柯西不等式的应用及推广

3.1 配方法
。
由此证明了 且得等号成立的条件为：
.这等价于连比式 [8]。
3.2 判别式法
当 或 时，不等式显然成立
令 ，当 中至少有一个不为零时，可知A>0
构造二次函数 ，展开得： 故 的判别式
移项得 ，得证。
3.3 数学归纳法
) 当n=1时，有 ，不等式成立。
当n=2时，
因为 ，故有
当且仅当 ，即 时等号成立。
ii）假设n=k时不等式成立，即
当且仅当 时等号成立。
那么当n=k+1时，
当且仅当 , , 时等号成立，
即 时等号成立。
于是n=k+1时不等式成立。
由 ) ii）可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立。
3.4 基本不等式法
运用基本不等式 。
记 , , , 。
则柯西不等式就等价于 ，也等价于 。
，当且仅当 ，即 时等号成立；
，当且仅当 ，即 时等号成立；
……
，当且仅当 ，即 时等号成立。
把以上 个式子相加得
。
当且仅当 时等号成立，则等价命题成立。
故柯西不等式成立。
3.5 运用推广不等式
若 为正数， 为非负数， ，实数 ，则
（当且仅当 时等号成立）。
在以上推广不等式中取 。
有 。
化简得， 。
当 为零或几个为零（ 处于对称位置），不等式显然成立。
2 柯西不等式的诠释
柯西是18世纪法国、巴黎著名的数学家，他的一生获得了多项重要的成果。本文介绍的柯西不等式便是他的一个非常重要的成果。除此之外他在数学的很多领域都进行了深刻的研究，其中包括数论、代数、数学分析和微分方程等，为数学的发展做出的突出的贡献。
2.1 柯西不等式
定理 给定任意两组实数 ，满足 ，只有在 与 对应成比例，即 时，等号才成立。我们就把这个不等式称为柯西（Cauchy）不等式。
解： 设椭圆的半焦距为 。依题意
解得 。
故所求椭圆方程为 。
设 , 。则直线 的方程为
。
由原点 到直线 的距离为 得
即 。
则 的面积
考虑到 , 都在椭圆 上，即 ,
则
。
当且仅当 时，上式等号成立。
故 面积的最大值为 。
说明： 的意义是：在 不全部为0时，如果 ，那么对应的 ；在 时， 可取任意实数[1]。
2.2 柯西不等式的推论
推论1 给定 是正实数，得 ，当且仅当 等号成立[2]。
证：对比柯西不等式，构造出下列两组数：
。
由柯西不等式，得
，
即 。
所以原不等式成立[3]。
推论2 设 是实数，则 ，当且仅当
等号成立 [2]。
关键词:柯西不等式；证明；应用；
Abstract
In this paper, Cauchy inequality and its corollary, deformation, diffusion and integral form are explained in detail. What’s more, several typical Cauchy inequality proofs, such as the distribution method, discriminate method, mathematical induction, the use of the basic andpromotionalinequality, using the second type and vector inner product are introduced. Furthermore, the paper reveals the application of Cauchy inequality in inequalities, equality proof, for the most value, analytic geometry, the scope of demand parameters, solving equations, the solution functionand geometry through a series of examples. Cauchy inequality is a very important mathematics inequality. Within its harmonious symmetrical structure, it is widely used in elementary mathematics, higher mathematics and almost every branches of mathematics. When using it flexibly, most of the difficult problems can be solved, or evenuserscanreceivea surprise move, a multiplier effect. All these fully reflect the importance of Cauchy inequality and the strong capability of application.
4.3 在求最值方面的应用
多字母式子的最值与含约束条件式子的最值问题是比较常出现的。我们需要掌握以下两个要点： 放缩为常数，也就是想办法找出两组适当的实数； 确保等号成立。这主要是验证 ，在求经过多次放缩的同事要确保等号可以同时取到[14]。
例7 设实数 满足 ，求 的最大值。
分析：因 是一次式，配方法和判别式法都是无能为力的，均值不等式也似乎也用不上。那就考虑一下把题设稍微改动一下，然后就可以代替柯西不等式中的两组数了。
为了处理分式不等式方便，一般变形为 。
变形3对任意的两组实数 ，有
。
只有当 ( 为常数， )时，取等号。
2.4 柯西不等式的推广
定理2 对 ，有
。
证：记 。由算数—几何平均不等式有
，
得 [5]。
2.5 柯西不等式的积分形式
施瓦茨（Schwartz）不等式即就是柯西（Cauchy）不等式的积分形式。
定理3 若 、 在 上可积，则
，
。
把上述两个不等式相加，再除以 ，
可得 成立。
例2 设 为正实数，且满足 ，证明：
。
分析：由于 ，不等式就可以变形为：
证：因为 ，
所以 = 。
对左边进行配对约分，运用柯西不等式，则
。
所以 [11]。
接下来主要介绍一下柯西不等式在一些竞赛题中的应用。
例3 （1998年伊朗数学奥林匹克试题）如果 ，且 ，
解：根据柯西不等式，
。
即 。
因为 ，所以 。
其中等号当且仅当 , ，且 时成立。
由以上诸式解得 。
所以当 时， , , 取最大值 [3]。
例8 已知 都是实数且 , ，
求 的最大值。
解：由柯西不等式知
，
故 。
所以 。
即 ，解得： 。
当 。
所以 的最大值为 。
例9 已知 且 试求 的最大值。
解：由柯西不等式的变形可得
证明： 。
证：注意到 ，由柯西不等式得
。
而 ，
所以，不等式得证。
例4 （第42届IMO试题）对所有正实数 证明：
。
证：由柯西不等式得
再用柯西不等式得
=
所以
只要证 。
这由均值不等式得到。所以 [12]。
4.2 在证明等式方面的应用
虽然不等式与等式是两个对立统一的概念，但是柯西不等式既然含有等号，因此也可用来解决等式问题，这种用不等式解决等式问题，有助于培养辩证思维。
。
如果 、 在 在上连续，只有当存在常数 使得
成立时取等号（ 不同时为零）[6]。
证：因为 、 在 上可积，由定积分来自质，推得，及 在 上都可积，
由定积分性质：
。
因为上式对一切实数 都成立，所以就有
。
由此可证施瓦茨（Schwartz）不等式 成立[7]。
3 柯西不等式的证明
柯西不等式的证明方法有很多，接下来介绍几种典型的。
题目： 柯西不等式的应用及推广
（英文）：The application and generalization of the Cauchy inequality
理学
摘 要
本文对柯西不等式及其推论、变形、推广和积分形式进行了诠释，详细介绍了柯西不等式的几种典型证明方法，如配方法、判别式法、数学归纳法、运用基本不等式和推广不等式、利用二次型和向量内积等方法，并通过列举一系列范例揭示柯西不等式在不等式证明、等式证明、求最值、解析几何、求参数范围、解方程、解函数、几何等方面的应用。说明了柯西不等式是数学中的一个非常重要的不等式，它结构对称和谐，在初等数学和高等数学中都有比较广泛的应用，在数学的各个分支都可以见到它的应用。灵活巧妙地运用它，往往可使一些比较困难的问题迎刃而解，甚至收到出奇制胜、事半功倍的效果，充分体现柯西不等式的重要性及较强的应用性。
。
而 ，所以 ，
即 的最大值为 [15]。
4.4 在解析几何方面的应用
例10 已知直线 ，点 ，求点 到直线 的距离。
解：设点 为直线 上的任意动点，点 到直线 的距离实质为点 与动点 的最短距离。又 ，那么求点 到直线 的距离即为在约束条件 下求关于 的二元函数 的最小值。
根据柯西不等式得
则
。
当且仅当 时取等号，也即 时取等号。
故点 到直线 的距离为 。
例11 已知椭圆 : 与直线 : 相切，求切点 的坐标。
解： 设切点 ，则
由柯西不等式得
。
当且仅当 等号成立，即 代入直线方程得 , 。
故切点 的坐标为 。