归纳柯西不等式的典型应用

归纳柯西不等式的典型应用

归纳柯西不等式的典型应用

【摘要】：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的

方法证明了柯西不等式，介绍了如何利用柯西不等式技巧性解题，在证明不等式或等式，解方程，解三角形相关问题，求函数最值等问题的应用方面给出几个典型例子。最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。

【关键词】：柯西不等式 ；证明；应用

【引言】：本人通过老师在中教法课上学习柯西不等式时，老师给出

了一些有关的例题并讲解，由于柯西不等式是一个非常重要的不等式，如果巧妙利用它，在高考可以节省很多宝贵时间，而且得分率高。因此，本文介绍归纳了柯西不等式的典型应用，经过收集及整理资料，得到四类的典型题。

【正文】：

1.柯西不等式的一般形式为：

对任意的实数 n n b b b a a a ,,,,,,2121⋅⋅⋅⋅⋅⋅

()(

)

222112

22212

222

1

)(n n n n b a b a b a b b b a a a

⋅⋅⋅⋅⋅⋅++≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++

其中等号当且仅当λ===

n

n

b a b a b a 2211时成立,其中R ∈λ 变式：()()222112121)(n n n n y x y x y x y y y x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅++≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++

2. 柯西不等式的证明：

证明柯西不等式的方法总共有6 种，下面我们将给出常用的2种证明柯西不等式的方法： 1）配方法：

作差：因为22211

1

()()()n

n

n

i

j

i i i j i a b a b ===-∑∑∑

221

1

1

1

()()()()n n

n n

i

j

i i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑

2211

11

n n n n

i j

i i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑

2222

111111

1(2)2n n n n n n

i j j i i j j i i j i j i j a b a b a b a b =======+-∑∑∑∑∑∑ 2222

11

1(2)2n n i j i j j i j i i j a b a b a b a b ===-+∑∑ 211

1()02n n

i j j i i j a b a b ===-≥∑∑

所以222

1

1

1

()()()n n n i

j

i i i j i a b a b ===-∑∑∑0≥，即2221

1

1

()()()n n n

i

j

i i i j i a b a b ===≥∑∑∑

即222222*********()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… 当且仅当0(,1,2,,)i j j i a b a b i j n -==……

即(1,2,,;1,2,,;0)j

i j i j

a a i n j n

b b b ===≠…………时等号成立。 2）用数学归纳法证明

i ）当1n =时，有2221112()a b a b =，不等式成立。

当2n =时，22222112212221122()2a b a b a b a b a b a b +=++

222222222222

121211221221()()a a b b a b a b a b a b ++=+++。

因为2222122111222a b a b a b a b +≥，故有2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++ 当且仅当1221a b a b =，即

12

12

a a

b b =时等号成立。 ii ）假设n k =时不等式成立。即

222222

211221212()()()k k k k a b a b a b a a a b b b +++≤++++++………………

当且仅当

12

12n n

a a a

b b b ===……时等号成立。 那么当1n k =+时，

2112211()k k k k a b a b a b a b ++++++……

222

112211112211()2()k k k k k k k k a b a b a b a b a b a b a b a b ++++=++++++++…………

22222222121211112211()()2()k k k k k k k k a a a b b b a b a b a b a b a b ++++≤+++++++++++………………

2222222222222222121211111111

()()k k k k k k k k k k a a a b b b a b b a a b b a a b ++++++≤++++++++++++………………222222121121()()k k a a a b b b ++=++++++………… 2222221212()()n n a a a b b b =++++++…………

当且仅当1111212111,,,k k k k k k k k a b b a a b b a a b b a ++++++===……时等号成立， 即

112

121

k k k k a a a a b b b b ++====……时等号成立。 于是1n k =+时不等式成立。

由i ）ii ）可得对于任意的自然数n ，柯西不等式成立。

3. 柯西不等式在解题中的应用

3.1证明恒等式

利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取等号的充分必要