高中数学-公式-柯西不等式

第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一）2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则.22222()()()a b c d ac bd ++≥+证法一：（比较法）=….=22222()()()a b c d ac bd ++-+2()0ad bc -≥证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++. （要点：展开→配方）222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+ 证法三：（向量法）设向量，，则，(,)m a b = (,)n c d =||m = ||n = ∵ ，且，则. ∴ …..m n ac bd ∙=+ ||||cos ,m n m n m n =<> A A A ||||||m n m n ≤ A A证法四：（函数法）设，则22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++≥0恒成立.22()()()f x ax c bx d =-+-∴ ≤0，即…..22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++③二维形式的柯西不等式的一些变式：或 .||ac bd ≥+||||ac bd ≥+ac bd ≥+④ 提出定理2：设是两个向量，则.,αβ ||||||αβαβ≤A 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）→ 讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者共线）β ,αβ⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d .≥ 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形）2. 教学三角不等式：①出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈≥分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明→ 变式：若，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 112233,,,,,x y x y x y R ∈3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）第二课时 3.1 二维形式的柯西不等式（二）教学过程：22222()()()a b c d ac bd ++≥+≥ 3. 如何利用二维柯西不等式求函数?y =+ 要点：利用变式.||ac bd +≤二、讲授新课：1. 教学最大（小）值：① 出示例1：求函数y =+ 分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演→ 变式：→ 推广：y =+,,,,,)y a b c d e f R +=+∈② 练习：已知，求的最小值.321x y +=22x y + 解答要点：（凑配法）.2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+= 2. 教学不等式的证明：① 出示例2：若，，求证：.,x y R +∈2x y +=112x y+≥分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）要点：…2222111111()(]22x yx y x y+=++=++≥讨论：其它证法（利用基本不等式）②练习：已知、，求证：.a b R+∈11()()4a ba b++≥3. 练习：①已知，且，则的最小值.,,,x y a b R+∈1a bx y+=x y+要点：…. →其它证法()a bx y x yx y+=++=②若，且，求的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）,,x y z R+∈1x y z++=222x y z++变式：若，且的最大值.,,x y z R+∈1x y z++=+第三课时 3.2 一般形式的柯西不等式2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：；22222()()()a b c d ac bd++≥+2222222()()()a b c d e f ad be cf++++≥++二、讲授新课：1. 教学一般形式的柯西不等式：①提问：由平面向量的柯西不等式，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？||||||αβαβ≤A②猜想：n维向量的坐标？n维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设，则1212,,,,,,,n na a ab b b R∈222222212121122()()()n n n na a ab b b a b a b a b+++++≥+++讨论：什么时候取等号？（当且仅当时取等号，假设）1212nnaa ab b b===ib≠联想：设，，，则有，可联想到1122n nB a b a b a b=+++22212nA a a a=++ 22212nC b b b=+++20B AC-≥一些什么？③讨论：如何构造二次函数证明n维形式的柯西不等式？（注意分类）要点：令，则2222121122)2()n n nf x a a a x a b a b a b x=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+（）（22212()nb b b+++⋅⋅⋅+.2221122()()())0n nf x a x b a x b a x b=++++⋅⋅⋅+≥+（又，从而结合二次函数的图像可知，22212na a a++⋅⋅⋅+>≤0[]22221122122()4()n n na b a b a b a a a∆=+++-++ A22212()nb b b+++即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.）④变式：. （讨论如何证明）222212121()n na a a a a an++≥++⋅⋅⋅+2. 教学柯西不等式的应用：①出示例1：已知，求的最小值.321x y z++=222x y z++分析：如何变形后构造柯西不等式？→板演→变式：②练习：若，且，求的最小值.,,x y z R+∈1111x y z++=23y zx++③出示例2：若>>，求证：.a b ccacbba-≥-+-411要点：21111()([()()]((11)4a c ab b ca b b c a b b c-+=-+-+≥+=----②提出排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:···;···.···是，···的任一12a a≤≤na≤12b b≤≤nb≤12,,c cnc12,b b,nb排列,则有···+ (同序和)1122a b a b ++n n a b +···+ (乱序和)1122a c a c ≥+n n a c +···+ (反序和)121n n a b a b -≥+1n a b 当且仅当···=或···=时，反序和等于同序和.12a a ==n a 12b b ==n b （要点：理解其思想，记住其形式）2. 教学排序不等式的应用：① 出示例1：设是n 个互不相同的正整数，求证：12,,,n a a a ⋅⋅⋅.32122211112323n a a a a n n +++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+ 分析：如何构造有序排列？ 如何运用套用排序不等式？ 证明过程：设是的一个排列，且，则.12,,,n b b b ⋅⋅⋅12,,,n a a a ⋅⋅⋅12n b b b <<⋅⋅⋅<121,2,,n b b b n ≥≥⋅⋅⋅≥ 又，由排序不等式，得222111123n>>>⋅⋅⋅> (332211222222)2323n n a a b b a b a b n n +++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+≥ 小结：分析目标，构造有序排列.② 练习：已知为正数，求证：.,,a b c 3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++ 解答要点：由对称性，假设，则，a b c ≤≤222a b c ≤≤于是 ，， 222222a a b b c c a c b a c b ++≥++222222a a b b c c a b b c c a ++≥++两式相加即得.。