高中数学教学论文 柯西不等式的证明与应用
柯西不等式各种形式地证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅=⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑 二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc≥=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()1231231122332222212322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na b b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。
柯西不等式论在高中应用论文
柯西不等式在高中阶段的应用摘 要：本文主要介绍了在高中阶段利用柯西不等式在证明等式，不等式和求函数最值方面的应用。
关键词：柯西不等式 、等式、不等式、最值、技巧、应用一、引言在高中数学研究中，我们发现了一些不仅形式优美而且具有重要应用价值的不等式，人们称它们为经典不等式，柯西不等式 就是这样的不等式。
2012年湖北省高考的选择题第6题就考到了利用柯西不等式求值问题。
首先我们来看一下柯西不等式定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立。
定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则||||||βαβα⋅≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-定理4：（一般形式的柯西不等式）：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则：22222212121122(++)(+)()n n n n a a a b b b a b a b a b +⋅⋅⋅+⋅⋅⋅≥++⋅⋅⋅即211212)(∑∑∑===≥ni i i n i i ni ib a b a ，其中等号当且仅当1212n nb b b a a a ==⋅⋅⋅=时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。
二、柯西不等式在解等式、不等式、最值等方面的应用。
1 利用柯西不等式证明恒等式利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取等号的充分必要条件来达到目的，或者是利用柯西不等式进行夹逼的方法获证。
例1、已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是数学中一个重要的不等式，具有广泛的应用。
本文将列举一些柯西不等式的应用，并对这些应用进行详细讲解。
应用一：向量内积的最大值柯西不等式给出了两个向量内积的最大值。
具体表述为：对于任意两个n维向量a和b，它们的内积满足：|a·b| ≤||a|| ||b|| ，其中||a||和||b||分别表示向量a和b的范数（长度）。
利用柯西不等式，我们可以得到向量内积的最大值。
当两个向量a和b线性相关时，内积达到最大值；当两个向量a和b正交时，内积达到最小值。
应用二：函数内积的最大值在函数空间中，柯西不等式同样适用。
给定两个定义域为[a,b]的函数f(x)和g(x)，它们的内积满足：|∫f(x)g(x) dx| ≤ (∫f^2(x) dx)^(1/2) (∫g^2(x) dx)^(1/2)。
利用柯西不等式，我们可以得到函数内积的最大值。
当两个函数f(x)和g(x)线性相关时，内积达到最大值；当两个函数f(x)和g(x)正交时，内积达到最小值。
应用三：平均值与均方差的关系柯西不等式可以用来证明平均值与均方差的关系。
具体表述为：对于任意n个实数x1,x2,…,xn，它们的平均值avg和均方差sd满足：avg^2 ≤ sd^2，其中avg = (x1+x2+…+xn)/n，sd = [(x1-avg)^2 + (x2-avg)^2 + … + (xn-avg)^2]/n。
利用柯西不等式，我们可以得到均方差的最小值。
当n个实数x1,x2,…,xn相等时，均方差达到最小值；当n个实数x1,x2,…,xn分别与极值相等时，均方差达到最大值。
应用四：不等式约束条件下的最优化在最优化问题中，柯西不等式可以用来求解不等式约束条件下的最优解。
具体表述为：对于一组实数x1,x2,…,xn和正实数a1,a2,…,an，满足不等式约束条件：(x12/a12) + (x22/a22) + … + (xn2/an2) ≤ 1，以及目标函数f(x1,x2,…,xn)。
柯西不等式在高中数学中的运用(学生论文)
柯西不等式在高中数学中的运用南充一中高2014级9班 尹超 指导老师：蒲有顺在不等式的世界中，可以说是千变万化，在这里我想与大家分享柯西不等式带来的无穷快乐。
一、通过构造二次函数恒不小于零来解决问题 f(x)=(a 1x-b 1)2+(a 2x-b 2)2+、、、+(a n x-b n )2≥0f(x)=（a 21+a 22+、、、+a 2n ）x 2-2(a 1b 1+ a 2b 2+、、、+ a n b n )x+(b 21+b 22+、、、+b 2n )≥0 欲使其恒成立，那么∆=4(a 1b 1+ a 2b 2+、、、+ a n b n )2-4（a 21+a 22+、、、+a 2n ）(b 21+b 22+、、、+b 2n )≤0则 （a 21+a 22+、、、+a 2n ）(b 21+b 22+、、、+b 2n )≥(a 1b 1+ a 2b 2+、、、+ a n b n )2 当且仅当x=11b a =22b a =、、、=nn b a 时，取“=”成立 大家请看这就是最原生态的柯西不等式了哦二、下面请跟随我一起来体验柯西不等式的乐趣吧！ 例题1：已知a,b,c 都是正实数，且a+b+c=1,求a1+b4+c9的最小值。
解答：根据上述的方法可以构造如下： f(x)=(a1x-a )2+(b2x-b )2+(c3x-c )2=（a1+b4+c9）x 2-12x+(a+b+c)≥0恒成立，那么∆=144- 4（a1+b4+c9）(a+b+c)=144- 4（a1+b4+c9）≤0 则a1+b4+c9≥36当且仅当a=61,b=31,c=21时，取“=”成立 故（a1+b4+c9）min =36这办法超前意识很好，具有很强的操作性，值得大家学习。
在以后的学习中希望不断探索。
（此题也可以用均值定理） 例题2：已知a,b,c 都是正实数，比较cb a+2+ac b+2+ba c+2与2cb a ++的大小证明：根据题中的特点可以构造如下函数： f(x)=(cb a +x-c b +)2+(c a b +x-c a +)2+(ba c +x-b a +)2≥0那么f(x)=(cb a+2+a c b+2+b a c+2)x 2-2(a+b+c)x+2(a+b+c) ≥0则∆=4(a+b+c)2-4（cb a+2+ac b+2+ba c+2）∙2(a+b+c) ≤0又因为a,b,c 都是正实数故cb a+2+ac b+2+ba c+2≥2cb a ++小试牛刀设a,b,c,d 都是正实数，且a+b+c+d=1,比较14+a +14+b +14+c +14+d 与6的大小。
柯西不等式的证明、推广和应用
专 题 研 究
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பைடு நூலகம்
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柯 西不等式的证明、 推广和应用
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◎张 可 贤 （浙 江省 杭 州财 税 会 计 学校 ３０ ０ １ ０ ０）
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【 摘要】 文详细讨论 了柯西不等式的多种不 同的证 明 本
方 法 ， 柯 西 不 等 式进 行 了深 入 理 解 ， 进 一步 地 去 研 究 了 对 并 柯 西 不 等 式 的 几 种 特 殊 的推 广 形 式 ， 且 通 过 列 举 一 系 列 而 范例 揭 示 柯 西 不 等 式 在代 数 、 何 、 最 值 、 导 公 式 、 际 几 求 推 国 数 学 竞 赛 等 各 方 面 的 广 泛 应 用．
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就是 我们 所 说 的 Ｌ ｇａ ｇ 等 式 ． 此 Ｃ ｕ ｈ 不 等 式 ａｒｎ ｅ恒 因 ａ ｃｙ 可 由 Ｌ ｇａ ｇ ａｒｎ ｅ恒等 式 推 导 得 到 ， 以有 时也 称 它 为Ｌ ｇａ ｇ 所 ａ ｒｎ ｅ
不等式． 证 明 ２ △判 别 法 ．
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柯西不等式在高中数学中的应用及推广毕业论文
柯西不等式在高中数学中的应用及推广［摘要］本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的几种证明方法及其在初等数学解题中的应用。
同时对其在其他领域的推广进行了简要论述，并且对其在中学数学教学中的一些问题进行讨论，对柯西不等式在高中数学解题中的应用进行了广泛的取证并得到了证明，从而肯定了其在高中数学学习中的重要性.[关键词]柯西(Cauchy ）不等式；应用函数最值；三角函数证明;不等式教学1 引言中学教材和教辅读物中有不少地方都有一些高等数学知识的雏形和影子。
在中学数学教学中，不等式的教学一直是一个难点，学生在学习和应用不等式同时，都会觉得解题中困难重重。
而柯西不等式是著名的不等式之一，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解.柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题具有重要的应用.基于此，本文拟以柯西不等式为出发点，从其证明方法到推广及应用技巧等方面进行总结和归纳，并简谈其在中学数学中的一些应用。
2 柯西不等式的证明本文所说的柯西不等式是指()n i b a b a ni i n i i n i i i →=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===2,1121221 (1）当且仅当122n ina a ab bb===时，等号成立。
2。
1 构造二次函数证明首先 当120n a aa ====或120n b b b ====时，不等式显然成立.令22111,,nnni i i i i i i A B C a a b b ======∑∑∑当1,2,na aa中至少有一个不为零时，可知0>A ,构造二次函数()222,f x Ax Bx C =++展开得()()()22221120nnii i iiii i f x a x a b x ba xb ===++=+≥∑∑故()f x 的判别式2440B AC ∆=-≤，移项得2AC B ≥，得证。
2.2 向量法证明令()()123123,,,,,,,,,n n a a a a b b b b αβ==则对向量αβ，有()1,cos ≤=⋅⋅⋅βαβαβαβα 2222112211,,nnn n i i i i a b a b a b a b αβαβ==⋅=++==∑∑得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a 121221当且仅当()cos ,1αβ=，即,αβ平行式等号成立。
柯西不等式的证明及应用
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柯西不等式的证明及应用
作者：胡向斌
来源：《中学课程辅导·教学研究》2013年第26期
摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
本文在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的应用方面给出几个例子。
关键词：柯西不等式；证明；应用
参考文献：
[1]柯西不等式的微小改动 [J]数学通报2002 第三期
[2]柯西不等式与排序不等式[M]南山湖南教育出版社
[3]普通高中解析几何[M]高等教育出版社
（作者单位：甘肃省榆中县第一中学730100）。
柯西不等式的证明及相关应用
柯西不等式的证明及相关应用一、柯西不等式的证明：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)证明过程如下：1. 首先构造一个关于t的二次函数f(t) = (at - b)^2，其中a和b为任意实数。
2. 将函数f(t)进行完全平方，得到f(t) = a^2t^2 - 2abt + b^23.根据二次函数的性质，可以发现f(t)≥0，即二次函数的图像在t轴上方或与t轴相切。
4.根据二次函数的图像性质，我们可以得到二次函数在顶点处取到最小值。
5.通过求解f(t)对t的导数等于0，得到当t=b/a时，函数f(t)取到最小值。
6. 将f(t)中的a和b代换成数列a和b的对应元素，我们得到f(t) = (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 - 2(a1b1 + a2b2 + ... + anbn) + (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)。
7. 将t = b/a = (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)/(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)代入f(t)，得到f(t) ≥ 0，即(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)。
8. 由于a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn为任意实数，因此柯西不等式成立。
二、柯西不等式的应用：1.判定正交性：对于向量空间中的两个向量a和b，根据柯西不等式的等号情况可以判断a和b是否正交。
当且仅当(a·b)^2=，a，^2*，b，^2时，向量a和b正交。
2. 证明向量的长度：根据柯西不等式，可以推导出向量的长度公式。
设向量a = (a1, a2, ..., an)，则有，a， = sqrt(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)。
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柯西不等式的证明及其应用摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用六种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。
关键词：柯西不等式，证明，应用Summar y： Cauchy's inequality is a very important inequality, this article use six different methods to prove the Cauchy inequality, and gives some Cauchy inequality in inequality, solving the most value, solving equations, trigonometry and geometry problems in the areas of application, the last used it proved that point to the straight line distance formula, better explains the Cauchy inequality.Keywords ：Cauchy inequality, proof application不等式是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支。
本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的证明方法及其在初等数学解体中的应用。
柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用几种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用。
一、相关定理柯西不等式是指下面的定理定理 设,(1,2,...,),i i a b R i n ∈=则222111()()()nnni i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑当数组a 1，a 2，…，a n ,b 1，b 2，…，b n 不全为0时，等号成立当且仅当(1)i i b a i n λ=≤≤.柯西不等式有两个很好的变式：变式1 设,0(1,2,...,),i a R bi i n ∈>= 221()ni i i ii a a b b =≥∑∑∑,等号成立当且仅当(1)i i b a i n λ=≤≤变式2 设a i ,b i 同号且不为0（i=1，2，…，n ）则21()ni i i i i ia ab a b =≥∑∑∑,二、柯西不等式的证明： 常用的证明柯西不等式的方法有： 1）配方法：作差：因为222111()()()nnniji i i j i a b a b ===-∑∑∑所以222111()()()n n n iji i i j i a b a b ===-∑∑∑0≥，即222111()()()n n niji i i j i a b a b ===≥∑∑∑即………………222222*********()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++ 当且仅当……0(,1,2,,)i j j i a b a b i j n -==即…………(1,2,,;1,2,,;0)ji j i ja a i n j nb b b ===≠时等号成立。
2）利用判别式证明（构造二次函数法）若210ni i a ==∑，则12....0.n a a a ====此时不等式显然成立。
若210ni i a =≠∑，构造二次函数()2221112n n n i i i i i i i f x a x a b x b ===⎛⎫⎛⎫=•-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑()210ni i i a x b ==-≥∑对于x ∈R 恒成立，所以此二次函数()f x 的判别式△≤0，即得证。
3）用数学归纳法证明i ）当1n =时，有2221112()a b a b =，不等式成立。
当n=2时，22222112212221122()2a b a b a b a b a b a b +=++222222222222121211221221()()a a b b a b a b a b a b ++=+++。
因为2222122111222a b a b a b a b +≥，故有2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++ 当且仅当1221a b a b =，即1212a ab b =时等号成立。
ii ）假设n k =时不等式成立。
即 (222222)211221212()()()k k k k a b a b a b a a a b b b +++≤++++++当且仅当 (12)12n na a ab b b ===时等号成立。
那么当1n k =+时，当且仅当……1111212111,,,k k k k k k k k a b b a a b b a a b b a ++++++===时等号成立， 即 (112)121k k k k a a a a b b b b ++====时等号成立。
于是1n k =+时不等式成立。
由i ）ii ）可得对于任意的自然数n ，柯西不等式成立。
4）用向量法证明设n 维空间中有二个向a ……12(,,,)n a a a =，b ……12(,,,)n b b b =，其中…………1212,,,;,,,n n a a a b b b 为任意两组实数。
由向量的长度定义，有a =b=又由内积的定义，a b ⋅ =a b cos θ,其中θ是a ,b 的夹角， 且有a b ⋅……1222n n a b a b a b =+++。
因|cos θ|1≤，故a b ⋅≤a b ，于是|……1122n n a b a b a b +++|即当且仅当|cos θ|1=时，即a 与b 共线时等号成立。
由a ,b 共线可知……1122,,,n n a b a b a b λλλ===()R λ∈ 即 (12)12n na a ab b b ===……(0,1,2,,)i b i n ≠= 由以上，命题得证。
5) 利用均值不等式当()()…………2222221212n n a a a b b b ++++++=0时不等式显然成立当()()…………2222221212n n a a a b b b ++++++≠0柯西不等式可化为1 ≥()()()211222222221112.........n n nna b a b a b aa abb b+++++++++。
由均值不等式可知()()()211222222221112.........n n n n a b a b a b a a a b b b +++++++++≤2222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= (2222)1122222222222212121212 (2)n n n n n na b a b a a a b b b a a a b b b ++++++++++++++++=1即1≥()()()211222222221112.........n n nna b a b a b aa abb b+++++++++当且仅当 (12)12n na a ab b b ===……(0,1,2,,)i b i n ≠=时等号成立。
从而柯西不等式得证。
而变式一 二可由柯西不等式稍加变形容易得到。
三、柯西不等式的应用： 1）证明不等式在不等式的证明中，柯西不等式的作用是很突出的。
有些不等式的证明用常归方法很繁琐，而用柯西不等式却很简单。
例 a>b>c>d ，求证：1119a b b c c a a d++≥----。
证 因为a-d=(a-b)+(b-c)+(c-d)>0,由柯西不等式知()111()a d a b b c c a-++--- =[(a-b)+(b-c)+(c-d)] 111()a b b c c a++--- ≥()2111++=9 从而1119a b b c c a a d++≥----。
例2221222212 (1)...1n na a a x x x +++=+++=，求证：1122...1n n a x a x a b +++≤证法一：（常用证法）221111222222222,...2,2,nnn n a x a x a x a x a x a x +≥+≥+≥把上面n 个不等式相加，得()()22222212121122......22...2,n n n n aa a x x x a x a x a x +++++++≥+++即()1122112222 (1)n n n n a x a x a x a x a x a x ≥+++∴+++≤证法二：（利用柯西不等式来证明）分析求证的不等式特点，可构造如下两组数：1212,,...;,...n n a a a x x x 由柯西不等式（A ）有()()()2222222112212121122 (1)n n n n n n a x a x a x a a a x x x a x a x a x +++≤++++++∴+++≤两相比较，可见用柯西不等式证明较为简捷例i x R +∈，2，…n ）且111ni i i x x ==+∑，求证：112ni i j i i j nx x x =≤<≤≥∑∑[5]证 注意到恒等式12i j i j nx x ≤<≤∑=()22i i x x -∑∑，只需要证明1nii x =∑≥()22iix x-∑∑即()221ni ii i x x x =≤+∑∑∑上式左边=2⎛ ⎝≤()()11i i i i x x x x ⎛⎫+• ⎪+⎝⎭∑∑ =21nii i x x =+∑∑，得证。
例,,a b c , λ满足a ≥λ>0,b ≥λ ,c ≥λ求证2≥证因为a≥λ>0,≤2aλλ+-=2a2b≤2c，故+≥222222a b cb c c a a b+++++由柯西不等式可知()()()222a b c b c a c a b+++++⎡⎤⎣⎦222222a b cb c c a a b⎛⎫++⎪+++⎝⎭()22a b c≥++从而222222a b cb c c a a b+++++≥()()()()22222a b ca b c b c a c a b+++++++=()()223a b cab bc ac++++又()22a b c++=6()ab bc ac+++()()()222b c c a a b-+-+-()6ab bc ac≥++故222222a b cb c c a a b+++++≥2≥2 当且仅当2a b cλ===时等号成立。