｄ＋６＋ｃ）ｃ＋ｄ，（口＋６＋ｃ＋ｄ）≥了口＋＋６８（６＋ｃ＋６ｄ＋ｃ）ｄ
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证明由推论得丝奶：丝幻
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例２（９９１８＋年第二届“ 友谊杯 ” 国际数学竞赛试题）ｎｂｃ，设，， ∈Ｒ求证：
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２
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文章编号：０８—６９（０２０１０３０２０）６—０６ —００８４

浅谈柯西不等式的应用和推广

浅谈柯西不等式的应用和推广摘要：柯西不等式是一个熟知的重要不等式，有着相当广泛的应用。

本文运用柯西不等式及推论对证明相关命题、证明不等式等问题进行探讨，并进一步地研究柯西不等式的推广和应用。

关键词：柯西不等式；应用；推广柯西不等式是由大数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，因而被命名为柯西不等式。

柯西不等式具有对称和谐的结构，在熟练掌握柯西不等式的相关内容之后，主要是应用柯西不等式解决相关问题，可以使一些复杂繁琐的题目简单化，从而可以拓宽解题思路，节省解题时间，提高解题效率。

1 柯西不等式的基本形式定理（柯西不等式）设有两组实数1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 和1b ，2b ，⋅⋅⋅，n b ，则()()()222222211221212.n n n n a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+当且仅当i a 或i b 全为0，或i i b a λ=，R λ∈，1,2,,i n =⋅⋅⋅时取等号。

柯西不等式可以简写成： 2 柯西不等式的应用柯西不等式在数学各个分支里都有极其广泛的应用，本文对柯西不等式的应用做一些粗略的归纳，关键是分析问题后抓住问题的结构特征，找准解题的方法思路，通过变形构造出符合柯西不等式的形式及条件，从而达到化难为易、化繁为简、化陌生为熟悉的目的。

2.1 应用柯西不等式证明相关命题例1[1] 已知()000,P x y 及直线l ：0Ax By C ++=()220A B +≠，求证点0P 到直线l 的距离为证明设点(),P x y 是直线l 上的任意一点，则0.Ax By C ++=那么的最小值就是点0P 到直线l 的距离，由Ax By C +=-且220A B +>，构造两数组A ，B 与0x x -，0.y y - 由柯西不等式，得222111.n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑1PP =()()()()()222220000AB x x y y A x x B y y ⎡⎤+-+-≥-+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()222000000.Ax By Ax By C Ax By Ax By C =+-+=--+=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦d当且仅当时，即满足过点0P 垂直于直线l 直线时上述不等式取等号。

柯西不等式的证明、推广及应用

柯西不等式的证明、推广及应用2 柯西不等式的推广2.1 命题1若级数∑∑==ni i ni i b a 1212与收敛，则有不等式∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221。

证明：∑∑==ni i n i i b a 1212, 收敛，⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a 1212210i ni i b a ∑=∴1收敛，且∑∑∑=∞→=∞→=∞→≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n n i i n n i i i n b a b a 121221lim lim lim从而有不等式∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221成立。

2.2 命题2[3]若级数∑∑==ni i ni i b a 1212与收敛，且对N n ∈∀有∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221，则对定义在[]b a ,上的任意连续函数()()x g x f ,有不等式()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba b ab a ⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛222证明：因为函数()()x g x f ,在区间[]b a ,上连续，所以函数()()()()x g x fx g x f 22、、与在[]b a ,上可积，将[]b a ,区间n 等分，取每个小区间的左端点为i ξ，由定积分的定义得：()()()()()()()()xg dx x g x f dx x f xg dx x g x f dx x f i ni n bai ni n bani in bani in ba∆=∆=∆=∆=∑⎰∑⎰∑⎰∑⎰=∞→=∞→=∞→=∞→ξξξξ12212211lim ,lim lim ,lim令()()12211221,ξξg bfa ==，则∑∑==ni i n i i b a 1212与收敛，由柯西不等式得()()()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∑∑∑∑∑∑=∞→=∞→=∞→===ni i n n i i n ni i i n n i i n i i n i i i x g x f x g f x g x f x g f 121221121221lim lim lim ,ξξξξξξξξ从而有不等式()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba b ab a ⎰⎰⎰≤⎪⎭⎫ ⎝⎛222。

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柯西不等式的一个推广
柯西不等式是一个著名的数学不等式，它最初由英国数学家约翰柯西在1857年提出。

这个不等式给了数学家以一种强有力的表达“有趣”问题的方法，它在推动数学研究方面发挥了重要作用。

最初的柯西不等式表达的是这样一种思想：一个函数内的若干点的和的倒数不可能大于函数的最大值。

柯西不等式的一个推广是称为Carleman不等式，由瑞典数学家Torsten Carleman在1924年提出。

Carleman不等式的思想是：给定集合的函数的和的倒数不可能大于所有函数的最大值的和的倒数。

与柯西不等式相比，Carleman不等式把研究对象扩展到函数集合，而不仅仅是函数内的若干点，这让研究函数集合对于每一个点的关系变得更加容易。

为了证明Carleman不等式，Torsten Carleman提出了一种新的数学工具：偏微分方程组。

他通过推导不等式来表达他的思想：假设一个函数集合{f1，f2，…，fn}，那么我们可以构建一个函数f=f1+f2+…+fn，它的偏微分方程组为
f1x1+f2x2+…+fnxn≤M
其中，M表示函数集合{f1，f2，…，fn}的所有函数的最大值的和。

通过解决这个偏微分方程组，我们就可以得到满足它的解，从而得到Carleman不等式的证明：
f1/x1+f2/x2+…+fn/xn≤M/min(x1，x2，…，xn)
我们可以看出，当x1，x2…，xn趋近于零时，M/min(x1，
x2，…，xn)可以趋近于任意大的值，使得Carleman不等式成立。

柯西不等式和Carleman不等式的研究在现代数学中仍被广泛应用，它们的推广更是被纳入到各种数学研究领域中，诸如几何、拓扑、复变函数等等。

比如，在几何学中，柯西不等式更新了几何中点的定义，使得几何问题更加清晰明了。

在复变函数领域，Carleman不等式被应用到多复变函数的研究中，使得多复变函数的研究变得更加容易。

由于柯西不等式和Carleman不等式是数学中著名的不等式，它们可以帮助数学家完成各种复杂的数学问题，从而推动数学研究的发展。

例如，它们可以帮助数学家推导出各种数学定理，比如偏微分方程的解的最值定理，在几何学中有很多定理，比如椭圆的旋转定理，都是建立在柯西不等式和Carleman不等式的基础上的。

因此，柯西不等式和Carleman不等式在数学领域中都有着不可磨灭的贡献，它们提供了一种有效的分析思路，使得数学家们能够深入地探究和思考复杂的问题，把数学发展出今天这样一个完美的领域。

综上所述，柯西不等式和Carleman不等式对于数学研究起着重大的作用，它们提供了一种可行的分析思路，让数学家们能够深入探究复杂的问题，为数学的发展提供了坚强的支持。